George J. Klir State University of New York (SUNY) Binghamton, New York 13902, USA

Transkript

1 A Tutorial Vícehodnotové logiky George J. Klir Radim Bělohlávek State University of New York (SUNY) Binghamton, New York 13902, USA Palacky University, Olomouc, Czech Republic prepared for International Centre for Information and Uncertainty, Palacky University, Olomouc!!!! Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

2 Osnova přednášky Cíl tohoto bloku Určující rysy klasické logiky Neklasické logiky Přehled vývoje vícehodnotových logik po 60. léta 20. stol. (nástup fuzzy logiky) Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

3 Určující rysy klasické logiky Dva základní rysy jsou bivalence a kompozicionalita. Bivalence Každý výrok je buď pravdivý, nebo nepravdivý. Tedy: existují pouze dvě pravdivostní hodnoty, které lze výrokům připisovat. Tyto hodnoty se nazývají pravda a nepravda a značí se 1 a 0 (popř. T a F, a ). Kompozicionalita Pravdivostní hodnota složeného výroku je určena pravdivostními hodnotami jeho složek a logickou spojkou, kterou jsou složky ve výrok spojeny. Anglicky se říká, že klasická logika je truth functional. Tedy např. pravidvostní hondota výroku ϕ&ψ závisí jen na tom, jakou pravdivostní hodnotu má ϕ a jakou ψ. Jak je určena, udává pravdivostní tabulka (pravdivostní funkce) spojky konjunkce &. Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

4 Z přijetí kompozicionality plyne, že význam logických spojek (negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence, popř. dalších) lze popsat tabulkou. Např. pro konjunkci & je tabulka & Tabulka říká, že konjunkce dvou výroků je pravdivá, právě když jsou oba výroky pravdivé, tj. ϕ&ψ = 1, právě když ϕ = 1 a ψ = 1. Odkud se to vezme? Tímto způsobem chápeme konjunkci v přirozeném jazyce. Podobně pro negaci. Negace výroku je pravdivá, právě když je výrok nepravdivý, tj. ϕ = 1, právě když ϕ = 0. Tabulka:. a a Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

5 Neklasické logiky... jsou další logiky, jiné než klasická. Jsou to např. logiky, které nesplňují kompozicionalitu nebo bivalenci. Všimněmě si, že ani kompozicionalita, ani bivalence nejsou samozřejmé. Bivalence: Tu nesplňují tzv. vícehodnotové logiky. Nejvýraznějším zástupcem je fuzzy logika, která používá další pravdivostní hodnoty (stupně pravdivosti), např Čím větší je pravdivostní hodnota, tím pravdivější je výrok, kterému tuto hodnotu přisoudíme (uvažujmě např. výrok Venku je teplo. ). Kompozicionalita: Je možné, že... je příklad (unární) spojky, která nesplňuje kompozicionalitu, neboť pravdivostní hodnota výroku Je možné, že prší. není určena pravdivostní hodnotou výroku Prší. Tato spojka je příkladem modální spojky. Modální logiky a jejich speciální případy (např. logika času, pravděpodobnostní logika) byly a jsou intenzívně zkoumány. Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

6 Vícehodnotové logiky... jsou logiky, které nesplňují princip bivalence. V současné době nejvýraznějším představitelem je fuzzy logika. Fuzzy logika vznikla díky pracem L. Zadeha (první byly v 60. letech 20. stol.) o fuzzy množinách. Princip bivalence byl však zpochybňován mnohem dříve, resp. různé systémy vícehodnotových logik byly zkoumány mnohem dříve. Podáme nyní stručný přehled, ve kterém některé logiky představíme blíže. Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

7 Obecné poznámky Předpokládáme, že množina pravdivostních hodnot je L. Příklady: L = {0, 1} (klasická logika), L = {0, 1 2, 1} (tříhodnotová logika), L = [0, 1] (pravd. hodnoty jsou reálná čísla mezi 0 a 1). Omezíme se na vícehodnotové logiky, které splňují princip kompozicionality. V takových logikách je význam logické spojky dán odpovídající funkcí v L. Např. význam (vícehodnotové) konjunkce & je dán binární funkcí & L : L L L, např. & L (a, b) = min(a, b). V takovém případě máme ϕ&ψ = min( ϕ, ψ ), tj. pravdivostní hodnota ϕ&ψ je minimem pravdivostních hodnot ϕ a ψ. Všimněme si, že pro pravdivostní hodnoty 0 a 1 se taková konjunkce chová stejně jako klasická konjunkce. Podobně pro ostatní spojky. Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

8 Přehled vývoje vícehodnotových logik Podáme stručný přehled vývoje vícehodnotových logik do 60. let 20. století, kdy vznikla fuzzy logika. Předpokládáme znalost základní motivace fuzzy logiky: pravdivostní hodnoty jsou chápány jako stupně pravdivosti. První zmínky První zmínky o tom, že některé výroky nemusí být pravdivé, ani nepravdivé, tj. první zpochybnění principu bivalence, bývá připisováno Aristotelovi ( př. n. l.), který se v De Interpretatione zabýval tvrzeními o budoucnosti. Tyto úvahy byly dále řecké filozofii rozvíjeny v debatách o determinismu a nedeterminismu. Problém tvrzení o budoucnosti (contingentia futura) byl také rozvíjen ve středověku. Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

9 19. století Zpochybnění principu bivalence se objevuje v pracech: Ch. S. Peirce (známý americký vědec, pragmatický filozof, matematik): Collected Papers, , Harvard U. Press. H. McColl: Symbolic Reasoning. Mind (1987), Důležité úvahy, podobné těm, které vedly Zadeha k vytvoření fuzzy množin, najdeme v pracech logiků a filozofů (např. W. S. Jevons, A. Bain), kteří se zabývali přirozeným jazykem a upozorňovali na vágnost a vágní pojmy, které se v přirozeném jazyku běžně vyskytují. Takové pojmy (např. nízká teplota, malý člověk) nelze přirozeně popsat dvouhodnotovou logikou. Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

10 20. století a práce o vágnosti Ve 20. století vyšly dvě významné práce o vágnosti: B. Russell: Vagueness. The Australasian Journal of Psychology and Philosophy 1(1923) M. Black: Vagueness. An Exercise in Logical Analysis Philosophy of Science Vol. 4, No. 4 (Oct., 1937), pp Ty byly následovány mnoha dalšími pracemi o vágnosti. Téma vágnosti je stále výrazným tématem na pomezí filozofie, sémantiky a logiky. Na povahu vágnosti existují různé, vzájemně protichůdné názory. Viz např. Smith N. J. J.: Vagueness and Degrees of Truth. Oxford University Press, New York, Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

11 Jan Lukasiewicz Významný polský logik ( ), který je považován za zakladatele vícehodnotové logiky. Byl inspirován Aristotelovými úvahami o tvrzeních o budoucnosti. Navrhl zavést třetí pravdivostní hodnotu 1 2, kterou interpretoval jako neurčitý. Jeho O logice trójwartościovej. Ruch Filozoficny 5(1920), spolu s Philosophische Bemerkingen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls (1930) patří k nejvlivnějším raným pracem o vícehodnotové logice. Lukasiewicz navrhl tyto spojky negace a implikace: a a Definici těchto spojek podrobně zdůvodnil s ohledem na interpretaci hodnoty 1 2. Poznamenejme, že v pozdějších pracech logici často interpretaci pravdivostních hodnot, tj. jejich smyslu, často nevěnovali žádnou pozornost. Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

12 Je samozřejmé (proč?), že každá tautologie (tj. formule, která má vždy pravdivostní hodnotu 1) Lukasiewiczovy tříhodnotové logiky je i tautologií klasické logiky. Naopak to ale neplatí. Např. formule (p p) p je tautologií klasické logiky (přesvědčte se). Při ohodnocení e(p) = 1 2 má ale pravdivostní hodnotu (p p) p e = (e(p) e(p)) e(p) = ( ) 1 2 = 1 2. Zde a označují pravdivostní funkce spojek a popsané výše uvedenými tabulkami. Tedy Lukasiewiczova tříhodnotová logika má jiné tautologie (tj. vždy pravdivé formule) než klasická logika. Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

13 Vzniká tak problém, zda je možné najít axiomatický systém, ve kterém by dokazatelné formule byly právě tautologie Lukasiewiczovy tříhodnotové logiky. Takový systém nalezl Wajsberg (1931). Systém má tyto axiomy: ϕ (ψ ϕ) a odvozovací pravidlo modus ponens: (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ)) ( ϕ ψ) (ψ ϕ) ((ϕ ϕ) ϕ) ϕ ϕ, ϕ ψ. ψ Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

14 Lukasiewiczova tříhodnotová, n-hodnotová a nekonečněhodnotová (pravdivostní hodnoty jsou čísla z [0, 1]) logika se stala předmětem intenzivního zkoumání. Významných výsledků, důležitých později i pro fuzzy logiku, dosáhli např. A. Rose a J. B. Rosser (1958): Fragments of many-valued statement calculi. Trans. Amer. Math. Soc. 87 (1958), C. C. Chang (1958): Algebraic analysis of many valued logics, Trans. Amer. Math. Soc. 88 (1958), Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

15 Další významné příspěvky K. Gödel studoval vícehodnotovou logiku v souvislosti s problémem axiomatizovatelnosti intuicionistické logiky. K. Gödel: Zum intuitionistischen Aussagenkalkul. Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, Anzeiger, 69, (1932). Reprinted in Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, Heft 4, 40 (1931-2, publ. 1933). D. A. Bochvar studoval tříhodnotovou logiku pro analýzu paradoxů (jeho třetí hodnota měla význam nesmysl ). Bochvar D. A: Ob odnom trojokhznachnom ischislenii i ego primenenii k analizu paradoksov klassicheskogo rasshirennogo phunktisionalnego ischislenia. Matematicheskii Sbornik 4(46)(1937), Translation by M. Bergmann: On a three-valued logical calculus and its application to the analysis of the paradoxes of the classical extended functional calculus. History and Philosophy of Logic 2(1981), Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

16 S. C. Kleene navrhl systém tříhodnotové logiky pro studium částečně rekurzívních funkcí. Kleene S. C.: Introduction to Metamathematics. North Holland, Amsterdam, Vlivnou monografií se stala kniha J. B. Rosser, A. R. Turquette: Many-Valued Logics, North Holland, 1958, popisující systémy výrokových a predikátových logik. Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17

17 Úkoly pro samostatnou práci studentů Student musí vyřešit alespoň dva z následujících úkolů. Řešení posílejte na adresu radim(tecka)belohlavek(zavinac)acm(tecka)org. 1. Uvažujme Lukasiewiczovu logiku, ve které jsou pravdivostní hodnoty reálná čísla z intervalu [0, 1] a ve které jsou pravdivostní funkce negace a implikace dány takto: a = 1 a, a b = min(1, 1 a + b). Najděte formuli, která je tautologií Lukasiewiczovy tříhodnotové logiky popsané výše, ale není tautologií této, [0, 1]-hodnotové logiky. 2. Kolik existuje pravdivostních funkcí binárních spojek tříhodnotové logiky (tj. funkcí f : {0, 1 2, 1} {0, 1 2, 1} {0, 1 2, 1})? 3. Ukažte, jak lze pomocí funkcí a definovaných v bodu 1. definovat na množině [0, 1] funkce maximum a minimum. Belohlavek R. (DAMOL) Vícehodnotové logiky / 17