Povídání k sedmé sérii
|
|
- Jozef Esterka
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Povídání k sedmé sérii Smyslem tohoto úvodu jistě nebude definovat pojem rovnice, ten by měl být každému čtenáři jasný(alespoň intuitivně). Připomeneme si však několik pojmů, které se mohou při řešení úloh této série hodit. Polynomem rozumíme libovolnou funkci p(x) proměnné x tvaru p(x)=a nx n + a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0, kde njecelénezápornéčísloaa 0, a 1,..., a n jsoukoeficienty, a n 0(navícpřipouštíme též případ p(x) 0). Koeficienty jsou většinou reálná (případně komplexní) čísla. Číslo n nazýváme stupněm polynomu p(x). Platí základní věta: Věta. Nechť p(x) je nenulový polynom stupně n 1. Pak existuje alespoň jedno řešení rovnice p(x)=0 v oboru komplexních čísel. Navíc existuje posloupnost x 1, x,..., x n (ne nutně různých) komplexních čísel(až na pořadí je jednoznačně určená) takových, že p(x)=a n(x x 1 )(x x ) (x x n). Tutorovnostjenutnochápatnejenjakorovnostdvoufunkcí,napravéalevéstraněbudou po roznásobení polynomy se stejnými koeficienty u jednotlivých mocnin x. Čísla x 1, x,..., x nzpředchozívětysenazývajíkořenypolynomu p(x)(přesvěčtese,že všechny řeší rovnici p(x) = 0). Jako důsledek dostáváme známé Viètovy vztahy: a n 1 a n = x 1 + x + +x n, a n a n = x 1 x + x 1 x 3 + +x n 1 x n,. ( 1) n a 0 a n = x 1 x x n. Nynísebudemetrochuvěnovattzv.symetrickýmpolynomům. 1 Polynomvíceproměnných p(x 1, x,..., x n)nazvemesymetrickým,pokudsenezměnípřizáměněpořadíproměnných. Tedyje-li πlibovolnápermutacečísel1,,..., n,pakplatí p(x π(1), x π(),..., x π(n) )=p(x 1, x,..., x n). 1 Jdevšakjenostručnýúvod.Pokudsechcešosymetrickýchpolynomechdozvědětvíce, zkus nahlédnout např. do knížečky Alois Kufner: Symetrické funkce, Škola mladých matematiků 5, Mladá Fronta, Praha 198.
2 Např.funkcedvouproměnných q(x, y)=x+y+3xy+x 3 +y 3 jesymetrickýpolynom. Uvažujme nyní symetrické polynomy n proměnných a označme s 1 = x 1 + x + +x n, s = x 1 x + x 1 x 3 + +x n 1 x n,. s n= x 1 x x n takzvané elementární symetrické polynomy. Označme dále v 1 = x 1 + x + +x n, v = x 1+ x + +x n,. v n= x n 1+ x n + +x n n. Pak platí následující věta o symetrických polynomech: Věta.Nechť pjesymetrickýpolynomvproměnných x 1, x,..., x n.pakexistujejednoznačně určenýpolynom nproměnných rtakový,žeplatí p(x 1, x,..., x n)=r(s 1, s,..., s n). Poznámka:Stejnávětazůstanevplatnostinahradíme-lipolynomy s 1, s,..., s npolynomy v 1, v,..., v n. Na ukázku zde vyjádříme náš polynom q(x, y) dvou proměnných: q(x, y)=x+y+3xy+x 3 +y 3 = s 1 +3s +s 3 1 6s 1 s = v v 1 3 v v 3 1+3v 1 v, kde s 1 = x+y, s = xy, v 1 = x+y, v = x + y. Platnost těchto vztahů si laskavý čtenář ověří přímym roznásobením. Větanetvrdínicjiného,nežžekaždýsymetrickýpolynomlzeprávějednímzpůsobem vyjádřit pomocí elementárních symetrických polynomů, sčítání a násobení.
3 7. série Téma: Termínodeslání: Rovnice ½ º Ù Ò ¾¼¼½ ½º ÐÓ Ó Ýµ Má soustava x+y=1 řešení v oboru reálných čísel? x + y = x 3 + y 3 =3 ¾º ÐÓ Ó Ýµ Kolik řešení má rovnice sin(sin(3sin(4sin(...sin(001sin x)...))))=1? Úhlyměřímevradiánech,tj.např.sin π =1. º ÐÓ Ó Ýµ Nalezněte všechny dvojice čísel x, y R splňující rovnost x 6 +x 5 y 3x 4 y 3x 3 y 3 3x y 4 +xy 5 + y 6 =0. º ÐÓ Ó µ Nechť xjereálnéčíslo.zjistěte,prokterápřirozená k márovnice x +1 = k x řešení. Symbolem y rozumíme dolní celou část reálného čísla y. º ÐÓ Ó µ Prokterápřirozená nmápolynom x n x n 1 +3x n +( 1) n (n+1)všechnykořeny reálné? º ÐÓ Ó µ Nalezněte všechna řešení rovnice p 3 x +x+4+ 3p 31 x x =5.
4 º ÐÓ Ó µ Nalezněte všechna reálná řešení rovnice x 6 x 5 4x 4 +5x 3 41x +36x 36=0. º ÐÓ Ó µ Rovnice(x a 1 )(x a ) (x a n)=1(všechna a i jsoureálná)má n(různých)reálných řešení r 1, r,..., r n.jakýjeminimálnípočetreálnýchřešení(vzávislostina n)rovnice (x r 1 )(x r ) (x r n)= 1? Řešení 7. série 1. úloha Má soustava řešení v oboru reálných čísel? x+y=1 x + y = x 3 + y 3 =3 Tato soustava řešení nemá. Nejpřímočařejší řešení by asi vypadalo takto: z první rovnice vyjádříme y, dosadíme do druhé, vyřešíme kvadratickou rovnici pro x a po dosazení do třetí rovnice zjistíme, že žádná ze dvou dvojic[x, y] vyhovujících prvním dvěma rovnicím nevyhovuje rovnici třetí. My si zde ukážeme elegantnější řešení využívající poznatků o symetrických polynomech(viz úvod k této sérii). Snadno ověříme, že pro každé x a y platí následující dvě rovnosti xy= 1 `(x+y) (x + y ), x 3 + y 3 =(x + y ) (x+y) xy (x+y). Předpokládejme nyní, že naši soustavu řeší nějaká čísla x, y. Dosadíme-li do první z výše uvedených rovností, zjistíme, že xy = 1 (1 ) = 1. Po dosazení do druhé rovnosti dostaneme x 3 + y 3 = = 5.Tojevšakspor,protožemáplatit x3 + y 3 =3.To ukazuje,že x, ynebylařešenínašísoustavy,čímžjedůkazhotov. Poznámky opravovatele: Většina z vás vyřešila úlohu správně. Ten, kdo nepotřeboval určovat kořeny kvadratické rovnice pomocí známého vzorce, dostal +i.
5 . úloha Kolik řešení má rovnice sin(sin(3sin(4sin(...sin(001sin x)...))))=1? Úhlyměřímevradiánech,tj.např.sin π =1. Nejprve si uvědomíme, že má-li rovnice jedno řešení, pak už jich má nekonečně mnoho. Je-li totiž x řešení rovnice sin(sin(3sin(4sin(...sin(001sin x)...))))=1, paktaké x+kπjeřešeníprokaždé kcelé. Nynídokážeme,žeřešeníexistuje.Řešmenejprverovnicisin(y)=1.Jistě y=π/4je řešeníanavíc π/4 <1.Zbýváukázat,žerovnice sin(3sin(4sin(...sin(001sin x)...)))=π/4 má řešení. Protože funkce sinus nabývá na intervalu 0, π/ všech hodnot mezi nulou a jedničkou,márovnicesin(kx)=yprolibovolné y 0,1 aprolibovolné kpřirozenénějaké řešenívintervalu 0, π k.odtudtedyplyne,žerovnicesin(3x)=π/4mářešení x=y 3 <1 arovnicesin(4x)=y 3 mářešení x=y 4 <1,... arovnicesin(001x)=y 000 mářešení y 001.Jezřejmé,že x=arcsin y 001 jeřešenímzadanérovnice. Poznámky opravovatele: Většinou jsem uděloval jeden bod za zdůvodnění, že pokud má úlohajednořešení,takužjichmánekonečněmnoho,advabodyzadůkazexistenceřešení. Někteří řešitelé se vůbec nestarali o to, zda je příslušné číslo v definičním oboru funkce arcsin, někteří se postupně zbavovali sinů, aniž by si uvědomovali, že se jim tím ztrácejí některářešení.nakoncijimpakzbylojenjednonebo(např.) 000 řešení,zapomínalitotiž nakπ.někteřířešiliúlohupomocíkalkulačkya objevili,žepromalá xplatí x=sin x.tak tosamozřejměneplatí 3 ajetokrásnýpříklad,pročsekalkulačkynemají(bezhlavě)používat a že nemáte věřit všemu, co vaše kalkulačka napíše. 3. úloha Nalezněte všechny dvojice čísel x, y R splňující rovnost x 6 +x 5 y 3x 4 y 3x 3 y 3 3x y 4 +xy 5 + y 6 =0. Pro symetrickou rovnici x 6 +x 5 y 3x 4 y 3x 3 y 3 3x y 4 +xy 5 + y 6 =0 (1) 3 Platítovšakpřibližně,promalá xdocelapřesně.vefyzicesetotozanedbánípoužívá na každém rohu.
6 budeužitečnézavéstsubstituci a:= x+y, b:= x y.zbinomickévětyplyne a 6 = x 6 +6x 5 y+15x 4 y +0x 3 y 3 +15x y 4 +6xy 5 + y 6. Po dosazení do rovnice(1) dostáváme a 6 4x 5 y 18x 4 y 3x 3 y 3 18x y 4 4xy 5 =0. Ze všech členů této rovnice kromě prvního můžeme vytknout xy = b a dostaneme a 6 b(4x 4 +18x 3 y+3x y +18xy 3 +4y 4 )=0. () A opět použijeme binomickou větu a vyjádříme si 4a 4 =4x 4 +16x 3 y+4x y +16xy 3 +4y 4, takže rovnice() přejde v 0=a 6 b(4a 4 +x 3 y x y +xy 3 )=a 6 b(4a 4 + b(a 5b)), neboli 0=a 6 4a 4 b a b +5b 3. (3) Protožeproměnná asezdevyskytujepouzevsudýchmocninách,označímesi c:= a.navíc vidíme,že c=bjeřešení,vytknemetedyzpravéstranyposlednírovnice(c b)adostaneme Rozložíme kvadratický trojčlen 0=c 3 4c b cb +5b 3 =(c b)(c 3cb 5b ). c 3cb 5b =(c k b)(c l b), tedy kl= 5ak+l=3,cožvedenakvadratickourovnici k(3 k)= 5.Jejímřešením jsoučísla 3± 9.Převedlijsmetedyrovnici(1)narovnici (c b) c 3+ 9 b «c 3 «9 b =0, (4) tj.platí:je-li(x, y)řešenírovnice(1),pak(c, b)=((x+y), xy)jeřešenímrovnice(4).to znamená, že nutná podmínka je, aby platila jedna z následujících rovností: c=b nebo c= 3+ 9 b nebo c= 3 9 b. (5)
7 Nyníbudemechtítvyjádřit xayvzávislostina a=x+ya b=xy.jistěplatí x(a x)=b, což vede na kvadratickou rovnici, která má řešení x 1, = a ± a 4b. (6) Budetedybuď x=x 1 a y=x,nebonaopak.protoževšak c=a musíbýtnezáporné, rozlišíme následující případy. (a) b >0.Pak a = bjesicenezáporné,alevýrazpododmocninouv(6)jezáporný.dále můžebýt a = 3+ 9 b.protože 9 >5,je a >4batedyodmocninav(6)másmysl. Odtud dostáváme(dosadíme-li do(6) za a) 0 q (x, ± 3+ q 9 3+ q 9 8 b ± b, ± 3+ q b b A. (A) Ztřetírovnostiv(5)neplynežádnéřešení,neboť c <0. (b) b <0.Proprvníadruhourovnostv(5)vyjde c <0.Zetřetínerovnostipakmáme 0 q (x, ± 3 q 9 3 q 9 8 b ± b, ± 3 q b b A. (c) b=0.odtudplyne a=0a(x, y)=(0,0). Nynízbýváověřit,žetytodvojiceskutečněřešírovnici(1).Tojealesnadné,neboť a, b splňují(3)aplatí a=x+yab=xy.můžemetedy(3)rozepsatpomocí xayaodvodit platnost(1), tj. stačí provést úpravy ze začátku řešení pozpátku. Závěr:(x, y)jeřešenízadanérovniceprávětehdy,kdyžplatí(a)pronějaké b >0,nebo platí(b)pronějaké b <0,nebo(x, y)=(0,0). Poznámky opravovatele: Nikdo z úspěšných řešitelů nepoužil ideu vzorového řešení, všichni jste místo toho vhodnou substitucí převedli úlohu na reciprokou rovnici 6. stupně. Tím se řešeníznačnězmechanizovalo,alehodnězváspředprvnísubstitucídělilorovnicivýrazem x 6 nebo x 3 y 3,anižbystevyšetřovalipřípady,kdyjerovennule.Vtomtopřípaděvyjdejediné řešení(0, 0). Přestože jste je nakonec zahrnuli ve výsledných předpisech pro řešení, je nutné je vyšetřit zvlášť, protože ono počáteční dělení není ekvivalentní úpravou. Jelikož tříbodový rozsah byl v této úloze příliš hrubý, vypomáhal jsem si i na imaginární ose. (B) 4. úloha Nechť xjereálnéčíslo.zjistěte,prokterápřirozená k márovnice x +1 = k x řešení. Symbolem y rozumíme dolní celou část reálného čísla y. Pro k=1snadnovidímenapř.zagnerovnosti,žeplatí x +1 x x x x, přičemž rovnost nikdy nenastane(první nerovnost je neostrá jen pro x = ±1, druhá jen
8 pro x=0).ukážeme,žepro k užmárovniceřešenívždy.uvažujmefunkci f(x)= x +1 k x.tajenakaždémzintervalů n, n+1)rostoucíaspojitáavkaždémbodě n Nklesneojedničku.Jelikožjenavíc f(1)= k 0af(k)=1>0,snadnovidíme, žegraffunkce f musíněkdeprotnoutosu x(nakreslisiobrázek).jetedyjasné,žerovnice v zadání(ekvivalentní rovnici f(x) = 0) má alespoň jedno řešení. Poznámka: Alternativním řešením pro k je postřeh a ověření skutečnosti, že x = k k 1jeřešenímzadanérovnice. Poznámky opravovatele: Najjednoduchšie bolo asi nájsť explicitné riešenie v závislosti na k, kde stačilo nezabudnúť overiť obidve nerovnosti v definícii celej časti. Elegentnejšie existenčné riešenie(pozri vzorák) je iba trošku zložitejšie. Pozor na fakt, že načrtnutý graf bez popisu priebehuniejeriešením.noa+isomdalzarozborpočturiešenívzávislostina k. 5. úloha Prokterápřirozená nmápolynom x n x n 1 +3x n +( 1) n (n+1)všechnykořeny reálné? Pro n=1mázadanýpolynomtvar x,mátedyjedinýkořenatedyvšechnykořeny reálné. Pro n ukážeme, že existuje alespoň jeden komplexní kořen. Předpokládejme pro spor,ževšechnykořenyjsoureálné,aoznačmesijepořadě x 1,..., x n.podleviètových vztahů platí nx x i =, Jednoduchým výpočtem dostáváme i=1 i=1 i=1 X x i x j =3. 1 i<j n nx n! x i = X x i X x i x j =4 6=, 1 i<j n což je spor s předpokladem, že všechny kořeny jsou reálné. Poznámky opravovatele: Nejčastější přístup k řešení úlohy využíval Viètovy vztahy. Většinoujstevolilivztahy x 1 +x + +x n=ax 1 x x n= n+1,ukázalijste,žerovnicenemá záporné kořeny, neboť pro záporná x jsou všechny sčítance kladné(nebo všechny záporné, podle parity n). Pak už se dala využít AG nerovnost. Objevila se i řešení využívající odhadů průběhu polynomu; pokud byla příliš těžkopádná, tak jsem strhával i. Další odstavec nechť přeskočí lidé, kteří se zatím nesetkali s pojmem derivace. Označme si p(x) polynom ze zadání. Počet extrémů polymonu lze dobře odhadnout derivací polynomu (1+x) p(x),kdevypadnespoustačlenů.nejhezčířešeníbylodlekataríny Quittnerové: Podle Rolleovy věty mezi dvěma různými kořeny polynomu existuje kořen derivace polynomu. Derivacípolynomuskořenemsnásobností k 1seukáže,žederivacepolynomumátento
9 kořen s násobností k 1. Dále pro spor předpokládejme, že všechny kořeny jsou reálné, potom dlevýšeukázanéhomá(n ).derivacepolynomuobasvékořenyreálné. 4 Výslednýpolynom n! x (n 1)!x+3(n )!všaknemápro n kořenyreálné. 6. úloha Nalezněte všechna řešení rovnice p 3 x +x+4+ 3p 31 x x =5. Označme si Ze zadání dostaneme a:= 3p x +x+4, b:= 3p 31 x x. a+b=5, a 3 + b 3 =35. Toto je soustava symetrických rovnic, na jejíž řešení použijeme obvyklou metodu: označíme c:= a+b, d:= ab.nazákladěidentity a 3 +b 3 =(a+b) 3 3(a+b)abvypočteme c=5, d=6.čísla a, bjsouprotokořenykvadratickérovnice y 5y+6=0 mámedvěmožnosti: a=, b=3aa=3, b=. Z a=námvyjdouřešení x 1 = 1 5, x = 1+ 5.Zb=3námvyjdoutatáž dvě řešení. Tato dvě čísla jsou tedy řešením původní rovnice(první odmocnina je totiž rovna adruhájerovna3). Z a=3námvyjdouřešení x 1 = 1 6, x = 1+ 6.Zb=námopětvyjdou tatáž dvě řešení. Tato dvě čísla jsou tedy rovněž řešením původní rovnice. Závěr:rovnicemáprávě4řešení,ato 1 5, 1+ 5, 1 6, Poznámky opravovatele: Většina řešitelů měla příklad správně. Téměř všichni provedli substituci a podle toho, jakou substituci zvolili, bylo řešení více či méně elegantní. Jelikož příklad bylnaúlohuzapětbodůdocelajednoduchý,strhávaljsemzaméněelegantnířešení(tj.za zbytečné umocňování, za výskyt příliš velkých čísel či za derivování) jeden až dva imaginární body. Vyskytlo se i několik řešitelů, kteří se při úpravách spletli a ke správnému řešení nedošli. Pokud byl jejich postup správný, dostali čtyři body, když se chyba vyskytla na konci řešení, nebo tři body, když šlo o chybu na začátku, která však neovlivnila postup, ale pouze výsledek. 7. úloha Nalezněte všechna reálná řešení rovnice x 6 x 5 4x 4 +5x 3 41x +36x 36=0. 4 MístoRolleovyvětylzekodvozenítétoskutečnostipoužítzajímavétvrzení:Nechť p je nekonstantní polynom s komplexními koeficienty. Pak všechny kořeny jeho derivace leží v konvexním obalu jeho kořenů(komplexní čísla zde interpretujeme jako body v Gaussově rovině).
10 Dosazenímsnadnoověříme,že ±3, ±ia 1± 3i řeší naši rovnici. Polynom šestého stupně má přesně šest komplexních řešení, takže toto jsou všechna řešení, jedinými reálnými řešeními jsou tedy ±3. Tak a teď jak se na to přijde. Vyzkoušíme-li pár celočíselných kořenů (mimochodem: všechna racionální řešení naší rovnice jsou celá čísla dělící číslo 36, rozmyslete si proč, zobecněte a zapamatujte si!), najdeme snadno řešení ±3. Zadaný polynom je tedy dělitelný polynomem(x+3)(x 3)=x 9.Vydělíme: x 6 x 5 4x 4 +5x 3 41x +36x 36=(x 9)(x 4 x 3 +5x 4x+4). Pokudsikoeficient5ux vedruhézávorcepředstavímejako1+4,naleznemesnadnorozklad Zbývá vyřešit dvě kvadratické rovnice. x 4 x 3 +5x 4x+4=(x x+1)(x +4). 8. úloha Rovnice(x a 1 )(x a ) (x a n)=1(všechna a i jsoureálná)má n(různých)reálných řešení r 1, r,..., r n.jakýjeminimálnípočetreálnýchřešení(vzávislostina n)rovnice (x r 1 )(x r ) (x r n)= 1? Tentopočetje n/.polynom P(x)=(x a 1 )(x a ) (x a n) 1máux n koeficient1, akaždéznavzájemrůznýchčísel r 1, r,...,r njejehokořenem.platítedy (x a 1 )(x a ) (x a n) 1=(x r 1 )(x r ) (x r n). Rovnici(x r 1 )(x r ) (x r n)= 1protořešíkaždézčísel a 1, a,..., a nažádné jiné. Tato rovnice může mít maximálně n různých kořenů, ovšem může jich mít méně, pokud některá z a-ček jsou stejná, budeme se snažit, abych jich stejných bylo co nejvíce; přitom však musíme dodržet podmínku, že P(x) má n různých reálných kořenů. Předpokládejme búno,že a 1 a a narozlišmedvapřípady. Číslo njeliché.označme n=k+1.snadnonahlédneme,žeplatí Žádnézčísel a i neníkořenem P(x). P(x)nemážádnýkořenvintervalu(, a 1 ). P(x)mápřesnějedenkořenvintervalu(a n, ). P(x)nemážádnýkořenvintervalech(a, a 3 ),(a 4, a 5 ),...,(a n 1, a n). P(x)mánejvýšedvakořenyvkaždémzintervalů(a 1, a ),(a 3, a 4 ),...,(a n, a n 1 ). Přitommá-lipříslušnýintervaldélkuvětšíneždva,paknaněm P(x)opravdudvakořeny má.odtudvidíme,že P(x)mánejvýšek+1=nkořenů(tojeostatnějasnéztoho,že jetopolynom n-téhostupně)ažeabyměltolikkořenůjetřeba,aby a 1 < a, a 3 < a 4,..., a n < a n 1.Chceme-li,abymezi a i byloconejméněrůznýchčísel,budemetedy volit a 1 < a = a 3 < a 4 = a 5 < a 6... a n < a n 1 = a n
11 (atotak,abykaždý skok měldélkuvětšíneždva).taktodostanemečísla r i,prokterá budemítzadanárovnice k+1= n/ řešení.zpředchozíhojezároveňjasné,želépeto nejde, neboli méně než n/ řešení daná rovnice mít nemůže. Číslo n je sudé. Postupujeme zcela analogicky, dojdeme k tomu, že minimální možný počet řešení je n/. Poznámky opravovatele: Drtivá většina těch, kteří úlohu vyřešili, správně našla všechna řešení vyšetřované rovnice. Za taková řešení jsem uděloval plný počet bodů. Několik řešitelů navíc diskutovalo, nakolik musí být kořeny různé, a přišli na to, že pro splnění podmínek zadánínemohoubýtžádnátřičísla a i, a j, a k soběrovná,zčehožjižsnadnovyvodiliminimální počet různých řešení dané rovnice. Tato řešení jsem po zásluze odměnil ohodnocením 5 + i.
3. série. Nerovnosti. Téma: Termínodeslání:
Téma: Termínodeslání: 3. série Nerovnosti º ÔÖÓ Ò ¾¼¼ ½º ÐÓ Óݵ Nechť a, b jsou délky odvěsen pravoúhlého trojúhelníka, c buď délka jeho přepony. Dokažte, že prokaždépřirozenéčíslo nvětšíneždvaplatí c
VícePovídání k šesté sérii
Povídání k šesté sérii Připomeneme si zde několik pojmů, které se Ti mohou při řešení úloh této série hodit. Polynomem rozumíme libovolnou funkci p(x) proměnné x tvaru p(x)=a nx n + a n 1 x n 1 + +a 1
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Více10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více1. série. Iracionální čísla. Téma: Datumodeslání: Dokažte, že 0, (píšeme za sebou všechna přirozená čísla) je iracionální.
Téma: Datumodeslání: 1. série Iracionální čísla ¾½º Ò ½ ½º ÐÓ Ó µ Dokažte, že 0,12345678910111213... (píšeme za sebou všechna přirozená čísla) je iracionální. ¾º ÐÓ Ó µ Dokažte,že 2+ 3+ 4+ 5jeiracionálníčíslo.
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VícePoznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
VícePovídání ke třetí sérii
Povídání ke třetí sérii Třetí série je věnována diofantickým rovnicím. To jsou zkrátka rovnice, u kterých hledáme řešení jen mezi celými čísly. 1 Diofantickou rovnicí n-tého stupně rozumíme rovnici P(x
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
Vícea a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceNerovnice. Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková
Nerovnice Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceMatematika IV 9. týden Vytvořující funkce
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
Více5. série. Polünoomid(estonské zadání) Téma: Termínodeslání:
Téma: Termínodeslání: 5. série Polünoomid(estonské zadání) ¾ º ÒÓÖ ½ ĐÍÐ ÒÒ ½ Olgu P(x) täisarvuliste kordajatega polünoom, mille lahenditeks on 13 erinevat täisarvu. Tõestada,etkui nontäisarv,millekorral
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceMatematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Více----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice
Minimum Maximum Minimum Maximum Studijní obory z matematiky z matematiky z matematiky z matematiky * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice * Obecná matematika Navazující magisterský studijní
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
Více1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
VícePOLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.
Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Více1. série. Různá čísla < 1 44.
série Téma: Termínodeslání: Různá čísla ½ º Ò ½ ½º ÐÓ je řirozené q9+9 q 6+ 9 9 6 ¾º ÐÓ `5+ 6 998 není řirozené º ÐÓ Nechť c je řirozené číslo Rozhodněte, které z čísel c+ c a c c je větší a své tvrzení
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
Více61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012
61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou
VíceSymetrické funkce. In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Symetrické funkce Kapitola III. Symetrické funkce n proměnných In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 24 33. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404069 Terms
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Vícex + 6 2x 8 0. (6 x 0) & (2x 8 > 0) nebo (6 x 0) & (2x 8 < 0).
Opáčko - Řešení. a) Podíl vlevo není definovaný pro x 8 = 0, a tedy dostáváme podmínku na řešení x. Jedničku převedeme na levou stranu nerovnosti, převedeme na společný jmenovatel a dostáváme Nerovnost
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Číslo a
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
VíceLogaritmická rovnice
Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,
VíceÚlohy II. kola kategorie A
5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného
VíceObyčejné diferenciální rovnice
1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
Více