Příklady k přednášce 24 Diskrétní řízení

Transkript

1 Příklady k přednášce 4 Diskrétní řízení Michael Šebek Automatické řízení

2 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Vezměme opět dvojitý integrátor vzorkovaný s periodou h h h xk ( + ) 0 xk + uk h a najděme stavovou zpětnou vazbu, která mu přiřadí požadovaný charakteristický polynom p ( z) z + pz+ p Řešení transformací souřadnic 0 Příklad Vzorkovaný dvojitý integrátor má charakteristický polynom det zi F z z z+ A jeho kanonický tvar řiditelnosti je xk ( + ) xk uk Zřejmě je a takže h 3h h 0.5 h C C h h 0 T CC h 0.5 h Michael Šebek ARI-4-0 cl

3 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad Porovnáním daného a požadovaného charakteristického polynomu det zi F z z z+ pcl ( z) z + pz + p0 Vychází stavová ZV v kanonických souřadnicích k p a p + k p a p K [ p p ] + 0 Konečně zpětnou transformací dostaneme K h 0.5 h + p+ p0 3+ p p0 KT [ p+ p0 ] h 0.5 h h h Michael Šebek ARI-4-0 3

4 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pro řešení Ackermannovým vzorcem si připravíme a p ( F) F pf p I cl h 3h h.5 h C h h h 0.5 h p+ p 0 Příklad jiné řešení + p + p h+ ph takže dostaneme stejný výsledek.5 p p0 h ph h h K [ 0 ] C pcl ( F) [ 0 ] h 0.5 h 0 p p p+ p0 3+ p p0 h h Michael Šebek ARI-4-0 4

5 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Deadbeat Stavový deadbeat pro dvojitý integrátor Pro soustavu h h x( k+ ) ( k) uk 0 x + h a požadovaný charakteristický polynom už máme obecně vypočteno pcl ( z) z + pz + p0 Takže jednoduše dosadíme p 0, p 0 0 s dostaneme 3 K h h K + p + p 3+ p p h h 0 0 Michael Šebek ARI-4-0 5

6 Automatické řízení - Kybernetika a robotika ověříme výsledek a pro zajímavost vypočteme signály Příklad: Deadbeat h h 3 h 4 Fnew F GK 0 h h h h z h 4 zi F new h z+ det ( zi Fnew ) z 3 x0 x0 3x0 u(0) Kx(0) h h x 0 h h 3 x0 + hx0 4 x0 x0 u() Kx() h h x0 h x0 + h h x0 3 0 x(0) x u() Kx() 0 h h 0 0 h 4 x0 x0 + hx0 4 x() Fnewx(0) h x x h x x() F x() h 4 x + hx new h x0 h x0 - s klesajícím h vstupy rostou všechny signály - trvají jen kroky Michael Šebek ARI-4-0 6

7 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stejný výsledek dostaneme pomocí z-transformace z h 4 x0 ( new ) h z+ x 0 Příklad Deadbeat x( z) z zi F x(0) z z+ h 4 x 0 x h 4 x z + h z x 0 0 x 0 z h x 0 x0 x0 + hx0 4 x0 + ( x0 + hx0 4) z x + 0 z x0 h x0 x0 ( x0 h+ x0 ) z x0 x0 + hx0 4 0 z z x + 0 x0 h x x0 x0 + hx0 4 0 u( z) Kx( z) z z h h x + 0 x0 h x x0 3x0 x0 x0 + + z + 0z + h h h h Michael Šebek ARI-4-0 7

8 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Simulace diskrétní soustava model AW_Deadbeat.mdl h, x(0), x(0) uk x ( k) x ( k) Michael Šebek ARI-4-0 8

9 Automatické řízení - Kybernetika a robotika model AW_Deadbeat.mdl Simulace spojitá soustava x (0), x (0), h 0.5,, x ( k) x ( k) uk h 0.5 h h Michael Šebek ARI-4-0 9

10 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Diskrétní pozorovatel Vezměme opět dvojitý integrátor vzorkovaný s periodou h h x h ( k+ ) ( k) + uk, yk [ 0 ] ( k) 0 x h x a najděme matici pozorovatele takového, aby dynamika odhadu stavu měla charakteristický polynom Řešení naivní (pro. řád OK) Dynamika pozorování (odhadu stavu) se řídí maticí h l l h Fpoz F LH [ 0] 0 l l Tato matice má charakteristický polynom p z z + pz+ p poz 0 ( ) pz z + l z l+ lh+ Porovnáním koeficientů s požadovaným char. polynomem dostáváme rovnice l p, které mají řešení l + p l+ lh + p0 ( + + 0) l p p h Michael Šebek ARI

11 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Diskrétní pozorovatel jiné řešení Pro řešení duálním Ackermannovým vzorcem si připravíme 0 0 O h,o h h a + p + p0 h+ ph ppoz ( F) F + pf+ p0i 0 + p+ p 0 Potom dostaneme stejný výsledek L p 0 p p h ph ( F) O + p + p h h 0 poz p ( p p) h + + Pro kontrolu ještě ověříme F poz p h, ( + p+ p0) h I F det( z poz ) z + pz + p0 ppoz ( z) Michael Šebek ARI-4-0

12 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Deadbeat pozorovatel uvažme opět dvojitý integrátor vzorkovaný s periodou h x h h ( k+ ), [ 0 ] 0 k + uk yk k x h x V minulém příkladu jsme odvodili, že pozorovatel s maticí stavové injekce + p L ( + p+ p) h Odhaduje stavy soustavy s dynamikou danou obecným charakteristickým polynomem ppoz ( z) z + pz + p0 Tento obecný pozorovatel přejde na deadbeat dosazením p p Má tedy matici injekce 0 0 L h Michael Šebek ARI-4-0

13 Simulace diskrétní soustava Automatické řízení - Kybernetika a robotika AW_Observer_Deadbeat.mdl x (0), x (0) xˆ (0) x (0) 0 x ( k) xˆ ( k) x ( k) xˆ ( k) Michael Šebek ARI-4-0 3

14 Simulace spojitá soustava Automatické řízení - Kybernetika a robotika x (0), x (0) xˆ (0) x (0) 0 h 0.5 AW_Observer_Deadbeat.mdl x ( k) xˆ ( k) x ( k) xˆ ( k) Michael Šebek ARI-4-0 4

15 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: výstupní ZV typu deadbeat V modelu AW_Observer_SSZV_Deadbeat.mdl jsme spojili soustavu vzorkovaný dvojitý integrátor deadbeat stavovou ZV a deadbeat pozorovatel Simulaci provádíme pro hodnoty x (0), x (0) xˆ (0) x (0) 0 Michael Šebek ARI-4-0 5

16 Příklad: výstupní ZV typu deadbeat Automatické řízení - Kybernetika a robotika x( k) yk x ( k) x k ˆ xˆ diskrétní soustava ( k) i regulátor Regulační pochod trvá 4 kroky, z toho kroky trvá odhad stavu a pak kroky regulace Soustava je řádu, regulátor také Počínaje 4: krokem je vše v klidu uk Michael Šebek ARI-4-0 6

17 Příklad: výstupní ZV typu deadbeat Automatické řízení - Kybernetika a robotika x( k) yk x ( k) xˆ ( k) xˆ ( k) spojitá soustava (dva integrátory) a diskrétní regulátor Regulační pochod trvá 4 kroky Z toho kroky trvá odhad stavu pak se v okamžicích vzorkování stavy přesně rovnají a pak kroky regulace Soustava je řádu, regulátor také Počínaje 4. krokem je vše v klidu i mezi okamžiky vzorkování! uk Michael Šebek ARI-4-0 7

18 Nepovinné: Luenbergerův redukovaný pozorovatel Automatické řízení - Kybernetika a robotika Právě probraný pozorovatel s rovnicí xˆ( k+ ) Fxˆ( k) + Guk + L( yk yk ˆ) obsahuje zbytečné zpoždění, neboť jeho stav xk ˆ v čase k závisí jen na měřeních do času k- Vůbec nevyužívá znalosti výstupu v čase k, který je k dispozici Protože lze výstup přímo měřit (a považovat za jednu ze stavových veličin), stačí vlastně odhadovat o stav méně Je tedy výhodnější pozorovatel s rovnicí xˆ( k) Fxˆ( k ) + Guk ( ) + L yk H( Fx( k ) + Guk ) ( I KH)( Fxˆ( k ) + Guk ( ) ) + Lyk Pro jeho chybu odhadu platí x ( k) ( F LHF) x ( k ) Fx ( k) a volbou matice L opět můžeme nastavit libovolná vlastní čísla Dále yk Hxˆ ( k) Hxk ( I LH) x ( k) a pokud vybereme L tak, že I LH 0 je výstup odhadován bez chyby a můžeme eliminovat jednu rovnici! Tento redukovaný pozorovatel neobsahuje model soust. Michael Šebek ARI-4-0 8

19 Příklad Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pro vzorkovaný dvojitý integrátor s periodou h x h h ( k+ ) ( k) uk, yk [ 0 ] ( k) 0 + x h x Má tento pozorovatel rovnici obecně rovnici l h( l) ( l ) h l xˆ( k) ˆ( k ) uk yk l hl x + + h( hl ) l Volbou l je a první rovnice přechází na ˆ 0 I LC 0 x ( k) yk A redukovaný pozorovatel má rovnici xˆ ( k) ( hl ) xˆ ( k ) + l y( k) y( k ) + h hl u( k ) l Výběrem nastavíme libovolné vlastní číslo: Např. volba l h dává odhad typu deadbeat Michael Šebek ARI-4-0 9

20 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: redukovaný deadbeat Pro l 0, l h máme redukovaný pozorovatel typu deadbeat xˆ ( k) hy( k) hy( k ) + h u( k) Což je systém prvního řádu, který můžeme realizovat s jedním zpožděním třeba jako xˆ ( z) hy( z) + z ( h u( z) hy( z) ) Přitom první stav soustavy x ( k) vůbec neodhadujeme, neboť je přímo roven výstupu x ˆ ( k) y( k) x( k) a tedy ho měříme Simulací na modelu AW_Observer_Reduced.mdl ověříme, že druhý stav je odhadnut přesně po jednom kroku xˆ ( k) x ( k) Michael Šebek ARI-4-0 0

21 Příklad: redukovaný pozorovatel + stavová ZV Automatické řízení - Kybernetika a robotika Konečně spojením redukovaného pozorovatele se stavovou ZV dostaneme výstupní regulátor. řádu typu deadbeat viz AW_Observer_Reduced_and_SSFB.mdl yk x( k) vše je hotovo za 3 kroky x ( k) xˆ ( k ) uk Michael Šebek ARI-4-0

22 Příklad: redukovaný pozorovatel + stavová ZV Automatické řízení - Kybernetika a robotika A ještě jednou totéž pro spojitou soustavu opět AW_Observer_Reduced_and_SSFB.mdl yk x( k) x ( k) xˆ ( k) vše je hotovo za 3 kroky uk Michael Šebek ARI-4-0

23 Umístění pólů polynomiálně: příklad řešený v z Automatické řízení - Kybernetika a robotika Polynomiální řešení v z regulátor q p soustava b a Je stejné, jako spojité řešení v s Pro danou soustavu bz az a danou poloho pólů, vyjádřenou CL charakter. polynomem cz Vyřešíme azpz + bzqz cz a dostaneme qz pz Příklad Ukážeme rovnou na příkladu orientace satelitu (dvojitý integrátor) h h bz h z+ x( k+ ) ( k) uk 0 x + h az ( z) yk [ 0 ] x( k) az ( z ), bz h z+ Konečně budeme přiřazovat obecný charakteristický polynom 3 stupně 3 (proč?) c( z) z + cz + cz+ c 0 u y Michael Šebek ARI-4-0 3

24 Umístění pólů: příklad řešený v z Automatické řízení - Kybernetika a robotika Budeme tedy řešit polynomiální rovnici ( z ) pz + h z+ qz z + cz + cz+ c 3 0 po chvíli počítání dostaneme ( 0 ) pz z+ c c+ c+ 3 4 q( z) z 3c + c c + 5 ( h ) + c + c + 3c 3 ( h ) 0 0 Takže požadovanou polohu CL pólů zajistí regulátor s přenosem qz 3c + c c + 5 z c + c + 3c 3 pz h z c c c Michael Šebek ARI-4-0 4

25 Umístění pólů: příklad řešený v z Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pro h 0. je bz z + az z z+ Volbou spojitých pólů s.8 ± j0.5, s 3 5 Vycházejí diskrétní póly z ± j0.047, z , 3 A z toho je cz z z z Řešením rovnice dostáváme qz 5.398z4.49 pz z >> h0.;a(z-)^;b/*h^*(+z); >> c(z-exp((-.8-j*0.5)*h))*... (z-exp((-.8+j*0.5)*h))*... (z-exp((-5)*h)); >> [p,q]axbyc(a,b,c) >> gainvalue(b*q/c,); >> gainsszvvalue(b*p/c,); p z, q z >> a,b,c a -z+z^, b z c z-.750z^+z^3 >> ass^;bs; >> cs(s-(-.8-j*0.5))*... (s-(-.8+j*0.5))*(s+5); >> [ps,qs]axbyc(as,bs,cs); >> as,bs,cs,ps,qs >> gainsvalue(bs*qs/cs,0); as s^ bs cs 7 + s + 8.6s^ + s^3 ps s qs 7 + s Michael Šebek ARI pro srovnání spojitý návrh

26 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad - simulace Model SatelliteDiscretePol.mdl + všechny polynomy v Matlabu diskrétní soustava uk yk spojitá soustava y y diskretni spojity _ regulator ( k) _ regulator ( k) uk uk Michael Šebek ARI-4-0 6

27 Umístění pólů: příklad řešený v z - Automatické řízení - Kybernetika a robotika Řešení v je podobné. Pro a ( z + ) bz z az z z+ z ( + z ) z + z cz z.75z z 0.43 z.75z z 0.43z >> h0.;a(z-)^; >> b/*h^*(+z); >>c(z-exp((-.8-j*0.5)*h))*... (z-exp((-.8+j*0.5)*h))*... (z-exp((-5)*h)); >> azia*z^-;bzib*z^-; >> czic*z^-3; >>[pzi,qzi]axbyc(azi,bzi,czi); >> pzi,qzi pzi z^- qzi 5-4z^- dostaneme rovnici s řešením qz z pz 0.359z ( z + z ) pz z qz.75z z 0.43z 3 Michael Šebek ARI-4-0 7

28 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Deadbeat jako zvláštní přiřazení pólů zvláštním případem přiřazení pólů je u diskr. systémů deadbeat, m kdy volíme cz z, kde m řád soustavy Výstupní regulátor typu deadbeat najdeme řešením rovnice m azpz + bzqz z Z nichž vybereme řešení minimálního stupně ve q Ve výsledném systému odezní každý počáteční stav (soustavy i regulátoru) za konečný počet kroků, a to nejpozději v kroku m Příklad Deadbeat regulátor pro orientaci satelitu (dvojitý integrátor) dostaneme řešením rovnice 3 ( z ) pz + h ( z+ ) qz z Výsledný regulátor má přenos (který snadno qz 5z 3 dostaneme dosazením do minulého příkladu) pz h 4z+ 3 Michael Šebek ARI-4-0 8

29 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pro h je bz 0.5( z + ) az z z+ Volíme cz z 3 Deadbeat regulátor: příklad řešený v z A sestavíme rovnici ( z z+ ) pz + 0.5( z+ ) qz z Řešením rovnice dostáváme qz.5z.5 pz z Model SatelliteDiscretePol.mdl + všechny polynomy připraveny v Matlabu >> ass^;bs;h;a(z-)^; b/*h^*(+z); cz^3; >> [p,q]axbyc(a,b,c); >> gain value(b*q/c,); >> gainsszvvalue(b*p/c,); >> [ps,qs]axbyc(as,bs,(s+00)^3); >> a,b,p,q a - z + z^ b z p z q z Michael Šebek ARI-4-0 9

30 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad - simulace Model SatelliteDiscretePol.mdl + všechny polynomy v Matlabu diskrétní soustava uk yk spojitá soustava uk y diskretni _ regulator ( k) Michael Šebek ARI

31 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Ještě porovnáme různé struktury Klasické řízení odchylkou a řízení typu SSZV+pozorovatel 3 Obě struktury mají stejný CL charakteristický polynom cz z a tedy stejné odezvy na nenulové pp. Mají ale různé přenosy (s různými nulami) bzpz k bzqz azpz + bzqz azpz + bzqz 0.5 z z+ k 3.5( z 0.6)( z+ ) z 3 z k a tedy různé odezvy na externí signály b() p() 0.75 Michael Šebek ARI-4-0 3

32 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Simulace: různé struktury Model SatelliteDiscretePol.mdl + všechny polynomy v Matlabu Výstup diskrétní soustavy Řízení odchylkou SS ZV + poz >> gainsszvvalue(b*p/c,) gainsszv.7500 Řízení odchylkou Výstup spojité soustavy Řízení odchylkou SS ZV + poz vstup SS ZV + poz Michael Šebek ARI-4-0 3

33 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Připomeňme, že pro soustavu Jsme výše řešením rovnice Navrhli deadbeat regulátor Nyní provedeme totéž v Soustavu převedeme na Řešíme rovnici Deadbeat regulátor: příklad řešený v z - ( z z+ ) pz z+ qz z 3 ( z + z ) bz 0.5 az z + z ( z + z ) pz ( ) + 0.5( z + z ) qz ( ) A dostaneme qz.5.5z pz z z qz.5z.5 pz z >> h;a(z-)^;... b/*h^*(+z); >> azia*z^-;bzib*z^-; >> [pzi,qzi]axbyc(azi,bzi,); >> azi,bzi,czi,pzi,qzi azi z^- - z^- + bzi 0.5z^ z^- >> azi,bzi,pzi,qzi azi z^- - z^- + bzi 0.5z^ z^- pzi z^- qzi.5 -.5z^- Michael Šebek ARI

34 Příklad: silná a slabá verze Automatické řízení - Kybernetika a robotika Přenos spojité bs () soustavy a() s s vzorkujeme s periodou Protože systém má nuly, faktorizujeme + 4 b d 6d, b d Pozor: nuly ve d z - Z rovnic ax + b q p xb + vypočteme slabou verzi A z rovnice ax + bq verzi silnou s + ( s + 0) h 0. bd 0.005d d d 3 a( d) 3d + 3d 0.99d 3 qweak ( d) 4.4.7d d 0 p ( d) d 6d weak qstrong ( d) 3 9 9d 8d 0 p ( d ) d + 56d strong Pro úsporu místa tu používáme d z - >> as^*(s+0);bs+; >> h0.; >> gzsdf(cd(ss(b/a),h)); >> gdreverse(gz);gd.vd;gd 0.005d d^ d^3 gd d + 3d^ d^3 >> adgd.den;bdgd.num; >> rts roots(bd); >> rts_minus rts(abs(rts)<); >> rts_plus rts(abs(rts)>); >> b_minus rootpol({rts_minus},'d'); >> b_minus.hh; b_plus bd/b_minus; >> rts',b_minus,b_plus ans b_minus d b_plus d-0.006d^ >>[x,q_weak] axbyc(ad,b_minus,,'minx'); >> p_weak b_plus*x,q_weak q_weak.4 -.7d d^ p_weak d d^ >> [p_strong,q_strong] axbyc(ad,bd,) p_strong + 75d + 56d^ q_strong -.9e e+004d - 8e+003d^ Michael Šebek ARI

35 Příklad: simulace Automatické řízení - Kybernetika a robotika Model DB_strong_weak.mdl (vše připraveno kódem z minulé str.) uweak ( k) yweak () t yweak ( k) ustrong ( k) ystrong ystrong ( k) () t Michael Šebek ARI

36 Příklad DOF regulátor Automatické řízení - Kybernetika a robotika pro soustavu zvolíme a řešíme rovnici h ( z ) z+ p + z + q z+ q z + cz z d + c + 0 a dostaneme konečně takže bz h z+ az ( z) c z z c z c c z z d c + + 0, o ( ) ( ) p( z) cd + 3 cd c + d + c 4+ z q( z) 3cd 3+ cd + c d c h + z cd + 5+ cd + c + 3d + 3c h ( ) t + c + c h 0 0 rz + c+ c d+ z h 0 0 >> syms z h c0 c d0 >> ccz^+c*z+c0;coz+d0; a(z-)^;bh^/*(z+); >> [p,q]saxbyc(a,b,cc*co,z) p /4*c0*d0+3/4-/4*c*d0- /4*c0+/4*d0+/4*c+z q /*(3*c0*d0-3+c*d0+c0-d0- c)/h^+/*(5+3*d0+3*c- c0*d0+c*d0+c0)/h^*z >> tsubs(cc/b,z,) t (+c+c0)/h^ >> rt*co r (+c+c0)/h^*(z+d0) >> h; >> ccz^;coz; >> a(z-)^;bh^/*(z+); >> [p,q]axbyc(a,b,cc*co); >> tvalue(cc/b,); >> rt*co; p,q,t,r p z q z t r z Michael Šebek ARI

37 Simulace: DOF Automatické řízení - Kybernetika a robotika Model DOF.mdl y DOF ( k) y DOF () t y DOF ( k) y DOF () t u DOF ( k) u DOF ( k) Michael Šebek ARI

38 Příklad: Deadbeat sledování rampy Automatické řízení - Kybernetika a robotika Soustava bs () as () s Deadbeat mz ( ) Generátor rampa f( z ) f ( z ) ( z ) Rovnice (jsou stejné, protože a f ) regulátor h 0.5 bz 0.3 az z ( z + z ) ( ) + + ( z ) pz 0.3 z z qz + + ( z ) tz 0.3 z z rz >> h0.5; m;f(-zi)^; >> a(-zi)^;bh^/*(zi+)*zi; >> [p,q]axbyc(a,b,m); >> [t,r]axbyc(f,b,m); >> p,q,t,r p z^- q 0-6z^- t z^- r 0-6z^- pz qz t z z 0 6z z rz 0 6z 0 6z 0 6z u( z ) y( z ) y ( z ) e z z z z + ( r Michael Šebek ARI )

39 Příklad: Deadbeat sledování rampy Automatické řízení - Kybernetika a robotika Model DBtracking.mdl y () t r y () t r yk ut () uk yt () et () Michael Šebek ARI

40 Příklad: Deadbeat sledování rampy Automatické řízení - Kybernetika a robotika Model DBtracking.mdl y () t r ut () uk yk y () t r et () yt () Michael Šebek ARI

41 Příklad: sledování schodů a sinu Automatické řízení - Kybernetika a robotika Model DBtracking.mdl Není naladěno na sinus y () t r yt () y () t r yt () ut () uk ut () uk Michael Šebek ARI-4-0 4

42 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Soustava bs () as () s Deadbeat mz ( ) Generátor paraboly Rovnice Regulátor DOF h 0.5 Příklad: Deadbeat sledování paraboly bz 0.3 az z ( z + z ) ( ) f( z ) f ( z ) ( z ) 3 ( z ) pz z + z qz 3 ( z ) tz z + z rz 0 6z 7 0z + 7z uz yz + y r z z z >> h0.5; m;f(-zi)^3; >> a(-zi)^;bh^/*(zi+)*zi; >> [p,q]axbyc(a,b,m); >> [t,r]axbyc(f,b,m); >> p,q,t,r p z^- q 0-6z^- t z^- r 7-0z^- + 7z^- Sleduje za konečný počet kroků parabolu, ale za cenu nenulového konstantního vstupu, neboť f nedělí a Výsledný systém lépe sleduje obecné signály Michael Šebek ARI pz qz tz rz z 0 6z z 7 0z + 7z

43 Příklad: sledování rampy a sinu Automatické řízení - Kybernetika a robotika Model DBtracking.mdl y () t r yt () y () t r yt () ut () uk ut () uk Michael Šebek ARI