Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Transkript

1 Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋ (8 bodů) Ve fundamentálním systému rovnice xy + (6x 1)y + (9x 3)y = 0 leží jistá exponenciální funkce. Vyřešte tuto rovnici. ➌ (4 body) Nalezněte všechny funkce g(x) : R R, pro které je wronskián funkcí x 2 a g(x) roven výrazu x(1 2x)g(x). ➍ (9 bodů) Nalezněte obor konvergence a součet řady ( 1) n x 2n+1 n(2n + 1)3 n 1. Výsledku užijte k vyčíslení hodnoty ( 1) n 1 n(2n+1)3 n 1. ➎ (8 bodů) Zkonstruujte Taylorovu řadu funkce g(x) = 1 3 x 1 v bodě c = 2 a stanovte její obor konvergence. Výsledek upravte do tvaru s vícenásobnými faktoriály. ➏ (3 body) Rozhodněte (a korektně zdůvodněte), zda platí tento výrok: f n (x) A f n (x) = B f n (x) A B.

2 Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta B středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (10 bodů) Rozhodněte (a korektně zdůvodněte), zda je možno na intervalu I = ( 1, 1) derivovat řadu funkcí člen po členu. n=2 ln( n2 x 2 +1 n 2 ) (n ln(n)) 2 ➋ (3 body) Rozhodněte (a korektně zdůvodněte), zda platí tento výrok: f n (x) A g n (x) A f n (x)g n (x) A. ➌ (5 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady ( 1) n e 4xn n + 2 na množině Ω = (0, + ). ➍ (8 bodů) Pro rovnici x 2 y + x(x 8)y 4(x 5)y = 6x 7 existuje monom, který leží v jejím fundamentálním systému. Rovnici vyřešte. ➎ (10 bodů) Formálním řešením diferenciální rovnice y = y2 2xy x 2 y 2 + 2xy x 2 procházejícím bodem (2, 2) je kružnice. Toto formální řešení korektně odvoďte a jeho podobu načrtněte. ➏ (4 body) Nalezněte všechny funkce g(x) : R R, pro které je wronskián funkcí x 3 a g(x) roven výrazu 2x 2 ( x 2 cos(2x) g(x) ).

3 Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta C středa 20. listopadu 2014, 13:20 15:20 ➊ (5 bodů) Najděte funkci, která se na celém R rovná devítinásobku své druhé derivace, má funkční hodnotu v bodě nula rovnou pěti a první derivaci v bodě nula má nulovou. ➋ (9 bodů) Vyšetřete stejnoměrnou konvergenci řady na množině A = (0, + ). m=1 mx (3m 1)!!! 3 m (12m 2 + x 2 ) m! ➌ (3 body) Nechť L je diferenciální operátor řádu n N zavedený standardní definicí. Označme W q = { y(x) C n (I) : L(y(x)) = q(x) }. Dokažte, že jsou-li v(x), w(x) W q, pak v(x) w(x) W 0. Jakého poznatku v důkaze využíváte? ➍ (7 bodů) Sestavte Taylorovu řadu funkce f (x) = ln(1 + 4x) v bodě c = 2 a vyšetřete její obor konvergence. ➎ (8 bodů) Nalezněte součet řady ( 1) m+1 xm+1 m 2 1. m=2 ➏ (8 bodů) Ve fundamentálním systému diferenciální rovnice leží funkce e2x x. Vyřešte tuto rovnici. xy + 2y 4xy = xe 2x

4 Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta C středa 11. prosince 2014, 13:20 15:20 ➊ (4 body) Načrtněte formální řešení diferenciální rovnice vyhovující podmínce y( 3) = 3. x (4y 12)y = 0 ➋ (7 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady na množině 0, + ). ( 1) n (4x)n e x (5n)!!!!! ➌ (8 bodů) Sestavte Maclaurinovu řadu funkce g(x) = ln ( x x 2). Stanovte také její obor konvergence. Výsledek upravte do tvaru s vícenásobnými faktoriály. ➍ (9 bodů) Pro rovnici x 2 (1 2x)y (x) + 4x ( x 2 x + 1 ) y (x) + ( 8x 2 + 4x + 2 ) y(x) = 0 existuje převrácená hodnota monomu, která leží v jejím fundamentálním systému. Rovnici vyřešte. ➎ (6 bodů) Vyšetřete stejnoměrnou konvergenci posloupnosti funkcí ( x n (1 3x) n arctg(n 2 ) ) na množině 0, 1 3. ➏ (7 bodů) Nalezněte součet řady ( 1) n 1 n(2n + 1) 3 n.

5 Zápočtová písemná práce č. 2 z předmětu 01MAB3 varianta A úterý 6. ledna 2015, 9:30 11:30 ➊ (6 bodů) Nechť je dán normovaný prostor C ( 1, 1 ), v němž je norma generována funkcionálním skalárním součinem 1 f g = f (x)g(x) dx. Pro která m N platí, že 1 x m U 2/3 (x)? ➋ (8 bodů) Kombinací tří metod (metoda superpozice, metoda predikce partikulárního řešení, metoda variace konstant) řešte obyčejnou diferenciální rovnici y + 4y + 4y = e 2x x xe x. V záznamu řešení specifikujte místa, kde jste jednotlivé metody užili. ➌ (8 bodů) Pro kvadratickou plochu, která je v R 3 zadána rovnicí x 2 6xy + 2xz 14x + 9y 2 10yz + 46y + z 2 22z + 56 = 0, určete normální tvar, název, hlavní a vedlejší signaturu a transformační vztahy, které ji na normální tvar převádějí. Nalezené vztahy upravte do maticového tvaru (x, y, z) = M(a, b, c) + (r, s, t). Numerické chyby v tomto příkladě se netolerují! ➍ (7 bodů) Řešte Cauchyovu úlohu pro diferenciální rovnici ➎ (8 bodů) Nalezněte formální řešení diferenciální rovnice y 2 x 2 y + 4 x 3 y = 0, y(1) = 1, y (1) = 1, y (1) = 1. 2x(2y + x)y = 2y 2 x 2 vyhovující podmínce y(2) = 0. Detailně diskutujte, co vypočtené formální řešení představuje a načrtněte ho. ➏ (3 body) Na množině M = {,, } je zavedena metrika tabulkou? 3??????? která obsahuje pouze celá čísla, jejichž absolutní hodnota je menší než 6. Doplňte chybějící čísla v tabulce.

6 Zápočtová písemná práce č. 2 z předmětu 01MAB3 varianta B úterý 6. ledna 2015, 9:30 11:30 ➊ (7 bodů) Řešte Cauchyovu úlohu pro diferenciální rovnici ➋ (8 bodů) Nalezněte formální řešení diferenciální rovnice y + 2 x y y x 2 + y x 3 = 0, y(1) = 3, y (1) = 3, y (1) = 8. y = y2 x2 2 2xy + x 2 vyhovující podmínce y(2) = 0. Detailně diskutujte, co vypočtené formální řešení představuje a načrtněte ho. ➌ (3 body) Na množině M = {,, } je zavedena metrika tabulkou?????? 5?? která obsahuje pouze celá čísla, jejichž absolutní hodnota je menší než 6. Doplňte chybějící čísla v tabulce. ➍ (8 bodů) Pro kvadratickou plochu, která je v R 3 zadána rovnicí x 2 + 2xy 6xz + 14x + y 2 10yz + 22y + 9z 2 46z + 58 = 0, určete normální tvar, název, hlavní a vedlejší signaturu a transformační vztahy, které ji na normální tvar převádějí. Nalezené vztahy upravte do maticového tvaru (x, y, z) = M(a, b, c) + (r, s, t). Numerické chyby v tomto příkladě se netolerují! ➎ (6 bodů) Nechť je dán normovaný prostor C ( 0, 1 ), v němž je norma generována funkcionálním skalárním součinem 1 f g = x f (x)g(x) dx. Platí nebo neplatí tvrzení 0 limnorm n x n = 0? n + ➏ (8 bodů) Kombinací tří metod (metoda superpozice, metoda predikce partikulárního řešení, metoda variace konstant) řešte obyčejnou diferenciální rovnici y 8y + 16y = e4x x + e4x. V záznamu řešení specifikujte místa, kde jste jednotlivé metody užili.

7 penalizace -3 Zápočtová písemná práce č. 2 z předmětu 01MAB3 varianta C pondělí 12. ledna 2015, 13:00 15:00 ➊ (5 bodů) Nalezněte lineární transformaci, která převádí kvadratickou formu na formu ➋ (6 bodů) Pro která β R je kvadratická forma q(x, y, z) = x 2 + 4xy + 2xz + 3y yz 4z 2 q(a, b, c) = a 2 + 6ab 4ac + 8b 2 2bc 17c 2. q( x) = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) β β + 1 β β + 1 β β β + 2 β + 1 β negativně semidefinitní? Zvažte možné postupy a volte jednodušší variantu výpočtu. Doplňování na čtverce je totiž v případě semidefinitnosti značně neefektivní. x 1 x 2 x 3 x 4 ➌ (9 bodů) Řešte rovnici y 2 y x 2 = 1 za podmínek y(1) = 4 3, y (1) = 0. ➍ (8 bodů) Řešte diferenciální rovnici víte-li, že rovnici řeší jakákoli funkce tvaru xy + (3 6x)y + 12(x 1)y + (12 8x)y = 24x 8x 2 12, y(x) = Cxe 2x + x, ( C R ). ➎ (5 bodů) Nechť je dán Hilbertův prostor R 2 generovaný skalárním součinem ( ) ( ) def 1 0 y1 x y = (x 1, x 2 ) Rozhodněte (a své tvrzení poté dokažte), zda je posloupnost ( 3 xn = n, 2n + 3 ) 4n v takovém prostoru cauchyovská. y 2 ➏ (8 bodů) Kombinací tří metod (metoda superpozice, metoda predikce partikulárního řešení, metoda variace konstant) řešte obyčejnou diferenciální rovnici y 8y + 16y = e4x x + e4x. V záznamu řešení specifikujte místa, kde jste jednotlivé metody užili.