Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏

Transkript

1 Cvičící: KOLAR KOSTKOVA KOZAK NOVAK STRACHOTA Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 varianta A pondělí 13. dubna 2015, 11:20 13:20 ➊ (1 bod) Do tabulky výše vyplňte své příjmení a jméno a zakroužkujte příjmení vašeho cvičícího. ➋ (8 bodů) Užitím transformace (r, s) = ( ) y, 2 y řešte parciální diferenciální rovnici ( 4 2 u y 2 u y + 2 y 2 2 u y 2 + (22 3y) u ) + y u + 2 y2 y 2 u = 0. Neopomeňte stanovit maimální množinu regularity zadané transformace. ➌ (7 bodů) Prověřte, zda má funkce f (, y) = y 5+2y +y... y, 2y... = y, vbodě(0, 0) a) derivaci, b) totální diferenciál, c) směrovou derivaci ve směru s = (1, 1). ➍ (7 bodů) Nalezněte Maclaurinovu řadu funkce h(, y) = y 1 + y 2 + y a poté eplicitně vypište tvar koeficientu stojícího před monomem 4 y 9. Do obrázku také načrtněte průnik množiny Q = {(, y) R 2 : 3y = 0} a příslušného oboru konvergence. ➎ (9 bodů) Nechť a, b, c > 0 jsou pevně zvolené parametry. Nalezněte lokální etrémy funkce f (, y, z) = 2yz 2cy na množině G = {(, y, z) E 3 :, y, z > 0 2 a 2 + y2 b 2 2 z } c = 0. Povšimněte si, že oblast G leží pouze v prvním oktantu! ➏ (9 bodů) Nalezněte polynom druhého stupně aproimující na okolí bodu a = ( 0, y 0 ) = (2, 1) chování funkce z = z(, y), jež je zadána rovnicí z 3 + 4z + 3y 2 = 5z y. Numerické chyby v tomto příkladě se netolerují.

2 Cvičící: KOLAR KOSTKOVA KOZAK NOVAK STRACHOTA Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 varianta B pondělí 13. dubna 2015, 11:20 13:20 ➊ (1 bod) Do tabulky výše vyplňte své příjmení a jméno a zakroužkujte příjmení vašeho cvičícího. ➋ (9 bodů) Nalezněte polynom druhého stupně aproimující na okolí bodu a = ( 0, y 0 ) = (1, 2) chování funkce z = z(, y), jež je zadána rovnicí z 3 + 4yz + 7 = 5z y 2. Numerické chyby v tomto příkladě se netolerují. ➌ (9 bodů) Nechť a, b > 0 jsou pevně zvolené parametry. Nalezněte lokální etrémy funkce f (, y, z) = 2y(z 2) na množině G = { (, y, z) E 3 :, y, z > 0 (a) 2 + (by) 2 = a 2 b 2 z }. Povšimněte si, že oblast G leží pouze v prvním oktantu! ➍ (7 bodů) Prověřte, zda má funkce f (, y) = 4+3y +y... + y 0, y = 0, vbodě(0, 0) a) derivaci, b) totální diferenciál, c) směrovou derivaci ve směru s = (1, 2). ➎ (7 bodů) Nalezněte Maclaurinovu řadu funkce h(, y) = y a poté eplicitně vypište tvar koeficientu stojícího před monomem 7 y 4. Do obrázku také načrtněte průnik množiny Q = {(, y) R 2 :3 y = 0} a příslušného oboru konvergence. ➏ (8 bodů) Užitím transformace (r, s) = ( y, ) 2 y řešte parciální diferenciální rovnici 2 2 u 2 + y2 2 u y 2 + 2y 2 u 2u(, y) = 0. y Neopomeňte stanovit maimální množinu regularity zadané transformace.

3 Cvičící: KOLAR KOSTKOVA KOZAK NOVAK STRACHOTA Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 varianta C pondělí 27. dubna 2015, 15:30 17:30 ➊ (1 bod) Do tabulky výše vyplňte své příjmení a jméno a zakroužkujte příjmení vašeho cvičícího. ➋ (9 bodů) Nechť a, b, c > 0 jsou pevně zvolené parametry. Nalezněte lokální etrémy funkce f (, y, z) = yz na množině } G = {(, y, z) E 3 :, y, z > 0 4 a 4 + y4 b 4 + z2 c 2 = 1. Povšimněte si, že oblast G leží pouze v prvním oktantu! ➌ (7 bodů) Prověřte, zda má funkce g(, y) = 2 y 4y y 2... y, 3e e y... = y, v bodě (0, 0) a) derivaci, b) totální diferenciál, c) směrovou derivaci ve směru s = (2, 1) a d) směrovou derivaci ve směru r = (1, 1). ➍ (10 bodů) Transformujte parciální diferenciální rovnici y 2 2 u 2 2y 2 u y u y 2 u y u y = 0 pro neznámou funkci u(, y) na rovnici pro funkci u(ϱ, ϕ) prostřednictvím vztahů = ϱ cos(ϕ), y = ϱ sin(ϕ). ➎ (5 bodů) Nalezněte bod a R 2 a množiny U, W R 2 tak, aby y( 3) 2 5 lim (,y) a,(,y) U ( 3) 4 + 5y 2 = 10 lim (,y) a,(,y) W y( 3) 2 ( 3) 4 + 5y 2 = 1 6. ➏ (9 bodů) Nechť je dána funkce F(, y, z, u) C 2 (E 4 ) abod λ = (1, 1, 1, 1), pro který F( λ) = 0. Nechť dále gradf( λ) = (3, 3, 3, 3) a Hessova matice funkce F(, y, z, u) v bodě λ má všechny prvky jednotkové. Nechť F(, y, z, u) = 0, 2 y 2 + z 2 = 1 jsou rovnice generující dvě implicitní funkce u = u(, z) a y = y(, z). Ověřte, že dané předpoklady garantují eistenci takové dvojice implicitních funkcí a vypočítejte 2 u (1, 1). z Numerické chyby v tomto příkladě se netolerují.

4 Zápočtová písemná práce č. 2 z předmětu 01MAB4 varianta A úterý 19. května 2015, 9:00 11:00 ➊ (6 bodů) Nechť ϕ() = 3( + 1)... > 0, , je vytvořující funkce Jordanovy m(x) : Kr R i Lebesgueovy míry μ(x) :M μ R. Nechť U = 2, 0. Čemu se rovná m(u) a čemu μ(u)? ➋ (9 bodů) Vypočtěte Lebesgueův integrál Q ( + 5y)2 dμ 2 (, y), kde Q = { (, y) R 2 : 2 + 4y + 13y 2 1 }, je-li Lebesgueova míra generována vytvořujícími funkcemi ϕ() = a ψ(y) = y y. ➌ (10 bodů) Vypočítejte plošný integrál S (43 z, 4y 3 z, 3z 4 ) dμ s (, y, z), kde S je hranicí oblasti O = { (, y, z) R 3 :( 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 < 2 + y 2 z 2 z > 0 }. Zvažte možné postupy a volte nejjednodušší variantu řešení. ➍ (7 bodů) Vypočítejte: e a6 e b6 0 4 d. ➎ (8 bodů) Nechť a, b, c > 0. Vypočtěte klasickou třídimenzionální míru množiny ( B = (, y, z) R3 : a + y ) 2 + z2 b c 2 a y b.

5 Zápočtová písemná práce č. 2 z předmětu 01MAB4 varianta B úterý 19. května 2015, 9:00 11:00 ➊ (7 bodů) Nechť a, b, c > 0. Vypočtěte klasickou třídimenzionální míru množiny M = (, y, z) 2 R3 : z 0 a 2 + y2 b 2 + z c 5 y ab. ➋ (8 bodů) Vypočítejte: 0 arctg(a) (1 + 2 ) d. ➌ (9 bodů) Vypočtěte Lebesgueův integrál Q ( + 3y)2 dμ 2 (, y), kde Q = { (, y) R 2 : 2 + 6y + 13y 2 1 }, je-li Lebesgueova míra generována vytvořujícími funkcemi ϕ() = a ψ(y) = y 3. ➍ (10 bodů) Vypočítejte plošný integrál S (43 z, 4y 3 z, 3z 4 ) dμ s (, y, z), kde S je hranicí oblasti O = { (, y, z) R 3 :( 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 < 2 + y 2 z 2 z > 0 }. Zvažte možné postupy a volte nejjednodušší variantu řešení. ➎ (6 bodů) Nechť ϕ() =... > 3, , je vytvořující funkce Jordanovy m(x) : Kr R i Lebesgueovy míry μ(x) :M μ R. Nechť W =, 3. Čemu se rovná m(u) a čemu μ(u)?

6 X Zápočtová písemná práce č. 2 z předmětu 01MAB4 varianta C pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 ➊ (8 bodů) Nechť a, b, c > 0. Pro [( T = (, y, z) R3 :, y, z > 0 a + y ) 4 z 4 ] 2 ( + b a b) + y 4 z 4. c 4 c 4 vypočtěte T z d(, y, z) ➋ (10 bodů) Nechť R > 0. Vypočtěte obsah plochy S = { (, y, z) E 3 : ( + y )2 + ( y )2 + z 2 = R 2}. ➌ (6 bodů) Z definice, tj. bez použití věty o převodu abstraktního integrálu na klasický, vypočítejte (L ) dμ(), 2,3 je-li Lebesgueova míra μ(x) zadána vytvořující funkcí ϕ() = 3. Uveďte, jaký konstrukční krok (I/II/III) užíváte a proč to lze. ➍ (7 bodů) Pro hodnoty parametrů α>0 a β, γ R vypočtěte integrál 0 e α cos2 (β) cos 2 (γ) d. ➎ (9 bodů) Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa T = { (, y, z) R 3 : 2 + y 2 + z z 2 }.

7 X Zápočtová písemná práce č. 2 z předmětu 01MAB4 varianta D pátek 29. května 2015, 9:00 11:00 ➊ (9 bodů) Nechť a, b, c > 0. Užitím souřadnic vypočtěte třírozměrnou míru (objem) tělesa T = = aϱ cos(ϑ) cos(ϕ) y = bϱ cos(ϑ)sin(ϕ) z = c ϱ sin(ϑ) { (, y, z) E 3 : ➋ (8 bodů) Pro parametry a > 0 a b R vypočtěte určitý integrál 2 } a 2 + y2 b 2 + z4 c 4 1. Užijte větu o derivaci integrálu s parametrem. 0 e a sin2 (b) d. ➌ (9 bodů) Nechť a, b R + jsou parametry. Vypočtěte plošný integrál kde I = bd(b) ( ) 3 3 ; y3 3b 2 ; +y 2 e2 dμ s (, y, z), B = { (, y, z) E 3 : b y 2 + b 2 z 2 2ab 2}. Zvažte možné postupy a volte nejjednodušší variantu řešení. ➍ (8 bodů) Vypočtěte délku asteroidy A = { (, y) E 2 : y 3 2 = 3 } a 2 y 0, kde a > 0 je pevně zvolený parametr. Asteroidu detailně načrtněte! ➎ (6 bodů) Z definice, tj. bez použití věty o převodu abstraktního integrálu na klasický, vypočítejte (L ) + 2 dμ(), 2,3 je-li Lebesgueova míra μ(x) zadána vytvořující funkcí ϕ() = sgn(). Uveďte, jaký konstrukční krok (I/II/III) užíváte a proč to lze.

8 Opravná zápočtová písemná práce z předmětu 01MAB4 pondělí 1. června 2015, 9:00 11:00 ➊ (12 bodů) Nalezněte lokální etrémy funkce f (, y, z) = 4z( + y) + 5y na množině G = { (, y, z) E 3 :3 + 3y + 4z = 28 }. ➋ (11 bodů) Nalezněte lokální etrémy implicitní funkce z = z(, y) zadané rovnicí z 3 + 3z y + 2y y = 38. ➌ (8 bodů) Nechť a, b, c > 0 jsou pevně zvolené parametry. Vypočítejte klasickou třídimenzionální míru a z tovou souřadnici těžíště tělesa T = (, y, z) R3 : ( 2/3 y2/3 + a2/3 b 2/3 ) 3 + z2 c 2 z c. ➍ (9 bodů) Podle prvního konstrukčního kroku definice Lebesgueova integrálu vypočítejte (L ) 2 dμ(), 0,3) je-li Lebesgueova míra μ(x) zadána vytvořující funkcí ϕ() = 4Θ() 2. Podrobně rozepište a specifikujte značení z definice. ➎ (12 bodů) Prověřte, zda má funkce g(, y) = 3( + 2) + (y 1) 2 +(y 1) 2... (, y) (0, 1), 6... (, y) = (0, 1), totální diferenciál v bodě (0, 1). Své tvrzení podrobně komentujte! Pro udělení zápočtu je nutno získat alespoň 26 bodů.