ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽERY

Transkript

1 Slezská univerzita v Opavě Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽERY MODERNÍ METODY ROZHODOVÁNÍ Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský Karviná 2013 Projekt OP VK č. CZ.1.07/2.2.00/ Inovace studijních programů na Slezské univerzitě, Obchodně podnikatelské fakultě v Karviné

2 Název: Autor: Vydavatel: Určeno: Rozhodovací analýza pro manažery. Moderní metody rozhodování prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc. Ing. Filip Tošenovský, Ph.D. Slezská univerzita v Opavě Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné studentům Obchodně podnikatelské fakulty v Karviné Počet stran: 188 AA VA: 9,12 9,48 Náklad: 100 Tiskárna: Z + M Partner, spol. s r.o. Ostrava Číslo publikace: ISBN: Tato publikace neprošla jazykovou úpravou.

3 Slezská univerzita v Opavě Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY MODERNÍ METODY ROZHODOVÁNÍ Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský Karviná 2013 Projekt OP VK č. CZ.1.07/2.2.00/ Inovace studijních programů na Slezské univerzitě, Obchodně podnikatelské fakultě v Karviné

4 Obor: Anotace: Klíčová slova: Matematika Tento učební text studijní opora představuje inovovanou studijní oporu předmětu Rozhodovací analýza pro manažéry určenému studentům navazujícího magisterského studia, kteří již absolvovali základní kurzy managementu, marketingu, matematiky, informatiky, případně operačního výzkumu. Stručná obsahová náplň jednotlivých tematických okruhů je následující: metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami, preferenční relace v hodnocení variant, metody s nominální a ordinální informací o kritériích. Metody s kardinální informací o kritériích, metody párového porovnání, analytický hierarchický proces (AHP), metody založené na prazích citlivosti, vícekriteriální metody hodnocení za rizika pravděpodobnostní přístupy, vícekriteriální metody hodnocení za neurčitosti, fuzzy přístupy vícekriteriálního hodnocení, metody skupinového vícekriteriálního hodnocení. vícekriteriální rozhodování, analytický hierarchický proces, párové porovnání, pravděpodobnostní přístupy, fuzzy přístupy vícekriteriálního hodnocení. Autor: prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc. Ing. Filip Tošenovský, Ph.D. Recenzenti: prof. RNDr. Josef Tošenovský, CSc. Ing. Radomír Perzina, Ph.D. ISBN

5 OBSAH 1 VÍCEKRITERIÁLNOST PODSTATNÝ RYS ROZHODOVÁNÍ Trocha historie Proces rozhodování Informace v rozhodování Teoretický a realný rozhodovatel Základní prvky vícekriteriálního rozhodování Kritéria Stanovení cílů a kritérií Terminologie vícekriteriálního rozhodování Váhy kritérií Metody stanovení variant a důsledků variant METODY MODELOVÁNÍ PREFERENCÍ MEZI KRITÉRII A VARIANTAMI Úvod Relace Škály Optimální řešení nedominované řešení Vlastnosti kompromisních variant Klasifikace úloh VKR METODY VKH S NOMINÁLNÍMI A ORDINÁLNÍMI INFORMACEMI Úvod Klasifikace metod podle informací o kritériích Metody s nominální informací o kritériích Metoda stejné důležitosti Metoda aspirační úrovně Metody s ordinální informací o kritériích Metody skalarizace ordinálních informací o kritériích METODY PÁROVÉHO POROVNÁNÍ Úvod Metoda Fullerova trojúhelníku Saatyho metoda výpočtu vah Metoda nejmenších čtverců výpočtu vah Metoda logaritmických NČ (Metoda geometrického průměru) METODY S KARDINÁLNÍ INFORMACÍ O KRITÉRIÍCH Metody s kardinální informací o kritériích Standardizace a normalizace Metody založené na funkci užitku Metody váženého součtu (váženého průměru) Metoda VS založená na standardizaci Metoda VS založená na normalizaci Metody váženého součtu (váženého průměru) Metody vzdálenosti

6 5.6.1 Metoda nejmenší vzdálenosti od ideální varianty Metoda největší vzdálenosti od bazální varianty ANALYTICKÝ HIERARCHICKÝ PROCES (AHP) Hierarchie Formální přístup k hierarchii Priority Základní škála Stanovení vah z matice párových porovnání Vlastní čísla a vlastní vektory reciprokých matic Konzistence matice párových porovnání Syntéza POUŽITÍ AHP V ROZHODOVÁNÍ - PŘÍPADOVÉ STUDIE Analytický hierarchický proces AHP - 7 kroků v rozhodování Případová studie 1: Výběr osobního automobilu Případová studie 2: Porovnání vysavačů 6 výrobců s vysavači firmy Zelmer96 8 METODY ZALOŽENÉ NA PRAZÍCH CITLIVOSTI Úvod relace a prahy citlivosti Metoda agrepref Metody typu electre Metody typu promethe VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA Rozhodovací úloha v podmínkách rizika Objektivní a subjektivní pravděpodobnosti Funkce užitku za rizika Metody hodnocení variant za rizika při jediném kritériu Metody hodnocení variant za rizika a více kritérií AHP ve vícekriteriálním hodnocení variant za rizika VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA NEJISTOTY VKH v podmínkách rizika, nejistoty a neurčitosti Metody hodnocení variant za nejistoty při jediném kritériu Metody hodnocení variant za nejistoty při více kritériích VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA NEURČITOSTI Definice fuzzy množiny Fuzzy intervaly a fuzzy čísla Aritmetické operace s fuzzy intervaly Uspořádání fuzzy intervalů Fuzzy kritéria VKH s fuzzy kritérii Agregované hodnocení a uspořádání variant SKUPINOVÉ ROZHODOVÁNÍ Úvod do skupinového rozhodování Metody společenského výběru

7 12.3 Metody konfliktních situací Agregace dílčích hodnocení REFERENCE - DALŠÍ ZDROJE PŘÍLOHA 1. STRUČNÝ MANUÁL K POUŽITÍ PROGRAMU DAME

8 ÚVOD Tento učební text studijní opora představuje inovovanou studijní oporu předmětu Rozhodovací analýza pro manažéry. Předmět Rozhodovací analýza pro manažéry je určen pro studenty navazujícího magisterského studia, kteří již absolvovali základní kurzy managementu, marketingu, matematiky, informatiky, případně operačního výzkumu. Stručná obsahová náplň jednotlivých tématických okruhů je následující: 1. Vícekriteriálnost je podstatný rys rozhodování a klasifikace metod vícekriteriálního hodnocení. K základním pojmům patří: kritéria, varianty, váhy, objektivní a subjektivní informace, typy praktických úloh, kvalitativní a kvantitativní informace pro rozhodování. 2. Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami, preferenční relace v hodnocení variant: relace, využití kvalitativních a kvantitativních informací bodovací metody, metody párového porovnání, využití kvalitativních a kvantitativních informací měřené hodnoty, párové porovnání, vlastnosti relací v rozhodování a jejich vzájemné vztahy. 3. Metody s nominální a ordinální informací o kritériích: metody s nominální informací o kritériích, metody s ordinální informací o kritériích, metody skalarizace ordinální informace. 4. Metody s kardinální informací o kritériích: metody agregace, bodovací metody, metody vážených průměrů. 5. Metody párového porovnání: metoda Fullerova trojúhelníku, Saatyho metoda. Metoda nejmenších čtverců, metoda geometrického průměru (metoda logaritmických nejmenších čtverců). 6. Analytický hierarchický proces (AHP): hierarchie, váhy, syntéza, párové porovnání důležitosti kritérií, párové porovnání variant podle jednotlivých kritérií, analýza senzitivity, rozhodovací grafy. 7. Aplikace AHP ve vícekriteriálním hodnocení: 7 kroků v rozhodování pomocí AHP/ANP, plánování, investování, marketing, management, personalistika, sociální práce aj. 8. Metody založené na prazích citlivosti: vlastnosti relací založených na prazích citlivosti, metody typu AGREPREF, ELECTRE a PROMETHE aj. 9. Vícekriteriální metody hodnocení za rizika pravděpodobnostní přístupy: metody vícekriteriálního hodnocení při znalosti pravděpodobnostního rozdělení rizikových veličin (metoda očekávané hodnoty a rozptylu) a metody při jejich neznalosti (max-min, min-max, Hurwitzova metoda, Laplaceova metoda, Savageova metoda). 10. Vícekriteriální metody hodnocení za neurčitosti základy fuzzy množin: základní pojmy z teorie fuzzy množin s ohledem na vícekriteriální hodnocení, základní typy fuzzy čísel, základní aritmetické operace s fuzzy čísly, uspořádání fuzzy čísel. 11. Fuzzy přístupy vícekriteriálního hodnocení: fuzzy matice párového porovnání, fuzzy váhy, logaritmická metoda stanovení fuzzy vah, metoda vlastního fuzzy vektoru, agregace fuzzy hodnocení, defuzzyfikace a metody uspořádání fuzzy čísel. 12. Metody skupinového vícekriteriálního hodnocení: metody agregace individuálních hodnocení, metody agregace individuálních vah a odvození skupinových vah. Metody založené na agregaci relací, Arowův paradox. Každá kapitola je uvedena příslušnou teorií a vysvětlením příslušných metod. Na závěr každé kapitoly jsou uvedeny řešené i neřešené problémy/příklady vztahující se k obsahu kapitoly. Ty slouží k lepšímu pochopení latky a jejímu zopakování na konkrétních problémech. Odměna, která vás na konci studia našeho předmětu očekává, stojí za to: je to pocit, že jste překonali něco významného, že jste se přenesli přes překážku, za níž se nachází svět profesionálů, kteří rozumějí odborným metodám a postupům, jež jsou obyčejným smrtelníkům nepřístupné. Získaný nadhled vám umožní snadněji pochopit a osvojit si praktické zásady analýzy informací, jimiž jsme všichni dnes zahlceni a v nichž je nám určeno žít

9 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 1 VÍCEKRITERIÁLNOST PODSTATNÝ RYS ROZHODOVÁNÍ 1.1 TROCHA HISTORIE Vícekriteriální rozhodování (VKR) se vyčlenilo ze širšího operačního výzkumu (Operations Research OR) v průběhu 80. let, kdy se stalo samostatným a specifickým vědním oborem. Jistě k tomu napomohl i fakt, že Nobelovu cenu za ekonomii obdrželi v roce 1975 společně dva vědci: holanďan Koopmans a rus Kantorovič, kteří významnou měrou přispěli k rozvoji matematických metod v ekonomii. V současnosti již VKR vytváří základní teoretickou výbavu každého ekonoma. VKR mimo jiné sjednotilo oblasti rozhodování a hodnocení do jednotné teorie s vlastními pojmy a metodami řešení. Nenávratně pryč je doba, kdy se dosahovalo výsledného optimálního rozhodnutí metodou diskuse až do úplného fyzického i psychického vyčerpání diskutérů. Dnes tvoří nedílnou součást rozhodovacích procesů počítače. Ačkoliv je VKR založeno na matematickém modelování, jeho zvládnutí překvapivě nevyžaduje žádné zvláštní požadavky z tzv. vyšší matematiky. Přínos VKR spočívá nejen v nalezení nejlepšího řešení konkrétního rozhodovacího problému, ale zejména v objasnění podstaty rozhodovacího problému. 1.2 PROCES ROZHODOVÁNÍ Proces rozhodování má dvě hlavní stránky: meritorní a formálně logickou. Meritorní (věcná, obsahová) stránka rozhodování odráží odlišnosti a specifické rysy jednotlivých rozhodovacích procesů, resp. jejich typů, například: rozhodování o investicích, rozhodování o marketingové strategii, rozhodování o organizačním uspořádání, výběru pracovníků aj. Meritorní stránka rozhodování je náplní příslušných věcně orientovaných disciplín: podniková ekonomika, finanční management, marketing, organizace a řízení, personální řízení aj. Formálně logická (procedurální) stránka rozhodování vychází ze společných vlastností všech rozhodovacích procesů. Takovou společnou vlastností je například určitý postup (algoritmus) řešení rozhodovacích problémů, který člení řešení do určitého počtu etap (fází, kroků). Formálně logická a nástrojová (instrumentální) stránka rozhodovacích procesů je předmětem studia teorie rozhodování, resp. jejich jednotlivých směrů, orientovaných buď více teoreticky (např. teorie užitku), nebo převážně aplikačně (teorie rozhodování v organizacích), více viz [Fotr-Dědina-Hrůzová]. Nám půjde především o tuto stránku rozhodování. Normativní teorie rozhodování se zaměřuje na popis a návody, jak řešit rozhodovací problémy, jaké modely uplatnit a jakým způsobem je používat atd. Jde tedy o tvorbu určitých norem řešení rozhodovacích problémů, jejichž aplikace by umožnila dosažení žádoucí kvality rozhodování. Zde půjde především o normativní teorii rozhodování. Deskriptivní teorie rozhodování se zabývá již realizovanými rozhodovacími procesy. Jde v ní o deskripci, tj. popis, analýzu a hodnocení rozhodovacích procesů, jejich průběhu, základních prvků, okolí, předností a nedostatků, chování rozhodovatele i ostatních subjektů v průběhu rozhodovacího procesu aj

10 1 Vícekriteriálnost podstatný rys rozhodování 1.3 INFORMACE V ROZHODOVÁNÍ Informace v rozhodovacích procesech mají rozhodující význam pro zajištění žádoucí kvality rozhodování. Proto je třeba zajistit efektivní sběr informací. Tyto informace musejí být, viz [Fotr-Dědina-Hrůzová]: relevantní (vztahovat se k řešenému rozhodovacímu problému), správné (tj. pravdivé), přesné (nesmí být zatíženy velkými chybami) a jednoznačné (nejednoznačné informace ztěžují jejich interpretaci). Přitom je třeba respektovat vztah mezi užitkem z informací a náklady na jejich získání. Vše je třeba posoudit v souvislosti s rozsahem informací, významnosti rozhodnutí, jeho reversibilitě či ireversibilitě (možnosti nebo nemožnosti návratu k původnímu stavu systému). Dále je třeba přihlédnout k požadované přesnosti a detailnosti informací, jejich dostupnosti, časovému termínu pro jejich získání, disponibilním zdrojům, které lze vynaložit, a také ke stylu, znalostem a dovednostem rozhodovatele. Ty jsou důležité zvláště u kvalitativních informací a informací, jejichž správná interpretace vyžaduje určité speciální znalosti (např. výsledky modelových řešení). Významnou úlohu hrají v rozhodování při zpracování informací počítače, které jsou základní složkou: manažerských informačních systémů (MIS - Management Information System), počítačových databází soustřeďujících informace o organizaci i jejím okolí, informační podpor rozhodovacích problémů, systémů na podporu rozhodování (DSS - Decision Support System) založených na aplikaci bank modelů (matematických optimalizačních, simulačních a prognostických a jiných), expertních systémů (ES) umožňujících přenos a uplatnění expertních znalostí (tj. znalostí vysoce kvalifikovaných specialistů týkajících se způsobů řešení určitých problémů). 1.4 TEORETICKÝ A REÁLNÝ ROZHODOVATEL Normativní (racionálně-ekonomický) model rozhodování vychází z předpokladu existence racionálně-ekonomického člověka teoretického rozhodovatele, který má k dispozici všechny informace a znalosti (např. znalost všech variant a jejich důsledků, schopnost kvantitativně ohodnotit každou variantu z hlediska všech kritérií aj.) potřebné ke kvalitnímu rozhodnutí. Racionálně-ekonomický rozhodovatel v souladu s racionálně-ekonomickým modelem postupuje přes jednotlivé etapy rozhodovacího procesu a uplatňuje princip optimalizace, tj. volí optimální variantu (varianta s nejvyšším užitkem) ze souboru navržených variant rozhodování. Deskriptivní (administrativní) model odráží skutečné podmínky a faktory, za kterých probíhá rozhodování v organizacích. Reálné schopnosti, znalosti i informační vybavení rozhodovatele jsou podstatně omezenější, než u teoretického rozhodovatele, a proto určitou reakcí na pojetí individuálního plně racionálního člověka je koncepce tzv. administrativního člověka

11 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Reálný rozhodovatel (tzv. administrativní člověk) je hůře vybaven potřebnými informacemi a znalostmi a má i daleko menší schopnosti řešit rozhodovací problémy než racionálně-ekonomický člověk. Reálný rozhodovatel nehledá všechny varianty rozhodování, nezná všechny jejich důsledky a volí první dostatečně dobrou variantu (uplatňuje tzv. princip satisfakce). Normativní model představuje určitý ideál, ke kterému by se mělo skutečné rozhodování v organizacích blížit (racionálně-ekonomický pohled). Deskriptivní model ukazuje, jak skutečné rozhodování v organizacích obvykle probíhá (administrativní pohled). Smyslem rozhodování je dosahování co nejlepších výsledků. Kvalitu (racionalitu) rozhodování, a to u rozhodování za rizika a nejistoty, nelze bohužel obvykle posuzovat pouze podle skutečně dosažených výsledků. Výsledky rozhodnutí závisí nejen na kvalitě přípravy rozhodnutí, ale také na vývoji okolí a jsou tedy závislé zčásti na štěstí či smůle. Daleko vhodnější je posuzovat kvalitu (racionalitu) rozhodování podle (viz [7]): souladu cílů řešených problémů a z nich odvozených kritérií hodnocení s cíli celé organizace, informačního zajištění řešeného problému, postupu řešení podle jednotlivých fází rozhodovacího procesu, míry uplatnění metod a modelů teorie rozhodování, variantnosti řešení problému (z hlediska počtu i koncepční odlišnosti zpracovaných variant), kvality řízení rozhodovacího procesu (plánování, motivace, koordinace, kontrola). Kvalita rozhodování v organizacích je často nedostatečná. Jejímu zlepšení brání určité překážky (faktory), označované jako bariéry racionality. Tyto bariéry se týkají jednak subjektu, tj. rozhodovatele, resp. ostatních účastníků rozhodovacích procesů (např. omezená schopnost zpracovávat informace a řešit složité problémy), jednak instituce, ve kterých řešení problémů probíhá (nedostatečná kvalita systému řízení a informačních systémů). Zvýšení kvality rozhodování proto vyžaduje oslabování, resp. eliminaci bariér spojených se subjektem i s organizací. 1.5 ZÁKLADNÍ PRVKY VÍCEKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ Podívejme se nyní podrobněji na jednotlivé prvky vícekriteriální (VK) rozhodovací úlohy. Jsou jimi zejména: cíl rozhodování, subjekt a objekt rozhodování, kritéria (vlastnosti, atributy, charakteristiky, hlediska), varianty (někdy též alternativy, možnosti, prvky), stavy světa (scénáře rozhodování). Cílem rozhodování rozumíme určitý budoucí stav systému (okolí rozhodovatele) vyplývající z nutnosti uspokojit určité potřeby nebo plnit jisté funkce. Cíle se má dosáhnout realizací některé z variant rozhodování. Cíl rozhodování se obvykle hierarchicky rozkládá do dílčích cílů, které se transformují do podoby rozhodovacích kritérií. Rozhodovací kritéria mohou mít různou povahu od fyzikálních, technických nebo technologických měřitelných vlastností, přes ekonomická kritéria vyjadřovaná peněžními jednotkami až k neměřitelným subjektivním kritériím typu krása, vůně, morálka aj. Někdy u kri

12 1 Vícekriteriálnost podstatný rys rozhodování térií dále rozlišujeme, zda existují nezávisle na naší vůli v tom případě se jedná o charakteristiky, eventuálně vlastnosti, jindy kritéria úmyslně vytváříme - pak hovoříme o atributech. V této práci podrobnější členění kritérií nebude zapotřebí, vystačíme s obecným pojmem kritérium, které budeme interpretovat jako určité hodnotící hledisko, jež bereme v úvahu při rozhodování. Základem pro stanovení souboru kritérií je soubor dílčích cílů řešení rozhodovacího problému. Některé dílčí cíle se však netransformují do podoby kritérií, nýbrž do omezujících podmínek k redukci souboru rozhodovacích variant. K problému různých typů kritérií se vrátíme podrobněji v následující kapitole. Budeme uvažovat obecně m kritérií (m je celé kladné číslo větší než 1, tj. m = 2,3,...). Variantami mohou být nejrůznější prvky, které má smysl vzájemně porovnávat, nebo, v užším kontextu, přicházejí v úvahu pro výběr v určitém procesu rozhodování. Například zákazník se rozhoduje při koupi mezi výrobky určitého typu (automobily, počítače aj.), ředitel podniku se rozhoduje mezi různými perspektivními výrobními programy, různými variantami marketingových strategií, různými kandidáty na řídicí funkce v podniku apod. Budeme uvažovat obecně n variant (n je celé kladné číslo větší než 1). Subjektem rozhodování může být jednotlivec nebo skupina jednotlivců (podnik, instituce apod.), která rozhoduje. Protipólem subjektu rozhodování je objekt rozhodování, který představuje systém, v němž je formulován rozhodovací problém, cíl, kritéria i varianty rozhodování. Důsledky variant vyjádřené jako hodnoty kritérií jsou buď jednoznačné, nebo závisejí na stavech světa (stavech systému, scénářích apod.). Ty jsou chápány jako vzájemně se vylučující stavy té části okolí rozhodovacího systému, která je mimo kontrolu rozhodovatele. Náhodné faktory okolí se obvykle považují za (diskrétní) náhodné veličiny určující stavy světa, nebo se považují za fuzzy veličiny (fuzzy množiny). PŘÍKLAD 1.1. Cíl: Výběr optimálního nového osobního automobilu střední třídy pro firmu X. Varianty: Škoda Fabia, Opel Corsa, Fiat Punto, Renault Clio, Ford, Fiesta. Kritéria: Cena, Výkon, Spotřeba, Pohodlí, Bezpečnost, Vzhled. Subjekt rozhodování: Firma X. Objekt rozhodování: Český trh s osobními automobily. Stavy světa: Nemění se. Povšimněte si několika momentů výše uvedeného příkladu. Rozhodovací problém je tu poměrně přesně vymezen, a to nejen tím, jak je specifikován cíl, varianty i kritéria, přitom n = 5, m = 6 (samotný předvýběr variant a kritérií může být v praxi obtížný!), ale i tím, že je směřován ke konkrétnímu nositeli důsledků rozhodnutí (firma X) v neměnných podmínkách českého trhu s osobními automobily. Právě tento fakt má vliv na předvýběr variant i kritérií a projeví se jak při dílčím hodnocení podle jednotlivých kritérií, tak i při výběru metody řešení, tedy při agregaci dílčích hodnocení do hodnocení celkového. V přílohách denního tisku nebo v různých časopisech se často objevují hodnocení různých výrobků a služeb, a to na principu hodnocení podle více kritérií. Autoři těchto hodnocení se tu staví do role objektivního hodnotitele, eventuálně hodnotí varianty jen podle takových kritérií, která mají objektivní povahu, tj. jsou objektivně měřitelná. Takováto hodnocení mají pro konkrétního zákazníka obvykle jen omezený význam, neboť nezohledňují jeho subjektivní, individuální potřeby

13 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Problémem vícekriteriálního rozhodování (za jistoty) zde rozumíme úlohu nalezení optimální varianty, která by v co možná největší míře zohledňovala uvažovaná kritéria (dílčí cíle). Pojmy uvedené v uvozovkách prozatím chápeme intuitivně, jejich význam bude upřesněn na příslušném místě později. Obecný postup při řešení problému VKR rozdělíme do 4 kroků: Krok 1. Stanovení cíle rozhodování. Krok 2. Vyčlenění množiny variant A = {a 1, a 2,..., a n } a množiny kritérií C = {f 1, f 2,..., f m }. Krok 3. Dílčí vyhodnocení (uspořádání, změření) všech variant podle jednotlivých kritérií. Krok 4. Agregace dílčích hodnocení do výsledného celkového hodnocení a výběr optimální varianty. Jak již bylo řečeno, Krok 2 představuje samostatný problém, který je silně závislý na povaze konkrétního rozhodovacího problému. V jistém smyslu je možné tento krok chápat jako individuální VKR problém na nižší rozlišovací úrovni. K jeho realizaci je pak možné použít postup z Kroku 3 a Kroku 4. Vzhledem k subjektivní povaze tohoto kroku se jím v této práci nebudeme podrobněji zabývat při vědomí toho, že další kroky lze v procesu vyčleňování variant a kritérií plně aplikovat. V literatuře existuje na toto téma řada prací a různých přístupů, viz např. [7], [28] aj. 1.6 KRITÉRIA Kritéria tvoří jeden ze dvou základních prvků rozhodovacího problému, jak byl zformulován v předchozím odstavci. Každé vybrané kritérium slouží v rozhodovací úloze k tomu, abychom dané varianty podle něj vyhodnocovali, eventuálně porovnávali či uspořádali. Jakým způsobem budeme toto porovnávání uskutečňovat závisí na povaze každého kritéria. Z čistě formálního hlediska můžeme každé kritérium v našem rozhodovacím problému ztotožnit s určitým zobrazením f množiny variant A do jiné množiny S nazývané škála (stupnice), zapsáno matematicky: f : A S. (1.1) Ohodnocení varianty a A podle kritéria f je obraz varianty a při zobrazení f, označujeme jej symbolem f(a), přičemž f(a) S. Důležitý je v této souvislosti fakt, že jednotlivá ohodnocení různých variant lze mezi sebou porovnávat, což jinak řečeno znamená, že škála S má některé vlastnosti uspořádané množiny. V závislosti na těchto vlastnostech uspořádání rozlišujeme několik typů škál (stupnic). K vysvětlení této problematiky budeme potřebovat si ujasnit, co rozumíme pod pojmem uspořádaná množina. Tento pojem je založen na pojmu relace, kterým se bude zabývat následující kapitola. V této kapitole se budeme dále zabývat stanovením cílů v rozhodování a z nich vytvořených kritérií. 1.7 STANOVENÍ CÍLŮ A KRITÉRIÍ Jak již bylo řečeno, kritéria hodnocení představují hlediska, která slouží k vyhodnocení celkové výhodnosti jednotlivých variant rozhodování. Z jedné strany by mělo stanovení kritérií předcházet vlastní tvorbě variant a stanovení jejich důsledků (postup shora dolů ), neboť volba kritérií předurčuje aspekty variant rozhodování, které se mají vyhodnotit a tím i směry

14 1 Vícekriteriálnost podstatný rys rozhodování zpracování variant. Na druhou stranu je možné postupovat i obráceně (postup zdola nahoru ), vybrané varianty předurčují hlediska, která se při vyhodnocování budou brát v úvahu. Při volbě kritérií se uplatní především cíle řešení problému. Rozdíl mezi cíli a kritérií není obvykle významný, neboť cíle se obvykle chápou jako maximální či minimální hodnoty určitého kritéria, např. zisku či nákladů, nebo dosažení alespoň jejich určité úrovně. Pakliže je tedy cílem dosažení maximálního zisku či minimálních nákladů, příslušnými kritérii jsou zisk a náklady. Jednomu cíli však může odpovídat jedno nebo také více kritérií. Cíle jsou obvykle formulovány pozitivně, takže kritéria formulovaná pouze na základě cílů opomíjejí často některé nepříznivé dopady variant. Nerespektování subjektů, jejichž cíle a zájmy mohou být řešením problému dotčeny, může ohrozit úspěšnost zvoleného řešení. Stanovený soubor kritérií hodnocení by měl proto splňovat určité požadavky viz [7]: úplnost - soubor kritérií by měl být takový, aby umožňoval hodnotit všechny podstatné dlouhodobé i krátkodobé, pozitivní i negativní, přímé i nepřímé dopady variant, operacionalita - každé kritérium musí být jasně a jednoznačně definováno a musí být stanoven způsob jeho měření. neredundance (nezávislost kritérií) - každý aspekt by měl do hodnocení vcházet pouze jednou. Kritéria by se tedy neměla překrývat (např. celkové náklady a mzdové náklady, které jsou součástí celkových nákladů), minimalita - minimální počet kritérií. Počet kritérií by měl být co nejmenší, neboť jinak se komplikuje výsledné hodnocení variant. Je zřejmé, že některé výše uvedené požadavky jsou vzájemně protichůdné a nemohou být splněny současně (zvyšování úplnosti souboru kritérií a jejich operacionality zvyšuje obvykle počet kritérií). Je třeba proto volit určitý kompromis. 1.8 TERMINOLOGIE VÍCEKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ Nejprve ozřejmíme odlišnost pojmů vícekriteriální optimalizace, vícekriteriální rozhodování a vícekriteriální hodnocení. Vícekriteriální optimalizace je původní název pro vědní obor zabývající se nalezením optimálního prvku v množině prvků možných řešení, nebo také množině přípustných řešení. Tato množina může být dána explicitně výčtem svých prvků, nebo implicitně soustavou omezujících podmínek. V souvislosti s aplikační sférou rozhodování se v osmdesátých letech ujal pro tento problém název vícekriteriální rozhodování. Množina přípustných řešení v tomto případě přípustných rozhodnutí může mít jak konečný, tak nekonečný počet prvků. V případě, kdy má tato množina konečný počet explicitně vyjmenovaných prvků, nazýváme problém vícekriteriálního rozhodování názvem vícekriteriální hodnocení. Naše studijní opora se věnuje právě rozhodovací situaci s konečným počtem explicitně vyjmenovaných variant. Ta se vyskytuje v aplikacích nejčastěji. Situacím s neomezeným počtem variant se v tomto kurzu zabývat nebudeme. I když budeme mít v tomto kurzu na mysli problematiku vícekriteriálního hodnocení, budeme přesto v následujícím textu používat terminologii vícekriteriálního rozhodování, která je obecnější. Rozdíl mezi jednotlivými pojmy ukážeme na příkladu

15 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY PŘÍKLAD 1.2. Vícekriteriální rozhodování versus vícekriteriální hodnocení (A) Za danou peněžní částku 1 mil. Kč má finanční analytik zakoupit akcie jediné akciové společnosti. Množinou přípustných rozhodnutí jsou všechny tituly akcií kótovaných na BCPP. Přitom má vzít v úvahu tato hlediska: velikost průměrného výnosu titulu a průměrné riziko titulu měřené směrodatnou odchylkou výnosu. (B) Za danou peněžní částku 1 mil. Kč má finanční analytik zakoupit akcie nejvýše 10 akciových společností. Množinou přípustných rozhodnutí jsou všechny kombinace libovolných nejvýše 10 titulů akcií kótovaných na BCPP, jejichž souhrnná cena je 1 mil. Kč. Přitom má vzít v úvahu tato hlediska: velikost průměrného výnosu dané kombinace nejvýše 10 vybraných titulů a průměrné riziko kombinace těchto titulů měřené směrodatnou odchylkou kombinace výnosů. Řešení příkladu: Problém (A) je problémem vícekriteriálního (dvojkriteriálního) rozhodování. Zároveň je problémem vícekriteriálního hodnocení, neboť množina přípustných řešení má konečný a explicitně vyjmenovaný počet variant titulů kótovaných na BCPP. Problém (A) lze řešit pomocí metod, s nimiž se seznámíte v tomto kurzu. Problém (B) je rovněž problémem vícekriteriálního rozhodování. Není však problémem vícekriteriálního hodnocení, neboť množina přípustných řešení nemá konečný počet variant. Přípustných kombinací titulů akcií je zřejmě nekonečně mnoho, neboť různých podílů jednotlivých titulů může být teoreticky neomezeně mnoho. Metodami, kterými by bylo možné řešit problém (B), se zde zabývat nebudeme. Řešením tohoto problému se zabývají metody vícekriteriálního matematického programování. 1.9 VÁHY KRITÉRIÍ Soubor m kladných čísel v i, i = 1, 2,..., m, jejichž součet je roven jedné, tedy jestliže pro v i [0,1] platí m v i i1 nazýváme váhy. Váhy v i můžeme interpretovat jako relativní důležitosti (významnosti) jednotlivých kritérií f i. Váhy jsou normovány, tj. jejich součet je roven 1, proto hodnoty 100.v i lze také interpretovat jako procentuální významnost kritéria f i z celkové významnosti všech rozhodovacích kritérií daného problému VKR. Nyní se vrátíme zpět k našemu tématu, totiž k problému hodnocení variant podle jednotlivých rozhodovacích kritérií , 1.10 METODY STANOVENÍ VARIANT A DŮSLEDKŮ VARIANT V praxi se setkáváme s častým nedostatkem řešení rozhodovacích problémů malým počtem variant, ze kterého se má volit varianta optimální. Proto význam metod tvorby variant spočívá v tom, že umožňují dospět k bohatšímu souboru variant, což zvyšuje podstatně šanci na dosažení skutečně optimálního řešení. Použitelné metody tvorby variant se liší podle povahy řešených problémů, podrobněji viz [7]:

16 1 Vícekriteriálnost podstatný rys rozhodování U dobře strukturovaných problémů lze použít jako významného nástroje pro tvorbu variant matematické metody, které umožňují automatické generování velkého počtu variant (např. lineární programování a další metody operačního výzkumu). U špatně strukturovaných problémů je možnost využití matematických modelů pro tvorbu variant omezená. Zde se uplatní tzv. metody hledání nových myšlenek. Metody hledání nových myšlenek lze rozčlenit do dvou skupin, a to na: metody, u nichž se používá k tvorbě variant řešení problémů převážně systematickoanalytický přístup (využívá se systematického shromažďování a třídění prvků relevantních pro daný problém, poté jejich systematického kombinování), kreativní metody stimulující intuitivní tvůrčí nápady (uplatňují se zde vzájemné asociace, sémantická intuice, vytváření analogií a srovnávání, přenášení struktury aj.). Hlavními představiteli první skupiny metod, tj. systematicko-analytických metod, jsou: morfologická analýza (morfologická skříňka, morfologická tabulka), rozhodovací stromy (stromy řešení problémů), soupis vlastností (Attribute-Listing), metoda analogie, metoda porovnávání funkcí, metoda agregace, metoda párových vztahů návrhů aj. Druhou skupinu metod (kreativní metody) lze rozčlenit na: metody přímé tvorby námětů a metody založené na využití analogie. Metody přímé tvorby námětů zahrnují postupy, generující velké množství námětů na řešení problémů, zpravidla úzce vymezených, přesně definovaných, které je třeba řešit originálním způsobem. Mezi nejvýznamnější představitele těchto metod patří brainstorming (metoda mozkových napětí, burza nápadů) a brainwriting (písemná diskuse). Metody založené na využití analogie uplatňují zkušenosti a znalosti řešitelů z oblastí, které jsou na první pohled vzdálené od původního problému. Jde o přenos problému do nové významové podoby. Jeho nové řešení slouží na základě analogie jako inspirace pro řešení původního problému. Mezi typické představitele patří Gordonova metoda a synektická metoda. Bližší popis vybraných metod hledání nových myšlenek včetně Gordonovy metody a synektické metody, a také předpoklady pro jejich uplatnění, lze nalézt např. v knize [7]. Stanovení hodnot (důsledků, dopadů, účinků) variant při jejich hodnocení podle jednotlivých kritérií závisí do značné míry na povaze těchto důsledků. V případě kardinálních (kvantitativních, tj. číselně vyjádřených) kritérií, lze použít pro jejich stanovení matematické modelování v rámci tzv. systémů na podporu rozhodování (příkladem mohou být např. systémy na podporu investičního rozhodování, umožňující stanovení základních kritérií hodnocení investičních variant, jako je čistá současná hodnota, vnitřní výnosové procento, doba úhrady aj. z jejich peněžních toků). Při stanovení důsledků obtížně kvantifikovatelných, tj. kvalitativních kritérií, jsou důležité expertní výpovědi, vycházející ze znalostí a zkušeností specialistů, kteří jsou odborníky v

17 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY oblastech či oborech, jichž se účinky variant řešení problémů týkají. Žádoucí kvalitu expertních výpovědí lze dosáhnout jednak vhodným výběrem expertů, jednak vhodnou metodou získání, resp. zpracování expertních hodnocení. Při tvorbě skupiny (panelu) expertů by se měly brát do úvahy tyto požadavky na výběr expertů: kompetence - vyjadřující kvalifikaci, znalosti a zkušenosti experta v oboru, jehož se řešení rozhodovacího problému týká, nezaujatost - expert nesmí být zainteresován na určitém způsobu řešení problému (možná zainteresovanost může působit i na podvědomé preferování volby určité varianty, což způsobí subjektivní ovlivnění hodnocení), kreativnost - schopnost experta myslet tvůrčím způsobem, nekonformizmus - schopnost prezentovat názory nezávisle na ostatních (nepodléhání autoritám), sebekritičnost - schopnost kritické reflexe vlastních názorů, konstruktivnost myšlení, kladný přístup k expertíze - ochota dát k dispozici svoje názory. Mezi základní metody získávání expertních výpovědí patří: anketa - získání výpovědí expertů v písemné formě pomocí dotazníků (expert odpovídá na dotazy obsažené v dotazníku, přičemž tyto dotazy jsou buď uzavřené vyžadující předem formulovanou odpověď, nebo otevřené. Uzavřené otázky se mohou týkat toho, zda určitá hodnota při volbě určité varianty nastane či nenastane. Otevřené otázky umožňují expertovi zpracovat popis předpokládaných hodnot určitých variant), řízený rozhovor - přímé dotazování experta formou rozhovoru, kdy část dotazů je předem připravena a část pak vyplývá z předchozích odpovědí experta, diskuse - stanovení důsledků volby určitých variant skupinou expertů, kdy se diskutují názory jednotlivých expertů a snahou je dospět k jednotnému názoru, delfská metoda - víceetapová procedura ankety se zpracováním a sdělením výsledků expertům, kteří pracují nezávisle na sobě. (Kvantitativní výpovědi expertů z první etapy se statisticky zpracují, tj. stanoví se jejich střední hodnota a medián, resp. kvartily. Tyto statistické charakteristiky se poskytnou jednotlivým expertům, kteří ve druhé etapě mohou, ale nemusí korigovat svoje názory z první etapy. Výpovědi druhé etapy se opět statisticky zpracují a celá procedura se opakuje, až se dospěje ke shodě expertů, resp. ke skupině dvou či tří odlišných názorů). Přednosti i nevýhody jednotlivých metod získávání expertních výpovědí lze najít např. v knize [7]. PŘÍKLAD 1.3. Festival vážné hudby. Jste vedoucím agentury, jež pořádá, mimo jiné, koncerty vážné hudby. Na trhu působíte již několik let a mezi vaše "želízka v ohni" patří jistý konkrétní festival. Na tento festival se sjíždějí pěvecké sbory a orchestry působící u nás i v zahraničí, koncerty se konají v několika lokalitách, kromě děl klasiků, jako jsou Smetana, Dvořák, Janáček, Beethoven nebo Mozart, se hrají i díla moderních skladatelů, např. Bernstein, Copland, Barber, Eben, Hurník aj

18 1 Vícekriteriálnost podstatný rys rozhodování Protože však v loňském roce nebyla návštěvnost festivalu vysoká a příspěvky od sponzorů společně s tržbami z prodeje lístků jen mírně převýšily náklady na pořádání koncertů, nevíte, zda budete v následujících letech festival opět pořádat. Vaším úkolem je: zamyslet se v obecné rovině nad cíli agentury, která pořádá podobné festivaly, a rozčlenit je podle různých hledisek, stanovit cíle, kterých se má pořádáním festivalu dosáhnout, určit, jaká kritéria a které varianty budete muset brát při svém rozhodování o pořádání příštího festivalového ročníku v úvahu. Řešení příkladu: Cíle agentury (obecně) ekonomické cíle: nedosáhnout ztráty, alespoň malý zisk, nemít záporné cash flow, získat co nejvíce sponzorů, neekonomické cíle: zvýšení poptávky po vážné hudbě, předávání odkazů našich předků široké veřejnosti, propagovat jméno ČR, agentury a českého uměleckého světa v zahraničí, seznamovat českou veřejnost s díly současných skladatelů (našich i zahraničních), agentura bude největší společností působící v dané oblasti získat záštitu města a státu. Cíle agentury, kterých se má pořádáním festivalu dosáhnout ekonomické cíle: nedosáhnout ztráty, alespoň malý zisk, nemít záporné cash flow, získat co nejvíce sponzorů, neekonomické cíle: zvýšení poptávky po vážné hudbě, předávání odkazů našich předků široké veřejnosti, propagovat jméno ČR, agentury a českého uměleckého světa v zahraničí, seznamovat českou veřejnost s díly současných skladatelů (našich i zahraničních). Kritéria, která budou hrát roli při rozhodnutí o tom, zda příští rok festival pořá- dostatečné finanční injekce od sponzorů, nákladově přijatelné pronájmy sálů, přislíbení účasti dostatečného množství zahraničních orchestrů a sborů, přijatelný odhad poptávky. dat:

19 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Kontrolní otázky 1: 1. Charakterizujte rozdíly mezi meritorní a procedurální stránkou rozhodování. 2. V čem spočívají odlišnosti normativní a deskriptivní teorie rozhodování? 3. Vyjmenuj a popiš základní prvky rozhodovacího procesu. 4. Charakterizujte požadavky kladené na kritéria hodnocení. 5. Uveďte odlišnosti racionálně-ekonomického a administrativního modelu rozhodování. 6. Charakterizujte 4 kroky VKR. 7. Charakterizujte kvalitu informací v rozhodování a oblasti užití počítačů v rozhodování

20 2 Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami 2 METODY MODELOVÁNÍ PREFERENCÍ MEZI KRITÉRII A VARIANTAMI 2.1 ÚVOD V této kapitole se seznámíte se základními pojmy a instrumenty nezbytnými pro studium vícekriteriálního rozhodování. Základem je pojem relace. Je nezbytné si zvyknout na to, že relace může být mezi nečíselnými hodnotami (např. slovními výrazy špatný, dobrý, výborný apod.) nebo jakýmikoliv konkrétními i abstraktními variantami. Seznámíte se s vlastnostmi relací, které se uplatňují v oblasti vícekriteriálního rozhodování a na jejich základě s pojmy uspořádání a kvaziuspořádání. Budete se také zabývat obecným problémem stanovení optimální varianty. Na základě dominované varianty se seznámíte s hlavním pojmem, kterým je zde pojem nedominovaná varianta. V závěru kapitoly se budete věnovat klasifikaci rozhodovacích problémů úloh rozhodování a rozhodovacích procesů, podle níž je koncipován tento kurz. Jde především o rozdíly chování okolí rozhodovacího systému. To je buď neměnné, deterministické pak hovoříme o rozhodování za jistoty, nebo závisí na pravděpodobnostech stavů okolí jde o rozhodování za rizika, případně je zatíženo neurčitostí nestochastické povahy pak se jedná o rozhodování za neurčitosti. Všechny důležité pojmy budou demonstrovány na příkladech. Tato kapitola vás vybaví základními pojmy a instrumenty nezbytnými pro studium vícekriteriálního rozhodování. Základem je pojem relace. Ten se může zdát dost formální, ale jak se ukáže nejen v této kapitole, ale i později, je to koncept zcela zásadní. Obvykle si pod relací představujeme relaci mezi dvěma čísly: < (menší než), resp. (menší než nebo rovno). Musíte si ale zvyknout na to, že relace může být i mezi nečíselnými hodnotami (např. slovními výrazy špatný, dobrý, výborný apod.) nebo jakýmikoliv variantami. Budeme formulovat vlastnosti relací, které se uplatňují s ohledem na vícekriteriální rozhodování a na jejich základě pojmy uspořádání a kvaziuspořádání. Odtud se dostaneme k pojmu nedominovaného řešení (nedominované varianty) úlohy VKR, který se stane východiskem kompromisního řešení (kompromisní varianty). 2.2 RELACE Relace je jedním ze základních matematických pojmů. Například vám známý pojem funkce je speciálním případem relace. Nás zde bude především zajímat ta interpretace relace, která souvisí se seřazením variant od nejlepší k nejhorší (nebo obráceně), to jest s uspořádáním variant. V následující definici si pod množinou S představte nějakou škálu, např. škálu slovních hodnocení S = {špatný, průměrný, dobrý, výborný}. DEFINICE 2.1. RELACE Nechť S je množina, S S je kartézský součin, tj. množina všech dvojic (u,v), kde us, vs. Podmnožina R S S se nazývá relace na S. Jsou-li dva prvky u,vs spolu v relaci R, označujeme to takto: (u,v)r nebo také takto: u R v. Relace R na množině S se nazývá: reflexivní, jestliže platí: u R u pro každé u S, (2.1)

21 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY symetrická, jestliže platí: u S, v S, u R v potom v R u, (2.2) antisymetrická, jestliže platí: u S, v S, u R v, v R u potom u = v, (2.3) tranzitivní, jestliže platí: u S, v S, w S, u R v, v R w potom u R w, (2.4) úplná, jestliže platí: u S, v S potom u R v a/nebo v R u. (2.5) Relace R na množině S se nazývá částečné uspořádání, jestliže je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Relace R na množině S se nazývá uspořádání, jestliže je reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a úplná. Relace R na množině S se nazývá částečné kvaziuspořádání, je-li reflexivní a tranzitivní. Relace R na množině S se nazývá kvaziuspořádání, je-li reflexivní, tranzitivní a úplná. Relace R na množině S se nazývá částečné kvaziuspořádání, je-li reflexivní a tranzitivní. Relace R na množině S se nazývá kvaziuspořádání, je-li reflexivní, tranzitivní a úplná. Nechť S je konečná množina s n prvky: S = {a 1, a 2,...,a n }, R je relace na množině S. Matice I R = {e ij } typu n n (vytvořená z nul a jedniček) se nazývá incidenční matice relace R, když platí: e ij = 1, jestliže a i R a j, jinak je e ij = 0. PŘÍKLAD 2.1. Klasickým příkladem uspořádané množiny je množina reálných čísel R s relací (tj. menší nebo rovno). V tomto případě tedy je S = R a relace R =. Jak lze snadno ukázat, relace je reflexivní, antisymetrická, tranzitivní i úplná, je to tedy uspořádání na R. Mějme dále S = R n, tj. S je množina n-členných vektorů. Relaci mezi vektory u = (u 1, u 2,...,u n ) S, v = (v 1, v 2,...,v n ) S definujeme obvyklým způsobem (tj. po složkách): u v právě když pro všechna i = 1,2,...,n platí u i v i. (2.6) Snadno se lze přesvědčit, že relace je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní, nikoliv však úplná (Proč? Jsou např. vektory u = (1, 2) a v = (2, 1) v R 2 pomocí relace porovnatelné?). Relace je tedy částečným uspořádáním na R n, avšak není uspořádáním

22 2 Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami PŘÍKLAD 2.2. S je množina o pěti různých prvcích, S = {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 }, R je relace na množině S definovaná incidenční matici: I R = Zjistěte, zda je relace R: a) reflexivní, b) symetrická, c) antisymetrická, d) tranzitivní, e) úplná. Řešení příkladu: Jestliže v i-tém řádku a j-tém sloupci je 1, potom platí a i R a j. Jestliže v i-tém řádku a j- tém sloupci je 0, pak neplatí a i R a j. Ad a) Relace R je reflexivní, neboť podle definice to znamená, že na hlavní diagonále incidenční matice jsou jedničky. Ad b) Relace R není symetrická, neboť např. je a 1 R a 2, avšak neplatí a 2 R a 1. Symetrická relace má symetrickou incidenční matici kolem hlavní diagonály. Ad c) Relace R není antisymetrická, neboť a 2 R a 3, a 3 R a 2, avšak a 3 a 2. Ad d) Relace R není tranzitivní, neboť a 3 R a 4, a 4 R a 5, avšak neplatí a 3 R a 5. Ad d) Relace R není úplná, neboť existují 2 prvky, konkrétně a 3 a a 4, přičemž neplatí ani a 3 R a 4 ani a 4 R a 3. DEFINICE 2.2. INDUKOVANÉ USPOŘÁDÁNÍ Mějme kritérium f, tj. zobrazení množiny variant A do množiny (škály) S, tj. f : A S, a nechť R je relace na S. Relace na A indukovaná kritériem f je definováno takto: Nechť a,b A, potom: a b jestliže f(a) R f(b). (2.7) Slovní interpretace (2.7) je následující: Varianta a je uvažována jako horší než varianta b, jestliže hodnocení varianty a podle kritéria f je horší než hodnocení varianty b. Všimněte si, že indukovaná relace na množině variant A se získá z původní relace R na škále S. Tímto postupem se formalizuje proces získání relace (např. uspořádání) na množině variant za pomocí relace, která je k dispozici na škále hodnotícího kritéria. Následující tvrzení je snadným důsledkem Definice 2.2 a Definice 2.1. Říká, že když na škále daného kritéria je nějaká relace uspořádáním, potom pro varianty obdržíme indukovanou relaci, která je kvaziuspořádáním. To však znamená, že může existovat více stejně hodnocených variant, viz Příklad 2.4. Uvedeme důležité tvrzení, jeho důkaz je pro matematicky nadaného čtenáře snadný a spočívá v ověření vlastnosti kvaziuspořádání u indukované relace

23 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY TVRZENÍ 2.1. Nechť R je relace na S, f : A S. Jestliže R je (částečné) uspořádání na S, potom relace indukovaná kritériem f je (částečné) kvaziuspořádání na A. Ještě jinak řečeno, kritérium f a relace uspořádání na škále S umožňují definovat (indukovat) příslušné (částečné) kvaziuspořádání také na množině variant A. Přitom některé varianty mohou být ohodnoceny stejně, a proto pro relaci neplatí podmínka antisymetrie. Tak tedy, pomocí kritéria f můžeme varianty z množiny A vyhodnocovat, tj. uspořádat (seřadit), tak jak nám to dovoluje relace na škále S. 2.3 ŠKÁLY Jak již bylo řečeno, vyhodnocení variant podle daného kritéria představuje přiřazení každé variantě právě jednoho prvku z množiny S, kterou nazýváme škála (stupnice). Pro účely VKR rozlišujeme 3 základní typy škál: nominální, ordinální a kardinální. Nominální škála S nemá vlastnost uspořádání, tj. není na ní definována žádná relace. Ohodnocení varianty a A podle kritéria f označuje variantu a pouze jejím jednoznačným názvem f(a) S, což znamená že zobrazení f musí být prosté (přiřazení je jednoznačné). Kritérium f : A S nazýváme nominální, jestliže zobrazení f množiny variant A do množiny S je prosté (tj. každým dvěma různým prvkům a, b A odpovídají dva různé obrazy f(a), f(b) S) a S je nominální škála. PŘÍKLAD 2.3. OČÍSLOVÁNÍ VARIANT Nominální kritérium f přiřazuje každé variantě z množiny variant A = {a 1, a 2,..., a n } právě jedno přirozené číslo z množiny 1,2,...,n. Ordinální škála S je uspořádanou množinou, tj. je na ní dána relace R, která je relací uspořádání na S. Ohodnocení všech variant f(a j ) S, j = 1,2,...,n, dovoluje varianty a j úplně uspořádat od nejhorší k nejlepší a toto uspořádání je invariantní vůči rostoucímu monotónnímu zobrazení : S S, tj. složené zobrazení f poskytuje stejné uspořádání variant, jako kritérium f (například po umocnění ohodnocení na druhou, pokud to ovšem lze). Jestliže tedy f(a 1 ) S, f(a 2 ) S, f(a 1 ) R f(a 2 ), potom platí: (f(a 1 )) R (f(a 2 )). Kritérium f : A S nazýváme ordinální (někdy též kvalitativní nebo nečíselné), jestliže S je ordinální škála. Ordinální kritérium umožňuje stanovit pořadí výhodnosti variant, o žádné dvojici však nemůže poskytnout informaci ve smyslu o kolik, resp. kolikrát je jedna varianta z hlediska daného kritéria hodnocení lepší či horší než druhá. PŘÍKLAD 2.4. HODNOCENÍ ŽÁKŮ VE ŠKOLE Hodnocení ve škole na klasifikační stupnici 1, 2, 3, 4, 5 je ordinální škála, číselným stupňům odpovídá slovní hodnocení: výborně, velmi dobře, dobře, dostatečně a nedostatečně. Tyto stupně jsou vzájemně uspořádány, jinak řečeno, na množině slovních hodnocení je dána relace uspořádání. Tím je dána škála. Hodnocení učitelem pak představuje ordinální

24 2 Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami kritérium. Všimněte si, že číselné hodnocení tu není podstatné. Všichni žáci ve třídě (tj. varianty) jsou na konci školního roku v daném předmětu (u daného učitele) uspořádáni od nejlepšího k nejhoršímu. Přitom různí žáci mohou být hodnoceni stejně (tzv. jedničkáři, dvojkaři, atd.), což znamená, že relace mezi žáky (variantami) je kvaziuspořádání (viz k tomu Tvrzení 2.1.). Pokud bychom na číselné hodnocení učitele (tj. udělené známky) aplikovali monotónní rostoucí funkci, např. (x) = x 2, (tj. po umocnění známek na druhou), výsledné uspořádání žáků by se podle tohoto nového kritéria nezměnilo. Jak byste zde přirozeným způsobem formulovali problém vícekriteriálního hodnocení? Odpověď naleznete na konci kapitoly. Kardinální škála S je podmnožinou množiny reálných čísel, tj. S R, včetně jejího přirozeného uspořádání menší rovno, tj.. Kritérium f : A S nazýváme kardinální (někdy též kvantitativní nebo číselné), jestliže S je kardinální škála a f je invariantní vůči lineární transformaci (x) = ax + b, a > 0. Kardinální škála je nejvyšším typem stupnice měření. Může mít podobu stupnice intervalové nebo poměrové. Intervalová škála umožňuje měřit "vzdálenost" mezi dvěma objekty (variantami) z hlediska daného kritéria, tj. určit, o kolik je jeden objekt (varianta) lepší či horší než druhý při přijaté jednotce měření. Velikost této vzdálenosti určuje i velikost preference. Příkladem je teplotní škála ve stupních Celsia. Poměrová škála umožňuje určit, kolikrát je daný objekt (varianta) lepší čí horší podle daného kritéria než jiný objekt. Častým příkladem poměrové škály je jednotkový číselný interval [0,1] R. Obě stupnice předpokládají určit jednotku měření a počátek, který lze u intervalové škály určit arbitrárně (tzv. arbitrární nula ),, u poměrové škály však musí jít o přirozený počátek (tzv. přirozená nula ), vyplývající z vlastností měřeného kritéria. 2.4 OPTIMÁLNÍ ŘEŠENÍ NEDOMINOVANÉ ŘEŠENÍ Poté co jsme se zabývali odděleně jednotlivými prvky problému vícekriteriálního rozhodování se konečně dostáváme k jádru věci, totiž k problému stanovení optimálního rozhodnutí, neboli výběru optimální varianty na základě uvažovaných kritérií. Zrekapitulujme si naši rozhodovací situaci: Máme množinu variant A = {a 1, a 2,...,a n }, a množinu kritérií C = {f 1,f 2,...,f m }, každé kritérium je reprezentováno zobrazením f i : A S i, přitom S i je ordinální nebo kardinální škála s relací i, která je uspořádáním, potom podle Tvrzení 2.1. je relace i indukovaná kritériem f i, kvaziuspořádáním, i = 1,2,...,m. Jestliže pro kritérium f i a dvě varianty a,b A platí a i b, nebo f i (a) i f i (b), potom říkáme, že podle i-tého kritéria varianta a je dominována variantou b, nebo, že varianta b dominuje a podle i-tého kritéria. Varianta, která podle i-tého kritéria dominuje všechny ostatní varianty, se nazývá nejlepší variantou podle i-tého kritéria. Stejně tak varianta, která je dominována podle i-tého kritéria všemi ostatními variantami se nazývá nejhorší variantou podle i-tého kritéria. V naší terminologii pojmenování relací je dominována a dominuje podle i-tého kritéria je potřeba brát spíše ve formálním než významovém slova smyslu. Asi by bylo vhodnější

25 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY namísto dominuje použít je stejně důležitá, nebo dominuje, neboť podle naší terminologie varianta a dominuje a (sebe samu, plyne z reflexivity kvaziuspořádání). To sémanticky nevypadá dobře. Protože jsme pro název naší preferenční relace nenašli vhodnější krátké označení, žádáme laskavého čtenáře, aby výroku: varianta a dominuje variantu b rozuměl ve významu: varianta a je stejně důležitá, nebo dominuje variantu b. Analogický významový posun lze uplatnit pro termín je dominována podle i-tého kritéria. Následující tvrzení říká, že nejlepší varianta podle jediného kritéria vždy existuje, což je snadným důsledkem toho, že příslušná škála je uspořádanou množinou (tj. je na ní dána relace, která je uspořádáním) a také faktu, že množina ohodnocení variant je její konečnou podmnožinou, neboť počet variant je konečný (omezený). TVRZENÍ 2.2. Nechť A = {a 1,a 2,...,a n } je množina variant, a nechť kritérium f je reprezentováno zobrazením f : A S, kde S je škála s relací, která je uspořádáním, dále nechť relace je indukována kritériem f. Potom existuje nejlepší varianta (podle kritéria f). Zásadním předpokladem pro platnost Tvrzení 2.2. je konečnost množiny variant A. Když tento předpoklad vynecháme, pak nejlepší varianta nemusí existovat. Jako příklad si vezměte za množinu A otevřený číselný interval (0,1), tj. interval bez krajních hodnot 0 a 1. Kritérium f je dáno předpisem f(x) = 3x 2 pro x(0,1), S = (0,3) je škála s relací. Je zřejmé, že nejlepší varianta v A neexistuje. Byla by to totiž varianta x = 1, pro ni nabývá f své maximální hodnoty f(1) = 3, ale tato varianta již nepatří do A. V případě, že kritérium je kardinální tj. číselné, pak nejlepší varianta může být varianta s nejvyšší hodnotou tohoto kritéria, pak hovoříme o maximalizačním kritériu. Příkladem může být kritérium zisk. Zde platí: Čím vyšší hodnota, tím lepší. Na druhé straně nejlepší variantou může být varianta s nejnižší hodnotou tohoto kritéria, pak hovoříme o minimalizačním kritériu. Příkladem může být kritérium cena. Zde ovšem platí: Čím nižší hodnota, tím lepší. DEFINICE 2.3. KRITERIÁLNÍ MATICE Nyní uvedeme základní pojem VKR. Pro každé z m kritérií uvažujeme ohodnocení všech n variant: y ij = f i (a j ), i = 1,2,...,m,, i = 1,2,...,n. (2.8) Získáme tak kriteriální matici H = {y ij } typu mn, hodnota y ij S i představuje ohodnocení j-té varianty i-tým kritériem. Pokud je S i R pro všechna i = 1,2,...,m, (například jsou-li všechna kritéria kardinální), potom matice H je obvyklou maticí s reálnými prvky. Jinak může tato matice obsahovat nečíselné hodnoty, např. výborně, velmi dobře, dobře,... Kriteriální matice H představuje základní vstupní informace (data) nezbytná k učinění rozhodnutí, tj. výběru optimální varianty. Další postup vedoucí k výběru optimální varianty pak závisí především na tom, zda máte k dispozici ještě nějaké další informace o rozhodovacím problému, například informace o významnosti jednotlivých kritérií. Doposud jsme výraz optimální uváděli v uvozovkách, neboť jsme ještě neupřesnili, v jakém smyslu máme optimalitu našeho rozhodnutí (varianty) chápat. To nyní napravíme. Nejprve budeme analyzovat situaci, kdy nemáme kromě kriteriální matice o rozhodovacím problému žádné další informace. Konkrétně informace o důležitosti jednotlivých kritérií pro rozhodování nejsou k dispozici, ani je nelze získat, nebo nemá smysl o nich

26 2 Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami uvažovat. Potom lze ovšem od optimálního rozhodnutí (optimální varianty) očekávat, že bude podle všech kritérií nabývat nejlepších hodnot. V reálných rozhodovacích situacích je takové očekávání značně iluzorní, neboť uvažovaná kritéria jsou obvykle protichůdná, a to znamená, že zlepšení ohodnocení jednoho kritéria způsobí zhoršení jiného. Zavádíme proto pojem dominovanosti (podle všech kritérií současně!) a pojem nedominované varianty. DEFINICE 2.4. NEDOMINOVANÁ VARIANTA Nechť a, b A jsou dvě varianty, pro každé kritérium f i : A S i, kde S i je ordinální nebo kardinální škála s relací i, která je uspořádáním, i = 1,2,...,m. Říkáme, že varianta b dominuje variantu a a píšeme a D b, jestliže platí: f i (a) i f i (b) pro každé i = 1,2,...,m (2.9) a alespoň pro jedno kritérium k {1,2,...,m} platí f k (a) f k (b). (2.10) Varianta se nazývá nedominovaná, jestliže v množině rozhodovacích variant neexistuje varianta, která ji dominuje. Symbolem A N značíme množinu všech nedominovaných variant, tj. A N A. TVRZENÍ 2.3. Relace D z Definice 2.4. je částečným kvaziuspořádáním na množině A. Nedominované varianty, tedy prvky z množiny A N nejsou pomocí relace D porovnatelné. Předchozí tvrzení je důsledkem Definice 2.4. a vlastností (2.2) - (2.5) z Definice 2.1. Varianta je nedominovaná, když neexistuje jiná varianta, která ji dominuje podle všech kritérií. Každá jiná varianta musí být dominována alespoň podle jednoho kritéria. Povšimněte si rozdílu mezi pojmy dominovaná podle určitého kritéria a dominovaná (rozuměj podle všech kritérií). Pojem nedominované varianty se zdá být racionálním kandidátem na optimální variantu. V praxi však často takové pojetí nevyhovuje, a to z toho důvodu, že nedominovaných variant bývá (relativně k počtu všech uvažovaných variant) příliš mnoho. Z definice dominance je jasné, že dominované varianty nemají pro optimální rozhodnutí praktický význam, můžeme je proto z dalších úvah vypustit. Vskutku, je-li varianta dominována jinou variantou, pak tato jiná varianta je podle Definice 2.4. lepší podle všech kritérií, a proto můžeme dominovanou variantu z dalších úvah vyloučit. Pro následný, nyní již zúžený výběr optimální varianty, zůstávají tedy pouze nedominované varianty. V dalším textu budeme předpokládat, že všechny uvažované varianty v A jsou nedominované, jinými slovy, že v Kroku 1, jak byl popsán dříve, jsme vypustili všechny dominované varianty. Abychom počet variant dále zredukovali, v ideálním případě až na jeden prvek - optimální variantu, potřebujeme doplňující informace a na ně navazující metody. Výběr konkrétní optimální varianty pak závisí na použité metodě. Potom se namísto pojmu optimální varianta používá název kompromisní varianta. Nejlepší představitelná varianta je varianta, která podle všech kritérií nabývá nejlepšího hodnocení, které může na příslušné hodnotící škále nabýt. Taková varianta se nazývá ideální

27 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY varianta (někdy též zenit). Na druhou stranu můžeme definovat variantu s nejhorším možným ohodnocením, a to bazální variantu (někdy též nadir). Výše uvedená ideální varianta, resp. bazální varianta, jsou absolutní v tom smyslu, že jsou vztaženy k absolutním extrémům, tj. maximálním, resp. minimálním hodnotám kritérií. Takový přístup není vždy praktický, neboť maximální, resp. minimální hodnoty kritérií neexistují, neboť kritéria jsou neomezená shora, resp. zdola (např. pro kritéria zisk nebo cena). V tom případě uvažujeme relativní ideální variantu, resp. relativní bazální variantu, které vztahujeme k nejvyšší, resp. nejnižší hodnotě kritéria dosahované daným kritériem v uvažované skupině variant. Ideální varianta nabývá v každém kritériu nejlepší hodnoty ze všech uvažovaných variant. Podobně bazální varianta nabývá v každém kritériu nejhorší hodnoty ze všech uvažovaných variant. Hovoříme-li nadále o ideální variantě, resp. bazální variantě, máme na mysli vždy relativní ideální, resp. bazální variantu. V reálných rozhodovacích situacích, tj. v množině variant A, se s ideální, resp. bazální variantou, jako variantami, které přicházejí v úvahu pro výběr optimální varianty, prakticky nesetkáváme. Jedná se tudíž o varianty uměle vytvořené, které však mohou být užitečné při stanovení optimální varianty, například tak, že optimální varianta bude od ideální varianty nejméně vzdálena, nebo naopak nejvíce vzdálena od bazální varianty, což nemusí být vždy totéž. Ke stanovení vzdálenosti dvou variant však potřebujeme nástroj, kterým bychom tuto vzdálenost změřili, tzv. metriku. K problému vzdálenosti variant se vrátíme v následující kapitole, až budeme hovořit o metodách pro nalezení optimální varianty úlohy vícekriteriálního rozhodování. PŘÍKLAD 2.5. Nedominované varianty Při výběru digitálního fotoaparátu zvolil kupec (rozhodovatel) v předvýběru 4 varianty fotoaparáty: V 1, V 2, V 3, V 4, které se rozhodl hodnotit pomocí 4 kritérií: k 1 vzhled fotoaparátu (ordinální škála: výborný, dobrý,průměrný, špatný), k 2 cena fotoaparátu (kardinální škála: 0 nebo více Kč), k 3 image výrobce fotoaparátu (ordinální škála: podprůměrný, průměrný, nadprůměrný), k 4 rozlišení fotoaparátu (kardinální škála: 0 nebo více megapixelů). Kriteriální matice úlohy vícekriteriálního hodnocení variant: Varianty/kritéria k 1 k 2 k 3 k 4 V 1 výborný 5000 podprůměrná 3 V 2 dobrý 7500 nadprůměrná 3 V 3 průměrnná 7500 podprůměr- 2 V 4 špatný nadprůměrná 5 a) Která kritéria jsou maximalizační a která minimalizační? b) Najděte dominované varianty. c) Najděte nedominované varianty. d) Nalezněte ideální a bazální varianty

28 2 Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami Řešení příkladu: a) Kardinální kritéria jsou: k 2 a k 4, k 2 (cena) je minimalizační, k 4 (rozlišení) je maximalizační. b) Varianta V 3 je dominována variantou V 1. To znamená, že hodnocení varianty V 3 podle všech kritérií je horší (podle k 1, k 2, k 4 ) nebo stejné (k 3 ) než hodnocení varianty V 1. Podobně varianta V 3 je dominována variantou V 2, což znamená, že hodnocení varianty V 3 podle všech kritérií je horší (podle k 1, k 3, k 4 ) nebo stejné (k 2 ). Jiné dominované varianty neexistují. c) Vzhledem k výsledku úkolu b) jsou varianty V 1, V 2, V 4 nedominované, tedy A N = {V 1, V 2, V 4 }. d) Ideální varianta (relativní) je vytvořena z nejlepších hodnot kritérií daných 4 variant: V Id = (výborný, 5000, nadprůměrný, 5) Bazální varianta (relativní) je vytvořena z nejhorších hodnot kritérií daných 4 variant: V Ba = (špatný, 10000, podprůměrný, 2). 2.5 VLASTNOSTI KOMPROMISNÍCH VARIANT Cílem VKR je počet nedominovaných variant dále zredukovat, v ideálním případě až na jeden prvek - optimální variantu. K tomu potřebujeme doplňující informace a na ně navazující metody. Výběr konkrétní optimální varianty pak závisí na použité metodě. Jak již bylo řečeno, potom se namísto pojmu optimální varianta používá název kompromisní varianta. Je možné představit celou řadu definic kompromisní varianty s různými vlastnostmi. Proto je vhodné shromáždit vlastnosti, které bychom od variant vybraných jako kompromisní, očekávali a potom zkoumat, do jaké míry vybrané kompromisní varianty tyto vlastnosti splňují. Dále je uveden seznam některých vlastností, jejichž splnění by měla kompromisní varianta splňovat: V1: Nedominovanost. Jak již bylo dříve řečeno, kompromisní varianta by měla být nedominovaná, neboť výběr dominované varianty by byl nelogický: všechny hodnoty jejich kritérií jsou horší, přinejlepším stejné, jako u nedominované varianty. V2: Determinovanost. Definice kompromisní varianty musí být taková, že je vždy vybrána nejméně jedna kompromisní varianta. V3: Invariantnost vůči permutacím kritérií. Jestliže se zamění pořadí uvažovaných kritérií (tj. provede se permutace kritérií), kompromisní varianty musí zůstat stejné jako pro kritéria před záměnou. V4: Invariantnost vůči lineární změně měřítka hodnot kritérií. Hodnoty kardinálních kritérií lze vynásobit kladným číslem a přičíst k nim libovolné číslo, přičemž kompromisní varianty musí zůstat stejné jako pro kritéria před změnou

29 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY V5: Nezávislost na přidaném konstantním kritériu. Přidáním kritéria, které nabývá pro všechny varianty stejné (tj. konstantní) hodnoty, k původnímu souboru kritérií, kompromisní varianty musí zůstat stejné jako před přidáním takového kritéria. V6: Invariantnost vůči přidaným nekompromisním variantám. Přidáním další varianty, která není podle použité definice kompromisní, se seznam kompromisních variant nezmění. V7: Jednoznačnost Různé kompromisní varianty musí mít stejné odpovídající hodnoty všech kritérií. Jinak řečeno: pro danou úlohu VKR a zvolenou definici kompromisní varianty neexistují dvě různé kompromisní varianty, které by se lišily v hodnotách některého kritéria. Pokud definici kompromisní varianty formulujeme tak, že kompromisní varianty budou všechny nedominované varianty, pak, jak se lze snadno přesvědčit, jsou splněny podmínky V1 až V6. Jestliže pak existují alespoň dvě různé nedominované varianty, pak ovšem podmínka V7 není splněna. Podmínka V7 představuje proto praktický požadavek, kterým se zúží počet řešení úlohy VKR. V Příkladu si ukážeme některé praktické definice kompromisních variant. PŘÍKLAD 2.6. Kompromisní varianty Při výběru digitálního fotoaparátu zvolil kupec (rozhodovatel) v předvýběru 4 varianty fotoaparáty: V 1, V 2, V 3, V 4, které se rozhodl hodnotit pomocí 4 kritérií se stejnou ordinální škálou : 1, 2, 3, 4; přitom 1 znamená nejnižší hodnocení, 4 nejvyšší hodnocení: h 1 vzhled fotoaparátu (ordinální škála: 1, 2, 3, 4), h 2 cena fotoaparátu (ordinální škála: 1, 2, 3, 4), h 3 image výrobce fotoaparátu (ordinální škála: 1, 2, 3, 4), h 4 rozlišení fotoaparátu (ordinální škála: 1, 2, 3, 4). Kriteriální matice úlohy vícekriteriálního hodnocení variant: Varianty/kritéria h 1 h 2 h 3 h 4 V V V V Pro výběr kompromisní varianty zvolil postupně 2 definice: Definice A (MAX-MIN): Pro každou variantu nalezni kritérium s nejnižším hodnocením. Toto hodnocení si zapamatuj. Kompromisní je ta varianta (eventuálně varianty), pro kterou je zapamatované hodnocení nejvyšší. Definice B (MAX-MAX): Pro každou variantu nalezni kritérium s nejvyšším hodnocením. Toto hodnocení si zapamatuj. Kompromisní je ta varianta (eventuálně varianty), pro kterou je zapamatované hodnocení nejvyšší. a) Najděte dominované a nedominované varianty. b) Najděte kompromisní varianty zvlášť podle Definice A a podle Definice B. c) Které z vlastností V1 až V7 splňují Definice A a které Definice B? d) Je možné použít Definice A a B v příkladu 2.5.? Svoji odpověď zdůvodněte

30 2 Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami Řešení příkladu: a) Varianta V 3 je dominována variantou V 1. To znamená, že hodnocení varianty V 3 podle všech kritérií je horší (podle h 1, h 2, h 4 ) nebo stejné (h 3 ) než hodnocení varianty V 1. Podobně varianta V 3 je dominována variantou V 2, což znamená, že hodnocení varianty V 3 podle všech kritérií je horší (podle h 3, h 4 ) nebo stejné (h 1, h 2 ). Jiné dominované varianty neexistují. Vzhledem k tomuto výsledku jsou varianty V 1, V 2, V 4 nedominované, tedy A N = {V 1, V 2, V 4 }. b) Nejdříve stanovíte minimální hodnoty kritérií pro jednotlivé varianty, tj.: Min V 1 = 2, Min V 2 = 2, Min V 3 = 2, Min V 4 = 1. Pak stanovíte maximální hodnoty kritérií pro jednotlivé varianty: Max V 1 = 4, Max V 2 = 3, Max V 3 = 3, Max V 4 = 4. Nyní podle Definice A je kompromisní variantou každá taková varianta, pro kterou je minimální hodnota největší (tj. maximální). Jak je zřejmé, existují takové varianty tři: V 1, V 2, V 3, neboť všechny nabývají maximální hodnoty, kterou je hodnota 2. Dále podle Definice B je kompromisní variantou každá varianta, pro kterou je maximální hodnota největší (tj. maximální). Jak je zřejmé, existují takové varianty dvě: V 1, V 4, neboť obě nabývají maximální hodnoty, kterou je hodnota 4. c) V1: Nedominovanost podmínka není splněna. Varianta V 3 je dominovaná, přesto byla vybrána jako kompromisní podle Definice A. Podle Definice B byly sice vybrány 2 varianty, které jsou zároveň nedominované, avšak lze se přesvědčit, že vhodnou změnou kriteriální matice je rovněž možné dostat jako kompromisní variantu, takovou variantu, která není nedominovaná zkuste samostatně! V2: Determinovanost podmínka je splněna. Je zřejmé, že jak podle Definice A tak i B je vždy stanovena alespoň jedna kompromisní varianta. V3: Invariantnost vůči permutacím kritérií podmínka je splněna Je zřejmé, že jak podle Definice A tak i B je výsledek nezávislý na pořadí kritérií, neboť výpočet minima (maxima) hodnot kritérií nezávisí na jejich pořadí. V4: Invariantnost vůči lineární změně měřítka hodnot kritérií podmínka není splněna. Hodnoty kardinálních kritérií lze vynásobit kladným číslem a přičíst k nim libovolné číslo, přičemž kompromisní varianty musí zůstat stejné jako pro kritéria před změnou. V5: Nezávislost na přidaném konstantním kritériu podmínka není splněna. Přidáte-li kritérium se stejnými hodnotami, které jsou nižší nebo naopak vyšší, než všechny původní hodnoty kritérií, pak se kompromisní varianty změní jak podle Definice A, tak i podle Definice B

31 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY V6: Invariantnost vůči přidaným nekompromisním variantám podmínka je splněna. Tato podmínka je evidentně splněna. V7: Jednoznačnost podmínka není splněna. Různé kompromisní varianty musí mít stejné odpovídající hodnoty všech kritérií. Toto není splněno ani pro kompromisní varianty podle Definice A, ani podle Definice B. d) Není to možné, neboť v Příkladu 2.5. jsou kritéria hodnocena na různých škálách a není proto možné stanovit společnou minimální nebo maximální hodnotu dané varianty. 2.6 KLASIFIKACE ÚLOH VKR Jedno z nejdůležitějších hledisek při klasifikaci rozhodovacích procesů představuje informace o stavech světa a důsledcích variant vzhledem k jednotlivým kritériím. Tato informace může být buď jednoznačná - deterministická vzhledem k jednoznačnosti stavů světa a hodnot kritérií jednotlivých variant, nebo neúplná - náhodná (stochastická), případně neurčitá (nestochastická). U jednoznačné deterministické informace je výsledkem hodnocení určité varianty podle daného kritéria jediná hodnota (číslo nebo slovní výraz). U nejednoznačné informace je výsledkem hodnocení varianty podle daného kritéria náhodná veličina, je-li informace stochastické povahy, nebo je to fuzzy veličina, je-li informace nestochastické povahy. Přitom stochastickou povahu jevu spojujeme s neomezenou opakovatelností tohoto jevu. Nestochastickou povahu pak mají neopakovatelné jevy nebo jevy jež mají neurčitý význam. V souladu se zavedenou klasifikací, viz např. [7], v prvním případě hovoříme o rozhodování za jistoty, ve druhém případě o rozhodování za rizika, nebo rozhodování za nejistoty nebo neurčitosti. Přitom rozhodování za rizika odlišujeme od rozhodování za nejistoty nebo neurčitosti podle toho, zda známe příslušné pravděpodobnostní rozdělení, nebo jej alespoň v principu můžeme zjistit. Pokud rozdělení pravděpodobnosti neznáme a nelze jej ani zjistit, jedná se o rozhodování za nejistoty nebo neurčitosti. Tyto metody rozhodování mohou být založeny na teorii možnosti a teorii fuzzy množin. PŘÍKLAD 2.7. HODNOCENÍ DIGITÁLNÍCH FOTOAPARÁTŮ - VK HODNOCENÍ ZA JISTOTY Variantami jsou digitální fotoaparáty, které jsou v současnosti k dispozici na našem trhu (např. na sekce Foto, cca 150 variant, kritéria: cena, vzhled, technické parametry rozlišení, úhlopříčka LCD, nejkratší expozice, hmotnost aj.). Vzhledem k aktuální možné realizaci jsou okolní podmínky a hodnoty kritérií pro jednotlivé varianty deterministické konstantní. Za těchto podmínek je úkol rozhodnout se pro výběr jediné optimální z mnoha (150) variant úlohou VKH za jistoty

32 2 Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami PŘÍKLAD 2.8. HODNOCENÍ INVESTIČNÍCH VARIANT -VK HODNOCENÍ ZA RIZIKA Variantami jsou 3 typy investice do výrobního zařízení (stroje) ve 3 verzích: malá, střední, velká. Kritéria jsou: maximální výkon zařízení, cena zařízení, výše úvěru, doba splácení, celkový zisk, výrobní náklady na jednotku produkce aj. Některá jmenovaná kritéria jsou deterministické povahy, jiná kritéria (vyznačená tučně) jsou rizikové povahy: výsledek jejich hodnocení závisí na ekonomické situaci země v době po uvedení investice do provozu (jde o konkrétní závislost na poptávce po vyráběném produktu). Zde uvažujeme 3 scénáře: ekonomická recese, stagnace a ekonomický růst. V závislosti na těchto scénářích obdržíme různé hodnoty rizikových kritérií pro dané 3 varianty. Hovoříme o rizikových kritériích z toho důvodu, že předpokládáme znalost pravděpodobnostních odhadů (Pr) výskytu uvedených scénářů: např. Pr(recese) = 25%, Pr(stagnace) = 45%, Pr(růst) = 30%. (Celková pravděpodobnost = 100%.) Za těchto podmínek je úkol rozhodnout se pro realizaci jediné optimální ze tří variant úlohou VKH za rizika. PŘÍKLADY 2.9. VK HODNOCENÍ ZA NEJISTOTY Uvažujte stejnou rozhodovací situaci jako v předchozím Příkladu 2.8. s tím rozdílem, že neznáte pravděpodobnostní odhady jednotlivých scénářů a nemáte ani možnost je seriózně zjistit. Musíte se tedy obejít bez pravděpodobnostních odhadů realizace scénářů. Za těchto podmínek je úkol rozhodnout se pro realizaci jediné optimální ze tří variant úlohou VKH za nejistoty. PŘÍKLADY VK HODNOCENÍ OSOBNÍCH AUTOMOBILŮ ZA NEURČITOSTI Variantami jsou automobily střední třídy v současnosti na trhu v ČR (např. Škoda Superb, Toyota Avensis, VW Pasat, Honda Accord aj., viz např. Mezi kritéria hodnocení patří cena, některé technické parametry (spotřeba, výkon motoru, maximální rychlost aj.), estetické hledisko design a jízdní komfort. Některá jmenovaná kritéria jsou opět deterministické povahy (např. technické parametry jsou dány), jiná kritéria (vyznačená tučně) jsou neurčité povahy: výsledek jejich hodnocení není pro rozhodovatele jednoznačný, ale nemá pravděpodobnostní povahu. Např. u hodnocení designu metodou párového porovnání variant při posuzování dvojice variant: Škoda Toyota, můžeme být nerozhodní, zda má Toyota lepší design než Škodovka, nebo má mnohem lepší design tj. vyšší hodnotící stupeň na škále kritéria Design. V takovém případě lze k hodnocení použít teorii fuzzy množin a neurčitost modelovat pomocí tzv. subjektivní funkce příslušnosti fuzzy množiny. Podobnými přístupy se budete zabývat v závěru kurzu. Za těchto podmínek úkol rozhodnout se pro nákup jediného optimálního automobilu je úlohou VKH za neurčitosti. V případě rozhodování za jistoty, kterým se budeme věnovat zpočátku, budeme metody rozhodování členit podle toho, jaké informace (tedy deterministické informace) o kritériích, jejich důležitostech (tj. vahách) jsou k dispozici. Informace o důležitosti (významnosti) kritérií buď nejsou vůbec k dispozici, nebo jsou k dispozici ordinální informace o kritériích tj. kri

33 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY téria jsou uspořádána podle důležitosti, případně jsou k dispozici kardinální informace o kritériích ve formě vah. Jak již bylo dříve řečeno, kritéria samotná mohou být nominální, ordinální nebo kardinální. Zde se jedná o způsoby hodnocení variant podle jednotlivých kritérií. Také se budeme zabývat metodami stanovení vah důležitostí kritérií v případě, kdy tyto nejsou zprvu k dispozici. Pomocí dodatečných nepřímých informací je pak možné tyto váhy stanovit. Samostatný úkol: Hodnocení praček Nalezněte informace o 20 pračkách s předním plněním, které jsou k určitému datu na prodej v internetovém obchodě Zvolte 4 kritéria relevantní pro zákazníka rozhodovatele pro všechny uvedené pračky varianty. Vytvořte tabulku v Excelu, kde varianty jsou v řádcích a kritéria ve sloupcích. Formulujte úlohu vícekriteriálního hodnocení praček s předním plněním. Která kritéria jsou ordinální a která kardinální (maximalizační, minimalizační). Marketingovou cenu zaokrouhlete nahoru na stokoruny. Zjistěte, co znamená kritérium Energetická třída a jaká je škála hodnocení. Mezi variantami nalezněte množinu nedominovaných variant, vypusťte z tabulky dominované varianty. Kontrolní otázky 2: 1. Jaký je rozdíl mezi symetrickou a antisymetrickou relací? 2. Charakterizujte rozdíl mezi uspořádáním a kvaziuspořádáním. 3. Charakterizujte rozdíl mezi uspořádáním a částečným uspořádáním. 4. Charakterizujte rozdíl mezi nedominovanou variantou a kompromisní variantou. 5. Musí být nedominovaná varianta vždy kompromisní? 6. Charakterizujte rozdíly při rozhodování za rizika, nejistoty a neurčitosti. 7. Vyjmenujte a charakterizujte 7 vlastností kompromisní varianty. Příklad Zadání pro danou rozhodovací úlohu je vždy obsaženo v příslušné tabulce, která pracuje s kritérii K1, K2,..., Kn a variantami V1, V2,..., Vm. Nad každým kritériem je uvedeno, zda jde o kritérium maximalizační ( Max ) nebo minimalizační ( Min ). Pokud jde o kritérium, které nehodnotí varianty číslem, ale kategorií, je rovněž uvedeno uspořádání těchto kategorií na příslušné škále onoho kritéria (operace < má přirozený význam známý z teorie reálných čísel). Pro každou z těchto úloh najděte nedominované varianty

34 2 Metody modelování preferencí mezi kritérii a variantami a) Min Max K1 K2 K3 K4 V1 10 a h1 4 V2 20 c h2 5 V3 20 b h2 5 V4 10 b h1 5 V5 10 c h1 4 a < b < c, h1 < h2 < h3 < h4 b) Min Max K1 K2 K3 K4 V1 10 * G1 6 V2 9 *** G2 5 V3 20 ** G2 6 V4 10 ** G1 5 V5 10 *** G3 4 c) * < ** < ***, G1 < G2 < G3 < G4 Min Max Min Max K1 K2 K3 K4 V V V V V d) Max Min Min Max K1 K2 K3 K4 V V V V V

35 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Řešení a) Dominované: V1, V3, Nedominované: V2, V4, V5. b) Dominované: V4, Nedominované: V1, V2, V3, V5. c) Dominované: V4, V5, Nedominované: V1, V2, V3. d) Dominované: V1, V2, Nedominované: V3, V4, V

36 3 Metody VKH s nominálními a ordinálními informacemi 3 METODY VKH S NOMINÁLNÍMI A ORDINÁLNÍMI INFORMACEMI 3.1 ÚVOD Problém vícekriteriálního rozhodování vychází z těchto východisek: Je dána množina variant A, množina kritérií C, každé kritérium je reprezentováno zobrazením f i : A S i. Toto zobrazení přiřazuje každé variantě nějakou hodnotu ze škály S i, přitom S i je ordinální nebo kardinální škála s relací, která je uspořádáním. Relace indukovaná kritériem f i na A je potom kvaziuspořádáním. Předpokládáme dále, že množina A obsahuje pouze nedominované varianty. Mezi těmito variantami se má vybrat kompromisní varianta. Vzhledem k tomu, že kompromisní varianta je zároveň nedominovaná, potom v případě, že ji zaměníme za jinou nedominovanou variantu, pak tato nová varianta bude mít podle některých kritérií ohodnocení lepší, podle jiných kritérií bude mít ohodnocení horší, než původní varianta. Postup při výběru kompromisní varianty pak závisí na tom, jaké další informace o charakteru, resp. důležitosti jednotlivých kritérií jsou k dispozici. Intuitivně se zdá oprávněné, aby kompromisní varianta nabývala co možná nejlepších ohodnocení podle nejdůležitějších kritérií. K tomu ovšem je zapotřebí znát relativní důležitost jednotlivých kritérií tzv. váhy. Metody stanovení vah z různých typů informací o charakteru důležitosti kritérií mají zásadní význam pro další postup VKH. V této kapitole se budeme zabývat metodami vícekriteriálního rozhodování, které budou rozčleněny do 3 hlavních skupin podle typu informací, které jsou o kritériích známy. Jsou to nominální informace, kdy známe pouze názvy kritérií, dále ordinální informace, kdy jsou kritéria vzájemně uspořádána (podle důležitosti) a konečně kardinální informace, kdy je znám i relativní podíl z celkové důležitosti každého kritéria. Tato informace je dána ve formě tzv. vah, což je pojem, který jsme zavedli již v kapitole 1. Rozdělení metod do jednotlivých skupin není samoúčelné. Dává totiž možnost pochopit rozdílné typy rozhodovacích úloh z pohledu různé kvality informací, které jsou k dispozici, a na základě toho pak zvolit správnou metodu VKH. Nesprávná volba metody může totiž způsobit nesprávnou interpretaci výsledného řešení a tudíž špatné rozhodnutí. Jednodušší metody lze sice použít na složitější rozhodovací problémy, tj. úlohy s komplexnější informací, avšak při určité ztrátě výchozí informace, která pak přenesena do řešení může poskytnout příliš zjednodušené výsledky. 3.2 KLASIFIKACE METOD PODLE INFORMACÍ O KRITÉRIÍCH Na množinu kritérií C = {f 1, f 2,..., f m } budeme nyní pohlížet, jako by to byla množina variant v novém rozhodovacím problému s jediným kritériem G, jímž je hlavní cíl našeho rozhodovacího problému, tj. výběr kompromisní varianty z A. Další informace o kritériích budeme dále formulovat jako informace o typu kritéria G, které podobně jako dříve ztotožňujeme se zobrazením množiny C do nějaké škály S, tj. G : C S. Opět rozlišujeme 3 typy kritéria G, tj. 3 druhy informací o variantách z množiny C. Jinak řečeno, uvažujeme 3 typy informací o kritériích f 1,f 2,...,f m, což vede k vyšetřování 3 skupin metod vícekriteriálního rozhodování: metody s nominální informací o kritériích, metody s ordinální informací o kritériích, metody s kardinální informací o kritériích. V této kapitole se budeme zabývat prvními dvěma skupinami metod, v následujících kapitolách pak třetí skupině. Dále se v této kapitole budeme věnovat metodám stanovení kar

37 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY dinálních informací o kritériích, tj. stanovení vah kritérií metodám skalarizace ordinálních informací o kritériích, a to zejména na základě párového porovnání. Hned na počátku je nutné říci, že se v tomto textu nejedná o vyčerpávající přehled existujících metod VKH, literatura na toto téma je značně rozsáhlá, viz např. monografie [14], [28] aj., v češtině byly publikovány práce [5], [13], [25] aj. Jde nám zde především o sjednocující pohled, který usnadňuje pochopení hlavních principů a přístupů k vícekriteriálnímu rozhodování při zdůraznění výchozích předpokladů jejich použití a také výhod, resp. nevýhod jejich aplikace. 3.3 METODY S NOMINÁLNÍ INFORMACÍ O KRITÉRIÍCH Metoda stejné důležitosti Nominální informace neříká o kritériích nic víc, než jejich jména. Nastává vlastně situace z kapitoly 2.3., kdy nemáme kromě kriteriální matice o rozhodovacím problému žádné další informace. Konkrétně nejsou k dispozici informace o důležitosti jednotlivých kritérií, ani je nelze získat, nebo nemá smysl o nich uvažovat, kritéria nelze uspořádat podle důležitosti, natož jim přidělit číselné váhy, které by vyjadřovaly jejich relativní významnost pro rozhodování. V této situaci se často používá tzv. technika stejné důležitosti, kdy kritéria při nedostatku informace považujeme za stejně důležitá (to se týká ordinálních kritérií), eventuálně jim přiřadíme stejné váhy (u kardinálních kritérií). Další postup spočívá v použití některé metody s ordinální, resp. kardinální informací o kritériích, kterými se budeme zabývat později. Jiný přístup však nabízí metoda aspirační úrovně Metoda aspirační úrovně Aspirační úroveň pro kritérium f je hodnota, kterou musí kritérium f pro danou variantu minimálně dosáhnout, aby ta mohla být považována za kompromisní. Metoda aspirační úrovně při neznalosti informací o důležitosti kritérií vyžaduje alespoň znalost aspirační úrovně i S i pro každé kritérium f i C. Za kompromisní variantu se vybere ta varianta a A, pro niž platí: i i f i (a) pro všechna kritéria i = 1,2,...,m. (3.1) Pokud variant splňujících (3.1) je příliš mnoho, pak je aspirační úroveň nastavena příliš nízko. Potom můžeme některé, případně všechny aspirační úrovně zvýšit a opět hledat kompromisní variantu, která splňuje (3.1), tentokrát se zvýšenými hodnotami i. Na druhou stranu, pokud pro danou aspirační úroveň neexistuje žádná varianta splňující (3.1), pak je zapotřebí některé, případně všechny, aspirační úrovně snížit a opět hledat kompromisní variantu. Tento postup lze opakovat tak dlouho, dokud není dosaženo přijatelně malého počtu kompromisních variant, v ideálním případě varianty jediné. Nalezení všech kompromisních variant splňujících (3.1) nebývá v praxi složitý algoritmický problém, neboť se jedná jen o prověření platnosti jednoduché podmínky (3.1) na konečné množině variant pro konečný počet kritérií. Při použití běžného počítače řešení takové úlohy není ani výpočetním problémem, pokud snad počty variant n a kritérií m nejsou astronomicky velká čísla, což nebývá zvykem. Avšak pozor, v některých praktických úlohách se takové astronomické počty variant vyskytují, např. může být n = a potom všechny varianty nelze prozkoumat nejrychlejším představitelným počítačem ani za milióny let

38 3 Metody VKH s nominálními a ordinálními informacemi PŘÍKLAD 3.1. METODA ASPIRAČNÍ ÚROVNĚ Mějme množinu 5 variant A = {a, b, c, d, e}, množinu 2 kritérií C = {f 1, f 2 }, škály S 1 = S 2 = { špatný, slabší, průměrný, dobrý, výborný, skvělý }. Kritérium f 1 : A S 1 přiřazuje jednotlivým variantám hodnoty ze škály takto: f 1 (a) = špatný, f 1 (b) = špatný, f 1 (c) = průměrný, f 1 (d) = skvělý, f 1 (e) = výborný. Kritérium f 2 : A S 2 přiřazuje jednotlivým variantám hodnoty ze škály takto: f 2 (a) = dobrý, f 2 (b) = výborný, f 2 (c) = průměrný, f 2 (d) = špatný, f 2 (e) = slabší. Na škále S 1 i S 2 je definována relace uspořádání: špatný slabší, slabší průměrný, průměrný dobrý, dobrý výborný, výborný skvělý, ostatní vztahy lze doplnit z vlastností reflexivity, antisymetrie a tranzitivity. Nedominované varianty jsou čtyři, konkrétně A N = {b, c, d, e}, neboť varianta a je dominovaná variantou b, jak lze snadno ověřit. Zpočátku stanovíme aspirační úrovně takto: 1 = 2 = slabší. Vztah (3.1) pro i = 1,2 splňují dvě varianty: c, e, které vybereme jako kompromisní. Chceme však získat jedinou kompromisní variantu, proto zvýšíme aspirační úrovně: 1 = 2 = dobrý. Vztah (3.1) nyní ale nesplňuje žádá varianta, snížíme proto aspirační úroveň pro kritérium f 2 : 1 = průměrný, 2 = průměrný. Těmto aspiračním úrovním vyhovuje právě jedna kompromisní varianta: c. 3.4 METODY S ORDINÁLNÍ INFORMACÍ O KRITÉRIÍCH Připomeňme, že na množinu kritérií C = {f 1, f 2,...,f m } pohlížíme, jako by byla množinou variant v novém rozhodovacím problému s jediným kritériem G, kterým je hlavní cíl našeho rozhodovacího problému, tj. výběr kompromisní varianty z A. Další informace o kritériích budeme nyní formulovat jako informace o typu kritéria G, které podobně jako dříve ztotožňujeme se zobrazením množiny C do škály S, tj. G : C S, jež je však nyní ordinální škálou. V souladu s předchozím výkladem to znamená, že ohodnocení G(f i ) S lze seřadit podle důležitosti a indukovaná relace G je kvaziuspořádáním. Kritéria f i dokážeme podle relace G seřadit od nejdůležitějšího (nejvýše hodnoceného) k nejméně důležitému, přitom některá kritéria mohou být ohodnocena stejně. Samotná kritéria f i jsou typu ordinálního nebo kardinálního, f i : A S i, přitom S i je ordinální nebo kardinální škála s relací i, která je uspořádáním, i = 1,2,...,m. Lexikografická metoda vychází z principu, že největší vliv na výběr kompromisní varianty má nejdůležitější kritérium. Teprve v případě, kdy existuje více variant, které jsou podle nejdůležitějšího kritéria ohodnocena stejně, přichází v úvahu druhé v pořadí nedůležitější kritérium. Pokud ani to nevybere jedinou variantu, přichází na řadu třetí nejdůležitější kritérium, atd. Algoritmus se zastaví buď tehdy, když je v některém kroku vybrána jediná varianta, ta je potom variantou kompromisní, anebo se zastaví po vyčerpání všech uvažovaných krité

39 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY rií. Za kompromisní varianty jsou pak označeny ty, které zůstaly stejně ohodnoceny po zařazení posledního kritéria. Ordinální informace o kritériích dovolují, jak bylo uvedeno výše, aby kritéria f i C byla podle relace G seřazena od nejdůležitějšího (nejvýše hodnoceného) k nejméně důležitému. Přitom je možné, že některá kritéria jsou ohodnocena stejně, proto seřazení podle relace G nemusí být jednoznačné. To je určitý nedostatek lexikografické metody, která tak může poskytovat při různých seřazeních stejně ohodnocených kritérií různé výsledné optimální varianty. To je jedním z důvodů k používání jiných metod, nejčastěji metod skalarizace (někdy též kardinalizace) ordinální informace o kritériích. PŘÍKLAD 3.2. LEXIKOGRAFICKÁ METODA Mějme množinu 4 variant A = { b, c, d, e}, množinu 3 kritérií C = {f 1, f 2, f 3 }, škály S 1 = S 2 = S 3 = { špatný, průměrný, dobrý, výborný }. Kritérium f 1 : A S 1 přiřazuje jednotlivým variantám hodnoty ze škály takto: f 1 (b) = špatný, f 1 (c) = průměrný, f 1 (d) = výborný, f 1 (e) = výborný. Kritérium f 2 : A S 2 přiřazuje jednotlivým variantám hodnoty ze škály následovně: f 2 (b) = výborný, f 2 (c) = průměrný, f 2 (d) = špatný, f 2 (e) = průměrný. Kritérium f 3 : A S 3 přiřazuje jednotlivým variantám hodnoty ze škály: f 3 (b) = výborný, f 3 (c) = výborný, f 3 (d) = průměrný, f 3 (e) = špatný. Na škálách S 1, S 2 a S 3 je definována relace uspořádání : špatný průměrný, průměrný dobrý, dobrý výborný, ostatní vztahy lze doplnit z vlastností uspořádání, zejména reflexivity, antisymetrie a tranzitivity. Kritéria jsou uspořádána podle významnosti pro konečné rozhodnutí takto (f 1 je nejvýznamnější, f 2 je druhé nejvýznamnější, f 3 je nejméně významné): f 1 G f 2 G f 3. Při použití lexikografické metody vybereme v prvním kroku podle nejvýznamnějšího kritéria f 1 varianty d a e. Ve druhém kroku vybrané varianty srovnáme podle druhého nejdůležitějšího kritéria f 2, v tomto případě vybereme pouze variantu e a algoritmus se zastaví. Vybranou variantu e pokládáme za kompromisní variantu v našem rozhodovacím problému. 3.5 METODY SKALARIZACE ORDINÁLNÍCH INFORMACÍ O KRITÉRIÍCH Metody skalarizace patří k velmi často používaným metodám a představují různé přístupy, pomocí nichž se z ordinální informace o kritériích stane informace kardinální, umožňující nejen seřazení kritérií podle významnosti, ale i stanovení relativních významností jednotlivých kritérií v podobě vah. Vstupem pro metodu skalarizace ordinálních informací o kritériích jsou seřazená kritéria f i podle relace G, nebo-li podle relace uspořádání G aplikované na ohodnocení G(f i ) S. Výstupem metody skalarizace jsou váhy v i jednotlivých kritérií f i [0,1], tj. kladná čísla menší než jedna, pro něž platí v i = 1. Získané váhy umožňují použití metod s kardinálními informacemi o kritériích, jimž je věnována následující kapitola. Předesíláme, že mezi metody

40 3 Metody VKH s nominálními a ordinálními informacemi skalarizace se zařazují metody párového porovnání, z nichž tzv. metoda vlastního vektoru, známá též jako Saatyho metoda, je jedním ze základních stavebních kamenů metodologie AHP (Analytický Hierarchický Proces). Metoda pořadí je všeobecně známý postup, kterým se nejprve podle relace G seřadí kritéria f i, i = 1,2,...,m, od nejhoršího k nejlepšímu. Nejhoršímu kritériu, označíme jej f 1, se přiřadí ohodnocení w 1 = 1, tedy pořadí daného kritéria. Druhému nejhoršímu kritériu, označíme jej f 2, se přiřadí ohodnocení - pořadí w 2 = 2, atd., až nejlepšímu kritériu, označíme jej f m, se přiřadí ohodnocení w m = m. V případě stejně hodnocených kritérií se všem stejně ohodnoceným kritériím přiřadí ohodnocení, které je aritmetickým průměrem příslušných pořadí. Součet nových ohodnocení dává s = w i = m(m+1)/2. Váhu v i kritéria f i pak definujeme takto: v i = w i / s. (3.2) Snadno se lze přesvědčit, že pro váhy v i platí podmínka v i = 1. Konstrukce vah pomocí (3.2) odpovídá intuici v tom smyslu, že důležitější kritéria mají větší váhu. Na druhou stranu metoda pořadí nepostihuje eventuální rozdílnost v intenzitě důležitosti jednotlivých kritérií. To je v definici vah (3.2) vyjádřeno skutečností lineárního růstu vah spolu se vzrůstající významností kritérií. Tento přístup připomíná techniku stejné důležitosti popsanou na počátku kapitoly. Nemáte-li informace o intenzitě přírůstku významností kritérií, aplikujte vždy stejný přírůstek. V případě, že jste schopni kromě pořadí kritérií přinést i informaci o intenzitách významností jednotlivých kritérií, např. přidělováním bodů z nějaké číselné škály, můžete výše zmíněnou vlastnost lineárně rostoucích vah zreálnit bodovací metodou. Nejprve se však podívejme na následující příklad. PŘÍKLAD 3.3. METODA POŘADÍ Mějme množinu 3 kritérií C = {f 1, f 2, f 3 } z Příkladu 3.2. Kritéria jsou uspořádána podle významnosti pro konečné rozhodnutí takto: f 1 G f 2 G f 3. Stanovíme váhy kritérií metodou pořadí. Nejprve seřadíme kritéria od nejhoršího k nejlepšímu: f 3 G f 2 G f 1, pak jim přiřadíme pořadí w i : w 3 = 1, w 2 = 2, w 1 = 3. Dále je s = 3.4/2 = 6 a váhy v i kritérií f i definujeme podle (3.2): v 1 = 3/6 = 0,500, v 2 = 2/6 = 0,333, v 3 = 1/6 = 0,167. Bodovací metoda se v zásadě liší od metody pořadí jen v tom, že se seřazeným kritériím f i přiřazují bodová ohodnocení w i na předem zvolené stupnici - škále (např. intervalu 0 až 10). Bodová hodnocení musí splňovat podmínku 0 w 1 w 2... w m. Součet všech ohodnocení označíme s = w i. Váhu v i kritéria f i potom definujeme takto: v i = w i / s. (3.3) Bodovací metoda má na rozdíl od metody pořadí určitou nevýhodu v tom, že do ní vnášíme novou informaci kardinálního typu. Tento fakt ji zařazuje spíše mezi metody s kardinální informací o kritériích. Podívejme se na následující příklad

41 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY PŘÍKLAD 3.4. BODOVACÍ METODA Ke stanovení vah kritérií z příkladu 3.3 použijeme nyní bodovací metodu. K tomuto účelu ovšem potřebujeme doplňující informaci o bodovém hodnocení kritérií na nějaké škále. Pro tento účel použijeme hodnotící škálu 1 až 10 bodů s tím, že významnost kritéria f 1 na této škále hodnotíme w 1 = 8 bodů, významnost kritéria f 2 hodnotíme w 2 = 5 bodů a významnost kritéria f 3 hodnotíme w 3 = 3 bodů. Celkový součet bodů s = = 16. Váhy v i kritérií f i definujeme podle (3.3) takto: v 1 = 8/16 = 0,500, v 2 = 5/16 = 0,312, v 3 = 3/16 = 0,188. Kontrolní otázky a (řešené) úkoly 3: 1. Uveďte příklad metody řešení úlohy s nominální informací o kritériích. 2. Jaký je základní rozdíl mezi informací o kritériích v úloze řešené lexikografickou metodou a v úloze řešené metodou aspirační úrovně? 3. Co znamená pojem skalarizace? 4. V čem je rozdíl mezi bodovací metodou a metodou pořadí? Kdy se tyto metody užívají? 5. Uveďte nějakou nevýhodu metody aspirační úrovně. 6. Dá lexikografická metoda vždy jednoznačný výsledek? Vysvětlete. 7. Vysvětlete pojem nominální, ordinální a kardinální informace o kritériích. 8. V následující úloze najděte nedominované varianty (první dvě kritéria jsou maximalizační, druhá dvě kritéria jsou minimalizační): max max min min Fotoaparát Pixely (miliony) Zoom Hmotnost (kg) Cena (Kč) Nikon F5 8,9 21 1, Olympus X200 6,5 8 0, Sony F , Canon EOS ,

42 3 Metody VKH s nominálními a ordinálními informacemi 9. Uspořádejte varianty lexikografickou metodou při následujícím uspořádání důležitosti kritérií: a) K1>K3>K2>K4, b) K2>K1>K3>K4, c) K3>K2>K1>K4, d)k3>k1>k2>k4 max max min min Fotoaparát K1-Pixely K2-Zoom K3-Hmotnost K4-Cena Canon D1 8,9 24 2, Nikon F5 8,9 21 1, Olympus X200 6,5 8 1, Sony F725 6,5 8 1, Canon EOS , Pentax , Ohodnoťte varianty metodou pořadí. Uspořádání na škálách kritérií jsou tato: základní < učňovský obor < středoškolské < vysokoškolské < postgraduální; [0,2) < [2,5) < [5,10) < [11,15) < 15+; podprůměrná < slabší < průměrná < lehce nadprůměrná < nadprůměrná. Pracovník Vzdělání Praxe Prezentace P1 základní [5,10) nadprůměrná P2 středoškolské 15+ průměrná P3 učňovský obor [11,15) lehce nadprůměrná P4 vysokoškolské [2,5) slabší P5 postgraduální [0,2) podprůměrná Řešení úloh 8-10: 8) Nedominované varianty jsou varianty Nikon a Canon, ostatní jsou dominované. 9) Pořadí lexikografickou metodou od nejlepší po nejhorší: a) Pentax, Canon EOS, Nikon, Canon D1, Olympus, Sony; b) Canon D1, Nikon, Pentax, Canon EOS, Olympus, Sony; c) Olympus, Sony, Nikon, Pentax, Canon EOS, Canon D1; d) = c). 10) Ohodnocení vzhledem ke vzdělání: P1 = 1/15, P2 = 3/15, P3 = 2/15, P4 = 4/15, P5 = 5/15. Ohodnocení vzhledem k praxi: P1 = 3/15, P2 = 5/15, P3 = 4/15, P4 = 2/15, P5 = 1/15. Ohodnocení vzhledem k prezentaci: P1 = 5/15, P2 = 3/15, P3 = 4/5, P4 = 2/15, P5 = 1/

43 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 4 METODY PÁROVÉHO POROVNÁNÍ 4.1 ÚVOD Metody párového porovnání jsou založeny na principu využití ordinální informace uložené v párovém porovnání dvojic kritérií ke stanovení vah kritérií. Ve své klasické podobě využívají metody párového porovnání, např. metoda Fullerova trojúhelníku, pouze ordinální informaci ve tvaru, ve kterém pro každou dvojici kritérií f, f * C platí f G f * a/nebo f * G f. Přitom G je relace na množině C všech kritérií. O této relaci se předpokládá, že je reflexivní a úplná, může být antisymetrická, avšak nepředpokládá se, že je tranzitivní. Počet všech párových porovnání je roven číslu: N = m m( m 1) 2 2. (4.1) Další metody párového porovnání, např. Saatyho metoda, již vnášejí do procesu dodatečnou informaci kardinální povahy, kterou vyjadřují stupeň intenzity platnosti relace G mezi porovnávanými kritérii na předem zvolené škále (např. Saatyho metoda používá škálu 1 až 9). Tím se tyto metody spíše zařazují k metodám s kardinální informací o kritériích. 4.2 METODA FULLEROVA TROJÚHELNÍKU Fullerův trojúhelník je schéma trojúhelníkového tvaru, viz níže, ve kterém jsou pod sebou ve dvou řádcích uvedeny postupně dvojice porovnávaných kritérií pro jednoduchost očíslovaných 1 až m. Nevyžaduje se, aby byla kritéria uspořádána podle významnosti. V prvním ze dvojice řádků je uvedeno opakovaně vždy stejné číslo kritéria, ve druhém jsou uvedena postupně všechna kritéria s vyššími čísly označení. Tímto způsobem jsou ve schématu zachyceny všechny porovnávané dvojice kritérií. V každé porovnávané dvojici f, f * se označí (např. rámečkem) významnější kritérium, např. f *. Pro toto kritérium platí f * G f. U této verze metody předpokládáme, že relace G je reflexivní, antisymetrická a úplná, což prakticky znamená, že v každé porovnávané dvojici prvků je orámován právě jeden prvek. Všimněte si, že nepředpokládáme tranzitivitu relace G. Konstrukce výsledných vah probíhá následovně: Pro každé kritérium f i C se stanoví počet preferencí tohoto kritéria nad ostatními kritérií (tj. počet orámovaných i ), tento počet označíme n i. Celkový počet porovnávaných dvojic (tedy celkový počet orámovaných kritérií) je roven N = m(m-1)/2. Výsledná váha v i kritéria f i je definována vztahem: v i = n i / N. (4.2) Výše uvedená konstrukce vah je v souladu s intuicí: Čím je kritérium f i významnější, tím je preferováno před větším počtem jiných kritérií, a tím větší má výslednou významnost vyjádřenou vahou v i, což je plně ve shodě se vztahem (4.2). Fullerův trojúhelník můžeme nahradit ekvivalentním schématem ve formě tzv. matice párových porovnání. Matice párových porovnání S je čtvercová matice typu m m

44 4 Metody párového porovnání m m m m-1 m Tab Fullerův trojúhelník Prvek s ij v i-tém řádku a j-tém sloupci je definován následujícím způsobem: s ij = 1, jestliže platí f i G f j, (4.3) s ij = 0, jinak. Protože je relace G reflexivní, pro prvky na hlavní diagonále matice S platí s ii = 1. Fullerův trojúhelník pak odpovídá horní trojúhelníkové submatici v matici párových porovnání nad hlavní diagonálou. Zavedeme následující označení: Symbolem S i označíme součet prvků i-tého řádku matice S, symbolem S j označíme součet prvků j-tého sloupce matice S. Platí tedy: S i =, S j =. Podle konstrukce Fullerova trojúhelníku je zřejmé, že počet preferencí i-tého kritéria, který jsme označili symbolem n i splňuje následující vztah: n i = S i - 1, (4.4) neboť mezi kritéria, která jsou preferována i-tým kritériem, se samotné i-té kritérium nezahrnuje. Popsanou základní verzi metody Fullerova trojúhelníku lze rozšířit i na situaci, kdy relace G není antisymetrická a kdy oba porovnávané prvky hodnotíme stejně. To v dřívější konstrukci Fullerova trojúhelníku nebylo možné: rámečkem jsme označili vždy jen jeden prvek z porovnávané dvojice. Nyní označíme kroužkem oba stejně hodnocené prvky s tím, že každý takový kroužek se počítá v počtu n i jen s hodnotou 1 / 2, zatímco rámečky se počítají s hodnotou 1. Váhy definujeme stejně, jako dříve, tedy podle vztahu (4.2)

45 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY PŘÍKLAD 4.1. FULLERŮV TROJÚHELNIK Následující schéma představuje Fullerův trojúhelník hodnocení významnosti 6 kritérií f i, i = 1,2,...,6. Z těchto údajů stanovíme váhy jednotlivých kritérií. Z Tab stanovíme počty preferencí jednotlivých kritérií (kritéria 3 a 6 jsou hodnocena stejně): n 1 = 2, n 2 = 2, n 3 = 3,5, n 4 = 1, n 5 = 2, n 6 = 4,5. Počet všech porovnávaných párů kritérií je N = 5.6/2 = 15, proto jsou váhy jednotlivých kritérií podle (4.2): v 1 = 2/15, v 2 = 2/15, v 3 = 7/30, v 4 = 1/15, v 5 = 2/15, v 6 = 9/ Tab Fullerův trojúhelník - příklad Pro zajímavost uvádíme ještě matici párových porovnání odpovídající Fullerovu trojúhelníku: S = V následující kapitole se budeme zabývat metodami s kardinální informací o kritériích. Tyto metody budou použitelné na situaci vyšetřovanou v této subkapitole, kdy jsme ordinální informace kardinalizovali, tedy ve skutečnosti jsme kritériím přiřadili další informace, jež v původních informacích chyběly. 4.3 SAATYHO METODA VÝPOČTU VAH Saatyho metodou párového porovnání se budeme podrobně zabývat v kapitole 6. Na tomto místě uvedeme jen její základní teoretická východiska

46 4 Metody párového porovnání Základním východiskem pro konstrukci vah uvažovaných kritérií f i C je matice párových porovnání S. Prvky s ij jsou však odlišné od prvků matice párových porovnání v metodě Fullerova trojúhelníku. Podobně jako tam se prvky stanoví na základě ordinální informace z relace G, avšak dodatečná informace umožňuje zohlednit intenzitu významností v příslušném porovnávaném páru kritérií, např. f i a f j. Pokud platí f i G f j, pak prvek s ij vyjadřuje poměr významností kritéria f i k významnosti kritéria f j, tj. poměr vah v i a v j : v i sij, i,j = 1, 2,..., m. (4.5) v j Protože však váhy v i nejsou předem známy, (naším cílem je právě váhy stanovit), využívá se k jejich stanovení dodatečná informace o intenzitě vztahu významnosti mezi i-tým kritériem a j-tým kritériem vyjádřené pomocí čísla s ij, které je prvkem zvolené škály 1 až 9, tj.: s ij {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (4.6) Podrobnější rozbor a interpretace hodnot škály budou uvedeny v kapitole 6. Jestliže kritérium i je významnější než kritérium j, nebo jsou obě kritéria stejně významná, což zapisujeme f i G f j, potom s ij 1. V opačném případě, tj. když f j G f i, potom klademe: s ij = 1/ s ji. (4.7) Vztah (4.7) lze přirozeně interpretovat takto: Jestliže kritérium f j je s ji -krát významnější než kritérium f i, potom významnost kritéria f i tvoří 1/s ji -tou část významnosti kritéria f j. Jestliže pro prvky s ij matice S = s ij } platí (4.7), potom říkáme, že matice S je reciproká. Motivaci pro výběr škály (4.6) i podrobné zdůvodnění bude uvedeno v kapitole 6, která se zabývá Saatyho metodou konstrukce vah uvažovaných kritérií a spočívá ve výpočtu vlastního vektoru odpovídajícího maximálnímu vlastnímu číslu matice párových porovnání S. Řešením soustavy m rovnic o m neznámých x = (x 1, x 2,...,x m ) vyjádřené ve vektorovém tvaru: (S - max I) x = 0, (4.8) nebo jinak (ekvivalentně) vyjádřeno: S x = max x, (4.8 ) kde max je maximální vlastní číslo matice S a I je jednotková matice, získáme vlastní vektor, z něhož pak stanovíme hledané váhy takto: v i = x, i = 1,2,...,m. (4.9) i x Symbol x označuje velikost vektoru x, konkrétně je x = i x. i

47 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 4.4 METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ VÝPOČTU VAH Metoda nejmenších čtverců (MNČ) je obecně známá metoda používaná všude tam, kde chceme empirická data zatížená chybami aproximovat nějakým zvoleným modelem systému závislého na neznámých parametrech. MNČ umožňuje optimální nastavení těchto parametrů. V úloze stanovení vah kritérií úlohy vícekriteriálního rozhodování jsou těmito neznámými parametry právě hledané váhy a empirická data představují získané odhady podílů významností jednotlivých kritérií. Metoda nejmenších čtverců stanovení vah má podobná východiska a předpoklady, jako předchozí Saatyho metoda. Stejně jako tam se stanoví matice párových porovnání S = s ij }, přitom prvky s ij mohou, ale nemusí nutně vyhovovat vztahům (4.6) a (4.7). V tomto předpokladu je metoda obecnější, než Saatyho metoda z předchozí kapitoly. V souladu s obecným postupem MNČ se hledají takové váhy v i, které minimalizují součet kvadrátů odchylek prvků matice párových porovnání od příslušných podílů vah jednotlivých kritérií. Neznámé váhy v i se získají řešením úlohy nelineárního programování: 2 vi s min; ij (4.10) v i j j za podmínky: m v j j1 1, v i 0, i = 1,2,...,m. (4.11) Metody výpočtu řešení úlohy (4.10), (4.11) jsou sice náročnější, avšak dnes již existuje celá řada softwarových produktů, které umožňují řešit podobné úlohy i na počítačích. Pro úlohy malých rozměrů (např. m 20) lze úlohu řešit pomocí Řešitele v programu Excel, pro větší úlohy lze použít např. programy LINGO, XA aj. 4.5 METODA LOGARITMICKÝCH NČ (METODA GEOMETRICKÉHO PRŮMĚRU) Metoda logaritmických nejmenších čtverců (nazývaná též Metoda geometrického průměru) je založena na stejných předpokladech, jako metoda nejmenších čtverců. Na rozdíl od MNČ však neměří přímo odchylky odhadnutých dat od teoretických podílů vah v i /v j, avšak měří logaritmy odchylek těchto dvou veličin. Tato změna přináší 2 výhody: logaritmickou transformací se rovnoměrně rozdělí odchylky podílových hodnot na obě strany od 1 optimální řešení úlohy nelineárního programování je možné vyjádřit v explicitním tvaru a není zapotřebí využívat speciální software. V souladu s obecným postupem MNČ se hledají takové váhy v i, které minimalizují součet kvadrátů logaritmů odchylek prvků matice párových porovnání od příslušných logaritmů podílů vah jednotlivých kritérií. Neznámé váhy v i se získají řešením úlohy nelineárního programování:

48 4 Metody párového porovnání za podmínky F(v 1,v 2,...,v m ) = ln s (lnv ln v ) i j ij i j 2 min (4.12) k v j j1 1, v i 0, i = 1,2,...,m. (4.13) TVRZENÍ 4.1. Řešení optimalizační úlohy (4.12), (4.13), tj. hodnoty vah v i, i = 1,2,...,m, které minimalizují účelovou funkci F ze (4.12) mají následující tvar: 1/ m m s, i = 1,2,...,m. (4.14) s ij i1 j1 ij j v 1 i 1/ m m m m s ij j1 Přitom se symbolem označuje součin všech hodnot s ij pro i = 1,2,...,m. Řešení optimalizační úlohy (4.12), (4.13) lze nalézt v explicitním tvaru: Váha i-tého kritéria se vypočte jako geometrický průměr odhadů s ij, které se nacházejí v i-tém řádku matice párových porovnání S, normovaný součtem geometrických průměrů stejně vypočtených pro všechna kritéria. Podle tohoto výsledku získala metoda svoje jméno. Důkaz Tvrzení 4.1 plyne z následující úvahy: Protože s ij 0 pro všechna i, j = 1,2,...,m, je také v i 0 pro i = 1,2,...,m. Snadno lze ukázat, že funkce F(v 1,v 2,..., v m ) je konvexní pro v i 0, i = 1,2,..., m, a že pro v i definované vztahem (4.14) se všechny parciální derivace anulují. PŘÍKLAD 4.2. Uvažujme čtyři kritéria f i, i = 1,2,3,4, na Saatyho devítibodové škále jsme odhadnuli následující matici párových porovnání, která splňuje podmínky reciprocity S = 1 1/ 4 1/ 6 1/ / 3 1/ / Maximální vlastní číslo matice S je max = 4,1, z příslušného vlastního vektoru se podle vztahu (4.8) stanoví váhy jednotlivých kritérií: v 1 = 0,62, v 2 = 0,22, v 3 = 0,10, v 4 = 0,

49 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Přesvědčte se o tom tím, že úkol nalezení vah vyřešíte pomocí Excelu. Metodou logaritmických NČ podle vzorce (4.14) obdržíte váhy: v 1 = 0,62, v 2 = 0,22, v 3 = 0,11, v 4 = 0,06. Vidíte, že váhy získané metodou logaritmických nejmenších čtverců jsou téměř totožné s vahami získanými metodou vlastního vektoru. Samostatný úkol: Stanovení vah kritérií hodnocení praček Využijte informace ze samostatného úkolu z kapitoly 2 získané na Stanovte relativní důležitost kritérií pomocí těchto metod: metodou pořadí, bodovací metodou na stupnici 1 až 5, metodou Fullerova trojúhelníka. Saatyho metodou vlastního vektoru s pomocí Saaty_vahy.xls. metodou NČ s pomocí Excelu, Řešitele (obtížné!). metodou LNČ s pomocí Excelu podle vzorce (4.14). Kontrolní otázky 4: 1. Vysvětlete pojem aspirační úroveň a co vyžaduje metoda aspirační úrovně. 2. V čem spočívá princip lexikografické metody? 3. Co je skalarizace ordinální informace a jaké jsou dva hlavní přístupy? 4. Vysvětlete pojem párové porovnání n prvků. Kolik existuje porovnávaných párů? 5. Charakterizujte metodu Fullerova trojúhelníku. 6. Co je základem Saatyho metody výpočtu vah? 7. Jaký je rozdíl mezi MNČ a MLNČ? Příklad Kritéria B1, B2, B3, B4, B5 jsou co do významu porovnána takto ( >, respektive < značí významnější než, respektive méně významné než, relace = značí stejně významné ): a) B1 = B2, B1 < B3, B1 > B4, B1 = B5, B2 > B3, B2 = B4, B2 < B5, B3 > B4, B3 > B5, B4 = B5. Metodou Fullerova trojúhelníku určete váhy kritérií. b) řešte stejnou úlohu s těmito změnami: B1 > B2, B1 < B5, B4 >B5, zbylé relace jsou stejné jako v bodě a)

50 4 Metody párového porovnání Řešení Kritéria B1 B2 B3 B4 B5 a) 0,2 0,2 0,3 0,1 0,2 b) 0,2 0,15 0,3 0,15 0,2-48 -

51 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 5 METODY S KARDINÁLNÍ INFORMACÍ O KRITÉRIÍCH 5.1 METODY S KARDINÁLNÍ INFORMACÍ O KRITÉRIÍCH Jak již víte z předchozí kapitoly, optimální varianta VKR by měla být zároveň nedominovaná. Jestliže ji zaměníme za jinou nedominovanou variantu, pak tato nová varianta bude mít podle některých kritérií ohodnocení lepší, podle jiných kritérií bude mít ohodnocení horší než původní varianta. Proto takovou variantu budeme nazývat kompromisní variantou. Postup při výběru kompromisní varianty pak závisí na tom, jakou další informaci máte k dispozici o charakteru, resp. důležitosti jednotlivých kritérií. Intuitivně se zdá oprávněné, aby optimální varianta nabývala co možná nejlepších ohodnocení podle nejdůležitějších kritérií. K tomu ovšem je zapotřebí znát relativní důležitost jednotlivých kritérií váhy. S jejích znalosti lze různými metodami stanovit výsledné agregované hodnocení k uspořádání variant a výběru kompromisní varianty. V této kapitole se budeme zabývat třetí skupinou metod podle našeho rozdělení, totiž metodám s kardinální informací o kritériích, kdy jsou k dispozici váhy kritérií čísla z intervalu [0,1]. Každé kritérium přitom vyhodnocuje varianty na ordinální nebo kardinální škále. Pro obě situace se seznámíme s vhodnými metodami pro nalezení kompromisního řešení rozhodnutí. Jednodušší metody lze použít na složitější rozhodovací problémy, tj. úlohy s komplexnější informací, avšak při ztrátě výchozí informace. Přenesením do řešení můžeme obdržet až příliš zjednodušené výsledky, které nejsou adekvátní rozhodovací situaci. Obrácený postup není možný, totiž složitější metody nelze použít na jednodušší rozhodovací úlohy, neboť pak by zase chyběly požadované informace. Zopakujme fakta, která jsou základními předpoklady této kapitoly: na množinu kritérií C = {f 1, f 2,...,f m } pohlížíme, jako na množinu variant v (jiném!) rozhodovacím problému s jediným kritériem G, kterým je hlavní cíl našeho rozhodovacího problému - výběr kompromisní varianty z množiny variant A. Přitom G, podobně jako dříve, ztotožňujeme se zobrazením množiny C do škály S, tj. G : C S, jež je však nyní kardinální škálou. V souladu s předchozím výkladem to znamená, že ohodnocení G(f i ) každého kritéria je reálné číslo, takže kritéria lze seřadit nejen podle velikosti jejich ohodnocení, tj. významnosti, přičemž indukovaná relace G je kvaziuspořádáním, ale známe i vzájemný poměr významnosti kritérií f i. Číselné ohodnocení jednotlivých kritérií můžeme normalizací, tj. vydělením každého ohodnocení součtem všech ohodnocení, získat váhy v i jednotlivých kritérií f i, pro i = 1,2,..., m. Máme-li k dispozici váhy v i, které interpretujeme jako relativní významnosti kritérií, potom další postup vedoucí k výběru kompromisní varianty z množiny variant A, závisí na typu jednotlivých kritérií, konkrétně na tom, zda jsou kritéria ordinálního nebo kardinálního typu. Častější a jednodušší situace nastává, pokud jsou všechna kritéria kardinálního typu, tj. číselná. Vhodnými transformacemi je pak převedeme na kritéria se stejnou škálou hodnot, obvykle to je interval [0,1], a celkové ohodnocení varianty získáme jako vážený součet ohodnocení podle jednotlivých kritérií. Podívejme se na tento problém podrobněji

52 5 Metody s kardinální informací o kritériích 5.2 STANDARDIZACE A NORMALIZACE Nechť f i C je kardinální kritérium, f i : A S i, přitom S i R je kardinální škála. Pro transformaci škály S i na škálu S = [0,1], totožnou pro všechna kritéria, používáme obvykle dvou postupů. Prvnímu budeme v této práci říkat standardizace, druhému normalizace. Standardizace: Pro každé kritérium f i, i = 1,2,...,m, označíme nejmenší a největší dosaženou hodnotu: f min i = min f i (a j ) j = 1,2,...,n, (5.1) f max i = max f i (a j ) j = 1,2,...,n. (5.2) Dále budeme předpokládat, že všechna kritéria nabývají nezáporných hodnot, tj. f i (a j ) 0 pro všechna i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n, a že platí toto: všechna kritéria jsou taková, že vždy nabývají alespoň dvou různých hodnot jsou nekonstantní. Z tohoto předpokladu pak plyne, že maximální hodnota, kterou kritérium i nabývá, je větší, než minimální hodnota: f i max f i min 0. Pro maximalizační kritérium, kdy větší hodnota kritéria je považována za lepší, definujeme transformaci hodnot škály do jednotkového intervalu, tj. i : S i [0,1], i = 1,2,...,m, takto: i (x) = max i f x f min i min fi, x S i. (5.3) Pro minimalizační kritérium, kdy menší hodnota kritéria je považována za lepší, definujeme transformaci i : S i [0,1]: i (x) = max fi max i f x min i f, x S i. (5.4) Pomocí zobrazení i definujeme nyní namísto původního kritéria f i nové kritérium, jako kritérium složené s původního kritéria a transformace na jednotkový interval: F i (a) = i (f i (a)), a A. (5.5) Kritérium (5.5), kterému říkáme standardizované kritérium, má tu vlastnost, že pro nejhůře hodnocenou variantu nabývá hodnoty 0 a pro nejlépe hodnocenou variantu nabývá hodnoty 1, pro všechna kritéria i = 1,2,...,m. Normalizace: Nyní budeme ještě dále předpokládat, že všechna kritéria nabývají kladných hodnot (u standardizace jsme připouštěli, že kritéria mohou nabývat i hodnotu 0), to znamená, že bude

53 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY vždy platit f i (a j ) 0, a to pro všechna i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n. Pokud by tomu tak pro některé kritérium nebylo, připočítali bychom ke všem hodnocením tohoto kritéria dostatečně velkou kladnou hodnotu, čímž bychom obdrželi kritérium s požadovanou vlastností. Pro maximalizační kritérium, kdy větší hodnota kritéria je považována za lepší, definujeme transformaci i : S i R, i = 1,2,...,m, následovně: i (x) = x, x S i. ( identická transformace ) Pro minimalizační kritérium, kdy menší hodnota kritéria je považována za lepší, definujeme transformaci i : S i R: i (x) = x 1, x Si. ( inverzní transformace ) Namísto nelineární inverzní transformace, která slouží k přeměně minimalizačního kritéria na maximalizační, lze použít též lineární transformaci: i (x) = H i x, x S i, ( opačná transformace ) kde H i je dostatečně velké číslo, větší než max{f i (a j ) j = 1,...,n}. Pro každé i = 1,2,...,m definujeme namísto původního kritéria f i nové kritérium G i : G i (a) = n j1 i i i i f ( a) f ( a ) j, a A, (5.6) kde i je buď identická nebo inverzní transformace, podle toho, zda f i je maximalizační nebo minimalizační kritérium. Kritéria (5.6) podobně jako kritéria (5.5) transformují hodnoty původních kritérií do jednotkové škály jednotkového intervalu [0,1]. Pro G i platí základní vztah normalizace: n j1 G i ( a j ) 1. (5.7) Kritérium (5.6), kterému říkáme normalizované kritérium, má vlastnost (5.7), tj. celkový součet hodnot všech variant je jedna

54 5 Metody s kardinální informací o kritériích Standardizací se u daného kritéria mění původní poměr ohodnocení dvou variant, jestliže např. původní poměr ohodnocení variant a, a A je f i (a )/f i (a ), pak nový poměr po transformaci je (f i (a ) - f i min )/(f i (a ) - f i min ), což může být jiná hodnota. V případě, že f i min = 0, jsou však oba poměry stejné. Při normalizaci zůstává poměr ohodnocených variant stejný (v případě maximalizačního kritéria), nebo je převrácený (v případě minimalizačního kritéria). Standardizace způsobí, že nové kritérium pro nejhůře ohodnocenou variantu nabývá hodnoty 0, pro nejlépe hodnocenou variantu nabývá hodnoty 1. Tuto vlastnost normalizované kritérium nemá, to nabývá vždy kladných hodnot. Naproti tomu normalizované kritérium má vlastnost (5.7), kterou zase nemá standardizované kritérium. Jsou-li kritéria f i standardizována, tj. máme k dispozici nová kritéria F i, nebo jsou normalizována, tj. máme k dispozici nová kritéria G i, a dále známe váhy kritérií v i, potom můžeme provést výsledné ohodnocení variant a na jeho základě vybrat kompromisní variantu, která dosáhla nejlepšího ohodnocení. Přirozeně je na místě otázka, kdy použít pro kardinální kritéria standardizaci a ve kterých případech normalizaci. Odpověď není jednoznačná a závisí do značné míry na věcné povaze rozhodovacího problému. Standardizace má blízko k teorii užitku, viz následující subkapitola. Přístup normalizace s využitím je použit v metodě analytického hierarchického procesu (AHP). Touto metodou se budete podrobně zabývat v další kapitole. 5.3 METODY ZALOŽENÉ NA FUNKCI UŽITKU V tomto textu se nebudeme podrobněji zabývat teorií užitku, je o tom ostatně bohatá literatura, viz např. Fishburn. Zcela pragmaticky a poněkud formálně hned řekneme, že funkce užitku pro i-té kritérium f i : A S i je neklesající funkce u i : S i [0,+), kde S i R, i = 1,2,...,m. Ve vícekriteriálním rozhodování se v tomto případě hovoří o i-té dílčí funkci užitku. Varianta a A má podle i-tého kritéria ohodnocení h = f i (a) a toto ohodnocení přináší užitek u i (h) = u i (f i (a)). Tento užitek roste, nebo alespoň neklesá, s rostoucím ohodnocením h. Speciálním případem i-té dílčí funkce užitku je funkce: u i : [D i, H i ] [0,1], (5.8) kde D i je nejméně preferovaná hodnota z S i vzhledem k f i, taková, že platí u i (D i ) = 0, H i je nejvíce preferovaná hodnota vzhledem k f i, přičemž platí u i (H i ) = 1. Konkrétním příkladem uvedené funkce užitku je zobrazení (5.4). V ekonomii více činitelů se setkáváme s agregovanou (vícekriteriální) funkcí užitku, která podle toho, zda lze celkový užitek skládat z dílčích užitků jednotlivých činitelů (kritérií), má aditivní tvar: U(a) = i v i u i (f i (a)), a A, (5.9)

55 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY kde v i jsou váhy, i v i = 1, v i 0, nebo, pokud vzniká celkový užitek vzájemným násobením dílčích užitků, má agregovaná funkce užitku multiplikativní tvar: U(a) = i u i (f i (a)), a A. (5.10) Je možné uvažovat i s jinými nelineárními tvary, které však z praktického hlediska mají jen omezený význam. 5.4 METODY VÁŽENÉHO SOUČTU (VÁŽENÉHO PRŮMĚRU) Metoda váženého součtu (VS) je vlastně speciálním případem metody založené na vícekriteriální aditivní funkci užitku, přičemž dílčí funkce užitku je ztotožňována buď s funkcí standardizace nebo normalizace, jak byly popsány v kapitole 5.2. Metody VS předpokládají znalost vah v j všech kritérií a dále, že všechna kritéria jsou kardinální, tj. každé kritérium f j přiřazuje každé variantě aa hodnotu kladné reálné číslo f j (a) > Metoda VS založená na standardizaci V souladu se subkapitolou 4.2. pro každé kritérium f i, i = 1,2,...,m, budeme používat označení: f i min = min f i (a j ) j = 1,2,...,n, (5.1 ) f i max = max f i (a j ) j = 1,2,...,n. (5.2 ) Dále budeme předpokládat, že maximální hodnota, kterou kritérium nabývá, je větší, než minimální hodnota: f i max f i min 0. Podle toho, zda kritérium f i je maximalizační, resp. minimalizační, je hodnota standardizace i dána vzorcem (5.3), resp. (5.4) a hodnota standardizovaného kritéria dílčího užitku je: F i (a) = i (f i (a)), pro každé a A. (5.5 ) Celkový užitek varianty a A, podle nějž varianty seřadíme, je pak dán aditivní funkcí užitku (5.9): U S (a) = i v i F i (a). (5.9 ) Kompromisní varianta je pak ta varianta a * A, pro níž je agregovaný užitek maximální: U S (a * ) = max{ U S (a) a A}. (5.11)

56 5 Metody s kardinální informací o kritériích Metoda VS založená na normalizaci Pro každé kritérium f i, i = 1,2,...,m, definujeme namísto původního kritéria f i nové kritérium G i : G i (a) = n j1 i i i i f ( a) f ( a ) j, a A, (5.6 ) kde i je buď identická nebo inverzní transformace, podle toho, zda f i je maximalizační nebo minimalizační kritérium. Pro G i platí základní vztah normalizace: n j1 G i ( a j ) 1. (5.7 ) Celkový užitek varianty a A, podle nějž varianty seřadíme, je pak dán aditivní funkcí užitku (5.9): U N (a) = i v i G i (a). (5.9 ) Kompromisní varianta je pak ta varianta a * A, pro níž je agregovaný užitek (5.9 ) maximální: U N (a * ) = max{ U N (a) a A}. (5.12) PŘÍKLAD 5.1. Uvažujeme 6 kritérií pro výběr vhodné lokality pro výstavbu jaderné elektrárny v lokalitách L1, L2, L3. Uvažovaná kritéria: f 1 - počet pracovníků (minimalizační kritérium), f 2 - výkon elektrárny v MW (maximalizační kritérium), f 3 - investiční náklady v mld. Kč (minimalizační kritérium), f 4 - provozní náklady v mil. Kč/rok (minimalizační kritérium), f 5 - počet evakuovaných obyvatel (minimalizační kritérium), - stupeň spolehlivosti provozu v bodech (maximalizační kritérium). f 6 Následující tabulka představuje vstupní data pro hodnocení variant - kriteriální matici H. V posledním řádku jsou uvedeny váhy kritérií:

57 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 L L L Váhy 0,07 0,24 0,33 0,19 0,09 0,08 Řešení příkladu: Metoda VS založená na standardizaci: Nejdříve podle vzorců (5.3) a (5.4) v závislosti na tom, zda se jedná o maximalizační nebo minimalizační kritérium, vypočítáte hodnoty normalizovaných kritérií. Potom podle (5.9 ) vypočítáte agregovanou hodnotu, podle velikosti této hodnoty varianty uspořádáte. Kompromisní varianta je varianta L2 (viz níže Tabulka 1), druhá v pořadí je L1 a poslední je varianta L3. Metoda VS založená na normalizaci: Nejdříve v závislosti na tom, zda se jedná o maximalizační nebo minimalizační kritérium, vypočítáte hodnoty normalizovaných kritérií. Pro minimalizační kritérium přitom použijte inverzní transformaci. Potom podle (5.9 ) vypočítáte agregovanou hodnotu, podle velikosti této hodnoty varianty uspořádáte. Kompromisní varianta je varianta L2 (viz níže druhá tabulka), druhá v pořadí je L1 a poslední je varianta L3. Standardizovaná min max min min min max f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 Us poradi L1 0,370 0,667 0,200 0,500 0, ,449 2 L ,680 1 L ,500 0,280 3 Normalizovaná f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 Un poradi L1 0,310 0,357 0,270 0,319 0,304 0,375 0,315 2 L2 0,420 0,214 0,486 0,426 0,418 0,292 0,383 1 L3 0,269 0,429 0,243 0,255 0,278 0,333 0,302 3 Jak je z tabulek výsledků zřejmé, obě metody VS dávají stejné výsledky. 5.5 METODY VÁŽENÉHO SOUČTU (VÁŽENÉHO PRŮMĚRU) Doposud jste v studovali případ kardinálních kritérií f i C, nyní se obrátíme k případu, kdy jsou samotná kritéria f i : A S i ordinální povahy, S i jsou přitom ordinální škály s relacemi uspořádání i. Navíc však jsou k dispozici váhy v i vyjadřující relativní významnosti kritérií. V této situaci v souladu s předchozím výkladem to znamená, že pro dané kritérium f i lze ohodnocení variant f i (a j ) S i seřadit podle velikosti a indukovaná relace i je kvaziuspořádáním. Varianty a j A můžeme podle relace i seřadit od nejméně důležité (nejníže hod

58 5 Metody s kardinální informací o kritériích nocené) k nejdůležitější, přitom některé varianty mohou být podle kritéria f i ohodnoceny stejně. Podobně jako pro kritéria v kapitole 3 využijete nyní analogicky pro varianty metody skalarizace, s jejíž pomocí se z ordinální informace o variantách stane informace kardinální, umožňující nejen seřazení variant podle důležitosti, ale i stanovení relativních důležitostí jednotlivých variant vzhledem ke zvolenému kritériu, a to v podobě vah normalizovaných hodnot kritéria. Vstupem pro metodu skalarizace ordinální informace o variantách byly v předchozí kapitole varianty a j A seřazené podle relace uspořádání i. Výstupem metody skalarizace jsou nyní váhy w ij, které představují kardinální a normované hodnocení jednotlivých variant a j A podle kritéria f i C, neboť platí j w ij = 1. Získané váhy umožňují použití metod s kardinální informací o kritériích, jimiž byla věnována předchozí kapitola. Principiálně lze použit všechny metody tam uvedené, konkrétně metodu pořadí, bodovací metodu a metody párového porovnání, pouze s tím rozdílem, že namísto kritérií se nyní pracuje s variantami. Připomínáme, že mezi metody skalarizace se zařazují metody párového porovnání, z nichž metoda vlastního vektoru známá jako Saatyho metoda je jedním ze základních stavebních kamenů metod AHP. Metodu AHP budete podrobně studovat v následujících 2 kapitolách. 5.6 METODY VZDÁLENOSTI Mějme varianty a,ba, kardinální kritéria f i C nechť jsou všechna maximalizační. Položme a = (F 1 (a), F 1 (a),..., F m (a)), b = (F 1 (b), F 1 (b),..., F m (b)), kde F i jsou kritéria f i, standardizovaná podle (5.5), tj. F i (a) = i (f i (a)), a A a i jsou definovány pomocí vztahu (4.3): i (x) = x f f max i min i min fi, x S i. Potom a, b jsou vektory z R m, tj. m-tice hodnot standardizovaných kritérií. Pro každé dva vektory x, y R m definujeme jejich vzdálenost pomocí funkce vzdálenosti (metriky). DEFINICE 5.2. FUNKCE VZDÁLENOSTI Funkci d : R m R m R nazýváme funkcí vzdálenosti v R m (metriky v R m ), splňuje-li následující 3 podmínky d(x,y) 0 pro všechny x,y R m, ( nezápornost ), d(x,x) = 0 pro všechny x R m, ( jednoznačnost ), d(x,y) + d(y,z) d(x,z) pro všechny x,y,z R m, ( trojúhelníková nerovnost )

59 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY tvar: Speciálně nás bude zajímat tzv. parametrická funkce vzdálenosti, která má následující 1 p p d(x,y) = x i y i, (5.13) kde vektory, jsou ve tvaru: x = (x 1, x 2,...,x m ) R m, y = (y 1, y 2,...y m ) R m a p 0. Snadno je vidět, že funkce (5.17) splňuje podmínky (i) a (ii). Důkaz toho, že splňuje podmínku (iii) je složitější a lze jej nalézt např. v 27. Pro některé hodnoty parametru p jsou funkce vzdálenosti (metriky, normy) (5.13) známy pod speciálními názvy. TVRZENÍ 5.3. EUKLIDOVSKÁ, ČEBYŠEVOV A MINKOWSKÉHO METRIKA Pro p = 2 se funkce vzdálenosti (5.13) se nazývá Euklidovská metrika a má tvar: d(x,y) = ( i (x i - y i ) 2 ) 1/2. (5.14) Pro p 0 + se funkce vzdálenosti (5.13) nazývá Čebyševova metrika a má tvar: d(x,y) = max i x i - y i. (5.15) Pro p + se funkce vzdálenosti (5.13) nazývá Minkowského metrika (též Manhattanská metrika) a má tvar: d(x,y) = i x i - y i. (5.16) Dokázat Tvrzení 4.3. je snadné, (4.15) a (4.16) lze snadno dokázat výpočtem příslušných limit z výrazu (4.13), nejprve pro p 0 +, potom pro p +. Euklidovská metrika je funkce vzdálenosti, které se v praxi používá nejvíce. Nyní, poté, co jsme zavedli potřebné pojmy, se opět vrátíme k metodám vzdálenosti vícekriteriálního rozhodování Metoda nejmenší vzdálenosti od ideální varianty Metoda nejmenší vzdálenosti od ideální varianty používá ke stanovení agregovaného ohodnocení varianty a A vzdálenost vektoru ohodnocení varianty a (podle standardizovaných kritérií) od vektoru ohodnocení ideální varianty podle standardizovaných kritérií, tj. D (a) = d(a, 1), (5.17) kde d je funkce vzdálenosti (např. některá z norem (5.14) - (5.16), a = (F 1 (a), F 1 (a),..., F m (a)), přičemž F i (a) = i (f i (a)) a i jsou definovány vztahem (5.18)

60 5 Metody s kardinální informací o kritériích i (x) = f x f max i min i min fi, x S i, i = 1,2,...,m. (5.18) Vektor 1 = (1,1,...,1) R m je složen ze standardizovaných ohodnocení příslušných ideální variantě. Speciálně pro nejvíce využívanou funkci vzdálenosti (5.13) dostáváme: D (a) = ( i F i (a) - 1 p ) 1/p. (5.19) Ze vztahu (5.19) je zřejmé, že kdyby a byla ideální variantou, potom D (a) = 0. V opačném případě platí D (a) 0. Za kompromisní variantu položíme tu variantu a* A, která má k ideální variantě nejblíže, tj. pro kterou platí: D (a*) = mind (a) a A. (5.20) Metoda největší vzdálenosti od bazální varianty Metoda největší vzdálenosti od bazální varianty používá ke stanovení agregovaného ohodnocení varianty a A vzdálenost vektoru ohodnocení varianty a (podle standardizovaných kritérií) od vektoru ohodnocení bazální varianty podle standardizovaných kritérií, tj. D (a) = d(a, 0), kde d je funkce vzdálenosti (např. některá z metrik (5.18)-(5.20) ), a = (F 1 (a), F 1 (a),..., F m (a)), přičemž F i (a) = i (f i (a)) a i jsou definovány vztahem (5.22), vektor 0 = (0,0,...,0) R m je složen ze standardizovaných ohodnocení příslušných bazální variantě. Speciálně pro nejvíce využívanou funkci vzdálenosti (5.19) dostáváme: D (a) = ( i F i (a) p ) 1/p. (5.21) Ze vztahu (5.39) je zřejmé, že kdyby a byla bazální variantou, potom by platilo D(a) = 0. V opačném případě platí D (a) 0. Za optimální variantu položíme v tomto případě tu variantu a** A, pro kterou platí: D (a**) = maxd (a) a A. (5.22) Namísto standardizovaných kritérií lze ve výše popsaných metodách použít též normalizovaná kritéria. Ponecháváme na čtenáři, aby pro tento případ promyslel potřebné drobné úpravy

61 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY PŘÍKLAD 5.4. Uvažujeme stejné zadání jako v Příkladu 5.1. Jedná se o 6 kritérií pro výběr vhodné lokality pro výstavbu jaderné elektrárny v lokalitách L1, L2, L3. Pro pohodlí čtenáře zopakujeme zadání. Uvažovaná kritéria jsou: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 - počet pracovníků (minimalizační kritérium), - výkon elektrárny v MW (maximalizační kritérium), - investiční náklady v mld. Kč (minimalizační kritérium), - provozní náklady v mil. Kč/rok (minimalizační kritérium), - počet evakuovaných obyvatel (minimalizační kritérium), - stupeň spolehlivosti provozu v bodech (maximalizační kritérium). H. Následující tabulka představuje vstupní data pro hodnocení variant - kriteriální matici f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 L L L Řešení příkladu: Pomocí vztahů (5.22) a (5.23) provedeme standardizaci kritérií: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 d(a,1) d(a,0) L1 0,37 0,67 0,2 0,5 0,25 1 1,40 1,39 L ,41 2,00 L ,5 2,06 1,12 Vzdálenosti od ideální varianty jsou vypočítány pro p = 2 podle vztahu (5.17) v předposledním sloupci výše uvedené tabulky, v posledním sloupci jsou podle vzorce (5.18) vypočítány vzdálenosti variant od bazální varianty, opět pro p = 2. Metodou nejmenší (Euklidovské) vzdálenosti od ideální varianty, vzorec (5.18), jsou varianty L1 a L2 prakticky stejně dobré: varianta L1 je od ideální varianty vzdálena 1,40, varianta L2 má Euklidovskou vzdálenost od ideální varianty rovnu 1,41. Metodou největší (Euklidovské) vzdálenosti od bazální varianty, vzorec (5.18), je varianta L2 lepší než varianta L1: L2 je od bazální varianty vzdálena 2,00, zatímco varianta L1 má Euklidovskou vzdálenost od bazální varianty pouze 1,

62 5 Metody s kardinální informací o kritériích Kontrolní otázky 5: 1. Vysvětlete pojmy standardizace a normalizace 2. V čem spočívá princip metody váženého průměru? 3. Co je funkce užitku a jak se využívá ve VKR? 4. Vysvětlete pojem vzdálenosti mezi variantami, co je to metrika a jaké má vlastnosti? 5. Vyjmenujte různé metriky a charakterizujte rozdíly mezi nimi. Samostatný úkol: Výpočet kompromisní varianty úlohy Pračky Využijte informace ze samostatného úkolu z kapitoly 2 a 3 získané pomocí Uspořádejte varianty (pračky) metodami váženého průměru pomocí: standardizace, normalizace, vzdálenosti od ideální varianty, vzdálenosti od bazální varianty. K řešení využijte Excel. Příklad Níže vyobrazená tabulka obsahuje kritéria B1 až B4, z nichž B1 a B2 jsou maximalizační a B3 a B4 jsou minimalizační. Dále obsahuje čtyři varianty A1 až A4 jejich dílčí hodnocení vůči všem čtyřem kritériím. Proveďte následující: a) Normalizujte tabulku b) Standardizujte tabulku c) Jak by vypadala normalizace, kdyby A1 až A4 byla kritéria (A1, A2 maximalizační, A3 a A4 minimalizační) a B1 až B4 varianty? Řešte tuto úlohu, aniž byste měnili záhlaví a celkovou podobu tabulky. d) Jak by vypadala standardizace, kdyby A1 až A4 byla kritéria kritéria (A1, A2 maximalizační, A3 a A4 minimalizační) a B1 až B4 varianty? Řešte tuto úlohu, aniž byste měnili záhlaví a celkovou podobu tabulky. B1 B2 B3 B4 A A A A

63 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Řešení a) B1 B2 B3 B4 A1 0,30 0,29 0,21 0,23 A2 0,20 0,21 0,29 0,29 A3 0,40 0,14 0,21 0,26 A4 0,10 0,36 0,29 0,21 b) B1 B2 B3 B4 A1 0,67 0,67 0,00 0,33 A2 0,33 0,33 1,00 1,00 A3 1,00 0,00 0,00 0,67 A4 0,00 1,00 1,00 0,00 c) B1 B2 B3 B4 A1 0,30 0,40 0,20 0,10 A2 0,27 0,41 0,21 0,11 A3 0,11 0,21 0,21 0,47 A4 0,36 0,07 0,24 0,33 d) B1 B2 B3 B4 A1 0,67 1,00 0,33 0,00 A2 0,55 1,00 0,32 0,00 A3 0,00 0,65 0,65 1,00 A4 1,00 0,00 0,88 0,98 Příklad Níže uvedená tabulka obsahuje rozhodovací úlohu se čtyřmi kritérii a třemi variantami s již znormovaným hodnocením a dále matici párových srovnání S pro daná kritéria. Metodou geometrického průměru spočtěte váhy kritérií a následně seřaďte varianty metodou váženého součtu od nejlepší po nejhorší. K1 K2 K3 K4 V1 0,4 0,24 0,54 0,35 V2 0,43 0,35 0,11 0,3 V3 0,17 0,41 0,35 0,35 S = ( )

64 5 Metody s kardinální informací o kritériích Řešení Váhy kritérií: K1 0,436 K2 0,299 K3 0,086 K4 0,178 Agregovaná hodnocení variant váženým součtem: V1 0,355 V2 0,355 V3 0,289 Finální uspořádání variant: V1 > V2 > V3. Příklad Řešte následující rozhodovací úlohu s kritérii K1, K2, K3 (2.kritérium minimalizační) a variantami V1, V2, V3, V4 metodou založenou na dílčích funkcích užitku: pro každé kritérium sestrojte lineární funkci užitku a převeďte dílčí hodnocení variant na užitky; následně pak vyhodnoťte varianty metodou váženého součtu a seřaďte od nejlepší po nejhorší. Max Min Max K1 K2 K3 V V V V Váhy kritérií 0,25 0,35 0,4 Řešení Dílčí funkce užitku zde počítají speciálně standardizované hodnoty, takže celá procedura převodu tabulky na tabulku užitků odpovídá standardizované tabulce: Užitky V1 0,656 0,000 0,000 V2 0,313 0,162 0,524 V3 1,000 1,000 0,952 V4 0,000 0,216 1,000 Agregovaná hodnocení variant váženým součtem: V1 0,16406 V2 0,34441 V3 0,98095 V4 0,47568 Výsledné uspořádání variant: V3>V4>V2>V

65 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Příklad Rozhodovací úloha je dána níže uvedenou tabulkou s pěti kritérii a čtyřmi variantami. Uspořádejte varianty od nejlepší po nejhorší metodou a) Nejmenší vzdálenosti od ideální varianty s Eukleidovskou metrikou b) Největší vzdálenosti od bazální varianty s Eukleidovskou metrikou c) Nejmenší vzdálenosti od ideální varianty s Manhattanskou metrikou d) Největší vzdálenosti od bazální varianty s Manhattanskou metrikou Řešení Max Min Max Min Max K1 K2 K3 K4 K5 V V V V Pro výpočet vzdáleností je nutno tabulku nejprve standardizovat na tvar: K1 K2 K3 K4 K5 V V V V Vzdálenosti pak vypadají takto: Vzdálenosti od idelání varianty Eukleid Manhattan V1 1, , ,414 2 V4 1,732 3 Vzdálenosti od bazální varianty Eukleid Manhattan V1 1, , ,732 3 V4 1,414 2 a) Výsledné uspořádání variant je tedy toto: d) V2 > V3 > V1 = V

66 6 Analytický hierarchický proces (AHP) 6 ANALYTICKÝ HIERARCHICKÝ PROCES (AHP) 6.1 HIERARCHIE Principy analytického myšlení vedly v 70. letech k vytvoření a rozvoji užitečného modelu kvantitativního řešení problému rozhodování - metodě Analytického Hierarchického Procesu - AHP. Jejím autorem je americký profesor Thomas L. Saaty, který se svými spolupracovníky i mnohými následovníky metodu rozvinul do praktického nástroje pro podporu rozhodování a ověřil ji na řadě praktických rozhodovacích problémů od individuálních problémů v domácnosti (nákup vhodného automobilu, volba budoucí kariéry), přes sociálně ekonomické rozhodovací problémy různých profesí (obchod, finančnictví, plánování, personalistika), až po složité národohospodářské problémy, sociálně politické problémy, mezinárodní konflikty (rozvoj dopravní sítě státu, řešení problému drog, konflikt v Severním Irsku, na Balkáně aj.). Softwarová realizace metody AHP nazvaná Expert Choice (EC) se rozšířila po celém světě a existuje již v mnoha verzích (v roce 2008 je to již verze 12, možnost stažení na Pro účely předmětu Rozhodovací analýza pro manažéry byl vytvořen softwarový produkr DAME (Decision Analysis Module for Excel), který je doplňkem populárního programu Excel. Tato kapitola přináší teoretické zdůvodnění základů metody AHP. Z hlediska návaznosti na další kapitoly 7 až 12 není její důkladné pochopení nezbytné a lze ji při prvním čtení dokonce vynechat. K úplnějšímu poznání světa naše mysl strukturuje složitou realitu na části - složky, ty dále dělí na podrobnější složky, a takto hierarchicky postupuje dále. Experimentálními výzkumy bylo zjištěno, že počet těchto složek se obvykle pohybuje mezi 5 až 9 (tj. 7±2). Rozkladem systému na homogenní celky a pak dalším členěním do menších jednotek můžeme postupně integrovat obrovské množství informací do hierarchické struktury vytvářející detailní obraz systému. Hierarchická struktura - hierarchie je zvláštní typ systému, založený na předpokladu, že identifikované prvky systému lze seskupit do disjunktních množin, kde prvky jedné skupiny ovlivňují prvky jiné skupiny a samy jsou ovlivňovány prvky jediné jiné skupiny. Prvky ve skupině, kterou nazýváme úroveň nebo shluk, jsou vzájemně nezávislé. PŘÍKLAD 6.1. Nejjednodušším netriviálním typem hierarchie je tříúrovňová hierarchie, jakou představuje vícekriteriální rozhodovací problém, viz Obr Uvedená hierarchie představuje vícekriteriální rozhodovací problém "Koupě rodinného domku", kdy cílem je výběr optimálního rodinného domu pro jistou rodinu. V úvahu připadají 3 alternativy: A1, A2, A3. Je stanoveno 6 kritérií hodnocení rodinného domku: K1 - "cena domu" K2 - "stáří domu" K3 - "velikost domu" K4 - "veřejná doprava" K5 - "vybavení domu" K6 - "okolí domu"

67 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Obr. 6.1 tříúrovňová hierarchie 6.2 FORMÁLNÍ PŘÍSTUP K HIERARCHII V předchozí subkapitole jsme intuitivně a na příkladech vysvětlili, co rozumíme pod pojmem hierarchie. V Kapitole 2 jsme zavedli pojem relace R na množině S a dále pojmy relace částečného uspořádání (reflexivní, antisymetrická a tranzitivní relace) a uspořádání (reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a úplná relace). Symbol xry bude nyní znamenat, že prvek x je v relaci s prvkem y, konkrétně, že prvek x je ovlivňován prvkem y, nebo, že prvek y ovlivňuje x. DEFINICE 6.1. MAXIMÁLNÍ A MINIMÁLNÍ PRVEK Nechť S je množina, relace je částečné uspořádání na S, H je podmnožina S, tj. H S. Řekneme, že s max H je maximální prvek v H, jestliže platí: x s max (6.1) pro každé x H. Analogicky řekneme, že s min H je minimální prvek v H, jestliže platí: s min x (6.2) pro každé x H. TVRZENÍ 6.2. Nechť S je množina částečné uspořádána relací, H S. Jestliže existuje maximální prvek (resp. minimální prvek) v H, potom maximální (resp. minimální) prvek je jediný

68 6 Analytický hierarchický proces (AHP) Důkaz předchozího tvrzení spočívá v tom, že kdyby existovaly dva maximální prvky s, s H, potom podle (2.1) platilo jak s s, tak s s. Z antisymetrie relace plyne s = s, tudíž maximální prvek je jediný. Analogicky se dokáže jednoznačnost minimálního prvku. DEFINICE 6.3. HIERARCHIE Nechť H je konečná množina, částečně uspořádaná relací, nechť g je maximální prvek v H. Řekneme, že H = (H, ) je hierarchie, jestliže jsou splněny následující podmínky: (1) Existuje rozklad H na množiny L k, k = 1,2,...,h, tj. H = L 1 L 2...L h, L i L j = pro i j, a platí L 1 = {g}. (2) Jestliže x L k potom x - = {y y x} L k+1, k = 1,2,...,h -1. Jestliže x L k potom x + = {y x y} L k-1, k = 2,3,...,h. Množiny L k se nazývají hierarchické úrovně (hladiny) H, L 1 = {g} je nejvyšší hierarchická úroveň H, L h je nejnižší hierarchická úroveň H. DEFINICE 6.4. ÚPLNÁ HIERARCHIE Hierarchie H z Definice 5.3 se nazývá úplná, jestliže platí: Pro všechna x L k je x + = L k-1, k = 2,3,...,h. V úplné hierarchii libovolný prvek vyšší hierarchické úrovně ovlivňuje každý prvek nižší hierarchické úrovně a obráceně, každý prvek nižší hierarchické úrovně je ovlivňován všemi prvky vyšší hierarchické úrovně. Tříúrovňová hierarchie na Obr je příkladem úplné hierarchie. Hierarchii H = (H, ) lze ekvivalentně vyjádřit a názorným způsobem zobrazit pomocí tzv. orientovaného grafu G = (V, E). Prvky množiny H tvoří uzly grafu G, tj. V = H, množina hran E grafu G je tvořena všemi dvojicemi prvků x,y H, pro něž platí: x y. 6.3 PRIORITY Kognitivní psychologové došli k závěru, že existují dva druhy porovnávání (srovnávání): absolutní a relativní. Při absolutních srovnáních jsou alternativy porovnávány se zavedeným standardem, který byl vyvinut v minulosti obvykle na základě zkušeností. Kritérium, podle něhož hodnotíme absolutně, jsme v kapitole 1. nazvali kardinálním kritériem. Při relativních srovnáních jsou alternativy srovnávány párově obvykle pomocí všeobecně používaných hodnotících výrazů, jako "horší", "lepší" apod. AHP používá při obou typech srovnávání kardinální škály (stupnice), jak o tom bylo pojednáno v kapitole 2. V této subkapitole se budeme podrobně věnovat postupu, který vede ke kardinalizaci párových porovnání a jehož výsledkem jsou relativní ohodnocení ve tvaru vah w ki, pro každý prvek "i" z k-té hierarchické úrovně L k, vzhledem k danému prvku z nadřazené úrovně L k

69 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Při párovém porovnávání jsou prvky i a j z L k porovnávány s ohledem na vlastnost, která je jim společná. Výsledek porovnávání je interpretován jako odhad poměru w ki /w kj pomocí základní stupnice. Tímto způsobem se postupným porovnáváním získá matice párových porovnání a z ní se potom vypočte maximální vlastní číslo, následně pak vlastní vektor, jehož normalizací získáme požadované váhy w ki. Připomínáme, že v problému vícekriteriálního rozhodování, kterému jsme se věnovali v kapitole 5, konkrétně v metodě váženého součtu, šlo o analogický problém, avšak v hierarchii pouze se 3 úrovněmi. Nyní máme obecný problém s h úrovněmi, kde h je celé číslo větší nebo rovno 3. Tímto se rozšiřují možnosti metody váženého součtu, neboť kromě kritérií lze uvažovat subkritéria, sub-subkritéria atd. Absolutním hodnocením jsme se již zabývali v kapitole 5, kde jsme zavedli pojem normalizace kardinálních kritérií. V situaci hierarchického systému s více než třemi úrovněmi se již nemusí jednat o kritéria hodnocení přesně ve smyslu vícekriteriálního rozhodování z kapitoly 1. Jinak řečeno, jde o absolutní hodnocení prvků z k-té hierarchické úrovně L k, vzhledem k danému prvku z nadřazené úrovně L k-1. Pro jednoduchost a podobnost s předchozím přístupem budeme takovému hodnocení říkat také kardinální kritérium, půjde však o kardinální kritérium v širším smyslu. DEFINICE 6.5. NORMALIZOVANÉ KRITÉRIUM Nechť f i L k-1 je maximalizační kardinální kritérium na množině L k, dále nechť f i : L k R. Předpokládáme, že kritérium f i nabývá pouze kladných hodnot, tj. f i (x j ) 0 pro všechna x j L k. Pro každé f i L k-1, zavedeme namísto původního kritéria f i normalizované kritérium G i : G i (x) = n fi ( x), x L k. (6.3) f ( x ) i j1 j Normalizovaná kritéria (5.3) transformují hodnoty původního kritéria do jednotkové škály [0,1]. Z (5.3) je zřejmé, že pro G i platí základní vztah normalizace: n j1 G i ( x j ) = 1. (6.4) Základní škála Párová porovnání jsou v AHP aplikována na dvojice homogenních prvků, tj. prvků ze stejné hierarchické úrovně. Základní škála (stupnice) absolutních hodnot pro vyjádření intenzity úsudků je uvedena v Definici 6.5. Jedná se o devítibodovou škálu, o níž byla řeč v kapitole 3. Vyznačené liché hodnoty 1,3,5,7,9 jsou hlavní, mezilehlé sudé hodnoty doplňkové vedlejší

70 6 Analytický hierarchický proces (AHP) DEFINICE 6.6. DEVÍTIBODOVÁ ŠKÁLA Hodnotící stupeň Porovnání prvků x a y Vysvětlení 1 x je stejně důležitý, jako y Oba prvky přispívají stejnou měrou k výsledku 2 x je slabě důležitější než y První prvek je slabě důležitější než druhý 3 x je mírně důležitější než y Zkušenosti a úsudek mírně preferují první prvek před druhým 4 x je více důležitý než y O něco silnější preference než předchozí 5 x je silně důležitější než y Silná preference prvního prvku před druhým 6 x je mnohem silněji důležitý než y O něco silnější preference než předchozí 7 x je velmi silně důležitější než y Velmi silná preference prvního prvku před druhým 8 x je o mnoho velmi silně důležitější, než y O něco silnější preference než předchozí 9 x je extrémně důležitější než y Skutečnosti upřednostňující první prvek před druhým mají nejvyšší stupeň průkaznosti Výše uvedená stupnice byla verifikována nejen v mnoha aplikacích u velkého množství osob, ale byla také teoreticky porovnávána s mnoha jinými stupnicemi. Číselné hodnoty hodnotících stupňů vypovídají, kolikrát větší z prvků převládá nad menším prvkem ve vztahu k vlastnosti společného kritéria. Na druhé straně menší prvek má reciprokou - inverzní hodnotu ve vztahu k většímu. Jestliže z znamená, kolikrát prvek a převládá nad prvkem b (podle společného hodnotícího kritéria), potom velikost prvku b je 1/ z = z -1 velikosti prvku a. Při slovním hodnocení je podle povahy věci namístě nahradit výraz důležitý, resp. důležitější apod., jinými vhodnými výrazy, resp. jejich tvary, např.: významný, velký, výrazný, pravděpodobný apod. V případě, že jsou prvky hodnotově blízké, pak srovnáním neurčujeme, kolikrát je první prvek větší než druhý, ale jak "daleko" má první prvek k druhému. Pro větší přesnost hledaných vah můžeme také postupovat tak, že prvky, které jsou si blízké ve vztahu k nějakému kritériu, přímo srovnáváme ještě s jinými, odlišnějšími prvky, které nás pro účely rozhodování sice přímo nezajímají, avšak poslouží jako etalon Stanovení vah z matice párových porovnání Párová porovnání představují relativní hodnocení prvků z k-té hierarchické úrovně L k vzhledem k danému prvku f z nadřazené úrovně L k-1. Přitom hodnocení jednotlivých párů je vyjadřováno hodnotícími stupni ze základní škály. Východiskem pro konstrukci vah uvažovaných prvků x i L k, vzhledem ke kritériu f L k-1, je matice párových porovnání S f = {s ij }. Hodnota s ij vyjadřuje poměr významností prvku x i k významnosti prvku x j, vzhledem k prvku f L k-1, tj. poměr vah v i a v j : v i sij, x i, x j L k, i,j = 1,2,...,m, (6.5) v j kde m je počet prvků v L k

71 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Protože však váhy v i nejsou předem známy, (naším cílem je právě váhy stanovit), využívá se k jejich stanovení dodatečná informace o číslech s ij, které jsou prvky základní škály 1 až 9, jestliže x i je významnější než x j, tj.: s ij {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (6.6) V opačném případě platí: s ij = 1. (6.7) s ji Vztah (6.7) jsme přirozeně interpretovali takto: Jestliže prvek x j je s ji -krát významnější než prvek x i, potom významnost prvku x i představuje 1/s ji -tou část významnosti prvku x j. Jestliže pro prvky s ij matice S f = s ij } platí (5.7), potom říkáme, že matice S f je reciproká. Konstrukce vah uvažovaných kritérií metodou AHP spočívá ve výpočtu vlastního vektoru odpovídajícího maximálnímu vlastnímu číslu max matice párových porovnání S f. Řešením soustavy m rovnic o m neznámých w = (w 1, w 2,...,w m ) ve vektorovém tvaru: (S f - max I) w = 0, (6.8) nebo jinak vyjádřeno: S f w = max w, (6.9) kde max je maximální vlastní číslo matice S f a I je jednotková matice, získáme vlastní vektor w, z něhož pak stanovíme hledané váhy takto: v i = w i / w, i = 1,2,..., m. (6.10) n 2 Symbol w zde označuje velikost vektoru w, např. w = w i. j1 Zatím však nevíme, zda vůbec nějaké vlastní číslo matice S f existuje a pokud ano, zda může být vícenásobné, jakožto kořen charakteristického polynomu a jaký význam má vícenásobnost vlastního čísla na výsledné váhy. Na tyto otázky odpovíme v následujícím odstavci Vlastní čísla a vlastní vektory reciprokých matic Jak již bylo řečeno, párová porovnání relativní hodnocení prvků z k-té hierarchické úrovně L k vzhledem k danému prvku f z nadřazené úrovně L k-1 jsou vyjadřována hodnotícími stupni ze základní škály, nebo poněkud obecněji z intervalu [1,+], kde připouštíme i neceločíselná hodnocení, tedy rozšíření původní 9-bodové škály. Východiskem pro konstrukci vah uvažovaných prvků x i L k, vzhledem ke "kritériu" f L k-1, je matice párových porovnání S f =

72 6 Analytický hierarchický proces (AHP) {s ij }. Hodnota s ij vyjadřuje poměr významností prvku x i k významnosti prvku x j, vzhledem k prvku f L k-1, tj. poměr vah v i a v j : v i sij, x i, x j L k, i,j = 1,2,...,m, (6.11) v j kde m je počet prvků v L k. Váhy v i však nejsou předem známy, proto se využívá k jejich stanovení dodatečná informace o číslech s ij, které jsou prvky základní škály, tj. intervalu [1,9], jestliže x i je významnější než x j, tj.: s ij [1,9]. (6.12) V opačném případě, tj. když x j je významnější než x i, platí: s ij = 1 / s ji. (6.13) Pro jednoduchost budeme matici párových porovnání S f = {s ij } označovat dále pouze symbolem S s tím, že budeme mít na mysli některý konkrétní prvek f, tj. kritérium z vyšší hierarchické úrovně. Matice párových porovnání S vyhovuje vztahům (6.11), (6.13), a proto všechny prvky s ij matice S jsou kladné, tj. s ij 0, jinak řečeno, matice S je kladná. Kladná matice je speciálním případem ireducibilní matice (viz Doplněk 1), pro kterou platí známá Perron-Frobeniova věta o vlastních číslech. Její důkaz je možné nalézt např. v [11]. TVRZENÍ 6.7. PERRON-FROBENIOVA VĚTA O VLASTNÍCH ČÍSLECH MATIC Nechť S 0 je nezáporná ireducibilní čtvercová matice typu mm. Potom: S má jednoduché (tj. nikoliv vícenásobné) kladné maximální vlastní číslo max. Vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu max má kladné složky a je určen jednoznačně až na kladný násobek. Pro maximální vlastní číslo max a libovolný vektor x 0 z R m platí: max = i max min = x0 1im xi Sx Sx i min max. (6.14) x0 1im xi Tvrzení 6.7. zajišťuje pro matici párových porovnání S f = {s ij } vyhovující vztahům (6.11). (6.13) existenci jak kladného maximálního vlastního čísla max, tak příslušného vlastního vektoru s kladnými složkami, z něhož po normalizaci získáme požadovaný vektor vah. Poslední část tvrzení poskytuje užitečný odhad velikosti max, tj. pro libovolné x 0 platí odhad: Sxi Sx i. min max im x 1max im 1 i x i

73 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY TVRZENÍ 6.8. WIELANDTOVA VĚTA Nechť S 0 je ireducibilní čtvercová matice typu mm, (např. pozitivní matice), označíme e = (1,1,,1). Potom pro vlastní vektor w odpovídající maximálnímu vlastnímu číslu max matice S platí: w = k k S e lim, (6.15) k S kde S k T k e S e, tj. součet všech prvků matice S k. Důkaz Tvrzení 6.8. lze nalézt v [Saaty91a]. Toto tvrzení je důležité nejen z teoretického, ale i praktického důvodu, neboť poskytuje jednoduchou metodu výpočtu vlastního vektoru příslušejícího k maximálnímu vlastnímu číslu. Vzhledem ke konvergenci výrazu v (6.15) k vlastnímu vektoru, stačí vypočítat mocninu matice S k, pro dostatečně velké k, a pak vyčíslit hodnotu (S k e)/ S k w. Všimněte si, že S k představuje vlastně součet všech prvků matice S k, tj. k-té mocniny matice S Konzistence matice párových porovnání Jak již bylo několikrát uvedeno, východiskem pro konstrukci vah uvažovaných prvků x i L k z k-té hierarchické úrovně vzhledem ke kritériu f L k-1, je matice párových porovnání S = {s ij }. Hodnota s ij vyjadřuje poměr významností prvku x i k významnosti prvku x j, vzhledem k prvku f L k-1, tj. poměr vah v i a v j : v i sij, x i, x j L k, i,j = 1,2,...,m, (6.16) v j kde m je počet prvků v L k. O matici S nyní předpokládáme, že je reciproká, tj.: s ij = 1, pro všechna i,j = 1,2,..., m, (6.17) s ji a dále že je konzistentní, tj. že relace, kterou matice reprezentuje je tranzitivní: s ij = s iq s qj pro všechna i,j,q = 1,2,..., m. (6.18) Konzistence matice párových porovnání S = {s ij } znamená, že hodnocení prvků x i L k je důsledné. Jestliže prvek x i je s iq -krát významnější než prvek x q (podle hodnotícího kritéria f), a dále prvek x q je s qj -krát významnější než prvek x j, potom prvek x i je s ij = s iq.s qj -krát významnější než prvek x j. V praktických párových porovnáních podle kvalitativních kritérií je naprostá konzistence spíše výjimečná, obvykle nastává porušení podmínky konzistence pro některá, nebo někdy dokonce pro všechna i,j,q = 1,2,..., m. Naopak typickým příkladem konzistentní matice párových porovnání je situace, kdy se porovnávání párů provádí na základě nějakého (normalizovaného) kvantitativního kritéria, tj

74 6 Analytický hierarchický proces (AHP) když váhy hodnoty kvantitativního kritéria v i 0 a v j 0 jsou známy, a tedy pro prvky matice párových porovnání s ij platí: v i sij, pro všechna i,j = 1,2,...,m. (6.19) v j TVRZENÍ 6.9. Nechť S = {s ij } je kladná čtvercová matice typu mm, jejíž prvky splňují (6.19), kde v = (v 1,v 2,,v m ) je vektor kladných čísel. Potom platí: S v = m v. (6.20) Na levé straně rovnice (6.20) stojí vektor, vyjádříme jeho i-tou složku: m m m vi (S v) i = sijv j v j vi mvi, v j1 j1 j j1 což je i-tá složka pravé strany rovnice (6.20). Proto rovnici (6.20) lze ekvivalentně přepsat ve tvaru: (S - m I)v = 0, (6.21) tudíž m je vlastní číslo matice S a v je příslušný vlastní vektor. V následujícím tvrzení ukážeme, že m je maximální vlastní číslo matice S splňující (5.20). TVRZENÍ Nechť S = {s ij } je kladná čtvercová matice typu mm, jejíž prvky splňují (6.19), v = (v 1,v 2,,v m ) je vektor s kladnými složkami v i > 0. Potom platí: m max m (6.22) a pro všechna ostatní vlastní čísla platí: 0, i = 1,2,,m-1. Důkaz lze nalézt např. v [Ram-Per]. i Doposud jsme uvažovali matici párových porovnání ve speciálním tvaru (6.19), který vznikne tehdy, máme-li k dispozici kvantitativní kritérium, podle něhož prvky porovnáváme. Ukázali jsme, že takto vzniklá matice párových porovnání je reciproká, konzistentní (tranzitivní) a maximální vlastní číslo je rovno rozměru matice m. Nyní ukážeme, že platí také obrácené tvrzení, že totiž každá kladná konzistentní matice má tvar (6.19). Důkazy tvrzení lze nalézt např. v [21]

75 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY TVRZENÍ Nechť S 0 je čtvercová matice typu mm, která je konzistentní, tj. splňuje vztah (6.18). Potom existuje vektor v = (v 1,v 2,,v m ) s kladnými složkami v i > 0, takový, že prvky s ij matice S splňují (6.19), tj. v i sij, pro všechna i,j = 1,2,...,m. v j TVRZENÍ Nechť S 0 je kladná čtvercová matice typu mm, která je konzistentní, tj. splňuje vztah (6.18). Potom S je reciproká a pro její maximální vlastní číslo platí: max m m a všechna ostatní vlastní čísla i 0, i = 1,2,,m-1. V reálných případech párového porovnání, kdy kritérium má ordinální povahu, je konzistentnost matice párových porovnání obvykle porušena, zatímco reciprocita je zachována díky tomu, že pro každou dvojici prvků provádíme pouze jedno ohodnocení, opačné páry ohodnotíme automaticky převrácenou hodnotou. V následujících tvrzeních ukážeme, že vlastní číslo matice párových porovnání, která je reciproká (nemusí být konzistentní), není menší než m, jestliže je maximální vlastní číslo rovno m, potom je matice párových porovnání konzistentní. Následně pak zavedeme míru nekonzistence matice párových porovnání pomocí koeficientu nekonzistence. V závěru tohoto odstavce se zmíníme o problému zavedení koeficientu nekonzistence pro celou hierarchii. TVRZENÍ Nechť S 0 je kladná čtvercová matice typu mm, která je reciproká, tj. splňuje vztah (6.17). Potom pro její maximální vlastní číslo platí: m. (6.23) max TVRZENÍ Nechť S 0 je kladná čtvercová matice typu mm, která je reciproká. Jestliže pro její maximální vlastní číslo platí: m, max potom matice S je konzistentní. Nadále nás bude zajímat míra případné nekonzistence matice párových porovnání. Z tohoto důvodu zavedeme následující pojem

76 6 Analytický hierarchický proces (AHP) DEFINICE Nechť S 0 je ireducibilní čtvercová matice typu mm. Indexem nekonzistence matice S nazýváme číslo I S definované vztahem: max m I S. (5.24) m 1 Podle Tvrzení 6.7. (Perron Frobeniova věta) je index nekonzistence ireducibilní matice S korektně definován, neboť max je reálné kladné číslo. Je-li navíc S kladná a reciproká, potom podle Tvrzení je I S 0, dále podle Tvrzení 6.14 je I S = 0 právě když je S konzistentní. Čím větší je index nekonzistence, tím větší nedůsledností se vyznačují párová porovnání v matici párových porovnání S. Naopak, čím více se index nekonzistence blíží k 0, tím se konzistence více blíží perfektní konzistenci. Nyní se vrátíme zpět k hierarchii H, abychom definovali index nekonzistence pro celou hierarchii s h hierarchickými úrovněmi. Pro každý prvek f z k-té hierarchické úrovně L k máme matici S f párových porovnání prvků z nižší hierarchické úrovně L k+1 a k ní příslušný index nekonzistence I S Vzniká problém, jak na základě dílčích indexů nekonzistence I f S f definovat index nekonzistence hierarchie I H. Tímto problémem se budeme zabývat v závěru této kapitoly, která bude věnována syntéze dílčích ohodnocení v hierarchii. 6.4 SYNTÉZA V této subkapitole se budeme věnovat syntéze dílčích hodnocení jednotlivých prvků v hierarchii s cílem získat agregované celkové hodnocení. Uvažujme nejprve hierarchii H = (H, ), která má minimálně 2 úrovně, tj. h 2. Zvolme úroveň k a vyšetřujme konkrétně po sobě následující hierarchické úrovně L k, L k+1, jejich prvky označme takto k k k L k = x 1, x2,..., xm, (6.25) k k1 k1 k1 L k+1 = x, x,... x. (6.26) 1 3 mk 1 Z označení (6.25) a (6.26) vyplývá, že hierarchická úroveň L k má m k prvků a úroveň L k+1 má m k+1 prvků. DEFINICE Ke každému prvku x L k, který je kritériem pro párová porovnání prvků z L k+1 obdržíme reciprokou matici párových porovnání S x na prvcích z x - L k+1. K této matici přísluší maximální vlastní číslo a k němu vlastní vektor - vektor vah k k k k v ( x) v ( x), v ( x),..., v ( ). (5.29) 1 2 m x k1 Zde jsme přiřadili váhu 0 těm prvkům z L k+1, které nepatří do x -. Tento vektor nazýváme vektor priorit k-té hierarchické úrovně vzhledem k prvku x L k

77 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY DEFINICE Matici priorit k-té hierarchické úrovně B k hierarchie H = (H, ), která má minimálně 2 úrovně, tj. h 2, k{1,2,,h-1}, nazveme matici typu m k+1 m k, jejíž prvky jsou tvořeny vahami v k (x) pro všechny prvky x L k, takto k k v1 ( x1 ) k k B k = v2 ( x1 ) k k vm ( x ) i 1 k 1 k 2 k 2 k 2 v ( x ) v ( x ) k k v ( 1 m x i1 2 ) v k 1 k 2 k mi1 k mi k mi v ( x v ( x ( x k m ) ). ) i DEFINICE Nechť 1 p < q h-1. Vektorem priorit q-té hierarchické úrovně vzhledem k prvku x L p nazveme vektor v q (x) definovaný následovně: p v q (x) = B q B q-1 B p+1 v p (x). (6.28) p Podle Definice má vektor priorit q-té hierarchické úrovně tolik složek, kolik je prvků (q+1)-ní hierarchické úrovně, tedy m q+1. Vektor v q (x) určuje relativní důležitosti (významnosti) prvků na úrovni L q+1 vzhledem ke kritériu na vyšší úrovni L p, což nemusí být pouze bezprostředně vyšší úroveň. Vztah (6.28) je tedy zobecněním vztahu (6.27), který má platnost pouze pro bezprostředně vyšší hierarchickou úroveň. Přenos vlivu prvku x z vyšší hierarchické úrovně je zprostředkován řetězovým násobením sousedních matic priorit. Nejčastějším případem je situace, kdy p = 1, q = h-1. Potom nejvyšší hierarchická úroveň obsahuje jediný prvek g - Globální cíl, tedy L 1 = {g} a na nejnižší hierarchické úrovni L h se nacházejí obvykle základní prvky hierarchie hodnocené varianty. Vektor priorit je potom syntetickým vektorem vah hodnocených variant vzhledem ke globálnímu cíli: h1 v ( ) = B h,-1 B h-2 B 2 v 1 (g). (6.29) 1 g PŘÍKLAD 6.2. KLASICKÝ VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVACÍ PROBLÉM p Použijeme výsledek (6.29) na 3-úrovňovou hierarchii H, tj. klasický vícekriteriální rozhodovací problém: L 1 = {g} globální (celkový) cíl, L 2 = {f 1, f 2,,f m } - kritéria, L 3 = {a 1, a 2,,a n } varianty. Pro p = 1, q = 2 se vzorec (6.29) redukuje na tvar: v 2 1 ( g ) = B 2 v 1 (g),

78 6 Analytický hierarchický proces (AHP) kde v 1 (g) = (w 1, w 2,,w m ) jsou váhy kritérií vzhledem k cíli g, váhu varianty a i vzhledem ke kritériu f j označíme symbolem v i (f j ), pak podle Definice má matice B 2 tvar B 2 = ) (... ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( m n n n m m f v f v f v f v f v f v f v f v f v. Vektor výsledných vah variant vzhledem ke globálnímu cíli má pak tvar: ) ( 2 1 g v = ) (... ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( m n n n m m f v f v f v f v f v f v f v f v f v w m w w 2 1 = m i i n i m i i i m i i i f w v f w v f w v ) ( ) ( ) (. (6.29 ) Jinak řečeno, variantě a j přísluší výsledná (syntetizovaná) váha m i i j i f w v 1 ) (, j = 1,2,,n. Podle těchto výsledných vah můžeme varianty uspořádat, eventuálně rozhodnout se pro optimální variantu (mající největší váhu). V závěru této subkapitoly se budeme věnovat souhrnnému indexu nekonzistence hierarchie H = (H, ), která má h 2 hierarchických úrovní. V předchozí subkapitole jsme zavedli index nekonzistence pro každý prvek hierarchie s výjimkou prvků, které leží v nejnižší hierarchické úrovni L h. Pro každý prvek x L 1 L 2 L h-1 existuje kladná reciproká matice párových porovnání S x k prvkům ležícím v x -. V subkapitole 5.3. byl pro ni definován index nekonzistence S x I, který nyní pro jednoduchost označíme I x. DEFINICE Nechť 1 k h-1. Index nekonzistence k x I prvku x z hierarchické úrovně L k definujeme takto: Pro k = h-1 položíme: h1 x I = I x pro všechna x L h-1. Pro 1 k h-1 definujeme index nekonzistence postupně takto: Je-li definováno k 1 y I pro všechna y L k+1, potom definujeme: k x I = max 1 1 ) (, L k y k y k y x I x v I pro všechna x L k. (6.30)

79 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Index nekonzistence I H hierarchie H je definován vztahem: I H = I 1 g. Souhrnný index nekonzistence hierarchie je definován jako index nekonzistence prvku g (globálního cíle) z hierarchické úrovně L 1. Konstrukce indexu nekonzistence prvku x z hierarchické úrovně L k spočívá v tom, že se nejprve vypočte vážený součet z indexů nekonzistence podřízených prvků y v L k 1 k k 1 ( x) I y y a ten se porovná s původním indexem nekonzistence I x, za výsledný index nekonzistence prvku x z hierarchické úrovně L k se pak vezme větší z obou čísel. Samostatný úkol: Výpočet kompromisní varianty úlohy Rodinný dům Uvažujme problém Koupě rodinného domku, kdy cílem je výběr optimálního rodinného domu pro jistou rodinu. V úvahu připadají 3 alternativy: A 1, A 2, A 3. Je stanoveno 6 kritérií hodnocení rodinného domku: K 1 - cena domu (tis. Kč), K 2 - stáří domu (počet let), K 3 - velikost domu (počet obytných místností), K 4 - veřejná doprava (1 až 10 bodů), K 5 - vybavení domu (1 až 10 bodů), K 6 - okolí domu (1 až 10 bodů). Následující tabulka představuje kriteriální matici tohoto rozhodovacího problému: cena stáří velikost veřejná vybavení okolí Varianta/kritérium domu domu domu doprava domu domu A A A a) Saatyho metodou párového porovnání s využitím MS Excelu stanovte váhy jednotlivých kritérií pro situaci, která odpovídá vašim preferencím, takto: Stanovte matici párových porovnání S, typu (66). Pomocí Tvrzení 5.7, pro dostatečně velikou hodnotu k, vztah (6.15), vypočtěte vektor vah w odpovídající maximálnímu vlastnímu číslu (program v souboru Saaty_vahy.xls). b) Proveďte normalizaci jednotlivých kritérií. c) Pomocí syntézy popsané v kapitole 5, stanovte optimální variantu. d) Podle vzorce (6.24) vypočtěte index nekonzistence matice párových porovnání S a dále celkový index nekonzistence podle (56.30)

80 6 Analytický hierarchický proces (AHP) Kontrolní otázky 6: 1. Vysvětlete pojem hierarchie a úplná hierarchie. V čem je rozdíl? 2. Vyjmenujte a charakterizujte jednotlivé stupně Saatyho devítibodové stupnice. 3. Co je skalarizace ordinální informace a jaké jsou dva hlavní přístupy? 4. Vysvětlete význam Perron-Frobeniovy věty. 5. Vysvětlete význam Wielandtovy věty. 6. Charakterizujte pojmy konzistence, nekonzistence, index nekonzistence, index nekonzistence hierarchie. 7. Co je ireducibilní matice a jaká je nejdůležitější postačující podmínka, aby matice byla ireducibilní? Příklad Doplňte každou z následujících matic tak, aby byla reciproká, a spočtěte váhy Saatyho metodou s využitím Wielandtovy věty. Použijte k tomuto účelu jak Excelovskou aplikaci Saaty, tak doplňek DAME a výsledky porovnejte. a) b) ( ) ( ) a) Řešení ( ) Saaty.xls : 1.interace (m = 1, k = 2)

81 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 2.iterace (m = 2, k = 4) 3.iterace (m = 4, k = 8)

82 6 Analytický hierarchický proces (AHP) 4.iterace (m = 8, k = 16) 5.iterace (m = 16, k = 32) Parametr Lambda v posledním sloupci napravo je již velmi vyrovnaný, resp. podobný ve všech řádcích. Lze tedy iterace zastavit a přečíst výsledné váhy ve sloupci označeném w. Porovnejme tento výsledek s výsledkem poskytnutým programem DAME: DAME: Jak je vidět (poslední sloupec vpravo), váhy jsou do jistého desetinného místa prakticky totožné

83 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY b) ( ) Saaty.xls 1.iterace 2.iterace

84 6 Analytický hierarchický proces (AHP) 3.iterace 4.iterace 5.iterace

85 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY DAME:

86 7 Použití AHP v rozhodování - případové studie 7 POUŽITÍ AHP V ROZHODOVÁNÍ - PŘÍPADOVÉ STUDIE 7.1 ANALYTICKÝ HIERARCHICKÝ PROCES Modelování, přesněji matematické modelování procesu rozhodování, je způsob, jakým lze vnést řád do chaotické rozhodovací situace. Model je vždy reprezentací určitého objektu nebo myšlenky, který jej nebo ji umožňuje lépe pochopit. Při procesu modelování sobě i jiným vyjasníte nejdůležitější prvky, hlavní možnosti a hodnotící stanoviska v rozhodovacím problému. Při sestavování konkrétního modelu je menší pravděpodobnost přehlédnutí podstatných aspektů rozhodování, specifikace alternativ může inspirovat rozhodovatele k hledání nových alternativ, které nemusí být na první pohled zřejmé. Model sám zůstane zaznamenán pro další možné přehodnocení rozhodnutí v budoucnu při eventuální změně podmínek dřívějšího rozhodnutí. V první části kapitoly navážeme na teoretické základy metody AHP s nimiž jsme se seznámili v předchozí kapitole a naučíme se rozčlenit postup při rozhodování pomocí metodiky AHP do 7 postupových kroků, tak, aby bylo možno rozhodovací problém efektivně vyřešit, to jest stanovit kompromisní řešení, a to buď s pomocí Excelu, softwarového nástroje Expert Choice nebo Excelovského doplňku DAME. Ve druhé části kapitoly se seznámíme se dvěma případovými studiemi: výběrem automobilu a výběrem vysavače typickými příklady rozhodování při nákupu přístrojů nebo zařízení v běžném podnikání či v rodinném životě. V této kapitole se částečně seznámíme s Excelovským doplňkem DAME, ve kterém lze řešit typické rozhodovací úlohy. Pro ty, kteří mají hlubší zájem o tuto problematiku, pak lze doporučit také komerční produkt Expert Choice, jenž je k dispozici na internetové adrese Na této adrese lze nalézt v angličtině spoustu doplňujících materiálů včetně realizovaných rozhodovacích projektů z různých oblastí lidské činnosti. Z této webové stránky je také možné stáhnout demonstrační verzi nejnovější verze tohoto programu. Analytický hierarchický proces (AHP) tvoří ucelený metodologický nástroj pro podporu rozhodování. Nabízí vhodný způsob integrace složitosti, výběru cílů a kritérií a stanovení jejich priorit k určení celkového hodnocení každého alternativního řešení - konkrétního rozhodnutí. AHP používá hierarchický rozhodovací model, který je založen na matematických základech, jak jste se měli možnost přesvědčit v předchozí kapitole. 7.2 AHP - 7 KROKŮ V ROZHODOVÁNÍ V této kapitole shrneme hlavní zásady použití AHP pro praktického rozhodování do 7 kroků. Připomeňme přitom známé rčení, že řízení je spíše uměním než vědou a tudíž o rozhodování - jeho integrální součásti, platí totéž. Těchto 7 kroků je zároveň navrženo tak, že současně dovoluje praktické využití programu DAME: Krok 1: Analýza a definování rozhodovacího problému. Krok 2: Eliminace nepřípustných alternativ. Krok 3: Strukturování hierarchického modelu. Krok 4: Dílčí vyhodnocení a párové porovnávání. Krok 5: Syntéza dílčích hodnocení. Krok 6: Verifikace rozhodnutí. Krok 7: Dokumentace rozhodnutí

87 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Krok 1: Analýza a definování rozhodovacího problému První krok rozhodovacího procesu zahrnuje 3 složky: identifikaci problému, identifikaci alternativ a kritérií, analýza alternativ. Identifikace problému Identifikace problému patří do Simonovy 1. fáze rozhodování - vyhledávání vhodných rozhodovacích situací, viz [39], a prakticky znamená zjištění, jaké příležitosti pro rozhodování existují a také jaké okolí a podmínky na ně působí. K identifikaci problému dochází při formálních situacích (např. pracovní porady, kontrolní dny apod.) i za neformálních okolností (např. oběd, oslava apod.). Výběr toho, které problémy se mají analyzovat s cílem budoucího rozhodnutí, závisí na jejich důležitosti a složitosti, což ovšem může být rovněž problém zasluhující podrobnější analýzu. Pro definování problému je důležité stanovit nějaké pevné předpoklady, nejčastěji z jakého pohledu se má problém analyzovat, například zda se má problém analyzovat z pohledu průměrného spotřebitele, běžného občana, majitele podniku, z pohledu vlády státu apod. Důležitou podmínkou je stanovení hlavního cíle rozhodování. Identifikace kritérií a alternativ Faktory, které ovlivňují rozhodovací problém, nazýváme kritéria (vlastnosti, atributy, charakteristiky, hlediska). Na Obr je znázorněn příklad rozhodovacího problému "Výběr nemovitosti pro umístění podniku", kde je stanoveno 6 kritérií hodnocení nemovitosti pro umístění podniku: K1 - "cena nemovitosti" K2 - "stáří nemovitosti" K3 - "velikost nemovitosti K4 - "vybavení nemovitosti K5 - "atraktivnost místa" K6 - "dostupnost místa pro zákazníky"

88 7 Použití AHP v rozhodování - případové studie Obr Výběr nemovitosti pro umístění podniku V úvahu pro rozhodování připadají 3 alternativy: A1, A2, A3, umístěné v dolní úrovni hierarchického modelu, pod úrovní kritérií. Koncepčně lze při identifikaci začít u identifikace kritérií a poté až identifikací alternativ, to je postup "shora dolů", nebo lze začít identifikací alternativ a poté stanovit příslušná kritéria, tj. zvolit postup "zdola nahoru". Často však mezi kritérií a alternativami existuje vzájemná závislost, takže znalost kritérií teprve umožňuje stanovení alternativ, jindy tomu je obráceně: znalost alternativ podmiňuje znalost informací o kritériích. Proto volba postupu "shora dolů", nebo "zdola nahoru" závisí na informacích, které jsou k dispozici. Jestliže je více známo o problému samém, než o možnostech, jak jej řešit, pak je namístě postup "shora dolů". Tato znalost totiž dovoluje jednodušší způsob stanovení kritérií a až poté identifikaci alternativ, které závisejí na rozhodovacích kritériích, jež mají naplňovat. Například při výběru vhodné alternativy zdravého způsobu stravování se bude vycházet ze zdravotních hledisek lidského organismu (kritérií) a až poté se budou formulovat jídelníčky konkrétních pokrmů. Ve výše uvedeném příkladu Výběr nemovitosti pro umístění podniku je rovněž primární spíše znalost kritérií výběru a až poté následuje průzkum vhodných alternativ na trhu s nemovitostmi. Když je naopak primární znalost o alternativách přicházejících v úvahu pro rozhodnutí, pak je vhodné začít postupem "zdola nahoru". Kritéria se pak postupně odvodí z vlastností jednotlivých alternativ. Rozbor alternativ Jak zjistit, o které alternativy v první řadě jde v určitém rozhodovacím problému? Někdy je z povahy problému zřejmé, které alternativy se mají uvažovat, jindy tomu tak není. Vymýšlení alternativ je úkolem brainstormingu, odborné diskuse, výzkumu toho, co je nebo není potřebné, eventuálně vhodné, vyhodnocením nápadů a pohledů jiných do rozhodování zainteresovaných osob a institucí. Lidský mozek je zde rozhodujícím činitelem. Žádný počítač se sebedokonalejším softwarem nenahradí tvořivou mysl, i když jí může být v mnohém nápomocen, např. při organizování a strukturování kritérií, vyhodnocování individuálních alternativ přicházejících v úvahu a vylučování alternativ pro rozhodování nevhodných

89 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Na závěr tohoto odstavce jednu důležitou poznámku k rozsahu modelu: Rozhodovací model nemusí obsahovat každý prvek, na který v procesu identifikace narazíme. Existuje reálné nebezpečí, že vytvoříme model tak komplikovaný a rozsáhlý, že bude bezcenný pro stanovení jakýchkoliv relevantních rozhodnutí. Model by měl být jen tak velký a složitý, aby reprezentoval hlavní rozhodovatelovy zájmy a zároveň tak malý a jednoduchý, aby reagoval na změny relevantních vstupů. Krok 2: Eliminace nepřípustných alternativ Nastavení aspiračních úrovní Aspirační úroveň daného kritéria představuje minimální (postačující) požadavky na alternativu (z pohledu tohoto kritéria). Nastavení aspirační úrovně závisí na znalostech rozhodovatele o rozhodovacím problému a na globálním cíli rozhodování. Čím náročněji je aspirační úroveň stanovena, tím méně alternativ ji obvykle vyhovuje. K tomu viz podrobněji kapitola 3. Eliminace alternativ nevyhovujících aspirační úrovni V případě již stanovené aspirační úrovně je eliminace nevyhovujících alternativ poměrně jednoduchý krok uskutečnitelný s pomocí papíru a tužky. V příkladu s výběrem vhodné nemovitosti uvažujme kupříkladu kritérium K1 cena nemovitosti. Pokud nastavíme aspirační úroveň např. na 3 mil. Kč, pak všechny nemovitosti s cenou nad 3 mil. Kč vypadnou. V případě mnoha kritérií a/nebo alternativ lze k tomuto účelu doporučit využití tabulkového kalkulátoru, např. program Excel. Krok 3: Strukturování hierarchického modelu Vytvoření hierarchické struktury ukážeme na příkladu rozhodovacího problému výběru vhodného osobního automobilu pro účely jisté firmy F. Postupem shora dolů stanovíme nejprve hlavní cíl rozhodování, tím je nákup vhodného osobního automobilu pro účely firmy F. Na druhé hierarchické úrovni se budou nacházet hlavní kritéria rozhodování - hlediska: Ek - ekonomické, Te - technické, Es - estetické. Tato hlediska jsou dána povahou problému, z něhož vyplývá potřeba zohlednit právě tato kritéria. Další hierarchická úroveň zahrnuje subkritéria, jež představují podrobnější členění vyšších hledisek hodnocení alternativ. Ekonomické hledisko rozčleníme na subkritéria: Ek1 - prodejní cena, Ek2 - spotřeba paliva, Ek3 - údržba, Ek4 - pojištění. Technické hledisko rozčleníme na subkritéria: Te1 - výkon motoru,

90 7 Použití AHP v rozhodování - případové studie Te2 - velikost zavazadlového prostoru a Te3 - jízdní komfort a bezpečnost. Estetické hledisko rozčleníme na subkritéria: Es1 - celkový vzhled, Es2 - spolehlivost a image výrobce. Nejnižší hierarchickou úrovní je úroveň alternativ. Za použití předchozích kroků byly vybrány tyto alternativy, které jsou v současnosti na trhu nových osobních vozů nižší střední třídy: A1 - Škoda Felicia, A2 - Fiat Punto, A3 - VW Polo, A4 - Renault Clio, A5 - Opel Corsa. Výsledný hierarchický model má tvar znázorněný na Obr Obr. 7.2 Nákup automobilu Heuristické pravidlo pro umístění jednotlivých prvků hierarchie a posouzení, které prvky patří do stejné skupiny je následující: Má smysl vzájemně párově porovnávat prvky s ohledem na nějaký nadřazený prvek? Pokud takové porovnání nemá dobrý smysl, pak umístění prvků v hierarchii není dostatečně definováno, anebo porovnávané prvky nepatří do stejné skupiny. V tom případě je zapotřebí získat o rozhodovacím problému další informace, případně modifikovat hierarchickou strukturu, nebo změnit definice prvků. Jestliže je například jednoduché stanovit kritéria na horní hierarchické úrovni a zároveň na nejnižší úrovni alternativ, avšak hierarchické úrovně mezitím jsou nejasné, pak obvykle nejlepší je začít "shora dolů" v postupném členění kritérií na subkritéria, tak dlouho dokud to jde. Poté přejít k alternativám na nejnižší úrovni, vložit nejblíže nadřazená kritéria a pokračovat postupem "zdola nahoru" až dojde ke spojení s kritérií jdoucími shora dolů

91 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Členění kritérií do skupin podle jednotlivých faktorů rozhodovacího problému je žádoucí nejméně ze dvou důvodů. První spočívá v potřebě vytvořit efektivní hierarchickou strukturu, která správně odráží cíle a kritéria rozhodovacího problému. Druhý důvod pak má spíše technický charakter. Rozčlenění kritérií do hierarchických skupin umožňuje zahrnout větší počet kritérií a to přehledným a srozumitelným způsobem s vynaložením menšího úsilí. Představte si rozhodovací hierarchii, kde na stejné úrovni je velký počet kritérií. Kdybyste měli vzájemně porovnat všechna kritéria, narazili byste na praktické problémy. Předně byste n nn 1 museli porovnat 2 párů kritérií, což je počet který roste kvadraticky v závislosti na 2 n - počtu kritérií. Při větším počtu opakování párových porovnání pak klesá rychle pozornost hodnotitele a jeho hodnocení jsou mnohem méně relevantní, tj. více nekonzistentní. Kapacita lidského mozku je omezená a jak prokazují psychologické výzkumy, lidský mozek dokáže současně pracovat obvykle s 5 až 9 prvky. Všechny tyto důvody vedou k upřednostňování hierarchického členění kritérií do skupin. Krok 4: Dílčí vyhodnocení a párové porovnávání Dílčím vyhodnocováním alternativ podle jednotlivých kritérií a párovým porovnáváním jednoho rozhodovatele jsme se již podrobně zabývali v kapitole 4. V tomto odstavci si povšimneme zejména praktických otázek souvisejících se stanovením příslušných priorit v praktickém rozhodovacím problému. Párové porovnávání v AHP Úsudky a hodnocení tvoří základ pro vytvoření vah v systému AHP. Hodnotí se páry prvků relevantních ke kritériím nebo vlastnostem, které jsou jim společné. Například hodnotíme-li vzhled dvou automobilů, posoudíme, zda první z nich má lepší vzhled než druhý. Navíc máme možnost posoudit, zda první automobil má "mnohem lepší vzhled" než druhý, eventuálně "trochu lepší vzhled", či "stejně dobrý vzhled", krátce, můžeme vyjádřit intenzitu vztahu "mít lepší vzhled" na známé devítibodové stupnici. V dané skupině prvků na stejné hierarchické úrovni jsou porovnány všechny v úvahu připadající páry, a to vzhledem k jim nadřazenému prvku z vyšší hierarchické úrovně. V této souvislosti hovoříme o prvcích podřízené skupiny jako o dětech (anglicky children ) a nadřazených prvcích v bezprostřední nadřazené úrovni jako o rodičích ( parents ). Přitom každou dvojici prvků můžeme porovnávat ze dvou pohledů: první prvek i se přirovnává k druhému prvku j vzhledem k vlastnosti indukované rodičovským prvkem, výsledkem je hodnocení s ij, druhý prvek j se přirovnává k prvnímu prvku i vzhledem k vlastnosti indukované rodičovským prvkem, výsledkem je hodnocení s ji. V praxi se však provádí jen jedno z obou možných porovnání, pro druhé porovnání se využije vlastnosti reciprocity dané vztahem: s ji = 1. s ij Při tomto způsobu hodnocení párů vzniká mnoho "přebytečných" hodnocení, která by při využití tranzitivity nemusela být prováděna. Přesto však prováděna jsou a využívá se jich

92 7 Použití AHP v rozhodování - případové studie k přesnějšímu vyjádření skutečných preferencí, které nejsou obvykle plně konzistentní, tj. tranzitivní, kdy pro všechna i,j,k platí: s ij = s ik s kj, podrobněji viz kapitola 5. Často se provádí hodnocení pomocí měření na nějaké škále, například v eurech, korunách, litrech, kilowatech, vteřinách apod. Tyto škály se vytvořily postupně historickým vývojem, usnadňují člověku komunikaci s jinými lidmi, umožňují obchod, každodenní obživu. Sociální, politické a další kvalitativní faktory však obvykle nelze měřit fyzikálními nebo ekonomickými nástroji. Člověk má schopnost přijímat a rozlišovat široký rozsah pocitů a vjemů. To mu umožňuje rozlišovat a rozvíjet vztahy mezi jednotlivými prvky rozhodovacího problému a stanovit, které prvky mají na něj vliv a jak silný tento vliv je. V AHP je k tomu účelu vytvořena devítistupňová škála, podrobněji viz v kapitole 5. Typy porovnávání: důležitost, preference nebo věrohodnost Při praktickém porovnávání dvou prvků uvažujeme zejména tyto 3 situace: první prvek je důležitější než druhý, první prvek je preferován před druhým, první prvek je věrohodnější (pravděpodobnější) než druhý. Každá z těchto 3 situací nastává v jiných podmínkách. O stupni důležitosti hovoříme v tom případě, když srovnáváme dvě kritéria nebo hodnotící hlediska, například při koupi osobního automobilu může být ekonomické kritérium důležitější než kritérium technické. Stupeň preference se uplatní při porovnávání alternativ podle nějakého kritéria. Například podle kritéria "spolehlivost a image výrobce" je alternativa "VW Polo" preferována před alternativou "Škoda-Fabia". Stupně věrohodnosti (pravděpodobnosti) je vhodné využít tam, kde porovnáváme nejisté jevy nebo prvky. Například alternativa "úroková sazba 6" je věrohodnější (pravděpodobnější) než "úroková sazba 12". Některé naše úsudky - výsledky párového porovnání jsou založeny na intuici, která je zase ovlivněna zkušenostmi a délkou praxe. Jiné úsudky jsou založeny na kvantitativních datech. AHP umožňuje sloučit oba typy úsudků do jednotného rámce a s pomocí systému vah dospět k výslednému celkovému hodnocení. Detailně teoretickým zdůvodněním byl tento proces syntézy popsán v kapitole 5. Praktické aspekty jsou obsahem následujícího 5. kroku. Krok 5: Syntéza dílčích hodnocení Dílčí hodnocení jsou syntetizována (agregována) do výsledného celkového hodnocení na podkladě konkrétního modelu za pomocí vah. Matematický postup této syntézy byl podrobně popsán v kapitole 5, nyní si všimneme praktických aspektů syntézy dílčích hodnocení. Princip syntézy spočívá v postupném výpočtu priorit tj. kladných čísel (menších než 1) postupem shora dolů, od priority celkového cíle rozhodování - ten má hodnotu 1, až k prioritám jednotlivých alternativ. Součet priorit všech uvažovaných alternativ musí být rovněž roven 1. Alternativa s nejvyšší prioritou je považována za nejlepší (kompromisní) řešení rozhodovacího problému. Kromě postupu syntézy popsaného v Kapitole 5, který Saaty ve své knize [30] nazývá distributivní mód, je možný alternativní postup nazývaný ideální mód, viz [30]. V ideálním

93 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY módu je plná jednotková priorita použita na každé hierarchické úrovni vždy pro nejlépe hodnocený prvek v každé skupině (v distributivním módu to bylo pouze na nejvyšší hierarchické úrovni u globálního cíle). V případě ideálního módu se pro účely syntézy provede standardizace namísto původní normalizace. Obě možnosti volby módu jsou součástí programu EC. Výsledky získané syntézou pomocí distributivního a ideálního módu bývají v praktických úlohách velmi často stejné, nebo podobné. Přesto je uplatnění každého módu poněkud odlišné. Ideální mód je možné doporučit v situaci, kdy váhy (sub)kritérií v některých částech hierarchického rozhodovacího modelu se navzájem výrazně liší. Ideální mód stejně zvýrazňuje prvky umístěné na prvních místech ve svých skupinách, ať mají jakoukoliv váhu. Krok 6: Verifikace rozhodnutí Verifikace spočívá v porovnání výsledků získaných pomocí rozhodovacího modelu s intuicí rozhodovatele. Pokud nastal souhlas s intuicí, pak je výsledek přijatelný a použitelný k reálnému rozhodnutí výběru kompromisní varianty/variant. Pokud však model, tedy jeho struktura, kritéria a varianty, nebo některá hodnocení neodpovídají intuici a vyžadují úpravu, pak je třeba se vrátit k předchozímu kroku a provést novou iteraci. Častokrát je to sama intuice, která potřebuje úpravu. Zde je zapotřebí zjistit co je špatně a vyhmátnout rozpory mezi intuicí a současným modelem. K tomu může napomoci analýza citlivosti využívající odpovědi na otázky typu: Co se stane, když...?. Analýza citlivosti Co se stane, když... Jak bude vypadat řešení, změní-li se hlavní kritéria rozhodovacího problému nebo jejich relativní významnost? Odpověď na tuto otázku lze získat provedením nového propočtu syntézy v předchozím kroku 5. Je zřejmé, že mnohonásobné provádění ručních výpočtů zejména u rozsáhlejších rozhodovacích modelů nepřichází v úvahu. Naštěstí je dnes téměř každý manažér vybaven počítačem PC, který nebývalým způsobem zvyšuje jeho výpočetní kapacitu. V případě aplikace metody AHP přichází navíc na pomoc program Expert Choice - EC, který je vybaven modulem na provádění analýzy citlivosti ( Sensitivity Analysis ). Zde je možné zadat do rozhodovacího modelu prakticky jakékoliv hodnoty požadovaných priorit a počítačový model okamžitě vypočte a příslušným grafickým způsobem zobrazí výsledné priority jednotlivých variant - řešení rozhodovacího problému. Opakovanými simulacemi můžeme vytvořit dostatečnou představu o chování řešení například v důsledku různých změn vstupů. Subjektivní povaha modelového řešení Máme-li hierarchický model s kritérii a variantami již sestaven, stále mohou zůstávat pochybnosti, zda je sestaven správně, zda jsou brány v úvahu všechny důležité okolnosti, názory expertů, či zda jsou příslušným prvkům stanoveny odpovídající váhy. V tom případě spočívá pomoc v sestavení alternativního (alternativních) modelu (modelů). Je to stejné, jako kdybychom vybírali dům podle pohledu na něj z jedné strany. Připravme si více pohledů ze všech světových stran, výsledkem bude úplnější znalost o sledovaném objektu. Je-li pak jedna varianta nejlepší při různých pohledech (v různých modelech), máme větší jistotu, že jsme nalezli optimální rozhodnutí. Na tomto místě by někdo mohl namítnout, že jde o manipulaci s výsledkem tak, aby odpovídal předem daným představám. Odpověď na tuto námitku zní: Ano, avšak uvědomme si, že v praxi nikdy neexistuje všeobecně správné optimální rozhodnutí. Pokud by tomu tak bylo, pak je úloha rozhodování triviální není co řešit. Řešení problému je vždy subjektivní. Jde tedy o to zahrnout do modelu co nejvíce relevantních informací a na jejich základě stanovit kompromisní rozhodnutí. Vložíte-li do modelu vlastní cíle, kritéria hodnocení a odpovídající varianty, obdržíte z modelu takové řešení rozhodnutí, které těmto parametrům v maximální možné míře vyhovuje

94 7 Použití AHP v rozhodování - případové studie Krok 7: Dokumentace rozhodnutí Dokumentovat postup, který vedl k určitému rozhodnutí, je mnohdy důležitější, než rozhodnutí samotné. Dokumentace může sloužit ke zdůvodnění rozhodnutí jiným osobám, nebo k revizi původního rozhodnutí v budoucnu, až se eventuálně změní výchozí podmínky. Obecně se soudí, že dobrá rozhodnutí učiněna v minulosti vedou k dobrým výsledkům v budoucnosti, avšak v důsledku neurčitostí a nejistot není záruka, že dobrá rozhodnutí povedou vždy k žádoucím výsledkům. Jsou-li však učiněná rozhodnutí dobře dokumentována, lze snadněji srovnat informace a úsudky z minulých rozhodovacích situací a využít je k lepším rozhodnutím v budoucnu. Toto je hlavní přínos vícekriteriálních metod rozhodování. 7.3 PŘÍPADOVÁ STUDIE 1: VÝBĚR OSOBNÍHO AUTOMOBILU V této první případové studii se zabýváme následujícím případem: Výběr osobního automobilu pro účely jisté univerzity U v roce Tento realistický příklad rozhodovacího modelu jsme zpracovali v programu DAME, viz Příloha 1. Na počátek je zapotřebí připomenout účelový a subjektivní charakter uváděného příkladu rozhodovacího modelu. Výběr osobního automobilu byl realizován pro účely jisté univerzity U, pro jiný účel, eventuálně pro jiného uživatele by vyžadoval pravděpodobně jiný hierarchický model, nebo minimálně jiná dílčí hodnocení relativní významnosti kritérií, subkritérií i jiné preference mezi zvolenými variantami. Uvažujeme dvě hlavní kritéria celé úlohy: kritérium Technické vyspělosti vozu (TV) a kritérium Ekonomické náročnosti nabytí a provozu vozidla (EN). Tato hlavní kritéria se dále dělí na subkritéria následujícím způdobem: TV se skládá ze dvou subkritérií TV1 = obsah motoru vozidla a TV2 = komfort, kritérium EN se rozpadá na subkritérium EN1 = životnost vozidla (v letech) EN2 = pořizovací cena. Pro úlohu uvažujeme tři varianty: Škoda Octavia, Opel Corsa a Renault Mégane. Všechna hodnocení kritérií budeme v úloze generovat Saatyho metodou párového srovnání. Hodnocení, která potřebujeme získat jsou tato: váhy kritérií TV a EN, které v součtu dávají jedničku; váhy subkritérií TV1 a TV2 vzhledem ke kritériu TV, které jsou v součtu rovněž rovny jedné, a obdobně váhy subkritérií EN1 a EN2 vzhledem ke kritériu EN. Součástí ohodnocení je pak také vyčíslení vhodnosti každé z uvažovaných variant vzhledem ke každému subkritériu. Tato hodnocení budeme zadávat přímo. Naši úlohu lze formálně reprezentovat čtyřúrovňovou hierarchií, na jejímž vrcholu je cíl celé úlohy nalezení kompromisní varianty, na bezprostředně nižší úrovni se nacházejí kritéria EN a TV, na třetí úrovni subkritéria EN1, EN2, TV1 a TV2 a na poslední čtvrté a nejnižší úrovni se pak vyskytují všechny uvažované varianty. Celý výpočet/syntéza spočívá, jak bylo uvedeno v kapitole 6, v průměrování ohodnocení z jednotlivých úrovních hierarchie, a to postupnou agregací tohoto průměrování směrem zdola nahoru (ve smyslu váženého průměru). Tuto syntézu lze provést v programu DAME, případně také v programu Expert Choice. Zadání a jednotlivé kroky řešení naší úlohy budeme nyní komentovat s využitím tabulek a obrázků, jež jsou výstupem z programu DAME. Po spuštění programu DAME a volbě nové úlohy zvolíme počet scénářů = 2, počet kritérií = 2 a počet variant 3. Přitom první kritérium volíme jako maximalizační a druhé kritérium jako minimalizační. Na tomto místě uveďme důležitou poznámku: Jak uvidíme v kapitole věnované rozhodování za rizika, úlohy pracující s riziky reprezentovanými různými scénáři budoucího vývoje okolí rozhodovacího systému lze rovněž reprezentovat čtyřúrovňovou hierarchií tak, jak je tomu v naší rozhodovací úloze. Při rozhodování za rizika se na místě hlavních kritérií vyskytují možné scénáře, na místě subkritérií naší úlohy hlavní kritéria úlohy rozhodování za rizika a poslední úroveň hierarchie je pro oba typy úloh totožná a obsahuje uvažované varianty. Program DAME je uzpůsoben na oba typy těchto úloh. Je tedy v našem případě počet scénářů = počet hlavních kritérií = 2, počet kritérií = počet našich subkritérií ke každému hlavnímu kritériu = 2 a počet variant = 3. Aby nedošlo k nejasnostem, lze názvy scénářů v doplňku DAME měnit, což jsme také učinili: scénář

95 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY jsme přepsali na EN a scénář 2 na TV (viz obrázek 7.3). Rovněž jsme změnili název variant, naopak názvy subkritérií jsme ponechali, jelikož subkritéria EN a TV se liší. Další podrobnosti k práci s DAME viz Příloha 1. Názvy Scénářů: EN TV Názvy Kriterií: Krit 1 Krit Názvy Variant: Škoda Opel Renault Obr. 7.3 Dvě hlavní kritéria, čtyři subkritéria (2x2), tři varianty Jak jsme uvedli, hodnocení hlavních kritérií a subkritérií provádíme Saatyho metodou. Kritérium EN porovnáváme vůči kritériu TV stupněm 2 z devítibodové škály, která se pro tento účel užívá. Wielandtova metoda realizace Saatyho metody dává v tomto jednoduchém případě přirozené váhy EN, resp. TV na úrovni 0,66, resp. 0,33 (viz obrázek 7.4). Obr. 7.4 Výpočet vah kritérií (zde scénář = kritérium) Hodnocení subkritérií provedeme takto: v části DAME označené EN vložíme do tabulky číslo 4, abychom tím vyjádřili, že životnost vozidla je pro nás poměrně výrazně důležitější než pořizovací cena. Výsledné Saatyho váhy jsou rovny 0,8 pro kritérium 1 = subkritérium EN1 a 0,2 pro kritérium 2 = subkritérium EN2 (viz obrázek 7.5). Obr. 7.5 Výpočet vah subkritérií kritéria EN Obdobně provedeme hodnocení subkritérií TV1 a TV2 v části DAME s označením TV. Tentokrát upřednostníme komfort před výkonem, což v tabulce párových srovnání vy

96 7 Použití AHP v rozhodování - případové studie jádříme hodnotou 1/3. Obrázek 7.6 ukazuje výsledné váhy obou subkritérií. Váha TV1 = 0,25, váha TV2 = 0,75. Obr. 7.6 Výpočet vah subkritérií kritéria TV Tím máme ohodnocenu úroveň kritérií a subkritérií v naší úloze reprezentované čtyřúrovňovou hierarchií. Nyní ohodnotíme jednotlivé varianty vozidla vůči jednotlivým subkritériím, a to na základě konkrétních údajů získaných z terénu (např. od prodejců aut nebo řidičů, kteří se již podělili se svými zkušenostmi). Tato hodnocení jsou vyobrazena na obrázcích 7.7 a 7.8. Na obrázku 7.7 představuje kritérium 1 subkritérium EN1 a kritérium 2 = EN2. Znormovaná hodnocení variant jsou tedy tato: dle EN1 má Škoda hodnocení 0,394, Opel 0,3157 a Renault 0,289; dle EN2 má Škoda hodnocení 0,25, Opel 0,358 a Renault 0,391. Obr. 7.7 Dílčí hodnocení variant podle subkritérií kritéria EN

97 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Obr. 7.8 Dílčí hodnocení variant podle subkritérií kritéria TV Podle subkritéria TV1 má Škoda hodnocení 0,384, Opel a Renault 0,307. Podle subkritéria TV2 mají Škoda a Opel hodnocení 0,4, Renault je ohodnocen číslem 0,2. V případě subkritéria TV2 jsme užili bodovací metodu ze škály 1-5, na které menší číslo = vyšší známka = lepší hodnocení. Po zadání a výpočtu všech těchto dílčích hodnocení vrátí program DAME celkové hodnocení podle jednotlivých hlavních kritérií podle kritéria EN je toto hodnocení na obrázku 7.9, podle kritéria TV je obsaženo v obrázku 7.10 a celkový výsledek, resp. finální syntézu celého problému. Finální výsledek je vyobrazen obrázkem Obr. 7.9 Hodnocení variant vzhledem ke kritériu EN Obr Hodnocení variant vzhledem ke kritériu TV

98 7 Použití AHP v rozhodování - případové studie Obr Výsledné hodnocení variant 7.4 PŘÍPADOVÁ STUDIE 2: POROVNÁNÍ VYSAVAČŮ 6 VÝROBCŮ S VYSAVAČI FIRMY ZELMER Následující případová studie je příkladem marketingové studie konkurenčních výrobků pro firmu, která chce proniknout na nový trh. Jde tu o vícekriteriální hodnocení výrobků z hlediska užitných parametrů a analýzu ceny konkrétního výrobku, s cílem, aby daný výrobek z hlediska svých užitných vlastností byl konkurenceschopný na zvoleném trhu. Na českém trhu vysavačů se nachází více než 30 vysavačů (variant), které se vyskytují se v různých typech a obměnách. Nejpoužitelnější pro běžnou domácnost je klasický podlahový vysavač uzpůsobený pro suché vysávání koberců. Z této kategorie bylo vybráno 6 druhů nejčastěji prodávaných vysavačů renomovaných značek a porovnáno s výrobkem polské firmy ZELMER, která uvádí své výrobky na český trh. Do skupiny porovnávaných alternativ jsme tedy zařadili následující konkrétní vysavače označené jménem výrobce: 1. BOSCH 2. ELECTROLUX 3. HOOVER 4. MIELE 5. PANASONIC 6. SIEMENS 7. ZELMER Jako podklady pro řešení tohoto problému posloužily informace z časopisu Test - časopis pro spotřebitele a také informace z internetového obchodu bilezbozi.cz. Rozložení komplexního problému do hierarchie Každý vysavač byl hodnocen podle pěti kritérií, kterým byly přiřazeny různé váhy podle průměrných preferencí spotřebitelů, které byly zjištěny dotazníkovým průzkumem. Jsou uvažována tato kritéria: Příkon, Dosah vysavače (Rádius), Cena, Vysávání (kvalita) a Hlučnost. Ohodnocení kritérií a variant Při stanovování relativních důležitostí kritérií bylo využito dotazníků u náhodně vybraných 30 zákazníků, z dotazníkových hodnot byly vypočítány průměry, které pak byly použity pro výpočet vah metodou geometrického průměru. Podle kritéria Cena byly varianty hodno

99 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY ceny v Kč na základě zjištěných cen u prodejců (v některých případech šlo o průměrné ceny od více prodejců). Varianty podle kritérií Vysávání a Hlučnost byly ohodnoceny na bodové škále 1,2,3,4,5, přičemž větší hodnota představuje lepší hodnocení. Příkon je měřen v kilowattech a představuje maximalizační kritérium. Rádius je měřen v metrech a představuje rovněž maximalizační kritérium. Hodnocení jednotlivých variant podle všech kritérií jsou uvedeny v Tab Příkon Rádius Cena Vysávání Hlučnost Bosch 1,3 3, Electrolux 1,3 3, Hoover 1,25 5, Miele 1,2 5, Panasonic 1,35 6, Siemens 1,3 6, Zelmer 1,2 6, Tab 7.1. Vstupní údaje o vysavačích Poznamenejme, že v tomto druhém příkladě pracujeme s tříúrovňovou hierarchií. Na nejvyšší úrovni se nachází cíl úlohy nalezení kompromisní varianty. Na druhé úrovni se nacházejí kritéria, na třetí a nejnižší úrovni jsou pak varianty. Při řešení této úlohy v programu DAME proto nyní volíme 1 scénář, 5 kritérií a 7 variant. Pro nalezení vah kritérií jsme tentokrát zvolili pro změnu metodu geometrického průměru, tj. metodu logaritmovaných nejmenších čtverců. Tato metoda stejně jako Saatyho metoda vychází z matice párových srovnání. Její vyplnění v příkladě s vysavači ukazuje obrázek Obr Výpočet vah kritérií metodou geometrického průměru Po vložení údajů z tabulky 7.1 do programu DAME, což jsme provedli stejným způsobem jako v předešlé studii automobilů, DAME znormalizoval tato hodnocení do výsledné tabulky

100 7 Použití AHP v rozhodování - případové studie Tab 7.2. Normovaná hodnocení z tabulky 7.1. Máme-li k dispozici znormované hodnoty a váhy kritérií, lze získat agregovaná hodnocení všech variant, a tedy i kompromisní variantu, metodou váženého součtu, což je metoda využívaná programem DAME. Výsledné hodnocení je obsaženo v tabulce 7.3. Panasonic je kompromisní varianta v tomto případě. Rozbor ceny výrobku firmy ZELMER Tab 7.3 Při stanovení optimální ceny se vycházelo z předpokladu, že hodnoty vah kritérií (které byly získány na základě průzkumu názorů běžných zákazníků) odpovídají všeobecným preferencím zákazníků v teritoriu, kde je výrobek zaváděn na trh. Za této situace je možné využít funkcí programu DAME a zjistit, jakou maximální cenu by měl mít analyzovaný výrobek (vysavač firmy ZELMER) aby se podle výsledného hodnocení zařadil na požadované pořadí, např. na 1., resp. 2. místo v pořadí hodnocených výrobků. Opakovanými propočty pro různé hodnoty ceny vysavače ZELMER při zachování neměnných ostatních hodnocení byly získány tyto výsledky: Při razantním snížení ceny vysavače ZELMER z původně nasazené ceny 5500,-Kč na 3000,-Kč, se ve výsledném hodnocení posunul vysavač ZELMER na 1. Pořadí s hodnocením 0,177. Při méně výrazném snížení ceny vysavače ZELMER na 4500,-Kč se ve výsledném hodnocení dostal vysavač ZELMER na 2. místo s výsledným hodnocením 0,159. Na prvním místě se v tomto případě umístil vysavač Panasonic s hodnocením 0,163. Při ještě méně výrazném snížení ceny vysavače ZELMER na 5300,-Kč se ve výsledném hodnocení posunul vysavač ZELMER na 3. místo, a to s výsledným hodnocením 0,154. Na prvním místě se v tomto případě umístil opět vysavač Panasonic s hodnocením 0,165,

101 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY na druhém místě se umístil vysavač Hoover s hodnocením 0,154. Uvedené výsledky hodnocení spolu s analýzou vlastních výrobních nákladů, podmínek cenové tvorby a dalším marketingovým výzkumem umožňují výrobci seriózní stanovení ceny nově zaváděného výrobku na trh. Lze také uvažovat o různých nastaveních vah kritérií, při kterém program DAME okamžitě vrátí výsledné agregované hodnocení. Jde o již dříve zmíněnou analýzu citlivosti. Kromě změn ceny je možno také měnit hodnocení výrobku i vůči jiným kritériím, což umožní drobnější úpravy celkové marketingové strategie na místo případu, kdy měníme pouze cenovou hladinu produktu. Změna hodnocení varianty dle jednoho kritéria totiž obvykle musí být razantnější na to, aby výsledná varianta byla kompromisní, a uspěla tak na trhu. Vícero drobnými změnami namísto jedné razantní změny, která se i v podnicích hůře prosazuje, lze následně vyladit celkovou obchodní strategii do optimálního stavu. Příklad Je dána rozhodovací úloha se čtyřmi variantami, dvěma kritérii a množinou subkritérií: první kritérium K1 se skládá ze tří kritérií a druhé kritérium K2 je tvořeno čtyřmi kritérii. Váhy kritérií jsou uvedeny v následující tabulce: Váhy K1 0,3 K11 0,5 K21 0,15 K2 0,7 K12 0,3 K22 0,35 K13 0,2 K23 0,4 K24 0,1 Hodnoty variant vůči všem kritériím jsou: K1 max min max K11 K12 K13 V1 2, V2 3, V3 2, V4 2, K2 min max max min K21 K22 K23 K24 V1 6, ,3 100 V2 6, ,1 80 V3 6, ,2 85 V4 6, ,3 88 Vyhodnoťte tuto úlohu, tj. seřaďte varianty od nejlepší po nejhorší syntézou, která váženým součtem zprůměruje celou tuto čtyřúrovňovou úplnou hierarchii. Jelikož předpokládáme, že jednotlivá kritéria mohou být vedena v různých jednotkách, dílčí hodnocení variant uvedená v zadání nejprve normalizujte. Úlohu si zkuste vyřešit v Excelu!

102 7 Použití AHP v rozhodování - případové studie Řešení Normalizaná hodnocení vypadají takto: Normalizace K1 max min max K11 K12 K13 V1 0,223 0,263 0,250 V2 0,301 0,237 0,222 V3 0,233 0,261 0,267 V4 0,243 0,239 0,261 Normalizace K2 min max max min K21 K22 K23 K24 V1 0,262 0,311 0,252 0,219 V2 0,246 0,162 0,247 0,274 V3 0,250 0,284 0,249 0,258 V4 0,242 0,243 0,252 0,249 Hodnocení variant vůči hlavním kritériím jsou tato (spočteno váženým součtem hodnocení variant vůči subkritériím s využitím příslušných vah těchtosubkritérií): K1 K2 V1 0,241 0,271 V2 0,266 0,220 V3 0,248 0,262 V4 0,245 0,247 Výsledná syntéza pak dává následující agregovaná hodnocení (opět vážený součet): V1 0,262 V2 0,234 V3 0,258 V4 0,247 Výsledné uspořádání variant je: V1 > V3 > V4 > V

103 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 8 METODY ZALOŽENÉ NA PRAZÍCH CITLIVOSTI 8.1 ÚVOD RELACE A PRAHY CITLIVOSTI Každou relaci R j lze rozložit na relaci preference P j a relaci indiference I j, takto: R j = (P j, I j ), kde pro a,ba je a P j b jestliže a R j b a zároveň non b R j a, (8.1) a I j b jestliže a R j b a zároveň b R j a. (8.2) Půjde nám nyní o to, jak z daných kritérií, tedy relací (resp. příslušných incidenčních matic) R 1, R 2,...,R m, vytvořit výslednou (agregovanou) relaci R (tj. incidenční matici), která by v co největší míře vyjadřovala vlastnosti relací jednotlivých kritérií. Schématicky můžeme proces agregace vyjádřit takto: {R 1, R 2,...,R m } R. (8.3) Půjde samozřejmě nejen o to, jak transformaci (8.3) provést tedy o metodu, ale především o to, jak agregovaná relace odráží vlastnosti, které mají jednotlivé složky. Například nás zajímá, zda je výsledná relace tranzitivní, zda lze podle ní varianty uspořádat. Ke konstrukci potřebné agregační procedury k vytvoření výsledné relace R použijeme váhy kritérií w 1, w 2,...,w m. K tomu účelu nejprve definujeme množinu indexů těch kritérií, které splňují jednoduché předpoklady, poté sečteme váhy takových kritérií a porovnáme se zadaným prahem citlivosti. Budeme-li v dalším textu hovořit o i-tém kritériu, budeme mít na mysli konkrétní relaci R i, která k němu přináleží. I ij = množina indexů těch kritérií, která preferují variantu a i před alternativou a j = {k a i P k a j, I ji = množina indexů těch kritérií, která preferují variantu a j před alternativou a i = {k a j P k a i, I ij = množina indexů těch kritérií, která jsou z hlediska varianty a i, a j indiferentní = {k a i I k a j, I i?j = množina indexů těch kritérií, podle nichž nejsou a i, a j porovnatelné= = {k non a i R k a j & non a j R k a i. Poznámka: Symbol & značí a zároveň, symbol non značí negaci

104 8 Metody založené na prazích citlivosti Uvažujme váhy kritérií : w i, i = 1,2,...,m, definujme: stupeň preference S ij varianty a i před a j : S ij = w, (8.4) k ki ij stupeň preference S ji varianty a j před a i : S ji = k I ji stupeň indiference S ij variant a i a a j : w, (8.5) k S ij = w, (8.6) k ki i j stupeň nesrovnatelnosti variant a i a a j : S i?j = k w k. (8.7) I i? j Některé z množin I ij, I ji, I ij nebo I i?j mohou být prázdné, pak příslušný stupeň preference (indiference, dispreference) definujeme jako nulu, tj. jestliže I ij = Ø pak S ij = 0, atd. Protože se tím vyčerpaly všechny případy, které mohou nastat, zřejmě platí: S ij + S ji + S ij + S i?j = 1. (8.8) Pro varianty a j A definujeme nyní agregované relace v závislosti na číslech α 0, 0, 0 následovně: a i P a j jestliže S ij - S ji, (8.9) a i I a j jestliže S ij, (8.10) a i D γ a j jestliže S i?j γ. (8.11) Výslednou agregovanou relaci R,,γ = (P, I, D γ ) definujeme pomocí (8.9) až (8.11) takto: a i R,,γ a j jestliže (S ij - S ji a/nebo S ij ) a zároveň S i?j γ. (8.12) Totéž pomocí incidenční matice: I = {e ij }, kde e ij = 1, pokud (a i P a j a/nebo a i I a j ) & a i D γ a j, R,, jinak e ij = 0. Jak relace P, I, D γ tak i R,,γ závisí na velikosti čísel α, a, tato čísla nazýváme prahy citlivosti. Číslo α se nazývá práh preference a udává, jak velký by měl být alespoň rozdíl mezi součtem vah kritérií, podle kterých je varianta a i preferována před variantou a j a součtem vah těch kritérií, které preferují a j před a i

105 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Číslo se nazývá práh indiference a udává, jak velký by měl být alespoň součet vah těch kritérií, podle kterých jsou varianty a i a a j indiferentní. Číslo γ se nazývá práh nesrovnatelnosti a udává, jak velký by měl být nejvýše součet vah těch kritérií, podle kterých jsou varianty a i a a j nesrovnatelné. Relace R,,γ definuje na množině variant A rozklad, na skupiny variant, kde jsou dvojice variant vzájemně -indiferentní, dvojice variant patřící do různých skupin jsou - preferovány a varianty mimo tyto skupiny jsou s jinými variantami neporovnatelné. Analýzou citlivostí prahů lze získat hlubší informaci o preferenční struktuře množiny variant. 8.2 METODA AGREPREF Pravidlo většiny říká: Jestliže pro více než polovinu kritérií relací R k platí a i R k a j, potom pro výslednou agregovanou relaci R platí a i R a j. Metoda AGREPREF je zobecněním pravidla většiny. Metoda využívá práh indiference a práh preference. Algoritmus konstrukce výsledné relace je dán následujícím vývojovým diagramem: Algoritmus AGREPREF S ij a i I a j S ij S ji α a i P a j S ji - S ij a j P a i a i N γ a j Obr Vývojový diagram Získaná relace R,,γ = (P, I, N γ ) není úplná ani nemusí být tranzitivní relací. Práh nesrovnatelnosti γ = max{s i?j i,j1,2,...,m}. Pro účely uspořádání variant upravíme dále tuto relaci tím, že vytvoříme její tranzitivní uzávěr. Ten spočívá ve 2 krocích úpravy incidenční matice R,,γ :

106 8 Metody založené na prazích citlivosti Krok 1. V incidenční matici zaměníme některé prvky 0 za prvky 1, tak, aby výsledná relace byla tranzitivní. To znamená, že v incidenční matici výsledné relace I = {e ij } platí: Jestliže pro nějaké i, j, k platí: e ij = e jk = 1, potom e ik = 1. Krok 2. Pokud jako výsledek Kroku 1 vznikne v incidenční matici tzv. cyklus, (tj. posloupnost i, j, k,...,r, s, přičemž e ij = e jk =... = e rs = e si = 1), potom provedeme permutaci (výměnu) celých řádků a rovněž celách sloupců incidenční matice: u každé varianty k vypočítáme řádkový součet prvků a odečteme od něj sloupcový součet prvků, výsledek označíme k. Jako první dáme řádek i sloupec varianty s nejvyšší hodnotou k. Jako druhý dáme řádek i sloupec varianty s druhou nejvyšší hodnotou k, atd. Nakonec všechny jedničky, které se nacházejí pod hlavní diagonálou takto upravené incidenční matice nahradíme nulami. Získáme tak incidenční matici nové výsledné (agregované) relace R,,γ, která je kvaziuspořádáním. Zároveň variantu odpovídající prvnímu řádku i sloupci incidenční matice považujeme za kompromisní (tj. nejlepší) variantu. R,, POZNÁMKA 8.1. Každému kvantitativnímu kritériu f j : A R lze jednoznačně přiřadit relaci preference P j a relaci indiference I j, takto: R j = (P j, I j ), kde pro a,ba je a P j b jestliže f j (a) > f j (b), (8.13) a I j b jestliže f j (a) = f j (b). (8.14) Metoda AGREPREF je proto použitelná i v případě, kdy namísto relací R j uvažovaných na počátku kapitoly uvažujeme klasická kvantitativní kritéria z předchozích kapitol. Pomocí vztahů (8.13) a (8.14) tato kritéria transformujeme na relace. PŘÍKLAD 8.2. Uvažujme úlohu VKH se 4 variantami a 1, a 2, a 3, a 4 a množinou 5 kritérií R 1, R 2, R 3, R 4, R 5. Každé z nich je dáno relací tj. incidenční maticí na množině variant: R 1 : w 1 = 0,1 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a R 2 : w 2 = 0,5 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a

107 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY R 3 : ; w 3 = 0,1 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a R 4 : w 4 = 0,1 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a R 5 : w 5 = 0,2 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a Váhy kritérií jsou w 1 = 0,1; w 2 = 0,5; w 3 = 0,1; w 4 = 0,1; w 5 = 0,2. Metodou AGREPREF uspořádejte uvažované varianty. Řešení příkladu: Nejprve stanovíme rozklad relace R j na relaci preference (matice se zeleným záhlavím) a indiference (matice s fialovým záhlavím), tj. R j = (P j, I j ), podle (8.1) a (8.2): P 1 : w 1 = 0,1 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a P 2 : w 2 = 0,5 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a

108 8 Metody založené na prazích citlivosti P 3 : ; w 3 = 0,1 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a P 4 : w 4 = 0,1 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a P 5 : w 5 = 0,2 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a I 1 : w 1 = 0,1 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a I 2 : w 2 = 0,5 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a I 3 : ; w 3 = 0,1 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a

109 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY I 4 : w 4 = 0,1 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a I 5 : w 5 = 0,2 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a S použitím vah w i vypočítáme nejprve stupně preference (1. a 2. sloupec) a indiference (3. sloupec): S 12 = 0,9 S 21 = 0 S 1~2 = 0,1 S 13 = 0,6 S 31 = 0,4 S 1~3 = 0 S 14 = 0,9 S 41 = 0 S 1~4 = 0,1 S 23 = 0 S 32 = 0,9 S 2~3 = 0,1 S 24 = 0 S 42 = 0,6 S 2~4 = 0,4 S 34 = 0,9 S 43 = 0 S 3~4 = 0,1 Pro práh preference = 0,1 a práh indiference = 0,6 vypočítáme podle algoritmu metody AGREPREF tuto incidenční matici preference P 0,1 : P 0,1 a 1 a 2 a 3 a 4 k a a a a V posledním sloupci jsme vypočítali rozdíl mezi řádkovým a sloupcovým součtem prvků k pro variantu a k. Vyměníme řádky podle klesající hodnoty k a stejně tak sloupce: P 0,1 a 1 a 3 a 4 a 2 k a a a a

110 8 Metody založené na prazích citlivosti Snadno se přesvědčíme, že relace preference P 0,1 je tranzitivní, proto již není zapotřebí dalších úprav (tranzitivní uzávěr). Zároveň jsme získali seřazení variant: a 1, a 3, a 4, a 2, tj. kompromisní varianta je a 1. Samostatný úkol Prověřte, že relace R j z Příkladu 8.2. jsou odvozeny pomocí Poznámky 8.1. z kritérií f j, j = 1,2,3,4,5 z následující tabulky: Varianty/Kritéria f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 a a a a METODY TYPU ELECTRE Metody typu ELECTRE (akronym z francouzštiny: ELection Et Choix Traduisant la REalite) patří ve světě k nejznámějším metodám VKH, vycházejí z práce [Roy]. Jedná se o celou řadu metod, my se zde budeme zabývat dvěma z nich, konkrétně metodou ELECTRE I a ELECTRE II. Základ metod ELECTRE je podobný předešlé metodě AGREPREF: Především uvažujme váhy kritérií : w k, k = 1,2,...,m, které považujeme za známé, nebo je umíme zjistit některou metodou stanovení vah (např. Saatyho metodou párového porovnání). Dále používáme stupeň preference S ij varianty a i před a j, viz (8.4), stupeň preference S ji varianty a j před a i, viz (8.5), stupeň indiference S ij variant a i a a j, viz (8.6) a stupeň nesrovnatelnosti S i?j variant a i a a j, viz (8.7). Ve srovnání s metodou AGREPREF se uvažuje u metod ELECTRE rozdílný přístup ke stupni indiference a také k prahu preference. Konkrétně práh preference α * zde udává, jak velké hodnoty musí nabývat jistá funkce veličin S ij, S ji a S ij, aby mohla být varianta a j preferována před a i. Jinými slovy, požadujeme, aby platilo: F(S ij, S ji, S ij ) α *, (8.15) kde 0 < α * < 1. Konkrétně u metody ELECTRE I je F(S ij, S ji, S ij ) = S ij S ij S S i~ j i~ j S ji. (8.16) U metody ELECTRE II se kromě (8.15), kde F(S ij, S ji, S ij ) je ve tvaru (8.16), požaduje splnění vztahu: S S ij ji 1. (8.17) Pro funkci F lze kromě tvaru (8.16) použít i další tvary:

111 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY S ij S i ~ j, S S ij i~ j S i~ j S ji, S ij Si~ j S ji, S i~ j S ij S ji. K nim je zapotřebí použít odpovídající prahy preference. V případě, že namísto kritérií zadaných preferenčními relacemi R k, k = 1,2,...,n, je kritérium dáno kardinálními funkcemi f k, potom aby se snížil význam indiference variant, zavádí se navíc stupeň dispreference S idj, který je definovaný pro každou dvojici variant a i, a j A takto: S idj fk ( ai ) fk ( a j ) max{ k Iij}, (8.18) h k přičemž h k je největší možný kladný rozdíl hodnot variant pro kritérium f k, tj. h k = max{ f ( a) f ( b) a, b A}. (8.19) Je zřejmé, že 0 S idj 1. k k Číslo δ*(0, 1) se nazývá práh dispreference a udává, jak velký by měl být nejvýše poměr maximálního rozdílu hodnot kritérií pro a i a a j, podle nichž jsou varianty a i a a j indiferentní, a maximálního rozdílu všech hodnot podle kritérií, podle nichž jsou varianty a i a a j indiferentní. Obr Vývojový diagram ELECTRE Výše uvedeným algoritmem se vytvoří relace R *δ* = (P *δ*, N). Tato relace však nemusí být ani tranzitivní ani úplná. Cílem metody typu ELECTRE však není nalezení nejlepší (kompromisní) varianty, nýbrž rozdělení variant do dvou tříd:

112 8 Metody založené na prazích citlivosti Efektivní varianty, to jsou takové varianty a*a ke kterým neexistuje jiná varianta ba pro kterou je b P *δ* a*. Neefektivní varianty množina variant A, z níž vynecháme efektivní varianty. Můžeme též použít postup z metody AGREPREF (Krok 1 - Krok 2), kterým se vytvoří tranzitivní uzávěr relace R *δ*, s jehož pomocí varianty uspořádáme a stanovíme kompromisní variantu. PŘÍKLAD 8.4 Uvažujme úlohu VKH se 6 variantami a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6 a 3 kritérii f 1, f 2, f 3, viz následující tabulka. Varianty/Kritéria f 1 f 2 f 3 a a a a a a Váhy 0,167 0,500 0,333 Vyhodnoťme varianty metodou ELECTRE II: použijme pro F(S ij, S ji, S ij ) vztah (8.16), pro práh preference hodnotu * = 0,5 a práh dispreference δ* = 0,8. Řešení: Nejprve vyhodnotíme relace preference a indiference podle Poznámky 8.1.: P 1 : w 1 = 0,167 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a a a a a a

113 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY P 2 : w 2 = 0,500 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a a a a a a P 3 : w 3 = 0,333 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a a a a a a Dále vypočítáme F(S ij, S ji, S ij ) pomocí vztahu (8.16): F a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 1 0,5 0,167 0,6 0,667 0 a 2 0,5 1 0,667 0,667 0,667 0,5 a 3 0,833 0, , a 4 0,833 0,333 0, ,667 0,5 a 5 0,333 0, , a 6 1 0, Incidenční matici relace R *δ* = (P *δ*, N) pro práh preference hodnotu * = 0,5 a práh dispreference δ* = 0,8: R *δ* a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a a a a a a

114 8 Metody založené na prazích citlivosti Varianty a 2 a a 6 jsou takové varianty, ke kterým neexistuje jiná varianta b pro kterou je b R *δ* a k, jsou to tedy efektivní varianty. Ostatní varianty jsou neefektivní. 8.4 METODY TYPU PROMETHE Metody typu PROMETHEE (akronym z anglického názvu Preference Ranking Organization METHod Enrichment Evaluation) patří mezi nejčastěji používané metody VKH. Pravděpodobně je to důsledkem jejich univerzálního charakteru; jsou totiž vhodné k řešení všech typů úloh s různou informací o kritériích i variantách. Na trhu je navíc k dispozici kvalitní SW s názvem PROMCALC, viz [8]. Metody typu PROMETHEE jsou založeny na párovém porovnání všech variant a i A, i = 1,2,...,n, podle všech kritérií f k, k = 1,2,...,m. Předpokládá se, že kritéria jsou kardinální povahy a jejich relativní významnost je dána pomocí vah w k. Výsledkem porovnání variant a i, a j A podle f k je číslo P k (a i, a j ) [0, 1], které vyjadřuje intenzitu preference varianty a i před variantou a j podle kritéria f k. Tato intenzita závisí na rozdílu hodnot kritéria d k = f k (a i ) f k (a j ). Pro maximalizační kritérium platí, že čím je větší tato diference, tím je daná intenzita preference vyšší. Konkrétní závislost pak vyjadřuje preferenční funkce Q : R [0, 1], přitom platí: P k (a i, a j ) = Q(f k (a i ) - f k (a j )) = Q(d k ). (8.20) Metody typu PROMETHEE nabízejí uživateli 6 základních tvarů preferenční funkce Q, ke každé preferenční funkci navíc přináleží práh preference p*, práh indiference q* a směrodatná odchylka. Nyní podáme stručné informace o tvarech i použití preferenční funkce Q. Upozorňujeme, že funkce P k (a i, a j ) se užívá tak, že v případě maximalizačního kritéria f k se intenzita preference daného páru odečte z pravé části grafu funkce, je-li d k 0, zatímco pro d k < 0 se příslušnému porovnávanému páru přiřadí nulová intenzita. V případě minimalizačního kritéria f k se intenzita preference páru odečte naopak z levé části grafu funkce, je-li d k 0, kdežto pro kladné d k se intenzita příslušného páru pokládá v tomto případě opět za nulovou. Preferenční funkce Q 1 : Preferenční funkce Q 1 definuje výsledek párového porovnání tím způsobem, že hodnota preference je 1, kdykoliv jsou hodnoty kritéria rozdílné. Jedině v případě, že jsou hodnoty kritéria stejné je hodnota preference rovna 0, tj. Q 1 (d k ) = 0, jestliže d k = 0, (8.21) = 1, jinak. viz Obr (d k ) Q 1 d k Obr Preferenční funkce Q

115 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Preferenční funkce Q 2 : Preferenční funkce Q 2 definuje výsledek párového porovnání podobně jako Q 2 s tím rozdílem, že pomocí prahu indiference q* rozšiřuje pásmo, ve kterém jsou rozdíly mezi hodnotami kritérii považovány za indiferentní, tj.hodnota preference je rovna 0, tj. Q 2 (d k ) = 0, jestliže d k q*, (8.22) = 1, jinak. Viz Obr (d k ) Q 1 q* - * d k Obr Preferenční funkce Q 2 Preferenční funkce Q 3 : Preferenční funkce Q 3 připouští pro vyjádření stupně preference také ostatní hodnoty z intervalu [0, 1]. Uživatel zadává práh preference p*. Pokud rozdíl hodnot kritéria nedosáhne prahové hodnoty, je stupeň preference menší než 1 a lineárně klesá až k nulové hodnotě, která nastane až při rovnosti hodnot kritéria, tj. Q 3 (d k ) = d k / q*, jestliže d k p*, (8.23) = 1, jinak. Viz Obr (d k ) Q 1 p* - * d k Preferenční funkce Q 4 : Obr Preferenční funkce Q 3 Preferenční funkce Q 4 definuje výsledek párového porovnání pomocí 3 hodnot, kromě 0 a 1 ještě je to hodnota 0,5. Uživatel zadává práh preference p* a také práh indiference q*, který musí být menší než práh preference. Jestliže rozdíl hodnot kritéria leží mezi těmito prahy, potom je hodnota preferenční funkce rovna 0,5:

116 8 Metody založené na prazích citlivosti Q 4 (d k ) = 0, jestliže d k q*, (8.24) = ½, jestliže q*< d k p*, = 1, jinak. Viz Obr (d ) Q 4 d k -p* -q* q* p* Preferenční funkce Q 5 : Obr Preferenční funkce Q 4 Preferenční funkce Q 5 slučuje vlastnosti předchozích dvou preferenčních funkcí, tj. Q 5 (d k ) = 0, jestliže d k q*, (8.25) d * = k q jestliže q*< d k p*, p* q* = 1, jinak, viz Obr (d k ) Q 5 d k -p* -q* p* q* Obr Preferenční funkce Q 5 Preferenční funkce Q 6 : Preferenční funkce Q 6 je speciálním tvarem, který transformuje rozdíl v hodnocení variant pomocí tzv. Gaussovy funkce známé z hustoty normálního rozdělení pravděpodobnosti. Přitom je zapotřebí stanovit parametr, který představuje směrodatnou odchylku z hodnot kritéria. Hodnota preferenční funkce se s rostoucím rozdílem hodnocení podle kritéria blíží k 1, avšak této hodnoty nikdy nedosáhne, tj. Q 6 (d k ) = viz Obr d k e, (8.26)

117 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY (d k ) Q 6 d k Obr Preferenční funkce Q 6 Nyní tedy předpokládáme, že pro každou dvojici variant a i, a j a každé kritérium f k je pomocí zvolené preferenční funkce Q k pomocí vztahu (8.20) stanovena hodnota preference P k (a i, a j ) jakožto číslo z intervalu [0, 1]. Definujeme globální preferenční index P(a i, a j ) variant a i, a j jako vážený součet hodnot preferencí P k (a i, a j ) s využitím vah w k takto: m P(a i, a j ) = wk Pk ( ai, a j ), (8.27) k1 kde w k jsou váhy kritérií. Pozitivním tokem Fi varianty a i, resp. negativním tokem Fi varianty a i, nazveme aritmetický průměr globálních preferenčních indexů P(a i, a j ), resp. P(a j, a i ): F i m 1 m1 P ai, a j ) j1 m (, resp. 1 Fi m1 P( a j, ai ). (8.28) j1 Čistým tokem F i varianty a i nazveme rozdíl mezi pozitivním a negativním tokem varianty a i, tj. F F F. (8.29) i i i Metoda PROMETHEE I poskytuje na základě znalosti hodnot pozitivních a negativních toků částečné uspořádání variant: Varianta a i je preferována před variantou a j pokud platí Fi Fj a zároveň Fi F j. Oba vztahy nesmí současně platit jako rovnosti. Varianta a i je indiferentní s variantou a j pokud platí F i = Fj a zároveň F i = F j. Ve všech ostatních případech se považují varianty a i a a j za nesrovnatelné. Na výslednou relaci částečného uspořádání je možné aplikovat tranzitivní uzávěr s odstraněním cyklů, podobně jako tomu bylo u metody AGREPREF. V metodě PROMETHEE II získáme úplné uspořádání variant (a tedy též kompromisní variantu) uspořádáním variant podle klesající hodnoty F i čistého toku variant

118 8 Metody založené na prazích citlivosti PŘÍKLAD 8.5. Uvažujte úlohu VKH s 5 variantami PC 1, PC 2, PC 3, PC 4, PC 5 (počítače PC) a 4 kritérii f 1 cena, f 2 procesor, f 3 HD, f 4 multimédia, viz následující tabulka. Varianty/Kritéria f 1 f 2 f 3 f 4 PC 1 15, PC , PC , PC PC Váhy 0,143 0,264 0,318 0,275 Vyhodnoťte varianty metodou PROMETHEE II. Pro 1.kritérium volte funkci Q 5 s q * = 1,5 a p * = 8, pro 2.kritérium a 4.kritérium funkci Q 2 s p * = 2 a pro 3.kritérium funkci Q 1. Řešení Nejprve využijeme příslušné preferenční funkce a ohodnotíme jimi všechny páry podle všech kritérií. Tato hodnocení vypadají následovně: f1 PC 1 PC 2 PC 3 PC 4 PC 5 PC PC 2 0, PC 3 0, PC 4 0,769 0,23 0, PC f2 PC 1 PC 2 PC 3 PC 4 PC 5 PC PC PC PC PC f3 PC 1 PC 2 PC 3 PC 4 PC 5 PC PC PC PC PC f4 PC 1 PC 2 PC 3 PC 4 PC 5 PC PC PC PC PC

119 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Globální preferenční indexy s využitím zadaných vah kritérií jsou rovny PC 1 PC 2 PC 3 PC 4 PC 5 PC 1 0 0, ,318 0,418 PC 2 0, ,407 PC 3 0,022 0, ,318 0,682 PC 4 0,645 0,308 0, ,682 PC 5 0,318 0,318 0,318 0,318 0 Součtem řádkových hodnot z tabulky globálních preferenčních indexů a následným vydělením tohoto součtu číslem 4 obdržíme pozitivní toky: PC 1 0,264 PC 2 0,113 PC 3 0,404 PC 4 0,423 PC 5 0,318 Součtem sloupcových hodnot z tabulky globálních preferenčních indexů a následným vydělením tohoto součtu číslem 4 obdržíme negativní toky: PC 1 0,258 PC 2 0,384 PC 3 0,093 PC 4 0,239 PC 5 0,547 Čisté toky a výsledné uspořádání variant pak vypadají takto: Čistý tok Pořadí PC 1 0,005 3 PC 2-0,271 5 PC 3 0,311 1 PC 4 0,185 2 PC 5-0,229 4 Samostatný úkol: Výpočet kompromisní varianty úlohy Rodinný dům 2 Uvažujme problém Koupě rodinného domku (viz Kapitola 5), kdy cílem je výběr optimálního rodinného domu pro jistou rodinu. V úvahu připadají 3 alternativy: a 1, a 2, a 3. Je stanoveno 6 kritérií hodnocení rodinného domku: K 1 - cena domu (tis. Kč), K 2 - stáří domu (počet let), K 3 - velikost domu (počet obytných místností), K 4 - veřejná doprava (1 až 10 bodů), K 5 - vybavení domu (1 až 10 bodů), K 6 - okolí domu (1 až 10 bodů)

120 8 Metody založené na prazích citlivosti Následující tabulka představuje kriteriální matici tohoto rozhodovacího problému: Varianta / kritérium cena domu stáří domu velikost domu veřejná doprava vybavení domu a a a okolí domu a) Saatyho metodou párového porovnání s využitím MS Excelu stanovte váhy jednotlivých kritérií pro situaci, která odpovídá vašim preferencím, viz Samostatný úkol 5 v Kapitole 5. b) Pomocí Poznámky 8.1. transformujte kriteriální matici na relace preference P j a indiference I j,, j = 1,2,...,6. c) Metodou AGREPREF uspořádejte uvažované varianty. d) Metodou ELECTRE II uspořádejte uvažované varianty. e) Metodou PROMETHEE II uspořádejte uvažované varianty. f) Porovnejte dosažené výsledky podle c), d), e)

121 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 9 VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA 9.1 ROZHODOVACÍ ÚLOHA V PODMÍNKÁCH RIZIKA V předchozích odstavcích jsme se věnovali metodám rozhodování za předpokladu, že informace o hodnotách kritérií (o důsledcích variant) jsou jednoznačné deterministické. Důsledky dnešního rozhodnutí se projeví až (někdy v daleké) budoucnosti, přitom vlivy těchto rozhodnutí jsou ale často nejisté - rizikové a závisí na stavech okolí rozhodovacího systému tj. na tzv. stavech světa. Některé vlivy mohou být nepříznivé (např. pokles poptávky po výrobcích, zvýšení cen surovin nebo energie od dodavatelů apod.), jiné vlivy mohou naopak působit příznivě na hodnoty kritérií (pokles cen surovin, ústup konkurence z trhu, hospodářská konjunktura apod.). Rizikovost stavů světa lze modelovat pomocí pravděpodobností. Metody, jež využívají znalosti pravděpodobností stavů světa, známe pod názvem metody rozhodování za rizika. Z nich nejznámější je tzv. Bernoulliův princip - metoda spočívající ve výpočtu očekávaného užitku (statisticky jde o střední hodnotu) každé varianty. Kompromisní varianta je pak varianta s nejvyšší hodnotou očekávaného užitku. V této kapitole se budeme zabývat metodami rozhodování za rizika, v následující kapitole pak metodami rozhodování za nejistoty. Všechny metody budou demonstrovány na jednoduchých příkladech. Podotýkáme, že se v nich vždy předpokládá znalost hodnot příslušných kritérií, případně užitků z těchto hodnot, a také znalost hodnot pravděpodobností stavů světa. Pokud však tyto věrohodné znalosti nejsou k dispozici, nelze je získat a zmíněné hodnoty nejsou jednoznačné, nýbrž jsou neurčité, pak hovoříme o rozhodovací situaci za neurčitosti a používáme k jejich řešení metody založené na tzv. fuzzy množinách. Těmito metodami se však budeme zabývat až v dalších kapitolách. Jak již bylo řečeno, u rozhodovacích procesů představuje informace o stavech světa a důsledcích variant vzhledem k jednotlivým kritériím důležité klasifikační hledisko. Tato informace může být buď úplná - deterministická vzhledem k jednoznačnosti stavů světa a hodnot kritérií jednotlivých variant, nebo neúplná - náhodná (stochastická), anebo neurčitá. V prvním případě se jedná o rozhodování za jistoty, ve druhém případě o rozhodování za nejistoty, ve třetím o rozhodování za neurčitosti. Přitom rozhodování za rizika vyčleňujeme z rozhodování za nejistoty, pokud známe příslušné pravděpodobnostní rozdělení, nebo je alespoň v principu můžeme zjistit. Pokud rozdělení pravděpodobnosti neznáme a nelze jej ani zjistit, hovoříme o rozhodování za nejistoty. V této subkapitole budeme vycházet z rozhodovací situace analogické jako v dříve: uvažujeme množinu variant A = {a 1, a 2,...,a n } a množinu kritérií C = {f 1,f 2,...,f m }, s tím rozdílem, že hodnota f(a) kritéria fc pro danou variantu aa je náhodná veličina, která má jisté praděpodobnostní rozdělení. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že všechna kritéria nabývají stejného počtu k hodnot, kde k 2, s diskrétním rozdělením pravděpodobnosti. To lze interpretovat například tak, že uvažujeme množinu k scénářů (stavů světa) Z = {z 1, z 2,...,z k }, přičemž každé kritérium f C je funkcí jak množiny alternativ, tak množiny scénářů, tj. f: AZ S, kde S je příslušná hodnotící škála. V následujícím textu budeme používat obě možnosti: hodnotu kritéria fc pro danou variantu aa jakožto náhodné veličiny budeme označovat f(a,z). Budeme-li však chtít vyjádřit konkrétní realizaci této náhodné veličiny, (tj. reálné číslo) při výskytu scénáře zz, použi

122 9 Vícekriteriální rozhodování za rizika jeme označení f(a,z). Zde se omezujeme na jednodušší případ konečného počtu scénářů při vědomí toho, že v realitě může být počet scénářů neomezený. V případě rozhodování za rizika jsou samozřejmě také známy pravděpodobnosti nastání scénářů, tj. známe pravděpodobnosti p(z) pro zz. Přitom víme, že pro pravděpodobnosti musí platit: zz p( z) 1 a p(z) 0 pro každé z Z. (9.1) Při znalosti rozdělení pravděpodobností lze stanovit střední hodnotu (očekávanou hodnotu) E[f(a,Z)] daného kritéria fc pro vybranou variantu aa takto: E[f(a,Z)] = zz f ( a, z) p( z). (9.2) Z výše uvedených předpokladů vyplývá, že v daném rozhodovacím problému lze každé kritérium vyjádřit tabulkou, kde řádky představují hodnoty kritéria f pro dané varianty v jednotlivých scénářích, viz následující tabulku. Matice F = {f(a i,z j )} se nazývá rozhodovací matice. Rozhodovací matice v situaci rozhodování za rizika: f(a,z) z 1 z 2 z 3 z k a 1 f(a 1,z 1 ) f(a 1,z 2 ) f(a 1,z 3 ) f(a 1,z k ) a 2 f(a 2,z 1 ) f(a 2,z 2 ) f(a 2,z 3 ) f(a 2,z k ) a 3 f(a 3,z 1 ) f(a 3,z 2 ) f(a 3,z 3 ) f(a 3,z k ) a m f(a m,z 1 ) f(a m,z 2 ) f(a m,z 3 ) f(a m,z k ) Pravděpodobnost p(z 1 ) p(z 2 ) p(z 3 ) p(z k ) Budeme předpokládat, že všechny (šedě podbarvené) hodnoty kritéria f v této rozhodovací matici jsou známy jako jednoznačné číselné hodnoty. Stejně tak jsou jednoznačně známy pravděpodobnosti všech scénářů z i. Jak již bylo řečeno, toto je situace rozhodování za rizika. V následujících kapitolách se budeme zabývat rozhodováním za nejistoty, kdy pravděpodobnosti scénářů nejsou známy a dále rozhodováním za neurčitosti, kdy hodnoty kritéria f v rozhodovací matici, resp. pravděpodobnosti scénářů nejsou jednoznačné číselné hodnoty, avšak jsou to tzv. fuzzy hodnoty, jimiž je modelována neurčitost těchto hodnot. Podle velikosti střední hodnoty E[f(a,Z)] lze uvažované varianty uspořádat, jinak řečeno, lze definovat nové kritérium g = E[f] a podle tohoto kritéria vyhodnocovat varianty stejně jako v případě rozhodování za jistoty. Toto kritérium se někdy nazývá Bernoulliovo kritérium. Jednou z nevýhod metody očekávané (střední) hodnoty je to, že nezachycuje variabilitu hodnocení způsobenou různými scénáři, proto se budeme v dalších odstavcích zabývat i jinými metodami, které mohou nedostatky výše uvedené metody odstranit

123 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 9.2 OBJEKTIVNÍ A SUBJEKTIVNÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Při rozhodování o situacích, které mají dopad až v budoucnu, je pro hodnocení důležité stanovení nebezpečí vyplývající z nepříznivých situací, nebo naopak nadějnost výsledků u příznivých situací. Jak již bylo řečeno, číselně lze vyjádřit tyto atributy pomocí pravděpodobností, tj. čísel z jednotkového intervalu [0,1]. V případě rozhodovacích situací za rizika však často nelze stanovit tyto pravděpodobnosti pomocí objektivních pravděpodobností, založených na zpracování statistických dat, neboť data nejsou buď vůbec k dispozici, anebo jich není dostatek pro statisticky významné závěry, eventuálně jsou neadekvátní nebo nespolehlivá. Pro pravděpodobnostní ohodnocení rizikových situací lze však uplatnit tzv. subjektivní pravděpodobnosti. Tyto pravděpodobnosti jsou založeny na předpokladu, že každý subjekt rozhodování (manažér, podnikatel, expert, hlava rodiny apod.) má určitý stupeň víry, resp. osobního přesvědčení ve výskyt určitého jevu, který je pro něj nebo jeho okolí významný. Může se přitom jednat o úspěch nově zaváděného výrobku na trh, vzrůst či pokles cen surovin nebo energií, cen akcií, úrokových měr apod. Subjektivní pravděpodobnost vyjadřuje míru osobního přesvědčení ve výskyt určitého jevu. Při stanovování konkrétní hodnoty subjektivní pravděpodobnosti určitého jevu hrají nejdůležitější úlohu znalosti subjektu, jeho zkušenosti, intuice a další informace. Musíme však počítat i s tím, že v jistých situacích nejsou k dispozici ani tyto subjektivní pravděpodobnosti. V takovém případě použijeme rozhodovací metody, které znalost pravděpodobností nepožadují (metody rozhodování za nejistoty), případně vystačí s neurčitými hodnotami modelovanými tzv. fuzzy čísly. O tom bude řeč v dalších odstavcích této kapitoly, resp. v následujících kapitolách. Subjektivní pravděpodobnosti můžeme vyjádřit buď kvantitativně (číselně), nebo kvalitativně (slovně). Číselné vyjádření má dvě formy. První a rozšířenější formou je vyjádření subjektivní pravděpodobnosti pomocí čísel mezi 0 a 1, nebo alternativně mezi 0% a 100%. Hodnota 0 značí, že jev zcela jistě nenastane, zatímco hodnota 1, resp. 100% naopak znamená, že jev s určitostí nastane. Hodnoty mezi 0 a 1 vyjadřují stupeň jistoty výskytu daného jevu. Účinnou metodou ke stanovení pravděpodobností je Saatyho metoda párového porovnání, která je součástí AHP, jíž jsme se zabývali v kapitole 4. Druhá forma udává předpokládanou relativní četnost výskytu jevu z předpokládaného celkového počtu výskytů daného jevu. Modifikací této formy je tzv. poměr sázek, což je forma používaná často v anglosaských zemích a představuje poměr, ve kterém by subjekt byl ochoten vsadit na výskyt daného jevu významnou částku peněz. Například u poměru sázek 3:1 na úspěch určitého výrobku na trhu se subjektivní pravděpodobnost úspěchu vypočte jako: = 0,

124 9 Vícekriteriální rozhodování za rizika Číselné vyjádření subjektivní pravděpodobnosti lze snadno využít v metodách rozhodování, jak o tom bude pojednáno dále. Určitou nevýhodou však je, že se subjekty rozhodování kvantifikaci pravděpodobností vyhýbají a raději pracují s kvalitativními veličinami, tj. slovními popisy subjektivních pravděpodobností, které jsou intuitivně přijatelnější a obecně srozumitelnější. Mezi číselnými hodnotami a slovními popisy existují vzájemné korespondence, tyto popisy však nejsou závaznou normou a různí jedinci je mohou interpretovat různě. Jednu z možností takové korespondence udává následující tabulka, viz [7]: Vyjádření subjektivní pravděpodobnosti Číselné Slovní 0 Zcela vyloučeno 0,1 Krajně nepnnepraneprav- 0,2-0,3 Dosti nepravděpodobné 0,4 Nepravděpodobné 0,6 Pravděpodobné 0,7-0,8 Dosti pravděpodobné 0,9 Nanejvýš pravděpodobné 1 Zcela jisté Při rozhodování za rizika, zejména ve fázi hodnocení variant podle jednotlivých kritérií, je významným faktorem postoj rozhodovatele k riziku, který má 3 stupně: sklon k riziku, neutralita k riziku, averze k riziku. Rozhodovatel se sklonem k riziku upřednostňuje rizikové varianty, to jest takové varianty, které přinášejí vyšší (tj. výhodnější, žádanější) hodnoty kritéria, avšak na úkor vyššího rizika realizace takových variant. Naopak rozhodovatel s averzí k riziku upřednostňuje spíše jistotu (tj. menší riziko) realizace hodnoty kritéria před její vyšší výhodností. U rozhodovatele s neutrálním postojem k riziku jsou averze a sklon k riziku ve vzájemné rovnováze. 9.3 FUNKCE UŽITKU ZA RIZIKA Z různých teorií užitku, které jsou doposud známy, je nejvýznamnější axiomatická teorie užitku zformulována von Neumannem a Morgensternem již ve 40. letech minulého století. Dílčí funkce užitku přiřazuje každé hodnotě daného kritéria (pro zadanou variantu rozhodování) jistou hodnotu, kterou nazýváme užitek (nebo také utilita) vyjádřenou číslem z intervalu [0,1]). Čím je toto číslo větší, tím větší předpokládá rozhodovatel užitek z hodnoty daného kritéria (např. pohodlí v automobilu), tedy tím více rozhodovatel danou hodnotu preferuje. V této kapitole se stručně věnujeme funkci užitku v podmínkách rizika. Funkce užitku za rizika je nástrojem, pomocí něhož lze kvantitativně vyjádřit postoj rozhodovatele k riziku. DEFINICE 9.1. FUNKCE UŽITKU Uvažujme kritérium f C, přičemž pro variantu aa je f(a) náhodnou veličinou s hodnotami v S R. Funkcí užitku (utility) je monotónní funkce u f : S [0,1], která každému x S přiřazuje užitek u f (x) [0,1]. V případě, kdy f je maximalizační kritérium (kritérium výnosového typu), je funkce užitku neklesající funkcí, u minimalizačního kritéria (kritéria nákladového typu) je to funkce nerostoucí

125 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Lze ukázat, viz např. [15], že v případě rozhodovatele se sklonem k riziku, je funkce užitku konkávní, u rozhodovatele s averzí vůči riziku je funkce užitku konvexní, v případě rozhodovatele indiferentního vůči riziku je funkce užitku lineární. Pro konstrukci konkrétní funkce užitku pro zvolené kritérium hodnocení, je důležitý pojem jistotního ekvivalentu. DEFINICE 9.2. JISTOTNÍ EKVIVALENT Nechť a je rozhodovací varianta, f je hodnotící kritérium, u f : S [0,1] je funkce užitku příslušná k tomuto kritériu, kde škála S R. Dále mějme množinu scénářů Z ={z 1, z 2,,z k }, pravděpodobnostní rozdělení na Z je dáno pravděpodobnostmi p(z i ), přičemž je splněn vztah (9.1). Potom jistotním ekvivalentem J f (a) varianty a nazýváme takovou hodnotu, jejíž užitek je roven střední hodnotě užitku varianty aa, tj. platí: u k J f a) u f ( a, zi) ( p( z ). (9.3) i1 i Konstrukce vícekriteriální funkce užitku je založena na zpracování informací získaných v dialogu analytika s rozhodovatelem, přičemž ke stanovení hodnot funkce užitku se využívá jistotní ekvivalent (9.3) pro vhodně zvolené varianty. Podrobněji se konstrukci funkce užitku věnuje např. [8]. 9.4 METODY HODNOCENÍ VARIANT ZA RIZIKA PŘI JEDINÉM KRITÉRIU Při rozhodování za jistoty jsme se vyhodnocováním jednotlivých variant podle kritérií zabývali v předchozích kapitolách. V podmínkách jistoty stanovení nejlepší varianty podle daného kritéria zpravidla nečiní potíže. V situaci rozhodování za rizika je situace odlišná, neboť hodnocení každé varianty podle daného kritéria představuje náhodnou veličinu na množině scénářů (stavů světa). Uvedeme zde několik metod, které umožní vyhodnotit varianty podle daného kritéria v situaci rozhodování za rizika, (tj. při znalosti rozdělení pravděpodobnosti). Dokážeme-li vyhodnotit varianty podle každého kritéria, potom s použitím metod uvedených v předchozích kapitolách můžeme vyřešit i vícekriteriální rozhodovací problém. Mějme opět množinu variant A = {a 1, a 2,...,a n }, množinu maximalizačních kritérií C = {f 1,f 2,...,f m } a množinu scénářů (stavů světa) Z = {z 1, z 2,...,z k }, pravděpodobnostní rozdělení na Z je dáno pravděpodobnostmi p(z i ), přičemž je splněn vztah (9.1). Každé kritérium fc je funkcí jednak alternativ, jednak scénářů, tj. f: AZ S, kde S R je příslušná škála. V této subkapitole uvedeme metody vyhodnocení variant za rizika, aplikace uvedených metod ilustrujeme na příkladech. Metoda aspirační úrovně Rozhodovatel nejprve zvolí hodnotu aspirační úrovně, tj. číslo, které představuje požadovanou hodnotu maximalizačního kritéria f, jíž má toto kritérium minimálně dosáhnout. Varianty se pak uspořádají podle velikosti celkové pravděpodobnosti P(a), s níž hodnota kritéria f překračuje zadanou aspirační úroveň R, tj. I (a) = {i f(a,z i )}, (9.4) P (a) = p( z i ). (9.5) i I ( a)

126 9 Vícekriteriální rozhodování za rizika Čím větší je pravděpodobnost toho, že hodnota kritéria překračuje aspirační úroveň, tím je varianta lepší. Nevýhodnou vlastností metody je silná závislost výsledného uspořádání variant na zvolené aspirační úrovni, což způsobuje nestabilitu výsledků při různých volbách aspirační úrovně, jako dokládá následující příklad. PŘÍKLAD 9.1. Podnikatel chce investovat do výrobního zařízení, které je na trhu k dispozici ve 3 variantách: a 1 -malá varianta, a 2 -střední varianta, a 3 -velká varianta. Velikosti předpokládaného zisku po zavedení nové výroby (kritérium f) jsou uvažovány pro 5 scénářů - situací odbytu výrobku vyráběného na výrobním zařízení: z 1 velmi malý odbyt, z 2 malý odbyt, z 3 průměrný odbyt, z 4 velký odbyt, z 5 velmi velký odbyt. Rozhodovací matici včetně pravděpodobností výskytu jednotlivých scénářů uvádí následující tabulka: Varianta/ Zisk z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 a a a Pravděpodobnost 0,15 0,35 0,30 0,15 0,05 Tab 9.1. Vstupní data Předpokládejme, že aspirační úroveň byla stanovena: = 80. Potom podle (9.4) stanovíme: I (a 1 ) = {2,3,4,5}, I (a 2 ) = {3,4,5}, I (a 3 ) = {4,5}, dále podle (9.5) vypočítáme příslušné celkové pravděpodobnosti překročení hodnoty aspirační úrovně: P (a 1 ) = 0,85, P (a 2 ) = 0,50, P (a 3 ) = 0,20. Nejlépe hodnocenou je tedy a 1 -malá varianta, další je pak a 2 -střední varianta, nejhůře hodnocenou je a 3 -velká varianta. Uspořádání variant je závislé na velikosti aspirační úrovně, pokud ji rozhodovatel změní, např. zvýší na dvojnásobek = 160, potom podle (9.4) a (9.5) obdržíme následující výsledky: I (a 1 ) = {}, I (a 2 ) = {5}, I (a 3 ) = {4,5}, P (a 1 ) = 0,00, P (a 2 ) = 0,05, P (a 3 ) = 0,20. Těmto pravděpodobnostem odpovídá obrácené pořadí variant ve srovnání s předešlým případem nižší aspirační úrovně

127 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Metoda očekávaného užitku Metoda se též alternativně nazývá pravidlo očekávané utility. Funkce užitku vyjadřující postoj rozhodovatele k riziku umožňuje formulovat jednoznačně pravidlo pro preferenční uspořádání variant vzhledem k danému kritériu hodnocení za podmínek rizika. Z axiomů, na kterých je funkce užitku založena, totiž jednoznačně plyne, že rozhodovatel preferuje jistou variantu před jinými variantami, jestliže očekávaná (střední) hodnota užitku této varianty je vyšší, než u jiných variant. Přitom je Z diskrétní náhodná veličina s pravděpodobnostním rozdělením p(z i ), i=1,...,k. Metoda očekávaného užitku představuje tyto kroky: Krok 1. Krok 2. Stanovení funkce užitku u daného kritéria, Vyhodnocení užitků E[u(f(a,Z))], tj. výpočet očekávaných hodnot jednotlivých variant podle vzorce k E[ u( f ( a, Z)] u( f ( a, z )) p( z ). (9.6) i1 i i Krok 3. Uspořádání variant podle klesajících hodnot užitku E[u(f(a,Z))]. Metodu ilustrujeme na příkladu, který vychází ze situace popsané v příkladu 9.1. PŘÍKLAD 9.2. Při konstrukci funkce utility budeme vycházet z předpokladu, že rozhodovatel je neutrální k riziku a tudíž funkce užitku je lineární. Použijeme přitom metodu konstrukce funkce užitku z práce [8], která spočívá ve tom, že minimální nabývané hodnotě přiřadíme nulový užitek, maximální hodnotě naopak přiřadíme jednotkový (tj. maximální) užitek. Ostatním hodnotám přiřadíme užitek, který odpovídá hodnotám lineární funkce podle vztahu 100 u ( x) x, pro -100 x 500, 600 kde za x dosadíme hodnoty z Tabulky 9.1. Varianta/ Užitek z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 E[u(f(a i,z))] a 1 0,25 0,30 0,33 0,37 0,42 0,32 a 2 0,17 0,25 0,30 0,42 0,67 0,30 a 3 0,00 0,17 0,25 0,67 1,00 0,28 Pravděpodobnost 0,15 0,35 0,30 0,15 0, Tab 9.2. Užitky

128 užitek 9 Vícekriteriální rozhodování za rizika Příslušný graf funkce užitku je: Funkce užitku hodnota kritéria V posledním sloupci výše uvedené tabulky jsou podle (9.3) vypočteny hodnoty očekávaných užitků pro jednotlivé varianty. Odtud vyplývá, že nejlépe je hodnocena varianta a 1, potom varianta a 2 a nakonec varianta a 3. Metoda střední (očekávané) hodnoty - Bernoulliův princip V případě, že funkce užitku není známa, ani ji nelze efektivně zkonstruovat, můžeme pro vyhodnocení variant použít analogickou metodu, která však nevyžaduje znalost funkce užitku, nýbrž pracuje přímo s hodnotami kriteriální funkce. Touto metodou vypočítáme pro každou variantu aa očekávanou (střední) hodnotu kritéria podle známého vztahu: k E[f(a,Z)] = f ( a, zi ) p( z i ). (9.6*) i1 Podle velikosti střední hodnoty potom uvažované varianty seřadíme. Metoda očekávané hodnoty a rozptylu Metoda (pravidlo) očekávané hodnoty z předchozího odstavce nebere při stanovování uspořádání variant v úvahu odlišnou míru rizika jednotlivých variant. Tento nedostatek se snaží zmírnit metoda očekávané hodnoty a rozptylu, která kromě očekávané hodnoty uvažuje pro každou variantu také rozptyl hodnot kritéria. Přitom varianta a je lepší než varianta b, jestliže platí současně: E[a] E[b], Var[a] Var[b]. (9.7) Ve slovním vyjádření vztah (9.7) znamená, že lepší varianta musí mít současně větší, (přesněji: ne menší) očekávanou hodnotu a menší (přesněji: ne větší) rozptyl. Je zřejmé, že podle (9.7) obecně nelze množinu variant úplně uspořádat, neboť vztah (9.7) definuje pouze

129 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY částečné kvaziuspořádání. Lze však nalézt alespoň množinu nedominovaných variant, eventuálně jen její část, která může sloužit ke stanovení kompromisní varianty/variant. PŘÍKLAD 9.3. V tomto příkladu opět vycházíme ze zadání Příkladu 9.1. Následující tabulka uvádí v posledních dvou sloupcích střední hodnotu a rozptyl hodnot kritéria f: Varianta/ Zisk z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 E[f(a i,z)] Var[f(a i,z)] a , a , a , Pravděpodobnost 0,15 0,35 0,3 0,15 0, Tab 9.3. Z uvedené tabulky je zřejmé, že jak použitím metody očekávané hodnoty, tak metody očekávané hodnoty a rozptylu obdržíme stejné výsledné uspořádání variant: nejlépe je hodnocena varianta a 1, potom varianta a 2 a nakonec varianta a METODY HODNOCENÍ VARIANT ZA RIZIKA A VÍCE KRITÉRIÍ Doposud jsme se zabývali hodnocením variant za rizika a nejistoty pouze v případě jediného kritéria. Nyní rozšíříme naše úvahy na situaci více kritérií, tedy na rozhodovací situaci, kdy varianty posuzujeme alespoň podle dvou nebo i více kritérií. Na rozdíl od situace rozhodování za jistoty budeme uvažovat stejně jako v předchozí subkapitole existenci několika scénářů stavů světa, dále se omezíme na dvě nám již známé situace: pravděpodobnosti jednotlivých scénářů jsou pro rozhodování k dispozici (tj. rozhodování za rizika), pravděpodobnosti jednotlivých scénářů nejsou pro rozhodování k dispozici (tj. rozhodování za nejistoty). Zopakujme si poznatky, které budeme v dalším výkladu používat. Mějme opět množinu n variant A = {a 1, a 2,..., a n }, množinu m maximalizačních (kardinálních) kritérií C = {f 1,f 2,...,f m } a množinu k scénářů (stavů světa) Z = {z 1, z 2,...,z k }. Pravděpodobnostní rozdělení na Z je dáno pravděpodobnostmi p(z i ), přičemž je splněn vztah (9.1). Každé kritérium f i C je funkcí jednak alternativ, jednak scénářů, tj. f i : AZ S, kde i=1,2,...,m, S R je příslušná škála. Dále předpokládáme, že jsou známy váhy w i, i=1,2,...,m, tj. relativní významnosti jednotlivých kritérií. Intuice vám jistě napovídá, že metody rozhodování s více kritérii budou svým způsobem rozšířením metod (pravidel), s nimiž jste se seznámili v předchozí části této kapitoly. Skutečně je tomu tak, i když ne všechny dříve uvedené metody (pravidla) jsou použitelné v situaci více rozhodovacích kritérií. Metoda aspiračních úrovní Rozhodovatel nejprve zvolí pro každé kritérium f i, i=1,2,...,m, hodnotu aspirační úrovně i, tj. číslo, které představuje požadovanou hodnotu maximalizačního kritéria f i, jíž má toto kritérium minimálně dosáhnout. Znalost vah kritérií zde není zapotřebí. Nejprve pro každou

130 9 Vícekriteriální rozhodování za rizika variantu aa a každé kritérium f i vypočítáme pravděpodobnost (a), s níž hodnota kritéria f i překračuje zadanou aspirační úroveň i R, tj.: I i (a) = {j f i (a,z j ) i }, i=1,2,...,m, (9.8) P i (a) = j I ( a) i p( z j P i ), i=1,2,...,m. (9.9) Varianty se pak seřadí podle velikosti minimální pravděpodobnosti P(a) vypočítané přes všechna kritéria tj. P(a) = min{ (a) i=1,2,...,m}. (9.10) P i Hodnota P(a) představuje minimální pravděpodobnost, s níž varianta překročí u všech kritérií svou aspirační úroveň. Čím je hodnota pravděpodobnosti P(a) větší, tím je varianta lepší. Kompromisní varianta a * pak má největší hodnotu této pravděpodobnosti, konkrétně pro ni platí: P(a * ) = max{ P(a) aa}. (9.11) Metodu demonstrujeme na následujícím příkladu. PŘÍKLAD 9.4. V příkladu 9.1. výběr investiční varianty jsme uvažovali pouze jediné kritérium zisk. Nyní budeme uvažovat 2 kritéria, ke kritériu f 1 - Zisk přidáme ještě kritérium f 2 - Tržby, viz Tabulka 9.4. Varianta/ Tržby z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 a a a Pravděpodobnost 0,15 0,35 0,30 0,15 0,05 Tab 9.4. Vstupní data - Tržby Kvůli pohodlí čtenáře a snadné srovnání zopakujeme Tabulku 9.1. Varianta/ Zisk z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 a a a Pravděpodobnost 0,15 0,35 0,30 0,15 0,05 Tab 9.5. Vstupní data - Zisk Předpokládejme, že aspirační úrovně byly stanoveny takto: pro f 1 - Zisk: 1 = 80 a pro f 2 - Tržby byla stanovena: 2 = 250. Potom podle (9.8) stanovíme:

131 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY I ( 1 ) = {2,3,4,5}, I ) = {3,4,5}, I ) = {4,5}, 1 a ( a 1 2 ( a 2 2 I ( a 1 ) = {4,5}, ) 2 ( a 1 3 ( a 2 3 I = {3,4,5}, I ) = {2,3,4,5}, dále podle (9.9) vypočítáme příslušné celkové pravděpodobnosti překročení hodnoty aspirační úrovně: P ( 1 ) = 0,85, P ) = 0,50, P ) = 0,20, 1 a ( a 1 2 ( a 2 2 P ( a 1 ) = 0,20, ) 2 ( a 1 3 ( a 2 3 P = 0,50, P ) = 0,85. Pak podle (9.10) vypočítáme P(a 1 ) = 0,20, P(a 2 ) = 0,50, P(a 2 ) = 0,20. Kompromisní variantou je podle (9.11) varianta a 2, neboť ta má nejvyšší pravděpodobnost realizace stanovených aspiračních úrovní. Podobně jako v Příkladu 9.1. zvýšíme nyní aspirační úrovně na dvojnásobek, tedy pro f 1 - Zisk: 1 = 160 a pro f 2 - Tržby: 2 = 500. Potom podle (9.8) a (9.9) stanovíme: I ( a 1 ) = {}, I ( a ) = {5}, ) I ( a 1 3 = {4,5}, I ( 1 ) = {}, I ) = {5}, I ) = {4,5}, 2 a ( a 2 2 ( a 1 2 ( a 2 2 ( a 2 3 ( a 1 3 ( a 2 3 P ( 1 ) = 0,00, P ) = 0,05, P ) = 0,20, 1 a P ( a 1 ) = 0,00, ) 2 P = 0,05, P ) = 0,20. Pak podle (9.10) vypočítáme P(a 1 ) = 0,00, P(a 2 ) = 0,05, P(a 3 ) = 0,20. Kompromisní variantou je podle (9.11) varianta a 3, neboť ta má nejvyšší pravděpodobnost realizace stanovených aspiračních úrovní. Metoda očekávaného užitku Metoda používá vícekriteriální aditivní funkci utility. Funkce užitku vyjadřující postoj rozhodovatele k riziku umožňuje formulovat jednoznačně pravidlo pro preferenční uspořádání variant vzhledem k danému kritériu hodnocení za podmínek rizika. Z axiomů, na kterých je funkce užitku založena, jednoznačně plyne, že rozhodovatel preferuje jistou variantu před jinými variantami, jestliže očekávaná (střední) hodnota užitku této varianty je vyšší, než u jiných variant. Metoda očekávaného užitku představuje algoritmus s těmito kroky: Krok 1. Stanovení dílčích funkcí užitku u i každého kritéria

132 9 Vícekriteriální rozhodování za rizika Krok 2. Vyhodnocení očekávaných dílčích užitků, E[u i (f i (a,z))] tj. výpočet očekávanýchhodnot jednotlivých variant pro všechny dílčí funkce užitku podle (9.6) takto: k E[ u ( f ( a, Z)] u ( f ( a, z )) p( z ). (9.12) i i j1 j i j j Krok 3. Výpočet hodnoty vícekriteriální funkce užitku E[a] pro každou variantu pomocí váženého součtu dílčích užitků, tj. Krok 4. m E[a] = wi E( ui ( fi ( a, Z))). (9.13) i1 Uspořádání variant podle klesajících hodnot vícekriteriální funkce užitku E[a]. Namísto aditivní vícekriteriální funkce utility bychom v předchozí metodě zřejmě mohli použít též multiplikativní případně jiné funkce utility. Tvar funkce utility závisí na charakteru konkrétní úlohy VKH. V případě, že dílčí funkce užitku nejsou známy, ani je nelze efektivně zkonstruovat, můžeme pro vyhodnocení variant použít metodu, která však, podobně jako v situaci jednoho rozhodovacího kritéria, nevyžaduje znalost dílčích funkcí užitku, nýbrž pracuje přímo s hodnotami kriteriálních funkcí. Touto metodou vypočítáme pro každou variantu aa očekávanou (střední) hodnotu kritéria podle známého vztahu: k E[f i (a,z)] = fi ( a, z j ) p( z j ), i=1,2,...,m. (9.14) j1 Označme F i (a) = E[f i (a)] pro všechna i=1,2,...,m a každou variantu aa. Aby bylo nyní možné dílčí očekávané hodnoty kritérií (9.14) agregovat do výsledné hodnoty, musí být tyto dílčí hodnoty vzájemně porovnatelné. Toho lze dosáhnout normalizací, resp. standardizací hodnot F i (a). Tím se transformují hodnoty F i (a) na normalizované, resp. standardizované hodnoty i (a) z intervalu [0,1]. Pro agregaci pak je vhodná metoda váženého součtu (VS) nám známa z Kapitoly 4, tj. pro každou variantu aa obdržíme výsledné agregované hodnocení H(a) takto: m H(a) = i1 w i a) i (, (9.15) kde w i jsou váhy jednotlivých kritérií. Podle velikosti agregované hodnoty H(a) potom uvažované varianty seřadíme a stanovíme kompromisní variantu. Metodu ilustrujeme na příkladu, který vychází ze situace známé z předchozího příkladu 9.4. PŘÍKLAD 9.5. Uvažujme rozhodovací problém z Příkladu 9.4. se dvěma kritérii, viz Tabulky 9.4. a 9.5., navíc uvažujme váhy: w 1 = 0,6 a w 2 = 0,4 příslušné kritériím f 1 = Zisk a f 2 = Tržby. Řešení: Při řešení budeme postupovat podle jednotlivých kroků algoritmu metody očekávané utility:

133 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Krok 1: Při konstrukci funkcí utility budeme vycházet z předpokladu, že rozhodovatel je neutrální k riziku a tudíž funkce užitku je lineární. Použijeme přitom metodu konstrukce funkce užitku z Příkladu 9.2., která spočívá ve tom, že minimální nabývané hodnotě kritéria přiřadíme nulový užitek, maximální hodnotě naopak přiřadíme jednotkový (tj. maximální) užitek. Ostatním hodnotám přiřadíme užitek, který odpovídá hodnotám lineární funkce. Hodnoty funkce užitku u 1 pro hodnoty kritéria Zisk se vypočítají podle vztahu 100 u 1( x) x, pro -100 x 500, 600 kde za x dosadíme hodnoty z Tabulky 9.5. Také hodnoty funkce užitku u 2 pro hodnoty kritéria Tržby lze získat podle vztahu 100 u 2( x) x, pro 100 x 850, 750 kde za x dosadíme hodnoty z Tabulky 9.4. Varianta/ Užitek z f 1 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 E[u 1 (f 1 (a i,z))] a 1 0,25 0,30 0,33 0,37 0,42 0,32 a 2 0,17 0,25 0,30 0,42 0,67 0,30 a 3 0,00 0,17 0,25 0,67 1,00 0,28 Pravděpodobnost 0,15 0,35 0,30 0,15 0, Tab 9.6. Užitky hodnot kritéria Zisk Varianta/ Užitek z f 2 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 E[u 2 (f 2 (a i,z))] a 1 0,00 0,07 0,13 0,27 0,27 0,12 a 2 0,07 0,09 0,20 0,33 0,53 0,18 a 3 0,13 0,20 0,20 0,67 1,00 0,30 Pravděpodobnost 0,15 0,35 0,30 0,15 0, Tab 9.7. Užitky hodnot kritéria Tržby Krok 2: Vyhodnocení očekávaných dílčích užitků, E[u i (f i (a,z))] tj. výpočet očekávaných hodnot jednotlivých variant pro obě dílčí funkce užitku podle (9.12) jsou uvedeny v Tabulkách 9.6. a 9.7. Krok 3: Vypočtené hodnoty vícekriteriální funkce užitku E[a i ] pro každou variantu pomocí váženého součtu dílčích užitků podle (9.13) jsou uvedeny v Tabulce 9.8.:

134 9 Vícekriteriální rozhodování za rizika Varianta/ Užitek z f i E[u 1 (f 1 (a i,z))] E[u 2 (f 2 (a i,z))] E[a i ] a 1 0,32 0,12 0,24 a 2 0,30 0,18 0,25 a 3 0,28 0,30 0,29 Váhy: 0,6 0,4 --- Tab 9.8. Dílčí užitky a celkový užitek variant Krok 4: Varianty lze uspořádat podle velikosti hodnoty celkového užitku z posledního sloupce Tab Kompromisní variantou je podle Tab varianta a 3, neboť ta má nejvyšší hodnotu celkového užitku, tj. E[a 3 ] = 0, AHP VE VÍCEKRITERIÁLNÍM HODNOCENÍ VARIANT ZA RIZIKA V kapitole 5 a zejména pak v kapitole 6 jste se podrobně zabývali metodou AHP. Hierarchický systém tam studovaný je konstruován tak, že na nejvyšší úrovní hierarchie, je vždy cíl rozhodování ( Goal ), následuje úroveň rozhodovacích kritérií, dále úroveň subkritérií atd. až k nejnižší úrovni, která je vždy tvořena rozhodovacími variantami. V této kapitole jsme se doposud zabývali vícekriteriálním hodnocením za rizika, tj. znalosti pravděpodobností scénářů. Z předchozího odstavce, konkrétně ze vztahů (9.14), (9.15) plyne, že v metodě vícekriteriálního hodnocení za rizika lze přistupovat ke kritériím stejně jako ke kritériím v AHP a k jejich pravděpodobnostem stejně jako k vahám kritérií. Rozhodovací kritérium nabývá v každém scénáři jedinou hodnotu, kterou lze interpretovat jako projev vlivu každého individuálního scénáře na dané kritérium. Proto lze množinu scénářů chápat jako nadřízenou hierarchickou úroveň k množině kritérií, nebo obráceně, úroveň kritérií je podřízenou hierarchickou úrovní k úrovni scénářů. Problém vícekriteriálního hodnocení za rizika lze proto modelovat pomocí hierarchické struktury analogicky jako problém vícekriteriálního hodnocení za jistoty, viz Obr Rozdíl je v tom, že hierarchická struktura problému VKH za rizika má o jednu hierarchickou úroveň více, konkrétně druhá nejvyšší úroveň není úroveň kritérií, nýbrž je to úroveň scénářů následovaná úrovní kritérií, viz Obr

135 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Obr Hierarchický systém v AHP Obr Hierarchický systém v rozhodování za rizika Při řešení konkrétního problému VKH metodou AHP se po úvodní formulaci cíle rozhodování nejprve formuluje hierarchická úroveň scénářů a stanoví se jejich pravděpodobnosti (např. metodou párového porovnání). Poté se ohodnotí vliv každého scénáře na každé rozhodovací kritérium a to buď formou konkrétních hodnot (např. pro každý scénář se stanoví velikost zisku dosahovaného pro každou z uvažovaných investičních variant). Ty se pak pro každý scénář normalizují, anebo se pro každý scénář vypočtou jakožto složky vlastního vektoru vah z příslušné matice párových porovnání

136 9 Vícekriteriální rozhodování za rizika Dále se pak postupuje stejně jako v klasické metodě AHP: metodou syntézy se nakonec dospěje k vektoru vah nejnižší hierarchické úrovně úrovně variant. Varianty se pak podle velikosti složek tohoto vektoru seřadí a poskytnou tak mimo jiné kompromisní variantu problému VKH. PŘÍKLAD 9.6. Uvažujme údaje o zisku a tržbách z Příkladu 9.4. viz Tabulky 9.4. a 9.5., s následujícími pravděpodobnostmi scénářů: P(scénář 1) = 0,455, P(scénář 2) = 0,202, P(scénář 3) =0,146, P(scénář 4) =0,089, P(scénář 5) = 0,108. Uvažujeme váhy: w 1 = 0,875 a w 2 = 0,125 příslušné kritériím f 1 = Zisk a f 2 = Tržby. Pomocí programu DAME se získá hierarchická struktura uvedená na Obr Tak např. část hierarchie odpovídající prvnímu scénáři vypadá v DAME tak, jak ukazuje Obr. 9.3 (hierarchie před vyhodnocením). V horní části obrázku se párovým srovnáním stanoví váhy kritérií, které jsou v našem příkladě pro každý scénář stejné. V okně následujícím se vyhodnotí varianty vzhledem ke každému kritériu a v posledním okně (zeleně zvýrazněném) provede DAME vyhodnocení variant pro daný scénář striktně matematicky řečeno reprezentuje takový výsledek vyhodnocení sub-hierarchie naší úplné hierarchie, přičemž tato subhierarchie spadá pod uzel Scénář 1. Obr Část hierarchie odpovídající scénáři 1, jak ji zobrazuje program DAME Po zadání údajů z našeho příkladu do programu DAME obdržíme výsledek pro scénář 1, který je uveden na obrázku

137 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Obr Dílčí vyhodnocení variant pro Scénář 1 vyhodnocení sub-hierarchie Obdobně se vyplní údaje o tržbách a zisku pro ostatní čtyři scénáře. Váhy kritérií zůstávají stejné, dílčí hodnocení variant pro scénáře 2 až 5 udává obrázek 9.5. Obr Dílčí vyhodnocení variant pro scénáře 2 až 5 Finální syntéza reprezentující vyhodnocení prvků ze třetí úrovně hierarchie vůči prvkům na druhé úrovni hierarchie (vůči scénářům) je zobrazen na obrázku 9.6. Tohoto výsledku

138 9 Vícekriteriální rozhodování za rizika je dosaženo tak, že z hodnocení dané varianty spočtených pro scénáře 1 až 5 byl vyčíslen vážený průměr s vahami, které jsme stanovili pro jednotlivé scénáře. Obr. 9.6 Výsledná syntéza DAME určující jako kompromisní variantu a1 Kontrolní otázky 9: 1. Vysvětlete rozdíl mezi rozhodováním za rizika, za nejistoty a za neurčitosti. 2. Vysvětlete pojmy náhodná veličina a očekávaná (střední) hodnota na příkladu hodnot kardinálního kritéria. 3. Jaký je rozdíl mezi objektivní a subjektivní pravděpodobností? 4. Vysvětlete pojem funkce užitku na příkladu užitku z hodnoty nějakého kritéria? 5. Vysvětlete metodu aspiračních úrovní pro případ 2 kritérií. 6. Co je Bernoulliho princip a jaké je jeho uplatnění ve VKH? 7. V čem se odlišuje metoda očekávaného užitku od metody AHP použité pro VKR za rizika? Příklad Následující úloha pracuje s pěti scénáři budoucího ekonomického vývoje. Sledovaným kritériem je hrubý domácí produkt. Státní sféra uvažuje čtyři strategické plány na podporu ekonomiky, P značí pravděpodobnosti nastání jednotlivých scénářů. HDP Růst Číny,USA Růst Číny Růst USA Pokles Číny,USA Globální stagnace Plán 1 1,1 0,6 0,2-0,1-0,3 Plán 2 0,4 0,9 0,5 0-0,4 Plán 3 0,6 0,3 0,7 0,2 0 Plán 4 0,4 0,3 0,6 0,3 0 P 0,2 0,3 0,25 0,18 0,07 a) Určete metodou aspirační úrovně, která je v tomto případě stanovena ve výši HDP = 0,6, který z plánů se jeví jako nejlepší. b) Najděte nejlepší plán metodou očekávané hodnoty c) Najděte nejlepší plán metodou očekávané hodnoty a rozptylu. Je to možné? Pokud ne, vysvětlete, jak budete postupovat

139 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Řešení a) Plán 1 dosahuje minimálně aspirační hodnoty s pravděpodobností 0,2 + 0,3 = 0,5. V případě Plánu 2 je to s pravděpodobností 0,3, v případě Plánu 3 s pravděpodobností 0,45 a u Plánu 4 činí tato pravděpodobnost 0,25. Jako nejlepší se tedy jeví Plán 1, dále pak Plán 3, Plán 2 a Plán 4. b) Očekávané hodnoty E pro jednotlivé plány jsou v následující tabulce: E Plán 1 0,411 Plán 2 0,447 Plán 3 0,421 Plán 4 0,374 Výsledné pořádí plánů je pak: Plán 2 > Plán 3 > Plán 1 > Plán 4. c) Očekávané hodnoty E a rozptyly D pro jednotlivé plány jsou v následující tabulce: E D Plán 1 0,411 0,199 Plán 2 0,447 0,149 Plán 3 0,421 0,051 Plán 4 0,374 0,025 Z tabulky vyplývá, že jednoznačně nejlepší řešení zde neexistuje. Lze pouze sestavit seznam nedominovaných variant, které již dále nejsou vůči sobě dobře srovnatelné, a kterákoliv z nich může být realizována jako vhodný plán. Nedominované varianty jsou: Plán 2, Plán 3 a Plán 4. Plán 1, dominovaný Plánem 2, tedy dobrý není podle této metody. Příklad Uvažujeme dvoukriteriální úlohu s maximalizačními kritérii K1 a K2 vedenými v různých jednotkách, čtyřmi scénáři S1, S2, S3 a S4 a čtyřmi variantami V1 až V4 (viz tabulka). Symbol P značí pravděpodobnost daného scénáře, váhy kritérií jsou: w1 pro K1 je 0,45, w2 pro K2 se rovná 0,55. Řešte úlohu metodou a) aspirační úrovně, přičemž pro K1 je tato úroveň 7, pro K2 je rovna 4. b) očekávané hodnoty s užitím normalizace. K1 S1 S2 S3 S4 V V V V P 0,25 0,26 0,31 0,

140 9 Vícekriteriální rozhodování za rizika K2 S1 S2 S3 S4 V V V V P 0,25 0,26 0,31 0,18 Řešení a) V případě kritéria K1 jsou celkové pravděpodobnosti, s nimiž daná varianta dosahuje nejméně aspirační úrovně, rovny: V1 0,74 V2 0,49 V3 0,51 V4 0,56 V případě druhého kritéria pak: V1 0,56 V2 0,57 V3 0,49 V4 0,43 Daná varianta tedy splňuje alespoň předepsané aspirační úrovně s pravděpodobností minimálně: Min V1 0,56 V2 0,49 V3 0,49 V4 0,43 Varianty lze tedy seřadit od nejlepší po nejhorší takto: V1 > V2 = V3 > V4. b) Očekávané hodnoty pro danou variantu a kritérium vypadají takto: E K1 K2 V1 7,05 3,04 V2 6,49 4,2 V3 5,84 2,92 V4 6,2 2,6 Po normalizaci přejde uvedená tabulka v tabulku:

141 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY K1 K2 V1 0,276 0,238 V2 0,254 0,329 V3 0,228 0,229 V4 0,242 0,204 Agregované hodnocení jednotlivých variant zohledňující též váhy kritérií je následně dáno váženým součtem s tímto výsledkem: V1 0,255 V2 0,295 V3 0,229 V4 0,221 Výsledné uspořádání variant je: V2 > V1 > V3 > V

142 10 Vícekriteriální rozhodování za nejistoty 10 VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA NEJISTOTY 10.1 VKH V PODMÍNKÁCH RIZIKA, NEJISTOTY A NEURČITOSTI V předchozí kapitole jsme se věnovali metodám rozhodování za předpokladu, že důsledky dnešního rozhodnutí se projeví až v (daleké) budoucnosti, přitom vlivy těchto rozhodnutí jsou nejisté - rizikové a závisí na stavech okolí rozhodovacího sytému tj. na tzv. stavech světa - scénářích. Rizikovost stavů světa lze modelovat pomocí pravděpodobností. Poznali jsme metody, jež využívají znalosti pravděpodobností stavů světa, známe je pod názvem metody rozhodování za rizika. Z nich nejznámější je tzv. Bernoulliův princip - metoda spočívající ve výpočtu očekávaného užitku (statisticky jde o střední hodnotu) každé varianty. Kompromisní varianta je pak varianta s nejvyšší hodnotou očekávaného užitku. Jestliže však pravděpodobnosti stavů světa známy nejsou a nelze je ani věrohodně zjistit, pak při znalosti hodnot kritéria jednotlivých variant, eventuálně znalosti funkce užitku jednotlivých variant, hovoříme o rozhodovací situaci za nejistoty a zde můžeme aplikovat tzv. metody rozhodování za nejistoty. Nejznámější z nich jsou metoda minimaxu a maximaxu. Všechny metody budou demonstrovány na jednoduchých příkladech. V těchto metodách se vždy předpokládá znalost jednoznačných hodnot příslušných kritérií, případně užitků z těchto hodnot. Pokud však tyto znalosti nejsou k dispozici, nelze je získat a zmíněné hodnoty jsou neurčité, pak hovoříme o rozhodovací situaci za neurčitosti a používáme k jejich řešení metody založené na tzv. fuzzy množinách. Těmito metodami se budeme zabývat až v následujících kapitolách. Jak již bylo řečeno, u rozhodovacích procesů představuje informace o stavech světa a důsledcích variant vzhledem k jednotlivým kritériím důležité klasifikační hledisko. Tato informace může být buď úplná - deterministická vzhledem k jednoznačnosti stavů světa a hodnot kritérií jednotlivých variant, nebo neúplná - náhodná (stochastická). V prvním případě se jedná o rozhodování za jistoty, ve druhém případě o rozhodování za rizika, případně rozhodování za nejistoty nebo rozhodování za neurčitosti. Přitom o rozhodování za rizika hovoříme u rozhodování za nejistoty tehdy, když známe příslušné pravděpodobnostní rozdělení, nebo je alespoň v principu můžeme zjistit. Pokud rozdělení pravděpodobnosti neznáme a nelze jej ani zjistit, pak hovoříme o rozhodování za nejistoty. V této subkapitole budeme vycházet z rozhodovací situace analogické jako dříve: uvažujeme množinu variant A = {a 1, a 2,...,a n } a množinu kritérií C = {f 1,f 2,...,f m }, s tím rozdílem, že hodnota kritéria fc pro danou variantu aa je náhodná veličina, tj. množina hodnot tohoto kritéria společně s jejich rozdělením pravděpodobnosti. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že všechna kritéria nabývají stejného počtu k hodnot, kde k 2. To lze interpretovat tak, že uvažujeme množinu k scénářů (stavů světa) Z = {z 1, z 2,...,z k }, přičemž každé kritérium f C je funkcí jak množiny alternativ, tak množiny scénářů, tj. f: AZ S, kde S je příslušná škála. V této kapitole se předpokládá, že škála S je kardinální, konkrétně S R, tj. množina reálných čísel. V následujícím textu budeme používat dvě možnosti: hodnotu kritéria fc pro danou variantu aa jakožto náhodné veličiny na S R budeme označovat f(a,z). Budeme-li však chtít vyjádřit konkrétní realizaci této náhodné veličiny, (tj. reálné číslo) při výskytu scénáře zz, použijeme označení f(a,z). Zde se omezujeme na jednodušší případ konečného počtu scénářů při vědomí toho, že v realitě může být počet scénářů neomezený

143 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Z výše uvedených předpokladů vyplývá, že v daném rozhodovacím problému lze každé kritérium vyjádřit tabulkou, kde řádky představují hodnoty kritéria f pro dané varianty v jednotlivých scénářích, viz následující tabulku. Matice F = {f(a i,z j )} se nazývá rozhodovací matice. f(a,z) z 1 z 2 z 3 z k a 1 f(a 1,z 1 ) f(a 1,z 2 ) f(a 1,z 3 ) f(a 1,z k ) a 2 f(a 2,z 1 ) f(a 2,z 2 ) f(a 2,z 3 ) f(a 2,z k ) a 3 f(a 3,z 1 ) f(a 3,z 2 ) f(a 3,z 3 ) f(a 3,z k ) a m f(a m,z 1 ) f(a m,z 2 ) f(a m,z 3 ) f(a m,z k ) V této kapitole předpokládáme, že všechny (šedě podbarvené) hodnoty kritéria f v této rozhodovací matici jsou známy jako jednoznačné číselné hodnoty. Jak již bylo řečeno, toto je situace rozhodování za nejistoty (pokud pravděpodobnosti scénářů nejsou k dispozici). V následujících kapitolách se budeme zabývat rozhodováním za neurčitosti, kdy hodnoty kritéria f v rozhodovací matici, resp. pravděpodobnosti scénářů nejsou známy jako jednoznačné číselné hodnoty, avšak jako tzv. fuzzy hodnoty, jimiž je modelována neurčitost těchto hodnot METODY HODNOCENÍ VARIANT ZA NEJISTOTY PŘI JEDINÉM KRITÉRIU V podmínkách jistoty stanovení nejlepší varianty podle daného kritéria zpravidla nečiní potíže. V situaci rozhodování za rizika je situace odlišná, neboť hodnocení každé varianty podle daného kritéria představuje náhodnou veličinu na množině scénářů (stavů světa). V minulé kapitole jsme poznali několik metod, které umožňují vyhodnotit varianty podle daného kritéria v situaci rozhodování za rizika, tj. při znalosti rozdělení pravděpodobnosti. V této kapitole se seznámíme s metodami rozhodování za nejistoty, tj. při neznalosti pravděpodobností scénářů. Dokážeme-li vyhodnotit varianty podle každého kritéria, potom s použitím metod uvedených v předchozích kapitolách můžete vyřešit i problém VKH. Mějme tedy opět množinu variant A = {a 1, a 2,...,a n }, množinu maximalizačních kritérií C = {f 1,f 2,...,f m }, a též množinu scénářů (stavů světa) Z = {z 1, z 2,...,z k }. V následující části uvedeme metody vyhodnocení variant za nejistoty. Aplikace uvedených metod ilustrujeme na příkladech. Následující metody lze užít v případě, že neznáme rozdělení pravděpodobnosti scénářů, nebo je z nějakého důvodu nelze stanovit. Uvedeme zde 5 metod, které se v literatuře díky své jednoduchosti nazývají pravidla rozhodování za nejistoty. Uvažujeme přitom následující rozhodovací matici F = { f(a i,z i )}

144 10 Vícekriteriální rozhodování za nejistoty Pravidlo minimaxu Pro každou variantu se stanoví minimální hodnota kritéria. Jako nejlepší se pak vybere ta varianta, pro kterou je stanovená minimální hodnota největší. Přitom kritérium f: AZ S může být nejen kardinální (číselné), ale též ordinální, tj. hodnoty na škále S jsou uspořádány. Praktický postup spočívá ve výpočtu řádkových minim v rozhodovací matici a následný výběr řádku (tj. kompromisní varianty), kde toto minimum nabývá maxima - proto název pravidlo minimaxu. Pro kompromisní variantu a * proto platí: f ( a*, z*) max{min{ f ( a, z) zz} a A}. (10.1) Někdy se o tomto pravidlu hovoří jako o pesimistickém pravidlu, očekáváme totiž nejhorší možný výsledek a ten se snažíme co nejvíce vylepšit. Pravidlo maximaxu Pro každou variantu se stanoví maximální hodnota realizace kritéria. Jako nejlepší se pak vybere ta varianta, pro kterou je stanovená maximální hodnota největší. Praktický postup spočívá ve výpočtu řádkových maxim v rozhodovací matici a následný výběr řádku (tj. varianty), kde toto maximum je největší - proto název pravidlo maximaxu. Pro kompromisní variantu a * proto platí: f ( a*, z*) max{max{ f ( a, z) z Z} a A}. (10.2) O tomto pravidlu se hovoří někdy jako o optimistickém pravidlu, očekáváme totiž nejlepší možný výsledek a ten se snažíme ještě vylepšit. Stejně jako u metody minimaxu stačí pro stanovení maximálních hodnot, aby škála S byla pouze ordinální škálou, např. S = { velmi špatný, špatný, průměrný, dobrý, velmi dobrý }, je ordinální škálou s přirozeným uspořádáním použitých výrazů. Laplaceovo pravidlo Nemá-li rozhodovatel informace o tom, zda některé rizikové situace - scénáře jsou pravděpodobnější, než jiné, může předpokládat, že jsou tyto pravděpodobnosti stejné. V takové situaci lze použít metodu očekávané hodnoty z předchozí Kapitoly 9. V případě k scénářů pro všechna i=1,...,k platí p(z i ) = 1/k a ze vztahu (9.6*) z Kapitoly 9 dostáváme pro kompromisní variantu a * : 1 E[ f ( a*, Z)] max{ k Hurwiczovo pravidlo k i1 f ( a, z ) a A}. (10.3) i Hurwiczovo pravidlo je jistou kombinací pravidel minimaxu a maximaxu: pro každou variantu aa se stanoví jak minimální hodnota m(a) = min{f(a,z)zz},

145 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY tak maximální hodnota M(a) = max{f(a,z) zz }. Pro zvolený koeficient optimismu 0,1 vypočítáme hodnotu Hurwiczova kritéria H(a) takto: H(a) = M(a)+ (1-) m(a). (10.4) Z definice (10.4) je zřejmé, že pro nulový koeficient optimismu, tj. =0, je H(a) = m(a), a jedná se tudíž o minimaxové (pesimistické) pravidlo. Pro =1 z (10.4) naopak obdržíme H(a) = M(a), jedná se tedy o maximaxové (optimistické) pravidlo. Pro 0 < < 1 představuje Hurwiczovo pravidlo kombinaci obou přístupů optimistického a pesimistického, přitom stupeň optimismu je určen koeficientem optimismu. Savageovo pravidlo Savageovo pravidlo vychází ze ztrát, které jsou způsobeny neoptimální volbou varianty. Pro danou variantu aa představuje ztráta rozdíl mezi skutečnými hodnotami realizace (maximalizačního) kritéria pro tuto variantu a odpovídajícími maximálními hodnotami kritéria. Každou variantu pak charakterizujeme její celkovou maximální ztrátou. Varianta s nejmenší celkovou ztrátou je pak považována za nejlepší. Praktický postup výběru nejlepší varianty spočívá v následujících 3 krocích: Krok 1. Stanovení maximálních sloupcových hodnot M j v rozhodovací matici: M j max{ f ( a, z j ) a A}, j=1,...,k. Krok 2. Od maximální hodnoty z kroku 1 odečteme hodnotu každého prvku příslušného sloupce rozhodovací matice. Tím obdržíme matici ztrát L = {M j -f(a i,z j )}. Krok 3. V matici L stanovíme řádková maxima a vybereme kompromisní variantu a* s nejmenším řádkovým maximem H(a*): H(a*) = min{max{ M f ( a, z ) j 1,..., k} i 1,..., m}. (10.5) j i j PŘÍKLAD Předpokládejme, že v Příkladu 9.1 z předchozí kapitoly nejsou známy pravděpodobnosti jednotlivých scénářů, hodnoty kritéria zisku jsou uvedeny v následující tabulce, kde v posledních dvou sloupcích jsou uvedena řádková minima a maxima, v posledním řádku pak sloupcové maximum. Varianta/ Zisk z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 min max a a a max Tab

146 10 Vícekriteriální rozhodování za nejistoty Z předposledního sloupce výše uvedené tabulky vyplývá, že podle kritéria minimaxu je nejlépe hodnocená varianta a 1, podle kritéria maximaxu je to varianta a 3. Následující tabulka uvádí hodnoty Hurwiczova kritéria (10.4) pro několik hodnot koeficientu optimismu : Varianta / H(a) =0 =0,2 =0,3 =0,5 =0,8 =1,0 a a a Tab Z uvedené tabulky plyne, že například pro parametr optimismu = 0,2 je nejlépe hodnocena varianta a 1, pro parametr optimismu = 0,3 je nejlépe hodnocenou variantou varianta a 2, pro parametr optimismu 0,5 je nejlépe hodnocena varianta a 3. Nakonec ještě nalezneme nejlepší variantu při použití Savageova kritéria. Sloupcová maxima jsou uvedena v Tabulce v posledním řádku. Následující tabulka uvádí matici ztrát přičemž v posledním sloupci jsou uvedena řádková maxima. Varianta/ Zisk z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 max a a a Tab Podle Tabulky vykazuje nejmenší ztrátu varianta a 3, která podle Savageova kritéria je nejlépe hodnocenou variantou METODY HODNOCENÍ VARIANT ZA NEJISTOTY PŘI VÍCE KRITÉRIÍCH Doposud jsme se zabývali hodnocením variant za nejistoty pouze v případě jediného kritéria. Nyní rozšíříme naše úvahy na situaci více kritérií, tedy na rozhodovací situaci, kdy varianty posuzujeme alespoň podle dvou nebo i více kritérií. Na rozdíl od situace rozhodování za jistoty budeme uvažovat stejně jako v předchozí kapitole existenci několika scénářů stavů světa, dále se omezíme na situaci, kdy pravděpodobnosti jednotlivých scénářů nejsou pro rozhodování k dispozici (tj. rozhodování za nejistoty). Zopakujme si označení, které budeme v dalším výkladu používat. Mějme opět množinu n variant A = {a 1, a 2,..., a n }, množinu m maximalizačních (kardinálních) kritérií C = {f 1,f 2,...,f m } a množinu k scénářů (stavů světa) Z = {z 1, z 2,...,z k }. Každé kritérium f i C je funkcí jednak alternativ, jednak scénářů, tj. f i : AZ S, kde i=1,2,...,m, S R je příslušná škála. Dále předpokládáme, jsou známy váhy w i, i=1,2,...,m, tj. relativní významnosti jednotlivých kritérií

147 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Podobně jako v situaci za rizika, kterou jsme se zabývali v předchozí kapitole, intuice napovídá, že metody rozhodování s více kritérii budou svým způsobem rozšířením metod (pravidel), pro jediné kritérium, s nimiž jsme se seznámili v předchozí části této kapitoly. Metoda minimaxu Metoda je zobecněním metody minimaxu pro jediné kritérium na případ více kritérií. Metodu minimaxu představuje algoritmus s těmito kroky: Krok 1. Vyhodnocení dílčích funkcí minima g i (a,z), i=1,2,...,m, tj. výpočet hodnot jednotlivých variant pro všechny dílčí funkce minima pro každou variantu a A, takto: g ( a, Z) min{ f ( a, z ) j 1,..., k}. (10.6) i i j Krok 2. Výpočet hodnot dílčích normovaných kritérií G i (a,z)), i=1,2,...,m, tj. pro každou a A, takto: G i i ( a, Z) n. (10.7) g ( a, Z) i j 1 g ( a, Z) j Krok 3. Výpočet hodnoty vícekriteriální funkce minima G(a) pro každou variantu pomocí váženého součtu dílčích minim, tj. m G( a) w G ( a, Z). (10.8) i1 i i Krok 4. Uspořádání variant podle klesajících hodnot vícekriteriální funkce minima G(a). U dalších metod této skupiny: maximaxu a Hurwiczovy metody je postup analogický, rozdíl je jen v Kroku 1 ve výpočtu dílčích kritérií g i (a,z). Další kroky pak již jsou stejné. Vícekriteriální obdoba Savageovy metody je také možná, zde se jí však nezabýváme. V metodě maximaxu namísto (10.6) použijeme namísto minima funkci maxima, tj. g ( a, Z) max{ f ( a, z ) j 1,..., k}. (10.6*) i i j pro všechna i=1,2,...,m a pro každou variantu a A. V Hurwiczově metodě namísto (10.6) použijeme pro zvolený koeficient optimismu 0,1 a podle (10.4): g ( a, Z).max{ f ( a, z ) j 1,..., k} (1 ).min{ f ( a, z ) j 1,..., k} (10.6**) i i j pro všechna i=1,2,...,m a pro každou variantu a A. Všechny tři metody demonstrujeme na příkladu. i j

148 10 Vícekriteriální rozhodování za nejistoty PŘÍKLAD V příkladu 9.4. výběr investiční varianty jsme uvažovali 2 kritéria, kritérium f 1 - Zisk a kritérium f 2 Tržby. Hodnoty těchto kritérií tj. data jsou uvedeny v tabulkách a Pravděpodobnosti scénářů zde nejsou k dispozici, na rozdíl od metod rozhodování za rizika z Kapitoly 9. Váhy jednotlivých kritérií uvažujeme takto: Pro zisk w 1 = 0,6 a pro tržby w 2 = 0,4. Varianta/ Zisk z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 a a a Tab Vstupní data Zisk Varianta/ Tržby z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 a a a Tab Vstupní data Tržby V následujících dvou tabulkách jsou vypočteny hodnoty podle vztahů (10.6), (10.6*) a (10.6**) první 3 sloupce a k nim normované hodnoty podle vztahu (10.7) další 3 sloupce, a to pro kritérium f 1 Zisk (Tabulka 10.6.), a kritérium f 2 Tržby (Tabulka 10.7). Lambda = 0,5. Tab Hodnoty pro kritérium Zisk Tab Hodnoty pro kritérium Tržby V následující tabulce jsou vypočteny vážené (agregované) hodnoty podle vztahů (10.8) postupně pro metodu minimax (Gmin), metodu maximax (Gmax) a pro Hurwiczovu metodu (GH) s koeficientem optimismu = 0,5. Kompromisní variantu vybereme podle nejvyšší hodnoty příslušného agregovaného kritéria. Podle metody minimax je kompromisní variantou a 1, podle metody maximax i Hurwiczovy metody je kompromisní varianta a 3. Gmin Gmax GH a 1 0,588 0,167 0,195 a 2 0,183 0,31 0,305 a 3 0,227 0,522 0,5 Tab

149 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Kontrolní otázky 10: 1. Ve kterých rozhodovacích situacích může nastat situace, že pravděpodobnosti scénářů (stavů světa) nejsou pro rozhodování k dispozici? 2. Proč se minimaxové metodě říká pesimistická metoda? 3. Proč se maximaxové metodě říká optimistická metoda? 4. Jak lze interpretovat koeficient optimismu v Hurwiczově metodě? 5. Proč se v případě více kritérií provádí normalizace hodnot dílčího kritéria g i (a,z)? 6. V Příkladu nalezněte hodnotu koeficientu optimismu v Hurwiczově metodě tak, aby kompromisní variantou byla a 2. Použijte přitom Excel. 7. V jaké situaci by bylo možné použít metodu AHP pro řešení úlohy VKH za nejistoty? Příklad Je dána jednokriteriální rozhodovací úloha s maximalizačním kritériem, pěti variantami A1,..., A5 a pěti scénáři B1,..., B5. B1 B2 B3 B4 B5 A A A A A Seřaďte varianty od nejlepší po nejhorší metodou a) Minimax b) Maximax c) Hurwicze s koeficientem optimismu 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 a 1. d) Savageovou. Řešení Body a) až c) jsou obsaženy v následující tabulce. Ta ukazuje výběr maxima, respektive minima pro danou variantu přes všechny scénáře, tj. řádková maxima a minima. V dalších sloupcích jsou pak maxima a minima pro danou variantu využita k výpočtu výrazu, kde je zvolený koeficient optimismu. Maximax Minimax Hurwicz Hurwicz Hurwicz Hurwicz Hurwicz Hurwicz 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 A ,8 12,6 14,4 16,2 18 A ,8 12,6 15,4 18,2 21 A ,6 12,2 16,8 21,4 26 A ,2 15,4 20,6 25,8 31 A ,2 14,4 15,6 16,

150 10 Vícekriteriální rozhodování za nejistoty Z tabulky plyne následující uspořádání variant: a) A5 > A1 > A2 > A4 > A3 b) A4 > A3 > A2 > A1 = A5 c) Pro alfa = 0 stejné jako v bodě a), pro alfa = 1 stejně jako v bodě b), pro alfa = 0,2: A5 > A1 > A4 > A2 > A3, obdobně pro další hodnoty alfa varianty se seřadí dle velikosti hodnoty v příslušném sloupci uvedené tabulky. d) Po výpočtu maximální hodnoty pro daný sloupec, vypadá matice/tabulka ztrát takto: Ztráty B1 B2 B3 B4 B5 A A A A A Pro danou variantu se vybere největší možná ztráta, vyplývající z daných scénářů, tj. Max. ztráta A1 15 A2 19 A3 28 A4 17 A5 19 Nejmenší ztráta pak udává nejlepší variantu a největší ztráta variantu nejhorší. Výsledné uspořádání variant je: A1 > A4 > A2 = A5 > A3. Příklad Následující rozhodovací problém obsahuje maximalizační kritéria Z1 a Z2, čtyři varianty D1, D2, D3, D4 a čtyři scénáře. Váhy kritérií jsou tato: váha w1 pro kritérium Z1 je rovna 0,58, váha w2 pro kritérium Z2 je 0,42. Seřaďte varianty od nejlepší po nejhorší metodou (s využitím normalizace). a) Maximax b) Hurwiczovou s koeficientem optimismu 0,4. Z1 Scénář 1 Scénář 2 Scénář 3 Scénář 4 D D D D Z2 Scénář 1 Scénář 2 Scénář 3 Scénář 4 D D D D

151 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Řešení a) Maximální hodnoty variant na množině scénářů a jejich normalizované ekvivalenty jsou: Z1 Z2 Max Normalizace Max Normalizace D , ,235 D , ,216 D , ,275 D , ,275 Metoda váženého součtu využívající normalizované hodnoty pak dává agregovaná hodnocení: D1 0,225 D2 0,264 D3 0,253 D4 0,258 Výsledné uspořádání variant je: D2 > D4 > D3 > D1. b) Obdobně jako v bodě a) počítáme hodnotu s koeficientem optimismu a maximem Max, resp. minimem Min spočtenými pro danou variantu na množině všech scénářů. Dostáváme hodnoty (sloupec Hurwicz ) a jejich normalizované ekvivalenty: Z1 Z2 Hurwicz Normalizace Hurwicz Normalizace D1 170,4 0,200 10,2 0,227 D2 268,8 0,315 8,6 0,191 D3 230,2 0,270 12,8 0,284 D4 182,8 0,215 13,4 0,298 Metoda váženého součtu využívající normalizované hodnoty pak dává agregovaná hodnocení: D1 0,211 D2 0,263 D3 0,276 D4 0,249 Výsledné uspořádání variant je: D3 > D2 > D4 > D

152 11 Vícekriteriální rozhodování za neurčitosti 11 VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA NEURČITOSTI 11.1 DEFINICE FUZZY MNOŽINY Cílem kapitoly je zvládnutí základů teorie fuzzy množin a jejich aplikaci se zaměření na využití ve VKH. Fuzzy množina se, na rozdíl od obyčejné množiny, jak ji znáte z dřívějška, vyznačuje neostrými hranicemi mezi prvky, majícími požadovanou vlastnost. Jako příklad si vezměte množinu levných automobilů. Vlastnost prvků tohoto souboru je být levný. Jedná se o typický příklad fuzzy množiny, kdy některé automobily jsou více levné, než jiné automobily, a proto patří do souboru s větším nebo menším stupněm příslušnosti. Stupeň příslušnosti do fuzzy množiny se vyjadřuje obvykle na číselné stupnici mezi nulou a jedničkou, přesněji v intervalu [0,1]. Přitom 0 vyjadřuje skutečnost, že prvek do fuzzy množiny nepřináleží vůbec, naopak 1 vyjadřuje úplné náležení prvku (např. automobilu) do uvažované fuzzy množiny. Formálně vzato je fuzzy množina X totožná se svojí funkcí příslušnosti X : A [0,1], kde A je uvažovaná množina variant, tzv. univerzum, např. množina automobilů na českém trhu. Fuzzy množinou X na A je například již zmíněná fuzzy množina levných automobilů. Řecké písmeno souvisí s anglickým termínem membership function. Fuzzy množiny budeme odlišovat od obyčejných množin vlnovkou nad symbolem fuzzy množiny, tedy namísto X budeme fuzzy množinu označovat symbolem X ~. Kvalita hodnocení variant je často determinována hodnocením expertů na danou problematiku, kteří k tomu zřídka používají jednoznačnou deterministickou škálu. Dokonce ani takové kritérium, jako je cena automobilu, není jednoznačně dáno a obvykle závisí na dealerovi-prodejci, dále na zákazníkově dovednosti smlouvat, na ročním období a dalších faktorech. Proto je výhodné nahradit původní škálu hodnocení variant podle daného kritéria (v Kč, kw, litrech/100 km apod.) hodnotami užitečnosti na intervalu [0,1]. Takové kritérium založené na teorii užitku pak nazýváme, ve shodě s výše uvedenou definicí fuzzy množiny, fuzzy kritériem. Navíc, hodnotami takového kritéria mohou být fuzzy intervaly tj. fuzzy množiny na množině reálných čísel R, tento pojem ještě dále upřesníme v Definici Speciálním případem fuzzy množin jsou ovšem obyčejná (reálná) čísla. Každé reálné číslo x R lze chápat jako jednoprvkovou fuzzy množinu s funkcí příslušnosti x : R [0,1], kde funkce příslušnosti x splňuje: μ x (u) = 1, jestliže u = x, avšak μ x (u) = 0, jestliže u x. Upřesníme nyní pojem fuzzy intervalu, neboť ne každá fuzzy množina na R je fuzzy intervalem. K tomu bude zapotřebí nejprve zavést pojem α-řez (někdy se používá pojem α- úrovňová množina). DEFINICE : A [0,1], kde A je univer- X Pro α (0,1] a fuzzy množinu X ~ s funkcí příslušnosti zum, se množina ~ [ X ] { u u A, X ( u) } (11.1) nazývá α-řez fuzzy množiny X ~. Používá se též pojem α-úrovňová množina

153 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Všimněte si, že v definici je univerzum A nespecifikovaná množina. Ve speciálním případě, jímž se budeme především zabývat, je A = R. Číslo α má význam aspirační úrovně, tj. hladiny stupně splnění nebo hladinu možnosti, kterou rozhodovatel považuje za významnou nebo požadovanou. DEFINICE Jestliže pro fuzzy množinu X ~ s funkcí příslušnosti X : R [0,1], jsou všechny α-řezy (pro 0 < α 1) neprázdné uzavřené intervaly, potom fuzzy množinu X ~ nazýváme fuzzy interval na R. Speciálním případem fuzzy intervalu je fuzzy číslo, což je takový fuzzy interval, kde 1- řez (tj. α=1) je jednobodový interval. Proto u fuzzy čísla platí, že právě v jediném bodě je stupeň příslušnosti roven 1. V Definici se uzavřeným intervalem rozumí obvyklý číselný interval včetně jeho krajních bodů. Naproti tomu otevřený interval neobsahuje svoje krajní body. Podle Definice je každý α-řez (pro 0 < α 1) fuzzy množiny X ~ na R obyčejnou podmnožinou množiny reálných čísel R definovanou pomocí vzorce (11.1), tj. množina prvků jejichž stupeň příslušnosti k dané fuzzy množině je větší nebo roven α. Vztah (11.1) je základem věty o reprezentaci, viz [Zimmermann], která říká, že každá fuzzy množina je jednoznačně reprezentována systémem všech svých α-řezů. Pěkný a srozumitelný článek naleznete v časopise Vesmír na adrese: FUZZY INTERVALY A FUZZY ČÍSLA Tvary funkcí příslušnosti fuzzy intervalů se v praxi omezují na po částech lineární funkce, tj. takové, kde graf funkce příslušnosti je složen z úseček. Fuzzy množina, jejíž funkce příslušnosti je zobrazena na Obr je fuzzy intervalem, neboť všechny -řezy jsou obyčejnými intervaly (modrá úsečka), ale pozor, nemá po částech lineární funkci, zatímco fuzzy množina z Obr fuzzy intervalem není, neboť 0,5-řez není intervalem, skládá se totiž ze dvou disjunktních intervalů. 1 α [ X ~ ] α Obr Fuzzy interval V praxi při reprezentaci fuzzy množiny není obvykle zapotřebí zadávat všechny její α-řezy,

154 11 Vícekriteriální rozhodování za neurčitosti postačí zadat pouze několik důležitých α-řezů. Zde použijeme přístup, který pro každou fuzzy množinu využívá tři α-řezy, viz [Rommel 01]: α = 1 : [ X ~ ] obsahuje prvky u, pro něž platí X ( u) 1, s maximální hodnotou funkce příslušnosti 1 patří do fuzzy množině zcela jistě. Příslušný 1-řez je interval, který označujeme [ x 1, x 1 ]. Spodním pruhem pod symbolem x budeme označovat levou (dolní) mez intervalu, horním pruhem nad symbolem x budeme označovat pravou (horní) mez intervalu. α = : [ X ~ ] obsahuje prvky u s hodnotou funkce příslušnosti alespoň, tj. X (u), kde je zadaná již významná hodnota, (např. = 0,5). Takové prvky u jsou považovány za významné prvky dané fuzzy množiny. Příslušný λ-řez je interval, který označujeme [ x, x ]. α = : [ X ~ ] obsahuje prvky u s hodnotou funkce příslušnosti nejvýše, tj. X (u), kde je zadaná již nevýznamná hodnota, (např. = 0,05). Ty jsou považovány za nevýznamné prvky fuzzy množiny. V praxi považujeme hodnoty funkce příslušnosti menší než za prakticky rovné nule. Příslušný -řez označujeme [ x, x ]. Pro výše zavedené řezy platí zřejmě tyto nerovnosti: x x 1 1, (11.2) x x x x viz Obr X ~ ] [ Obr Fuzzy množina X ~, která není fuzzy intervalem Tento přístup vede k praktickým tvarům funkcí příslušnosti fuzzy množin, které nazýváme fuzzy intervaly typu ε-λ. DEFINICE Pro zadané hodnoty ε, λ, kde platí 0 ε λ 1, se fuzzy interval X ~ na R nazývá fuzzy interval typu ε-λ, jestliže pro krajní body jednotlivých ε-, λ-, 1- řezů platí nerovnosti (11.2), tj. - < x x x 1 1 x x x < +, (11.2)

155 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY a funkce příslušnosti fuzzy množiny X ~ je po částech lineární funkcí. Fuzzy interval X ~, 1 1 typu ε-λ lze ekvivalentně vyjádřit jako šestici čísel X ( x ; x ; x ; x ; x ; x ). Fuzzy intervalům typu ε-λ se říká šestiúhelníkové fuzzy intervaly, viz Obr X x x 1 x x 1 x x Obr Fuzzy interval typu ε-λ šestiúhelníkový fuzzy interval Speciálním případem fuzzy intervalu typu ε-λ je fuzzy číslo typu ε-λ, což je takový fuzzy interval typu ε-λ, kde 1-řez, tj. interval [ 1, x 1 1 x ] je jednobodový, tedy x 1 x. Proto u fuzzy čísla typu ε-λ platí, že právě v jediném bodě je stupeň příslušnosti roven 1. Číslo ε představuje v interpretaci fuzzy čísla typu ε-λ mez - hladinu necitlivosti hodnot účelové funkce, hodnoty s menším stupněm než ε jsou považovány za nevýznamné. Naopak, hodnoty s větším stupněm než λ jsou významné. Obě hladiny jsou závislé na kontextu a tudíž často silně subjektivní. Dále si povšimněte, že pokud jsou v (11.2) splněny namísto nerovností všude rovnosti, tedy: x x 1 x x 1 x x, (11.3) pak se z fuzzy čísla stane obyčejné reálné číslo s funkcí příslušnosti jako na Obr Nakonec připusťme, že může nastat jeden ze dvou případů: buď - = x nebo x = +. Tyto speciální případy fuzzy intervalů typu ε-λ budeme v kapitole 11.5 používat jako fuzzy užitky z fuzzy hodnot kritérií daných variant. Nebude-li hrozit nedorozumění, budeme fuzzy intervaly typu ε-λ zkráceně nazývat fuzzy intervaly s vynecháním typu ε-λ

156 11 Vícekriteriální rozhodování za neurčitosti 1 Obr Funkce příslušnosti reálného čísla jakožto fuzzy čísla PŘÍKLAD Znázorněte graficky fuzzy intervaly typu ε-λ (přitom volte ε = 0,1; λ = 0,5): ~, ~ X (1;1,5; 2; 2,5; 3; 3,5 a X (3;, 3,5; 4; 5; 5,5; 6 1 ) 2 ) 1 ~ ~ X 1 X Obr Příklad dva fuzzy intervaly Jestliže zvolíme ε = 0 a λ = 1, potom šestiúhelníkové fuzzy intervaly se stanou lichoběžníkovými fuzzy intervaly a pokud ještě navíc platí x x, hovoříme často o trojúhelní- 1 1 kových fuzzy intervalech. Častěji v tomto případě hovoříme o lichoběžníkových a trojúhelníkových fuzzy číslech, viz Obr Opakující se hodnoty v šestici lze vypustit, takže lichoběžníkové fuzzy číslo vyjádříme pomocí čtveřice čísel, trojúhelníkové fuzzy číslo pak pouze pomocí trojice čísel. Ozřejmíte si to lépe na příkladech. PŘÍKLAD ~ Znázorněte graficky lichoběžníkové fuzzy číslo: X 3 (1; 2; 2,5; 3,5) a trojúhelníkové fuzzy číslo: X (3;5;6 ). Volte ε = 0 a λ = ~

157 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY ~ ~ X 3 X Obr Lichoběžníkový a trojúhelníkový fuzzy interval 11.3 ARITMETICKÉ OPERACE S FUZZY INTERVALY S fuzzy množinami a speciálně s fuzzy intervaly typu ε-λ lze provádět aritmetické operace, které jsou analogické operacím s obyčejnými reálnými čísly. Výsledkem operace sečítání (odečítání, násobení, dělení) dvou fuzzy intervalů typu ε-λ je opět fuzzy interval typu ε-λ, jehož funkce příslušnosti je definována pomocí tzv. principu rozšíření. Ten jako první zavedl zakladatel teorie fuzzy množin, americký profesor Lotfi A. Zadeh v roce 1965, podrobněji viz např. nebo [40]. Stručně a trochu nepřesně řečeno, princip rozšíření je předpis (matematická formule), který definuje, jak provádět aritmetické operace, funkce apod. s fuzzy množinami, přičemž výsledkem je opět fuzzy množina. Tyto operace jsou analogické operacím, funkcím, relacím s obyčejnými čísly. Ve speciálním případě, když obě fuzzy množiny jsou fuzzy intervaly (čísla) typu ε-λ, je výsledkem operace opět fuzzy interval typu ε-λ. To rovněž znamená, že v případě obyčejných čísel (pojímaných jako fuzzy čísla) se operace shodují s běžnými operacemi mezi reálnými čísly. Pro aritmetické operace s fuzzy intervaly typu ε-λ na R funguje princip rozšíření tak, že ~ výsledkem operace, ~, ~ :, tj. plus, mínus, krát, děleno - mezi dvěma fuzzy intervaly typu ε- λ - je výsledkem fuzzy interval typu ε-λ, kde krajní body ε-, λ-, 1-řezů vzniknou (běžnými) operacemi,, : mezi krajními body příslušných ε-, λ-, 1-řezů příslušných složek. Tuto skutečnost lze pomocí charakteristických šestic vyjádřit takto: ~, ) ~ 1 1, ( y ; y ; y ; y ; y ; y ) X ~ Y ~ 1 1 ( x ; x ; x ; x ; x ; x , = ( x * y ; x * y ; x * y ; x * y ; x * y ; x * y ). (11.4) Přitom namísto operace ~ se na levé straně rovnosti ve vztahu (11.4) použije kterákoliv ~ fuzzy aritmetická operace, ~, ~ :, a na pravé straně kterákoliv obvyklá odpovídající aritmetická operace,, :

158 11 Vícekriteriální rozhodování za neurčitosti PŘÍKLAD 11.3 Znázorněte graficky součet fuzzy intervalů typu ε-λ: ~ ~ X (1;1,5; a X (3;, 3,5; 4; 5; 5,5; 6., 1 2; 2,5; 3; 3,5) Součet: ~ X ~ 2 ) ~, 1 X2 (1;1,5; 2; 2,5; 3; 3,5) ~,, (3; 3,5; 4; 5; 5,5; 6) (4; 5; 6; 7,5; 8,5; 9,5). 1 ~ ~ ~ ~ X 1 X 2 X ~ 1 X Obr Součet fuzzy intervalů typu ε-λ Samostatně stanovte a graficky znázorněte výsledky dalších aritmetických operací: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ X1 X 2, X1 * X 2 a X ~ 1 : X USPOŘÁDÁNÍ FUZZY INTERVALŮ Pomocí fuzzy intervalů typu ε-λ budeme v úlohách VKH modelovat neurčité hodnoty kritérií pro uvažované varianty. Můžete si představit například kritérium vzhled automobilů z bazaru, který hodnotíme na stupnici 0 až 10 pomocí fuzzy intervalů typu ε-λ. Na Obr máme takto graficky znázorněn vzhled dvou automobilů: AUTO1 a AUTO2, který je hodnocen fuzzy intervaly typu ε-λ: X ~ a Y ~, viz následující příklad

159 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 1 Y ~ X ~ Obr Vzhled dvou automobilů PŘÍKLAD Uvažujte dvě předem vybrané varianty automobilů z bazaru A = {AUTO1, AUTO2}. ~ Kritérium hodnocení je Vzhled, hodnoty kritéria jsou neurčité veličiny X, Y ~ vyjádřené pomocí fuzzy intervalů typu ε-λ (ε = 0,1; λ = 0,5): ~ (2; 4; ~ Y (3;, viz Obr X, 6; 7; 8; 9) a, 3,5; 4; 5; 5,5;10) Kterou variantu si vyberete? Která varianta je optimální (lepší)? I když máme jediné kritérium, odpověď není úplně zřejmá. Intuitivně se zdá být varianta AUTO1 lepší, neboť podle Obr hodnoty s velkými stupni příslušnosti (tj. větší než 0,5) jsou u této varianty více vpravo tedy větší než hodnoty s velkými stupni příslušnosti pro variantu AUTO2. Na druhou stranu však (také podle Obr ) krajní hodnoty ε-řezu varianty AUTO1 (tj. hodnoty 2 a 9) jsou menší, než krajní hodnoty ε-řezu varianty AUTO2 (tj. hodnoty 3 a 10), což hovoří ve prospěch toho, že varianta AUTO2 je lepší než AUTO1, tedy opačný výsledek. Jak to tedy je? Z uvedeného příkladu je zřejmé, že porovnávání (uspořádání) fuzzy intervalů je důležitá otázka rozhodování v podmínkách neurčitosti, tj. když hodnotami kritérií jsou fuzzy intervaly (nebo fuzzy čísla). Fuzzy intervaly totiž nejsou přirozeně uspořádány, tak jako jsou například celá čísla. V tomto odstavci se budeme zabývat porovnáním dvou fuzzy intervalů typu ε-λ. Ukážeme si 6 způsobů porovnání: T-dominance, R- dominance, L- dominance, R-L- dominance, P- dominance, O- dominance

160 11 Vícekriteriální rozhodování za neurčitosti Každý z uvedených způsobů porovnání má jinou interpretaci, každý má své výhody a nevýhody. V určitých případech porovnání pro některé typy fuzzy intervalů jednotlivé typy porovnání (dominance) splývají. T-dominance (Defuzzyfikace) Myšlenka defuzzyfikace je založena na vhodné reprezentaci fuzzy množiny jediným reálným číslem, jakýmsi těžištěm plochy pod grafem funkce příslušnosti fuzzy množiny. Konkrétně pro fuzzy interval typu ε-λ: X ~ 1 1, ( x ; x ; x ; x ; x ; x ) získáme nejprve 3 pomocné body jako středy ε-, λ-, 1- řezů, tj. x x 2, x x 2, 1 x x 2 1, následně vypočítáme ε-λ-těžiště x T jako aritmetický průměr těchto tří pomocných středů, tj. po úpravě: x T x x x x x x. (11.5) DEFINICE Řekneme, že fuzzy interval typu ε-λ: intervalem typu ε-λ: Y ~ 1 1, ( y ; y ; y ; y ; y ; y X ~ 1 1, ( x ; x ; x ; x ; x ; x ) T-dominuje fuzzy ), jestliže platí: y T x T, (11.6) přičemž x T je ε-λ-těžiště X ~ a y T je ε-λ-těžiště Y ~. Alternativně též říkáme, že interval Y ~ je T-dominován intervalem X ~. Poznámka: Písmeno T v předchozí definici odkazuje na slovo Těžiště. PŘÍKLAD Porovnejte fuzzy intervaly X ~ a Y ~ typu ε-λ z Příkladu 11.4.: ~, ~ X (2; 4; 6; 7; 8; 9) a Y (3;, 3,5; 4; 5; 5,5;10), viz Obr Podle (11.5) vypočítáme ε-λ-těžiště: x T = 6 ; y T = 5 1 / 6, tedy y T x T, proto podle Definice X ~ T-dominuje Y ~, tedy varianta AUTO1 je lepší než varianta AUTO2 (tj. AUTO1 má lepší vzhled než AUTO2). Jak je vidět, hodnocení odpovídá intuici. R dominance a L dominance Metoda defuzzyfikace tj. T-dominance z předchozího odstavce spočívá v převedení porovnávaných fuzzy intervalů na reálná čísla - těžiště, která se následně porovnají obvyklým způsobem. Tím však dochází ke značnému zjednodušení, které nedostatečně postihuje různorodé situace dvou porovnávaných fuzzy intervalů. Navíc je relace porovnání 2 fuzzy intervalů

161 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY striktní a úplná v tom smyslu, že vždy je jeden z dvojice fuzzy intervalů T-dominován tím druhým, anebo jsou oba z hlediska porovnání stejné, i když mohou mít zcela odlišný tvar. Při porovnávání fuzzy intervalů je však přirozenější, aby relace dominance byla rovněž fuzzy v tom smyslu, že jeden interval je dominován druhým v určitém stupni vyjádřeném číslem mezi 0 a 1. Zatímco stupeň 0 vyjadřuje fakt, že dané intervaly nejsou vůbec porovnatelné, stupeň 1 naopak vyjadřuje fakt, že jsou plně porovnatelné. Takovými relacemi se budeme zabývat nyní. První z nich bude tzv. pravá dominance, (R-dominance), druhá, v následujícím odstavci, bude levá dominance (L-dominance). Další bude pesimistická dominance (P-dominance) a nakonec optimistická dominance (O-dominance). Podívejme se na jednotlivé typy podrobněji. Ze dvou porovnávaných fuzzy intervalů bude R-dominovat ve stupni δ ten, jehož α-řez má pravý krajní bod větší pro všechna α 1 δ. Analogicky ze dvou porovnávaných fuzzy intervalů bude L-dominovat ve stupni γ ten, jehož α-řez má levý krajní bod větší pro všechna α 1 γ. Přesněji to vyjádříme v následující definici. Přitom budeme porovnávat fuzzy intervaly na množině reálných čísel, nemusí to být nutně fuzzy intervaly typu ε-λ! DEFINICE Nechť δ,γ jsou čísla z intervalu mezi 0 a 1, tj. δ,γ [0,1]. Řekneme, že fuzzy interval X ~ R-dominuje fuzzy interval Y ~ ve stupni δ jestliže pro všechna α[1- δ,1] platí: ~ ~ sup[ X ] sup[ Y. (11.7) ] Zároveň δ je nejmenší takové číslo, pro které platí nerovnost (11.7) pro všechna α[1- δ,1]. Alternativně též říkáme, že fuzzy interval Y ~ je R-dominován fuzzy intervalem X ~ ve stupni δ. Řekneme, že fuzzy interval X ~ L-dominuje fuzzy interval Y ~ ve stupni γ, jestliže pro všechna α[1- γ,1] platí: ~ ~ inf[ X ] inf[ Y. (11.8) ] Zároveň γ je nejmenší takové číslo, pro které platí nerovnost (11.8) pro všechna α[1- γ,1]. Alternativně též říkáme, že fuzzy interval Y ~ je L-dominován fuzzy intervalem X ~ ve stupni γ. Symetrický stupeň R-L-dominance se definuje jako menší z obou hodnot, tedy = min{γ, δ}. Poznámka 1: Písmeno R v předchozí definici odkazuje na počáteční písmeno anglického slova Right ( pravý ). Písmeno L analogicky odkazuje na anglické slovo Left ( levý )

162 11 Vícekriteriální rozhodování za neurčitosti ~ Poznámka 2: Symbol suprema α-řezu sup[ X ] ve vztahu (11.7) znamená přesně toto: α ~ sup[ X ] sup{ x X ( x), xr}. Symbol infima α-řezu ve vztahu (11.8) analogicky znamená: ~ inf[ X ] inf{ x X ( x), xr}. Poznámka 3: V Definici je řečeno, že...je to nejmenší takové δ..., což vyjadřuje přesněji toto: Jestliže zvolíte δ > δ, pak nerovnost (11.7) neplatí pro všechna α[1- δ,1], tj. ~ pro některé α [1- δ,1] platí opačná nerovnost sup[ X ] sup[ Y ~ ]. Poznámka 4: Povšimněte si v Obr a , že jeden fuzzy interval může R- dominovat druhý ve stupni δ a zároveň L-dominovat druhý ve stupni γ, přičemž δ a γ mohou být různé stupně! PŘÍKLAD Porovnejte pomocí R-dominance a také L-dominance fuzzy intervaly typu ε-λ X ~ a Y ~ z Příkladu 11.4.: ~ ~ (2; 4; (3; Přitom uvažujte ε = 0,1, λ = 0,5. X, 6; 7; 8; 9) a, 3,5; 4; 5; 5,5;10) Y, viz Obr Nejprve vypočítáme průsečík grafů funkcí příslušnosti v pravé části, odkud obdržíme hodnotu 1 δ, pro největší možnou hodnotu δ. Snadno se vypočítá, že průsečík grafů funkcí příslušnosti v pravé části má ypsilonovou souřadnici rovnou 0,214, tedy δ = 0,786. Podle Definice 11.5: X ~ R-dominuje Y ~ ve stupni δ = 1 0,214 = 0,786. Y ~ X ~ 1 = 0,786 α ~ 9 sup[ Y ~ ] sup[ X ] Obr R-dominance

163 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Dále porovnáme stejné fuzzy intervaly X ~ a Y ~ pomocí L-dominance: viz Obr Y ~ X ~ 0, ~ 4 5 ~ inf[ Y ] inf[ X ] Obr L-dominance Nejprve vypočítáme průsečík grafů funkcí příslušnosti v pravé části, odkud obdržíme hodnotu 1 γ pro největší možnou hodnotu γ. Snadno se vypočítá, že průsečík grafů funkcí příslušnosti v pravé části má ypsilonovou souřadnici rovnou 0,333, tedy γ = 0,667. Podle Definice 11.5: X ~ L-dominuje Y ~ ve stupni γ = 0, 67, viz Obr Je zřejmé, že stupeň R-dominance zvolených dvou fuzzy intervalů je vyšší, než stupeň L-dominance. Symetrický stupeň R-L-dominance je menší z obou hodnot, tedy = 0,67. P dominance a O dominance V pesimistické dominanci bude ze dvou porovnávaných fuzzy intervalů P-dominovat ve stupni ρ ten, jehož α-řez má levý krajní bod větší než pravý krajní bod druhého intervalu pro všechna α 1-ρ, zatímco v optimistické dominanci bude ze dvou porovnávaných fuzzy intervalů O-dominovat ve stupni σ ten, jehož α-řez má pravý krajní bod větší než levý krajní bod druhého intervalu pro všechna α σ. Přesněji to bude formulováno v následující definici. DEFINICE Nechť ρ,σ [0,1]. Řekneme, že fuzzy interval X ~ stupni ρ, jestliže pro všechna α[1- ρ,1] platí: P-dominuje fuzzy interval Y ~ ve ~ ~ inf[ X ] sup[ Y. (11.9) ] ρ,1]. Zároveň ρ je nejmenší takové číslo, pro které platí nerovnost (11.9) pro všechna α[

164 11 Vícekriteriální rozhodování za neurčitosti Alternativně též říkáme, že fuzzy interval Y ~ je P-dominován fuzzy intervalem X ~ stupni ρ. ve Řekneme, že fuzzy interval X ~ O-dominuje fuzzy interval Y ~ ve stupni σ, jestliže pro všechna α[0, σ] platí: ~ ~ sup[ X ] inf[ Y. (11.10) ] σ]. Zároveň σ je největší takové číslo, pro které platí nerovnost (11.10) pro všechna α[0, Alternativně též říkáme, že fuzzy interval Y ~ je O-dominován X ~ ve stupni ρ. Poznámka 5: Písmeno P v předchozí definici odkazuje na počáteční písmeno anglického slova Pessimistic ( pesimistický ). Písmeno O v předchozí definici odkazuje analogicky na anglické slovo Optimistic ( optimistický ). Poznámka 6: V první části Definice je řečeno, že...ρ je nejmenší takové číslo... To vyjadřuje přesněji toto: Jestliže zvolíte ρ > ρ, pak nerovnost (11.9) neplatí pro všechna ~ α[1- ρ,1], tj. pro některé α [1- ρ,1] platí obrácená nerovnost inf[ X ] sup[ Y ~ ]. Ve druhé části Definice je řečeno, že...σ je největší takové číslo... To vyjadřuje přesněji toto: Jestliže zvolíte σ < σ, pak nerovnost (11.10) neplatí pro všechna α[0,σ], tj. pro ~ některé α [0,σ] platí obrácená nerovnost sup[ X ] inf[ Y ~ ]. Poznámka 7: Povšimněte si, že jeden fuzzy interval může P-dominovat druhý ve stupni ρ a zároveň O-dominovat druhý ve stupni σ, přičemž ρ a σ mohou být různé stupně. TVRZENÍ Pro libovolné fuzzy intervaly X ~ ay ~ platí: Jestliže X ~ P-dominuje fuzzy interval Y ~ ve stupni ρ > 0, pak X ~ O-dominuje fuzzy interval Y ~ ve stupni σ = 1. Jinak řečeno, pokud jeden fuzzy interval P-dominuje druhý (v kladném stupni ρ), potom jej rovněž O-dominuje ve stupni 1. Ještě jinak: Pokud jsou dva fuzzy intervaly v sebemenším (kladném) stupni pesimistické dominance, pak jsou rovněž v maximálním stupni optimistické dominance. Odpovídá to běžnému názoru: Když pesimisté tvrdí, že něco platí, pak optimisté totéž tvrdí zcela jistě. Důkaz Tvrzení je snadný a vyplývá z faktu, že supremum nějaké číselné množiny není nikdy menší, než infimum této množiny. PŘÍKLAD Porovnejte fuzzy intervaly X ~ a Y ~ typu ε-λ z Příkladu pomocí P-dominance: ~, ~ X (2; 4; 6; 7; 8; 9) a Y (3;, 3,5; 4; 5; 5,5;10), viz Obr

165 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Přitom uvažujte ε = 0,1, λ = 0,5. Nejprve vypočítáme průsečík grafů funkcí příslušnosti na Obr uprostřed, odkud obdržíme hodnotu ρ, pro největší možnou hodnotu 1-ρ. Snadno se vypočítá, že průsečík grafů funkcí příslušnosti uprostřed má ypsilonovou souřadnici rovnou 0,8, tedy ρ = 0,2. Podle Definice 11.5: X ~ P-dominuje Y ~ ve stupni ρ = 0,2. 1 α Y ~ X ~ ~ sup[ Y ~ ] inf[ X ] Samostatný úkol: Obr P-dominance Porovnejte fuzzy intervaly X ~ a Y ~ typu ε-λ z Příkladu pomocí O-relace FUZZY KRITÉRIA Kritéria tvoří jeden ze dvou základních prvků VKH, jak jste se dozvěděli již v Kapitole 1. Každé vybrané kritérium slouží v rozhodovací úloze k tomu, aby se dané varianty podle něj vyhodnocovaly, eventuálně porovnávaly či uspořádaly. Jakým způsobem se bude toto porovnávání uskutečňovat závisí na povaze každého kritéria. Z čistě formálního hlediska je každé kritérium ve VKH ztotožněno s určitým zobrazením f množiny variant A do jiné množiny S, tj. f : A S. Důležitý je v této souvislosti fakt, že jednotlivá ohodnocení různých variant lze mezi sebou porovnávat, což jinak řečeno znamená, že škála S má vlastnosti uspořádané množiny. V této kapitole se zabýváme případem, kdy jsou prvky množiny S fuzzy množiny, speciálně fuzzy intervaly. Proto budeme kritéria nazývat fuzzy kritéria a budeme je označovat s vlnkou nad symbolem. Fuzzy kritériem tedy formálně bude zobrazení ~ f : A S. Výsledkem ohodnocení varianty aa bude hodnota f ( a ), která bude fuzzy intervalem, tedy speciál- ~ ní fuzzy množinou na množině reálných čísel R s funkcí příslušnosti ~ : R [0,1]. f Kromě toho budeme s každým fuzzy kritériem uvažovat funkci užitku u: R [0,1], (k pojmu funkce užitku viz Kapitolu 3), která bude každému reálnému číslu interpretovanému jako užitek z možné hodnoty uvažovaného kritéria přiřazovat užitek z intervalu [0,1]. Tato funkce užitku je monotónní funkcí: rostoucí (neklesající, viz Obr ), pokud větší hodno

166 11 Vícekriteriální rozhodování za neurčitosti ta kritéria přináší větší užitek (např. zisk ), nebo je klesající (nerostoucí, viz Obr ), když větší hodnota kritéria přináší menší užitek (např. cena ). Všimněte si, že funkce užitku představuje vlastně nějakou další fuzzy množinu, nazveme ji fuzzy množina užitku kritéria ~ f. Všimněte si, že taková fuzzy množina je speciálním fuzzy intervalem typu ε-λ, ve vztahu (11.2) krajní hodnoty nejsou konečné veličiny, tj. platí - = x nebo x = +, podle toho, zda je funkce příslušnosti fuzzy množiny užitku nerostoucí nebo neklesající funkce. Fuzzy přístup, konkrétně použití fuzzy množin k vyhodnocování variant ve VKH za neurčitosti, umožňuje používat k hodnocení variant také slovních termínů jako např. nízká cena, velmi nízká cena, víceméně vysoká cena apod. Samozřejmě pak takové termíny, které představují konkrétní fuzzy množiny, musí mít stanovenu svoji funkci příslušnosti. Použití fuzzy kritérií umožňuje agregaci dílčích hodnocení do hodnocení výsledného pomocí tzv. agregačního operátoru. Nejčastěji používanými agregačními operátory jsou vážený součet a operátor minimum. V této kapitole se budeme zabývat agregací fuzzy kritérií pomocí operátoru váženého součtu, (někdy se používá termín vážený průměr) známého např. z metody analytického hierarchického procesu (AHP), kterou jste se zabývali v kapitole 5. AHP používá při stanovení vah relativních významností jednotlivých kritérií (Saatyho) metodu párového porovnání, s níž jste se již také podrobně seznámili v kapitole 5. Stanovení vah spočívá ve výpočtu vlastního vektoru matice párových porovnání. Softwarově je metoda AHP realizována v DAME nebo v komerčním programu Expert Choice, se kterým jste se již rovněž dříve seznámili VKH S FUZZY KRITÉRII Problémem VKH s fuzzy kritérii zde rozumíme úlohu nalezení kompromisní varianty, která by v co možná největší míře zohledňovala uvažovaná fuzzy kritéria (tj. dílčí cíle formulované jako fuzzy množiny). Obecný postup při řešení problému VKH s fuzzy kritérii rozdělíme do 4 kroků: Krok 1. Stanovení hlavního cíle rozhodování. Krok 2. Vyčlenění množiny variant A = {a 1, a 2,...,a n } a množiny fuzzy kritérií C = ~ ~ { f 1,..., f m }. Krok 3. Dílčí vyhodnocení: změření, expertní vyhodnocení, tj. přiřazení fuzzy hodnot jednotlivým variantám a stanovení funkcí užitku všech variant podle všech fuzzy kritérií. Krok 4. Agregace dílčích hodnocení do výsledného celkového hodnocení a výběr kompromisní varianty. Jak již bylo řečeno, Krok 2 představuje samostatný problém, který je silně závislý na povaze konkrétního rozhodovacího problému. V jistém smyslu je možné tento krok chápat jako individuální vícekriteriální rozhodovací problém na nižší rozlišovací úrovni. K jeho realizaci je pak možné použít postup z Kroku 3 a Kroku 4. Vzhledem k subjektivní povaze tohoto kroku se jím zde nebudeme podrobněji zabývat při vědomí toho, že zmíněné kroky lze v procesu vyčleňování variant a kritérií plně aplikovat

167 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 1 0 Obr Funkce příslušnosti užitku fuzzy kritéria (neklesající) 1 0 Obr Funkce příslušnosti užitku fuzzy kritéria (nerostoucí) ~ Ve shodě s Krokem 2 uvažujeme množinu variant A a m fuzzy kritérií f ~ 1,..., f m, přičemž ~ f i : A [0,1], i = 1,2,...,m. V dalším budeme rozlišovat dvě základní situace: (i) Každá varianta aa je vzhledem k i-tému kritériu ohodnocena fuzzy intervalem a ~ i s odpovídající funkcí příslušnosti : R[0,1]. Tento fuzzy interval představuje a ~ i neurčitou hodnotu původního kritéria, například pro kritérium výkon motoru automobilu fuzzy hodnotu okolo 60 kw je možno vyjádřit fuzzy intervalem znázorněným na Obr Pomocí funkce užitku u i i-tého fuzzy kritéria fi se tato ~ hodnota dále transformuje na fuzzy interval definovaný na intervalu [0,1], který pak vyjadřuje výsledné ( normalizované ) fuzzy hodnocení (tj. fuzzy interval A ~ i na intervalu [0,1]) dané varianty podle i-tého fuzzy kritéria, viz Obr Funkce příslušnosti tohoto fuzzy intervalu ~ :[0,1] [0,1 ] vznikne složením funkce příslušnosti fuzzy intervalu a ~ (1) i s inverzní funkcí u k funkci užitku u i i- tého fuzzy kritéria, tedy ( ~ u A i 1) a ~ i. i Konkrétně pro body zlomu grafu funkce příslušnosti A ~, tj. krajní body α- i řezů platí: ~ [ Ai ] [ ui ( x ), ui ( x )], (11.11) A i i, přitom x a x jsou krajní body α-řezu původního fuzzy intervalu a ~ i typu - který představuje fuzzy hodnocení varianty a i A, tj. [ ~ a i ] [ x, x ] a funkce užitku u i je neklesající. Pro nerostoucí funkci užitku obdržíme namísto (11.1):

168 11 Vícekriteriální rozhodování za neurčitosti ~ [ Ai ] [ ui ( x ), ui ( x )]. (11.11*) Analogické výsledky dostaneme, když namísto použijeme. (ii) Každá varianta aa je vzhledem k i-tému kritériu ohodnocena fuzzy intervalem A ~ i s odpovídající funkcí příslušnosti na jednotkovém intervalu [0,1], nikoliv na množině R, jako v případě (i), tj. : ~ :[0,1] [0,1]. A i Tento fuzzy interval představuje neurčitou hodnotu původního kritéria. Například výkon automobilu vysoký je možno vyjádřit fuzzy intervalem znázorněným na Obr Protože ve svém důsledku se situace (i) transformuje na situaci (ii), rozdílné jsou pouze výchozí informace, omezíme se dále jen na situaci (ii). V praxi se vyskytují obě popsané situace, v první z nich vystupuje fuzzy kritérium včetně příslušné funkce užitku explicitně, zatímco ve druhé je funkce užitku implicitně obsažena ve speciálním typu fuzzy kritéria definovaného na intervalu [0,1]. Pomocí takových fuzzy kritérií lze modelovat význam lingvistických termínů jako např. vysoká, nízká, velmi vysoká, víceméně nízká hodnota apod. Situace (i) je typická v případech, kdy množina variant A je nekonečná, konkrétně když A je k- dimenzionální Euklidovský prostor, tj. A = R k, nebo nějaká jeho podmnožina. Tento přístup však v tomto kurzu nebudeme dále rozvíjet, neboť jsme se již na počátku rozhodli vyšetřovat pouze případ, kdy množina variant A je konečná, tj. s vyjmenovanými variantami, např. automobily výkon motoru Obr Fuzzy interval Výkon motoru je okolo 60 kw 1,0 funkce příslušnosti fuzzy výkonu 65 1, výkon motoru 1,0 funkce příslušnosti fuzzy kritéria - užitku z výkonu funkce příslušnosti fuzzy hodnoty Obr Fuzzy interval Funkce příslušnosti fuzzy hodnoty

169 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 1.0 funkce příslušnosti vysoký Obr Fuzzy množina Vysoký V situaci (ii) je varianta aa je vzhledem k i-tému kritériu ohodnocena fuzzy intervalem A ~ i s odpovídající funkcí příslušnosti ~ :[0,1] [0,1 ], i = 1,2,...,m. A i 11.7 AGREGOVANÉ HODNOCENÍ A USPOŘÁDÁNÍ VARIANT Dále nechť w1, w2,..., wm jsou váhy, tj. kladná čísla splňující vztah Σwi = 1, vyjadřující relativní významnosti jednotlivých kritérií. Potom celkovou (agregovanou) hodnotu varianty a vzhledem ke všem kritériím vyjádříme jako vážený součet H ~ i dílčích hodnocení této varianty podle jednotlivých kritérií. Pro funkci příslušnosti platí podle principu rozšíření pro x[0,1]: H a (x) = sup{min{(x j ) j=1,...,m} x = w 1 x 1 +w 2 x w m x m, x i [0,1]}, V případě, kdy jsou dílčí hodnocení fuzzy intervaly typu ε-λ, lze funkci příslušnosti váženého součtu fuzzy hodnocení snadno vypočítat. Pak body zlomu grafu funkce příslušnosti agregované fuzzy hodnoty vypočítáme jako vážené součty odpovídajících bodů zlomu dílčích fuzzy hodnocení. Nechť hodnocení i-té varianty podle j-tého kritéria je prostřednictvím fuzzy intervaly typu ε-λ na intervalu [0,1] dáno šesticí: ~ 1 1 ; ; ; ; ; ), ij ij xij xij xij xij xij. A ( x Potom výsledné hodnocení i-té varianty je fuzzy interval typu ε-λ na intervalu [0,1], tj. je dáno šesticí čísel: ~ 1 1 ( ; ; ; ; ; ), i w j xij w j xij w j xij w j xij w j xij w j xij. j j j j j j H (11.12)

170 11 Vícekriteriální rozhodování za neurčitosti Pro nalezení nejlepší varianty, tj. kompromisní varianty, eventuálně pro uspořádání variant, použijeme některý z 6 způsobů dominance podle kapitoly PŘÍKLAD VKH s fuzzy kritérii V úloze výběru vhodného automobilu uvažujeme 3 varianty a 2 fuzzy kritéria: kritérium ~ ~ f 1 - Jízdní komfort (0 až 10 bodů, maximalizační kritérium) a kritérium f 2 Náklady na provoz (tis. Kč za měsíc, minimalizační kritérium). Hodnoty těchto kritérií tj. data pro fuzzy intervaly typu - jsou uvedeny v Tabulce Váhy jednotlivých kritérií uvažujeme takto: w 1 = 0,6 a w 2 = 0,4. Dále uvažujeme ε = 0, λ = 1. Varianta automobilu Jízdní komfort Náklady na provoz a 1 ( 2; 4; 6; 7) ( 1; 3; 5; 6) a 2 ( 3; 4; 7; 9) ( 2; 4; 6; 7) a 3 ( 1; 2; 3; 4) ( 1; 3; 3; 5) Tab Hodnoty fuzzy kritérií ~ Funkce užitku u 1 je pro maximalizační kritérium f 1, dána předpisem: u 1 (x) = 1 10 x pro x[0, 10], (11.13) u 1 (x) = 0 pro x < 0, u 1 (x) = 1 pro x > 10. Jedná se o po částech lineární neklesající funkci. ~ Funkce užitku u 2 je pro minimalizační kritérium f 2, dána předpisem: u 2 (x) = x pro x[0, 10], (11.14) u 2 (x) = 1 pro x < 0, u 2 (x) = 0 pro x > 10. Jedná se o po částech lineární nerostoucí funkci. Řešení: Vzhledem k tomu, že ε = 0, λ = 1, příslušné fuzzy intervaly reprezentované šesticemi čísel se (již v zadání) redukují na čtveřice čísel, tj. lichoběžníkové fuzzy intervaly, viz následující obrázky, kde tečkovaná čára představuje graf příslušné funkce užitku:

171 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY 1 ~a ~a 3 1 ~a 2 0 u 1 ( x ) u 1 ( 0 x ) 1 10 u Obr Kritérium - Jízdní komfort 1 ~a ~a 3 1 ~a u Obr Kritérium - Náklady na provoz Nejprve podle (11.11) a (11.11*) vypočítáme body zlomu grafů funkcí fuzzy užitků jednotlivých variant: ~ Fuzzy kritérium f 1 - Jízdní komfort, vztah (11.13): Varianta a 1 : u 1 ( x 0 ) = = 10 ; u 1 ( x 1 ) = = 10 u 1 ( x 1 ) = = ; u 1 ( x ) = = Varianta a 2 : u 1 ( x 0 ) = = 10 ; u 1 ( x 1 ) = = 10 u 1 ( x 1 ) = = ; u 1 ( x ) = = Varianta a 3 : u 1 ( x 0 ) = = 10 ; u 1 ( x 1 ) = = 10 u 1 ( x 1 ) = = ; u 1 ( x ) = = ; 4 ; 2 ;

172 11 Vícekriteriální rozhodování za neurčitosti ~ Fuzzy kritérium f 2 - Náklady na provoz, vztah (11.14): Varianta a 1 : u 2 ( x 0 ) = = 10 ; u 2 ( x 1 ) = = 10 u 2 ( x 1 ) = = ; u 2 ( x ) = = Varianta a 2 : u 2 ( x 0 ) = = 10 ; u 2 ( x 1 ) = = 10 u 2 ( x 1 ) = = ; u 2 ( x ) = = 10 Varianta a 3 : u 2 ( x 0 ) = = 10 ; u 2 ( x 1 ) = = 10 u 2 ( x 1 ) = = ; u 2 ( x ) = = 10 Souhrnně lze výsledky shrnout v tabulce: ; 6 ; 7 ; Varianta Fuzzy užitek: automobilu Jízdní komfort a 1 ; ; 7 ; ) Fuzzy užitek: Náklady na provoz 4 ; 5 9 ; 7 ; ( 2 ) ( ( 3 ; 4 ; ( 3 ; 4 ; ; 10) ; 10 4 ( 1 ; 2 ; ; ) 10 ( 5 ; 7 ; ; 10 a 2 ) a 3 ) Tab Hodnoty fuzzy užitků kritérií Agregované hodnocení jednotlivých variant vypočítáme ze vztahu (11.12): ~ H 1 = 0,6. ( 2 ; 4 ; ; 10) + 0,4. ( 4 ; 5 ; 7 9 ; ) = 28 ) ( ; ; ;, 100 ~ H 2 = 0,6. + 0,4. ( 3 ; 4 ; ; 10) = ( 3 ; 4 ; 7 9 ( ; 40 ; 66 ; ) ; 10), ~ 4 H = 0,6. 1 ; 2 ; 3 ; ) + 0, ; 7 ; 7 ; ) = ; 40 ; 46 ; ). 3 ( ( ( ~ H 3 ~ H 1 ~ H 2 -γ Obr Agregované hodnocení variant

173 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Podle vztahu (11.5) provedeme defuzzyfikaci, tj. vypočítáme těžiště agregovaných fuzzy hodnocení jednotlivých variant: H T1 = 0,537 H T2 = 0,547 H T3 = 0,430 ~ ~ ~ ~ Zřejmě H 2 T-dominuje H 1 a H 1 T-dominuje H 3. Podle T-dominance je nejlepší kompromisní variantou varianta a 2 s největší hodnotou těžiště H T2 = 0,547. ~ ~ ~ Dále je podle Obr zřejmé, že H 2 R-dominuje H 1 ve stupni 1 a H 1 R-dominuje ~ ~ ~ ~ ~ H 3 rovněž ve stupni 1. Dále H 2 L-dominuje H 3 ve stupni 1 a H 1 L-dominuje H 2 ve stupni γ = 0,667. Podle R-dominance je nejlepší kompromisní variantou varianta a 2, podle L- dominance je nejlepší kompromisní variantou varianta a 1. Podle O-dominance každá varianta dominuje každou jinou variantu ve stupni 1, podle O-dominance jsou všechny varianty stejně dobré tedy kompromisní. Naopak, podle P-dominance každá varianta dominuje každou jinou variantu jen ve stupni 0. Tento výsledek svědčí o velké podobnosti všech tří uvažovaných variant. Závěr: Na základě analýzy různými způsoby porovnání výsledných fuzzy hodnocení daných variant lze za kompromisní variantu stanovit variantu a 2. Dále lze konstatovat, že analyzované fuzzy hodnocení všech tří variant je do značné míry podobné

174 12 Skupinové rozhodování 12 SKUPINOVÉ ROZHODOVÁNÍ 12.1 ÚVOD DO SKUPINOVÉHO ROZHODOVÁNÍ Rozhodovací proces představuje výběr mezi několika variantami řešení určitého problému. Rozhodovatel jedinec nebo skupina (rozhodovací subjekt) se snaží vybrat tu variantu, která nejlépe vyhovuje požadavkům na řešení daného problému. Doposud jsme pojímali rozhodovatele jako jediný rozhodovací subjekt, kterým může být manažér jako fyzická osoba, rozhodovací grémium jako skupina osob nebo instituce jako právnická osoba. V případě skupinového rozhodování je nutné nebo užitečné agregovat individuální rozhodnutí členů skupiny do rozhodnutí skupinového, které je určitým kompromisem individuálních hodnocení. Skupinové rozhodování nemá dosud jednotnou teorii a je možné je chápat jako souhrn různých disciplín, které patří zejména do oblasti operačního výzkumu. Tyto dílčí disciplíny se liší navzájem jak charakterem řešených problémů, tak přístupy, technikami, velikostí skupiny a také terminologií. Skupinové rozhodování má výrazně interdisciplinární charakter, využívá přitom výsledků teorie společenského výběru, teorie ekonomické rovnováhy, teorie užitku, teorie her, teorie týmového řešení problémů, sociologie, psychologie a některých dalších disciplín. V současné politické i ekonomické praxi stále více převládá názor, že řešení získaná skupinovým rozhodováním ( demokratické systémy ), ať již ve formě výsledků hlasování nebo dosaženého konsensu rozhodovatelů, mají větší naději na úspěch než nařízení a kontrola. Z povahy rozhodovacího problému často plyne fakt, že některá rozhodnutí nemůže jedinec provádět sám, protože na jejich výsledku je zainteresováno více jedinců. Každý z nich má vlastní představu o řešení problému, a ta se obvykle více nebo méně liší od představ jiných jedinců. Přesto je třeba učinit nějaké jediné rozhodnutí, což je obvykle lepší, než neučinit rozhodnutí žádné to je vlastně také rozhodnutí pro variantu status quo. Cílem metodiky skupinového rozhodování je zaměřit se na metodu, jakou se skupinové rozhodnutí vybírá a na studium vlastností vybraného skupinového rozhodnutí. Proces skupinového rozhodování je možné charakterizovat, podobně jako v případě jediného rozhodovatele, viz kapitola 1, množinou přípustných variant rozhodnutí, a množinou kritérií hodnotících hledisek, pomocí nichž se varianty hodnotí. Navíc oproti případu jediného rozhodovacího subjektu zde vystupuje množina (skupina) rozhodovatelů, kteří hodnotí varianty podle jednotlivých kritérií a agregační procedura, která shrnuje individuální hodnocení rozhodovatelů do výsledného skupinového hodnocení. Povšimneme si nyní alespoň stručně dalších hlavních metod skupinového rozhodování, kterými jsou metody společenského výběru a metody konfliktních situací METODY SPOLEČENSKÉHO VÝBĚRU Metody společenského výběru jsou součástí teorie společenského výběru. V ní se rozhodovací varianty nazývají kandidáti, rozhodovatelé jsou voliči, agregační procedura se nazývá volební systém. Cílem metod společenského výběru je volba jednoho nebo několika kandidátů z množiny přípustných kandidátů. Každý volič posuzuje každého kandidáta podle vlastních kritérií (důvěryhodnost, poctivost, vzhled, politická orientace aj), která se mohou u různých voličů lišit. Tím se metody společenského výběru odlišují od běžných metod vícekriteriálního rozhodování (např. AHP), kde jsou hodnotící kritéria obvykle stejná pro všechny rozhodovatele. Další výraznou odlišností je pak velký počet rozhodovatelů voličů, v reálných volebních systémech, například u voleb do parlamentu ČR je počet voličů přibližně 7 milionů. Každý volič sumarizuje svoje osobní postoje vůči kandidátům a vyjádří je způsobem přípustným v daném volebním systému individuálním hlasováním. Poté pro

175 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY běhne druhá fáze volebního procesu vyhodnocení hlasování, které je přesně stanoveno volebním systémem. Existují v podstatě dva způsoby, kterými lze dosáhnout výsledné agregace individuálních hlasování. První způsob se nazývá funkce společenského výběru, kdy množina kandidátů je konečná, druhý způsob je pak funkce společenského blahobytu, kdy množina kandidátů je množinou možných stavů společnosti a je tedy nekonečná. Podrobnější informace o těchto funkcích a volebních systémech je možné nalézt např. v [6] METODY KONFLIKTNÍCH SITUACÍ Matematickým modelováním konfliktních situací se zabývá teorie her. V teorii her se rozhodovací varianty nazývají strategie, rozhodovatele se nazývají hráči a agregačními procedurami jsou koncepty řešení her, viz [18]. Konfliktní situace se rozdělují podle několika hledisek: podle počtu hráčů (hry 2 hráčů, n-hráčů, nekonečné hry), podle typu konfliktu (antagonistické a neantagonistické hry), podle spolupráce hráčů (kooperativní a nekooperativní hry) aj. Pomocí aparátu teorie her je možno zkoumat řadu konkrétních konfliktních situací a navrhnout postupy pro výběr strategií, které představují optimální rozhodnutí v dané konfliktní situaci. K řešení problémů skupinového rozhodování je vhodná zejména koncepce kooperativních her, viz např. [17]. Teorie vyjednávání poskytuje prostředky k řešení špatně strukturovaných konfliktních situací. Množinu rozhodovacích variant tu tvoří vyjednávací návrhy, rozhodovatelé jsou účastníci vyjednávání vyjednávači a agregačními procedurami jsou vyjednávací koncepce. Podrobnější informace o modelech vyjednávání lze nalézt např. v [10] AGREGACE DÍLČÍCH HODNOCENÍ Mějme skupinu n rozhodovatelů: 1,2,,n, která podle daného kritéria hodnotí m variant: a 1, a 2,,a m. Hodnocení i-té varianty j-tým rozhodovatelem označíme h ij a dále předpokládáme, že dílčí hodnocení jsou pro každého rozhodovatele normalizována, tj. h i > 0 a m i1 h 1, j =1,2,,n. (12.1) ij Taková situace vzniká například tehdy, když jsou dílčí hodnocení každého rozhodovatele získána na základě párového porovnání při použití metody AHP. Teoretický rozbor ukazuje, viz [30], že nejvhodnějším způsobem získání agregovaného skupinového hodnocení na základě dílčích hodnocení je provedení součinu odpovídajících dílčích hodnocení přes všechny rozhodovatele. Označíme-li tedy hodnocení i-té varianty symbolem h i pak platí: h i n hij j1 h i1 h i2 h in, i=1,2,,m. (12.2) Z těchto hodnocení lze získat normalizovaná hodnocení H i vydělením h i číslem S m i n h ij j1 1. (12.3)

176 12 Skupinové rozhodování Potom skupinové hodnocení i-té varianty je dáno vztahem hi H i. (12.4) S Snadno se lze přesvědčit, že takto získaná skupinová hodnocení splňují podmínku normalizace, tj. m i1 H 1. (12.5) i Výše uvedený způsob agregace dílčích hodnocení rozhodovatelů do skupinového hodnocení je třeba odlišit od dílčích hodnocení podle jednotlivých kritérií a jejich agregace do výsledného hodnocení, kterým jsme se zabývali v kapitole 4. Nakonec je třeba připomenout, že výše uvedenou proceduru (12.1) (12.5) agregace dílčích hodnocení rozhodovatelů do skupinového hodnocení variant lze aplikovat také k získání skupinového hodnocení vah jednotlivých kritérií. V tom případě představuje číslo H i váhu (relativní významnost) i-tého kritéria získanou z n individuálních vah tohoto kritéria pomocí skupinového rozhodování, konkrétně pomocí agregační procedury (12.1) (12.5). PŘÍKLAD KONKURZ Konkurzní komise složená ze 3 hodnotitelů má za úkol vybrat na pozici vedoucího útvaru jednoho ze 7 přihlášených uchazečů. Hodnocení probíhá podle 3 kritérií: vzdělání, praxe a prezentace před komisí. Informace jsou uvedeny v následujících tabulkách. Hodnotitel 1 Matice párových porovnání kritérií: uchazeč vzdělání praxe prezentace vzdělání praxe prezentace u1 všo <3 vyb vzdělání u2 všo 3az5 dob praxe 2 11 u3 vš 3az5 dob prezentace 4 1 u4 sš >5 vyb u5 vš <3 vyb u6 sš 3az5 pprum u7 vš 3az5 prum Hodnotitel 2 Matice párových porovnání kritérií: uchazeč vzdělání praxe prezentace vzdělání praxe prezentace u1 všo <3 dob vzdělání u2 všo 3az5 dob praxe 111 u3 vš 3az5 vyb prezentace u4 sš >5 vyb u5 vš <3 prum u6 sš 3az5 prum u7 vš 3az5 pprum

177 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Hodnotitel 3 Matice párových porovnání kritérií: uchazeč vzdělání praxe prezentace vzdělání praxe prezentace u1 všo <3 vyb vzdělání u2 všo 3az5 vyb praxe 2 u3 vš 3az5 pprum prezentace 6 2 u4 sš >5 dob u5 vš <3 vyb Legenda: vyb - výborný u6 sš 3az5 prum dob - dobrý u7 vš 3az5 dob všo - vš v odbornosti prum - průměrný 1.V matici párových porovnání doplňte chybějící prvky (využijte vlastnost reciprocity) a stanovte váhy kritérií Saatyho metodou vlast. vektoru pro každého hodnotitele. 2. Bodovací metodou vyhodnoťte všechna kritéria u každého hodnotitele: vzdělání a praxe body 1 až 3 (sš < všo < vš) a prezentaci body 1 až Metodou váženého součtu uspořádejte uchazeče u každého hodnotitele. 4. Proveďte skupinové vyhodnocení, uspořádejte uchazeče. Řešení: vš - vš jiná sš - maturita pprum - podprůměrný sl - slabý Matice párových porovnání kritérií: vzdělání praxe prezentace vzdělání 1 0,5 0,25 praxe prezentace Vektor vah: 0,149 0,376 0,474 Matice párových porovnání kritérií: vzdělání praxe prezentace vzdělání praxe 0,5 1 1 prezentace 0, Vektor vah: 0,647 0,213 0,140 Matice párových porovnání kritérií: vzdělání praxe prezentace vzdělání 1 0,5 0,167 praxe 2 1 0,5 prezentace Vektor vah: 0,117 0,268 0,

178 12 Skupinové rozhodování Po znormování dostáváme následující tabulky: Provedením procedury 12.2 až 12.5 obdržíme skupinové váhy Vzdělání 0, Praxe 0,29207 Prezentace 0, Bodové hodnocení jednotlivých uchazečů hodnotiteli vypadá následovně: Hodnotitel 1 Hodnotitel 2 Hodnotitel 3 Hodnotitel 1 uchazeč vzdělání praxe prezentace u u u u u u u uchazeč vzdělání praxe prezentace u u u u u u u uchazeč vzdělání praxe prezentace u u u u u u u uchazeč vzdělání praxe prezentace u1 0,133 0,077 0,190 u2 0,133 0,154 0,143 u3 0,200 0,154 0,143 u4 0,067 0,231 0,190 u5 0,200 0,077 0,190 u6 0,067 0,154 0,048 u7 0,200 0,154 0,

179 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Hodnotitel 2 Hodnotitel 3 uchazeč vzdělání praxe prezentace u1 0,133 0,077 0,158 u2 0,133 0,154 0,158 u3 0,200 0,154 0,211 u4 0,067 0,231 0,211 u5 0,200 0,077 0,105 u6 0,067 0,154 0,105 u7 0,200 0,154 0,053 uchazeč vzdělání praxe prezentace u1 0,133 0,077 0,190 u2 0,133 0,154 0,190 u3 0,200 0,154 0,048 u4 0,067 0,231 0,143 u5 0,200 0,077 0,190 u6 0,067 0,154 0,095 u7 0,200 0,154 0,143 Provedením procedury 12.2 až 12.5 obdržíme skupinové hodnocení variant uchazeč vzdělání praxe prezentace u1 0,0808 0,0164 0,2581 u2 0,0808 0,1311 0,1935 u3 0,2727 0,1311 0,0645 u4 0,0101 0,4426 0,2581 u5 0,2727 0,0164 0,1720 u6 0,0101 0,1311 0,0215 u7 0,2727 0,1311 0,0323 Výsledné hodnocení jednotlivých uchazečů s užitím skupinových vah je potom toto: Jako nejlepší se tedy jeví uchazeč 4. uchazeč hodnocení u1 0,160 u2 0,158 u3 0,116 u4 0,274 u5 0,142 u6 0,052 u7 0,

180 12 Skupinové rozhodování Příklad Závodů v krasobruslení se zúčastnilo 6 bruslařů. Jejich výkon byl hodnocen porotou tvořenou 4 rozhodčími, kteří posuzovali s využitím bodové stupnice [0,10] technické provedení skladby, dodržení povinných bruslařských sestav a celkový umělecký dojem z prezentace skladby. Vypočtěte agregované hodnocení jednotlivých závodníků pomocí součinu dílčích hodnocení a seřaďte závodníky od nejlepšího po nejhoršího. Pro stupnici [0,10] platí, že čím více bodů bylo závodníkovi přiděleno, tím lépe byl hodnocen. Rozhodčí 1 Povinné prvky Technická úroveň Umělecký dojem Závodník Závodník Závodník Závodník Závodník Závodník Rozhodčí 2 Povinné prvky Technická úroveň Umělecký dojem Závodník Závodník Závodník Závodník Závodník Závodník Rozhodčí 3 Povinné prvky Technická úroveň Umělecký dojem Závodník Závodník Závodník Závodník Závodník Závodník Rozhodčí 4 Povinné prvky Technická úroveň Umělecký dojem Závodník 1 7,5 8,5 8,5 Závodník 2 7,5 8 8,5 Závodník 3 8 7,5 9 Závodník 4 7,5 8 9,5 Závodník ,5 Závodník 6 7 8,5 9,5 Všichni rozhodčí musejí užívat stejné váhy kritérií: Váhy Povinné prvky Technická úroveň Umělecký dojem 0,35 0,35 0,

181 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Řešení Všechna dílčí hodnocení nejprve znormujeme. Dostáváme Rozhodčí 1 Závodník 1 0,167 0,152 0,146 Závodník 2 0,146 0,152 0,188 Závodník 3 0,188 0,130 0,188 Závodník 4 0,167 0,174 0,167 Závodník 5 0,146 0,217 0,146 Závodník 6 0,188 0,174 0,167 Rozhodčí 3 Závodník 1 0,163 0,167 0,164 Závodník 2 0,163 0,167 0,164 Závodník 3 0,186 0,146 0,145 Závodník 4 0,163 0,167 0,182 Závodník 5 0,163 0,167 0,164 Závodník 6 0,163 0,188 0,182 Rozhodčí 2 Závodník 1 0,146 0,170 0,160 Závodník 2 0,167 0,149 0,160 Závodník 3 0,188 0,149 0,160 Závodník 4 0,167 0,149 0,180 Závodník 5 0,167 0,191 0,160 Závodník 6 0,167 0,191 0,180 Rozhodčí 4 Závodník 1 0,165 0,172 0,159 Závodník 2 0,165 0,162 0,159 Závodník 3 0,176 0,152 0,168 Závodník 4 0,165 0,162 0,178 Závodník 5 0,176 0,182 0,159 Závodník 6 0,154 0,172 0,178 Hodnocení nyní agregujeme pomocí součinu: Povinné prvky Technická úroveň Umělecký dojem Závodník 1 0, , ,00061 Závodník 2 0, , ,00078 Závodník 3 0, , ,00073 Závodník 4 0, , ,00097 Závodník 5 0, , ,00061 Závodník 6 0, , ,00097 Tato hodnocení opět znormujeme: Povinné prvky Technická úroveň Umělecký dojem Závodník 1 0,139 0,154 0,130 Závodník 2 0,139 0,127 0,167 Závodník 3 0,246 0,089 0,157 Závodník 4 0,159 0,145 0,208 Závodník 5 0,149 0,262 0,130 Závodník 6 0,167 0,223 0,208 Pro výsledné hodnocení každého závodníka potřebujeme kromě této poslední tabulky také agregované váhy. Ty získáme stejným postupem: jelikož jsou to váhy a jsou stejné pro každého rozhodčího, umocníme je třetí mocninou a výsledek znormujeme. Dostáváme Povinné prvky Technická úroveň Umělecký dojem 0,380 0,380 0,239 Nakonec spočteme vážený součet. Celkové skupinové hodnocení závodníků a jejich výsledné pořadí v závodě je Hodnocení Pořadí Závodník 1 0,143 5 Závodník 2 0,141 6 Závodník 3 0,165 3=4 Závodník 4 0,165 3=4 Závodník 5 0,187 2 Závodník 6 0,

182 12 Skupinové rozhodování REFERENCE - Další zdroje [1] Arrow, K.J.: Společenský výběr a individuální hodnoty. Svoboda, Praha [2] Berger, J.: Statistical decision theory and Bayesian analysis. Springer-Verlag, Berlin [3] Charniak, E., McDermott, D.: Introduction to artificial intelligence. Addison Wesley, New York [4] Dyer, R.F., Forman, E. A., Forman, E. L., Jouflas, G.: Marketing decisions using Expert Choice. Expert Choice Inc., Pittsburgh, [5] Fiala, P., Jablonský, J. a Maňas, M.: Vícekriteriální rozhodování. VŠE v Praze, Praha, [6] Fiala, P.: Skupinové rozhodování. VŠE v Praze, Praha, [7] Fotr, J., Dědina, J., Hrůzová, H.: Manažerské rozhodování. Ekopress, Praha, [8] Fotr, J., Píšek, M.: Exaktní metody ekonomického rozhodování. Academia, Praha, 1986 [9] Fishburn, P.C.: Utility theory for decision making, J. Wiley, N.York, [10] French, S.: Decision theory: An introduction to the mathematics of rationality. John Wiley, New York [11] Fiedler, M., Nedoma, J., Ramík, J., Rohn, J., Zimmermann, K.: Linear Optimization Problems with Inexact Data. Berlin - Heidelberg - New York - Hong Kong - London - Milan, Tokyo: Springer, [12] Glückaufová, D., Černý, M., Toms, M.: Metody komplexního vyhodnocování variant. Academia, Praha, [13] Glückaufová, D., Černý, M.: Vícekriteriální vyhodnocování v praxi. SNTL, Praha, [14] Hwang, C.L., Lin, Y.J.: Group decision making under multiple criteria. Springer-Verlag, Berlin [15] Keeney, R., Raiffa, H.: Decisions with multiple objectives, preferences and value tradeoffs. J. Wiley, N. York, [16] Lauritzen, S.L., Spiegelhalter, D.J.: Local computations with probabilities on graphical structures and their applications to expert systems. J.R. Statistical Soc.B. 50, s [17] Maňas, M.: Teorie her a ekonomické rozhodování. SNTL, Praha [18] von Neumann, J., Morgenstern, O.: Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, Princeton [19] Ochrana, F.: Veřejné zakázky metody a metodika efektivního hodnocení a výběru. Ekopress, Praha 2004, ISBN [20] Ochrana, F.: Manažérské metody ve veřejném sektoru. Ekopress, Praha 2004, ISBN

183 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY [21] Ramík, J., Němec, F.: ANP- nový modelový nástroj pro podporu rozhodování v oblasti MSP. Sborník výzkumných prací ústavu MSP, Díl 2., J. Ramík ed., Slezská univerzita, OPF Karviná, 1997, s [22] Ramík, J., Novák, V.: Hierarchie, priority a konzistence ve vícekriteriálním rozhodování s AHP. Sborník výzkumných prací ústavu MSP, Díl 3., J. Ramík ed., Slezská univerzita, OPF Karviná, 1998, s [23] Ramík, J., Novák, V.: Bayesovský přístup k diagnostice podniků a jeho zobecnění pomocí metody AHP. Acta Academica Karvinensis, 3. díl, Karviná, 1999, s [24] Rommelfanger, H., Eickemeier, S.: Entscheidungstheorie. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002, ISBN [25] Ramík, J.: Vícekriteriální rozhodování analytický hierarchický proces. Skriptum, SU OPF Karviná, Karviná ISBN [26] Ramík, J.: Analytický hierarchický proces (AHP) a jeho využití v malém a středním podnikání. SU OPF Karviná, Karviná 2000, ISBN X. [27] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky, SNTL, Praha, [28] Roy, B.: Méthodologie Multicritére d Aide á la Décision. Economica, Paris, [29] Saaty, T.L.: The Analytical Hierarchy Process. McGraw Hill, New York, [30] Saaty, T.L.: Multicriteria decision making - the Analytical Hierarchy Pro- cess, Vol. I., RWS Publications, Pittsburgh, [31] Saaty, T.L.,Vargas, L.G.: Prediction, projection and forecasting. Kluwer Academic Publ., Boston [32] Saaty, T.L.,Vargas, L.G.: The Logic of Priorities. Vol. III., RWS Publications, Pittsburgh, [33] Saaty, T.L.,Kearns, K.P.: Analytical Planning The Organization of Systems. Vol. IV., RWS Publications, Pittsburgh, [34] Saaty, T.L.: Fundamentals of decision making and priority theory, Vol. VI., RWS Publications, Pittsburgh, [35] Saaty, T.L.: Decision making for leaders, Vol. II., RWS Publications, Pittsburgh, [36] Saaty, T.L.: Decision Making with Dependence and Feedback The Analytic Network Process. RWS Publications, Pittsburgh,

184 12 Skupinové rozhodování [37] Saaty, T.L., Vargas, T.L.: Diagnosis with dependent symptoms: Bayes theorem and the Analytic Hierarchy Process. Operations Research, Vol. 46, No. 4, 1998, s [38] Saaty, T.L.: The seven pillars of the Analytic Hierarchy Process. Proc. of the AHPIC, Kobe, 1999, s [39] Simon, H.: The New Science of Management Decision, Harper and Brothers, New York, [40] Talašová, J.: Fuzzy metody vícekriteriálního hodnocení a rozhodování. UP Olomouc, Přírodovědecká fakulta, Olomouc, 2003, ISBN [41-T] TeamEC Version 9.5, Group decision support software, Tutorial. Expert Choice Inc., McLean [42-M] TeamEC Version 9.5, Group decision support software, User manual. Expert Choice Inc., McLean [43] Wisniewski, M.: Quantitative Methods for Decision Makers (2. edition), Pitman Publishing, London

185 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY Příloha 1. STRUČNÝ MANUÁL K POUŽITÍ PROGRAMU DAME Spuštění programu: Program je k dispozici ve složce tosenovskyfilip/public/pram- LS /RAM-cvičení/DAME2. Ve složce DAME 2 se spouští soubor označený červenou kostičkou. Jeho spuštěním se automaticky otevře Excel a doinstaluje se na horní lištu jeho hlavní nabídky položka Doplňky (u starších verzí Excelu se objeví název DAME). Pokud se objeví při instalaci dialogové okno s dotazem na povolení maker, potvrďte povolení maker. Obecně platí, že makra musejí být povolena (více informací k povolení maker - viz nápověda Excelu). DAME funguje pro všechny běžně dostupné verze Excelu od verze 97 do Doporučuje se užívat 32-bitový Microsoft Office. Generování nové úlohy: Vyberte Doplňky v hlavní nabídce Excelu a v následně vysunuté roletě Nový problém. Vždy musí platit, že před potvrzením Nového problému je v Excelu otevřen nějaký list. Pokud by žádný list otevřen nebyl (uživatel uvidí jen zašedlou obrazovku), doplněk novou úlohu nevygeneruje. V otevřeném dialogovém okně pak zvolte počet scénářů podle toho, zda se má řešit úloha rozhodování za jistoty či rizika, a počet variant a kritérií, s nimiž budete pracovat. Pro každé kritérium pak rovněž zaškrtnutím stanovte, zda půjde o kritérium maximalizační, minimalizační, případně zda budou varianty hodnoceny podle daného kritéria na základě párového srovnání

186 12 Skupinové rozhodování Pokud se uživatel v tomto bodě splete a svůj omyl zjistí později, musí řešit úlohu znovu vygenerováním nové úlohy DAME, tj. během již vygenerované úlohy nelze dodatečně měnit nastavení této úlohy. Po potvrzení výběru typů kritérií tlačítkem OK se vygeneruje nový list s tabulkami, do nichž se následně zadávají údaje potřebné k vyřešení úlohy. Řešení úlohy: Váhy kritérií a pravděpodobnosti scénářů, pokud je scénářů více, se stanovují vždy na základě matice párového srovnání, ve které hodnotíte páry v každé buňce rozkliknutím vyznačené šipky a volbou příslušné hodnoty z nabídnuté stupnice. Vyplněná matice se automaticky vyhodnocuje do sloupce napravo od matice, a to podle zvolené metody vyhodnocení párového srovnání. K dispozici jsou tři metody Saatyho metoda, metoda geometrického průměru a Fullerova metoda. Metoda se nastavuje v nabídce vyobrazené v horní části listu DAME. Platí, že zvolená metoda je následně užita programem pro všechny matice párových srovnání, které se vyskytují v celé úloze. Nelze tedy na jednom listě řešit jedno párové srov

187 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY nání, např. pro získání vah kritérií Saatyho metodou, a jinou matici párového srovnání, např. pro kvantifikaci kvalitativních hodnocení variant metodou geometrického průměru. Pro druhé párové srovnání je třeba k takovému účelu vygenerovat další úlohu (další list DAME). V případě, že si uživatel vybere metodu Fullerovu, platí pro zvolenou buňku matice párového srovnání toto: pokud je prvek v řádku matice důležitější, resp. lepší než prvek ve sloupci matice, potom uživatel vkládá do dané buňky matice jakoukoliv hodnotu vyšší než jedna. Je-li prvek v řádku méně důležitý, resp. horší než prvek ve sloupci, pak uživatel vloží do dané buňky jakoukoliv hodnotu menší než jedna. Považuje-li uživatel prvek v řádku za stejně důležitý, resp. stejně dobrý jako prvek ve sloupci, ohodnotí danou buňku matice jedničkou. U matic párového srovnání se u jejího pravého horního rohu současně s vyhodnocením párů zobrazí index nekonzistence, který by měl být menší než 0,1. Není-li index menší než 0,1, je třeba párová srovnání v matici vhodně upravit, nicméně tak, aby nová hodnocení stále v rozumné míře odrážela subjektivní preference rozhodovatele. V případě maximalizačních a minimalizačních kritérií uživatel běžným způsobem doplní dílčí hodnocení dané varianty do připravené tabulky, kterou program v zápětí znormalizuje do sloupce napravo od této tabulky. Hodnocení pro první variantu jsou znormována do prvního sloupce napravo, hodnocení pro druhou variantu do druhého sloupce napravo, atd. Názvy minimalizačních kritérií jsou na listě DAME barevně rozlišeny od ostatních kritérií. Pokud je kritérium kvalitativní a uživatel si nevybere kvantifikaci dílčích hodnocení variant podle tohoto kritéria metodou párového srovnání, ale metodou pořadí nebo bodovací, lze obě tyto metody použít v programu tak, že se dané kritérium zvolí při vygenerování úlohy jako maximalizační

188 12 Skupinové rozhodování Na konci listu DAME se nachází hnědá tabulka s agregovaným hodnocením všech variant. Toto hodnocení je získáno metodou váženého součtu. Současně se na konci listu také objeví celkové hodnocení variant pro daný scénář (zelená tabulka). Je-li zadán pouze jeden scénář, jsou výsledky v zelené a hnědé tabulce stejné. Pokud je zvoleno vícero scénářů, vyplňují se údaje výše popsaným způsobem pro každý scénář zvlášť. Všechny scénáře spolu s tabulkami jsou vygenerovány na jednom a tomtéž listě DAME. Na listě DAME se pak kromě hnědé tabulky výsledného hodnocení všech variant, které zo

189 Jaroslav Ramík, Filip Tošenovský; ROZHODOVACÍ ANALÝZA PRO MANAŽÉRY hledňuje všechny scénáře, objeví více zelených tabulek každá zelená tabulka pak vyobrazuje celkové hodnocení variant pro daný scénář. Pravděpodobnosti nastání jednotlivých scénářů jsou spočteny na základě vyhodnocení matice párových srovnání, která se objeví v horní části listu. Do této tabulky uživatel vloží příslušnou hodnotu ze stupnice 1-9, respektive 1-1/9, čímž porovná míry naplnění těchto scénářů. Skupinové rozhodování: Princip vícero scénářů lze využít zcela analogicky pro řešení úloh spadajících do kategorie skupinového rozhodování. Údaje spadající pod daný scénář pak odpovídají údajům, s nimiž by pracoval jeden konkrétní rozhodovatel. Pro daný počet rozhodovatelů se tedy zvolí při vygenerování úlohy stejný počet scénářů. Každý scénář zastupuje jednoho z rozhodovatelů. Celkové vyhodnocení variant (hnědá tabulka) pak představuje ohodnocení variant, které zohledňuje hodnocení jednotlivých rozhodovatelů i významnost úlohy jednotlivých rozhodovatelů, jež vzejde z matice párových srovnání scénářů. Výstupy řešení: V modrých polích vygenerované tabulky DAME lze podle potřeby měnit názvy kritérií a variant. Pro přenos výsledných tabulek z DAME do Wordu pak lze užít běžného postupu kopírování přes klávesy CTRL + C a CTRL + V, nebo též vizuálně lépe zvládnuté kopírování výřezu obrazovky přes aplikaci OneNote, která bývá součástí balíku Office, a to následovně: 1) Spustí se program DAME a vyřeší se v něm úloha. 2) Spustí se program OneNote a v něm nabídka Vložit/Oříznutí obrazu 3) Volba z bodu 2) zesvětlí excelovský list DAME. 4) Uživatel přenese myš do zesvětlené části listu DAME a tahem myši a levým tlačítkem orámuje část listu, kterou chce zkopírovat do Wordu. Po uvolnění levého tlačítka se tato část listu automaticky přenese do OneNote. 5) Uživatel klikne na přenesený výřez v OneNote a přes CTRL+C a CTRL+V následně přenese tento výřez do Wordu