Derivace složené funkce

Transkript

1 Derivace složené fnkce Na rozdíl od integrování (neboli hledání primitivní fnkce k dané fnkci), kdy snadno narazíte na složeno fnkci, se ktero nehnete, ani kdyby trakače padaly, v případě derivací se mi nic podobného zatím nestalo. Zatím. Začneme věto: Nechť má fnkce g derivaci v bodě 0 a fnkce f derivaci v bodě 0 g( 0 ). Potom složená fnkce h : f g má derivaci v bodě 0 a platí: f g f g g h Pozn. V následjícím tet předpokládám znalost derivací základních elementárních fnkcí, derivace sočin dvo fnkcí a derivace podíl dvo fnkcí. Ve všech příkladech bdeme počítat derivace fnkce v libovolném bodě, v němž tyto derivace eistjí. Příklad ) Jedná se o složeno fnkci. Vnější fnkce (já jí říkám obálka) je v tomto případě mocninná fnkce f, kde +. Vnitřní fnkce (vnitřek) je kvadratická fnkce g. Výše vedená věta nám říká, jak derivovat složeno fnkci. Derivjeme vnitřní i vnější fnkci zvlášť a jejich derivace pak násobíme. A to je celé. g f 0 h () Příklad ) sin Vnitřek je v tomto případě eponent, tedy g sin g sin Obálka je eponenciální fnkce f f sin ln lnsin., kde sin.

2 () Příklad ) tg sin h lnsin Vnitřek je fnkce tangens, tedy tg tg g g. Obálka je mocninná fnkce f, kde tg. f tg Příklad 4 ) tg h () tg Tady máme stejné fnkce jako v příklad, ale v opačném pořadí. Vnitřek je mocninná fnkce g. g Obálka je fnkce tangens, tg f, kde. f tg h () Příklad 5 h ( ) Vnitřek je tentokrát podíl dvo fnkcí, g( ). g ( ) 6

3 Obálka je opět mocninná fnkce f f, kde. h () 6 Příklad 6 ) tg Tato fnkce je složená ze tří fnkcí. Postpjeme následovně. Vnitřek je lineární fnkce j (). j ( ) Prostředek je mocninná fnkce Obálka je fnkce f ( v) tgv, kde v h () g( ), kde.. 4. g ( ) f ( v) v Příklad 7 ) 5 I toto je složená fnkce. Vnitřek je lineární fnkce g() 5, g() 5. Obálka je goniometrická fnkce f(), kde 5. Derivace f () sin sin 5. h () Příklad 8 ) log 5sin 5 Tato fnkce je opět složená ze tří fnkcí. Vnitřek je kvadratická fnkce j (). j ( )

4 Prostředek je logaritmická fnkce g( ) log, kde. g ( ) ln0 ln0 Obálka je kvadratická fnkce f ( v) v, kde v f ( v) v log log. h () log ln0 4log ln0 8log. ln0 Příklad 9 cot g ) e Opět fnkce složená ze tří elementárních fnkcí. Vnitřek je kvadratická fnkce j (). j ( ) Prostředek je fnkce g ( ) cot g, kde. g ( ) sin sin v v cot g Obálka je fnkce f ( v) e, kde v cot g. f ( v) e e h () cot g e. sin Příklad 0 sin ) e Tomto typ já říkám fnkce na fnkci. Nejprve si tento příklad vyřešíme žitím tzv. logaritmické derivace, kdy typ fnkce na fnkci převedeme na typ e fnkce. (čeština teď, kokám, dostává pěkně zabrat) Jelikož pro každé přípstné a platí vztah a e ln a, můžeme fnkci ) zapsat ve tvar: ) sin sin ln e sin lne e e e Vnitřek g() je eponent, který se skládá ze sočin dvo fnkcí, z nichž jedna je navíc složená. Vyřešíme si nejdříve on složeno fnkci y lne. Její vnitřek je závorka, obálko je logaritmická fnkce. y e Teď derivjeme sočin sin lne. sin lne ln e sin lne sin e ln e Dostali jsme g ().

5 Obálka je eponenciální fnkce f() e, kde sin lne. f sin ln e e e e ln h () e ln e sin sin e ln e e sin e e sin. Výše vedený postp bde asi většině obyčejných smrtelníků připadat troch komplikovaný. Proto mám v rkáv ještě jeden, ovšem svůj vlastní a tedy nijak nepodložený. Nicméně zatím mě nikdá nezklamal. Tož tak! POZOR! ACHTUNG! WARNING! BEZ ZÁRUKY-- Mám-li typ fnkce na fnkci, postpj takto:. Fnkci derivj jako mocninno, za vnitřek považj základ mocniny.. Fnkci derivj jako eponenciální, za vnitřek považj eponent.. Obě derivace sečt. A teď konkrétně: Po sečtení dostan: () sin e e sin sin ln e e sin sin h e lne

6 Příklad h ( ) arcsin Typ fnkce na fnkci. Požij obě metody, tentokrát nejdřív t svo a potom oficiální.. h ( ) arcsin. h ( ) arcsin ln arcsin. h () 4 arcsin arcsin ln arcsin arcsin 4 arcsin ln arcsin Metoda logaritmické derivace: arcsin h ( ) e ln arcsin ( ) ln arcsin e Vnitřek g ln arcsin. g ln arcsin ln arcsin arcsin ln arcsin ln arcsin Obálka f e, kde ln arcsin ( arcsin f e e ) ln. 4 arcsin 4 h () ln arcsin ln arcsin e arcsin 4 ln arcsin arcsin arcsin Příklad (aneb jak já derivj složeno fnkci) a) ) ln Vnitřek je logaritms, obálka je kosins. První derivj obálk (s neznámo ln ), pak vnitřek (s neznámo ) a všechno rovno řadím za sebe do sočin. Derivace kosin je sins, derivace ln je /. h () sin ln sin ln b) ) e Vnitřek je mocninná fnkce v eponent, obálka je eponenciální fnkce. Nejdřív obálka, potom vnitřek.

7 e h () e c) h Fnkci si přepíš do tvar h. Vnitřek je kosins, obálka mocnina. sin h sin h d) h Fnkce na fnkci. Nejdřív si ji přepíš do tvar derivj po složkách a rovno sčítám. Pozn. Eponent zapíš ve tvar a derivj jako mocnin., potom h ln ln ln ln ln KONEC