Laserové skenování ve speciálních průmyslových aplikacích. 1. Plošné monitorování dynamických deformací vrat plavební komory

Transkript

1 Laserové skenování ve speciálních průmyslových aplikacích Ing. Bronislav Koska, Ing. Tomáš Křemen, prof. Ing. Jiří Pospíšil, CSc., Ing. Martin Štroner, Ph.D.. Katedra speciální geodézie Fakulta stavební České vysoké učení technické v Praze 1. Plošné monitorování dynamických deformací vrat plavební komory Měření deformací je důležitou součástí geodetických prací při provádění a kontrole různých inženýrských děl. V současné době jsou nejčastěji používané způsoby měření deformací s využitím totálních stanic nebo GNSS technologií. Zajímavou možností, která se nabízí v oblasti měření deformací, je technologie laserového skenování. Tato technologie nedosahuje pro jednotlivé body takové přesnosti jako dlouhodobá observace GPS nebo přesná totální stanice, ale tento nedostatek překonává v rychlosti měření, hustotě bodů a komplexnosti zachycení povrchu. Díky vysoké rychlosti sběru dat je možné využití této technologie i pro měření dynamických procesů. V příspěvku je prezentované experimentální využití technologie laserového skenování pro plošné monitorování dynamických deformací dolních ocelových vrat plavební komory rozměru 37,00 m x 21,95 m v průběhu jejího napouštění a vypouštění systémem Leica HDS3000. Jsou uváženy různé interpretace získaných dat a je analyzována jejich přesnost. Výsledky jsou dále srovnány s výstupy elektronického měřícího systému, umístěném ve vratech, který na rozdíl od terestrického laserové skenování poskytuje pouze relativní hodnoty deformací v 56 bodech rozmístněných ve vratech Přístrojové vybavení, lokalita a popis měření V experimentu byl použit laserový skenovací systém Leica HDS3000 (obr. 1). Tento systém je tvořen laserovým skenerem HDS3000 a softwarem Cyclone. Základní specifikace systému jsou: směrodatná odchylka délky 4 mm, směrodatná odchylka vertikálního a horizontálního úhlu 60 mikro-radiánů (4 mgon), optimální pracovní rozsah metrů, průměr stopy 5 mm na 50 metrů, rychlost měření 4000 bodů za sekundu. obr. 1 Laserový skener Leica HDS3000 1

2 Měření proběhlo v prostorech vodního díla Gabčíkovo za běžného provozu. Bylo zvoleno vhodné stanovisko přístroje s maximálním výhledem na měřená vrata (obr. 2). obr. 2 Umístění systému Leica HDS3000 při experimentu Rozměry vrat jsou přibližně 37 x 22 metrů, rozměry viditelné části přibližně 32 x 12 metrů a průměrný rozdíl výšek hladin při napuštěné komoře je 20 metrů. S ohledem na čas napouštění nebo vypouštění plavební komory, který je přibližně 25 minut, byl zvolen rozestup bodů na vratech 0.2 x 0.2 metru a byla zaměřována celá viditelná plocha vrat s malým přesahem. Při tomto nastavení je doba jednoho měření přibližně 40 sekund. Z důvodu velké rychlosti měření, bylo možno ustoupit od původního plánu zastavování procesu napouštění komory vždy při změně hladiny o metr, protože tento postup je technologicky velmi náročný. Měření bylo prováděno v nejkratších možných intervalech a bylo synchronizováno s řídící věží. Proces napuštění trval 26 minut a 35 sekund a za tento čas bylo provedeno 30 měření. Z řídící věže nám byly hlášeny změny hladiny po každém metru a my jsme si k nim zaznamenávali časy. Důležitou skutečností je, že pro jednotlivé měření se neměnilo nastavení oblasti skenování ani rozestupu bodů a proto bylo měření prováděno vždy na stejných bodech (viz obr. 3). 2

3 obr. 3 Rozmístění zaměřovaných bodů a volba souřadnicové soustavy 1.2. Vyhodnocení naměřených dat Základní metodou vyhodnocení deformací je rozdílový digitální model terénu (dále DMT) neboli digitální model posunů. Proto je nejprve nutné přetransformovat všechna naměřená data do takového souřadného systému, aby rovina vrat ležela v rovině rovnoběžné s osami XY a osa Z byla umístěna ve směru očekávaných posunů. Konkrétně byla osa X umístěna v podélném směru vrat, osa Y byla orientovaná do zenitu a osa Z doplňovala matematický (pravotočivý) souřadnicový systém (viz obr. 3). K vytvoření a analýze digitálních modelů a rozdílových digitálních modelů byl použit software Atlas DMT verze Před generováním digitálních modelů terénu bylo nutné vybrat z naměřených bodů pouze ty, které se nacházely na ploše vrat, protože systém Atlas, stejně jako další systémy pro práci s DMT, neumožňuje práci s převisy Postup vyhodnocení Nejprve byly ze všech očištěných měření vytvořeny DMT. V druhém kroku byly vytvořeny rozdílové digitální modely posunů, vždy odečtením aktuálního DMT od prvního, který byl zaměřen ještě před začátkem napouštění plavební komory. Dále bylo nutné provést interpolaci rozdílů výšek hladin v čase měření, který byl vztažen k polovině jeho 40 sekundového intervalu. Tyto rozdíly výšek hladin jsou graficky znázorněny modrým sloupcem (viz obr. 4). Deformace vrat plavební komory, v průběhu jejího napouštění, byly stejným způsobem graficky znázorněny pro každé ze třiceti měření. Z těchto obrázků byla vytvořena video animace. Zobrazení deformace z měření 3, 14 a 31 (rozdíly hladin 0.4, 10.9 a 19.8 metrů) viz následující obrázek. 3

4 obr. 4 Digitální model posunů z měření číslo 3, 14 a Interpretace rozdílových modelů Na obr. 4 je možné vypozorovat systematické vlivy v podobě horizontálních linií s většími posuny. Pokud si zobrazíme v rozdílovém modelu 31 měření i jednotlivé body, zjistíme, že větší deformace jsou vždy způsobeny jednotlivými body a nejsou plošné (viz obr. 5). 4

5 obr. 5 Výřez digitálního modelu posunů číslo 31 se zobrazenými body měření Na obr. 2 a 3 jsou na vratech viditelné horizontální I-profily. Původní myšlenka, že pozorované jevy jsou způsobeny výraznější deformací těchto profilů, se nepotvrdila. Bylo zjištěno, že větší deformace jsou způsobeny dopadem laserového svazku nenulového průměru (u použitého systému cca 5 milimetrů) na hranu I-profilu a tedy odrazem na různě vzdálených plochách. Největší deformace byly zjištěny na řadě bodů ohraničené na následujícím obrázku zeleným rámečkem. obr. 6 Body s největším posunem Vnitřní proces systému HDS3000 při vyhodnocení odrazu na rozhraní různě vzdálených ploch není znám, a proto byly tyto body z dalších analýz vyloučeny (na základě naší zkušenosti je možné předpokládat, že i malá změna v poměru obsahu ploch dopadajícího laserového svazku na různě vzdálené povrchy může způsobit významnou změnu v naměřené délce). Zajímavou možností jak prezentovat naměřená data je tzv. metoda průměrných posunů. Ta byla prvně publikována v [2] a je založena na zprůměrňování výsledků z rozdílového modelu v oblastech, ve kterých se předpokládá stejný posun. Tato metoda umožňuje jednodušší interpretaci výsledků, jejich vyšší přesnost (viz kapitola Analýza přesnosti a [2]) a případně i automatické vyloučení odlehlých měření (hrubých chyb). V následujícím obrázku jsou vidět tři různé možnosti jak vyhodnotit a prezentovat rozdílový model číslo 31. Nejprve je uveden pro připomenutí a porovnání původní digitální model posunů, dále je uvedena metoda průměrných posunů s velikostí čtverce 1 metr a v posledním případě je předchozí zobrazení doplněno o číselné hodnoty velikostí průměrných posunů. Ve výpočtu průměrných posunů byly automaticky vyloučeny měření, jejichž absolutní velikost opravy překračovala trojnásobek výběrové směrodatné odchylky. 5

6 obr. 7 Různé zobrazení výsledných deformací pro měření č. 31 Autorům příspěvku se subjektivně jeví jako nejvhodnější metoda vyhodnocení a prezentace poslední uváděná možnost, tedy metoda průměrných posunů s číselným zobrazením jejich velikostí Srovnání s elektronickým měřícím systémem Z důvodu bezpečnosti provozu je ve vratech plavební komory umístěn elektronický měřící systém deformací pomocí pole senzorů. Toto měření zajišťuje společnost VÚEZ, a.s. Jedním z důvodů uskutečnění našeho experimentu bylo srovnání technologie laserového skenování s výsledky uvedeného systému. Umístění senzorů ve vratech viz obr. 8. 6

7 obr. 8 Schéma umístění senzorů elektronického měřícího systému Senzorů je ve vratech umístěno 48 a na obr. 8 jsou označeny jako GIR11 až GIR86. Čas potřebný k odečtení hodnot všech senzorů jsou dvě minuty a jednotlivé etapy po sobě následují bez časových prodlev. Standardním výstupem tohoto systému je tabulka s hodnotami odečtenými na jednotlivých senzorech a její grafické zobrazení (pro čtvrtý sloupec senzorů viz obr. 9). obr. 9 Grafické zobrazení posunů na senzorech čtvrtého sloupce Na následujícím obrázku jsou znázorněny výsledky z elektronického systému stejným způsobem jako výsledky z našeho měření. Zobrazené výsledky odpovídají časově nejblíže našemu měření číslo 31. Vodorovná modrá čára představuje aktuální dolní hladinu v plavební komoře a tedy nejnižší oblast vyhodnocenou ze skenovacího systému. 7

8 obr. 10 Hypsometrické zobrazení výsledků z elektronického měřícího systému Dalším logickým krokem je porovnání výsledků z obou metod. Nejlepší metodou pro porovnání je opět hypsometrické zobrazení digitálního modelu rozdílů. Jsou uvedeny rozdíly pro 14 a 31 měření. Obě měření byly nejprve upraveny metodou průměrných posunů s velikostí oblasti 1 metr. obr. 11 Rozdíl výsledků obou metod Z obr. 11 je zřejmé, že výsledky z obou metod jsou rozdílné a rozdíl je významnější v případě větších deformací. Ve spodní části viditelné oblasti vrat jsou posuny určené metodou laserového skenování o 5 až 15 milimetrů větší a v horní části naopak o 0 až 5 milimetrů 8

9 menší. Vysvětlení detekovaných rozdílů bude vyžadovat konzultace se společností VÚEZ, a.s., která zajišťuje elektronický měřící systém Analýza přesnosti Kromě vrat byla zaměřena i část okolních zdí, u kterých se nepředpokládali žádné deformace (viz obr. 12). Na těchto bodech mohla být odhadnuta směrodatná odchylka použité metody v podmínkách měření. Směrodatná odchylka je stanovena na základě stejné metody, jakou byla vyhodnocena ostatní data, tedy z digitálního modelu posunů. obr. 12 Zaměřená oblast bez deformací V případě nedeformovaných oblastí by výsledky rozdílového modelu měli být nulové. V našem případě jsou pro několik měření výsledky shrnuty v tab. 1. Rozdíl z z bodů z průměrů měření č. [m] [m] 01m m m m Průměrné tab. 1 Směrodatné odchylky určení posunů V prvním sloupci jsou určeny směrodatné odchylky z rozdílů na jednotlivých bodech a v druhém sloupci směrodatné odchylky určené z průměrů z čtverců o straně délky jeden metr. Na základě výše uvedeného testování, je možné odhadnout směrodatnou odchylku posunu jednoho bodu na 2 milimetry a směrodatnou odchylku průměrného posunu z desítek bodů na 1 milimetr. Tyto hodnoty jsou v souladu s výsledky testování v rozdílných podmínkách viz [2] Závěr Byla navržena metoda plošného monitorování dynamických deformací vrat plavební komory za běžného provozu s využitím technologie laserového skenování. Naměřená data byla standardně upravena a vyhodnocena metodou rozdílových digitálních modelů terénu. Pro další jednodušší interpretaci a prezentaci byly vypočtené digitální modely posunů upraveny metodou průměrných posunů. Na základě experimentu byla odhadnuta přesnost použité metody. 9

10 Metoda byla srovnána s elektronickým měřícím systémem umístěným ve vratech. Ve výsledcích obou metod byly detekovány významné rozdíly, jejichž vysvětlení bude vyžadovat podrobnější studium fungování elektronického měřícího systému. Byla prokázána využitelnost a vhodnost technologie laserového skenování pro plošné monitorování dynamických deformací vrat plavební komory. 2. Určení parametrů jeřábové dráhy Měření jeřábových drah je jednou z důležitých aplikací v inženýrské geodézii. V současné době jsou jeřábové dráhy nejčastěji měřeny s využitím teodolitů, nivelačních přístrojů a totálních stanic. Další možností pro měření jeřábových drah je použití terestrického laserového skenování. Technologie terestrického laserového skenování nabízí oproti běžně používaným postupům několik výhod. Mezi nejvýznamnější výhody patří rychlost sběru dat a vysoká hustota podrobných bodů zaměřených na jeřábové dráze. Ačkoli tato technologie nedosahuje pro jednotlivé body takové přesnosti jako při použití přesných klasických postupů, díky hustotě bodů a znalosti tvaru měřené jeřábové dráhy je výsledná přesnost této metody zcela srovnatelná s ostatními. V příspěvku je prezentováno experimentální využití technologie laserového skenování pro statickou kontrolu jeřábové dráhy umístněné ve strojovně vodní elektrárny v Gabčíkovu (Slovenská republika) přístrojem Leica HDS3000. Naměřená data byla zpracována v programu Cyclone pomocí prokládání geometrických primitiv. Je posouzena přesnost výsledných dat apriorním rozborem. Výsledky jsou porovnány s mezními odchylkami uvedenými v normě ČSN [3]. Na základě tohoto porovnání jsou doporučena příslušná opatření pro rektifikaci jeřábové dráhy Přístrojové vybavení, lokalita a popis měření Pro zaměření jeřábové dráhy byl použit laserový skenovací systém Leica HDS3000. Podrobnější informace o tomto systému byly uvedeny v první části příspěvku. Měření proběhlo ve strojovně vodní elektrárny Gabčíkovo za běžného provozu (obr. 13). Zaměřovaná mostová jeřábová dráha je 300 m dlouhá a její rozchod je 17,62 m (hodnoty jsou přibližné). Na jeřábové dráze jsou umístěny dva jeřáby. obr. 13 Strojovna vodní elektrárny Gabčíkovo Protože se jednalo o experimentální měření, byl zaměřen pouze 73 m dlouhý úsek jeřábové dráhy, který se nachází se ve druhé čtvrtině celkové délky dráhy. 10

11 Jeřábová dráha byla zaměřena ze čtyř stanovisek. První dvě stanoviska byla umístěna na levém a pravém okraji jeřábu, který byl postaven na začátku měřeného úseku. Po zaměření prvních dvou stanovisek byl jeřáb posunut o 30 m dopředu. Z tohoto nového postavení jeřábu byly zaměřeny nová dvě stanoviska opětovně umístěná na levý a pravý okraj jeřábu. Stanoviska byla volena tak, aby poloha skeneru byla přibližně dva metry nad kolejnicí (z levého stanoviska byla měřena levá kolejnice, z pravého stanoviska byla měřena pravá kolejnice) a dva metry od osy kolejnice směrem ke středu jeřábu (obr. 14). obr. 14 Rozmístění stanovisek na jeřábu Z prvního i z druhého postavení jeřábu bylo zaměřeno přibližně 50 m koleje. Celkový zaměřený úsek jeřábové dráhy byl 80 m (30 m z prvního postavení jeřábu a 50 m z druhého postavení jeřábu, na úseku ve staničení m se měření z obou postavení jeřábu překrývala). Na jednotlivých stanoviskách byly kolejnice zaměřeny několika skeny (11; 11; 15; 15 skenů), které se od sebe lišily nastavenou hustotou skenování. Hustota skenování byla volena tak, aby měřená kolejnice byla pokryta dostatečně hustou sítí bodů i v nejvzdálenějším místě od skeneru Vyhodnocení naměřených dat Základní zpracování naměřených dat probíhalo v programu Cyclone. Nejprve byla provedena registrace jednotlivých měření do jednoho celku, pro které bylo šest vlícovacích bodů měřených z každého stanoviska. Absolutní průměrná odchylka transformace pro registraci byla 0,8 mm. Dalším krokem bylo očištění výsledného mračna bodů od nepotřebných bodů. Výsledkem čištění bylo mračnou bodů obsahující pouze body levé a pravé kolejnice. Očištěné mračno bodů bylo segmentováno na metrové úseky ve směru staničení. Bylo získáno celkem 73 segmentů na každé kolejnici. Příčný řez kolejnicí je přibližně čtvercového tvaru o straně 80 mm. Při vyhodnocování segmentu byla proložena jedna rovina pojezdovou plochou a druhá rovina vnitřní boční stěnou kolejnice. Získané roviny byly protaženy na svůj průsečík, kterým byla proložena úsečka. Tato úsečka reprezentovala vnitřní pojezdovou hranu kolejnice. Na každé kolejnici bylo modelováno 73 segmentů. Na obr. 15 je vidět mračno bodů levé kolejnice s vymodelovanou vnitřní pojezdovou hranou. 11

12 obr. 15 Mračno bodů levé kolejnice s vymodelovanou vnitřní pojezdovou hranou Vymodelovanými vnitřními pojezdovými hranami byly vedeny řezy kolmé na směr staničení. Řezy byly vedeny ve staničení: 0,5 + ( N 1)*1[m], (1) kde N je číslo segmentu kolejnice. Do těchto řezů vymodelovaných úseček byly vloženy body, které byly použity k výslednému vyhodnocení zaměření jeřábové dráhy. Pro vyhodnocení zaměření jeřábové dráhy byla použita norma ČSN Jeřábové dráhy. Podle této normy se hodnotí geometrický tvar jeřábové dráhy. Hodnotí se tři parametry: rozchod jeřábové dráhy, výšková úroveň hlavy kolejnice a vybočení kolejnice od středové osy kolejnice. Největší tolerance s pro rozchod jeřábové dráhy s [m] je pro s > 10 m: s =± [3+ 0,25*( s 10)] [mm], maximálně ± 15 mm (2) Pro naši jeřábovou dráhu je největší tolerance s 5 mm. Protože projektovaný rozchod jeřábové dráhy nebyl znám, byl pro posouzení použit průměrný rozchod koleje (17,617 m) vypočítaný z určených rozchodů. Určené rozchody jeřábové dráhy jsou uvedeny v tabulce 1. Z hodnot uvedených v tabulce 1 vyplývá, že v několika úsecích jeřábové dráhy byla překročena maximální tolerance pro rozchod jeřábové dráhy. Mezní odchylka výškové úrovně hlavy kolejnice od teoretické výšky jeřábové dráhy je ± 10 mm. Teoretické výška je dána buď vodorovnou rovinou, nebo využitelnou teoretickou vyklenutou křivkou. Výškové úrovně obou kolejnic mohou v příčném směru vykazovat rozdíl 10 mm. Výšková úchylka v podélném směru kolejnice v každém bodě měřené délky 2 m nesmí překročit 2 mm. Určené hodnoty výškové úrovně hlavy levé kolejnice jsou uvedeny v tabulce 2. Z určených hodnot pro levou kolejnici vyplývá, že mezní odchylka výškové úrovně hlavy kolejnice nebyla překročena. Výšková úchylka v podélném směru kolejnice byla na několika místech překročena. 12

13 Rozchod koleje Rozchod koleje Průměrný rozchod koleje (17,6165 m) Rozchod [m] 17,623 17,622 17,621 17,62 17,619 17,618 17,617 17,616 17,615 17,614 17,613 17,612 17,611 17,61 17,609 17,608 17, Řezy Tabulka 1 Určené rozchody koleje jeřábové dráhy Výškové odchylky levé kolejnice Výškové odchylky levé kolejnice 0,005 0,004 V ýškové odchylky [m ] 0,003 0,002 0, ,001-0, ,003-0,004 Řezy Tabulka 2 Určené výškové úrovně hlavy levé kolejnice Horizontální odchylky levé kolejnice Horizontální odchylky levé kolejnice 0,008 0,006 Horizontální odchylka [m ] 0,004 0, ,002-0,004-0, ,008-0,01 Řezy Tabulka 3 Určené vybočení levé kolejnice od středové osy kolejnice 13

14 Pro celkovou délku kolejnice je mezní odchylka v bočním směru ± 10 mm. Podélná středová osa kolejnice ve vodorovné rovině nesmí překročit boční úchylku ± 1 mm na délce 2 m. Určené hodnoty odchylky v bočním směru pro levou kolejnici jsou uvedeny v tabulce 3. Z určených hodnot pro levou kolejnici vyplývá, že mezní odchylka v bočním směru nebyla překročena. Boční úchylka od podélné středové osy kolejnice na délce 2 m byla na několika místech překročena Analýza přesnosti Pro určení přesnosti vyhodnocení jeřábové dráhy byl proveden rozbor přesnosti určení bodu v průsečíku dvou rovin. Přesnost bodu určeného v průsečíku dvou rovin je možné odhadnout na základě úplného zákona hromadění směrodatných odchylek viz [4]. Ten je vyjádřen maticovým vztahem: T S = H S H, (3) h kde H je matice koeficientů lineární funkce přenosu matice skutečných chyb vstupních veličin na matici skutečných chyb neznámých. Vzniká derivací funkčních vztahů podle jednotlivých vstupních veličin a S m a S h jsou kovarianční matice vstupních a výstupních veličin. Obecná rovnice roviny je dána vztahem: m A x+ B y+ C z+ D= 0. (4) Základním vztahem je pro výpočet průsečíku tří rovin je podle [5]: kde: x y z xp =, yp =, zp =, (5) A B C D B C A D C A B D = A B C, x = D B C, y = A D C, z = A B D. (6) A B C D B C A D C A B D Z uvedeného vztahu si můžeme vyjádřit například vzorec pro výpočet souřadnice x P : x P DBC DCB DBC + DCB + DBC DCB = ABC ACB ABC + ACB + ABC ACB (7) Třetí rovina, která nám definuje bod na průsečíku prvních dvou rovin, je uvažována jako bezchybná. V zákonu (3) vystupují parametry rovnice (4), tedy A, B, C a D, a jejich kovarianční matice S m. Tyto veličiny je možné získat z proložení roviny danou množinou bodů metodou ortogonálního prokládání. Prokládání bylo provedeno v knihovně SpatFig viz [6]. Určitou nejistotu do vypočtených hodnot vnáší nepřesná znalost apriorních charakteristik přesnosti použitého laserového skenovacího systému. K výpočtu kovarianční matice byla použita aposteriorní jednotková směrodatná odchylka. Z měřených dat byly určeny parametry a kovarianční matice prvních dvou rovin. Na tyto vstupní veličiny byl aplikován úplný zákon hromadění směrodatných odchylek. Byly vypočteny směrodatné odchylky určeného bodu ve směrech souřadnicových os σ x = 0.07 mm a σ z = 0.1 mm. 14

15 Tyto směrodatné odchylky charakterizují vnitřní přesnost měření skenovacím systémem HDS3000. Pro celkovou přesnost je potřeba uvažovat i vliv transformace jednotlivých stanovisek do jednoho modelu. Po započítání tohoto vlivu byla přesnost určených parametrů jeřábové dráhy menší než 1 mm Závěr Byla testována technologie laserového skenování pro kontrolu geometrických parametrů jeřábové dráhy. Naměřená data byla zpracována v programu Cyclone. Pro posouzení přesnosti získaných výsledků byl proveden rozbor přesnosti, který potvrdil srovnatelnou přesnost laserového skenování s klasickými metodami. Také doba měření a zpracování byla při srovnání s klasickými metodami podobná. Hlavním přínosem testované technologie bylo získání mnohem většího množství dat pro kontrolu geometrických parametrů jeřábové dráhy. Výsledné hodnoty byly posouzeny podle normy ČSN Byla překročena největší tolerance s pro rozchod jeřábové dráhy, úchylka ve výšce v podélném směru kolejnice a úchylka v bočním směru od středové osy kolejnice. Byla prokázána využitelnost a vhodnost technologie laserového skenování pro kontrolu geometrických parametrů jeřábových drah. Článek byl zpracován v rámci grantového projektu GA ČR 103/06/0094 "Zpracování a analýza produktů hromadného sběru 3D dat terestrickými skenovacími systémy". Literatura a odkazy [1] Křemen, T. Koska, B. Pospíšil, J.: Verification of Laser Scanning Systems Quality. In: XXIII International FIG Congress. Munich, Germany, [2] Pospíšil, J. Koska, B. Křemen, T.: Using Laser Scanning Technologies for Deformation Measuring. In: Optical 3-D Measurement Techniques. Zurich: Swiss Federal Institute of Technology Zurich, [3] ČSN Jeřábové dráhy [ 4] Böhm, J. Radouch, V. Hampacher, M.: Teorie chyb a vyrovnávací počet. Praha: GKP, [ 5] Bartsch, H. J.: Matematické vzorce. Praha: SNTL, [ 6] Koska, B.: Veřejná knihovna tříd a funkcí SPATFIG k ortogonálnímu prokládání obecných geometrických útvarù mračnem bodů. In: Aktuální problémy fotogrammetrie a DPZ Praha: ČVUT, Fakulta stavební, Katedra mapování a kartografie, s ,