Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé.

Transkript

1 1 Určování poloh bodů pomocí souřadnic Souřadnicové výpočt eodetických úloh řešíme v pravoúhlém souřadnicovém sstému S-JTSK, ve kterém osa +X je orientována od severu na jih a osa +Y od východu na západ. Výpočt lokálního charakteru můžeme realizovat v místním souřadnicovém sstému, jehož os zachovávají stejný smsl pořadí jako S-JTSK. Souřadnicové výpočt je možné v plné míře uplatnit zejména při: určování pravoúhlých souřadnic bodů, kterými zhušťujeme existující bodové pole, projekční činnosti, přípravě vtčovacích prvků a při vlastních vtčovacích pracích stavebních objektů. Základním úkolem při souřadnicovém určování poloh bodů je výpočet směrníků a délk stran mezi dvěma bod, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé. 1.1 Výpočet směrníků a délk stran oloha každého bodu je určena pravoúhlými souřadnicemi x a v daném souřadnicovém sstému. Strana jako úsečka mezi dvěma bod je v pravoúhlém sstému orientovaná směrníkem, t. j. úhlem, který svírá rovnoběžka vedená v koncovém bodě stran s kladným směrem os X a příslušnou stranou ve směru číslování hodin. ři každé straně proto rozlišujeme dva směrník (obr.1.1): přičemž platí: σ - směrník stran z bodu do bodu, σ - směrník stran z bodu do bodu, σ σ 200, resp. σ σ (1.1) Směrník může mít hodnotu: 0 až 400. Výpočet směrníku a délk stran si můžeme odvodit z obr Dané jsou dva bod pravoúhlými souřadnicemi (, x ) a (, x ). Máme určit směrník σ a délku stran s. Rovnoběžk se souřadnicovými osami, vedené bod a, tvoří se stranou s pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsn jsou souřadnicové rozdíl a přičemž: a x x (1.2) Směrník σ určíme ze vztahu: tσ sinσ cosσ x x (1.3) 1

2 Obr. 1.1 Výpočet směrníků a délk stran Uvedený vztah platí, kdž souřadnicové rozdíl a jsou kladné, což znamená, že σ je v prvním kvadrantě. Hodnotu směrníku v kterémkoliv kvadrantě vpočítáme na základě znamének souřadnicových rozdílů a a pomocného úhlu φ podle vztahů na obr Úhel φ je vžd menší jako 100 a vpočítá se podle vzorce (1.3) s tím, že souřadnicové rozdíl a uvažujeme v absolutních hodnotách. Výpočet směrníku je třeba kontrolovat 50-rádovou zkouškou podle vzorce: t ( + 50 ) + σ (1.4) Obr. 1.2 Hodnota směrníku v různých kvadrantech ro délku stran s jako přeponu v pravoúhlém trojúhelníku (obr. 1.1) platí: s sinσ cosσ (1.5) V případech, kdž souřadnicové rozdíl mají velmi rozdílné hodnot, bude přesnější hodnota stran vpočítaná z většího souřadnicového rozdílu. Z trojúhelníku můžeme vjádřit též vztah na výpočet souřadnicových rozdílů a :.sinσ,.cosσ (1.6) s s 2

3 Vztah platí (po změně indexů) všeobecně pro výpočet libovolného souřadnicového rozdílu, resp Určení souřadnic bodu metodou polárních souřadnic Úlohou je vpočítat pravoúhlé souřadnice bodu (obr. 1.3), kdž: jsou dané dva bod a pravoúhlými souřadnicemi, na bodě bl měřený úhel ω a délka d Výpočet vkonáme v tomto pořadí: výpočet směrníku σ podle (1.3), (1.4), výpočet směrníku σ : σ σ + ω (1.7) výpočet souřadnicových rozdílů a :.sinσ,.sinσ (1.8) d d výpočet souřadnic bodu : +, x x + (1.9) Obr. 1.3 Určení souřadnic metodou polárních souřadnic Znaménko souřadnicového rozdílu bude totožné se znaménkem sínusu, resp. kosínusu směrníku v příslušném kvadrantě. 1.3 Určení souřadnic bodu metodou protínání napřed z úhlů Na určení souřadnic bodu protínáním napřed z úhlů musíme (obr. 1.4): znát souřadnice dvou bodů a, změřit vodorovné úhl ω a ω v bodech,. 3

4 Obr. 1.4 Určení souřadnic bodu metodou protínání napřed z úhlů řed vlastním výpočtem vhotovíme nákres situace, bez kterého nemůžeme úlohu jednoznačně řešit. Výpočet provedeme v tomto pořadí: výpočet směrníku σ a stran s podle (1.3), (1.4), (1.5), výpočet směrníků σ, σ : σ σ + ω, σ σ + ω (1.10) výpočet délek stran s : sinω s s sin ( ω + ω ), sinω s s sin ( ω + ω ) (1.11) výpočet souřadnicových rozdílů:, s.sinσ s.cosσ.sinσ,.cosσ (1.12) s s výpočet souřadnic bodu : (1.13) 1.4 Určení souřadnic bodu metodou protínání napřed z délek řesné a rchlé měření délek elektronickými dálkoměr umožňuje více častěji určit polohu bodů protínáním napřed z délek. Na určení souřadnic bodu Z protínáním napřed z délek musíme (obr. 1.5): poznat souřadnice bodů a, změřit délk z bodů a na určený bod d Z a d Z. 4

5 ostup výpočtu je tento: Obr. 1.5 Určení souřadnic bodu metodou protínání napřed z délek o výpočtu směrníku σ a stran s (1.5) vpočítáme (např. podle Herónových vzorců) hodnot úhlů ω, ω a ω Z : ω ( s b)( t s a) ω ( s a)( t s b) ω ( s a)( s b) t Z kde s a + b + z 2 Kontrolou výpočtů je : ω + ω + ω Z 200. Dále výpočet pokračuje stejně jako při protínání napřed úhl, což znamená výpočtem směrníků na určený bod, souřadnicových rozdílů a nakonec souřadnic určeného bodu dvojmo. Úhl ω, ω a ω Z je možné vpočítat taktéž pomocí kosínusové vět: b + z + a cosω 2bz a + z + b cosω 2az a + b + z cosω Z 2ab 5