Diferenciální rovnice s programem GeoGebra
|
|
- Štěpánka Mašková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Bakalářská práce Diferenciální rovnice s programem GeoGebra Vypracovala: Michaela Opavová Vedoucí práce: RNDr. Libuše Samková, Ph.D. České Budějovice 2014
2 Prohlášení Prohlašuji, že svoji bakalářskou práci na téma Diferenciální rovnice s programem GeoGebra jsem vypracovala samostatně pouze s použitím pramenů a literatury uvedených v seznamu citované literatury. Prohlašuji, že v souladu s 47b zákona č. 111/1998 Sb. v platném znění souhlasím se zveřejněním své bakalářské práce, a to v nezkrácené podobě, elektronickou cestou ve veřejně přístupné části databáze STAG provozované Jihočeskou univerzitou v Českých Budějovicích na jejích internetových stránkách, a to se zachováním mého autorského práva k odevzdanému textu této kvalifikační práce. Souhlasím dále s tím, aby toutéž elektronickou cestou byly v souladu s uvedeným ustanovením zákona č. 111/1998 Sb. zveřejněny posudky školitele a oponentů práce i záznam o průběhu a výsledku obhajoby kvalifikační práce. Rovněž souhlasím s porovnáním textu mé kvalifikační práce s databází kvalifikačních prací Theses.cz provozovanou Národním registrem vysokoškolských kvalifikačních prací a systémem na odhalování plagiátů. V Českých Budějovicích... Michaela Opavová
3 Poděkování Touto cestou bych chtěla především poděkovat vedoucí mé bakalářské práce RNDr. Libuši Samkové, Ph.D. za odborné vedení, cenné rady, připomínky a také za trpělivost a vstřícný přístup během zpracování mé práce. Také děkuji rodině za morální a finanční podporu během studia a v neposlední řadě bych chtěla poděkovat mým kamarádům za veškerou pomoc.
4 Anotace Hlavním cílem této bakalářské práce na téma Diferenciální rovnice s programem GeoGebra je vytvořit přehlednou sbírku s řešenými příklady. Příklady jsou nejprve vyřešeny početně a poté následuje jejich grafická interpretace pomocí matematického programu GeoGebra. Ilustrace příkladů nám zobrazují zajímavá řešení. Dalším cílem je přiblížit studentům program GeoGebra, jako nástroj, s jehož pomocí se dá příklad elegantně vyřešit. Práce je rozdělena do tří kapitol, které se zabývají diferenciálními rovnicemi základního typu, metodou separace proměnných a lineárními diferenciálními rovnicemi s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou. Jsou uvedené stručnou základní teorií a poté řešenými příklady. V těchto kapitolách je vybraná většina typů příkladů, se kterými se setká student v předmětu Matematická analýza III. Proto je tato sbírka vhodná jako studijní materiál pro studenty matematických oborů. Klíčová slova: diferenciální rovnice, GeoGebra. Abstract The main aim of this bachelor thesis called Differential equations with GeoGebra is to create a transparent collection of solved examples. Examples are numerically solved first, followed by their graphic interpretation by using mathematical program GeoGebra. Illustrations show us interesting solutions of examples. Another objective is to introduce students the program GeoGebra as a tool through which you can elegantly solve the example. The work is divided into three chapters, which deal with the basic type of differential equations, the method of separation of variables and linear differential equations with constant coefficients and zero right side. They are shown of the basic theory and then resolved examples. In These chapters are selected types of examples which meets student in Mathematical Analysis III. Therefore, this collection is useful as a study material for students of mathematical disciplines. Keywords: differential equations, GeoGebra.
5 Obsah 1 ÚVOD ZÁKLADNÍ TYP Bez počáteční podmínky Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad S počáteční podmínkou Příklad Příklad Příklad METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Bez počáteční podmínky Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad
6 Příklad Příklad Příklad Příklad S počáteční podmínkou Příklad Příklad Příklad Příklad LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY A NULOVOU PRAVOU STRANOU Bez počáteční podmínky Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad S počáteční podmínkou Příklad ZÁVĚR LITERATURA... 76
7 1 ÚVOD Tato bakalářská práce je postavena především na praktické části sbírky příkladů na téma Diferenciální rovnice s programem GeoGebra. První kapitola je zaměřena na diferenciální rovnice základního typu. V práci je uvedena záměrně, aby si student osvěžil učivo z předešlých Matematických analýz I. a II. a byl připravený na učební látku Matematické analýzy III. První kapitola je uvedena nutnou teorií k porozumění daných příkladů a pak následuje podrobný postup jednotlivých řešení, který je vždy na konci příkladu doplněn barevným grafickým znázorněním různých řešení rovnice. Jsou zde uváděny různé typy příkladů, které jsou řazené podle obtížnosti. Druhá kapitola se zabývá metodou separace proměnných, která je opět uvedena základní teorií. Kapitola je znovu rozdělená na různé skupiny příkladů. Snažila jsem se, aby byly v kapitole zastoupeny všechny typy funkcí. Po nich následují příklady, u kterých nevzniká technická podmínka a příklady s technickou podmínkou. Poslední kapitola se zabývá lineárními diferenciálními rovnicemi s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou. Jsou zde zastoupeny všechny možné typy fundamentálních systémů. Každá kapitola je rozdělena na příklady bez počáteční podmínky a na příklady s počáteční podmínkou. Když jsem používala program GeoGebra pro tvorbu ilustračních obrázků, velice mi při práci s GeoGebrou pomohly internetové stránky [7], ve kterých jsou uvedeny všechny potřebné příkazy. V práci jsou uvedené příklady, které jsou převzaté z literatury [1], [2], [3], [4], [5], [6] a [8]. Dále tu jsou příklady, kterými jsem se inspirovala a pozměnila jsem jejich zadání a v neposlední řadě jsou tu vlastní příklady. Práce obsahuje 47 obrázků vytvořených v programu GeoGebra. 7
8 2 ZÁKLADNÍ TYP Základním typem diferenciálních rovnic jsou rovnice tvaru, tedy rovnice, ve kterých se nevyskytuje. Při řešení těchto rovnic využíváme neurčitý integrál řešením je a to včetně konstanty Diferenciální rovnice základního typu má tedy nekonečně mnoho řešení. (Samková, [5], s. 88) Příklady jsou nejdříve vyřešeny početně a poté následuje grafická prezentace pomocí matematického programu GeoGebra. Grafická podoba bude demonstrována na vybraném počtu různých konstant, které příklad přehledně ukážou, jak se rovnice chová pro konkrétní konstanty Tato kapitola je čerpaná výhradně z literatury. Pro podkapitolu bez počáteční podmínky jsou z literatury převzata jen zadání neurčitých integrálů a následně je na ně vytvořen příklad. U podkapitoly s počáteční podmínkou už jsou z literatury převzata kompletní zadání. 2.1 Bez počáteční podmínky Příklad 1 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice ([6], str. 85) Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru: Vypočítáme integrál: 8
9 Výsledkem je: kde. Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro Obr. 1: Grafické řešení příkladu Křivky vyplní celou rovinu Příklad 2 ([2], str. 5) Najděte všechna řešení diferenciální rovnice Ze zadání určíme podmínku: 9
10 Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru: Vypočítáme integrál: Výsledkem je: kde. Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro Křivky vyplní celou rovinu kromě přímky Obr. 2: Grafické řešení příkladu Příklad 3 ([6], str. 84) Najděte všechna řešení diferenciální rovnice. Ze zadání určíme podmínku:. Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru:. Vypočítáme integrál: úpravami dostaneme 10
11 Výsledkem je, kde. Grafická podoba různých řešení rovnice a to pro.. Křivky vyplní celou polorovinu. Obr. 3: Grafické řešení příkladu Příklad 4 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice. (vlastní příklad) Ze zadání nedostaneme žádnou podmínku, protože v našem příkladu bude výraz pod odmocninou vždy. Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru:. Vypočítáme integrál: pomocí substituce: dostaneme: 11
12 Výsledkem je, kde. Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro. Křivky vyplní celou rovinu. Obr. 4: Grafické řešení příkladu Příklad 5 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice. ([6], str. 90) Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru:. Vypočítáme integrál: Výsledkem je, kde. Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro 12
13 Obr. 5: Grafické řešení příkladu Křivky vyplní celou rovinu Příklad 6 ([2], str. 6) Najděte všechna řešení diferenciální rovnice Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru: Vypočítáme integrál: využijeme znalost vzorců: Výsledkem je:, kde Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro. 13
14 Křivky vyplní celou rovinu kromě přímek Obr. 6: Grafické řešení příkladu Příklad 7 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice. ([4], str. 112) Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru:. Vypočítáme integrál: použijeme metodu per partes: Výsledkem je, kde. Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro 14
15 Obr. 7: Grafické řešení příkladu Křivky vyplní celou rovinu Příklad 8 ([6], str. 84) Napište všechna řešení diferenciální rovnice. Nejprve určíme podmínku:. (Dosáhli jsme jí úpravou výrazu: ; z výrazu jasně podmínka vyplývá.) Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru:. Vypočítáme integrál:. Výsledkem je, kde. Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro. 15
16 Obr. 8: Grafické řešení příkladu Křivky vyplní celou rovinu kromě přímky Příklad 9 ([2], str. 8) Najděte všechna řešení diferenciální rovnice:. Ze zadání určíme podmínku:. Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru:. Vypočítáme integrál: pomocí dělení polynomů vyjde výraz se zbytkem, upravíme integrál do tvaru: a dopočteme:. 16
17 Výsledkem je, kde. Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro. Obr. 9: Grafické řešení příkladu Křivky vyplní celou rovinu kromě přímky Příklad 10 Napište všechna řešení diferenciální rovnice. ([4], str. 119) Ze zadání určíme podmínku:. Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru:. Vypočítáme integrál: Než se pustíme do výpočtu, vidíme, že v čitateli je derivace jmenovatele, jen chybí v čitateli dvojnásobek Podle věty: Nechť funkce má spojitou derivaci, 17
18 pak. Čitatel vynásobíme číslem, a aby se nezměnilo řešení, tak celý integrál vynásobíme a dopočítáme: Výsledkem je, kde. Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro. Obr. 10: Grafické řešení příkladu Křivky vyplní celou rovinu kromě přímek a. 2.2 S počáteční podmínkou Pokud nechceme všechna řešení diferenciální rovnice, ale chceme jedno konkrétní řešení, tedy řešení, které splňuje počáteční podmínku, tak toto řešení nazýváme partikulárním řešením. (Samková, 5) U těchto příkladů nás zajímá 1 konkrétní řešení, které vyhovuje uvedené počáteční podmínce. I přesto jsem do obrázků dala i další řešení, abychom viděli, jak vypadá celková situace. 18
19 2.2.1 Příklad 1 Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice, které vyhovuje uvedené počáteční podmínce: ([5], str. 92) Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru: Vypočítáme integrál: =. Výsledkem je: kde Grafická podoba různých řešení rovnice Křivky vyplní celou rovinu., a to pro My hledáme konkrétní řešení splňující podmínku vyjde. Tedy po dosazení Hledaným partikulárním řešením je funkce V obrázku je řešení tučně zvýrazněno. 19
20 Obr. 11:Grafické řešení příkladu Příklad 2 Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice, které vyhovuje uvedené počáteční podmínce: ([5], str. 92) Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru: Vypočítáme integrál:. Výsledkem je: kde. Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro Křivky vyplní celou polorovinu My hledáme konkrétní řešení splňující podmínku vyjde Tedy po dosazení 20
21 Hledaným partikulárním řešením je funkce V obrázku je řešení tučně zvýrazněno. Obr. 12: Grafické řešení příkladu Příklad 3 Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice, které vyhovuje uvedené počáteční podmínce: ([5], str. 92) Ze zadání určíme podmínku: Řešením rovnice budou všechny funkce ve tvaru: Vypočítáme integrál pomocí substituce: dostáváme: Výsledkem je:, kde. Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro Křivky vyplní celou rovinu kromě přímky. 21
22 My hledáme konkrétní řešení splňující podmínku vyjde Tedy po dosazení Hledaným partikulárním řešením je funkce V obrázku je řešení tučně zvýrazněno. Obr. 13: Grafické řešení příkladu
23 3 METODA SEPARACE PROMĚNNÝCH Tato metoda se používá pro diferenciální rovnice, ve kterých se vyskytuje, a které se dají upravit do tvaru tedy všechna převést na jednu stranu rovnice a všechna na druhou. Řešením takové diferenciální rovnice je splňující rovnici včetně konstanty, kterou stačí psát pouze na pravou stranu rovnice. (Samková, [5], s. 93) Postup je stejný jako u předchozí kapitoly. Tato kapitola je čerpaná výhradně z literatury a z vlastních příkladů. Některá zadání jsou kompletně převzatá, jen u malé části příkladů je zadání trochu pozměněné. 3.1 Bez počáteční podmínky Příklad 1 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: ([6], str. 114) Postupně řešíme: pro 23
24 Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru: kde Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro. Křivky vyplní celou rovinu. Obr. 14: Grafické řešení příkladu Příklad 2 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: ([5], str. 97) Postupně řešíme: pro Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru: kde Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro. 24
25 Obr. 15: Grafické řešení příkladu Křivky vyplní celou rovinu Příklad 3 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: (vlastní příklad) Postupně řešíme: Protože výraz pod odmocninou z poslední rovnice musí být, dostáváme podmínku: Řešení nerovnice je složité, neboť pro různá nám vyjdou různá. Pro každé bychom měli jinou podmínku. Podrobněji podmínku rozebereme s konkrétním. 25
26 Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru:, kde Grafická podoba různých řešení rovnice a to pro Obr. 16: Grafické řešení příkladu Křivky vyplní celou rovinu. Nyní se znovu vrátíme k podmínce:, podrobněji si ji nyní rozebereme s konkrétní hodnotou Zvolíme si 26
27 Mohou nastat dva případy (oba výrazy budou buď kladné anebo záporné), ve kterých bude nerovnost platit: pokud pokud Obr. 17: Podrobný náhled na řešení pro Z obrázku je vidět, že pro má rovnice konkrétní podmínku, a to Zvolíme si ještě jednu konkrétní hodnotu pro názornější představu. Zvolíme si 27
28 Pokud si do matematického programu GeoGebra zadáme levou stranu nerovnice ( ) jako funkci, tak zjistíme, že všechny hodnoty funkce jsou kladné. Tudíž nerovnost je splněna pro Řešení rovnice je definované na celém oboru Obr. 18: Podrobný náhled na řešení pro Příklad 4 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: (vlastní příklad) Postupně řešíme: 28
29 pro Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru: kde Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro. Křivky vyplní celou rovinu. Obr. 19: Grafické řešení příkladu
30 3.1.5 Příklad 5 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: ([6], str. 115) Ze zadání určíme podmínku:, z toho vyplývá, že: Zlomek můžeme napsat jako. Pak postupně řešíme: (1) Protože z rovnice (1) je zřejmé, že levá strana je vždy kladná, musí být kladná i pravá strana rovnice. Z toho vyplývá, že dostáváme podmínku pro pokud: pokud pokud Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru:, kde pro ; pro ; pro Grafická podoba různých řešení rovnice a to pro. 30
31 Křivky vyplní pouze I. kvadrant. Obr. 20: Grafické řešení příkladu Příklad 6 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: (vlastní příklad) Postupně řešíme: 31
32 můžeme upravit do tvaru: (1) (2) V rovnici (1) jsme využili znalost převrácené hodnoty. Z rovnice (2) je zřejmé, že levá strana je vždy kladná, proto totéž platí i pro pravou stranu. Z toho vyplývá, že dostáváme podmínku pro : (3) Nerovnost bude platit, když čitatel i jmenovatel budou kladné nebo oba dva budou záporné. V našem případě z nerovnice (3) vyplývá, že se budeme zabývat jen jmenovatelem, který musí být záporný, protože čitatel je také záporný. Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru: kde a jsou omezené podmínkou: Grafická podoba různých řešení rovnice a to pro. 32
33 Křivky vyplní pouze polorovinu. Obr. 21: Grafické řešení příkladu Nyní se znovu vrátíme k podmínce:, kde se budeme zabývat výrazem. Podrobněji si ji rozebereme s konkrétní hodnotou Zvolíme si Vhodně zvoleným Dosadíme za zjistíme kořen nerovnice. a zkusíme, zda není náhodou kořenem: je kořen. Výraz ( ) půjde vydělit výrazem : ( ) : 33
34 Výraz výraz nelze rozložit, bude vždy kladný, protože se nedá rozložit. O podmínce nám tedy rozhodne výraz : nastanou případy pokud tak pokud tak My chceme, takže pro je definiční obor řešení: Obr. 22: Podrobný náhled na řešení pro Zvolíme si ještě jednu konkrétní hodnotu pro názornější představu. Zvolíme si proto se budeme zabývat jen výrazem. Aby levá strana nerovnice byla, musí být i 34
35 Obr. 23: Podrobný náhled na řešení pro Pro je definiční obor řešení: Příklad 7 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: ([5], str. 95) Postupně řešíme: (1) 35
36 Z rovnice (1) dostáváme podmínku pro : Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru: kde, Grafická podoba různých řešení rovnice a to pro. Křivky vyplní pouze polorovinu Obr. 24: Grafické řešení příkladu Příklad 8 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: ([5], str. 97) Postupně řešíme: 36
37 lze upravit do tvaru: (1) následně upravíme: (2), pro (3) A zvolíme novou konstantu: a dostaneme řešení:, kde Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru:, kde Grafická podoba různých řešení rovnice. a to pro 37
38 Obr. 25: Grafické řešení příkladu Křivky vyplní celou rovinu kromě přímky Příklad 9 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: ([5], str. 97) Ze zadání určíme podmínku: Postupně řešíme: lze upravit do tvaru: následně upravíme:, pro. 38
39 a zvolíme novou konstantu: a dostaneme řešení:, kde Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru: Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro. Obr. 26: Grafické řešení příkladu Křivky vyplní celou rovinu kromě přímky Příklad 10 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice:. ([6], str. 114) Rovnici upravíme tak, aby byla připravena pro metodu separace proměnných: 39
40 a postupně řešíme: lze upravit do tvaru: následně upravíme: (1) Z rovnice (1) vznikla podmínka: Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru:, kde Grafická podoba různých řešení rovnice a to pro Obr. 27: Grafické řešení příkladu
41 Křivky vyplní celou rovinu Příklad 11 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: (vlastní příklad) Postupně řešíme: lze upravit do tvaru: následně upravíme: (1) Z rovnice (1) vznikla podmínka: Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru:, kde Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro 41
42 Křivky vyplní celou rovinu. Obr. 28: Grafické řešení příkladu Příklad 12 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: ([6], str. 114) Rovnici upravíme tak, aby byla připravena pro metodu separace proměnných: Touto úpravou bychom ztratili jedno řešení nulovou funkci. (Nulová funkce je funkce, která splňuje: pro všechna označuje se ) Postupně řešíme: lze upravit do tvaru: následně upravíme: 42
43 pro a zvolíme novou konstantu: a dostaneme řešení: Nyní se vrátíme ke ztracenému řešení; ( : (Zkusíme, jestli není náhodou řešením původní rovnice.) a dosadíme:, rovnice platí. Protože nulovou funkci můžeme zapsat jako, všechna řešení rovnice jsou funkce ve tvaru: (pro ) Grafická podoba různých řešení rovnice a to pro Křivky vyplní celou rovinu. Obr. 29: Grafické řešení příkladu
44 Příklad 13 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: ([6], str. 114) Rovnici upravíme tak, aby byla připravena pro metodu separace proměnných: Určíme podmínku: Úpravou rovnice bychom opět ztratili jedno řešení nulovou funkci. Postupně řešíme: lze upravit do tvaru: následně upravíme: a zvolíme novou konstantu: a dostaneme řešení: Nyní se vrátíme ke ztracenému řešení: zkusíme, jestli funkce je řešením. pro dosadíme: Protože všechna řešení rovnice můžeme napsat ve tvaru Grafická podoba různých řešení rovnice a to pro 44
45 Obr. 30: Grafické řešení příkladu Křivky vyplní celou rovinu kromě přímky Příklad 14 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: ([6], str. 114) Rovnici upravíme: Určíme podmínku: Úpravou rovnice bychom ztratili jedno řešení nulovou funkci. 45
46 Postupně řešíme: lze upravit do tvaru: následně upravíme: a zvolíme novou konstantu: a dostaneme řešení: Nyní se vrátíme ke ztracenému řešení: zkusíme, jestli funkce je řešením. pro dosadíme: Protože všechna řešení rovnice můžeme napsat ve tvaru Grafická podoba různých řešení rovnice a to pro 46
47 Křivky vyplní pouze pás, ve kterém je Obr. 31: Grafické řešení příkladu Příklad 15 Najděte všechna řešení diferenciální rovnice: ([2], str. 76) Rovnici upravíme: Touto úpravou bychom ztratili jedno řešení nulovou funkci. (Nulová funkce je funkce, která splňuje: pro všechna označuje se ) Postupně řešíme: lze upravit do tvaru: následně upravíme: 47
48 a zvolíme novou konstantu: a dostaneme řešení: Nyní se vrátíme ke ztracenému řešení: ( : dosadíme: Protože nulovou funkci můžeme zapsat jako rovnice jsou funkce ve tvaru: (pro ), všechna řešení Grafická podoba různých řešení rovnice a to pro Křivky vyplní celou rovinu. Obr. 32: Grafické řešení příkladu
49 3.2 S počáteční podmínkou Příklad 1 Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice, které vyhovuje uvedené počáteční podmínce: ([6], str. 115) Postupně řešíme: pro Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru: kde Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro. Křivky vyplní celou rovinu kromě přímek. My hledáme konkrétní řešení splňující podmínku. Tedy po dosazení vyjde Hledaným partikulárním řešením je funkce 49
50 Obr. 33: Grafické řešení příkladu Detail zobrazující konkrétní partikulární řešení. Obr. 34: Podrobný náhled na řešení splňující podmínku 50
51 3.2.2 Příklad 2 Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice, které vyhovuje uvedené počáteční podmínce: (vlastní příklad) Rovnici upravíme tak, aby byla připravena pro metodu separace proměnných: Postupně řešíme: (1) Z rovnice (1) je zřejmé, že levá strana je vždy kladná, proto totéž platí i pro pravou stranu. Z toho vyplývá, že dostáváme podmínku pro : (2) Nerovnost bude platit, když čitatel i jmenovatel budou kladné nebo oba dva budou záporné. V našem případě z nerovnice (2) vyplývá, že se budeme zabývat jen čitatelem, který musí být kladný, protože jmenovatel je také kladný. Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru: kde. Grafická podoba různých řešení rovnice a to pro. 51
52 Křivky vyplní pouze polorovinu: My hledáme konkrétní řešení splňující podmínku vyjde. Tedy po dosazení Hledaným partikulárním řešením je funkce V obrázku je řešení tučně zvýrazněno. Obr. 35: Grafické řešení příkladu
53 3.2.3 Příklad 3 Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice, které vyhovuje uvedené počáteční podmínce: ([5], str. 99) Řešené neexistuje, když se podíváme do zadání příkladu, je okamžitě zřejmé, že za nemůžeme dosadit. Partikulární řešení vhledem k uvedené počáteční podmínce neexistuje. Pro náš příklad si zvolíme jinou počáteční podmínku: Postupně řešíme: lze upravit do tvaru následně upravíme a zvolíme novou konstantu: a dostaneme řešení: Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro Křivky vyplní celou rovinu kromě přímky My hledáme konkrétní řešení splňující podmínku vyjde. Tedy po dosazení Hledané partikulární řešením je funkce. V obrázku je řešení tučně zvýrazněno. 53
54 Obr. 36: Grafické řešení příkladu Příklad 4 Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice, které vyhovuje uvedené počáteční podmínce: ([5], str. 99) Rovnici upravíme do potřebného tvaru: Tímto postupem jsme se připravili o nulové řešení, ale v počáteční podmínce žádná není. Tudíž to není problém. Postupně řešíme: lze upravit do tvaru následně upravíme 54
55 a zvolíme novou konstantu: a dostaneme řešení: Grafická podoba různých řešení rovnice, a to pro Křivky vyplní celou rovinu. My hledáme konkrétní řešení splňující podmínku vyjde. Tedy po dosazení Hledaným partikulárním řešením je funkce V obrázku je řešení tučně zvýrazněno. Obr. 37: Grafické řešení příkladu
56 4 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY A NULOVOU PRAVOU STRANOU Nechť máme, kde je k-tá derivace funkce Pak existuje vzájemně jednoznačná souvislost mezi tvarem řešení rovnice a mezi kořeny polynomu. jednonásobný reálný kořen dvojnásobný reálný kořen trojnásobný reálný kořen komplexní kořeny Řešení diferenciální rovnice je potom lineární kombinací příslušných funkcí za šipkou. ([9]) Tato kapitola je čerpaná výhradně z literatury. 4.1 Bez počáteční podmínky Příklad 1 ([1], str. 416) O řešení rovnice rozhodují kořeny polynomu Vypočítáme diskriminant :. ; tedy řešení rovnice 56
57 dosadíme do vzorce pro výpočet kvadratické rovnice:. Řešením kvadratické rovnice jsou dva jednonásobné reálné kořeny a Těmto kořenům přiřadíme funkci:. Kořenům tedy budou odpovídat příslušné funkce: a Řešení rovnice je ve tvaru: Grafická podoba: Nastalo 9 různých případů jak graficky zobrazit řešení rovnice. Koeficienty můžeme zapsat v těchto variantách: Z grafu vidíme různá řešení rovnice, konkrétně pro uspořádané dvojice koeficientů: 57
58 Obr. 38: Grafické řešení příkladu Lineární kombinace funkcí a vyplní celou rovinu. Pro názornou ukázku je v práci uvedena rozšířená grafická podoba. Pro její nepřehlednost je uvedená pouze u prvního příkladu. Z grafu vidíme různá řešení rovnice, konkrétně pro uspořádané dvojice koeficientů: 58
59 Obr. 39: Rozšířené grafické řešení příkladu Příklad 2 ([3], str. 167) O řešení rovnice rozhodují kořeny polynomu Ze zadání rovnice lze rovnou vypočítat kořeny:. ; tedy řešení rovnice Řešením kvadratické rovnice jsou dva jednonásobné reálné kořeny a Těmto kořenům přiřadíme funkci:. Kořenům tedy budou odpovídat příslušné funkce: a Řešení rovnice je ve tvaru: Grafická podoba: 59
60 Nastalo opět 9 různých případů jak graficky zobrazit řešení rovnice: Koeficienty můžeme zapsat v těchto variantách: Z grafu vidíme různá řešení rovnice, konkrétně pro uspořádané dvojice koeficientů: Obr. 40: Grafické řešení příkladu Lineární kombinace funkcí a vyplní celou rovinu Příklad 3 ([4], str. 327) O řešení rovnice rozhodují kořeny polynomu ; tedy řešení rovnice Vypočítáme diskriminant : 60
61 dosadíme do vzorce pro výpočet kvadratické rovnice: Řešením kvadratické rovnice je jeden dvojnásobný reálný kořen Tomuto kořenu přiřadíme funkci: Kořenům tedy budou odpovídat příslušné funkce: a. Řešení rovnice je ve tvaru: Grafická podoba: Nastalo 9 různých případů jak graficky zobrazit řešení rovnice: Koeficienty můžeme zapsat v těchto variantách: Z grafu vidíme různá řešení rovnice, konkrétně pro uspořádané dvojice koeficientů: 61
62 Obr. 41:Grafické řešení příkladu Lineární kombinace funkcí a vyplní celou rovinu Příklad 4 ([3], str. 167) O řešení rovnice rozhodují kořeny polynomu Z rovnice můžeme rovnou vypočítat kořeny:. ; tedy řešení rovnice, Řešením kvadratické rovnice jsou komplexní kořeny a. Komplexní kořeny jsou ve tvaru. Těmto kořenům přiřadíme funkce:. Kořenům tedy budou odpovídat příslušné funkce a. Řešení rovnice je ve tvaru:. 62
63 Grafická podoba: Nastalo 9 různých případů jak graficky zobrazit řešení rovnice: Koeficienty můžeme zapsat v těchto variantách: Z grafu vidíme různá řešení rovnice, konkrétně pro uspořádané dvojice koeficientů: Obr. 42: Grafické řešení příkladu Lineární kombinace funkcí a vyplní celou rovinu Příklad 5 ([8]) O řešení rovnice rozhodují kořeny polynomu. ; tedy řešení rovnice 63
64 Vypočítáme diskriminant : Pokud je rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. Rovnice má řešení v oboru komplexních čísel. dosadíme do vzorce pro výpočet kvadratické rovnice: Řešením kvadratické rovnice jsou komplexní kořeny a. Komplexní kořeny jsou ve tvaru:. Těmto kořenům přiřadíme funkce:. Kořenům tedy budou odpovídat příslušné funkce a. Řešení rovnice je ve tvaru:. Grafická podoba: Nastalo 9 různých případů jak graficky zobrazit řešení rovnice: Koeficienty můžeme zapsat v těchto variantách: Z grafu vidíme různá řešení rovnice, konkrétně pro uspořádané dvojice koeficientů: 64
65 Obr. 43: Grafické řešení příkladu Lineární kombinace funkcí a vyplní celou rovinu Příklad 6 ([2], str. 81) O řešení rovnice rozhodují kořeny polynomu ; tedy řešení rovnice Vhodně zvoleným Dosadíme za zjistíme kořen rovnice., abychom zjistili, zda není kořenem: Výraz ( je kořen. ) půjde vydělit výrazem ( ): 65
66 Výraz Z výrazu zjistíme další kořeny tím, že vypočítáme diskriminant : dosadíme do vzorce a dopočteme: Výraz lze tedy rozepsat na součin:., tedy Výraz lze tedy rozepsat na součin: Řešením rovnice třetího řádu je jeden trojnásobný reálný kořen Tomuto kořenu přiřadíme funkce:. Kořenům tedy budou odpovídat příslušné funkce:,. Řešení rovnice je ve tvaru: Grafická podoba: U příkladu můžeme najít různých kombinací koeficientů kterými se může graficky zobrazit řešení rovnice. Pro přehlednost se budeme zabývat pouze -ti případy, jak graficky zobrazit řešení rovnice. Koeficienty můžeme zapsat v těchto variantách: 66
67 Z grafu vidíme různá řešení rovnice, konkrétně pro uspořádané trojice koeficientů: Obr. 44: Grafické řešení příkladu Lineární kombinace funkcí a vyplní celou rovinu Příklad 7 ([3], str. 167) O řešení rovnice rozhodují kořeny polynomu. ; tedy řešení rovnice 67
68 Z rovnice můžeme rovnou vypočítat kořeny:. Řešením rovnice třetího řádu je jeden dvojnásobný reálný kořen a jeden jednonásobný reálný kořen Těmto kořenům přiřadíme funkce: Kořenům rovnice tedy budou odpovídat příslušné funkce:, a. Řešení rovnice je ve tvaru:. Grafická podoba: U příkladu můžeme najít různých kombinací koeficientů kterými se může graficky zobrazit řešení rovnice. Pro přehlednost se budeme zabývat pouze -ti případy, jak graficky zobrazit řešení rovnice. Koeficienty můžeme zapsat v těchto variantách: Z grafu vidíme různá řešení rovnice, konkrétně pro uspořádané trojice koeficientů: 68
69 Obr. 45: Grafické řešení příkladu Lineární kombinace funkcí a vyplní celou rovinu Příklad 8 ([3], str. 167) O řešení rovnice rozhodují kořeny polynomu ; tedy řešení rovnice Vhodně zvoleným Dosadíme za zjistíme kořen rovnice., abychom zjistili, zda není kořenem: Výraz ( je kořen. ) půjde vydělit výrazem ( ) : Výraz 69
70 Z výrazu zjistíme další kořeny tím, že vypočítáme diskriminant : Pokud je, tak výraz nemá v oboru reálných čísel řešení. Řešení má v oboru komplexních čísel. Dosadíme do vzorce pro výpočet kvadratické rovnice: Výraz lze tedy rozepsatna součin: Výraz lze tedy rozepsat na součin: Řešením rovnice třetího řádu je jeden jednonásobný reálný kořen a komplexní kořeny a Tomuto kořenům přiřadíme funkce: a. Kořenům tedy budou odpovídat příslušné funkce:. Řešení rovnice je ve tvaru: Grafická podoba: U příkladu můžeme najít různých kombinací koeficientů kterými se může graficky zobrazit řešení rovnice. Pro přehlednost se budeme zabývat pouze -ti případy, jak graficky zobrazit řešení rovnice. 70
71 Koeficienty můžeme zapsat v těchto variantách: Z grafu vidíme různá řešení rovnice, konkrétně pro uspořádané trojice koeficientů: Obr. 46: Grafické řešení příkladu Lineární kombinace funkcí a vyplní celou rovinu. 71
72 4.2 S počáteční podmínkou Příklad 1 Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice, která vyhovuje uvedeným počátečním podmínkám: ([2], str. 80) O řešení rovnice rozhodují kořeny polynomu ; tedy řešení rovnice Vypočítáme diskriminant : dosadíme do vzorce pro výpočet kvadratické rovnice:. Řešením kvadratické rovnice jsou dva jednonásobné reálné kořeny a Těmto kořenům přiřadíme funkci:. Kořenům tedy budou odpovídat příslušné funkce: a Řešení rovnice je ve tvaru: Grafická podoba: Nastalo 9 různých případů jak graficky zobrazit řešení rovnice. Koeficienty můžeme zapsat v těchto variantách: 72
73 Z grafu vidíme různá řešení rovnice, konkrétně pro uspořádané dvojice koeficientů: Lineární kombinace funkcí a vyplní celou rovinu. My hledáme konkrétní řešení splňující podmínky: Po derivaci: Po dosazení počátečních podmínek rovnic o dvou neznámých: dostaneme soustavu dvou Postupnými úpravami dostaneme a. Hledaným partikulárním řešením je rovnice: V obrázku je řešení tučně zvýrazněno. 73
74 Obr. 47: Grafické řešení příkladu
75 5 ZÁVĚR Cílem této bakalářské práce bylo vytvořit ucelenou a přehlednou sbírku, která se zabývá Diferenciálními rovnicemi s programem GeoGebra. Každý příklad je nejprve vypočítaný a poté je graficky znázorněný pomocí programu GeoGebra. V této práci byla použitá dostupná verze GeoGebra 4.2. Tato práce měla za úkol tedy vyzdvihnout řešení příkladů i jinak než početně. Každá kapitola začíná stručnou teorií a následuje souhrn řešených příkladů, ke kterým musí student znát učivo i předchozích Matematických analýz I. a II. např.: metody výpočtu neurčitého integrálu. Ilustrační obrázky ukazují vybraná zajímavá řešení a jejich závislost na konstantě. Studentovi pomůže dynamický software s představou, jak příklad vypadá. Sbírka jde využít jako studijní materiál k předmětu Matematická analýza III. Práce se výhradně zaměřuje pouze na kapitoly diferenciální rovnice základního typu, na metodu separace proměnných a na lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a s nulovou pravou stranou. Jenom pro kompletnost studijního materiálu chybí v této práci kapitola Lineární diferenciální rovnice prvního řádu, které se řeší pomocí integračního faktoru. 75
76 6 LITERATURA [1] DLOUHÝ, Zbyněk, Karel HRUŠA a Jiří KŮST. Úvod do matematické analýzy: učebnice pro pedagogické fakulty. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1965, 469 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství). [2] HŘEBÍČKOVÁ, Jana, Jana SLABĚŇÁKOVÁ a Hana ŠAFÁŘOVÁ. Sbírka příkladů z matematiky II. Vyd. 1. Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2008, 86 s. ISBN [3] CHARVÁT, Jura. Matematika 2: sbírka příkladů. Vyd. 1. Praha: Nakladatelství ČVUT, 2006, 206 s. ISBN [4] KAŇKA, Miloš a Jiří HENZLER. Učebnice matematiky. Vyd. 1. Praha: Vysoká škola ekonomická v Praze, 1996, 373 s. ISBN [5] SAMKOVÁ, Libuše. Matematické modelování v biologických disciplínách. 1. vyd. V Českých Budějovicích: Jihočeská univerzita, Pedagogická fakulta, 2011, 137 s. ISBN [6] SAMKOVÁ, Libuše. Sbírka příkladů z matematiky. Vyd. 1. Praha: ČVUT, Fakulta architektury, 2002, 122 s. ISBN Ostatní zdroje [7] [8] [9] Přednášky z Matematické analýzy III. (akademický rok 2012/2013) 76
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceMatematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
VíceGRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný
VíceDIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ DIPLOMOVÁ PRÁCE Diplomant: Vedoucí diplomové práce: Zdeněk ŽELEZNÝ RNDr. Libuše Samková,
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceLogaritmická rovnice
Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,
VíceVZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
VíceM - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceÚvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav
Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
VíceVýuka odborného předmětu z elektrotechniky na SPŠ Strojní a Elektrotechnické
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Oddělení celoživotního vzdělávání Závěrečná práce Výuka odborného předmětu z elektrotechniky na SPŠ Strojní a Elektrotechnické Vypracoval:
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceJaké potraviny děti preferují?
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Oddělení celoživotního vzdělávání Závěrečná práce Jaké potraviny děti preferují? Vypracoval: Ing. Milan Hejda Vedoucí práce: doc. PaedDr.
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Více4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
VíceALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VíceV exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:
Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
VíceEXPONENCIÁLNÍ ROVNICE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceCVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
VíceUrčete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
Více1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceNerovnice. Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková
Nerovnice Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů
VíceSoustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceMocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
VíceLogaritmické a exponenciální funkce
Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální
VíceJihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Název bakalářské práce v ČJ Název bakalářské práce v AJ
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra informatiky Název bakalářské práce v ČJ Název bakalářské práce v AJ Bakalářská práce Vypracoval: Jméno Příjmení Vedoucí práce: Vedoucí
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Více4.3.3 Goniometrické nerovnice
4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
VíceLogaritmické rovnice a nerovnice
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Více2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
Vícekuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()
Více9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
VíceNerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
Více2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceAsymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze
Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě
VíceMETODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH
Více2.3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými
.3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými Předpoklady: 308 Př. 1: Najdi všechna řešení nerovnice 6x + 1 10. Zkusíme jako u rovnice. 6x + 1 10 3y 9 6x 9 6x y = 3 x 3 Jak zapsat množinu všech řešení? K
VíceJednoduchá exponenciální rovnice
Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH
(Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)
VíceLimita ve vlastním bodě
Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než
VíceStřední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.7/1.5./34.5 Šablona: III/ Přírodovědné předměty
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceNejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.
@021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VíceANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a
Více4.3.2 Goniometrické nerovnice
4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
VíceTest M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
VíceŘešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0
Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme
VícePokyny pro odevzdání bakalářských a diplomových prací pro akademický rok 2018/2019
Pokyny pro odevzdání bakalářských a diplomových prací pro akademický rok 2018/2019 1. Práci je třeba odevzdat ve dvou exemplářích 2x pevná vazba 2. Kvalifikační práce se odevzdává v termínu určeném Harmonogramem
VíceExponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.
Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VícePOŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
Více