Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Transkript

1 SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n ( n n ( n + n n lim n n! (n + )! n! n n lim (4 + + n lim n lim n ( ) n + ) lim n ( )n! lim n n n n n + ) (5 n ) 5 lim n n sin n n lim n n! (n + ) ) (n ) ( n + n + + n n ) ln n lim n n

2 ( lim ) n e n n lim n ( ) n+7 n + e n + 5 (n ) (n + ) lim n (n + ) 5 lim n ( ) n + n ( ) n+ + n+ Nalezněte limitu posloupnosti {a n }, jestliže n + n a n =, n + 4 n + n N Určete, zda-li existuje limita posloupnosti a n = (n + ) + n(n ), n N n lim n ( )n+ Pokud neexistuje, určete lim inf a lim sup posloupnosti. Řešení. limita neexistuje, lim inf =, lim sup = Určete, zda-li existuje limita posloupnosti lim n ( + ) n n n + sin nπ Pokud neexistuje, určete lim inf a lim sup posloupnosti. Řešení. limita neexistuje, lim inf =, lim sup =

3 Číselné řady Rozhodněte o konvergenci řad: n n + n n + konvergentní divergentní divergentní + n + n divergentní ( ) n n n= ln n n n n n ln n (n + ) (n + )! n= n n! divergentní divergentní konvergentní konvergentní konvergentní konvergentní a kn, k N, < a < konvergentní ( ) + n konvergentní n= + n e n n sin π n sin n konvergentní konvergentní divergentní

4 sin n n n sin n ( ) cos n n= (ln n) ln n ( ) n+ n n n + ( ) n+ n (n + )! n= konvergentní konvergentní divergentní konvergentní konvergentní divergentní n n konvergentní ln n n ( n ) + n + + n e n ( n ) n e n! konvergentní divergentní konvergentní konvergentní divergentní Vyšetřete konvergenci řady v závislosti na parametru p R. Řešení. konverguje pro p > ( ) n (n ) p ln + n n + n= 4

5 Vyšetřete konvergenci řady: + sin cos n n + sin cos tg n n n n n + n n + n n ( ( ) n arctg n + ) n konverguje konverguje konverguje n + n ( ) n + n konverguje - odmocn. kr. n ( n ) n n konverguje - odmocn. kr. n= Pro které parametry p R konverguje řada: e pn p (, ) pe pn n p n ( ) n sin ( n + n ) p, ) n p, n p p ( /, ) Rozhodněte o konvergenci řady a určete, kolik členů řady je nutno sečíst, aby chyba byla menší než dané ε: n(n + ), ε = n > n= n= n= ln n n, ε = n > n ln n, ε = n > e ln n n, ε = n > 77 + n, ε = n > 5

6 ( ) n n +, ε = n > 9 7n ( ) n n +, ε = n > 5 n n e n, ε = n > 4 Rozhodněte o konvergenci řady ( ) n ln( + n ) Nápověda: ln( + n ) ln n+ = (n + ) ln, pak podílovým a srovnávacím kr. Řešení: konverguje. Rozhodněte o konvergenci řady ( π ) Nápověda: sin n, tg π 4 n Rozhodněte o konvergenci řady ( 4 ( π ) tg sin n 4 n ) n, pak srovnávacím kr. Řešení: konverguje. ( Nápověda: + ) n < e. n Řešení: diverguje. e n ) n ( + n Určete Cauchyův součin řad Výsledek: k= a k k!, b j j!. j= (a + b) n. n! n= Určete Cauchyův součin řad Výsledek: kq k, k= ( ) j jq j. j= nq n. n= 6

7 Funkční řady Příklad. Určete obor konvergence následujících řad: n= ( x ) n n sin x (, ) sin x x (, ) n+ ( ) n x + x (, ) x ( ) n + x x ( ), x ( x ( n x sin x + ) n ( x ) 5, + 5 ( n x n x, ) x n n x (, ) n + n ) x (, ) n (n + ) n n n+ x n x, ) Příklad. okažte, že následující řady konvergují stejnoměrně na daném intervalu I: ( ) n, I =, ) x + n x n, I = b, b, < b < n= ( x ) n sin, I = π n+, π n= ( ) n, I = (, ) n + sin x sin nx n /, I = (, ) 7

8 okažte, že řada a n sin nx konverguje stejnoměrně na (, ) za předpokladu, že a n konverguje absolutně. okažte, že řada a n cos nx konverguje stejnoměrně na (, ) za předpokladu, že a n konverguje absolutně. Příklad. Určete obor konvergence a obor stejnoměrné konvergence řad: e nx Výsledek: konverguje na (, ), konverguje stejnoměrně na a, ), a > ln n x Výsledek: konverguje na ( e, e), konverguje stejnoměrně na a, b, e < a < b < e nx e nx Výsledek: konverguje na, ), konverguje stejnoměrně na a, ), a > Výsledek: konverguje stejnoměrně na (, ) Výsledek: konverguje stejnoměrně na (, ) x 4 + n x + n 4 x Výsledek: konverguje stejnoměrně na, ) Výsledek: konverguje stejnoměrně na, x e nx x n n(n + ) Výsledek: konverguje stejnoměrně na (, ) cos nx n 8

9 Příklad. Určete obor stejnoměrné konvergence řad: Výsledek: (, ) x x + n Výsledek: (, ) x arctg x + n e n x Výsledek: konverguje na (, ), konverguje stejnoměrně na a, ), a > Výsledek: (, ) sin nx n n Příklad. Určete poloměr konvergence řady (n )! n n x n ϱ = e n= x n n! ϱ = Příklad. Určete poloměr a obor konvergence řady Výsledek: ϱ =, obor konvergence, ) (x )n n Výsledek: ϱ =, obor konvergence, ) n + n xn Výsledek: ϱ = /, obor konvergence ( /, /) 4 n x n n= x n sin n 9

10 Výsledek: ϱ =, obor konvergence, ) Výsledek: ϱ =, obor konvergence ( 5, ) n= (x + )n n Výsledek: ϱ =, obor konvergence, ) (x )n n Příklad. Určete součet řady n= x n n Výsledek: + x + ln( x) x ln( x), x, ) 4 x (n + )x n Výsledek: +x ( x ), x (, ) Výsledek: x(+x) ( x), x (, ) n= n x n Příklad. Je dána řada n= x n n + (a) Určete obor konvergence řady. (b) Určete součet řady. Výsledek: (a), ) (b) x+ln( x) x Příklad. Je dána řada nx n (a) Určete obor konvergence řady. (b) Určete součet řady. Výsledek:

11 (a) (, ) (b) x ( x) Příklad. Rozviňte do Taylorovy řady o středu c = funkci f(x) = arctg x a určete obor konvergence této řady. Výsledek: f(x) = xn+ n= ( )n, x, n+ Příklad. Rozviňte do Taylorovy řady o středu c = funkci f(x) = ln(4 x ) a určete obor konvergence této řady. Výsledek: f(x) = ln x n, x (, ) n n Příklad. Rozviňte do Taylorovy řady o středu c = funkci f(x) = této řady. Výsledek: f(x) = n= ( + ( )n ) x n, x (, ) ( x)(+x) Příklad. Rozviňte do Taylorovy řady o středu c = funkci f(x) = této řady. Výsledek: f(x) = n= ( )n ( n+ )x n, x (, ) (+x)(+x) a určete obor konvergence a určete obor konvergence Příklad. Odvod te rozvoj funkce f(x) = ln( + x) v nekonečnou řadu na základě vztahu f (x) = Výsledek: ( )n+ xn, x (, n +x.

12 Fourierovy řady Příklad. Napište Fourierovu řadu funkce f(x) = { x x (,, x (,. Nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: / a = x dx = 4 a n = / b n = x cos(nπx) dx = / f(x) 8 + π cos nπ x sin nπx dx = nπ Příklad. Určete v intervalu π, π Fourierovu řadu funkce cos nπ n π = ( )n n π, n =,,... = ( )n+, n =,,... nπ ( ) n cos(nπx) + ( ) n+ sin(nπx) n nπ f(x) = x + x Nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: f(x) π 4 + ( ) n cos(nx) + ( )n+ sin(nx) n π n Příklad. Určete v intervalu, Fourierovu řadu funkce { x + x, ), f(x) = x x,. Nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: a n = pro n =,,,.... f(x) π n sin(nπx) Příklad. Určete v intervalu π, π Fourierovu řadu funkce { x π,, f(x) = x (, π.

13 Nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: a =, a n = pro n =,,... f(x) + π ( ) n sin(nx) = n + π n= sin(n + )x n + Příklad. Určete v intervalu π, π Fourierovu řadu funkce f(x) = x. Nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: b n = pro n =,,... f(x) π + π ( ) n n cos(nx) = π 4 π cos(n )x (n ) Příklad. Je dána funkce f(x) = x, x (,. Určete kosinovou Fourierovu řadu této funkce, nakreslete standartizované periodické prodloužení a vyšetřete konvergenci této řady na R. Výsledek: b n = pro n =,,... f(x) + π ( ) n n cos(nπx) = 4 π cos(n )πx (n )

14 vojné integrály Příklad. Zakreslete v kartézském souřadnicovém systému O; i, j množiny: ) A = {x, y R : x y, y, x }, ) A = {x, y R : x y, y }, ) A = {x, y R : y x, y x }, 4) A = {x, y R : x + y 4, y x, y }, 5) A = {x, y R : x + y 4x, x + y x }, 6) A = {x, y R : x y x, x y 5 x }, 7) A = {x, y R : x + y y, y x + }, 8) A = {x, y R : x + y y, x + y y + }, 9) A = {x, y R : x + y + 4x, x + y + 4x 4y + 4 }. Příklad. Zakreslete v kartézském souřadnicovém systému O; ohraničenou ) množinu A vymezenou křivkami: i, j kompaktní ( tj. uzavřenou a ) A : x =, x =, y = x, y = x, A = {x, y R : x, y x, y x }, ) A : y =, y =, x = y, x = y, A = {x, y R : y, x y, x y}, ) A : y = x, x = y + 4, A = {x, y R : y x 4, y x}, 4) A : y = x +, y = (x ), x =, y = x +, A = {x, y R : y x +, y (x ), x, y x + }, 5) A : x y =, x + y =, x + y + =, A = {x, y R : y x, y x, y x}, 6) A : y x =, y x =, x 4y + =, A není určena jednoznačně, existují čtyři různé kompaktní množiny vymezené danými křivkami: A = {x, y R : y x, y x, x 4y + }, A = {x, y R : y x, y x, x 4y + }, A = {x, y R : y x, y x, x 4y + }, A 4 = {x, y R : y x, y x, x 4y + }, 7) A : y = 4 x, y = x, x + 4y + =, A není určena jednoznačně, existují dvě různé kompaktní množiny vymezené danými křivkami: A = {x, y R : y 4 x, y x, x + 4y + }, A = {x, y R : y 4 x, y x, x + 4y + }. 4

15 Příklad. Zakreslete v kartézském souřadnicovém systému O; i, j množinu A a vyjádřete ji jako elementární obor. typu A = {x, y R ; a x b, g (x) y g (x)} nebo. typu A = {x, y R ; c y d, h (y) x h (y)}, event. vyjádřete A jako sjednocení elementárních oborů : ) A = {x, y R : x y, y x}, A = {x, y R : x, x y x } nebo A = {x, y R : y, y x y}, ) A = {x, y R : y x, y x}, A = {x, y R : x 4, x y x}, ) A = {x, y R : 9 (y + ) (x ), x y, x }, A = {x, y R : x 4, 9 (x ) y x }, 4) A = {x, y R : y x, y 8x, y x + }, A = {x, y R : x, x + y 8x} {x, y R : x, x y 8x}, 5) A = {x, y R : y x, (y + ) x}, A = {x, y R : x, x y x } nebo A = {x, y R : y, (y + ) x y }, 6) A = {x, y R : y x, y 4x, x y 4, y }, A = {x, y R : x, x 4 y x } {x, y R : x, x 4 y x}, 7) A = {x, y R : y x, y x, x y, }, A = {x, y R : x, x y x } {x, y R : x, x y x } {x, y R : x 4, x y x}, nebo A = {x, y R : y, y x y + } {x, y R : y, y x y + } {x, y R : y, y x y + }, 8) A = {x, y R : y 5 x, y x }, 5 A = {x, y R : x, x y x }, 9) A = {x, y R : sin x y + cos x, x π}, A = {x, y R : pi x π, sin x y + cos x}. ) A = {x, y R : y arctg x π 4, y π }, A = {x, y R : x, arctg x y π }, ) A = {x, y R : y arctg x, y π 4 x, y π}, 4 A = {x, y R : x, arctg x y π} nebo lépe A = {x, y 4 R : y π, 4y, x tg y} 4 π ) A = {x, y R : y x, y ln x, y }, A = {x, y R : x, x y } {x, y R : x e, ln x y } nebo lépe A = {x, y R : y, y x e y }, 5

16 ) A = {x, y R : x + y, y y + x + }, A = {x, y R : x, x y + 5 x} {x, y 4 R : x 5, 4 5 x y + 5 x} nebo lépe A = {x, y 4 4 R : y, y x y +y }. Příklad. Zakreslete v kartézském souřadnicovém systému O; i, j kompaktní množiny A vymezené křivkami a zapište je jako elementární obor. nebo. typu: ) A : y =, y = 8, y = x x x, y = 4x, A = {x, y R : x, y 4x} {x, y x R : x, y }, ) A : y = x, y = x, y = x, A = {x, y R : x, x y x} {x, y 8 R : x 8, x y x 8 }, ) A : y = x, y = x, y = x, A = {x, y R : x, x y x } {x, y R : x, x y x }. Příklad. Vypočtěte následující dvojnásobné integrály: π/ π/ π ( x + y ) dx dy, cos y cos ϕ x 4 dx dy, 4 5π 6 5 x π + y dy dx, x a x x r sin ϕ dr dϕ, x dy dx, y x ln y dy dx, e x dx dy, x y dy dx a π 6 6

17 Příklad. Vypočtěte integrály přes dvojrozměrný interval : dxdy, =, 4,, (x + y) e x+y dxdy, =,,, ln 5 4 (e ) ( e ) x π + y dxdy, =,,, xy dxdy =, a, b, 4 9 a b sin (x + y) dxdy, =, π π 4, π, x y cos ( xy ) dxdy, =, π,, π 6 xy cos(x + y) dxdy, = x y cos(xy ) dxdy, =, π, π, π, π,, π xy e xy dxdy, =,,, xye xy dxdy, = Příklad. Převed te dvojný integrál,,. (e e/ 4e /4 + 4e /8 ) f (x, y) dxdy na dvojnásobný, je-li dána kompaktní množina : ) Množina je vymezena trojúhelníkem s vrcholy A,, B,, C,, x f(x, y)dxdy = f(x, y)dydx, y ) Množina je vymezena rovnoběžníkem s vrcholy K,, L, 4, M, 7, N, 5, x+ 4 y/ 5 7 f(x, y)dydx = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy, x 4 5 ) Množina je ohraničená hyperbolou y x = a kružnicí x + y = 9, přičemž obsahuje bod O = (, ), y 7

18 f(x, y)dydx+ 9 x 9 x y f(x, y)dxdy+ 9 y 5 5 y +x f(x, y)dydx+ +x 5 5 f(x, y)dxdy+ 9 y 9 y 9 y y y f(x, y)dxdy+ f(x, y)dxdy, 4) Množina = {x, y R ; x + y a }, a a x a a y f(x, y)dydx = f(x, y)dxdy. a a x a a y 9 x f(x, y)dydx = 9 x 9 y f(x, y)dxdy+ 9 y Příklad. Vypočtěte následující integrály f(x, y) dxdy, je-li kompaktní rovinný obrazec vymezený danými křivkami: (x y) dxdy, : y =, y = x, x + y =, ( x + y ) dxdy, : y = x, y = x, x dxdy, : x = + sin y, x =, y =, y = π, x dxdy, : x =, y = x, xy =, y 4 π 9 4 cos (x + y) dxdy, : x =, y = π, y = x, xy dxdy, : y, (x ) + y =, 4 (x + y + ) dxdy, : x + y = 4, 4π (x ) y dxdy, : x =, y = x +, y =. 4 4 Příklad. Vypočtěte integrály { e x y dxdy, M = x, y R : x >, y >, y <, y > x }, e M M x y dxdy, M = { x, y R : x <, y > /x, y < 4x },

19 M x (y + sin(πy)) dxdy, M = { x, y R : x >, y >, y < x + }, M M x( y) dxdy, M = { x, y R : x + y <, y >, y < x }, M M xy dxdy, M = (x + y) dxdy, M = { x, y R : y > x, y < }, xy dxdy, M = { x, y R : x + y <, y > x + }, M {x, y R : y < ln x, y <, y >, < x < }, xy dxdy, M = { x, y R : y <, y > x }. π + π 48 4π ( e ) 8 4 Příklad. Vyjádřete dvojný integrál použitím vhodné transformace a následně vypočítejte pro zadanou funkci: ) 4 x x f(x, y)dydx, f(x, y) = x + y, u = x, v = y x, Návod: Užijte transformační rovnice: u = x, v = y x. ) f(x, y) dxdy, = {x, y R : x, x y x, y }, f(x, y) = (x y), ) 4) 5) 6) Návod: Užijte transformační rovnice: u = x + y, v = x y. f(x, y) dxdy, = {x, y R : x, x y x}, f(x, y) = (x y), Návod: Užijte transformační rovnice: u = x, v = x + y. f(x, y) dxdy, je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkami: xy =, xy =, y = x, y = x, pro x, y, f(x, y) =, Návod: Užijte transformační rovnice: u = xy, y = vx. f(x, y) dxdy, je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkami: y = x, y = x, xy =, xy =, zaved te proměnné u = xy, y = vx, f(x, y) =, Návod: Užijte transformační rovnice: u = xy, y = vx f(x, y) dxdy, je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkami: y = x, y = 8x, y = x, y = x, f(x, y) =, 8 Návod: Užijte transformační rovnice: x = uy, y = vx. 9

20 7) f(x, y) dxdy, množina je vymezena nerovnicí: x + y a, a, f(x, y) =. Návod: Užijte transformační rovnice: x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ. Řešení. 4 u ) u ) ) 4) 5) u / / 8 8 f (u, v + u) dvdu f ( u+v, ) u v dvdu f (u, v u) dvdu f f ( u, uv ) v ( ) u v, uv,, 4 v dudv,, 5 4,,, ln, dudv, ln, v ( 6) f u v, ) uv, 49, a π 7) f ( ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ ) ϱ cos ϕ sin ϕ dϕdr dudv, 8 πa. Příklad. Vyjádřete dvojný integrál použitím transformace do polárních souřadnic: ) f(x, y) dxdy, = {x, y R : x + y r }, ) ) 4) 5) f(x, y) dxdy, = {x, y R : x + y ax}, je-li a) a, b) a, f(x, y) dxdy, = {x, y R : x + y by}, je-li a) b, b) b, f(x, y) dxdy, = {x, y R : x + y 6, x + y, y x, y x }, f(x, y) dxdy, kde je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkami: x +y = 4x, x +y = 6) 8x, y = x, y = x, f(x, y) dxdy, kde je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkami: y = x, y =, x =, 7) f(x, y) dxdy, kde je vnitřní část pravé smyčky Bernoulliovy lemniskáty (x + y ) = a (x y ), a,

21 Řešení. ) ) ) 4) 5) 6) 7) π r a) a) π 4 f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ, π π π π 4 arctg π 4 π 4 a cos ϕ b sin ϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ, b) f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ, b) 4 f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ, π 4 π 4 cos ϕ 8 cos ϕ 4 cos ϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ, a cos ϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ,, π π π a cos ϕ b sin ϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ f (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕ,, Příklad. Vypočtěte integrály s použitím transformace do polárních souřadnic: ( x + y ) πa dxdy, = {x, y R : x + y a 4, x, y }, x ln ( + x + y ) dydx, π 4 (7 ln 7 6) Příklad. Vypočtěte integrály (x + y ) dxdy, M = { x, y R : x + y < a }, M (x + y )e x +y dxdy, M = { x, y R : x < y < } x, < x + y <, πa4 π 4 M M M 4 x y dxdy, M = { x, y R : x >, y > x, x + y < }, a x y dxdy, M = { x, y R : x + y < ax }, a >, 4 π( ) a ( π 4 )

22 M M M { ( y arctg dxdy, M = x, y R x) : < x + y < 9, x < y < } x, x y + x + y dxdy, M = { x, y R : x >, y >, x + y < }, ln(x + y ) { dxdy, M = x, y R : x < y < } x, < x + y < 4, x + y ln( + x + y ) dxdy, M = { x, y R : x + y < 6, x >, y > }. π π 6 8 π 4 π ln π 4 (7 ln 7 6) M Příklad. Vypočtěte integrály y x + y dxdy, M = { x, y R : < x < y, y < x }, M M M xy dxdy, M = { x, y R : x + y < a }, a >, x dxdy, M = { x, y R : < x <, < y < cosh x }. (5 ln ln ) a4 e Příklad. Vypočtěte dvojný integrál pomocí transformace do zobecněných polárních souřadnic x = aϱ cos p ϕ, y = bϱ sin p ϕ, kde a, b, p jsou vhodně zvolené konstanty: { } ) x a y b dxdy, = x, y R x : a + y, a >, b >, b πab Nápověda: x = aϱ cos ϕ, y = bϱ sin ϕ. Řešení:. { } ) xy dxdy, = x, y R x : a + y, x, y, a, b, b Nápověda: x = aϱ cos ϕ, y = bϱ sin ϕ. Řešení: a b 8. ) dxdy, je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkou: 4 x + 4 y =, x, y, 4 9 Nápověda: x = 4ϱ cos 8 ϕ, y = 9ϱ sin 8 8 ϕ. Řešení: 5. ( 4) dxdy, je kompaktní rovinný obrazec vymezený křivkou: x + ) y a b = x y, x, y, a b Nápověda: x = aϱ cos ϕ, y = bϱ sin ab ϕ. Řešení:.

23 Geometrické a fyzikální aplikace dvojného integrálu Příklad. Vypočtěte obsah kompaktního rovinného obrazce A vymezeného křivkami: ) x + y =, x + y =, y = x, y = x, ) y = cos x, x π, y =, ) y = 4, y = x, y = x, 9 ln 4 4) y = x, y = 4 x 6, 5) y =, y = x +, y =, y = x, 4 6) y = x, y = x, 7) xy = a, x = ay, y = a, x =, (a ), ( a + ln ) 8) y =, y = 4x, y = 8, 5 ln 4 x 9) A kompaktní obrazec vymezený křivkou x + y = 5, tečnou k této křivce v bodě A =, a přímkou y =, 5 5 arcsin 5 ) x + y = 4x, x + y = x, y = x, y =, (π + ) ) x + y = 4x, x + y = 8x, y = x, y = x, arctg + 6 sin arctg π 6 ) (x a) + y = a, x + (y a) = a, ( a π ) ) y = px + p, y = qx + q, p, q >, (p + q) pq 4) x 4 + y 4 = a (x + y ). Příklad. Vypočtěte obsah rovinného obrazce A: ) A = {x, y R : y x, y x, x + y + 9 }, ) A = {x, y R : y x, y x, y x }, 4 ( 4 πa + 4 ) 9 4. ) A = {x, y R : 9 (y + ) (x ), x y, x }, 4) A = {x, y R : (y + ) x, y + + x }, 5 5) A = {x, y R : y x, y 8x, y x + }, 9 6) A = {x, y R : y x +, y (x ), y x +, x }, 7 6 7) A = {x, y R : x y 4, y 4x, y + x }, 9 8) A = {x, y R : x, arctg x y }, ln + tg 9) A = {x, y R : y, y x, y ln x}, e 5 ) A = {x, y R : y x, y e x, y }, ) A = {x, y R : x + y 4, x + y }, π ) A = {x, y R x : + y, x + y }, 9 4 (π ) ) A = {x, y R : x, y }, x x, Pozor, nevlastní integrál! 4) A = {x, y R : x, e x y e x }, 5) A = {x, y R : x, e x y }. π+ x + Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah části roviny ohraničené křivkou x + y = 5, tečnou k této ( křivce v bodě A ) =, a přímkou y =. Řešení. 5 arcsin 5 5

24 Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah části roviny Ω = { x, y R : y > x, y <, x >, y < x + } ( ) Ω = { x, y R : y < x +, x + y <, y > } π + 4 Ω = { x, y R : < x < a, < y < a, (x a) + (y a) > a } (, a > a π ) 4 { Ω = x, y R : x + y 6y <, x + y y >, x < y < } x. π + 4 Ω = { x, y R : x + y < ax, x + y < by, }, a, b >, a π + a b ( sin( arctg a b ) arctg a ) b Ω = { x, y R : x >, y >, x + y > a, (x + y ) a (x y ) < } a ( π ), a >. 4 Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte objem tělesa (tělesem rozumíme kompaktní množinu v trojrozměrném prostoru) W, je-li W vymezeno plochami: ) 6x 9y + 5z =, x y =, 4x y =, x + y = 5, z =, 5 ) x + y + z = 6, x + y =, y =, z =, 4 ) x =, y =, z =, x = π, y = π, z = sin x sin π y, 4 4) z = x + y, x + y =, x =, y =, z =, 6 5) z = x + y +, x + y =, x =, y =, z =, 4 6) y = x, x + y + z = 4, y =, z =, ) x = 6 5y, y = x, z 9, 4 5 8) x = y, x = 4 y, z =, z = 9, 6 9) y = x, x = y, z = + y x, z =, ) z = x y, y, z, x, ) x + z = 6, y =, z =, y = x, x, 64 ) y = x, y = x, z = x y, 5 ) z = 4 x y, z = + x + y, π 4) x 4 9 z, z = x 4 9 5) x + y = 4, x + y z = 4, π ( ) 6) x + y z =, x + y z = 4, π ( ) ( ) 7) x + y = a, x + y + z = 4a 4πa, 8 ( ) 8) x + y ax =, x + y + z = 4a 6a, a, π 4 9) x + y = x, x + y = z, z, 9 ) z = 4 y, y = x 56 ( ) ) x + y + z =, x + y + z = 6, z = x + y, z, π ) x + y + z = 4, x + y = z, 9π 6 ) z = x + y, x + y = x, x + y = x, z =, 45π 4) z = xy, x + y = x, z, 5) z = y, z = x pro x y, x, 6 6) x + y 4 9 =, 6π 4

25 7) x 4 + y 9 = z, x 4 + y 9 + z =, 4π ( ) Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte objem tělesa Ω = {x, y, z R : z > (x + y ), z < } 5 x + y 48 π K = { x, y, z R : x, y Ω, < z < x + y }, Ω = { x, y R : x < y < x } 6 5 Ω = {x, y, z R : z > (x + y ), z < } 5 x + y 48 π Ω = { x, y, z R : x + y + z <, x >, y >, z >, z < } 6 π Ω = { x, y, z R : x + y + z <, z > x + y } 7 6 π Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah části plochy S, je-li: ) S = {x, y, z R : 6x + y + z =, x, y, z }, 4 ) S = {x, y, z R : x + y + z 4 =, x =, x =, y =, y = }, 4 ) S = {x, y, z R : z = xy, x, x, y, y 6, z }, 6 4) S = { x, y, z R : z = x, y x, y x, x }, 5) S = {x, y, z R : x + z =, y, z, x + y }, π 6) S = {x, y, z R : x + y = z, x + y }, π ( 8 ) ( ) 7) S = {x, y, z R : z = xy, x + y a π }, ( + a ) 8) S = {x, { y, z R : y + z = x, x + y a }, πa 9) S = x, y, z R x : + y x = z, + y, πab ( 8 ) a b a b ( ) ) S = {x, y, z R : x + y + z = 4, x + y, z }, 4π ) S = {x, y, z R : z = } ( ) 4 x y, x + y z, 4π { } ) S = x, y, z R : x + y + z x = 9, + y, arcsin { ) S = x, y, z R : z = } x y, x + y x, π { 4) S = x, y, z R : z = } x + y, x + y x, π ( ) 5) S = {x, y, z R : y + z = ax, y πa ax, x a, a > }, π { x, y, z R : z = x + y, z y }, 6) S = 7) S = {x, y, z R : z = 4x, y 4x, x }, 6 ( ) 8 8) S = {x, { y, z R : x + z =, x + y }, 8 9) S = x, y, z R : z = } 4 x y, x + 4 y <. 4 π Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah části plochy x + z = ohraničené plochami y =, z =, x + y =. Řešení. π Příklad. Pomocí dvojného integrálu vypočtěte obsah části plochy z = x + y, < z < a, a >. π ( Řešení. ( + 4a) ) + 4a 6 5

26 Příklad. Vypočtěte hmotnost rovinné desky A, je-li: ) A = {x, y R : x, x 4, y, y }, σ(x, y) v jejím libovolném bodě P je přímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu P od O = (, ), ) A kompaktní obrazec vymezený křivkami: y = e x, y = e π pro x ; σ (x, y) = sin x, ) A = {x, y R : y x, y, x y }, σ (x, y) = x, x 4) A kompaktní obrazec vymezený křivkami: y = x, y =, x = pro x ; σ (x, y) = y x, 5) A kompaktní obrazec vymezený křivkami: y = x, y = x 4 pro x ; σ (x, y) = y x, 6) A kompaktní obrazec vymezený křivkami: y = x, y = pro x ; σ (x, y) = y x, 7) A = {x, y R : x y, x y + }, σ (x, y) = x, 8) A = {x, y R : y π, y x, y arctg x }, σ (x, y) = x, 9) A = {x, y R : y x, y x }, σ (x, y) = x + y, ) A = {x, y R : x + y + x 6y + 6 }, σ (x, y) = y, ) A = {x, y R : x + y 4y x + y y, y x }, σ (x, y) = x, ) A = {x, y R : x + y x, x + y 4x ; }, σ (x, y) = y, ) A = {x, y R : x + y ay, y + x, a }, σ (x, y) = x, 4) A kompaktní obrazec vymezený křivkami: x + y = 4, x + y =, x y, σ (x, y) = x y, Řešení. ), ) e π eπ, ) ln 4) 6, 5) 4, 6) 8 ) π ), ) 8, ) a, 4) ) 7 8) Příklad. Vypočtěte statický moment S x vzhledem k ose x, resp. S y vzhledem k ose y: π 7π+8 9) 6 ) S x, S y kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = x +, y = x x = 4, σ(x, y) =,, x =, ) S x, S y kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = 4x + 4, y = x + 4, σ(x, y) = x, ) S x rovinného obrazce A = {x, y R : y sin x, x π }, σ(x, y) = cos x, 4) S x kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y =, y =, y = x, y = ln x, σ(x, y) = k, 5) S y rovinného obrazce A = {x, y R : y x, y x, y }, σ(x, y) = y, 6) S y rovinného obrazce A = {x, y R : x + y 4, x }, σ(x, y) = x 4 x y, 7) S y rovinného obrazce A = {x, y R : 4x + y 9, x, y }, σ(x, y) = xy, 6

27 8) S y rovinného obrazce A = {x, y R : x + y 4 4, y }, σ(x, y) = x, 9) Statický moment půlkruhu o poloměru r = a vzhledem k jeho průměru, σ(x, y) =, ) Statický moment obdélníka o stranách a, b vzhledem ke straně a, σ(x, y) =. Řešení. ) S x = 4, S y = 48, ) S x =, S y = 9 5. ) Sx =, 4) Sx = k ( e + ) 8 e, 5) Sy = 5 + ln, 64 6) S y = π, 7) S 5 y = 4, 8) Sx = 4, 9) S = 56 πa, ) S = ab. Příklad. Vypočtěte statický moment vzhledem k ose y tenké homogenní rovinné desky M = { x, y R : < x <, y < cosh x } Řešení. S y = e kgm Příklad. Vypočtěte hmotnost a statický moment vzhledem k ose x tenké homogenní rovinné desky M = { x, y R : y >, (x ) + (y ) < } Řešení. m = π kg, S x = kgm Příklad. Vypočtěte souřadnice (souřadnici) těžiště: ) x T rovinného obrazce A = {x, y R : x + y a, x y }, a, σ(x, y) = x, ) y T rovinného obrazce A = {x, y R : x y, y x }, σ(x, y) = k, ) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: xy = a, y = 8ax, x = a, a, σ(x, y) =, 4) T rovinného obrazce A = {x, y R : x + y, y x +, y }, σ(x, y) =, 5) x T rovinného obrazce A = {x, y R : x + y 4, y x }, σ(x, y) = xy, 6) T rovinného obrazce A = {x, y R : x + y ay, }, a, σ(x, y) = y, 7) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: x =, y =, (x a) + (y a) = a, a, σ(x, y) =, 8) T rovinného obrazce A = {x, y R x : + y, x, y }, a >, b >, σ(x, y) =, a b 9) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: x =, y =, y = x, σ(x, y) = x+, ) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = x, y = x x, σ(x, y) = x, ) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = sin x, y =, x = π, σ(x, y) =, 4 ) T kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = 4x + 4, y = x + 4, σ(x, y) =, ) T kruhové výseče o středovém úhlu α, poloměru a, σ(x, y) =, 4) T kruhové desky x +y a, a je-li σ(x, y) v každém jejím bodě M přímo úměrná vzdálenosti ϱ (A, M), A = a,. 7

28 Řešení. ) x T = (π )a 6(, ) ) 5) x T = 4(4 ) 5 ) T 9, 9 5 4) T a,. 5 4 y T = (+ ln ), 6) T 5a, 8 (, ) T π 4, 7) T, ) T ) ( + ), π 6 5a, 5a (+ ln ) 8(+ ln ) a( π), a( π) (4 π) (4 π), 4) T, 8) T 4a π, 4b π ( + ), ) T 5,, ) T Příklad. Vypočtěte těžiště tenké homogenní rovinné desky { Ω = x, y R : y > h } b x + h, y >,, h >, b > (π+), π+,, 9) T π 8 a sin α α, ln π 4 π, a(cos α ) α,, T =, 5 h { Ω = x, y R : y < x, y > x, y < } x T =.9,.9 Ω = { x, y R : x + y <, y < x +, y > } T = (π + ), π + Ω = { x, y R : xy > a, y < 8ax, x < a } 47 7, a > T = ( 4 ln 4)a, ln 4)a Příklad. Vypočtěte moment setrvačnosti : ) I x kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: x + y =, x =, y =, σ(x, y) =, ) I y kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: x =, x = 4, y = x +, y =, σ(x, y) = x, x ) I x, I y rovinného obrazce A = {x, y R : x y x }, σ(x, y) = k, 4) I x rovinného obrazce A = {x, y R : y ( h b ) x + h, y, h, b > }, σ(x, y) =, 5) I x kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: y = x, y = x 4, σ(x, y) = y x, 6) I x, I y kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: xy = a, xy = a, x = y, x = y, x, z, σ(x, y) =, a >, 7) I x rovinného obrazce A = {x, y R : x + y a, a }, σ(x, y) =, 8) I x kompaktního rovinného obrazce vymezeného křivkami: x +y = a, y = a sin ϕ, y = a sin ϕ, ϕ π, σ(x, y) =, a >, 9) I x rovinného obrazce A = {x, y R : x + y 4, y x, y x }, σ(x, y) = y, ) I x rovinného obrazce A = {x, y R : x 9 + y 4, x y, x }, σ(x, y) = x, ) I x a I y rovinného obrazce A = {x, y R x : + y, x + y ( 4 }, σ(x, y) =, ) I x a I y rovinného obrazce A = {x, y R : < x + y < 4, y > x, y > x}, ) I x a I y rovinného obrazce A = {x, y R : x + y < a, < y < v}, < v a 8

29 4) I x kompaktního rovinného obrazce vymezeného jedním obloukem cykloidy: x = a (t sin t), y = a ( cos t), y =, σ(x, y) =, a >. ( Integrační proměnné t, y. ) Řešení. ) I x = 4, ) I y = 84, ) I x = k, I 8 y = k, 4) Ix = bh, 5) I 5 x = 5 7) I x = 4 a4 sin α cos α ( ), 8) I x = a4 ϕ sin 4ϕ, 9) I 4 x = 6, ( ) ) I x = , ) I 7 x = 7π, I 4 y = π, ) I 4 x = 5(π+), I 6 y = 5(π ), 6 ) ( I x = 4 α sin α) ( a 4, I 4 y = 4 α + + cos α ) sin α a 4, α = arcsin v a, 6) I x = 9a4, I 8 y = 9a4, 8, 4) Ix = 5 πa4. 9

30 Křivkové integrály Příklad. Vypočtěte křivkové integrály. druhu po dané křivce :. xy ds, kde je obvod obdélníku určený křivkami x =, x = 4, y =, y = (x 4/ + y 4/ ) ds, kde je asteroida x / + y / = a /, a > konstanta. 4a 7/ z x + y ds, kde je oblouk šroubovice x = cos t, y = sin t, z = t, t, π. 8π / 6x + y ds, kde je elipsa x + y 4 =, t, π. π (z x + y ) ds, kde je první závit kuželové šroubovice x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, π. ( (π ) + ) / 9.. I =. xy ds, kde je elipsa x + y =, a, b > konstanty. ab (a + ab + b ) /((a + b)) a b (z y )xy ds, kde je proniková křivka ploch x + y =, z = x pro y, y x. ( 8 ) /6 x(y ) ds, kde je proniková křivka ploch x + y y = pro x, z = x + y. xy ds, kde křivka R je dána rovnicí x + y = ax, a >. z x ds, kde je křivka +y +z R dána parametrickými rovnicemi x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t, π, a >, b >. a +b b πa 4 6 ( a + 4π b a ) ds, kde je usečka AB, A =,, B = 4,. x y 5 ln. x ds, kde je oblouk AB křivky dané rovnicí y = ln x pro A =, ln, B =,. (5 5 )/. (x y) ds, kde je kružnice x + y ax =, a >. πa 4. (x + y + z ) ds, kde je oblouk šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = at, t, π, a >. πa (4π + )

31 5. z ds, kde je křivka x = t cos t, y = t sin t, z = t, t,. (4 ) x + y ds, kde je křivka x + y ax =, a >. a y ds, kde je křivka x = a(t sin t), y = a( cos t), t, π. 4πa a (x + y) ds, kde je obvod trojúhelníka s vrcholy A =,, B =,, C =,. + (x + y ) ds, kde je křivka x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t), t, π, a >. π a ( + π ).. x y ds, kde je oblouk o parametrických rovnicích ϕ(t) = a cos t, ψ(t) = a sin t, t, π/. x ds, kde je dána rovnicí y = x, x,. a 4 ( ) Příklad. Vypočítejte křivkové integrály. druhu po dané křivce (uvažujeme pravotočivý souřadnicový systém):. y dx + x dy, kde je čtvrtkružnice r(t) = (a cos t, a sin t), < t < π/ a A = a, je počáteční bod, a > konstanta.. x dx + y dy + (x + y ) dz, kde je úsečka AB, A =,,, B =,, 4.. (x + y ) dx + (x y ) dy, kde je křivka y = x, x a počáteční bod A =,. 4/ 4. yz dx + xz dy + xy dz, kde je oblouk šroubovice r(t) = (a cos t, a sin t, bt/π) od bodu A = a,, do B = a,, b, a, b > konstanty. 5. (a y) dx + x dy, kde je oblouk cykloidy x = a(t sin t), y = a( cos t), t, π, a > konstanta. πa 6. y dx x dy mezi body A =,, B =, po čtvrtkružnici. 4/ x + y dx + dy, kde je obvod čtverce,,,,,,,. x + y (x xy) dx + (y xy) dy, kde je oblouk ÂB paraboly y = x, A =,, B =,. 4/5

32 9. (x + y) dx + (x y) dy, kde je oblouk ÂBC elipsy x a + y b =, A =, b, B = x B >, y B >, C = a, (a + b ) /. x dx+y dy,+z dz, kde je orientovaná úsečka AB, s počátečním bodem A =,, a koncovým bodem B = 4, 4, 4; x +y +z x y+z. (y x ) dx + (x + y ) dy, kde je orientovaná křivka x + y = pro y s koncovým bodem B =, ; 4/.. xy dx + y dy, kde je oblouk AB křivky y = arctg x od bodu A =,? do bodu B =,?. ( π ) ( π ) 4 y dx + z dy + x dz, kde je oblouk ABC křivky, která je průnikem ploch z = xy a x + y = od bodu A =,?,? do bodu C =,?,?, B =?,,?. (4 π)/6 4. x dx + y dy + 8 dz, kde je oblouk AB křivky, která je průnikem ploch x + y = a x + 4y 6z = od bodu A =,?,? do bodu B =?,,?. 9 (x + y ) dx + (y 8) dy, kde je část kružnice r(t) = (a cos t, a sin t), < t < π a A = a, je počáteční bod, a > konstanta. 4a (x + y ) dx + (x y ) dy, kde je obvod trojúhelníku s vrcholy A =,, B =,, C =,, počáteční bod je A =,. y dx + x dy, kde je oblouk ÂBC křivky x + y = orientovaný od bodu A =, y 4 A < do bodu C =, y C >, je-li B =,. 8. (xy + x + y) dx (xy + x y) dy, kde je kladně orientovaná kružnice x + y = ax, a > je konstanta. πa ( + a/)/4 Příklad. Užitím Greenovy věty vypočtěte následující integrály: Ověřte, že jsou splněny podmínky pro její užití.. (x + y) dx (x y) dy, kde je elipsa x + y = souhlasně orientovaná se souřadnicovým a b systémem. πab. (x y ) dx + (x + y ) dy, kde je křivka tvořená půlkružnicí r x a osou x. 4r /. (x + y) dx (x y) dy, kde je křivka tvořená sinusoidou y = sin x a úsečkou na ose x pro x π. 4π

33 (x + y) dx (x + y) dy, kde je trojúhelník s vrcholy O =,, A =,, B =,. 4/ y dx + x dy, kde je kružnice x +y = r souhlasně orientovaná se souřadnicovým systémem. (xy + x ) dx + x y dy, kde je kladně orientovaná hranice oblasti Ω = {(x, y) R ; x y }. / 7. y dx dy, kde je trojúhelník s vrcholy A =,, B =,, C =,. x / 8. (xy + x + y) dx + (xy + x y) dy, kde je kladně orientovaná kružnice x + y = ax, a > konstanta. πa /8 9. arctg y dx + arctg x dy, kde je hranice oblasti {x, y x x y y R : < x + y < 4, x < y < x} orientovaná kladně. π ln /. Vypočtěte rozdíl integrálů I I, je-li I = (x + y) dx (x y) dy, kde je úsečka AB, I = (x + y) dx (x y) dy, kde je oblouk ÂB paraboly y = x, A =,, B =,. πr /. I = (x y x) dx (xy + y) dy, kde je křivka o rovnici x + y = y, orientovaná ve směru pohybu hodinových ručiček. π Geometrické a fyzikální aplikace křivkových integrálů Příklad. Vypočtěte délku křivky. Vypočtěte délku křivky s parametrickými rovnicemi x = a(t sin t), y = a( cos t), t, π. 8a m. Vypočtěte délku křivky R s parametrickými rovnicemi x = t cos t, y = t sin t, z = t, t, π. π + π + ln ( π + + π ) m. Vypočtěte délku křivky R s parametrickými rovnicemi x = t sin t, y = cos t, z = 4 cos(t/), t, π. 4 m 4. Vypočtěte délku křivky, je-li : r = a cos t i + a sin t j + vt k pro t, π/, a, v > konstanty. π a + v / 5. Vypočtěte délku křivky, kde je část křivky na pronikové křivce ploch y = x, z = 4 x/ pro x.

34 6. Vypočtěte délku křivky, kde je část křivky na pronikové křivce ploch z = e x, x + y = pro x, y. e + + ln( e + )( + ) Příklad. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ s danou řídící křivkou a danými tvořícími přímkami.. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ s řídící křivkou R danou rovnicí y = ln x, x, e v rovině z = a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami: z =, z = x. ( (e + ) ) /. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ : 4x + 9y = 6 pro y s řídící křivkou v rovině z =, tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami z =, z = xy m. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ : x + y = s řídící křivkou v rovině z =, tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami z = x, z = + y. 4π m 4. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ : x + y = a pro x s řídící křivkou v rovině z =, tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami z = x, z = x. a ( + aπ/)) m 5. Vypočtěte obsah části válcové plochy Ψ : y = ln x pro y s řídící křivkou v rovině z =, tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z a vymezenými plochami z = x, z =. (e 6/ (e 6 )) (e 4 + ) / m 6. Vypočtěte obsah části válcové plochy x + y = a pro x vymezené plochami z = x, z = x, a > konstanta. a ( + aπ/)) Příklad. Vypočtěte hmotnost dané křivky.. Vypočtěte hmotnost asteroidy x = acos t, y = asin t, t, π, a > konstanta. a/5. Vypočtěte hmotnost konické šroubovice x = at cos t, y = at sin t, z = bt, t, π, a >, b jsou konstanty. π a + b / ( (a kdyby hustota σ(x, y, z) = z, potom v (4π + ) + v ) ) (a + v ) /(a ). Vypočtěte hmotnost křivky : r = e t (cos t i + sin t j + k) pro t, je-li hustota h(x, y, z) = z. / 4. Vypočtěte hmotnost křivky, kde je část křivky na pronikové křivce ploch x + y y =, pro y, z = x + y je-li hustota h(x, y, z) = x(y ). (5 5 )/6 Příklad 4. Vypočtěte statický moment. Vypočtěte statický moment vzhledem k rovině x = křivky : r = t i + t j + ( t k pro t,, je-li hustota h(x, y, z) = z. (7 5/ )/5 (7 / )/ ) /64. Vypočtěte statický moment vzhledem k rovině y = křivky, kde je část křivky na pronikové křivce ploch x + y =, pro y, z = x je-li hustota h(x, y, z) = xy. (Pozor na vyjádření absolutní hodnoty). 4

35 . 6) Vypočtěte statický moment vzhledem k rovině z = křivky : r = cos t i + sin t j + e t ( k ) pro t, je-li hustota h(x, y, z) = z. ( + e ) / / Příklad 5. Vypočtěte souřadnice těžiště. Vypočtěte souřadnice těžiště T homogeního oblouku cykloidy x = a(t sin t), y = a( cos t), t, π, a > konstanta. T = aπ, 4a/. Vypočtěte souřadnici y T těžiště T křivky : r = a(cos t i + sin t j + t k) pro t, π, a > je konstanta, je-li hustota h(x, y, z) = a/(π) z. x +y. 9) Vypočtěte souřadnice těžiště T oblouku : r = e t (cos t i+sin t j + k), t (,, je-li hustota h(x, y, z) = k. T = /5, /5, / Příklad 6. V každém bodě silového pole v R působí síla F. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po orientované křivce :. F = (xy, x + y), je oblouk AB křivky dané rovnicí y = arctg x od bodu A =,? do bodu B =,?; (6 8π π ) ln J. : r(t) = (a cos t, a sin t) orientované souhlasně s daným parametrickým vyjádřním pro t, π/; F = (x + y, x), a >. a / J. : y = ln x orientované souhlasně s daným parametrickým vyjádřním od bodu M =?,, do bodu N = e,?, F = (xy, ln y). (e 4 e 6) /4 J 4. V každém bodě silového pole v R působí síla F = (x+y) i+( x y +x+y) j. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po uzavřené rovinné kladně orientované křivce ohraničující rovinnou oblast Ω = {(x, y) R ; x, y, x a + y b }. a b /5 Příklad 7. V každém bodě silového pole v R působí síla F. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po orientované křivce :. F = (y, z, yz), : r(t) = (cos t, sin t, ct) orientované souhlasně s daným parametrickým vyjádřením pro t, π, c >. π (c 4c ) J. : r(t) = (cos t, sin t, e t ) orientované souhlasně s daným parametrickým vyjádřním pro t, π; F = (y, z, yz), c >. e π 5e π 5π J. je lomená čára OABCO kladně orientovaná O =,,, A =,,, B =,,, C =,, ; F = (x, y, z). J 4. V každém bodě silového pole v R působí síla F = r. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po křivce která je pronikovou křivkou ploch x +y = z, x +y = ax v prvním oktantě od bodu M =,?,?, do bodu N = a,?,?, a > konstanta. a 5. V každém bodě silového pole v R působí síla F = (yz, xz, x). Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po křivce, která v rovině y = ohraničuje rovinnou oblast Ω = {(x, z) R ; z 4 x, x, z }, orientace je souhlasná s orientací oblouku ÂBC, kde A = x A >,, z A >, B =,, z B >, C = x C >,,. 6/ 5

36 6. V každém bodě silového pole v R působí síla F = (xy, y, z). Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po křivce, která je pronikovou křivkou ploch y = x, z = 4 x y od bodu A =?,?, do bodu B =,?,?. 5/ 7. V každém bodě silového pole v R působí síla F = xz i + x j + yz k. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po křivce, která je pronikovou křivkou ploch z = y x, y = 4 x od bodu A = x A >,?, do bodu B = x B <,?,. 6 /5 8. V každém bodě silového pole v R působí síla F = (y, x, yz). Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po oblouku ÂBC od bodu A do bodu C ležícím na pronikové křivce ploch x + y =, z = x kde A = x A >,,?, B = x B >, y B >, z B >, C = x C <, y C = x C,?. (7 45π)/6 Příklad 8. Vypočítejte práci silového pole v R při pohybu hmotného bodu po dané křivce :. V každém bodě silového pole v R směřuje síla do počátku souřadnicového systému a její velikost je rovna převrácené hodnotě vzdálenosti působiště síly od počátku souřadnicového systému. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po menším oblouku křivky x + y = a b od bodu A = a, do bodu B =, b, a, b > konstanty. a b Příklad 9. Vypočítejte práci silového pole v R při pohybu hmotného bodu po dané křivce :. V každém bodě silového pole v R působí síla, která je nesouhlasně kolineární s jednotkovým vektorem osy y a její velikostje rovna vzdálenosti jejího působiště od počátku souřadnicového systému. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po uzavřené křivce v prvním oktantě tvořené oblouky na ploše x + y + z =, které leží postupně v rovinách x =, y =, z =. Křivka je orientována souhlasně s obloukem ÂBC, kde A =,?,?, B =?,,?, C =?,?,.. V každém bodě silového pole v R působí síla, která směřuje kolmo k ose y a jejíž velikostje rovna vzdálenosti působiště síly od osy y. Vypočítejte práci tohoto pole při pohybu hmotného bodu po oblouku ÂBC od bodu A do bodu C ležícím na pronikové křivce ploch y = x + z, y = 4 x kde A = x A >,?,, B = x B >,?, z B >, C =,?, z C >. ( 8)/ Příklad. Ověřte, že práce v daném silovém poli nezávisí na integrační cestě, určete potenciál tohoto silového pole a vypočtěte danou práci.. Ověřte, že práce v silovém poli F = (x cos y + ) i x sin y j nezávisí na integrační cestě, určete potenciál tohoto silového pole a vypočtěte práci od bodu M =, π do bodu N = π, π. V (x, y) = (/)x cos y + x + c, W = π(π + 4)/8. Ověřte, že práce v silovém poli F = (x y, 5 xy) nezávisí na integrační cestě, určete potenciál tohoto silového pole a vypočtěte práci od bodu M =, do bodu N =,. V (x, y) = x / xy + 5y + c, W = /. Ověřte, že práce v silovém poli F = (,, y x ) nezávisí na integrační cestě, určete potenciál z z z tohoto silového pole a vypočtěte práci od bodu M =,, do bodu N =,,. 6 V = (x y)/z, W = 8

37 4. Ověřte, že práce v silovém poli F = (x + yz) i + (y + xz) j + (z + xy) k nezávisí na integrační cestě, určete potenciál tohoto silového pole a vypočtěte práci od bodu M =,, do bodu N =,, 4. V (x, y, z) = (x + y + z )/ + xyz + c, W = 69/ 5. Ověřte, že práce v silovém poli F = x i + y j + k nezávisí na integrační cestě a vypočtěte práci od bodu M =,, 4 do bodu N =,, po vhodné křivce. V (x, y, z) = (x + y )/ + z + c, W = 7/ Příklad. Vypočtěte práci v silovém poli F = xy i + (x + y) j po kladně orientované uzavřené křivce, skládající se z hladkých částí ležících na křivkách y = arctgx, y = π 4, x =. π/8 π /6 ( ln )/ Příklad. Užitím Greenovy věty vypočtěte obsah elipsy. πab m Příklad. Užitím Greenovy věty vypočtěte obsah množiny Ω R, kde Ω je ohraničená obloukem hyperboly o parametrických rovnicích x = a cosh t, y = b sinh t, t (, ), a, b >, osou x a spojnicí počátku souřadné soustavy s bodem A = x, y hyperboly, kde x, y >. ab ln ( ) x a + y b m Příklad 4. Aplikací Greenovy věty vypočtěte obsah rovinného obrazce A = {x, y R : x y x}. /6 Příklad 5. Ověřte, že daný integrál nezávisí na integrační cestě a pomocí potenciálu vypočtěte jeho hodnou od bodu A do bodu B: y. dx + y dy, A =,, B =,. V (x, y) = y + c, c R, W = (+x) +x +x AB AB AB AB AB AB AB AB ( ) ( ) x + y dx + y + x dy, A =, 4, B = 5,. x +y x +y V (x, y) = x + y + xy + c, c R, W = 56, xz dx + y dy + x z dz, A =,,, B = 4,,. ( y (x y) x ) dx + ( y ) x dy, A =,, B =, 6 (x y) x dx + x+y dy, A =,, B =,. (x+y) (x+y) V (x, y, z) = x z / + y 4 /4 + c, c R, W = 9/4 V (x, y) = xy + ln y + c, c R, W = + ln y x x V (x, y) = ln(x + y) + y/(x + y) + c, c R, W = ln(5/) /, yz dx + xz dy + xy dz, A =,, B =,, V (x, y, z) = xyz + c, c R, W = x dx+y dy z dz, A =,, B =,, V (x, y, z) = x + y 4 z4 + c, c R, W = x dx+ x +y y dy, A =, 6, B =, ; V (x, y) = (/) ln(x + y ), c R, W = ln 4 x +y 7

38 9. Ukažte, že integrál ( xy + x + x + x ) dx + y (x y + y + integrační cestě a vypočtěte jeho hodnotu pro A =,, B =,. ) y x dy nezávisí na y W = 5/4 8

39 Literatura VANŽURA, Jiří. Řešené příklady z matematické analýzy.., upr. vyd. Praha: Karolinum,. ISBN ostupné také z: vanzura/sbir8.pf ŠARŠON, Jan. Sbírka úloh z matematiky online. 8 cit ostupné z: sbirka/show category.php?c=89 9