Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Transkript

1 Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte cos 2 αx) cos 2 βx) x 2 dx, α, β > ) ➌ 9 bodů) Aplikací Fourierovy transformace řešte diferenciální rovnici Odlišná metoda výpočtu není přípustná! y + 6y + 9y = δx) + x 2 δ x) cosx) ➍ 9 bodů) Nechť a, b > Pro klasickou Cauchyovu úlohu u t a2 u + b u = f x, y, t), y ux, y, ) = xey nalezněte fundamentální řešení příslušného operátoru ➎ 5 bodů) Nechť f n D regr r ), kde f n jsou příslušné generátory těchto distribucí Rozhodněte, zda ve třídě D R r ) platí popř za jakých podmínek) níže uvedená rovnost f n = f n n n Rozsáhle komentujte! Nejprve vlastními slovy popište, jak rozumíte zadání! ➏ 1 bodů) Řešte integrální rovnici ϕx) = µ xy ϕy) dy + x 3/2 Užijte metodu postupných aproximací Výsledek vyjádřete pomocí speciální funkce ωx) = e s2 2 ds Odlišná metoda výpočtu není přípustná! Nápověda: Pro součet Neumannovy řady sestavte Cauchyovu úlohu prvního řádu a tuto vyřešte

2 Zkoušková písemná práce č 2 z předmětu 1RMF čtvrtek 3 ledna 214, 9: 11: ➊ 5 bodů) Rozhodněte, zda v S R 2 ) platí rovnost Pomocná odvození doprovoďte precizním značením F x,y) [ f x) gy) ] ξ, η) = Fx [ f x) ] ξ) Fy [ gy) ] η) ➋ 8 bodů) Nechť n, m N jsou pevně zvolené parametry Užitím Laplaceovy transformace vypočtěte konvoluci Θx) cosnx) Θx) sinmx) ➌ 1 bodů) Pro diferenciální rovnici a 2 2 u 2 ) t 2 u b2 x u y 2 = f x, y, t) a, b > ) zformulujte klasickou a zobecněnou Cauchyovu úlohu Dále nalezněte fundamentání řešení příslušného operátoru Užijte přitom dvojrozměrné korespondence F Θ R x ) R 2 x = 2πsin R ξ ) 2 ξ ➍ 1 bodů) Nechť a, b > jsou zvoleny pevně Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu µ + e aµ x sinµbx) P 1 x Užijte, bude-li třeba, rovností e ax cosbx) dx = a a 2 + b 2 e ax sinbx) dx = b a 2 + b 2 ➎ 7 bodů) Jaký je dvojrozměrný Fourierův obraz rozdílu distribucí 2 Θx, y 7) x y Výsledek upravte do nejjednoduššího možného tvaru P 1 x) x 3 δ 7 y)? ➏ 1 bodů) Nalezněte vlastní hodnoty a vlastní funkce u = ux, y) operátoru L = 9 2 x 2 2 y 2 na množině M =, a, b takové, jež vyhovují hraniční podmínce u x, y) n = x,y) bdm)

3 Zkoušková písemná práce č 3 z předmětu 1RMF úterý 11 února 214, 9: 11: ➊ 8 bodů) Pro Fredholmův integrální operátor a všechny jeho mocniny dokažte jejich omezenost Poté stanovte podmínku pro parametr příslušné integrální rovnice tak, aby její Neumannova řada stejnoměrně konvergovala ➋ 9 bodů) Řešte parciální diferenciální rovnici 2 u x 2 + u 9 2 y u z u x y u x z 6 2 u y z + 2 u x x 3 u y + u ) = 6 z ➌ 8 bodů) Na intervalu G = 1, 2) nalezněte Greenovu funkci okrajové úlohy x 3 u 3x 2 u xu = f x) za podmínek u1) =, u2) + 2u 2) = ➍ 12 bodů) Ve třídě D G), kde G =, + ), vypočítejte itu λ 1 λ 2 e λx cosλx) cos3λx) ) P 1 x ) x λ 2 ) ➎ 7 bodů) Nechť je dán integrální operátor K s čistě bodovým spektrem, jehož definičním oborem je L 2 G) Unfoldovaným spektrem tohoto operátoru nechť je soubor σ unf = λ 1, λ 2, λ 3 ), pro nějž platí, že λ l konverguje Nechť B = { ϕ 1 x), ϕ 2 x), ϕ 3 x) }, kde pro všechna l N platí Domϕ l ) = G, je asociovaný systém ortonormalizovaných vlastních funkcí operátoru K Dokažte, že integrální jádro takového operátoru může být přepsáno do tvaru K x, y) = λ l ϕ l x)ϕ l y) ➏ 6 bodů) Z definice Fourierovy transformace vypočtěte F[x] Kromě definice Fourierovy transformace a operací v S je dovoleno užití těchto poznatků o Fourierově transformaci: a) F[δ] = 1; b) FF[ f x)] = 2π) r f x); c) F[ f x)] = iξf[ f x)]

4 Zkoušková písemná práce č 4 z předmětu 1RMF čtvrtek 27 února 214, 9:2 11:2 ➊ 8 bodů) Nechť jsou dána čísla a, b R + Pro klasickou Cauchyovu úlohu a u t 2 u x 2 2 u + b ux, y, t) = f x, y, t), ux, y, ) = ωx, y) y2 sestavte příslušnou zobecněnou úlohu a na základě znalosti jejího fundamentálního řešení sestavte integrální vzorce pro její řešení E x, y, t) = Θt) 4aπt e b a t e a 4t x2 +y 2 ) ➋ 9 bodů) Nalezněte všechna vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce integrálního operátoru s jádrem K x, y) = ) 2/5 x y 2/5 + y x) na množině G =, 1 Přímým výpočtem poté prokažte ortogonalitu vypočtených vlastních funkcí ➌ 7 bodů) Dokažte, že je-li g finitní distribuce a f D libovolná distribuce, pak f g vždy existuje Dále dokažte, že za těchto předpokladů, lze působení konvoluce f g na libovolnou testovací funkci ϕ x) významně zjednodušit v porovnání s definičním vztahem) Důkaz zahajte definicí nosiče zobecněné funkce ➍ 7 bodů) Nechť je na oblasti G zadáno integrální jádro K x, y) = n k=1 a k x)b k y) tak, že platí ak b l = k + l) δkl Dokažte, že příslušný operátor K je operátorem s čistě bodovým spektrem a vypočítejte jeho unfoldované spektrum Jaký dodatečný předpoklad o funkcích a 1 x),, a n x), resp b 1 x),, b n x) je třeba pro zkompletování důkazu do zadání doplnit? Vše velice podrobně komentujte ➎ 9 bodů) Na intervalu G = 2, 3) nalezněte Greenovu funkci Sturm-Liovilleovy okrajové úlohy pro parametry px) = 1 x qx) = 3 x 3 a sadu podmínek 5u2) 6u 2) = u3) u 3) = ➏ 1 bodů) V prostoru zobecněných funkcí stanovte, čemu se rovná ita je-li a > pevně zvolená konstanta b Θx)b3 x 2 e abx cosabx),

5 Zkoušková písemná práce č 5 z předmětu 1RMF čtvrtek 17 dubna 214, 9:2 11:2 ➊ 7 bodů) Nechť ux, t) C 1 R 2 ) \ C 2 R 2 ) Nechť wx, t) je zobecněná funkce generovaná klasickou funkcí Θt)ux, t) Čemu se musí rovnat distribuce βx, t), aby v D R 2 ) platila rovnost Vaše tvrzení podpořte korektními výpočty! w t x, t) = δt) ũx, ) + βx, t) ➋ 8 bodů) Laplaceovou transformací řešte Cauchyovu úlohu y + y 1y = 1 1x Numerické chyby v tomto příkladě se netolerují! y), y ), y ) ) =, 4, 3 ) ➌ 1 bodů) Metodou iterovaných jader užitím rezolventy) řešte integrální rovnici ϕx) = µ x 3 y 3 ϕy) dy + x 3 ➍ 8 bodů) Jádro každého integrálního operátoru, který je hermiteovský, může být přepsáno do tvaru K x, y) = λ l ϕ l x)ϕ l y), kde { ϕ 1 x), ϕ 2 x), } je ortonormalizovaný soubor všech jeho vlastních funkcí Vlastní hodnotu operátoru K asociovanou s vlastní funkcí ϕ l x) přitom reprezentuje symbol λ l Dokažte, že řešení integrální rovnice ϕx) = µ K x, y) ϕy) dy + f x) s nenulovou pravou stranou f x) leží v lineárním obalu [ f x), ϕ1 x), ϕ 2 x), ] λ G a vypočtěte koeficienty v příslušné lineární kombinaci Předpokládejte, že f x) není kolmá na žádnou z vlastních funkcí operátoru K Jaký dodatečný předpoklad o hodnotě parametru µ je třeba do zadání doplnit? A proč? ➎ 11 bodů) V prostoru D R) zobecněných funkcí vypočtěte ity λ λ2 e λ2 x 2 +y 2 ) F [ λ 2 e ] λ2 x 2 +y 2 ) λ ➏ 6 bodů) Na základě definic prostorů S R) a S R) rozhodněte, patří-li funkce resp zobecněná funkce) f x) = x 2 do S R), resp S R) Své tvrzení dokažte a důkaz rozsáhle komentujte!