1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

Transkript

1 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů; jak vypadá skalárí souči geometrických eo fyzikálích vektorů; oecou defiici průmětu a projekce vektoru do jiého vektoru Klíčová slova této kapitoly: orma vektoru, ormováí vektoru, Euklidovská orma, skalárí (vitří) souči, průmět a projekce vektoru Čas potřeý k prostudováí učiva kapitoly:,25 +,5 hodiy (teorie + řešeí příkladů)

2 Norma vektoru Defiice Normou (velikostí, délkou, modulem) vektoru rozumíme reálou fukci x a vektorovém prostoru V, platí-li pro liovolé dva vektory x, y z V a liovolý skalár k: a) x (pozitivost); ) x + y x + y (trojúhelíková erovost); c) kx = k x (homogeita); d) x = x= (pozitiví defiitost) Pozámka a) Někdy se orma začí podoě jako asolutí hodota, tj x V tomto případě se většiou používá ázev velikost eo délka vektoru Ve fyzice a geometrii je také používáa kovece, že se velikost (orma) vektoru ozačuje pouhým jméem vektoru ez dalších úprav (tz etučě, resp ez šipky ad vektorem) Např x ozačuje velikost vektoru x (eo x ) apod d x, y vektorů x, y z V takto: ) Každá orma idukuje tzv metriku, tj reálou fukci ( ) d (, ) x y x y Metrika je zoecěím geometrického pojmu vzdáleosti dvou odů (daých jejich polohovými vektory) a liovolý vektorový prostor V Ukázkový příklad Typickým příkladem ormy je tzv Euklidovská orma, defiovaá v součtu druhých moci souřadic vektoru: ( x x x ) x x x,,, = Čteář si může sado dokázat, že splňuje potřeé axiomy Normováí vektorů R jako odmocia ze Někdy chceme pracovat pouze s vektory určité délky (ejčastěji jedotkovými) Úpravu ormy vektoru a požadovaou hodotu azýváme ormováím vektoru Věta Normováí liovolého eulového vektoru k jedé zajistíme vyděleím jeho ormou (jedotkové vektory zpravidla ozačujeme dolím idexem ): x = x x Důkaz Z homogeity a pozitivosti ormy sado plye: x x x = = x = = x x x Skalárí souči

3 Defiice Skalárím (vitřím) součiem azveme fukci, která dvojici vektorů x, y z V přiřazuje skalár ozačeý x y tak, že pro každé x, y, z z V a každý skalár k platí: a) ( x + y) z = ( x z) + ( y z ) (aditivost) ) ( kx) y = k( x y ) (homogeita) c) x y = y x (symetrie, komutativost) d) xx > pro x (pozitiví defiitost) Jedoduchým důsledkem uvedeých axiomů je dále: x y + z = x y + xz e) ( ) ( ) ( ) f) x ( ky) = k( x y ) g) x = x = Pozámka a) Tato defiice platí přesě pouze pro vektorový prostor ad tělesem reálých čísel; v případě komplexích čísel aývá axiom ) tvaru x y = y x a důsledek f) tvaru ( k ) k ( ) x y = x y, kde pruh začí komplexí sdružeí ) Dá se dokázat, že reálá fukce x = x x, defiovaá a V, splňuje axiomy ormy, tak jak yly uvedey výše Ukazuje se tedy, že je-li vektorový prostor vyave skalárím součiem, je v ěm možo takto přirozeě zavést také ormu (a tudíž i metriku) V dalším textu teto vztah mezi skalárím součiem a ormou předpokládáme Ukázkový příklad 2 Nejzámějším příkladem vektorového prostoru se skalárím součiem je 2- eo - dimezioálí prostor geometrických, příp fyzikálích vektorů, ve kterém je skalárí souči vektorů a, defiová jako souči velikostí těchto vektorů a kosiu úhlu, který svírají: a = a cosγ Z geometrického ázoru se dá sado ukázat, že uvedeá fukce opravdu splňuje axiomy skalárího součiu Normy vektorů a, v uvedeém vzorci jsou ormy idukovaé uvedeým skalárím součiem, platí totiž: aa = a a cos = a = a = a Průmět a projekce vektoru 2 Defiice Průmětem vektoru a do vektoru azýváme vektor ( a ), kde je jedotkový vektor ve směru vektoru Číslo a = a azýváme projekcí vektoru a do vektoru Pozámka a) V případě geometrických eo fyzikálích vektorů v 2- a -dimezioálím prostoru se dá projekce vektoru a do vektoru vyjádřit ve tvaru a = a cosγ, kde γ je úhel mezi vektory a, ; jedá se tedy o skutečou pravoúhlou projekci ) Je zřejmé, že projekce je až a případé zaméko rova ormě (velikosti) průmětu

4 Shrutí kapitoly: Normou vektoru rozumíme v axiomatickém pojetí liovolou reálou fukci a vektorovém prostoru, splňující čtyři daé axiomy Nejpoužívaější ormou v R je tzv Eukleidovská orma ( x, x2,, x) = x + x2 + + x Normováím rozumíme úpravu ormy vektoru a požadovaou hodotu Normováí liovolého eulového vektoru k jedé provedeme sado vyděleím vektoru jeho ormou Skalárí (také vitří) souči vektorů defiujeme axiomaticky jako reálou (oecěji komplexí) fukci, která každým dvěma vektorům přiřazuje ějakou reálou (oecěji komplexí) hodotu a která splňuje čtyři určité axiomy Nejzámější je skalárí souči geometrických eo fyzikálích vektorů a = a cosγ Skalárí souči přirozeým způsoem idukuje ormu podle vztahu x = x x Pomocí skalárího součiu lze oecě defiovat pojmy průmět a projekce vektoru do jiého vektoru V případě geometrických eo fyzikálích vektorů se skutečě jedá o pravoúhlé průměty, u astraktějších vektorů tyto pojmy ztrácejí svůj ezprostředí geometrický výzam, ale i zde geometrická termiologie usadňuje porozuměí Otázky: Jak je axiomaticky defiováa orma vektorového prostoru? Zoecěím jakého pojmu je takto defiovaá veličia? Uveďte vzorec pro výpočet Euklidovské ormy Podejte přesou axiomatickou defiici skalárího součiu včetě tří základích důsledků Čím asi yla uvedeá defiice ispirováa? Napište vzorec pro skalárí souči geometrických, případě fyzikálích vektorů Defiujte průmět a projekci vektoru do jiého vektoru Jaký je vztah mezi těmito pojmy? Jak kokrétě vypadá průmět a projekce v 2- eo -dimezioálím prostoru geometrických eo fyzikálích vektorů? Příklad : Vypočtěte Euklidovskou ormu (velikost) vektoru a ormujte vektor k jedé: a) x = (, 2), ) x = (,8,) ; c) = (, 4) x

5 Příklad 2: Určete skalárí souči geometrických vektorů a,, o kterých víte, že: a) a = 2, = ) a = 6, =, ( a, ) = c) a = 7, = 2, a, a a mají stejý směr a opačou orietaci; Příklad : Určete projekci geometrického vektoru a do geometrického vektoru, platí-li: a) a =, = ) a = 4, = 2,, ( a) = 6, 2, ( a) = c) a = 9, =, a Řešeí příkladů: a) = 5 x, 2 ; ) = 74 5 x, = ( ) (, 4 ) x = 5 5 2a) ; 2) 2 ; 2c) a) a = 2 ; ) a = 2; c) a = Další zdroje: x ; c) x = 5, 74 x, = (,8,) POLÁK, J Přehled středoškolské matematiky 6 vyd Praha: Prometheus, POLÁK, J Středoškolská matematika v úlohách I vyd Praha: Prometheus, 996 POLÁK, J Středoškolská matematika v úlohách II vyd Praha: Prometheus, REKTORYS, K a spol Přehled užité matematiky 6 přepr vyd Praha: Prometheus, 995 ZÁVĚR: [Tady klepěte a pište]