zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, napájen do kotvy, indukčnost zanedbáme.

Transkript

1 Teorie řízení 004 str. / 30 PŘÍKLAD zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, naájen do kotvy, indukčnost zanedbáme. E ce ω a) Odvoďte řenosovou funkci F(): F( ) ω( )/ u( ) b) Určete řád soustavy a odůvodněte fyzikálně( z energií) c) Vyočtete ustálenou rychlost ro U 30V d) Vyočtete odezvu na jednotkový skok Řešení: a) Odvoďte řenosovou funkci F(): Nejrve je stejnosměrný motor třeba osat omocí diferenciální rovnicí: u( t) R i( t) + Ce ω( t) dω( t) C e i( t) J + M z dt V našem říadě budeme ovažovat motor bez zátěže (M z 0) a z druhé rovnice si vyjádříme i (t) a dosadíme do rvní rovnice: J dω( t) i( t) Ce dt J dω( t) u( t) R + Ce ω( t) Ce dt Tuto rovnici řevedeme na Lalaceův obraz a uravíme do řenosové funkce: J u( ) R ω( ) + Ce ω( ) Ce J u ( ) ω ( ) R + C e Ce ω( ) Ce Ce K F( ) u( ) J J R + Ce R + τ + C C C e e e J Kde K je zesílení řenosu a τ R je časová konstanta řenosu C e C e b) Určete řád soustavy a odůvodněte fyzikálně( z energií) Rovnice je rovnicí rvního řádu (oerátorový řenos obsahuje jako nejvyšší mocninu oerátoru l, v diferenciálních rovnicích je ouze l derivace a obvod má ouze jeden akumulátor energie J).

2 Teorie řízení 004 str. / 30 c) Vyočtete ustálenou rychlost ro U 30V Proto, abychom určily ustálenou rychlost musíme vyočítat diferenciální rovnici: J dω( t) u( t) R + Ce ω( t) Ce dt Při řešení této metody oužijeme oerátorový očet - Lalaceovu trannsformaci. Řešení této rovnice vyšlo: C e. t C t RJ e τ Ce ω() t u() t e u() t e R J R J d) Vyočtete odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je řechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vyočítá: Lalaceův obraz jednotkového skoku je: L[ u( t) ] U ( ) Odezva na jednotkový skok je v oerátorovém tvaru: H( ) F( ) U( ) F( ) K F( ) τ + K K K H( ) τ + τ + ( τ + ) Časový růběh odezvy získáme inverzní Lalaceovou transformací: ht () L H( ) { } K ht () L ( τ + ) h ( t)...

3 Teorie řízení 004 str. 3 / 30 PŘÍKLAD zadání: Budící vinutí je naájeno z ideálního zdroje naětí. a) Odvoďte diferenciální rovnici b) Odvoďte řenosovou funkci c) Ustálený roud ři U 35 V d) Odezva na jednotkový skok naětí řešení: a) Odvoďte diferenciální rovnici Nejrve je otřeba osat zadané schéma omocí diferenciální rovnice. Naětí na odoru vyjádříme z Ohmova zákona, naětí na cívce se vyjádří ze vztahu: di( t) u( t) L dt Výsledný diferenciální rovnice bude mít vztah: di() t ut () Rit () + L dt b) Odvoďte řenosovou funkci Přenos je obecně definován jako oměr obrazu výstuu k obrazu vstuu. V našem říadě je vstu do systému naětí na svorkách a výstu je roud v obvodu. Diferenciální rovnici řevedeme na Lalaceouv obraz: U ( ) R I( ) + L I( ) oté určíme oerátorový řenos: I( ) F( ) U( ) R+ L c) Ustálený roud ři U 35 V Ustálený roud i v našem říadě vyočítáme z Ohmova zákona jako roud tekoucí řes odor R, rotože derivace di() t roudu je nulové (roud se nemění) a tedy člen L je nulový. dt d) Odezva na jednotkový skok naětí Odezva na jednotkový skok je řechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vyočítá: Lalaceův obraz jednotkového skoku je: L[ u( t) ] U ( ) Odezva na jednotkový skok je v oerátorovém tvaru:

4 Teorie řízení 004 str. 4 / 30 H( ) F( ) U( ) F( ) F( ) R+ L H( ) R+ L H( ) R ( + L) Časový růběh odezvy získáme inverzní Lalaceovou transformací: ht () L H( ) { } ht () L R ( + L ) ht () L L L R R R R ( + ) + L L R t L ht () e R R

5 Teorie řízení 004 str. 5 / 30 PŘÍKLAD 3 zadání: Mějme: a) Odvoďte řenosovou funkci b) Odezvu na jednotkový skok c) Načrtněte amlitudovou frekvenční charakteristiku d) Odhadněte ásmo frekvenční roustnosti. řešení: a) Odvoďte řenosovou funkci U zaojení s oeračním zesilovačem je dána řenosová funkce jako odíl Lalaceova obrazu imedance ve zětné vazbě oeračního zesilovače ke obrazu imedanci řed zesilovačem. R R C C R C R Z( ) R C+ R C R C R C C C R Z( ) R C+ R F( ) Z ( ) R R + C R Podíl R / R je zesilovací konstanta regulátoru, a označíme ji jako konstantu K a máme: R K R a součin R C je časová konstanta regulátoru, a označíme jí jako konstantu τ : a máme: τ R C Přenosová funkce má o těchto úravách odobu: K F( ) + τ b) Odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je řechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vyočítá: Lalaceův obraz jednotkového skoku je: L[ u( t) ] U ( ) Odezva na jednotkový skok je v oerátorovém tvaru:

6 Teorie řízení 004 str. 6 / 30 H( ) F( ) U( ) F( ) K F( ) + τ K K H( ) + τ ( + τ) Časový růběh odezvy získáme inverzní Lalaceovou transformací: ht () L H( ) { } t K K K R R τ ht () L L K K e e ( τ ) + + R R τ c) Načrtněte amlitudovou frekvenční charakteristiku t R C d) Odhadněte ásmo frekvenční roustnosti. Pásmo frekvenční roustnosti je definováno jako frekvence, ři které oklesne amlituda výstuního sinusového signálu vzhledem ke vstunímu signálu o 3 db. V našem říadě vychází jako ásmo frekvenční roustnosti ω M τ

7 Teorie řízení 004 str. 7 / 30 PŘÍKLAD 4 zadání: Přenos uzavřené smyčky je : + 0,58 + 0,58 F ( ) F 3 ( ) + 0,3 +, , 0,3,4 0, a) Vyšetřete stabilitu omocí Routh-Hurwitzova kriteria stability b) Vyšetřete stabilitu omocí kořenového kriteria (kořenové rovnice) c) Nakreslete frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky d) Určete odezvu na jednotkový skok e) Určete řád soustavy řešení: a) Vyšetřete stabilitu omocí Routh-Hurwitzova kriteria stability Charakteristická rovnice řenosu je jmenovatel řenosové funkce: ,3 +,4 + 0, 0 0,3,4 0, 0 Nejrve si sestavíme determinant 3 an an 0 a a a 0 0 a 3 n 3 n n a vyočítáme: n 3, 4 0, 0 3 0,3,4 0,3> Dále si sestavíme determinant a a n a a n n 3 n an an 0 a a a 0 0 a 3 n 3 n n n 3, 4 0, 0 3 0,3,4 0,5> a a n a a n n 3 n a vyočítáme:, 4 0,, 4 0, 0,3 > 0 0,3 0,5 > 0 0,3 Nakonec si stanovíme determinant an an a vyočítáme:, 4 > 0, 4 < 0 všechny determinanty větší než nula determinant je záorný stabilní nestabilní b) Vyšetřete stabilitu omocí kořenového kriteria (kořenové rovnice) Řešíme rovnice: ,3 +,4 + 0, 0 0,3,4 0, 0 Řešení rovnice: x 0,08 + 0,846i x x 3 0,08 0,846i 3,83 reálná část kořenů je záorná, systém je stabilní x + 0,7846 x x 3 3,7846 kořeny jsou různé, nejsou komlexní nestabilní

8 Teorie řízení 004 str. 8 / 30 c) Nakreslete frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky a) b) d) Určete odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je řechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vyočítá: Lalaceův obraz jednotkového skoku je: L[ u( t) ] U ( ) Odezva na jednotkový skok je v oerátorovém tvaru: H( ) F( ) U( ) F( ) + 0,58 + 0,58 F( ) F( ) 3 + 0,3 +, , 0,3,4 0, + 0,58 + 0,58 H( ) H( ) ,3+,4 + 0, 0,3,4 0, + 0,58 + 0,58 H( ) H( ) 0,3,4 0, 3 3 0,3 0,4 0, ( ) ( ) Časový růběh odezvy získáme inverzní Lalaceovou transformací: ht () L H( ) ht () L { } + 0,58 ht () 3 3 ( + 0,3+,4 + 0, ) ( 0,3 0,4 0, ) h ( t)... h ( t) L + 0,58 e) Určete řád soustavy Rovnice je rovnicí třetího řádu Rovnice je rovnicí třetího řádu

9 Teorie řízení 004 str. 9 / 30 PŘÍKLAD 5 zadání: Je dána soustava: + H( ) 0, + 8 F ( ) F ( ) + 0,05 + a) Odvoďte řenos soustavy b) Odvoďte řenos otevřené smyčky c) Odvoďte řenos uzavřené smyčky d) Určete ty regulované soustavy( určete z otevřené smyčky) e) Pomocí asymtot nakreslete amlitudovou frekvenční charakteristiku otevřené smyčky f) Pomocí asymtot nakreslete amlitudovou frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky řešení: a) Odvoďte řenos soustavy soustava je složena z rvků F () a F (). Přenos soustavy vyočteme jako součin obou částí soustavy: 8 6 F s ( ) F ( ) F ( ) + 0,05 + 0, ,05 b) Odvoďte řenos otevřené smyčky ( + ) F ( ) o ( ) ( ) 0, ,05 0, + 0, ,05 0, + 6 ( + ) 3 0,0 + 0,5 +, + 0,05 c) Odvoďte řenos uzavřené smyčky 6 ( + ) Fo ( ) 0,0 + 0,5 +, + 0,05 0,0 + 0,5 +, + 0,05 FW ( ) 3 + F ( ) 6 ( ) o + + 0, 0 + 0, 5 +, + 0, ,0 3 0,5, 0, ,0 + 0,5 +, + 0, , 0 + 0, 5 +, + 0, , 0 0, 5, 0, 05 0, 0 0, 5 7, 3, , 0 + 0, 5 + 7,+ 3, 05

10 Teorie řízení 004 str. 0 / 30 d) Určete ty regulované soustavy( určete z otevřené smyčky) Ty regulované soustavy určíme z řenosu soustavy. Přenos soustavy lze obecně zasat jako: K F ( ) T + T + což odovídá kmitavému článku. e) Pomocí asymtot nakreslete amlitudovou frekvenční charakteristiku otevřené smyčky f) Pomocí asymtot nakreslete amlitudovou frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky

11 Teorie řízení 004 str. / 30 PŘÍKLAD 6 zadání: Je dána diskrétní soustava: G(z) a) Určete stabilitu b) Přenos soustavy 0,37z + 0, 4 Gz ( ) ( z 0,37)( z ) řešení: a) Určete stabilitu Nejrve musíme vyočítat řenos uzavřené smyčky. Ten se vyočítá ze vzorce: Gz ( ) GW ( ) + Gz ( ) Do tohoto vzorce dosadíme nám zadaný řenos G (z) a matematicky uravíme: 0,37z+ 0, 4 0,37z+ 0, 4 ( z 0,37)( z ) ( z 0,37)( z ) GW ( z) 0,37z+ 0, 4 ( z 0,37)( z ) + (0,37z+ 0, 4) + ( z 0,37)( z ) ( z 0,37)( z ) 0,37z + 0, 4 ( z 0,37)( z ) 0,37z+ 0, 4 ( z 0,37)( z ) z z 0,37z+ 0,37 + 0,37z+ 0, 4 ( z 0,37)( z ) z z+ 0,6 ( z 0,37)( z ) 0,37z + 0, 4 z z+ 0,6 b) Přenos soustavy Stabilitu budeme vyšetřovat omocí rozložení ólů získaných z charakteristické rovnice Rovnice z z+ 0,6 je charakteristikou rovnicí systému. Z této rovnice vyjádříme kořeny z (řešení kvadratické rovnice). z z+ 0,6 0 V našem říadě vyjdou kořeny z 0,5 ± 0,6i. Jelikož oba kořeny leží uvnitř jednotkové kružnice, systém je stabilní

12 Teorie řízení 004 str. / 30 PŘÍKLAD 7 zadání: Je dána sojitá soustava: F ( ) 0, + 0,8 + a) Vyšetřete stabilitu uzavřené smyčky b) Vyšetřete stabilitu otevřené smyčky c) Pomocí asymtot nakreslete amlitudovou frekvenční charakteristiku otevřené smyčky d) Pomocí asymtot nakreslete amlitudovou frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky řešení: a) Vyšetřete stabilitu uzavřené smyčky Nejrve musíme vyočítat řenos uzavřené smyčky. Ten se vyočítá ze vzorce: F( ) FW ( ) + F ( ) Do tohoto vzorce dosadíme nám zadaný řenos F () a matematicky uravíme: 0, + 0,8 + 0, + 0,8 + 0, + 0,8 + FW ( ) + 0, + 0, , + 0,8 + 0, 0, , + 0,8 + 0, + 0,8 + 0, + 0,8+ 0, + 0,8 + 0, + 0,8 + 0, + 0,8 + Stabilitu budeme vyšetřovat omocí rozložení ólů získaných z charakteristické rovnice. Přenosovou funkci uravíme do takového tvaru, aby u nejvyšší mocniny byla l. 0 0 F( ) 0, + 0, Rovnice je charakteristikou rovnicí systému. Z této rovnice vyjádříme kořeny (řešení kvadratické rovnice) V našem říadě vyjdou kořeny -4 ± i. Jelikož oba kořeny mají záornou reálnou část, systém je stabilní. b) Vyšetřete stabilitu otevřené smyčky Stabilitu budeme vyšetřovat omocí rozložení ólů získaných z charakteristické rovnice. Přenosovou funkci uravíme do takového tvaru, aby u nejvyšší mocniny byla l. FW ( ) 0, + 0,8 + 0 Rovnice 0, + 0,8 + 0 je charakteristikou rovnicí systému.

13 Teorie řízení 004 str. 3 / 30 Z této rovnice vyjádříme kořeny (řešení kvadratické rovnice). V našem říadě vyjdou kořeny 4 + 9,65j 4 + 9,65j Jelikož oba kořeny mají záornou reálnou část, systém je stabilní. 0, 0, c) Pomocí asymtot nakreslete amlitudovou frekvenční charakteristiku otevřené smyčky d) Pomocí asymtot nakreslete amlitudovou frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky

14 Teorie řízení 004 str. 4 / 30 PŘÍKLAD 8 zadání: Navrhněte regulátor : 8 F + 0,05 F a) Přenos soustavy b) Navrhněte regulátor H() c) Přenos otevřené smyčky d) Přenos uzavřené smyčky e) Zkontroluje stabilitu uzavřené a otevřené smyčky f) Načrtněte amlitudovou frekvenční charakteristiku otevřené smyčky omocí asymtot g) Načrtněte amlitudovou frekvenční charakteristiku uzavřené smyčky omocí asymtot h) Vyočtete odezvu na jednotkový skok i) Ty soustavy j) Řád soustavy řešení: a) Přenos soustavy Soustava je složená z rvku F () a F (). Přenos soustavy vyočteme jako součin obou částech soustavy: F() F() F () + 0,05 0,05 + (0,05 + ) b) Navrhněte regulátor H() Návrh regulátoru rovedeme omocí metody otimálního modulu, rotože soustava má jeden integrátor a jednu malou (součtovou) časovou konstantou. Obecný tvar řenosu takové soustavy je: Ks Fs ( ) T ( + τσ ) což souhlasí s naším říkladem. Obecně se regulátor ři návrhu metodou otimálního modulu vyočítá ze vzorce: H ( ) Fs ( ) τ σ ( + τ σ ) Dosadíme-li do rovnice ro regulátor obecný tvar řenosu soustavy a zjednodušíme, Vyjde nám rovnice: T H( ) K KS τ σ Dosazením číselných hodnot: H ( ) 0,65 6 0,05,6

15 Teorie řízení 004 str. 5 / 30 c) Přenos otevřené smyčky 6 0 F () F () H() 0,65 O S (0,05 + ) 0,05 + d) Přenos uzavřené smyčky 0 0 F() O 0,05 + 0, F() + F() 0 O + 0, , ,05 + 0,05 + e) Zkontroluje stabilitu otevřené smyčky 0 Přenos otevřené smyčky: F( ) 0,05 + Stabilitu budeme vyšetřovat omocí rozložení ólů získaných z charakteristické rovnice. Rovnice 0,05 + je charakteristikou rovnicí systému. Z této rovnice vyjádříme kořeny (řešení kvadratické rovnice). 0, V našem říadě vyjdou kořeny 0 0 Jelikož oba kořeny různé, systém je nestabilní. e) Zkontroluje stabilitu uzavřené smyčky 0 Přenos uzavřené smyčky: F( ) 0, Stabilitu budeme vyšetřovat omocí rozložení ólů získaných z charakteristické rovnice Rovnice 0, je charakteristikou rovnicí systému. Z této rovnice vyjádříme kořeny (řešení kvadratické rovnice). 0, V našem říadě vyjdou kořeny 0 + 0i. 0 0i Jelikož oba kořeny mají záornou reálnou část, systém je stabilní. e) Načrtněte amlitudovou frekvenční charakteristiku smyčky omocí asymtot otevřené uzavřené

16 Teorie řízení 004 str. 6 / 30 h) Vyočtete odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je řechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vyočítá: Lalaceův obraz jednotkového skoku je: L[ u( t) ] U ( ) Odezva na jednotkový skok je v oerátorovém tvaru: H( ) F( ) U( ) F( ) 0 F( ) 0, H( ) 0, H( ) (0,05 ) F( ) 0 0, H( ) 0, H( ) 0, ( ) Časový růběh odezvy získáme inverzní Lalaceovou transformací: ht () L H( ) { } 0 0 ht () L ht () L (0,05 + ) ( 0, ) h ( t)... h ( t) i) Ty soustavy regulátor odle návrhu bude regulátor roorcionální. j) Řád soustavy Rovnice je rovnicí # řádu

17 Teorie řízení 004 str. 7 / 30 PŘÍKLAD 9 zadání: Je dán řenos : F ( ) 0,0 a) Odvoďte stavové rovnice b) Odvoďte diferenciální rovnici c) Vyšetřete stabilitu d) Určete růběh odezvy na jednotkový imuls e) Určete odezvu na jednotkový skok řešení: + 0,4 + b) Odvoďte diferenciální rovnici Abychom byly schony určit stavové roměnné, musíme si nejrve ze řenosové funkce určit diferenciální rovnici: F( ) 0,0 + 0, 4 + Y ( ) F ( ) U ( ) Y( ) U( ) 0,0 + 0, 4 + ( ) (0,0 0,4 ) ( ) Y + + U 0,0y + 0, 4y + y u a) Odvoďte stavové rovnice V říkladu máme ouze jeden vstu, z čehož vylývá, že budeme mít dvě stavové roměnné. Stavové roměnné si označíme x a x x y x y Proměnnou x derivujeme. Po derivování se x x. Z diferenciální rovnice si vyjádříme nejvyšší mocninu: 0,4y y + u y 0,0 a dosadíme y x 0,4 u x x x + 0,0 0,0 0,0 z rovnic ro stavové roměnné dosadíme do stavových rovnic: 0 0 x x 0,4 u x x + 0,0 0,0 0,0 x y [ 0] x Obecný tvar stavových rovnice je:

18 Teorie řízení 004 str. 8 / 30 x A x+ B u y C u 0 A 0,4 0,0 0,0 0 B 0,0 C [ 0] c) Vyšetřete stabilitu Stabilitu systému vyšetříme omocí vlastních čísel matice A. Tyto čísla se vyočítají z charakteristické rovnice: 0 λ λ 0 λ λ I A 0,4 0,4 0 λ λ + 50 λ+ 0 0,0 0,0 0,0 0,0 charakteristická rovnice: λ + 0λ+ 50 Z charakteristické rovnice vyočítáme kořeny: λ + 0λ λ.98 λ 7.07 Protože reálná část kořenů je záorná, systém je stabilní. d) Určete růběh odezvy na jednotkový imuls Odezva na jednotkový imuls je imulsová charakteristika. imulsová charakteristika se vyočítá: Lalaceův obraz jednotkového imulsu je: Lut () U( ) [ ] Odezva na jednotkový imuls je v oerátorovém tvaru: G( ) F( ) U( ) F( ) F( ) F ( ) 0,0 + 0,4 + G( ) 0,0 + 0, 4 + G( ) 0,0 + 0, 4 + Časový růběh odezvy získáme inverzní Lalaceovou transformací: gt () L G ( ) { } gt () L 0,0 + 0, 4 + g ( t)... λ + 0λ+ 50

19 Teorie řízení 004 str. 9 / 30 e) Určete odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je řechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vyočítá: Lalaceův obraz jednotkového skoku je: L[ u( t) ] U ( ) Odezva na jednotkový skok je v oerátorovém tvaru: H( ) F( ) U( ) F( ) F ( ) 0,0 + 0,4 + H( ) 0,0 + 0, 4 + H( ) ( 0,0 + 0, 4 + ) Časový růběh odezvy získáme inverzní Lalaceovou transformací: ht () L H( ) { } ht () L ( 0,0 + 0, 4 + ) h ( t)...

20 Teorie řízení 004 str. 0 / 30 PŘÍKLAD 0 zadání: Soustava je dána diferenciální rovnicí: 00y + 00y + 000y u a) odvoďte stavové rovnice b) vyšetřete stabilitu c) odvoďte řenosovou funkci d) vyočítejte odezvu na jednotkový skok a na jednotkový imuls e) omocí asymtot nakreslete amlitudovou frekvenční charakteristiku řešení: a) odvoďte stavové rovnice Z diferenciální rovnice vylývá, že soustava má ouze l výstu, z čehož vylývá že budou stavové roměnné. Stavové roměnné označíme jako x a x Proměnnou x oložíme rovnu y a roměnnou x oložíme rovnu derivaci y x y x y Proměnnou x derivujeme. Po derivování se x x Z diferenciální rovnici si vyjádříme nejvyšší derivaci: u y y 0y + 00 Jestliže derivujeme roměnnou x y, ak se roměnné x bude rovnat ravé straně rovnice se stavovými roměnnými. u x x 0x+ 00 Obecný tvar stavových rovnice je: x A x + B u y C u Z rovnic ro stavové roměnné x a x dosadíme do stavových rovnic: x 0 x 0 + u x 0 x 0, 0 x y [ 0] x Stavové roměnné: A B 0,0 C [ 0] b) vyšetřete stabilitu Stabilitu systému vyšetříme omocí vlastních čísel matice A. Tyto čísla se vyočítají z charakteristické rovnice: λ 0 0 λ λ I A 0 0 λ + λ+ 0 λ 0 λ + charakteristická rovnice: λ + λ+ 0 Z charakteristické rovnice vyočítáme kořeny: λ + λ+ 0 0 λ 0,5 3,j, ±

21 Teorie řízení 004 str. / 30 Protože reálná část kořenů je záorná, systém je stabilní. c) odvoďte řenosovou funkci Z diferenciální rovnice 00y + 00y + 000y u vyjádříme oerátorový řenos systému: 00 y ( t) + 00 y ( t) y( t) u( t) / L 00 Y( ) + 00 Y( ) Y( ) U( ) Y( ) F( ) U + + ( ) d) vyočítejte odezvu na jednotkový skok Odezva na jednotkový skok je řechodová charakteristika. Přechodová charakteristika se vyočítá: Lalaceův obraz jednotkového skoku je: L[ u( t) ] U ( ) Odezva na jednotkový skok je v oerátorovém tvaru: H( ) F( ) U( ) F( ) F( ) H( ) H( ) ( ) Časový růběh odezvy získáme inverzní Lalaceovou transformací: ht () L H( ) { } ht () L ( ) h ( t)...

22 Teorie řízení 004 str. / 30 d) vyočítejte odezvu na jednotkový imuls Odezva na jednotkový imuls je imulsová charakteristika. imulsová charakteristika se vyočítá: Lalaceův obraz jednotkového imulsu je: Lut () U( ) [ ] Odezva na jednotkový imuls je v oerátorovém tvaru: G( ) F( ) U( ) F( ) F( ) F( ) G( ) G( ) Časový růběh odezvy získáme inverzní Lalaceovou transformací: gt () L G ( ) { } gt () L g ( t)... f) Pomocí asymtot nakreslete amlitudovou frekvenční charakteristiku

23 Teorie řízení 004 str. 3 / 30 PŘÍKLAD zadání: B A Soustava je dána stavovým oisem: x Ax + Bx y Cx 0 0 A B C 0 8 0, a) zkontrolujte řiditelnost b) navrhněte stavový regulátor, volte óly uzavřené soustavy: -; -5 řešení: a) zkontrolujte řiditelnost Proto, aby systém byl řiditelný musí být determinant matice M c byl různý od nuly. Matice řiditelnosti se v našem říadě vyočte ze vztahu : M c [ B A B] Po vyčíslení má matice M c následující tvar: , 0 0, M c 0, -8-0, 0, -0, det M c 0,0 0 0, -0, což znamená, že soustava je řiditelná b) navrhněte stavový regulátor, volte óly uzavřené soustavy: -; -5 Návrh stavového regulátoru sočívá ve zvolení nových óly uzavřené smyčky. Zvolíme óly ( v našem říadě byly zadány), které musí být uvnitř jednotkové kružnice. Pro řízení stavovým regulátorem je vyjádřena charakteristická rovnice vzorcem: I A + B R, kde I je jednotková matice a G,H jsou zadané matice stavového oisu systému a K je matice regulátoru. Při očítání se za matici K dosadí obecný tvar K [ k k ] Charakteristickou rovnici orovnáme s ožadovaným olynomem ( ) V našem říadě o matematických úravách má ožadovaný olynom tvar: ( )( ) ( + )( + 5) Vyočítáme charakteristickou rovnici: [ k k] , , k 0, k , k 0, k 8 + 0, k + + 0, k n i i ( + + 0, k ) , k

24 Teorie řízení 004 str. 4 / 30 + (0, + ) , k k Porovnáme charakteristickou rovnici a ožadovaný olynom: + (0,k + ) , k a z této rovnosti vyočteme koeficienty k, k : : 0,k : 8 + 0,k 5 k 30 k + 50 zětnovazební matice je K [ 30 50]

25 Teorie řízení 004 str. 5 / 30 PŘÍKLAD zadání: Diskrétní stavový ois: x( k + ) Gx( k) + Hu( k) y( k) Cx( k) 0 0 G H 0, 0, C 0 a) zkontrolujete řiditelnost b) Navrhněte stavový regulátor, óly volte Z 0,3±0,3j řešení: a) zkontrolujete řiditelnost Proto, aby systém byl řiditelný musí být determinant matice M c byl různý od nuly. Matice řiditelnosti se v našem říadě vyočte ze vztahu : H G H M c [ ] Po vyčíslení má matice M c následující tvar: M 0 0, c 0, - 0, - 0, 0, -0, což znamená, že soustava je řiditelná det 0 0, M c 0,0 0 0, -0, b) Navrhněte stavový regulátor, óly volte Z 0,3±0,3j Návrh stavového regulátoru sočívá ve zvolení nových óly uzavřené smyčky. Zvolíme óly ( v našem říadě byly zadány), které musí být uvnitř jednotkové kružnice. Pro řízení stavovým regulátorem je vyjádřena charakteristická rovnice vzorcem: z I G+ H K kde I je jednotková matice a G,H jsou zadané matice stavového oisu systému a K je matice regulátoru. Při očítání se za matici K dosadí obecný tvar K [ k k ] Charakteristickou rovnici orovnáme s ožadovaným olynomem n i ( z z ) V našem říadě o matematických úravách má ožadovaný olynom tvar: (z z ) (z z) ( z- 03, - 03, j) ( z- 03, + 03, j) z 0,6 z+ 0,8 Vyočítáme charakteristickou rovnici: z z [ k k] 0 z 0, + 0, 0 z + 0, 0, k 0, k i

26 Teorie řízení 004 str. 6 / 30 z , z + 0, k 0, k z 0,+ 0, k z+ + 0, k z + (0,k + ) z+ 0,+ 0. k Porovnáme charakteristickou rovnici a ožadovaný olynom: z + (0,k + ) z+ 0,+ 0. k z 0, 6 z+ 0,8 a z této rovnosti vyočteme koeficienty k, k z : z : 0,k + 0, 6 0 z : 0,+ 0,k 0,8 k 0.8 k 6 Požadovaný stavový regulátor má oté tvar K [ 0.8 6] zz ( + + 0, k) + 0,+ 0, k

27 Teorie řízení 004 str. 7 / 30 PŘÍKLAD 3 zadání: Mějme soustavu s regulátorem: F ( ) H( ) 0 0,0 + 0,3 + a) Určete ty soustavy( z řenosu otevřené smyčky).odůvodněte. b) Ustálená chyba ro jednotkový skok c) Jak se změní ustálená chyba ři změně zesílení na H () 0 řešení: a) Určete ty soustavy( z řenosu otevřené smyčky).odůvodněte. Ty regulované soustavy určíme z řenosu soustavy. Přenos soustavy lze obecně K F ( ) T + T + Což odovídá kmitavému článku. b) Ustálená chyba ro jednotkový skok Pro určení ustálené chyby musíme vyočítat řenos otevřené smyčky. 0 FO ( ) F( ) H( ) 0, 0 + 0,3+ Obecně se ustálená chyba vyočítá ze vztahu: X ( ) ess lim 0+ FO ( ) Kde F O () je řenos otevřené soustavy a X () je oerátorový tvar signálu. Oerátorový tvar jednotkového skoku je X ( ). Dosadíme-li tento signál a náš řenos otevřené smyčky do rovnice a vyočteme, dostaneme ustálenou chybu: X( ) 0, 0 + 0,3 + ess lim lim lim F ( ) 0 O + 0, 0 + 0,3 + 0,0 + 0,3 + c) Jak se změní ustálená chyba ři změně zesílení na H () 0 Zvýšíme-li zesílení regulátoru na H()0, změní se řenos otevřené smyčky na 0 FO ( ) 0, 0 + 0,3+ Dosadíme-li tento nový řenos do rovnice ro ustálenou chybu, vyjde nám chyba:

28 Teorie řízení 004 str. 8 / 30 e ss + + 0,0 + 0,3 + X( ) 0, 0 0,3 lim lim lim F ( ) 0 O + 0, 0 + 0,3 +

29 Teorie řízení 004 str. 9 / 30 PŘÍKLAD 4 zadání: Diskrétní soustava je dána rovnicí: xk ( + ) Gxk ( ) + Huk ( ) 0 0 G H a) vyšetřete řiditelnost b) stavový regulátor, óly volte Z 0,5+0,5i Z 0,5-0,5i řešení: a) vyšetřete řiditelnost Proto, aby systém byl řiditelný musí být determinant matice M c byl různý od nuly. Matice řiditelnosti se v našem říadě vyočte ze vztahu : H G H M c [ ] Po vyčíslení má matice M c následující tvar: M c -0,6-0 - což znamená, že soustava je řiditelná 0 det M c 0 - b) stavový regulátor, óly volte Z 0,5+0,5i Z 0,5-0,5i Návrh stavového regulátoru sočívá ve zvolení nových óly uzavřené smyčky. Zvolíme óly ( v našem říadě byly zadány), které musí být uvnitř jednotkové kružnice. Pro řízení stavovým regulátorem je vyjádřena charakteristická rovnice vzorcem: I A + B R, kde I je jednotková matice a G,H jsou zadané matice stavového oisu systému a K je matice regulátoru. Při očítání se za matici K dosadí obecný tvar K [ k k ] Charakteristickou rovnici orovnáme s ožadovaným olynomem n i ( z z ) V našem říadě o matematických úravách má ožadovaný olynom tvar: (z , 5i)(z-0, 5 + 0, 5i) z z Vyočítáme charakteristickou rovnici: z z [ k k] 0 z 0,6 + 0 z + 0,6 k k z 0 0 z + 0,6 z + k k zz ( + + k) + 0,6+ k z + ( + k ) z k 0,6 + k z+ + k Porovnáme charakteristickou rovnici a ožadovaný olynom: i

30 Teorie řízení 004 str. 30 / 30 z + ( + k ) z k z z+ 0.5 a z této rovnosti vyočteme koeficienty k, k k 0.34 k K 0.34 zětnovazební matice je [ ]