27. června Abstrakt. druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. tangensu.) 1 x ln x. e x sin x. arcsin x. cos x.

Transkript

1 Základní elementární funkce Robert Mařík 7. června 00 ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Abstrakt V tomto dokumentu jsou uvedeny základní vlastnosti nejdůležitějších základních elementárních funkcí. (Triviální funkce, jako druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. kotangens, protože se nejdná o nic jiného než převrácené hodnota tangensu.) Page of

2 . Převrácená hodnota y = Dom( ) = R \ {0}, Im( ) = R \ {0}, průsečík s osou ani y není je funkce, která je prostá, není ohraničená ani monotonní, skládá se však ze dvou větví, z nichž každá je (sama o sobě) klesající. Funkce má svislou asymptotu = 0 a vodorovnou asymptotu y = 0. ( ) = = d = ln + C lim 0 + = lim 0 = lim = 0 lim = 0 Tato funkce je inverzní sama k sobě, tj. platí y = = y. ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Page of

3 . Přirozený logaritmus y = ln Dom(ln) = (0, ), Im(ln) = R, průsečík s osou : = ln je funkce, která je rostoucí, konkávní a prostá, má svislou asymptotu = 0 (ln ) = ln d = ln + C ln = 0, ln e =, ln e = pro všechna R ln(0+) = lim ln() = 0 + ln = lim ln() = Inverzní funkcí je eponenciální funkce y = e. Tedy y = ln e y =. ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Page of

4 . Eponenciální funkce y = e Dom(ep) = R, Im(ep) = (0, ), nemá průsečík s osou, průsečík s osou y je y = ep je funkce, která je rostoucí, ohraničená zdola a konvení. Má vodorovnou asymptotu y = 0 v (e ) = e e d = e + C e 0 =, e ln = pro všechna > 0 e = lim e = 0 e = lim e = Inverzní funkcí je funkce y = ln. Tedy y = e ln(y) =. ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Page of

5 . Sinus y = sin Dom(sin) = R, Im(sin) = [, ], sin je ohraničená, lichá, periodická funkce průsečíky s osou jsou čísla tvaru = k, kde k je libovolné celé číslo. (sin ) = cos sin d = cos + C 0 sin 0 lim sin neeistuje ± Funkce sin není prostá, je však prostá [ například na intervalu, ] a na tomto intervalu má inverzní funkci y = arcsin. Tedy y = sin arcsin y =. 5 0 ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Page 5 of

6 5. Arkussinus y = arcsin Dom(arcsin) [ = [, ], Im(arcsin) =, ] arcsin = arccos (arcsin ) = Inverzní funkcí k fucnki arcsin je funkce sin. Tedy y = arcsin sin y =. ln e sin arcsin cos arccos tg arctg arcsin je lichá, rostoucí a ohraničená funkce 0 arcsin 0 Page of

7 . Kosinus y = cos Dom(cos) = R, Im(cos) = [, ] Průsečíky s osou jsou čísla tvaru = + k, kde k je celé číslo. cos je ohraničená, sudá, periodická funkce. (cos) = sin cosd = sin + C 0 cos lim cos neeistuje ± Funkce cos je prostá pouze například na intervalu [0, ] a má zde inverzní funkci y = arccos. Tedy 0 y = cos arccosy =. 5 ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Page 7 of

8 7. Arkuskosinus y = arccos Dom(arccos) = [, ], Im(arccos) = [0, ] arccos = arcsin (arccos) = Funkce arccos je prostá a její inverze je y = cos. Tedy y = arccos cosy =. ln e sin arcsin cos arccos tg arctg arccos je klesající a ohraničená funkce 0 arccos 0 Page 8 of

9 8. Tangens y = tg Dom(tg) = R\{ +k ; k Z}, Im(tg) = R tg = sin cos průsečíky s osou jsou stejné jako u funkce sinus. 0 tg 0 undef. tg je lichá, -periodická funkce (tg ) = cos tg d = ln cos + C Funkce tg je prostá [ pouze například na intervalu, ] a má zde inverzní funkci y = arctg. Tedy y = tg arctg y =. ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Page 9 of

10 9. Arkustangens y = arctg Dom(arctg) = R, [ Im(arctg) =, ] průsečíkem s osou je bod = 0, protože arctg 0 = 0 arctg je rostoucí, prostá a ohraničená funkce arctg = lim arctg = arctg( ) = Funkce má vodorovnou asymptotu y = v + a y = v. (arctg ) = + Funkce arctg je prostá a její inverzní funkcí je funkce y = tg. Tedy y = arctg tg y =. 0 arctg 0 ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Page 0 of

11 0. ln + ln y = ln(y) ln ln y = ln y r ln = ln r sin( + ) = sin sin( ) = sin() sin() = sin cos sin = cos sin = cos() sin() = sin( ) e e y = e +y e e y = e y (e ) r = e r cos( + ) = cos cos( ) = cos() cos() = cos sin cos = sin cos = + cos() ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Page of Quit