Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n."

Transkript

1 SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n ( n n ( n + n n lim n n! (n + )! n! n n lim (4 + + n lim n lim n ( ) n + ) lim n ( )n! lim n n n n n + ) (5 n ) 5 lim n n sin n n lim n n! (n + ) ) (n ) ( n + n + + n n ) ln n lim n n

2 ( lim ) n e n n lim n ( ) n+7 n + e n + 5 (n ) (n + ) lim n (n + ) 5 lim n ( ) n + n ( ) n+ + n+ Nalezněte limitu posloupnosti {a n }, jestliže n + n a n =, n + 4 n + n N Určete, zda-li existuje limita posloupnosti a n = (n + ) + n(n ), n N n lim n ( )n+ Pokud neexistuje, určete lim inf a lim sup posloupnosti. Řešení. limita neexistuje, lim inf =, lim sup = Určete, zda-li existuje limita posloupnosti lim n ( + ) n n n + sin nπ Pokud neexistuje, určete lim inf a lim sup posloupnosti. Řešení. limita neexistuje, lim inf =, lim sup =

3 Číselné řady Rozhodněte o konvergenci řad: n n + n n + konvergentní divergentní divergentní + n + n divergentní ( ) n n n= ln n n n n n ln n (n + ) (n + )! n= n n! divergentní divergentní konvergentní konvergentní konvergentní konvergentní a kn, k N, < a < konvergentní ( ) + n konvergentní n= + n e n n sin π n sin n konvergentní konvergentní divergentní

4 sin n n n sin n ( ) cos n n= (ln n) ln n ( ) n+ n n n + ( ) n+ n (n + )! n= konvergentní konvergentní divergentní konvergentní konvergentní divergentní n n konvergentní ln n n ( n ) + n + + n e n ( n ) n e n! konvergentní divergentní konvergentní konvergentní divergentní Vyšetřete konvergenci řady v závislosti na parametru p R. Řešení. konverguje pro p > ( ) n (n ) p ln + n n + n= 4

5 Vyšetřete konvergenci řady: + sin cos n n + sin cos tg n n n n n + n n + n n ( ( ) n arctg n + ) n konverguje konverguje konverguje n + n ( ) n + n konverguje - odmocn. kr. n ( n ) n n konverguje - odmocn. kr. n= Pro které parametry p R konverguje řada: e pn p (, ) pe pn n p n ( ) n sin ( n + n ) p, ) n p, n p p ( /, ) Rozhodněte o konvergenci řady a určete, kolik členů řady je nutno sečíst, aby chyba byla menší než dané ε: n(n + ), ε = n > n= n= n= ln n n, ε = n > n ln n, ε = n > e ln n n, ε = n > 77 + n, ε = n > 5

6 ( ) n n +, ε = n > 9 7n ( ) n n +, ε = n > 5 n n e n, ε = n > 4 Rozhodněte o konvergenci řady ( ) n ln( + n ) Nápověda: ln( + n ) ln n+ = (n + ) ln, pak podílovým a srovnávacím kr. Řešení: konverguje. Rozhodněte o konvergenci řady ( π ) Nápověda: sin n, tg π 4 n Rozhodněte o konvergenci řady ( 4 ( π ) tg sin n 4 n ) n, pak srovnávacím kr. Řešení: konverguje. ( Nápověda: + ) n < e. n Řešení: diverguje. e n ) n ( + n Určete Cauchyův součin řad Výsledek: k= a k k!, b j j!. j= (a + b) n. n! n= Určete Cauchyův součin řad Výsledek: kq k, k= ( ) j jq j. j= nq n. n= 6

7 Funkční řady Příklad. Určete obor konvergence následujících řad: n= ( x ) n n sin x (, ) sin x x (, ) n+ ( ) n x + x (, ) x ( ) n + x x ( ), x ( x ( n x sin x + ) n ( x ) 5, + 5 ( n x n x, ) x n n x (, ) n + n ) x (, ) n (n + ) n n n+ x n x, ) Příklad. okažte, že následující řady konvergují stejnoměrně na daném intervalu I: ( ) n, I =, ) x + n x n, I = b, b, < b < n= ( x ) n sin, I = π n+, π n= ( ) n, I = (, ) n + sin x sin nx n /, I = (, ) 7

8 okažte, že řada a n sin nx konverguje stejnoměrně na (, ) za předpokladu, že a n konverguje absolutně. okažte, že řada a n cos nx konverguje stejnoměrně na (, ) za předpokladu, že a n konverguje absolutně. Příklad. Určete obor konvergence a obor stejnoměrné konvergence řad: e nx Výsledek: konverguje na (, ), konverguje stejnoměrně na a, ), a > ln n x Výsledek: konverguje na ( e, e), konverguje stejnoměrně na a, b, e < a < b < e nx e nx Výsledek: konverguje na, ), konverguje stejnoměrně na a, ), a > Výsledek: konverguje stejnoměrně na (, ) Výsledek: konverguje stejnoměrně na (, ) x 4 + n x + n 4 x Výsledek: konverguje stejnoměrně na, ) Výsledek: konverguje stejnoměrně na, x e nx x n n(n + ) Výsledek: konverguje stejnoměrně na (, ) cos nx n 8

9 Příklad. Určete obor stejnoměrné konvergence řad: Výsledek: (, ) x x + n Výsledek: (, ) x arctg x + n e n x Výsledek: konverguje na (, ), konverguje stejnoměrně na a, ), a > Výsledek: (, ) sin nx n n Příklad. Určete poloměr konvergence řady (n )! n n x n ϱ = e n= x n n! ϱ = Příklad. Určete poloměr a obor konvergence řady Výsledek: ϱ =, obor konvergence, ) (x )n n Výsledek: ϱ =, obor konvergence, ) n + n xn Výsledek: ϱ = /, obor konvergence ( /, /) 4 n x n n= x n sin n 9

10 Výsledek: ϱ =, obor konvergence, ) Výsledek: ϱ =, obor konvergence ( 5, ) n= (x + )n n Výsledek: ϱ =, obor konvergence, ) (x )n n Příklad. Určete součet řady n= x n n Výsledek: + x + ln( x) x ln( x), x, ) 4 x (n + )x n Výsledek: +x ( x ), x (, ) Výsledek: x(+x) ( x), x (, ) n= n x n Příklad. Je dána řada n= x n n + (a) Určete obor konvergence řady. (b) Určete součet řady. Výsledek: (a), ) (b) x+ln( x) x Příklad. Je dána řada nx n (a) Určete obor konvergence řady. (b) Určete součet řady. Výsledek:

11 (a) (, ) (b) x ( x) Příklad. Rozviňte do Taylorovy řady o středu c = funkci f(x) = arctg x a určete obor konvergence této řady. Výsledek: f(x) = xn+ n= ( )n, x, n+ Příklad. Rozviňte do Taylorovy řady o středu c = funkci f(x) = ln(4 x ) a určete obor konvergence této řady. Výsledek: f(x) = ln x n, x (, ) n n Příklad. Rozviňte do Taylorovy řady o středu c = funkci f(x) = této řady. Výsledek: f(x) = n= ( + ( )n ) x n, x (, ) ( x)(+x) Příklad. Rozviňte do Taylorovy řady o středu c = funkci f(x) = této řady. Výsledek: f(x) = n= ( )n ( n+ )x n, x (, ) (+x)(+x) a určete obor konvergence a určete obor konvergence Příklad. Odvod te rozvoj funkce f(x) = ln( + x) v nekonečnou řadu na základě vztahu f (x) = Výsledek: ( )n+ xn, x (, n +x.

12 Fourierovy řady Příklad. Napište Fourierovu řadu funkce f(x) = { x x (,, x (,. Nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: / a = x dx = 4 a n = / b n = x cos(nπx) dx = / f(x) 8 + π cos nπ x sin nπx dx = nπ Příklad. Určete v intervalu π, π Fourierovu řadu funkce cos nπ n π = ( )n n π, n =,,... = ( )n+, n =,,... nπ ( ) n cos(nπx) + ( ) n+ sin(nπx) n nπ f(x) = x + x Nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: f(x) π 4 + ( ) n cos(nx) + ( )n+ sin(nx) n π n Příklad. Určete v intervalu, Fourierovu řadu funkce { x + x, ), f(x) = x x,. Nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: a n = pro n =,,,.... f(x) π n sin(nπx) Příklad. Určete v intervalu π, π Fourierovu řadu funkce { x π,, f(x) = x (, π.

13 Nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: a =, a n = pro n =,,... f(x) + π ( ) n sin(nx) = n + π n= sin(n + )x n + Příklad. Určete v intervalu π, π Fourierovu řadu funkce f(x) = x. Nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: b n = pro n =,,... f(x) π + π ( ) n n cos(nx) = π 4 π cos(n )x (n ) Příklad. Je dána funkce f(x) = x, x (,. Určete kosinovou Fourierovu řadu této funkce, nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: b n = pro n =,,... f(x) + π ( ) n n cos(nπx) = 4 π cos(n )πx (n )

14 vojné integrály Příklad. Zakreslete v kartézském souřadnicovém systému O; i, j množiny: ) A = {x, y R : x y, y, x }, ) A = {x, y R : x y, y }, ) A = {x, y R : y x, y x }, 4) A = {x, y R : x + y 4, y x, y }, 5) A = {x, y R : x + y 4x, x + y x }, 6) A = {x, y R : x y x, x y 5 x }, 7) A = {x, y R : x + y y, y x + }, 8) A = {x, y R : x + y y, x + y y + }, 9) A = {x, y R : x + y + 4x, x + y + 4x 4y + 4 }. Příklad. Zakreslete v kartézském souřadnicovém systému O; ohraničenou ) množinu A vymezenou křivkami: i, j kompaktní ( tj. uzavřenou a ) A : x =, x =, y = x, y = x, A = {x, y R : x, y x, y x }, ) A : y =, y =, x = y, x = y, A = {x, y R : y, x y, x y}, ) A : y = x, x = y + 4, A = {x, y R : y x 4, y x}, 4) A : y = x +, y = (x ), x =, y = x +, A = {x, y R : y x +, y (x ), x, y x + }, 5) A : x y =, x + y =, x + y + =, A = {x, y R : y x, y x, y x}, 6) A : y x =, y x =, x 4y + =, A není určena jednoznačně, existují čtyři různé kompaktní množiny vymezené danými křivkami: A = {x, y R : y x, y x, x 4y + }, A = {x, y R : y x, y x, x 4y + }, A = {x, y R : y x, y x, x 4y + }, A 4 = {x, y R : y x, y x, x 4y + }, 7) A : y = 4 x, y = x, x + 4y + =, A není určena jednoznačně, existují dvě různé kompaktní množiny vymezené danými křivkami: A = {x, y R : y 4 x, y x, x + 4y + }, A = {x, y R : y 4 x, y x, x + 4y + }. 4

15 Příklad. Zakreslete v kartézském souřadnicovém systému O; i, j množinu A a vyjádřete ji jako elementární obor. typu A = {x, y R ; a x b, g (x) y g (x)} nebo. typu A = {x, y R ; c y d, h (y) x h (y)}, event. vyjádřete A jako sjednocení elementárních oborů : ) A = {x, y R : x y, y x}, A = {x, y R : x, x y x } nebo A = {x, y R : y, y x y}, ) A = {x, y R : y x, y x}, A = {x, y R : x 4, x y x}, ) A = {x, y R : 9 (y + ) (x ), x y, x }, A = {x, y R : x 4, 9 (x ) y x }, 4) A = {x, y R : y x, y 8x, y x + }, A = {x, y R : x, x + y 8x} {x, y R : x, x y 8x}, 5) A = {x, y R : y x, (y + ) x}, A = {x, y R : x, x y x } nebo A = {x, y R : y, (y + ) x y }, 6) A = {x, y R : y x, y 4x, x y 4, y }, A = {x, y R : x, x 4 y x } {x, y R : x, x 4 y x}, 7) A = {x, y R : y x, y x, x y, }, A = {x, y R : x, x y x } {x, y R : x, x y x } {x, y R : x 4, x y x}, nebo A = {x, y R : y, y x y + } {x, y R : y, y x y + } {x, y R : y, y x y + }, 8) A = {x, y R : y 5 x, y x }, 5 A = {x, y R : x, x y x }, 9) A = {x, y R : sin x y + cos x, x π}, A = {x, y R : pi x π, sin x y + cos x}. ) A = {x, y R : y arctg x π 4, y π }, A = {x, y R : x, arctg x y π }, ) A = {x, y R : y arctg x, y π 4 x, y π}, 4 A = {x, y R : x, arctg x y π} nebo lépe A = {x, y 4 R : y π, 4y, x tg y} 4 π ) A = {x, y R : y x, y ln x, y }, A = {x, y R : x, x y } {x, y R : x e, ln x y } nebo lépe A = {x, y R : y, y x e y }, 5

16 ) A = {x, y R : x + y, y y + x + }, A = {x, y R : x, x y + 5 x} {x, y 4 R : x 5, 4 5 x y + 5 x} nebo lépe A = {x, y 4 4 R : y, y x y +y }. Příklad. Zakreslete v kartézském souřadnicovém systému O; i, j kompaktní množiny A vymezené křivkami a zapište je jako elementární obor. nebo. typu: ) A : y =, y = 8, y = x x x, y = 4x, A = {x, y R : x, y 4x} {x, y x R : x, y }, ) A : y = x, y = x, y = x, A = {x, y R : x, x y x} {x, y 8 R : x 8, x y x 8 }, ) A : y = x, y = x, y = x, A = {x, y R : x, x y x } {x, y R : x, x y x }. Příklad. Vypočtěte následující dvojnásobné integrály: π/ π/ π ( x + y ) dx dy, cos y cos ϕ x 4 dx dy, 4 5π 6 5 x π + y dy dx, x a x x r sin ϕ dr dϕ, x dy dx, y x ln y dy dx, e x dx dy, x y dy dx a π 6 6

17 Příklad. Vypočtěte integrály přes dvojrozměrný interval : dxdy, =, 4,, (x + y) e x+y dxdy, =,,, ln 5 4 (e ) ( e ) x π + y dxdy, =,,, xy dxdy =, a, b, 4 9 a b sin (x + y) dxdy, =, π π 4, π, x y cos ( xy ) dxdy, =, π,, π 6 xy cos(x + y) dxdy, = x y cos(xy ) dxdy, =, π, π, π, π,, π xy e xy dxdy, =,,, xye xy dxdy, = Příklad. Převed te dvojný integrál,,. (e e/ 4e /4 + 4e /8 ) f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li dána kompaktní množina : ) Množina je vymezena trojúhelníkem s vrcholy A,, B,, C,, x f(x, y)dxdy = f(x, y)dydx, y ) Množina je vymezena rovnoběžníkem s vrcholy K,, L, 4, M, 7, N, 5, x+ 4 y/ 5 7 f(x, y)dydx = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy, x 4 5 ) Množina je ohraničená hyperbolou y x = a kružnicí x + y = 9, přičemž obsahuje bod O = (, ), y 7

18 f(x, y)dydx+ 9 x 9 x y f(x, y)dxdy+ 9 y 5 5 y +x f(x, y)dydx+ +x 5 5 f(x, y)dxdy+ 9 y 9 y 9 y y y f(x, y)dxdy+ f(x, y)dxdy, 4) Množina = {x, y R ; x + y a }, a a x a a y f(x, y)dydx = f(x, y)dxdy. a a x a a y 9 x f(x, y)dydx = 9 x 9 y f(x, y)dxdy+ 9 y Příklad. Vypočtěte následující integrály f(x, y) dxdy, je-li kompaktní rovinný obrazec vymezený danými křivkami: (x y) dxdy, : y =, y = x, x + y =, ( x + y ) dxdy, : y = x, y = x, x dxdy, : x = + sin y, x =, y =, y = π, x dxdy, : x =, y = x, xy =, y 4 π 9 4 cos (x + y) dxdy, : x =, y = π, y = x, xy dxdy, : y, (x ) + y =, 4 (x + y + ) dxdy, : x + y = 4, 4π (x ) y dxdy, : x =, y = x +, y =. 4 4 Příklad. Vypočtěte integrály { e x y dxdy, M = x, y R : x >, y >, y <, y > x }, e M M x y dxdy, M = { x, y R : x <, y > /x, y < 4x },

19 M x (y + sin(πy)) dxdy, M = { x, y R : x >, y >, y < x + }, M M x( y) dxdy, M = { x, y R : x + y <, y >, y < x }, M M xy dxdy, M = (x + y) dxdy, M = { x, y R : y > x, y < }, xy dxdy, M = { x, y R : x + y <, y > x + }, M {x, y R : y < ln x, y <, y >, < x < }, xy dxdy, M = { x, y R : y <, y > x }. π + π 48 4π ( e ) 8 4 Příklad. Vyjádřete dvojný integrál použitím vhodné transformace a následně vypočítejte pro zadanou funkci: ) 4 x x f(x, y)dydx, f(x, y) = x + y, u = x, v = y x, Návod: Užijte transformační rovnice: u = x, v = y x. ) f(x, y) dxdy, = {x, y R : x, x y x, y }, f(x, y) = (x y), ) 4) 5) 6) Návod: Užijte transformační rovnice: u = x + y, v = x y. f(x, y) dxdy, = {x, y R : x, x y x}, f(x, y) = (x y), Návod: Užijte transformační rovnice: u = x, v = x + y. f(x, y) dxdy, je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkami: xy =, xy =, y = x, y = x, pro x, y, f(x, y) =, Návod: Užijte transformační rovnice: u = xy, y = vx. f(x, y) dxdy, je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkami: y = x, y = x, xy =, xy =, zaved te proměnné u = xy, y = vx, f(x, y) =, Návod: Užijte transformační rovnice: u = xy, y = vx f(x, y) dxdy, je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkami: y = x, y = 8x, y = x, y = x, f(x, y) =, 8 Návod: Užijte transformační rovnice: x = uy, y = vx. 9

20 7) f(x, y) dxdy, množina je vymezena nerovnicí: x + y a, a, f(x, y) =. Návod: Užijte transformační rovnice: x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ. Řešení. 4 u ) u ) ) 4) 5) u / / 8 8 f (u, v + u) dvdu f ( u+v, ) u v dvdu f (u, v u) dvdu f f ( u, uv ) v ( ) u v, uv,, 4 v dudv,, 5 4,,, ln, dudv, ln, v ( 6) f u v, ) uv, 49, a π 7) f ( ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ ) ϱ cos ϕ sin ϕ dϕdr dudv, 8 πa. Příklad. Vyjádřete dvojný integrál použitím transformace do polárních souřadnic: ) f(x, y) dxdy, = {x, y R : x + y r }, ) ) 4) 5) f(x, y) dxdy, = {x, y R : x + y ax}, je-li a) a, b) a, f(x, y) dxdy, = {x, y R : x + y by}, je-li a) b, b) b, f(x, y) dxdy, = {x, y R : x + y 6, x + y, y x, y x }, f(x, y) dxdy, kde je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkami: x +y = 4x, x +y = 6) 8x, y = x, y = x, f(x, y) dxdy, kde je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkami: y = x, y =, x =, 7) f(x, y) dxdy, kde je vnitřní část pravé smyčky Bernoulliovy lemniskáty (x + y ) = a (x y ), a,

21 Řešení. ) ) ) 4) 5) 6) 7) π r a) a) π 4 f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ, π π π π 4 arctg π 4 π 4 a cos ϕ b sin ϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ, b) f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ, b) 4 f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ, π 4 π 4 cos ϕ 8 cos ϕ 4 cos ϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ, a cos ϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ,, π π π a cos ϕ b sin ϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ,, Příklad. Vypočtěte integrály s použitím transformace do polárních souřadnic: ( x + y ) πa dxdy, = {x, y R : x + y a 4, x, y }, x ln ( + x + y ) dydx, π 4 (7 ln 7 6) Příklad. Vypočtěte integrály (x + y ) dxdy, M = { x, y R : x + y < a }, M (x + y )e x +y dxdy, M = { x, y R : x < y < } x, < x + y <, πa4 π 4 M M M 4 x y dxdy, M = { x, y R : x >, y > x, x + y < }, a x y dxdy, M = { x, y R : x + y < ax }, a >, 4 π( ) a ( π 4 )

22 M M M { ( y arctg dxdy, M = x, y R x) : < x + y < 9, x < y < } x, x y + x + y dxdy, M = { x, y R : x >, y >, x + y < }, ln(x + y ) { dxdy, M = x, y R : x < y < } x, < x + y < 4, x + y ln( + x + y ) dxdy, M = { x, y R : x + y < 6, x >, y > }. π π 6 8 π 4 π ln π 4 (7 ln 7 6) M Příklad. Vypočtěte integrály y x + y dxdy, M = { x, y R : < x < y, y < x }, M M M xy dxdy, M = { x, y R : x + y < a }, a >, x dxdy, M = { x, y R : < x <, < y < cosh x }. (5 ln ln ) a4 e Příklad. Vypočtěte dvojný integrál pomocí transformace do zobecněných polárních souřadnic x = aϱ cos p ϕ, y = bϱ sin p ϕ, kde a, b, p jsou vhodně zvolené konstanty: { } ) x a y b dxdy, = x, y R x : a + y, a >, b >, b πab Nápověda: x = aϱ cos ϕ, y = bϱ sin ϕ. Řešení:. { } ) xy dxdy, = x, y R x : a + y, x, y, a, b, b Nápověda: x = aϱ cos ϕ, y = bϱ sin ϕ. Řešení: a b 8. ) dxdy, je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkou: 4 x + 4 y =, x, y, 4 9 Nápověda: x = 4ϱ cos 8 ϕ, y = 9ϱ sin 8 8 ϕ. Řešení: 5. ( 4) dxdy, je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkou: x + ) y a b = x y, x, y, a b Nápověda: x = aϱ cos ϕ, y = bϱ sin ab ϕ. Řešení:.

23 Geometrické a fyzikální aplikace dvojného integrálu Příklad. Vypočtěte obsah kompaktního rovinného obrazce A vymezeného křivkami: ) x + y =, x + y =, y = x, y = x, ) y = cos x, x π, y =, ) y = 4, y = x, y = x, 9 ln 4 4) y = x, y = 4 x 6, 5) y =, y = x +, y =, y = x, 4 6) y = x, y = x, 7) xy = a, x = ay, y = a, x =, (a ), ( a + ln ) 8) y =, y = 4x, y = 8, 5 ln 4 x 9) A kompaktní obrazec vymezený křivkou x + y = 5, tečnou k této křivce v bodě A =, a přímkou y =, 5 5 arcsin 5 ) x + y = 4x, x + y = x, y = x, y =, (π + ) ) x + y = 4x, x + y = 8x, y = x, y = x, arctg + 6 sin arctg π 6 ) (x a) + y = a, x + (y a) = a, ( a π ) ) y = px + p, y = qx + q, p, q >, (p + q) pq 4) x 4 + y 4 = a (x + y ). Příklad. Vypočtěte obsah rovinného obrazce A: ) A = {x, y R : y x, y x, x + y + 9 }, ) A = {x, y R : y x, y x, y x }, 4 ( 4 πa + 4 ) 9 4. ) A = {x, y R : 9 (y + ) (x ), x y, x }, 4) A = {x, y R : (y + ) x, y + + x }, 5 5) A = {x, y R : y x, y 8x, y x + }, 9 6) A = {x, y R : y x +, y (x ), y x +, x }, 7 6 7) A = {x, y R : x y 4, y 4x, y + x }, 9 8) A = {x, y R : x, arctg x y }, ln + tg 9) A = {x, y R : y, y x, y ln x}, e 5 ) A = {x, y R : y x, y e x, y }, ) A = {x, y R : x + y 4, x + y }, π ) A = {x, y R x : + y, x + y }, 9 4 (π ) ) A = {x, y R : x, y }, x x, Pozor, nevlastní integrál! 4) A = {x, y R : x, e x y e x }, 5) A = {x, y R : x, e x y }. π+ x + Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah části roviny ohraničené křivkou x + y = 5, tečnou k této ( křivce v bodě A ) =, a přímkou y =. Řešení. 5 arcsin 5 5

24 Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah části roviny Ω = { x, y R : y > x, y <, x >, y < x + } ( ) Ω = { x, y R : y < x +, x + y <, y > } π + 4 Ω = { x, y R : < x < a, < y < a, (x a) + (y a) > a } (, a > a π ) 4 { Ω = x, y R : x + y 6y <, x + y y >, x < y < } x. π + 4 Ω = { x, y R : x + y < ax, x + y < by, }, a, b >, a π + a b ( sin( arctg a b ) arctg a ) b Ω = { x, y R : x >, y >, x + y > a, (x + y ) a (x y ) < } a ( π ), a >. 4 Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte objem tělesa (tělesem rozumíme kompaktní množinu v trojrozměrném prostoru) W, je-li W vymezeno plochami: ) 6x 9y + 5z =, x y =, 4x y =, x + y = 5, z =, 5 ) x + y + z = 6, x + y =, y =, z =, 4 ) x =, y =, z =, x = π, y = π, z = sin x sin π y, 4 4) z = x + y, x + y =, x =, y =, z =, 6 5) z = x + y +, x + y =, x =, y =, z =, 4 6) y = x, x + y + z = 4, y =, z =, ) x = 6 5y, y = x, z 9, 4 5 8) x = y, x = 4 y, z =, z = 9, 6 9) y = x, x = y, z = + y x, z =, ) z = x y, y, z, x, ) x + z = 6, y =, z =, y = x, x, 64 ) y = x, y = x, z = x y, 5 ) z = 4 x y, z = + x + y, π 4) x 4 9 z, z = x 4 9 5) x + y = 4, x + y z = 4, π ( ) 6) x + y z =, x + y z = 4, π ( ) ( ) 7) x + y = a, x + y + z = 4a 4πa, 8 ( ) 8) x + y ax =, x + y + z = 4a 6a, a, π 4 9) x + y = x, x + y = z, z, 9 ) z = 4 y, y = x 56 ( ) ) x + y + z =, x + y + z = 6, z = x + y, z, π ) x + y + z = 4, x + y = z, 9π 6 ) z = x + y, x + y = x, x + y = x, z =, 45π 4) z = xy, x + y = x, z, 5) z = y, z = x pro x y, x, 6 6) x + y 4 9 =, 6π 4

25 7) x 4 + y 9 = z, x 4 + y 9 + z =, 4π ( ) Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte objem tělesa Ω = {x, y, z R : z > (x + y ), z < } 5 x + y 48 π K = { x, y, z R : x, y Ω, < z < x + y }, Ω = { x, y R : x < y < x } 6 5 Ω = {x, y, z R : z > (x + y ), z < } 5 x + y 48 π Ω = { x, y, z R : x + y + z <, x >, y >, z >, z < } 6 π Ω = { x, y, z R : x + y + z <, z > x + y } 7 6 π Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah části plochy S, je-li: ) S = {x, y, z R : 6x + y + z =, x, y, z }, 4 ) S = {x, y, z R : x + y + z 4 =, x =, x =, y =, y = }, 4 ) S = {x, y, z R : z = xy, x, x, y, y 6, z }, 6 4) S = { x, y, z R : z = x, y x, y x, x }, 5) S = {x, y, z R : x + z =, y, z, x + y }, π 6) S = {x, y, z R : x + y = z, x + y }, π ( 8 ) ( ) 7) S = {x, y, z R : z = xy, x + y a π }, ( + a ) 8) S = {x, { y, z R : y + z = x, x + y a }, πa 9) S = x, y, z R x : + y x = z, + y, πab ( 8 ) a b a b ( ) ) S = {x, y, z R : x + y + z = 4, x + y, z }, 4π ) S = {x, y, z R : z = } ( ) 4 x y, x + y z, 4π { } ) S = x, y, z R : x + y + z x = 9, + y, arcsin { ) S = x, y, z R : z = } x y, x + y x, π { 4) S = x, y, z R : z = } x + y, x + y x, π ( ) 5) S = {x, y, z R : y + z = ax, y πa ax, x a, a > }, π { x, y, z R : z = x + y, z y }, 6) S = 7) S = {x, y, z R : z = 4x, y 4x, x }, 6 ( ) 8 8) S = {x, { y, z R : x + z =, x + y }, 8 9) S = x, y, z R : z = } 4 x y, x + 4 y <. 4 π Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah části plochy x + z = ohraničené plochami y =, z =, x + y =. Řešení. π Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah části plochy z = x + y, < z < a, a >. π ( Řešení. ( + 4a) ) + 4a 6 5

26 Příklad. Vypočtěte hmotnost rovinné desky A, je-li: ) A = {x, y R : x, x 4, y, y }, σ(x, y) v jejím libovolném bodě P je přímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu P od O = (, ), ) A kompaktní obrazec vymezený křivkami: y = e x, y = e π pro x ; σ (x, y) = sin x, ) A = {x, y R : y x, y, x y }, σ (x, y) = x, x 4) A kompaktní obrazec vymezený křivkami: y = x, y =, x = pro x ; σ (x, y) = y x, 5) A kompaktní obrazec vymezený křivkami: y = x, y = x 4 pro x ; σ (x, y) = y x, 6) A kompaktní obrazec vymezený křivkami: y = x, y = pro x ; σ (x, y) = y x, 7) A = {x, y R : x y, x y + }, σ (x, y) = x, 8) A = {x, y R : y π, y x, y arctg x }, σ (x, y) = x, 9) A = {x, y R : y x, y x }, σ (x, y) = x + y, ) A = {x, y R : x + y + x 6y + 6 }, σ (x, y) = y, ) A = {x, y R : x + y 4y x + y y, y x }, σ (x, y) = x, ) A = {x, y R : x + y x, x + y 4x ; }, σ (x, y) = y, ) A = {x, y R : x + y ay, y + x, a }, σ (x, y) = x, 4) A kompaktní obrazec vymezený křivkami: x + y = 4, x + y =, x y, σ (x, y) = x y, Řešení. ), ) e π eπ, ) ln 4) 6, 5) 4, 6) 8 ) π ), ) 8, ) a, 4) ) 7 8) Příklad. Vypočtěte statický moment S x vzhledem k ose x, resp. S y vzhledem k ose y: π 7π+8 9) 6 ) S x, S y kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = x +, y = x x = 4, σ(x, y) =,, x =, ) S x, S y kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = 4x + 4, y = x + 4, σ(x, y) = x, ) S x rovinného obrazce A = {x, y R : y sin x, x π }, σ(x, y) = cos x, 4) S x kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y =, y =, y = x, y = ln x, σ(x, y) = k, 5) S y rovinného obrazce A = {x, y R : y x, y x, y }, σ(x, y) = y, 6) S y rovinného obrazce A = {x, y R : x + y 4, x }, σ(x, y) = x 4 x y, 7) S y rovinného obrazce A = {x, y R : 4x + y 9, x, y }, σ(x, y) = xy, 6

27 8) S y rovinného obrazce A = {x, y R : x + y 4 4, y }, σ(x, y) = x, 9) Statický moment půlkruhu o poloměru r = a vzhledem k jeho průměru, σ(x, y) =, ) Statický moment obdélníka o stranách a, b vzhledem ke straně a, σ(x, y) =. Řešení. ) S x = 4, S y = 48, ) S x =, S y = 9 5. ) Sx =, 4) Sx = k ( e + ) 8 e, 5) Sy = 5 + ln, 64 6) S y = π, 7) S 5 y = 4, 8) Sx = 4, 9) S = 56 πa, ) S = ab. Příklad. Vypočtěte statický moment vzhledem k ose y tenké homogenní rovinné desky M = { x, y R : < x <, y < cosh x } Řešení. S y = e kgm Příklad. Vypočtěte hmotnost a statický moment vzhledem k ose x tenké homogenní rovinné desky M = { x, y R : y >, (x ) + (y ) < } Řešení. m = π kg, S x = kgm Příklad. Vypočtěte souřadnice (souřadnici) těžiště: ) x T rovinného obrazce A = {x, y R : x + y a, x y }, a, σ(x, y) = x, ) y T rovinného obrazce A = {x, y R : x y, y x }, σ(x, y) = k, ) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: xy = a, y = 8ax, x = a, a, σ(x, y) =, 4) T rovinného obrazce A = {x, y R : x + y, y x +, y }, σ(x, y) =, 5) x T rovinného obrazce A = {x, y R : x + y 4, y x }, σ(x, y) = xy, 6) T rovinného obrazce A = {x, y R : x + y ay, }, a, σ(x, y) = y, 7) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: x =, y =, (x a) + (y a) = a, a, σ(x, y) =, 8) T rovinného obrazce A = {x, y R x : + y, x, y }, a >, b >, σ(x, y) =, a b 9) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: x =, y =, y = x, σ(x, y) = x+, ) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = x, y = x x, σ(x, y) = x, ) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = sin x, y =, x = π, σ(x, y) =, 4 ) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = 4x + 4, y = x + 4, σ(x, y) =, ) T kruhové výseče o středovém úhlu α, poloměru a, σ(x, y) =, 4) T kruhové desky x +y a, a je-li σ(x, y) v každém jejím bodě M přímo úměrná vzdálenosti ϱ (A, M), A = a,. 7

28 Řešení. ) x T = (π )a 6(, ) ) 5) x T = 4(4 ) 5 ) T 9, 9 5 4) T a,. 5 4 y T = (+ ln ), 6) T 5a, 8 (, ) T π 4, 7) T, ) T ) ( + ), π 6 5a, 5a (+ ln ) 8(+ ln ) a( π), a( π) (4 π) (4 π), 4) T, 8) T 4a π, 4b π ( + ), ) T 5,, ) T Příklad. Vypočtěte těžiště tenké homogenní rovinné desky { Ω = x, y R : y > h } b x + h, y >,, h >, b > (π+), π+,, 9) T π 8 a sin α α, ln π 4 π, a(cos α ) α,, T =, 5 h { Ω = x, y R : y < x, y > x, y < } x T =.9,.9 Ω = { x, y R : x + y <, y < x +, y > } T = (π + ), π + Ω = { x, y R : xy > a, y < 8ax, x < a } 47 7, a > T = ( 4 ln 4)a, ln 4)a Příklad. Vypočtěte moment setrvačnosti : ) I x kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: x + y =, x =, y =, σ(x, y) =, ) I y kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: x =, x = 4, y = x +, y =, σ(x, y) = x, x ) I x, I y rovinného obrazce A = {x, y R : x y x }, σ(x, y) = k, 4) I x rovinného obrazce A = {x, y R : y ( h b ) x + h, y, h, b > }, σ(x, y) =, 5) I x kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = x, y = x 4, σ(x, y) = y x, 6) I x, I y kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: xy = a, xy = a, x = y, x = y, x, z, σ(x, y) =, a >, 7) I x rovinného obrazce A = {x, y R : x + y a, a }, σ(x, y) =, 8) I x kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: x +y = a, y = a sin ϕ, y = a sin ϕ, ϕ π, σ(x, y) =, a >, 9) I x rovinného obrazce A = {x, y R : x + y 4, y x, y x }, σ(x, y) = y, ) I x rovinného obrazce A = {x, y R : x 9 + y 4, x y, x }, σ(x, y) = x, ) I x a I y rovinného obrazce A = {x, y R x : + y, x + y ( 4 }, σ(x, y) =, ) I x a I y rovinného obrazce A = {x, y R : < x + y < 4, y > x, y > x}, ) I x a I y rovinného obrazce A = {x, y R : x + y < a, < y < v}, < v a 8

29 4) I x kompaktního rovinného obrazce vymezeného jedním obloukem cykloidy: x = a (t sin t), y = a ( cos t), y =, σ(x, y) =, a >. ( Integrační proměnné t, y. ) Řešení. ) I x = 4, ) I y = 84, ) I x = k, I 8 y = k, 4) Ix = bh, 5) I 5 x = 5 7) I x = 4 a4 sin α cos α ( ), 8) I x = a4 ϕ sin 4ϕ, 9) I 4 x = 6, ( ) ) I x = , ) I 7 x = 7π, I 4 y = π, ) I 4 x = 5(π+), I 6 y = 5(π ), 6 ) ( I x = 4 α sin α) ( a 4, I 4 y = 4 α + + cos α ) sin α a 4, α = arcsin v a, 6) I x = 9a4, I 8 y = 9a4, 8, 4) Ix = 5 πa4. 9

30 Křivkové integrály Příklad. Vypočtěte křivkové integrály. druhu po dané křivce :. xy ds, kde je obvod obdélníku určený křivkami x =, x = 4, y =, y = (x 4/ + y 4/ ) ds, kde je asteroida x / + y / = a /, a > konstanta. 4a 7/ z x + y ds, kde je oblouk šroubovice x = cos t, y = sin t, z = t, t, π. 8π / 6x + y ds, kde je elipsa x + y 4 =, t, π. π (z x + y ) ds, kde je první závit kuželové šroubovice x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, π. ( (π ) + ) / 9.. I =. xy ds, kde je elipsa x + y =, a, b > konstanty. ab (a + ab + b ) /((a + b)) a b (z y )xy ds, kde je proniková křivka ploch x + y =, z = x pro y, y x. ( 8 ) /6 x(y ) ds, kde je proniková křivka ploch x + y y = pro x, z = x + y. xy ds, kde křivka R je dána rovnicí x + y = ax, a >. z x ds, kde je křivka +y +z R dána parametrickými rovnicemi x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t, π, a >, b >. a +b b πa 4 6 ( a + 4π b a ) ds, kde je usečka AB, A =,, B = 4,. x y 5 ln. x ds, kde je oblouk AB křivky dané rovnicí y = ln x pro A =, ln, B =,. (5 5 )/. (x y) ds, kde je kružnice x + y ax =, a >. πa 4. (x + y + z ) ds, kde je oblouk šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = at, t, π, a >. πa (4π + )

31 5. z ds, kde je křivka x = t cos t, y = t sin t, z = t, t,. (4 ) x + y ds, kde je křivka x + y ax =, a >. a y ds, kde je křivka x = a(t sin t), y = a( cos t), t, π. 4πa a (x + y) ds, kde je obvod trojúhelníka s vrcholy A =,, B =,, C =,. + (x + y ) ds, kde je křivka x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t), t, π, a >. π a ( + π ).. x y ds, kde je oblouk o parametrických rovnicích ϕ(t) = a cos t, ψ(t) = a sin t, t, π/. x ds, kde je dána rovnicí y = x, x,. a 4 ( ) Příklad. Vypočítejte křivkové integrály. druhu po dané křivce (uvažujeme pravotočivý souřadnicový systém):. y dx + x dy, kde je čtvrtkružnice r(t) = (a cos t, a sin t), < t < π/ a A = a, je počáteční bod, a > konstanta.. x dx + y dy + (x + y ) dz, kde je úsečka AB, A =,,, B =,, 4.. (x + y ) dx + (x y ) dy, kde je křivka y = x, x a počáteční bod A =,. 4/ 4. yz dx + xz dy + xy dz, kde je oblouk šroubovice r(t) = (a cos t, a sin t, bt/π) od bodu A = a,, do B = a,, b, a, b > konstanty. 5. (a y) dx + x dy, kde je oblouk cykloidy x = a(t sin t), y = a( cos t), t, π, a > konstanta. πa 6. y dx x dy mezi body A =,, B =, po čtvrtkružnici. 4/ x + y dx + dy, kde je obvod čtverce,,,,,,,. x + y (x xy) dx + (y xy) dy, kde je oblouk ÂB paraboly y = x, A =,, B =,. 4/5

32 9. (x + y) dx + (x y) dy, kde je oblouk ÂBC elipsy x a + y b =, A =, b, B = x B >, y B >, C = a, (a + b ) /. x dx+y dy,+z dz, kde je orientovaná úsečka AB, s počátečním bodem A =,, a koncovým bodem B = 4, 4, 4; x +y +z x y+z. (y x ) dx + (x + y ) dy, kde je orientovaná křivka x + y = pro y s koncovým bodem B =, ; 4/.. xy dx + y dy, kde je oblouk AB křivky y = arctg x od bodu A =,? do bodu B =,?. ( π ) ( π ) 4 y dx + z dy + x dz, kde je oblouk ABC křivky, která je průnikem ploch z = xy a x + y = od bodu A =,?,? do bodu C =,?,?, B =?,,?. (4 π)/6 4. x dx + y dy + 8 dz, kde je oblouk AB křivky, která je průnikem ploch x + y = a x + 4y 6z = od bodu A =,?,? do bodu B =?,,?. 9 (x + y ) dx + (y 8) dy, kde je část kružnice r(t) = (a cos t, a sin t), < t < π a A = a, je počáteční bod, a > konstanta. 4a (x + y ) dx + (x y ) dy, kde je obvod trojúhelníku s vrcholy A =,, B =,, C =,, počáteční bod je A =,. y dx + x dy, kde je oblouk ÂBC křivky x + y = orientovaný od bodu A =, y 4 A < do bodu C =, y C >, je-li B =,. 8. (xy + x + y) dx (xy + x y) dy, kde je kladně orientovaná kružnice x + y = ax, a > je konstanta. πa ( + a/)/4 Příklad. Užitím Greenovy věty vypočtěte následující integrály: Ověřte, že jsou splněny podmínky pro její užití.. (x + y) dx (x y) dy, kde je elipsa x + y = souhlasně orientovaná se souřadnicovým a b systémem. πab. (x y ) dx + (x + y ) dy, kde je křivka tvořená půlkružnicí r x a osou x. 4r /. (x + y) dx (x y) dy, kde je křivka tvořená sinusoidou y = sin x a úsečkou na ose x pro x π. 4π

33 (x + y) dx (x + y) dy, kde je trojúhelník s vrcholy O =,, A =,, B =,. 4/ y dx + x dy, kde je kružnice x +y = r souhlasně orientovaná se souřadnicovým systémem. (xy + x ) dx + x y dy, kde je kladně orientovaná hranice oblasti Ω = {(x, y) R ; x y }. / 7. y dx dy, kde je trojúhelník s vrcholy A =,, B =,, C =,. x / 8. (xy + x + y) dx + (xy + x y) dy, kde je kladně orientovaná kružnice x + y = ax, a > konstanta. πa /8 9. arctg y dx + arctg x dy, kde je hranice oblasti {x, y x x y y R : < x + y < 4, x < y < x} orientovaná kladně. π ln /. Vypočtěte rozdíl integrálů I I, je-li I = (x + y) dx (x y) dy, kde je úsečka AB, I = (x + y) dx (x y) dy, kde je oblouk ÂB paraboly y = x, A =,, B =,. πr /. I = (x y x) dx (xy + y) dy, kde je křivka o rovnici x + y = y, orientovaná ve směru pohybu hodinových ručiček. π Geometrické a fyzikální aplikace křivkových integrálů Příklad. Vypočtěte délku křivky. Vypočtěte délku křivky s parametrickými rovnicemi x = a(t sin t), y = a( cos t), t, π. 8a m. Vypočtěte délku křivky R s parametrickými rovnicemi x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, π. π + π + ln ( π + + π ) m. Vypočtěte délku křivky R s parametrickými rovnicemi x = t sin t, y = cos t, z = 4 cos(t/), t, π. 4 m 4. Vypočtěte délku křivky, je-li : r = a cos t i + a sin t j + vt k pro t, π/, a, v > konstanty. π a + v / 5. Vypočtěte délku křivky, kde je část křivky na pronikové křivce ploch y = x, z = 4 x/ pro x.

34 6. Vypočtěte délku křivky, kde je část křivky na pronikové křivce ploch z = e x, x + y = pro x, y. e + + ln( e + )( + ) Příklad. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ s danou řídící křivkou a danými tvořícími přímkami.. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ s řídící křivkou R danou rovnicí y = ln x, x, e v rovině z = a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami: z =, z = x. ( (e + ) ) /. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ : 4x + 9y = 6 pro y s řídící křivkou v rovině z =, tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami z =, z = xy m. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ : x + y = s řídící křivkou v rovině z =, tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami z = x, z = + y. 4π m 4. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ : x + y = a pro x s řídící křivkou v rovině z =, tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami z = x, z = x. a ( + aπ/)) m 5. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ : y = ln x pro y s řídící křivkou v rovině z =, tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami z = x, z =. (e 6/ (e 6 )) (e 4 + ) / m 6. Vypočtěte obsah části válcové plochy x + y = a pro x vymezené plochami z = x, z = x, a > konstanta. a ( + aπ/)) Příklad. Vypočtěte hmotnost dané křivky.. Vypočtěte hmotnost asteroidy x = acos t, y = asin t, t, π, a > konstanta. a/5. Vypočtěte hmotnost konické šroubovice x = at cos t, y = at sin t, z = bt, t, π, a >, b jsou konstanty. π a + b / ( (a kdyby hustota σ(x, y, z) = z, potom v (4π + ) + v ) ) (a + v ) /(a ). Vypočtěte hmotnost křivky : r = e t (cos t i + sin t j + k) pro t, je-li hustota h(x, y, z) = z. / 4. Vypočtěte hmotnost křivky, kde je část křivky na pronikové křivce ploch x + y y =, pro y, z = x + y je-li hustota h(x, y, z) = x(y ). (5 5 )/6 Příklad 4. Vypočtěte statický moment. Vypočtěte statický moment vzhledem k rovině x = křivky : r = t i + t j + ( t k pro t,, je-li hustota h(x, y, z) = z. (7 5/ )/5 (7 / )/ ) /64. Vypočtěte statický moment vzhledem k rovině y = křivky, kde je část křivky na pronikové křivce ploch x + y =, pro y, z = x je-li hustota h(x, y, z) = xy. (Pozor na vyjádření absolutní hodnoty). 4

35 . 6) Vypočtěte statický moment vzhledem k rovině z = křivky : r = cos t i + sin t j + e t ( k ) pro t, je-li hustota h(x, y, z) = z. ( + e ) / / Příklad 5. Vypočtěte souřadnice těžiště. Vypočtěte souřadnice těžiště T homogeního oblouku cykloidy x = a(t sin t), y = a( cos t), t, π, a > konstanta. T = aπ, 4a/. Vypočtěte souřadnici y T těžiště T křivky : r = a(cos t i + sin t j + t k) pro t, π, a > je konstanta, je-li hustota h(x, y, z) = a/(π) z. x +y. 9) Vypočtěte souřadnice těžiště T oblouku : r = e t (cos t i+sin t j + k), t (,, je-li hustota h(x, y, z) = k. T = /5, /5, / Příklad 6. V každém bodě silového pole v R působí síla F. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po orientované křivce :. F = (xy, x + y), je oblouk AB křivky dané rovnicí y = arctg x od bodu A =,? do bodu B =,?; (6 8π π ) ln J. : r(t) = (a cos t, a sin t) orientované souhlasně s daným parametrickým vyjádřním pro t, π/; F = (x + y, x), a >. a / J. : y = ln x orientované souhlasně s daným parametrickým vyjádřním od bodu M =?,, do bodu N = e,?, F = (xy, ln y). (e 4 e 6) /4 J 4. V každém bodě silového pole v R působí síla F = (x+y) i+( x y +x+y) j. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po uzavřené rovinné kladně orientované křivce ohraničující rovinnou oblast Ω = {(x, y) R ; x, y, x a + y b }. a b /5 Příklad 7. V každém bodě silového pole v R působí síla F. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po orientované křivce :. F = (y, z, yz), : r(t) = (cos t, sin t, ct) orientované souhlasně s daným parametrickým vyjádřením pro t, π, c >. π (c 4c ) J. : r(t) = (cos t, sin t, e t ) orientované souhlasně s daným parametrickým vyjádřním pro t, π; F = (y, z, yz), c >. e π 5e π 5π J. je lomená čára OABCO kladně orientovaná O =,,, A =,,, B =,,, C =,, ; F = (x, y, z). J 4. V každém bodě silového pole v R působí síla F = r. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po křivce která je pronikovou křivkou ploch x +y = z, x +y = ax v prvním oktantě od bodu M =,?,?, do bodu N = a,?,?, a > konstanta. a 5. V každém bodě silového pole v R působí síla F = (yz, xz, x). Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po křivce, která v rovině y = ohraničuje rovinnou oblast Ω = {(x, z) R ; z 4 x, x, z }, orientace je souhlasná s orientací oblouku ÂBC, kde A = x A >,, z A >, B =,, z B >, C = x C >,,. 6/ 5

36 6. V každém bodě silového pole v R působí síla F = (xy, y, z). Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po křivce, která je pronikovou křivkou ploch y = x, z = 4 x y od bodu A =?,?, do bodu B =,?,?. 5/ 7. V každém bodě silového pole v R působí síla F = xz i + x j + yz k. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po křivce, která je pronikovou křivkou ploch z = y x, y = 4 x od bodu A = x A >,?, do bodu B = x B <,?,. 6 /5 8. V každém bodě silového pole v R působí síla F = (y, x, yz). Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po oblouku ÂBC od bodu A do bodu C ležícím na pronikové křivce ploch x + y =, z = x kde A = x A >,,?, B = x B >, y B >, z B >, C = x C <, y C = x C,?. (7 45π)/6 Příklad 8. Vypočítejte práci silového pole v R při pohybu hmotného bodu po dané křivce :. V každém bodě silového pole v R směřuje síla do počátku souřadnicového systému a její velikost je rovna převrácené hodnotě vzdálenosti působiště síly od počátku souřadnicového systému. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po menším oblouku křivky x + y = a b od bodu A = a, do bodu B =, b, a, b > konstanty. a b Příklad 9. Vypočítejte práci silového pole v R při pohybu hmotného bodu po dané křivce :. V každém bodě silového pole v R působí síla, která je nesouhlasně kolineární s jednotkovým vektorem osy y a její velikostje rovna vzdálenosti jejího působiště od počátku souřadnicového systému. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po uzavřené křivce v prvním oktantě tvořené oblouky na ploše x + y + z =, které leží postupně v rovinách x =, y =, z =. Křivka je orientována souhlasně s obloukem ÂBC, kde A =,?,?, B =?,,?, C =?,?,.. V každém bodě silového pole v R působí síla, která směřuje kolmo k ose y a jejíž velikostje rovna vzdálenosti působiště síly od osy y. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po oblouku ÂBC od bodu A do bodu C ležícím na pronikové křivce ploch y = x + z, y = 4 x kde A = x A >,?,, B = x B >,?, z B >, C =,?, z C >. ( 8)/ Příklad. Ověřte, že práce v daném silovém poli nezávisí na integrační cestě, určete potenciál tohoto silového pole a vypočtěte danou práci.. Ověřte, že práce v silovém poli F = (x cos y + ) i x sin y j nezávisí na integrační cestě, určete potenciál tohoto silového pole a vypočtěte práci od bodu M =, π do bodu N = π, π. V (x, y) = (/)x cos y + x + c, W = π(π + 4)/8. Ověřte, že práce v silovém poli F = (x y, 5 xy) nezávisí na integrační cestě, určete potenciál tohoto silového pole a vypočtěte práci od bodu M =, do bodu N =,. V (x, y) = x / xy + 5y + c, W = /. Ověřte, že práce v silovém poli F = (,, y x ) nezávisí na integrační cestě, určete potenciál z z z tohoto silového pole a vypočtěte práci od bodu M =,, do bodu N =,,. 6 V = (x y)/z, W = 8

37 4. Ověřte, že práce v silovém poli F = (x + yz) i + (y + xz) j + (z + xy) k nezávisí na integrační cestě, určete potenciál tohoto silového pole a vypočtěte práci od bodu M =,, do bodu N =,, 4. V (x, y, z) = (x + y + z )/ + xyz + c, W = 69/ 5. Ověřte, že práce v silovém poli F = x i + y j + k nezávisí na integrační cestě a vypočtěte práci od bodu M =,, 4 do bodu N =,, po vhodné křivce. V (x, y, z) = (x + y )/ + z + c, W = 7/ Příklad. Vypočtěte práci v silovém poli F = xy i + (x + y) j po kladně orientované uzavřené křivce, skládající se z hladkých částí ležících na křivkách y = arctgx, y = π 4, x =. π/8 π /6 ( ln )/ Příklad. Užitím Greenovy věty vypočtěte obsah elipsy. πab m Příklad. Užitím Greenovy věty vypočtěte obsah množiny Ω R, kde Ω je ohraničená obloukem hyperboly o parametrických rovnicích x = a cosh t, y = b sinh t, t (, ), a, b >, osou x a spojnicí počátku souřadné soustavy s bodem A = x, y hyperboly, kde x, y >. ab ln ( ) x a + y b m Příklad 4. Aplikací Greenovy věty vypočtěte obsah rovinného obrazce A = {x, y R : x y x}. /6 Příklad 5. Ověřte, že daný integrál nezávisí na integrační cestě a pomocí potenciálu vypočtěte jeho hodnou od bodu A do bodu B: y. dx + y dy, A =,, B =,. V (x, y) = y + c, c R, W = (+x) +x +x AB AB AB AB AB AB AB AB ( ) ( ) x + y dx + y + x dy, A =, 4, B = 5,. x +y x +y V (x, y) = x + y + xy + c, c R, W = 56, xz dx + y dy + x z dz, A =,,, B = 4,,. ( y (x y) x ) dx + ( y ) x dy, A =,, B =, 6 (x y) x dx + x+y dy, A =,, B =,. (x+y) (x+y) V (x, y, z) = x z / + y 4 /4 + c, c R, W = 9/4 V (x, y) = xy + ln y + c, c R, W = + ln y x x V (x, y) = ln(x + y) + y/(x + y) + c, c R, W = ln(5/) /, yz dx + xz dy + xy dz, A =,, B =,, V (x, y, z) = xyz + c, c R, W = x dx+y dy z dz, A =,, B =,, V (x, y, z) = x + y 4 z4 + c, c R, W = x dx+ x +y y dy, A =, 6, B =, ; V (x, y) = (/) ln(x + y ), c R, W = ln 4 x +y 7

38 9. Ukažte, že integrál ( xy + x + x + x ) dx + y (x y + y + integrační cestě a vypočtěte jeho hodnotu pro A =,, B =,. ) y x dy nezávisí na y W = 5/4 8

39 Literatura VANŽURA, Jiří. Řešené příklady z matematické analýzy.., upr. vyd. Praha: Karolinum,. ISBN ostupné také z: vanzura/sbir8.pf ŠARŠON, Jan. Sbírka úloh z matematiky online. 8 cit ostupné z: sbirka/show category.php?c=89 9

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás.

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a)

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y 3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Křivkový integrál vektorového pole

Křivkový integrál vektorového pole Kapitola 7 Křivkový integrál vektorového pole 1 Základní pojmy Křivkový integrál vektorového pole je modifikací křivkového integrálu skalární funkce, která vznikla z potřeb aplikací ve fyzice, chemii a

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x.

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x. Program 2. Aplikace určitého integrálu zadání 1. y = x 2 + Bx 3A y = ln(bx), x = 1/A a x = 3A Vypočítejte její obsah. 3. Určete obsah plochy ohraničené parametricky zadanou křivkou (tzv. cykloidou) x(t)

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Západočeská univerzita v Plzni SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY

Západočeská univerzita v Plzni SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY FUNKE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Josef MAŠEK Plzeň 996 vydání 3 Předmluva k vydání Tento učební text navazuje

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení

11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál 11 KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 115 111 Křivový integrál I druhu 115 Úloh samostatnému řešení 115 11 Křivový integrál II druhu 116 Úloh samostatnému řešení 116 11 Greenova

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více