Využití Pythagorovy věty I

Transkript

1 .8. Vužití Pthagorov vět I Předpoklad: 0080 Pedagogická poznámka: Ve všech slovních úlohách z praxe se snažím používat běžnou terminologii. Pokud žáci slova neznají, mohou si je najít na internetu, nebo (což je samozřejmě daleko lepší) si jejich význam odvodit z kontextu. Př. : Vpočti odmocnin a výsledek zapiš také jako desetinné číslo. a) b) c) 0 d) a) = = = = b) 00 0, = = = 0, 0 c) 0 = = = 0, 0 d) = = = = = 0, 0 Př. : Trojúhelník ABC má délk stran 8; ; 7. Je pravoúhlý? Pokud je trojúhelník pravoúhlý, musí pro délk jeho stran platit Pthagorova věta: c = a + b. a + b = 8 + = + = 89 c = 7 = 89 Pthagorova věta platí trojúhelník ABC je pravoúhlý. Př. : Urči přeponu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami cm a 7 cm. c = a + b / = + = + = 7 7 8, Pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami cm a 7 cm má přeponu o velikosti 7. Př. : Urči odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku s přeponou 7,8 cm a odvěsnou 7, cm. Zkontroluj výsledek rýsováním. c = a + b / b = 7,8 7, cm = cm Druhá odvěsna pravoúhlého trojúhelníku s přeponou 7,8 cm a odvěsnou 7, cm má délku cm.

2 B a= cm A b= cm C k X B Zápis konstrukce:. AC, AC = b = cm. CX, CX k A ;7,8cm. ( ). B CX k. ABC AC A C Měřením zjistíme, že délka stran CB je cm. Pedagogická poznámka: Následující příklad obsahují i starší poznatk (obsah trojúhelníku, procenta). Je třeba sledovat situaci ve třídě a pokud se u někoho vsktují problém, tlačit na jejich řešení. Př. : Urči výšku a obsah rovnostranného trojúhelníku o straně cm. v Výška rozdělí rovnostranný trojúhelník na dva shodné pravoúhlé trojúhelník. c = a + b / b v v c b cm 7, cm = = = Obsah trojúhelníku: S a v a 7 cm 7 cm,cm = = =. Rovnostranný trojúhelník o straně cm, má výšku dlouhou přibližně, cm a obsah přibližně,cm. Př. : Obvatelé sídliště si zkracují cestu k autobusu přes trávník. O kolik procent si cestu zkrátí, jestliže chodník vedle parkoviště má od počátku zkratk k chodníku délku 90

3 m a chodník podél silnice ke konci zkratk délku m? Části chodníků se zkratkou tvoří pravoúhlý trojúhelník (chodník tvoří odvěsn, zkratka přeponu). m 90 m c = a + b / = + = + = 90 m 98 m 99,m Původní cesta: 90 + m = m. Zkrácení cest: 99, m =, 7 m 00 % m x %,7 m x 00 = /,7, 7

4 00 x =,7 Obvatelé si cestu zkrátí o %. Př. 7: Vrchol trojúhelníku ABC mají souřadnice A [ ; ], B [ ;] a C [ ;] bod do soustav souřadnic a urči délk stran trojúhelníku ABC.. Zakresli -; ] ; ] A[; ] x - Nejdříve zjišťujeme vzdálenost bodů A a B hledáme pravoúhlý trojúhelník. ; ] -; ] A[; ] x - Odvěsn pravoúhlého trojúhelníku: vodorovná (x-ové souřadnice): =, svislá (-ové souřadnice): =. Přepona: AB = 0,. Vzdálenost AC = + = + = 0,.

5 -; ] ; ] A[; ] x - Odvěsn pravoúhlého trojúhelníku: =, vodorovná (x-ové souřadnice): ( ) svislá (-ové souřadnice): =. Přepona: AC =,. = + = + = 0 =,. Vzdálenost BC -; ] ; ] A[; ] x - Odvěsn pravoúhlého trojúhelníku: =, vodorovná (x-ové souřadnice): ( ) svislá (-ové souřadnice): =. Přepona: BC =,. = + = + =,. Př. 8: Jarda potřebuje změřit výšku zdi. Ví, že je větší než čtři a půl metru, ale nižší než pět metrů. Bohužel nemá k dispozici ani žebřík ani dostatečně dlouhý pevný metr. Našel však na zahradě m dlouhou střešní lať. Navrhni, jak pomocí latě a normálního zednického metru výšku zdi změřit. Svůj postup vužij pro určení výšk

6 zdi v případě, že Jarda naměří pomocí metru vzdálenost, m. Co musí být splněno, ab postup fungoval? Jarda může opřít lať o zeď tak, ab se zdi dotýkala v jejím nejvšším bodě. Vznikne tak, pravoúhlý trojúhelník, ve kterém Jarda může znát dvě stran: přeponu (lať) a jednu odvěsnu (vzdálenost mezi patou zdi a místem, kde se země dotýká opřená lať). m, m Pokud má postup fungovat, musí být zem u zdi vodorovná (abchom získali pravoúhlý trojúhelník). c = a + b / b =, m=,0 m =,8m Zeď je vsoká,8 m. Shrnutí: Mnoho vzdáleností určíme tím, že v obrázku najdeme vhodný pravoúhlý trojúhelník a pomocí Pthagorov vět určíme jednu ze stran.