Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML"

Transkript

1 6 Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1

2 Lineární aritmetika Budeme zabývat rozhodovacími procedurami pro konjunkce lineárních podmínek. Definice 11.1 (formule lineární aritmetiky). Nechť Var je množina symbolů pro proměnné, Cons nechť je množina symbolů pro konstanty (VarCons=). Formule lineární aritmetiky je slovo dané následující gramatikou: Počáteční neterminál I, další neterminály T, A, S Množina terminálů = VarCons {,=,<,,+,(,)} I II (I) I A A S = S S < S S S S T S S + T T v c cv pro vvar, ccons I odpovídá formuli, A odpovídá atomu, S odpovídá součtu, T odpovídá termu. 2 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

3 Lineární aritmetika - poznámky Z formálního hlediska je lineární aritmetika teorie obsahující axiomy pro binární relace =, <,, binární funkci + a unární funkce c pro ccons (násobení konstantou). Jako doménu uvažujeme buď racionální nebo celá čísla: Rozhodování o splnitelnosti je v prvním případě polynomiální, v druhém NPúplný problém. Příklad formule lineární aritmetiky: 3y 1 + 2y 2 5y 3 2y 1-2 y 2 = 0 Tělo smyčky Motivační příklad: for (i = 1; i <= 10; i++) { a[j+i] = a[j] } R4 mem[a+r2] R5 R2 + R1 mem*a+r5+ R4 R1 R1 + 1 R4 mem[a+r2] Mimo tělo smyčky Tělo smyčky R5 R2 + R1 mem*a+r5+ R4 R1 R1 + 1 a[j] se nesmí měnit, tj. formule (i 1 i 10 j+i=j) musí být nesplnitelná. 3 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

4 Rozhodování lineární aritmetiky Lineární programování (LP) Zadání: konjunkce lineárních nerovností a lineární objektivní funkce (=lineární program). Hledáme ohodnocení proměnných racionálními čísly, které splňuje nerovnosti a maximalizuje (minimalizuje) objektivní funkci. Celočíselné lineární programování (ILP) Zadání: opět lineární program (nerovnosti a objektivní funkce) Hledáme celočíselné ohodnocení proměnných, které splňuje stejné podmínky. Rozhodování lineární aritmetiky Zadání: konjunkce lineárních nerovností, tj. formule lineární aritmetiky. Chceme odpověď, zda existuje ohodnocení proměnných racionálními čísly splňující danou formuli. 4 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

5 Obecný simplex (1) Obecný simplex je metoda pro rozhodování lineární aritmetiky s rovnostmi a neostrými nerovnostmi. Lineární nerovnosti tvořící formuli lineární aritmetiky jsou požadovány ve speciálním tvaru, tzv. obecný tvar: Rovnosti tvaru: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0, kde x 1, x 2,, x n jsou racionální proměnné a a 1, a 2,, a n racionální konstanty. Dolní a horní mez pro proměnné: l i x i u i pro i = 1,2,,n, kde l i a u i jsou racionální konstanty nebo - resp. +. Poznámka: V klasickém simplexovém algoritmu požadujeme proměnné nezáporné. Převod na obecný tvar: Nechť se formule skládá z m lineárních podmínek ve tvaru L i Δ R i, kde Δ,=,, -, pro I = 1,2,,m. 5 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

6 Obecný simplex (2) Převod na obecný tvar: Případ L i R i (resp. L i R i ) Podmínku L i R i, převedeme na tvar L i b i, kde b i je racionální konstanta. Zavedeme novou proměnnou s i, původní podmínku nahradíme podmínkami L i - s i = 0 a s i b i. Případ L i = R i : Podmínku L i = R i, převedeme na tvar L i = b i, kde b i je racionální konstanta. Zavedeme novou proměnnou s i, původní podmínku nahradíme podmínkami L i - s i = 0, s i b i a s i b i. Původní proměnné y 1, y 2,, y n se nazývají problémové proměnné, proměnné s 1, s 2,, s m se nazývají dodatečné. Příklad: y 1 + y 2 2 2y 1 y 2 0 -y 1 + 2y 2 1 y 1 + y 2 s 1 = 0 2y 1 x 2 s 2 = 0 -y 1 + 2y 2 s 3 = 0 s 1 2 s 2 0 s / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

7 Obecný simplex (3) Úlohu nalezení splňujícího ohodnocení proměnných je možné nahlížet geometricky: Každá proměnná představuje dimenzi, podmínky představují nadroviny (rovnosti) a poloprostory (nerovnosti). Uzavřený podprostor splňujících ohodnocení je průnikem nadrovin a poloprostorů, jedná se o konvexní polytop. y 1 + y 2 2 2y 1 y 2 0 -y 1 + 2y 2 1 y 2 4 2y 1 - y y 1 + y y 1 + 2y 2 0 y 1 7 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

8 Obecný simplex (4) Koeficienty v zadání úlohy reprezentujeme jako matici A typu m (n + m), proměnné y 1, y 2,, y n, s 1, s 2,,s m reprezentujeme jako vektor x (prvky matice značíme a ij pro i=1,2,,m a j=1,2,,n+m). Lze použít ekvivalentní formulaci: Ax = 0 a i=1 n+m l i x i u i y 1 + y 2 s 1 = 0 2y 1 y 2 s 2 = 0 -y 1 + 2y 2 s 3 = 0 s 1 2 s 2 0 s 3 1 A = Nebo se používá tabulková reprezentace (matice A bez diagonální podmatice s -1). 2 s 1 ( + ) (- y 1 + ) 0 s 2 ( + ) (- y 2 + ) 1 s 3 ( + ) y 1 y 2 s s s A je pro pořadí proměnných: x = (y 1, y 2, s 1, s 2, s 3 ) 2 s 1 ( + ) 0 s 2 ( + ) 1 s 3 ( + ) (- y 1 + ) (- y 2 + ) 8 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

9 Obecný simplex (5) V průběhu obecného simplexu se bude matice A (tabulka) měnit, ovšem sloupce odpovídající diagonální podmatici s -1 budou stále přítomné (permutovaně). Definice 11.2 (bázické, nebázické proměnné). Množina proměnných odpovídající sloupcům diagonální podmatice s -1 se nazývá množina bázických proměnných, značí se B. Ostatní proměnné se nazývají nebázické a značí se N. Lze psát: xib (x i = xjn a ij x j ), toto plyne přímo z Ax=0 a definice Algoritmus bude udržovat následující: Ohodnocení α:bn Q (racionální čísla) Invarianty (i) a (ii): (i): Ax α = 0, kde x α = (α(x 1 ), α(x 2 ),, α(x n+m )) (ii): (x j N) l j α(x j ) u j 9 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

10 Obecný simplex (6) - algoritmus Na vstupu nechť je formule L lineární aritmetiky s m rovnostmi a neostrými nerovnostmi. function GENERAL-SIMPLEX(L): boolean převeď formuli L na obecný tvar: Ax = 0 a m i=1 l i s i u i B {s 1,s 2,, s m } s 1,s 2,, s m jsou bázické proměnné N {y 1,y 2,, y n } y 1,y 2,, y n jsou nebázické proměnné for i=1,2,,n+m do α(x i ) 0 while True do Satisfied True for i=1,2,,n+m do [y 1,y 2,, y n, s 1,s 2,, s m ] = [x 1,x 2,, x n+m ] Pořadí proměnných je pevné if x i B and (l i > α(x i ) or α(x i ) > u i ) then Satisfied False, Pivot False for j=1,2,,n+m do if x j N and x i a x j lze pivotovat then Pivot True proveď pivotaci s x i a x j if not Pivot then return False if Satisfied then return True Formule je nesplnitelná Formule je splnitelná 10 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

11 Operace pivotace (1) Nechť x i B je taková, že α(x i ) > u i (bez újmy na obecnosti). Je tedy třeba snížit hodnotu α(x i ). Platí, že x i = xjn a ij x j, tedy hodnota α(x i ) může být redukována snížením hodnoty x j N, kde a ij > 0 a l j <α(x j ), nebo zvýšením hodnoty x k N, kde a ik < 0 a α(x k )<u k. Když taková x j N ani x k N neexistuje říkáme, že nelze pivotovat (algoritmus v tomto případě odpovídá, že formule je nesplnitelná). θ = (u i - α(x i ))/a ij, resp. ι= (u i - α(x i ))/a ik, položíme α(x j ) = α(x j ) + θ, resp. α(x j ) = α(x j ) ι x i nyní splňuje podmínku α(x i ) u i, mohlo se ale stát, že α(x j ) porušuje invariant (ii) (tedy nemusí platit l j α(x j ) u j ) Je třeba x j zařadit mezi bázické a x i mezi nebázické. 11 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

12 Operace pivotace (2) Chceme tedy přehodit x i a x j. Definice 11.3 (pivot, pivotový sloupec, pivotový řádek). Pro proměnné x i a x j se koeficient a ij tabulky nazývá pivot. Sloupec s proměnnou x j se nazývá pivotový sloupec (x j nebázická, nebázické odpovídají sloupcům), řádek s proměnnou x i se nazývá pivotový řádek (x i bázická, bázické odpovídají řádkům). Platí, že a ij 0: Vyřešíme řádek i pro x j. tj. z rovnosti x i = xln a il x l obdržíme rovnost x j = xln l j (-a il /a ij )x l + (1/a ij )x i Ve všech ostatních řádcích k i eliminujeme proměnnou x j pomocí získané rovnosti. Vypočteme novou hodnotu ohodnocení pro bázické proměnné. V algoritmu postupujeme při výběru pivota podle pevného pořadí proměnných (Blandovo pravidlo), žádní množina bázických proměnných se nezopakuje, algoritmus vždy skončí (bez důkazu). 12 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

13 Obecný simplex příklad (1) Uvažujme formuli: y 1 + y 2 2 2y 1 y 2 0 -y 1 + 2y 2 1 y 1 + y 2 s 1 = 0 2y 1 x 2 s 2 = 0 -y 1 + 2y 2 s 3 = 0 s 1 2 s 2 0 s 3 1. y 1 y 2 s s s s 1 ( + ) 0 s 2 ( + ) 1 s 3 ( + ) (- y 1 + ) (- y 2 + ) Dolní mez pro s 1 je porušená, protože α(s 1 ) < 2. Zvýšíme proměnnou y 1 o θ = (2-0)/1 (první, se kterou lze pivotovat, shora neomezená). Vyřešíme rovnost pro y 1 : s 1 = y 1 + y 2 y 1 = s 1 y 2 α(s 1 )=0 N={y 1, y 2 } α(s 2 )=0 B={s 1, s 2, s 3 } α(s 3 )=0 pořadí: y 1, y 2, s 1, s 2, s 3 α(y 1 )=0 α(y 2 )=0 y y 1 - y 2 0 y 1 + y y 1 + 2y 2 0 y 1 13 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

14 Obecný simplex příklad (2) Nahradíme (eliminujeme) y 1 v ostatních rovnostech pravou stranou s 1 y 2 : s 2 = 2(s 1 - y 2 ) y 2 s 2 = 2s 1 3y 2 s 3 = -(s 1 - y 2 ) 2y 2 s 3 = -s 1 + 3y 2 s 1 y 2 y s s s 1 ( + ) 0 s 2 ( + ) 1 s 3 ( + ) (- y 1 + ) (- y 2 + ) Dolní mez pro s 3 je porušená, protože α(s 3 ) < 1. Zvýšíme proměnnou y 2 o θ = (1 (-2))/3=1 (jediná, se kterou lze pivotovat, shora neomezená (s 1 bychom museli snižovat, což nejde)). Vyřešíme rovnost pro y 2 a eliminujeme y 2 α(s 1 )=2 N={s 1, y 2 } α(s 2 )=4 B={y 1, s 2, s 3 } α(s 3 )=-2 α(y 1 )=2 α(y 2 )=0 y y 1 - y 2 0 y 1 + y y 1 + 2y 2 0 y 1 14 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

15 Obecný simplex příklad (3) Algoritmus končí, získáme splňující ohodnocení: y 1 1, y 2 1 s 1 s 3 y 1 2/3-1/3 s y 2 1/3 1/3 2 s 1 ( + ) 0 s 2 ( + ) 1 s 3 ( + ) (- y 1 + ) (- y 2 + ) α(s 1 )=1 N={s 1, s 3 } α(s 2 )=1 B={y 1, s 2, y 2 } α(s 3 )=2 α(y 1 )=1 α(y 2 )=1 y y 1 - y y 1 + y y 1 + 2y 2 0 y 1 15 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

16 Metoda větví a mezí (1) Metoda pro řešení celočíselného lineárního programování (ILP). Zde nás zajímá rozhodovací varianta, čili nebudeme mít objektivní funkci. Zadání stejné jako pro obecný simplex (tedy formule lineární aritmetiky), pouze vyžadujeme, aby ohodnocení proměnných byla celá čísla. Poznámka: lze snadno podporovat ostré nerovnosti, stačí přičíst či odečíst 1 od konstanty na pravé straně nerovnosti. Definice 11.4 (problém, relaxovaný problém). Mějme systém systém lineárních nerovností S, problém nalezení celočíselného ohodnocení proměnných, které splňuje nerovnosti, nechť je problém. Relaxovaný problém potom je tatáž úloha, ale bez požadavku na celočíselnost ohodnocení, značíme relaxed(s). Předpokládejme existenci funkce LP feasible, která rozhoduje splnitelnost pro formuli lineární aritmetiky (vrací dvojici - indikátor splnitelnosti, případně splňující ohodnocení). Lze použít například obecný simplex. 16 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

17 Metoda větví a mezí (2) Na vstupu je formule lineární aritmetiky s celočíselnými proměnnými S. function FEASIBILITY-BRANCH-AND-BOUND(S): boolean SEARCH-INTEGRAL-SOLUTION(S) return False procedure SEARCH-INTEGRAL-SOLUTION(S) (satisfiable, α) LP feasible (relaxed(s)) if not satisfiable then return else if α je celočíselné then abort(true) else let x je proměnní, že α(x)=rz SEARCH-INTEGRAL-SOLUTION(S (x r)) SEARCH-INTEGRAL-SOLUTION(S (x r)) V aktuální větvi není celočíselné řešení Snadno lze dovolit některé proměnné racionální a jiné celočíselné (MIP smíšení celočíselné programování) V aktuální větvi není přípustné ohodnocení, tedy ani celočíselné Celočíselné přípustné ohodnocení nalezeno, formule splnitelná, konec. Proměnná x je ohodnocením α ohodnocena neceločíselně 17 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

18 Metoda větví a mezí příklad a poznámky Příklad: Nechť x 1, x 2, x 3, x 4 jsou proměnné formule lineární aritmetiky. Předpokládejme, že funkce LP feasible vrátila řešení (1, 0.7, 2.5, 3) Dále je možno vybrat neceločíselně ohodnocenou proměnnou, v tomto případě buď x 2, nebo x 3. Nechť byla vybrána x 2 : Přidá se podmínka x 2 0 a rekurzivně se pokračuje v řešení, nechť není nalezeno přípustné ohodnocení v této větvi. Přidá se tedy podmínka x 2 1 a opět se rekurzivně pokračuje v řešení. Algoritmus není úplný, nemusí zastavit. Pro formuli lineární aritmetiky: 1 3x 3y 2 nezastaví (úloha nemá celočíselné přípustné řešení). Lze vyřešit odhadem na velikost domény proměnných: Tvrzení 11.1 (odhad proměnných): Nechť koeficienty formule φ tvoří matici A typu m n a vektor b (pravé strany), x 1, x 2,, x n nechť jsou proměnné a nechť μ je největší z abs. hodnot koeficientů a abs. hodnot konstant. Potom je-li φ celočíselně splnitelná, existuje celočíselné ohodnocení α, že α(x j ) ((m+n)*n*μ) n pro j=1,2,,n. Bez důkazu. 18 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

19 Ořezávání pomocí nadrovin (1) Ořezávací nadrovina je podmínka, která když se přidá k formuli lineární aritmetiky, nezmění množinu přípustných celočíselných řešení. Ořezávací nadroviny mohou pomoci zmenšit prohledávaný prostor přípustných (neceločíselných) ohodnocení. 19 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

20 Ořezávání pomocí nadrovin (2) Popíšeme ořezávací nadroviny nazývané Gomoryho řezy, nejdříve příklad: Nechť x 1, x 2, x 3 jsou proměnné a nechť dolní meze jsou 1 x 1 a 0.5 x 2, předpokládáme, že konečná tabulka v obecném simplexu obsahuje rovnost: x 3 = 0.5x x 2. Konečné přípustné ohodnocení nechť je: α: {x 1 1, x 2 0.5, x }. Odečteme přípustné ohodnocení od rovnosti: x = 0.5(x 1 1) +2.5(x 2 0.5) x 3 1 = (x 1 1) +2.5(x 2 0.5) (x 1 1) +2.5(x 2 0.5) 1 Poslední nerovnost přidáme jako novou podmínku, aktuální ohodnocení α ji nesplňuje, α bude oříznuto. 20 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

21 Ořezávání pomocí nadrovin (3) Budeme odvozovat řez z rovnosti, ta musí splňovat dvě podmínky: (i) Ohodnocení bázických proměnných musí být zlomkové. (ii) Ohodnocení všech nebázických proměnných musí odpovídat jedné z jejích mezí (hodní nebo dolní). Uvažme rovnost: x i = xjn a ij x j, kde x i je bázická proměnná (1) α nechť je ohodnocení nalezené obecným simplexem, tedy: α(x i )= xjn a ij α(x j ) (2) Rozdělíme nebázické proměnné podle toho, zda mají přiřazenou hodní nebo dolní mez: J = {j x j N α(x j ) = l j } K = {j x j N α(x j ) = u j } 21 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

22 Ořezávání pomocí nadrovin (4) Provedeme odečtení (2) od (1): x i - α(x i )= jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) Nechť f 0 = α(x i ) - α(x i ), jelikož předpokládáme, že α(x i ) není celé číslo, platí, že 0 < f 0 < 1, můžeme tedy psát: x i - α(x i ) = f 0 + jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) Všimněme si, že levá strana je celé číslo. Nyní rozlišíme dva případy: (a) Když jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) > 0, pak jelikož pravá strana je celé číslo, platí: f 0 + jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) 1, provedeme rozdělení indexů: J + = { j jj a ij > 0} J - = { j jj a ij < 0} K + = { j jk a ij > 0} K - = { j jk a ij < 0} 22 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

23 Ořezávání pomocí nadrovin (5) Na levou stranu shromáždíme pozitivní členy: jj+ a ij (x j l j ) - jk- a ij (u j - x j ) 1 - f 0, ekvivalentně také jj+ (a ij /(1- f 0 ))(x j l j ) - jk- (a ij /(1- f 0 ))(u j - x j ) 1 (b) Když jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) 0, pak jelikož pravá strana je celé číslo, platí: f 0 + jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) 0 Podobně jako v předchozím obdržíme: jj- a ij (x j l j ) - jk+ a ij (u j - x j ) - f 0, ekvivalentně také - jj- (a ij /f 0 )(x j l j ) + jk+ (a ij /f 0 )(u j - x j ) 1 Celkem dostáváme, že: jj+ (a ij /(1- f 0 ))(x j l j ) - jj- (a ij /f 0 )(x j l j ) + jk+ (a ij /f 0 )(u j - x j ) - jk- (a ij /(1- f 0 ))(u j - x j ) 1 Nová podmínka zakáže ohodnocení α, jelikož při něm jsou členy na levé straně nulové. 23 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

24 Diferenční logika (1) Rozhodovací procedura pro konjunkci diferenčních podmínek, jedná se o fragment lineární aritmetiky. Definice 11.5 (formule diferenční logiky). Nechť Var je množina symbolů pro proměnné, Cons nechť je množina symbolů pro konstanty (VarCons=). Formule diferenční logiky je slovo dané následující gramatikou: Počáteční neterminál I, další neterminál A, T Množina terminálů = VarCons {,<,,(,)} I II (I) I A A T T < c T T c pro ccons T v pro vvar I odpovídá formuli, A odpovídá atomu, T odpovídá termu, který v tomto případě je proměnná. 24 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

25 Diferenční logika (2) Lze modelovat i další podmínky podle následujících pravidel: x y = c lze zapsat jako x y c y x -c x y c lze zapsat jako y x -c x y > c lze zapsat jako y x < -c Podmínka s jednou proměnnou jako například x < 5 lze napsat jako x-x 0 < 5, kde x 0 je nová proměnná (tzv. nulová proměnná). Vyžaduje se, aby hodnota nulové proměnné byla 0. Uvažujme formuli: x < y + 5 y 4 x = z 1 Tuto formuli lze přepsat jako formuli diferenční logiky: x y < 5 y x 0 4 x z -1 z x 1 25 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

26 Diferenční logika (3) Podívejme se na rozhodovací proceduru pro diferenční logiku. Definice 11.6 (graf nerovností). Nechť δ je formule diferenční logiky ve formě konjunkce nerovností. Potom orientovaný graf s váhami G=(V,E,c) je graf nerovností, jestliže vrcholy odpovídají proměnným a je přítomna hrana e=(x,y) s váhou c(e) pro každou nerovnost x-y c(e) ve formuli. Tvrzení 11.2 (splňování diferenční logiky): Nechť δ je formule diferenční logiky ve formě konjunkce nerovností a nechť G je odpovídající graf nerovností. Potom δ je splnitelná, právě když G neobsahuje negativní cyklus. Důkaz: Použijeme Bellman-Fordův algoritmus pro nalezení nejkratších cest grafu. 26 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

27 Předzpracování pro neceločíselné formule Dva jednoduché způsoby předzpracování vstupní formule (konjunkce podmínek): 1. Uvažujme formuli lineární aritmetiky: x 1 + x 2 2 x 1 1 x 2 1, zde vidíme, že první podmínka je redundantní. Obecně: ve formuli a 0 x 0 + j=1n a j x j b j=0n (l j x j u j ) je podmínka a 0 x 0 + j=1n a j x j b redundantní, jestliže: j aj>0 a j u j + j aj<0 a j l j b. Jinými slovy, když při dosazení extrémních hodnot proměnným součet nepřevýší konstantu b, pak ani pro jiné přípustné ohodnocení proměnných nepřevýší konstantu b. 2. Uvažujme formuli lineární aritmetiky: 2x 1 + x 2 2 x 2 4 x 1 3, zde je vidět, že z první a druhé nerovnosti plyne x 1-1. Obecně: když a 0 > 0, pak x 0 (b - j j>0 aj>0 a j l j - j aj<0 a j u j ) / a 0, podobně, když a 0 < 0, pak x 0 (b - j aj>0 a j l j - j j>0 aj<0 a j u j ) / a 0 27 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

28 Předzpracování pro celočíselné formule Používají se dvě jednoduché úpravy: V každé podmínce vstupní formule nejprve vynásobíme všechny koeficienty a konstanty podmínky nejmenším společným násobkem jmenovatelů všech koeficientů a konstant podmínky. Obdržíme formuli, kde všechny konstanty a koeficienty jsou celočíselné (předpokládá racionální konstanty a koeficienty ve vstupním zadání). Poté je možné zavést neostré nerovnosti místo ostrých: Podmínka i=1n a i x i < b může být nahrazena podmínkou i=1n a i x i b 1. Speciální případ představují 0-1 formule (proměnné mohou nabývat hodnoty 0 nebo 1): Uvažujme formuli: 5x 1 3x 2 4, z této podmínky lze odvodit, že x 1 =1 x 2 =1, tedy můžeme přidat podmínku x 1 x 2. Uvažujme formuli: x 1 + x 2 1 x 2 1, z podmínek lze odvodit x 1 =0. 28 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování

4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování 4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace

1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,

Více

6 Simplexová metoda: Principy

6 Simplexová metoda: Principy 6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy

Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:

Více

13. Lineární programování

13. Lineární programování Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

3. ANTAGONISTICKÉ HRY

3. ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,

Více

Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23

Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23 Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

12. Lineární programování

12. Lineární programování . Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Obecná úloha lineárního programování

Obecná úloha lineárního programování Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Problém lineární komplementarity a kvadratické programování

Problém lineární komplementarity a kvadratické programování Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou

Více

Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy

Metody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního

Více

Výroková a predikátová logika - VII

Výroková a predikátová logika - VII Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie

Více

Výroková a predikátová logika - V

Výroková a predikátová logika - V Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Úvod do celočíselné optimalizace

Úvod do celočíselné optimalizace Úvod do celočíselné optimalizace Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní aspekty optimalizace Martin Branda (KPMS

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Výroková a predikátová logika - III

Výroková a predikátová logika - III Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Matice. a m1 a m2... a mn

Matice. a m1 a m2... a mn Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY 4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení

Více

Výroková a predikátová logika - X

Výroková a predikátová logika - X Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2018/2019 1 / 16 Rozšiřování teorií Extenze o definice Rozšiřování

Více

4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr

4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr 4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu

Více

Výroková a predikátová logika - VII

Výroková a predikátová logika - VII Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010 Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní

Více

= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez

= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Výroková a predikátová logika - XII

Výroková a predikátová logika - XII Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2015/2016 1 / 15 Algebraické teorie Základní algebraické teorie

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování

4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování 4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Grafové algoritmy. Programovací techniky

Grafové algoritmy. Programovací techniky Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Výroková a predikátová logika - III

Výroková a predikátová logika - III Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu

Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující

Více

4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování

4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování 4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY 4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Úvod do informatiky přednáška čtvrtá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Pojem relace 2 Vztahy a operace s (binárními) relacemi

Více

Výroková a predikátová logika - XIII

Výroková a predikátová logika - XIII Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Arnoldiho a Lanczosova metoda

Arnoldiho a Lanczosova metoda Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

19. Druhý rozklad lineární transformace

19. Druhý rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Úmluva. Všude P = C. Vpřednášce o vlastních vektorech jsme se seznámili s diagonalizovatelnými

Více

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení 1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní

Více