Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML
|
|
- Květa Tesařová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 6 Rozhodovací procedury a verifikace Pavel Surynek, KTIML Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1
2 Lineární aritmetika Budeme zabývat rozhodovacími procedurami pro konjunkce lineárních podmínek. Definice 11.1 (formule lineární aritmetiky). Nechť Var je množina symbolů pro proměnné, Cons nechť je množina symbolů pro konstanty (VarCons=). Formule lineární aritmetiky je slovo dané následující gramatikou: Počáteční neterminál I, další neterminály T, A, S Množina terminálů = VarCons {,=,<,,+,(,)} I II (I) I A A S = S S < S S S S T S S + T T v c cv pro vvar, ccons I odpovídá formuli, A odpovídá atomu, S odpovídá součtu, T odpovídá termu. 2 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
3 Lineární aritmetika - poznámky Z formálního hlediska je lineární aritmetika teorie obsahující axiomy pro binární relace =, <,, binární funkci + a unární funkce c pro ccons (násobení konstantou). Jako doménu uvažujeme buď racionální nebo celá čísla: Rozhodování o splnitelnosti je v prvním případě polynomiální, v druhém NPúplný problém. Příklad formule lineární aritmetiky: 3y 1 + 2y 2 5y 3 2y 1-2 y 2 = 0 Tělo smyčky Motivační příklad: for (i = 1; i <= 10; i++) { a[j+i] = a[j] } R4 mem[a+r2] R5 R2 + R1 mem*a+r5+ R4 R1 R1 + 1 R4 mem[a+r2] Mimo tělo smyčky Tělo smyčky R5 R2 + R1 mem*a+r5+ R4 R1 R1 + 1 a[j] se nesmí měnit, tj. formule (i 1 i 10 j+i=j) musí být nesplnitelná. 3 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
4 Rozhodování lineární aritmetiky Lineární programování (LP) Zadání: konjunkce lineárních nerovností a lineární objektivní funkce (=lineární program). Hledáme ohodnocení proměnných racionálními čísly, které splňuje nerovnosti a maximalizuje (minimalizuje) objektivní funkci. Celočíselné lineární programování (ILP) Zadání: opět lineární program (nerovnosti a objektivní funkce) Hledáme celočíselné ohodnocení proměnných, které splňuje stejné podmínky. Rozhodování lineární aritmetiky Zadání: konjunkce lineárních nerovností, tj. formule lineární aritmetiky. Chceme odpověď, zda existuje ohodnocení proměnných racionálními čísly splňující danou formuli. 4 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
5 Obecný simplex (1) Obecný simplex je metoda pro rozhodování lineární aritmetiky s rovnostmi a neostrými nerovnostmi. Lineární nerovnosti tvořící formuli lineární aritmetiky jsou požadovány ve speciálním tvaru, tzv. obecný tvar: Rovnosti tvaru: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0, kde x 1, x 2,, x n jsou racionální proměnné a a 1, a 2,, a n racionální konstanty. Dolní a horní mez pro proměnné: l i x i u i pro i = 1,2,,n, kde l i a u i jsou racionální konstanty nebo - resp. +. Poznámka: V klasickém simplexovém algoritmu požadujeme proměnné nezáporné. Převod na obecný tvar: Nechť se formule skládá z m lineárních podmínek ve tvaru L i Δ R i, kde Δ,=,, -, pro I = 1,2,,m. 5 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
6 Obecný simplex (2) Převod na obecný tvar: Případ L i R i (resp. L i R i ) Podmínku L i R i, převedeme na tvar L i b i, kde b i je racionální konstanta. Zavedeme novou proměnnou s i, původní podmínku nahradíme podmínkami L i - s i = 0 a s i b i. Případ L i = R i : Podmínku L i = R i, převedeme na tvar L i = b i, kde b i je racionální konstanta. Zavedeme novou proměnnou s i, původní podmínku nahradíme podmínkami L i - s i = 0, s i b i a s i b i. Původní proměnné y 1, y 2,, y n se nazývají problémové proměnné, proměnné s 1, s 2,, s m se nazývají dodatečné. Příklad: y 1 + y 2 2 2y 1 y 2 0 -y 1 + 2y 2 1 y 1 + y 2 s 1 = 0 2y 1 x 2 s 2 = 0 -y 1 + 2y 2 s 3 = 0 s 1 2 s 2 0 s / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
7 Obecný simplex (3) Úlohu nalezení splňujícího ohodnocení proměnných je možné nahlížet geometricky: Každá proměnná představuje dimenzi, podmínky představují nadroviny (rovnosti) a poloprostory (nerovnosti). Uzavřený podprostor splňujících ohodnocení je průnikem nadrovin a poloprostorů, jedná se o konvexní polytop. y 1 + y 2 2 2y 1 y 2 0 -y 1 + 2y 2 1 y 2 4 2y 1 - y y 1 + y y 1 + 2y 2 0 y 1 7 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
8 Obecný simplex (4) Koeficienty v zadání úlohy reprezentujeme jako matici A typu m (n + m), proměnné y 1, y 2,, y n, s 1, s 2,,s m reprezentujeme jako vektor x (prvky matice značíme a ij pro i=1,2,,m a j=1,2,,n+m). Lze použít ekvivalentní formulaci: Ax = 0 a i=1 n+m l i x i u i y 1 + y 2 s 1 = 0 2y 1 y 2 s 2 = 0 -y 1 + 2y 2 s 3 = 0 s 1 2 s 2 0 s 3 1 A = Nebo se používá tabulková reprezentace (matice A bez diagonální podmatice s -1). 2 s 1 ( + ) (- y 1 + ) 0 s 2 ( + ) (- y 2 + ) 1 s 3 ( + ) y 1 y 2 s s s A je pro pořadí proměnných: x = (y 1, y 2, s 1, s 2, s 3 ) 2 s 1 ( + ) 0 s 2 ( + ) 1 s 3 ( + ) (- y 1 + ) (- y 2 + ) 8 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
9 Obecný simplex (5) V průběhu obecného simplexu se bude matice A (tabulka) měnit, ovšem sloupce odpovídající diagonální podmatici s -1 budou stále přítomné (permutovaně). Definice 11.2 (bázické, nebázické proměnné). Množina proměnných odpovídající sloupcům diagonální podmatice s -1 se nazývá množina bázických proměnných, značí se B. Ostatní proměnné se nazývají nebázické a značí se N. Lze psát: xib (x i = xjn a ij x j ), toto plyne přímo z Ax=0 a definice Algoritmus bude udržovat následující: Ohodnocení α:bn Q (racionální čísla) Invarianty (i) a (ii): (i): Ax α = 0, kde x α = (α(x 1 ), α(x 2 ),, α(x n+m )) (ii): (x j N) l j α(x j ) u j 9 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
10 Obecný simplex (6) - algoritmus Na vstupu nechť je formule L lineární aritmetiky s m rovnostmi a neostrými nerovnostmi. function GENERAL-SIMPLEX(L): boolean převeď formuli L na obecný tvar: Ax = 0 a m i=1 l i s i u i B {s 1,s 2,, s m } s 1,s 2,, s m jsou bázické proměnné N {y 1,y 2,, y n } y 1,y 2,, y n jsou nebázické proměnné for i=1,2,,n+m do α(x i ) 0 while True do Satisfied True for i=1,2,,n+m do [y 1,y 2,, y n, s 1,s 2,, s m ] = [x 1,x 2,, x n+m ] Pořadí proměnných je pevné if x i B and (l i > α(x i ) or α(x i ) > u i ) then Satisfied False, Pivot False for j=1,2,,n+m do if x j N and x i a x j lze pivotovat then Pivot True proveď pivotaci s x i a x j if not Pivot then return False if Satisfied then return True Formule je nesplnitelná Formule je splnitelná 10 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
11 Operace pivotace (1) Nechť x i B je taková, že α(x i ) > u i (bez újmy na obecnosti). Je tedy třeba snížit hodnotu α(x i ). Platí, že x i = xjn a ij x j, tedy hodnota α(x i ) může být redukována snížením hodnoty x j N, kde a ij > 0 a l j <α(x j ), nebo zvýšením hodnoty x k N, kde a ik < 0 a α(x k )<u k. Když taková x j N ani x k N neexistuje říkáme, že nelze pivotovat (algoritmus v tomto případě odpovídá, že formule je nesplnitelná). θ = (u i - α(x i ))/a ij, resp. ι= (u i - α(x i ))/a ik, položíme α(x j ) = α(x j ) + θ, resp. α(x j ) = α(x j ) ι x i nyní splňuje podmínku α(x i ) u i, mohlo se ale stát, že α(x j ) porušuje invariant (ii) (tedy nemusí platit l j α(x j ) u j ) Je třeba x j zařadit mezi bázické a x i mezi nebázické. 11 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
12 Operace pivotace (2) Chceme tedy přehodit x i a x j. Definice 11.3 (pivot, pivotový sloupec, pivotový řádek). Pro proměnné x i a x j se koeficient a ij tabulky nazývá pivot. Sloupec s proměnnou x j se nazývá pivotový sloupec (x j nebázická, nebázické odpovídají sloupcům), řádek s proměnnou x i se nazývá pivotový řádek (x i bázická, bázické odpovídají řádkům). Platí, že a ij 0: Vyřešíme řádek i pro x j. tj. z rovnosti x i = xln a il x l obdržíme rovnost x j = xln l j (-a il /a ij )x l + (1/a ij )x i Ve všech ostatních řádcích k i eliminujeme proměnnou x j pomocí získané rovnosti. Vypočteme novou hodnotu ohodnocení pro bázické proměnné. V algoritmu postupujeme při výběru pivota podle pevného pořadí proměnných (Blandovo pravidlo), žádní množina bázických proměnných se nezopakuje, algoritmus vždy skončí (bez důkazu). 12 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
13 Obecný simplex příklad (1) Uvažujme formuli: y 1 + y 2 2 2y 1 y 2 0 -y 1 + 2y 2 1 y 1 + y 2 s 1 = 0 2y 1 x 2 s 2 = 0 -y 1 + 2y 2 s 3 = 0 s 1 2 s 2 0 s 3 1. y 1 y 2 s s s s 1 ( + ) 0 s 2 ( + ) 1 s 3 ( + ) (- y 1 + ) (- y 2 + ) Dolní mez pro s 1 je porušená, protože α(s 1 ) < 2. Zvýšíme proměnnou y 1 o θ = (2-0)/1 (první, se kterou lze pivotovat, shora neomezená). Vyřešíme rovnost pro y 1 : s 1 = y 1 + y 2 y 1 = s 1 y 2 α(s 1 )=0 N={y 1, y 2 } α(s 2 )=0 B={s 1, s 2, s 3 } α(s 3 )=0 pořadí: y 1, y 2, s 1, s 2, s 3 α(y 1 )=0 α(y 2 )=0 y y 1 - y 2 0 y 1 + y y 1 + 2y 2 0 y 1 13 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
14 Obecný simplex příklad (2) Nahradíme (eliminujeme) y 1 v ostatních rovnostech pravou stranou s 1 y 2 : s 2 = 2(s 1 - y 2 ) y 2 s 2 = 2s 1 3y 2 s 3 = -(s 1 - y 2 ) 2y 2 s 3 = -s 1 + 3y 2 s 1 y 2 y s s s 1 ( + ) 0 s 2 ( + ) 1 s 3 ( + ) (- y 1 + ) (- y 2 + ) Dolní mez pro s 3 je porušená, protože α(s 3 ) < 1. Zvýšíme proměnnou y 2 o θ = (1 (-2))/3=1 (jediná, se kterou lze pivotovat, shora neomezená (s 1 bychom museli snižovat, což nejde)). Vyřešíme rovnost pro y 2 a eliminujeme y 2 α(s 1 )=2 N={s 1, y 2 } α(s 2 )=4 B={y 1, s 2, s 3 } α(s 3 )=-2 α(y 1 )=2 α(y 2 )=0 y y 1 - y 2 0 y 1 + y y 1 + 2y 2 0 y 1 14 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
15 Obecný simplex příklad (3) Algoritmus končí, získáme splňující ohodnocení: y 1 1, y 2 1 s 1 s 3 y 1 2/3-1/3 s y 2 1/3 1/3 2 s 1 ( + ) 0 s 2 ( + ) 1 s 3 ( + ) (- y 1 + ) (- y 2 + ) α(s 1 )=1 N={s 1, s 3 } α(s 2 )=1 B={y 1, s 2, y 2 } α(s 3 )=2 α(y 1 )=1 α(y 2 )=1 y y 1 - y y 1 + y y 1 + 2y 2 0 y 1 15 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
16 Metoda větví a mezí (1) Metoda pro řešení celočíselného lineárního programování (ILP). Zde nás zajímá rozhodovací varianta, čili nebudeme mít objektivní funkci. Zadání stejné jako pro obecný simplex (tedy formule lineární aritmetiky), pouze vyžadujeme, aby ohodnocení proměnných byla celá čísla. Poznámka: lze snadno podporovat ostré nerovnosti, stačí přičíst či odečíst 1 od konstanty na pravé straně nerovnosti. Definice 11.4 (problém, relaxovaný problém). Mějme systém systém lineárních nerovností S, problém nalezení celočíselného ohodnocení proměnných, které splňuje nerovnosti, nechť je problém. Relaxovaný problém potom je tatáž úloha, ale bez požadavku na celočíselnost ohodnocení, značíme relaxed(s). Předpokládejme existenci funkce LP feasible, která rozhoduje splnitelnost pro formuli lineární aritmetiky (vrací dvojici - indikátor splnitelnosti, případně splňující ohodnocení). Lze použít například obecný simplex. 16 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
17 Metoda větví a mezí (2) Na vstupu je formule lineární aritmetiky s celočíselnými proměnnými S. function FEASIBILITY-BRANCH-AND-BOUND(S): boolean SEARCH-INTEGRAL-SOLUTION(S) return False procedure SEARCH-INTEGRAL-SOLUTION(S) (satisfiable, α) LP feasible (relaxed(s)) if not satisfiable then return else if α je celočíselné then abort(true) else let x je proměnní, že α(x)=rz SEARCH-INTEGRAL-SOLUTION(S (x r)) SEARCH-INTEGRAL-SOLUTION(S (x r)) V aktuální větvi není celočíselné řešení Snadno lze dovolit některé proměnné racionální a jiné celočíselné (MIP smíšení celočíselné programování) V aktuální větvi není přípustné ohodnocení, tedy ani celočíselné Celočíselné přípustné ohodnocení nalezeno, formule splnitelná, konec. Proměnná x je ohodnocením α ohodnocena neceločíselně 17 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
18 Metoda větví a mezí příklad a poznámky Příklad: Nechť x 1, x 2, x 3, x 4 jsou proměnné formule lineární aritmetiky. Předpokládejme, že funkce LP feasible vrátila řešení (1, 0.7, 2.5, 3) Dále je možno vybrat neceločíselně ohodnocenou proměnnou, v tomto případě buď x 2, nebo x 3. Nechť byla vybrána x 2 : Přidá se podmínka x 2 0 a rekurzivně se pokračuje v řešení, nechť není nalezeno přípustné ohodnocení v této větvi. Přidá se tedy podmínka x 2 1 a opět se rekurzivně pokračuje v řešení. Algoritmus není úplný, nemusí zastavit. Pro formuli lineární aritmetiky: 1 3x 3y 2 nezastaví (úloha nemá celočíselné přípustné řešení). Lze vyřešit odhadem na velikost domény proměnných: Tvrzení 11.1 (odhad proměnných): Nechť koeficienty formule φ tvoří matici A typu m n a vektor b (pravé strany), x 1, x 2,, x n nechť jsou proměnné a nechť μ je největší z abs. hodnot koeficientů a abs. hodnot konstant. Potom je-li φ celočíselně splnitelná, existuje celočíselné ohodnocení α, že α(x j ) ((m+n)*n*μ) n pro j=1,2,,n. Bez důkazu. 18 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
19 Ořezávání pomocí nadrovin (1) Ořezávací nadrovina je podmínka, která když se přidá k formuli lineární aritmetiky, nezmění množinu přípustných celočíselných řešení. Ořezávací nadroviny mohou pomoci zmenšit prohledávaný prostor přípustných (neceločíselných) ohodnocení. 19 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
20 Ořezávání pomocí nadrovin (2) Popíšeme ořezávací nadroviny nazývané Gomoryho řezy, nejdříve příklad: Nechť x 1, x 2, x 3 jsou proměnné a nechť dolní meze jsou 1 x 1 a 0.5 x 2, předpokládáme, že konečná tabulka v obecném simplexu obsahuje rovnost: x 3 = 0.5x x 2. Konečné přípustné ohodnocení nechť je: α: {x 1 1, x 2 0.5, x }. Odečteme přípustné ohodnocení od rovnosti: x = 0.5(x 1 1) +2.5(x 2 0.5) x 3 1 = (x 1 1) +2.5(x 2 0.5) (x 1 1) +2.5(x 2 0.5) 1 Poslední nerovnost přidáme jako novou podmínku, aktuální ohodnocení α ji nesplňuje, α bude oříznuto. 20 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
21 Ořezávání pomocí nadrovin (3) Budeme odvozovat řez z rovnosti, ta musí splňovat dvě podmínky: (i) Ohodnocení bázických proměnných musí být zlomkové. (ii) Ohodnocení všech nebázických proměnných musí odpovídat jedné z jejích mezí (hodní nebo dolní). Uvažme rovnost: x i = xjn a ij x j, kde x i je bázická proměnná (1) α nechť je ohodnocení nalezené obecným simplexem, tedy: α(x i )= xjn a ij α(x j ) (2) Rozdělíme nebázické proměnné podle toho, zda mají přiřazenou hodní nebo dolní mez: J = {j x j N α(x j ) = l j } K = {j x j N α(x j ) = u j } 21 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
22 Ořezávání pomocí nadrovin (4) Provedeme odečtení (2) od (1): x i - α(x i )= jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) Nechť f 0 = α(x i ) - α(x i ), jelikož předpokládáme, že α(x i ) není celé číslo, platí, že 0 < f 0 < 1, můžeme tedy psát: x i - α(x i ) = f 0 + jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) Všimněme si, že levá strana je celé číslo. Nyní rozlišíme dva případy: (a) Když jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) > 0, pak jelikož pravá strana je celé číslo, platí: f 0 + jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) 1, provedeme rozdělení indexů: J + = { j jj a ij > 0} J - = { j jj a ij < 0} K + = { j jk a ij > 0} K - = { j jk a ij < 0} 22 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
23 Ořezávání pomocí nadrovin (5) Na levou stranu shromáždíme pozitivní členy: jj+ a ij (x j l j ) - jk- a ij (u j - x j ) 1 - f 0, ekvivalentně také jj+ (a ij /(1- f 0 ))(x j l j ) - jk- (a ij /(1- f 0 ))(u j - x j ) 1 (b) Když jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) 0, pak jelikož pravá strana je celé číslo, platí: f 0 + jj a ij (x j l j ) - jk a ij (u j - x j ) 0 Podobně jako v předchozím obdržíme: jj- a ij (x j l j ) - jk+ a ij (u j - x j ) - f 0, ekvivalentně také - jj- (a ij /f 0 )(x j l j ) + jk+ (a ij /f 0 )(u j - x j ) 1 Celkem dostáváme, že: jj+ (a ij /(1- f 0 ))(x j l j ) - jj- (a ij /f 0 )(x j l j ) + jk+ (a ij /f 0 )(u j - x j ) - jk- (a ij /(1- f 0 ))(u j - x j ) 1 Nová podmínka zakáže ohodnocení α, jelikož při něm jsou členy na levé straně nulové. 23 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
24 Diferenční logika (1) Rozhodovací procedura pro konjunkci diferenčních podmínek, jedná se o fragment lineární aritmetiky. Definice 11.5 (formule diferenční logiky). Nechť Var je množina symbolů pro proměnné, Cons nechť je množina symbolů pro konstanty (VarCons=). Formule diferenční logiky je slovo dané následující gramatikou: Počáteční neterminál I, další neterminál A, T Množina terminálů = VarCons {,<,,(,)} I II (I) I A A T T < c T T c pro ccons T v pro vvar I odpovídá formuli, A odpovídá atomu, T odpovídá termu, který v tomto případě je proměnná. 24 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
25 Diferenční logika (2) Lze modelovat i další podmínky podle následujících pravidel: x y = c lze zapsat jako x y c y x -c x y c lze zapsat jako y x -c x y > c lze zapsat jako y x < -c Podmínka s jednou proměnnou jako například x < 5 lze napsat jako x-x 0 < 5, kde x 0 je nová proměnná (tzv. nulová proměnná). Vyžaduje se, aby hodnota nulové proměnné byla 0. Uvažujme formuli: x < y + 5 y 4 x = z 1 Tuto formuli lze přepsat jako formuli diferenční logiky: x y < 5 y x 0 4 x z -1 z x 1 25 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
26 Diferenční logika (3) Podívejme se na rozhodovací proceduru pro diferenční logiku. Definice 11.6 (graf nerovností). Nechť δ je formule diferenční logiky ve formě konjunkce nerovností. Potom orientovaný graf s váhami G=(V,E,c) je graf nerovností, jestliže vrcholy odpovídají proměnným a je přítomna hrana e=(x,y) s váhou c(e) pro každou nerovnost x-y c(e) ve formuli. Tvrzení 11.2 (splňování diferenční logiky): Nechť δ je formule diferenční logiky ve formě konjunkce nerovností a nechť G je odpovídající graf nerovností. Potom δ je splnitelná, právě když G neobsahuje negativní cyklus. Důkaz: Použijeme Bellman-Fordův algoritmus pro nalezení nejkratších cest grafu. 26 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
27 Předzpracování pro neceločíselné formule Dva jednoduché způsoby předzpracování vstupní formule (konjunkce podmínek): 1. Uvažujme formuli lineární aritmetiky: x 1 + x 2 2 x 1 1 x 2 1, zde vidíme, že první podmínka je redundantní. Obecně: ve formuli a 0 x 0 + j=1n a j x j b j=0n (l j x j u j ) je podmínka a 0 x 0 + j=1n a j x j b redundantní, jestliže: j aj>0 a j u j + j aj<0 a j l j b. Jinými slovy, když při dosazení extrémních hodnot proměnným součet nepřevýší konstantu b, pak ani pro jiné přípustné ohodnocení proměnných nepřevýší konstantu b. 2. Uvažujme formuli lineární aritmetiky: 2x 1 + x 2 2 x 2 4 x 1 3, zde je vidět, že z první a druhé nerovnosti plyne x 1-1. Obecně: když a 0 > 0, pak x 0 (b - j j>0 aj>0 a j l j - j aj<0 a j u j ) / a 0, podobně, když a 0 < 0, pak x 0 (b - j aj>0 a j l j - j j>0 aj<0 a j u j ) / a 0 27 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
28 Předzpracování pro celočíselné formule Používají se dvě jednoduché úpravy: V každé podmínce vstupní formule nejprve vynásobíme všechny koeficienty a konstanty podmínky nejmenším společným násobkem jmenovatelů všech koeficientů a konstant podmínky. Obdržíme formuli, kde všechny konstanty a koeficienty jsou celočíselné (předpokládá racionální konstanty a koeficienty ve vstupním zadání). Poté je možné zavést neostré nerovnosti místo ostrých: Podmínka i=1n a i x i < b může být nahrazena podmínkou i=1n a i x i b 1. Speciální případ představují 0-1 formule (proměnné mohou nabývat hodnoty 0 nebo 1): Uvažujme formuli: 5x 1 3x 2 4, z této podmínky lze odvodit, že x 1 =1 x 2 =1, tedy můžeme přidat podmínku x 1 x 2. Uvažujme formuli: x 1 + x 2 1 x 2 1, z podmínek lze odvodit x 1 =0. 28 / Rozhodovací procedury a verifikace, 11. přednáška
Lineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094
10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Více4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace
Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,
Více6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceSémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23
Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Více12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
VíceVýroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceObecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceProblém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
VíceMetody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceÚvod do celočíselné optimalizace
Úvod do celočíselné optimalizace Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní aspekty optimalizace Martin Branda (KPMS
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceVýroková a predikátová logika - X
Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2018/2019 1 / 16 Rozšiřování teorií Extenze o definice Rozšiřování
Více4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010 Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní
Více= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez
Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2015/2016 1 / 15 Algebraické teorie Základní algebraické teorie
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceGrafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
Více(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.
Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceVzdálenost uzlů v neorientovaném grafu
Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceNP-úplnost problému SAT
Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Více5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.
Úvod do informatiky přednáška čtvrtá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Pojem relace 2 Vztahy a operace s (binárními) relacemi
VíceVýroková a predikátová logika - XIII
Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více19. Druhý rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Úmluva. Všude P = C. Vpřednášce o vlastních vektorech jsme se seznámili s diagonalizovatelnými
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
Více