Doplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Doplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým"

Jiřina Bártová
před 4 lety
Počet zobrazení:

1 Doplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým Michael Šebek Automatické řízení

2 Metody diskrétního návrhu Metody diskrétního návrhu, které jsou stejné (velmi podobné) metodám spojitého návrhu podrobně nepřednášíme, jenom je ukážeme na příkladech Proto byly z hlavních přednáškových slajdů přesunuty sem Zde uvedené slajdy jsou hlavně pro ty studenty, kteří metody spojitého návrhu neznají Ostatním mohou posloužit studentů jako opakování Michael Šebek ARI

3 Stavová zpětná vazba diskrétní verze Skoro stejné jako ve spojitém případě: Soustava, regulátor (stavová ZV) a výsledný systém x = + Fx + Gu u = Kx + u k 1 k k k k Ck, Úloha přiřazení charakteristického polynomu (pólů) Původní charakteristický polynom soustavy n n 1 det ( zi F) = z + an 1z + + az 1 + a0 chceme změnit na požadovaný charakteristický polynom Řešení - stejně, jako ve spojitém případě Např. Ackermannovým vzorcem ( ) x = F GK x + G + u k 1 k Ck, F new n p ( z) = z + p z + + pz+ p = det z new ( I F ) n 1 n new K = 1 [ ] C p ( ) new F Michael Šebek ARI

4 Návrh stavové ZV ve zvláštním tvaru Pokud je soustava v kanonickém tvaru řiditelnosti an 1 an 2 a1 a F=, G = pak je v něm i celkový systém se ZV ( an 1+ k1) ( an 2 + k2) ( a1+ kn 1) ( a0 + kn) Fnew = F GK = a k řešení stačí porovnat koeficienty k = p a 1 n 1 n 1 k = p a n k = p a n 0 0 4

5 Řešení: Obecný případ transformací Obecný případ můžeme vyřešit transformací souřadnic na triviální případ, řešením triviálního případu a transformací zpět do původních souřadnic Nejprve ze zadaných matic soustavy vypočteme její char. Polynom n n 1 det ( zi F) = z + an 1z + + az 1 + a0 a z něj snadno napíšeme rovnice soustavy transformované do kanonického tvaru x ( k+ 1) = Fx ( k) + G uk ( ) z rovnic před a po transformaci teď najdeme transformační matici x = T x například pomocí matic řiditelnosti T = CC n 1 n 1 kde C = G FG F G a C = G FG F G v těchto souřadnicích snadno najdeme (řešením triviálního případu) požadovanou ZV matici K 1 a nakonec ji transformuje do souřadnic původních K = KT 5

6 Jiný způsob výpočtu transformační matice výpočet transformační matice pomocí matice řiditelnosti a její inverze není numericky příliš spolehlivý ukážeme proto ještě alternativní postup díky zvláštní struktuře kanonického tvaru v něm má matice řiditelnosti i její inverze také zvláštní tvar např. pro soustavu řádu 3 je a také obecně je C 1 1 a2 a1 0 1 a = 2 1 a a a C = 0 1 a an 1 an 2 a2 a1 0 1 a a a = an n C

7 Jiný způsob výpočtu transformační matice protože pro inverzi transformační matice je a přitom a právě odvozené dostáváme celkem T 1 an 1 an 2 a2 a1 0 1 a a a = an n C = CC 1 1 C = n 1 G FG F G T 1 n 1 n 2 = G FG + a G n 1 F G + a F G n a G 1 7

8 Řešení Ackermannovým vzorcem Obecný případ můžeme vyřešit i přímo pomocí Ackermannova vzorce kde použijeme matici řiditelnosti K a do požadovaného charakteristického polynomu dosadíme matici soustavy = 1 [ ] C pcl ( F) C = n 1 G FG F G n p ( z) = z + p z + + pz+ p cl n 1 n n p ( F) = F + p F + + pf+ p I cl n 1 n

9 Pozorovatel pro diskrétní soustavu Pokud chceme použít stavovou ZV, ale nedokážeme měřit všechny stavy, můžeme použít pozorovatele Pro diskrétní soustavu x = + = + Fx G Hx k 1 k uk, yk k x = + Fx + Gu k 1 k k xˆ = Fxˆ + + Gu + L( y yl ˆ ) k 1 k k k se pozorovatel skládá z modelu soustavy a injekce z výstupu xˆ k+ = Fx + G + yˆ = Hxˆ ˆ ˆ 1 k uk L( yk yk k k ) Pro odchylku odhadování x = x xˆ platí ( ) x = h F = 0.5 LH k 1 x = F x + k poz k h = 1 h = 2 9

Vhodnou volbou matice L zajistíme, aby matice pozorování F F LH poz = měla požadovaný charakteristický polynom n n 1 p ( z) = det zi F = z + a z + + az+ a ( ) Pozorovatel

Jen když je šum senzoru tak silný, že je hlavním problémem, volíme póly pozorovatele 2 pomalejší než póly regulátoru Při návrhu postupuje jako ve spojitém případě (tj.

10 Vhodnou volbou matice L zajistíme, aby matice pozorování F F LH poz = měla požadovaný charakteristický polynom n n 1 p ( z) = det zi F = z + a z + + az+ a ( ) Pozorovatel pro diskrétní soustavu poz poz n Jeho kořeny (póly pozorovatele) obvykle je volíme 2 až 6 rychlejší než póly regulátoru. Jen když je šum senzoru tak silný, že je hlavním problémem, volíme póly pozorovatele 2 pomalejší než póly regulátoru Při návrhu postupuje jako ve spojitém případě (tj. duálně k stav. ZV) Např. užijeme duální Ackermannův vzorec p ( ) L= T poz F 1 [ ] Vše jako ve spojitém případě x = + Fx + Gu k 1 k k xˆ = Fxˆ + + Gu k 1 k k + L( y ˆ k yl) n 1 O HF kde matice pozorovatelnosti H = HF O 10

11 Nepovinné: Luenbergerův redukovaný pozorovatel Právě probraný pozorovatel s rovnicí x ˆ = Fx ˆ + G ˆ k 1 k u + L k ( y + k yk) obsahuje zbytečné zpoždění, neboť jeho stav xˆk v čase k závisí jen na měřeních provedených do času k-1 Vůbec nevyužívá znalosti výstupu v čase k, který je také k dispozici Protože lze výstup přímo měřit (a považovat za jednu ze stavových veličin), stačí vlastně odhadovat o 1 stav méně Je tedy výhodnější pozorovatel s rovnicí xˆ ˆ k = Fxk 1+ Guk 1+ L yk H( Fxk 1+ Guk 1) = ( I KH)( Fxˆ k 1+ Guk 1) + Lyk Pro jeho chybu odhadu platí x k = ( F LHF) x k 1 = Fx k 1 a volbou matice L opět můžeme nastavit libovolná vlastní čísla Dále y ˆ k Hxk = Hx k = ( I LH) x k 1 a pokud vybereme L tak, aby I LH = 0, je výstup odhadován bez chyby a můžeme eliminovat jednu rovnici! Redukovaný pozorovatel neobsahuje model soustavy! 11

Připojíme-li matici stavové ZV ke stavům pozorovatele

známe ze spojitého řízení tu platí: Takový regulátor má

k = Kxk + rk A přenos Spojení pozorovatele a stavové ZV x = +

Hxk) ( ) 1 1 Vše jako ve spojitém případě uz ( ) = K zi F +

má (ve stavech xx, ) hezké rovnice x takže jeho póly jsou: k+

12 Připojíme-li matici stavové ZV ke stavům pozorovatele (namísto stavů soustavy) Dostaneme klasickou ZV z výstupu Vše známe ze spojitého řízení tu platí: Takový regulátor má stavové rovnice xˆ = 1 ( ) ˆ k+ F LH GK x + k Ly + k Grk u ˆ k = Kxk + rk A přenos Spojení pozorovatele a stavové ZV x = + Fx + Gu k 1 k k ( ) ( ) xˆ = Fxˆ + + Gu + k 1 k k L( y ˆ k Hxk) ( ) 1 1 Vše jako ve spojitém případě uz ( ) = K zi F + LH + GK Lyz ( ) + 1 K zi F + LH + GK G rz ( ) Celkový systém má (ve stavech xx, ) hezké rovnice x takže jeho póly jsou: k+ 1 F GK GK xk G = + rk póly regulace x k+ 1 0 F LH x k 0 +póly pozorování 12

13 Přiřazení pólů polynomiálně Polynomiální řešení v z - stejné jako spojité Pro danou soustavu bz ( ) az ( ) a danou poloho pólů, vyjádřenou CL charakteristickým pol. c(z) Vyřešíme rovnici azpz ( ) ( ) + bzqz ( ) ( ) = cz ( ) Polynomiální řešení v d Podobné regulátor Deadbeat polynomiálně - zvláštní případ přiřazení pólů m V z volíme cz ( ) = z, kde m (2 řád soustavy) 1, řešíme q p u soustava bd ( ) ad ( ), cd ( ) ad ( ) pd ( ) + bdqd ( ) ( ) = cd ( ) qd ( ) pd ( ) azpz ( ) ( ) + bzqz ( ) ( ) = z m b a y a vybereme řešení minimálního stupně ve q Při řešení v z 1 je to ještě jednodušší: Řešíme rovnici az pz bz qz ( ) ( ) + ( ) ( ) = 1 13

14 Umístění pólů polynomiálně: v z Polynomiální řešení v z regulátor q p soustava b a Je stejné, jako spojité řešení v s Pro danou soustavu bz ( ) az ( ) a danou poloho pólů, vyjádřenou CL charakter. polynomem cz ( ) Vyřešíme azpz ( ) ( ) + bzqz ( ) ( ) = cz ( ) a dostaneme qz ( ) pz ( ) u y 14

Regulátor 2DOF Pokud má řídicí systém referenční vstup Je přirozené použít regulátor se dvěma stupni volnosti (2DOF) qz ( ) rz ( ) uz ( ) = yz ( ) yr ( z) pz ( ) + pz ( ) pzuz ( ) ( ) = qzyz ( ) ( )

15 Regulátor 2DOF Pokud má řídicí systém referenční vstup Je přirozené použít regulátor se dvěma stupni volnosti (2DOF) qz ( ) rz ( ) uz ( ) = yz ( ) yr ( z) pz ( ) + pz ( ) pzuz ( ) ( ) = qzyz ( ) ( ) + rzy ( ) ( ) r z [ ] pro kauzalitu musí být deg p deg qz ( ), rz ( ) klasické řízení odchylkou (1DOF) je zvláštní případ, kdy při návrhu vypočteme ZV část ze známé rovnice qz ( ) = rz ( ) azpz ( ) ( ) + bzyz ( ) ( ) = cz ( ) kde vhodně volíme CL charakteristický polynom ze srovnání se stavovým přístupem plyne, že cz ( ) = cc( zc ) o( z) kde faktory jsou c ( z) = det zi F + GK, c ( z) = det zi F + LH c y r ( ) ( ) o rs () v 0 ˆx 0 1 ps () bs () 1 as () qs () u c x y 15

16 Přímá větev výsledný přenos celého systému je bzrz ( ) ( ) yz ( ) = yr ( z) appz ( ) ( ) + bzqz ( ) ( ) bzrz ( ) ( ) bzrz ( ) ( ) = yr( z) = yr( z) cz ( ) c( zc ) ( z) c přímou větev volíme např. tak, aby vykrátila póly pozorovatele tj. c ( o z ) rz ( ) tedy například jako r( z) = tc( z) 0 o o pak jsou řídicí signály zavedeny tak, že negenerují odchylku pozorování t 0 tbz ( ) 0 yz ( ) = yr ( z) c ( z) konstantu volíme tak, abychom zajistili požadované statické zesílení obvykle má být statické zesílení = 1, takže nastavíme t0 = cc (1) b(1) c 16

17 Diskrétní sledování asymptotické a deadbeat Asymptotické sledování je u diskrétních systémů stejné jako u spojitých rovnice jsou stejné ap + bq = m, f t + br = m, m stabilní Podmínky jsou stejné 1) gcd( ab, ) stabilní; 2) gcd( f, b) = 1; 3) f a řešení je stejné v z i v z -1, až na to, že při řešení v z ještě musíme vybrat m patřičně vysokého stupně Na rozdíl od spojitého případu tu ale existuje varianta deadbeat, tedy sledování za konečný počet kroků: n 1 Pokud postupujme v z, volíme mz ( ) = z pokud v z -1, 1 volíme mz ( ) = 1 a vybereme řešení minimálních stupňů (nastává koincidence) řešení existuje, právě když gcd( ab, ) = 1 ostatní podmínky jsou stejné. 17

Podobné dokumenty

24 - Diskrétní řízení

24 - Diskrétní řízení Michael Šebek Automatické řízení 213 13-5-14 Metody návrhu diskrétního řízení Automatické řízení - Kybernetika a robotika Návrh pro čistě diskrétní systémy Mnohé metody jsou analogické