Měření nanodrsnosti pomocí optických metod a mikroskopie atomové síly
|
|
- Jiří Štěpán Beran
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Měření nanodrsnosti pomocí optických metod a mikroskopie atomové síly IvanOhlídal 1,2,DanielFranta 1,2 apetrklapetek 3 1 Katedrafyzikálníelektroniky,Přírodovědeckáfakulta,Masarykovauniverzita,Kotlářská2,61137,Brno 2 Laboratořplazmatuaplazmovýchzdrojů,Přírodovědeckáfakulta,Masarykovauniverzita,Kotlářská2,61137Brno 3 Českýmetrologickýinstitut,Okružní31,63800Brno Abstrakt V tomto příspěvku je podán přehled statistických veličin charakterizujících náhodně drsné povrchy, které jsou významné z hlediska praxe. Dále jsou popsány způsoby měření těchto veličin pomocí mikroskopie atomové síly a optické metody založené na kombinaci spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektometrie. Tyto způsoby jsou ilustrovány prostřednictvím výsledků dosažených u náhodně drsných povrchů monokrystalu křemíku a u drsnýchhorníchrozhraníchtenkýchvrstevtio 2.Obdrženévýsledkyuoboudruhůnáhodnědrsnýchpovrchůpomocí kombinované optické metody a mikroskopie atomové síly jsou vzájemně srovnány. Je také provedena diskuse chyb, které mohou ovlivnit hodnoty statistických veličin určených pomocí mikroskopie atomové síly. V tomto příspěvku navíc ukážeme, že pomocí obou výše zmíněných experimentálních technik je možné provést i kvantitativní charakterizaci náhodně drsných povrchů vykazujících nanometrický charakter, tj. povrchů jejichž výškové nerovnosti jsou popsány standardními odchylkami s hodnotami menšími než 10 nm. Zároveň také ukážeme, že v případě nanometricky drsných povrchů je nutné z principiálních důvodů očekávat zřetelné rozdíly v hodnotách jejich statistických veličin určených pomocí mikroskopie atomové síly na jedné straně a pomocí kombinované optické metody na straně druhé. 1 Úvod Náhodná drsnost výrazně ovlivňuje fyzikální a chemické vlastnosti povrchů pevných látek. Například v důsledku této drsnosti povrchy pevných látek a tenké vrstvy rozptylují světlo a rtg záření, drsnost povrchů a rozhraní tenkých vrstev ovlivňuje jejich mechanické a elektrické vlastnosti atd. Je tedy nutné mít k dispozici metody umožňující kvantitativně charakterizovat náhodnou povrchovou drsnost, tj. určovat hodnoty statistických veličin jednoznačně popisujících tuto drsnost. Jedněmi z nejvýznamnějších metod umožňujících kvantitativní studium náhodné povrchové drsnosti jsou optické metody. V posledních deseti letech se v rámci optických metod používaných pro tento účel začínají výrazně uplatňovat metody spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektometrie. Rovněž moderní experimentální technika známá jako mikroskopie atomové síly(atomic force microscopy AFM) sehrává v posledních deseti letech významnou roli při kvantitativní charakterizaci náhodné povrchové drsnosti. Pomocí těchto zmíněných experimentálních technik, tj. spektroskopické elipsometrie, spektroskopické reflektometrie a mikroskopie atomové síly, lze kvantitativně studovat velmi jemně drsné povrchy, jemně drsné povrchy a středně drsné povrchy. Zmíněná klasifikace náhodně drsných povrchů je provedena na základě hodnot nejvýznamnějších číselných statistických veličin, tj. hodnot standardní odchylky výšek nerovností σ a autokorelační délky T (přesné definice těchto dvou veličin budou uvedeny v následujícím odstavci). Přiřazení hodnot σ a T k jednotlivým povrchům je následující: 1.Velmijemnědrsnépovrchy: σ 1nmaT 1nm 2.Jemnědrsnépovrchy: σ <10nmaT 10nm 3.Střednědrsnépovrchy:1000nm > σ 10nmaT >10nm Pomocí AFM je ovšem možné také charakterizovat velmi drsné povrchy, pokud hodnoty dvou zmíněných číselných statistických veličin odpovídají následujícím nerovnostem: 5000 nm σ 1000 nm, T > 1000 nm. Pomocí spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektometrie lze provést rozumnou kvantitativní charakterizaci těchto velmi drsných povrchů pouze tehdy, pokud tyto dvě optické metody jsou aplikovány ve vzdálenější infračervené oblasti spektra. Aplikace obou zmíněných optických metod v této části optického spektra je však experimentálně velmi obtížná a v praxi se pro studium povrchové drsnosti využívá jen výjimečně. V praxi často vznikají velmi jemně drsné povrchy v důsledku bombardování hladkých povrchů částicemi (např. ionty), v důsledku termické a anodické oxidace hladkých povrchů kovů a polovodičů atd. Jemně drsné povrchy vznikají například při termické i anodické oxidaci povrchů kovů a polovodičů, při mechanickém leštění povrchů v poslední fázi leštícího procesu, při leptání povrchů různých pevných látek atd. Středně drsné povrchy se objevují opět při termické a anodické oxidaci kovů a polovodičů, při leptání povrchů různých pevných látek, broušení 1
2 Obrázek 1: Schematické znázornění modelu náhodně drsného povrchu Si pokrytého velmi tenkou přirozenou vrstvou. hladkých povrchů atd. Konkrétní typ povrchové drsnosti, který vznikne při termické a anodické oxidaci hladkých povrchů závisí na technologických podmínkách oxidace(totéž platí pro proces leptání). Je nutné poznamenat, že všechny tři uvedené typy náhodné povrchové drsnosti vznikají i u rozhraní tenkých vrstev v závislosti na použitém technologickém procesu a podmínkách přípravy těchto vrstev. V posledních několika letech se v odborné literatuře často objevuje pojem nanometrická náhodná drsnost. Pod tímto pojmem se rozumí náhodná povrchová drsnost jejíž lineární rozměry alespoň v jednom směru vykazují hodnoty rovné řádově několika nanometrům. Jinými slovy řečeno to znamená, že buď hodnota σ nebo hodnota T je u nanometrické povrchové drsnosti rovna několika nanometrům. Mezi nanometricky drsné povrchy patří samozřejmě i povrchy mající náhodnou povrchovou drsnost charakterizovanou veličinami σ a T, které současně vykazují hodnoty rovné několika nanometrům. To znamená, že velmi jemně drsné povrchy i jemně drsné povrchy zmiňované nahoře patří z tohoto hlediska mezi nanometricky náhodně drsné povrchy. Naším hlavním cílem v tomto článku je popsat měření prakticky významných statistických veličin charakterizujících drsné povrchy, včetně nanometricky drsných, pomocí mikroskopie atomové síly a optické metody tvořené spektroskopickou elipsometrií a spektroskopickou reflektometrií. 2 Významné statistické veličiny náhodně drsných povrchů V tomto odstavci budou definovány významné statistické veličiny náhodné povrchové drsnosti mající vliv na fyzikální a chemické vlastnosti povrchů pevných látek a tenkých vrstev. Soustředíme se na náhodně drsné povrchy, které jsou generovány izotropními, stacionárními a ergodickými stochastickými procesy. Skutečnost, že náhodně drsné povrchy odpovídají izotropním a stacionárním stochastickým procesům znamená to, že tyto povrchy jsou izotropně a homogenně drsné(tj. hodnoty statistických veličin nezávisí na poloze a směru). Pojem ergodičnosti bude vysvětlen pomocí následujících vztahů. Z hlediska praxe je nutné uvažovat o šesti následujících významných statistických veličinách popisujících povrchy, které splňují předcházející předpoklady: (a) standardní odchylka výšek nerovností σ σ 2 = z 2 1 w(z)dz= lim S S S ζ 2 (x, y)dxdy, (1) kde w(z) je jednorozměrné rozdělení hustoty pravděpodobnosti náhodné funkce ζ(x, y) popisující náhodně drsný povrch(symboly x a y značí kartézské souřadnice ve střední rovině povrchu a z reprezentuje výšky nerovností povrchu). (b) standardníodchylkasklonůnerovnostípovrchutanβ 0 kde tan 2 β 0 = z 2 w(z )dz 1 = lim S S ζ (x, y)= ζ(x, y) x nebo S ζ 2 (x, y)dxdy, (2) ζ(x, y) y a w(z )reprezentujejednorozměrnérozděleníhustotypravděpodobnostináhodnéfunkce ζ (x, y). (c) autokorelační funkce výšek B(τ) B(τ)= 1 z 1 z 2 w(z 1, z 2, τ)dz 1 dz 2 = lim S S S (3) ζ(x 1, y 1 )ζ(x 1 + τ x, y 1 + τ y )dx 1 dy 1, (4) kde w(z 1, z 2, τ)jedvourozměrnérozděleníhustotypravděpodobnostináhodnéfunkce ζ(x, y)odpovídající bodům[x 1, y 1 ]a[x 2, y 2 ](τ x = x 2 x 1, τ y = y 2 y 1, τ= τx+ 2 τy). 2 2
3 (d) spektrální hustota prostorových frekvencí(power spectral density function) W(K): kde K= W(K)=W(K x, K y )= 1 τb(τ)j 0 (τk)dτ, (5) 2π 0 Kx 2+ K2 y, K xa K y jsousložkyvlnovéhovektoruharmonickékomponentyjistéprostorovéfrekvence povrchovédrsnostiaj 0 značíbesselovufunkcinultéhořádu.. (e) jednorozměrné rozdělení hustoty pravděpodobnosti výšek w(z) (f) jednorozměrnérozděleníhustotypravděpodobnostisklonů w(z ) Vzorce(1),(2) a(4) vyjadřují ergodičnost stochastických procesů generujících náhodně drsné povrchy. Jinými slovy řečeno to znamená, že ergodické stochastické procesy jsou takové procesy, u nichž středování přes soubor realizací náhodné funkce popisující tento proces dává stejné výsledky jako středování přes jednu nekonečně rozlehlou realizaci tohoto procesu. 3 Měření statistických veličin pomocí AFM Při měření povrchové drsnosti pomocí mikroskopu atomové síly určujeme hodnoty výšek nerovností v určitých bodech střední roviny povrchu. To znamená, že jako výstup měření ze zmíněného mikroskopu obdržíme soubor hodnot výšek, který je nutné dále vhodným způsobem zpracovat. V rámci tohoto zpracování se musí nejdříve provést justování zmíněného souboru hodnot výšek nerovností. Toto justování se provádí tak, že se určí střední hodnota všech výšek. Určené hodnoty výšek se potom vztáhnou vůči této střední hodnotě, která se položí rovna nule. Tímto způsobem získáme hodnoty výšek nerovností, které jsou určeny vůči nulové střední rovině povrchu. Z předcházejícího textu vyplývá, že při výpočtu statistických veličin ve vztazích(1) (5) musí být integrály nahrazeny součty. To tedy znamená, že při zpracování AFM dat musíme užít následující rovnice: (a) σ 2 = 1 NM M j=0 i=0 N zij 2, (6) kde N resp. M značí počet sloupců resp. řádků odpovídajících konkrétnímu AFM skenu(rastru). (b) tan 2 β 0 = 1 (N 1)M M N 1 j=0 i=0 z 2 ij, kde z ij= z i+1,j z ij h představuje numerickou numerickou derivaci profilu povrchu podél řádků. (7) (c) B(τ)= 1 (N t)m M N t j=0 i=0 z ij z i+t,j, kde τ= th (8) kde hjevzdálenostmezisousednímibodyřádkůatjepřirozenéčíslo(tjemnohemmenšínež N). (d) V praxi je výhodnější použít místo funkce W(K) jednorozměrnou spektrální hustotu prostorových frekvencí W 1 (K x ),tj. W 1 (K x )= Hodnoty W 1 (K x )seurčujírychloufourierovoutransformací: W 1 (K x )= 2π NMh kde P j (K x )jefourierůvkoeficient j-téhořádku,tj. P j (K x )= h 2π W(K x, K y )dk y. (9) M ˆP j (K x ) 2, (10) j=0 N z ij exp( ik x ih). (11) i=0 3
4 Obrázek2:AFMsnímekpovrchudrsnéhokřemíku(vzorekč.8).Snímekodpovídáskenu5 5µm. (e) (f) N(z, δz) w(z)= NM δz, (12) kdefunkce N(z, δz)představujepočethodnotvýšek z ij ležícíchvintervalu z δz/2, z+δz/2. w(z )= N(z, δz ) (N 1)M δz. (13) Poznamenejme,žehodnoty σatanβ 0 lzeurčitijinýmzpůsobem,tj.tzv.parametrizací.vpřípaděnejčastěji se vyskytujícího náhodně drsného povrchu, tj. normálního(gaussova) povrchu, je možné hodnoty těchto parametrů určit prostřednictvím proložení experimentálních hodnot příslušných veličin pomocí odpovídajících následujících funkcí[k tomu účelu lze například využít metodu nejmenších čtverců(mnč)]: w(z)= 1 2π σ exp( z 2 /2σ 2 ), (14) w(z )= T 2 π σ exp[ (z T/2σ) 2], (15) W 1 (K x )= σ2 T 2 π exp[ (K x T/2) 2], (16) tanβ 0 = 2 σ T, (17) 4 Měření statistických veličin pomocí optických metod Pomocí spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektometrie lze určovat hodnoty parametrů σ, T, případně tan β 0.Jetodánotím,ževevztazíchprooptickéveličiny,tj.elipsometrickéveličinyaodrazivost,vystupujítyto parametry ve funkcích jako jsou jednorozměrné rozdělení výšek nerovností, spektrální hustota prostorových frekvencí nebo autokorelační funkce. To znamená, že tyto funkce musí být ve vztazích pro optické veličiny formulovány pomocí vhodnýchmatematickýchvyjádření,vnichžveličiny σ, T nebotanβ 0 vystupujíjakohledanéparametry.tyto 4
5 Obrázek 3: Jednorozměrné rozdělení hustoty pravděpodobnosti výšek w(z) pro vzorek č. 8 obdržené pomocí AFM měření a optické metody: body představují AFM data, fit experimentálních AFM dat,----- teoretická křivka vypočítaná pomocíhodnoty σurčenézfituexperimentálníchhodnot W 1(K x), teoretickákřivkavypočítanápomocíhodnoty σ určené optickou metodou. parametry jsou potom hledány při zpracování odpovídajících experimentálních dat pomocí vztahů pro příslušné optické veličiny, tj. jsou hledány pomocí parametrizace(opět může být pro tento účel využita MNČ). Z toho vyplývá, že při srovnávání výsledků charakterizace drsných povrchů nebo rozhraní dosažených prostřednictvím AFMazmíněnýchoptickýchmetodjemožnésesoustředitpouzenahodnotyparametrů σ, T nebotanβ 0.Je vhodné ještě poznamenat, že vztahy pro optické veličiny náhodně drsných povrchů nebo tenkých vrstev s náhodně drsnými rozhraními jsou velmi komplikované z matematického hlediska, a proto je nebudeme zde uvádět. Lze je najít v příslušné odborné literatuře(viz např.[1]). 5 Příklady experimentálních výsledků Ilustrace určení některých významných statistických charakteristik náhodně drsných povrchů bude provedena nejprve prostřednictvím výsledků dosažených u pěti náhodně drsných povrchů monokrystalu křemíku. Tyto drsné povrchy byly připraveny anodickou oxidací hladkých povrchů destiček monokrystalu křemíku za různých technologických podmínek. V důsledku anodické oxidace hladkých povrchů křemíku je možné za jistých podmínek oxidace získat různě drsné povrchy tohoto materiálu(vrstvy vzniklého anodického oxidu musí být ovšem rozpuštěny). Měření AFM dat bylo provedeno pomocí komerčního mikroskopu atomové síly ACCUREX II.L firmy TopoMetrix. Byl použit skener typu tripod a standardní bezkontaktní hrot tvaru trojbokého jehlanu. Měření bylo většinou provedeno narozsahuskenu(rastru)5 5µmpřirozlišení pixelů.Dalšípodrobnostiměřeníjsoupopsányvnašem dřívějším článku[2]. Hodnoty statistických veličin náhodně drsných povrchů křemíku určené pomocí AFM byly srovnány s výsledky obdrženými pomocí kombinované optické metody založené na společné interpretaci experimentálních dat získaných v rámci víceúhlové spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektrometrie aplikované při téměř kolmém dopadu světla. V rámci této kombinované optické metody jsou elipsometrická a reflektometrická experimentální data zpracovávána pro každý vzorek současně pomocí MNČ. Elipsometrická data byla tvořena spektrálními závislostmi elipsometrických veličin(např. elipsometrických parametrů) naměřenými pro různé úhly dopadu světla a reflektometrická data byla pak tvořena spektrálními závislostmi absolutní odrazivosti naměřenými při téměř kolmém dopadu světla(podrobněji viz[3]). Pro měření elipsometrických a reflektometrických dat studovaných vzorků byly využity fázově modulovaný spektroskopický elipsometr Jobin-Yvon UVISEL/DH10 a spektrofotometr Varian Cary 5 E. Optická data byla měřena ve spektrálním oboru nm. Pro interpretaci optických dat byly využity vztahy odpovídající Rayleigh-Riceovy teorii a skalární difrakční teorii(podrobněji viz články[1],[4] a[5]). Je nutné poznamenat, že při interpretaci optických dat získaných při měření křemíkových vzorků jsme využili model tvořený 5
6 W 1 [nm 3 ] K x [nm -1 ] Obrázek4:Jednorozměrnáspektrálníhustotaprostorovýchfrekvencí W 1(K x)odpovídajícívzorkučíslo8:bodyznačíexperimentální hodnoty, fit experimentálních hodnot,----- teoretická křivka vypočtená na základě hodnot σ a T určených optickou metodou. náhodně drsným povrchem podložky(tj. křemíku), který je pokryt velmi tenkou přirozenou vrstvou(viz obr. 1). Vobr.2jeuvedenAFMsnímekvybranéčástináhodnědrsnéhopovrchuSi(vzorekč.8).Výsledkyzískané pomocíafmaoptickémetodyjsouprovzorkyč.2,3,6,7a8uvedenyvtabulce1.vdruhémsloupcitétotabulky jsou uvedeny hodnoty parametru σ určené pomocí vztahu(6)(tyto hodnoty jsou určeny pomocí programu který přísluší k vybavení mikroskopu a který neudává chybu určené hodnoty). Ve sloupcích 4 a 5 jsou uvedeny hodnoty veličin σa Tnalezenéprostřednictvímparametrizacefunkcí W 1 (K x )aw(z)vyjádřenýchpomocírovnic(16)a(14) (pomocí parametrizace funkce w(z) nelze určit hodnoty T). Sloupec 3 obsahuje hodnoty σ a T určené pomocí kombinované optické metody. Z tabulky 1 je vidět, že existuje určitý nesouhlas mezi hodnotami σ a T určenými na jedné straně pomocí AFM a na straně druhé pomocí optické metody. Vysvětlení této skutečnosti bude provedeno v následujícím odstavci. V obr. 3 jsou uvedeny hodnoty funkce w(z) určené pomocí rovnice(12)(viz body) spolu s křivkou vyjadřující proložení těchto hodnot pomocí funkce vystupující v rovnici(14). Navíc jsou v tomto obrázku uvedeny křivky odpovídající teoretickým hodnotám w(z), které byly vypočítány pomocí hodnot σ určených využitímoptickémetodyavyužitímprokládáníhodnot W 1 (K x )určenýchpomocírovnic(10)a(11)funkcívystupující vrovnici(16).vobrázku4jsouuvedenyhodnotyfunkce W 1 (K x )určenépomocírovnic(10)a(11)spoluskřivkou vyjadřující proložení těchto hodnot pomocí funkce dané rovnicí(16). Navíc jsou zde uvedeny křivky odpovídající parametr AFM fitdat opticky AFM W 1 (K x ) AFM w(z) σ 2 6,12 5,15 ±0,06 6,42 ±0,03 5,8 ±0,3 σ 3 14,60 10,73 ±0,03 14,73 ±0,12 14,5 ±0,6 σ 6 17,36 14,23 ±0,02 19,16 ±0,16 17,8 ±0,7 σ 7 23,38 15,58 ±0,003 23,2 ±0,2 24,2 ±0,7 σ 8 15,07 12,12 ±0,004 16,51 ±0,16 16,3 ±0,1 T ±4 75,1 ±0,8 T 3 119,5 ±0,3 142 ±3 T 6 137,6 ±1,2 240 ±5 T 7 154,7 ±1,2 265 ±6 T 8 126,0 ±1,2 209 ±5 Tabulka1:VýsledkyzískanépomocíAFMaoptickémetodyprovzorkyč.2,3,6,7a8. 6
7 teoretickým hodnotám této funkce vypočítaným pomocí hodnot σ a T, které byly určeny pomocí optické metody. Z obr. 3 vyplývá, že jednorozměrné rozdělení hustoty pravděpodobnosti výšek v případě vzorku č. 8 dobře odpovídánormálnímupovrchu.zobr.4jevšakvidět,žefunkce W 1 (K x )charakterizujícítentovzorekneodpovídá striktně vztahu(16), tj., že tato funkce nemá striktně normální(gaussův) charakter. Poslední dvě skutečnosti nejsou vzájemně v rozporu, protože normální povrch může obecně vykazovat autokorelační funkci B(τ) i funkci W 1 (K x )vnegaussovskémtvaru.jevhodnésipovšimnout,žezobrázků3a4rovněžvyplývájistýnesouhlasmezi výsledky obdrženými pomocí AFM a výsledky obdrženými využitím optické metody. Z předcházejících výsledků je také patrné, že pouze křemíkový vzorek číslo 2 lze jednoznačně zařadit mezi nanometricky drsné povrchy. TypickýminanometrickydrsnýmipovrchyjsouhornírozhranítenkýchvrstevTiO 2,kterébylypřipraveny termickým napařováním ve vakuu na podložky tvořené destičkami z monokrystalického křemíku při standardních podmínkách tohoto napařování(podrobněji viz[6]). Bylo analyzováno pět vzorků. Horní rozhraní těchto pěti vzorků vrstevtio 2 bylaanalyzovánapomocíafmakombinovanéoptickémetodystejnýmzpůsobemjakovzorkydrsných povrchů monokrystalického Si. AFM snímek části drsného horního rozhraní vzorku číslo 5 je na obr. 5. Již z tohoto snímku je vidět, že horní rozhraní tohoto vzorku vykazuje velmi jemnou drsnost odpovídající nanometrickému charakteru(v obrázku je zřetelný i artefakt způsobený zobrazováním vrcholu hrotu velmi ostrými nerovnostmi na rozhraní, což ukazuje, že lineární rozměry těchto nerovností ve střední rovině jsou srovnatelné s poloměrem vrcholu hrotu, který byl roven asi nm). Hodnoty parametrů σ a T jednotlivých rozhraní byly určovány pouze pomocí fitovánífunkce W 1 (K x )určenénazákladěvýškovýchafmdataprostřednictvímfitováníexperimentálníchdat odpovídajících kombinované optické metodě(tj. přímá metoda určení hodnot σ z AFM dat na základě definice nebyla v případě těchto vzorků využita). Při fitování optických i AFM dat byla opět využita MNČ. Spolu s určováním hodnot těchto dvou statistických parametrů bylo ovšem nutné současně určovat hodnoty tlouštěk a spektrákní závislostioptickýchkonstantjednotlivýchvrstevtio 2.Jetakénutnézdůraznit,ževpřípaděanalýzyvrstevTiO 2 byla drsnost horních rozhraní zahrnuta do rovnic pro optické veličiny těchto vrstev pouze pomocí Rayleigh-Riceovy teorie kvůli zmíněné jemnosti drsnosti(tato teorie je teorií perturbační, a proto je vhodná pro popis interakce světla s jemně drsnými povrchy). Hodnoty parametrů σ a T spolu s hodnotami tlouštěk odpovídajících vrstev jsou uvedeny v tabulce 2. V této tabulce jsou srovnány hodnoty obou statistických parametrů, které byly určeny oběma technikami, tj. AFM i kombinovanou optickou metodou. Z tabulky 2 je zřejmé, že existují evidentní rozdíly mezi hodnotami σ a T určenými pomocí AFM na jedné straně a pomocí kombinované optické metody na straně druhé. Stejnýnesouhlasbylzjištěnvpřípaděfunkce W 1 (K x )určenésvyužitímafmdatavypočítanépomocíhodnot σ a T nalezených na základě kombinované optické metody(viz obr. 6). Poznamenejme ještě, že obě křivky v obr. 6 odpovídají Gaussovským funkcím. Předcházející výsledky jasně potvrzují skutečnost, že horní rozhraní všech pěti vrstevtio 2 jsoutypickýminanometrickydrsnýmipovrchy. Nesouhlas mezi hodnotami statistických veličin určenými pomocí AFM a kombinované optické metody u horníchrozhranívrstevtio 2 buderovněždiskutovánvnásledujícímodstavci. 6 Diskuse Výsledky obdržené pomocí AFM i pomocí optické metody jsou samozřejmě zatíženy jistými systematickými chybami. V případě AFM nejvýznamnějšími chybami tohoto druhu jsou dvě následující chyby: 1. Konečný poloměr hrotu způsobuje, že povrchová drsnost je při měření určitým způsobem vyrovnávána (zahlazována).tatoskutečnostseprojevípředevšímtím,žejsouurčoványmenšíhodnoty σatan β 0 aněkdyi mírně větší hodnoty T, než odpovídá skutečnosti. Je zřejmé, že tato systematická chyba se však výrazněji uplatní pouze u náhodně drsných povrchů vykazujících relativně malé hodnoty autokorelační délky T, tj. uplatní se hlavně u těch nanometricky drsných povrchů, které jsou v předešlé části textu nazývány velmi jemně drsnými povrchy a jemně drsnými povrchy. Odstranit nebo snížit zmíněnou systematickou chybu je u těchto náhodně drsných povrchů č. vzorku fit optických dat fit AFM dat d i [nm] σ i [nm] T i [nm] σ i [nm] T i [nm] 1 47,17 ±0,01 2,59 ±0,03 10,2 ±0,3 0,266 ±0,001 9,1 ±0, ,29 ±0,01 2,66 ±0,04 11,8 ±0,5 0,443 ±0,002 11,1 ±0, ,52 ±0,01 3,24 ±0,04 11,5 ±0,3 1,333 ±0,013 23,0 ±0, ,91 ±0,02 6,01 ±0,04 22,8 ±0,4 1,925 ±0,022 63,0 ±1, ,31 ±0,03 8,50 ±0,04 28,0 ±0,4 4,100 ±0,047 93,2 ±2,6 Tabulka2:Hodnotytloušťkyastatistickýchparametrů σat horníchrozhranívrstevtio 2odpovídajícípětistudovaným vzorkům. 7
8 Obrázek5:AFMsnímekčástihorníhorozhranívrstvyTiO 2odpovídajícívzorku5.Podmínkypřiskenování:bezkontaktní mód,skenovanáplocha2 2 µm( pixelů), tube skener,standardníbezkontaktníhrot,skenovacírychlost3 µms W 1 [nm 3 ] K x [nm -1 ] Obrázek6:Spektrálníhustotaprostorovýchfrekvencí W 1(K x)provzorek5:bodyreprezentujíhodnotyfunkce W 1(K x) určené pomocí AFM, plná křivka značí fit dat AFM, čárkovaná křivka reprezentuje funkci vypočítanou na základě hodnot σ a T nalezených s využitím kombinované optické metody. 8
9 velmi obtížné, ne-li nemožné. 2. Podmínky měření v rámci mikroskopu AFM určují rozsah prostorových frekvencí jednotlivých harmonických složek náhodné povrchové drsnosti. To znamená, že při AFM měřeních se uplatní pouze ty harmonické složky, jejichž hodnoty K x ležívintervaluod K xmin do K xmax,kde K xmin resp. K xmax značíminimálníresp.maximálníhodnotu K x.jezřejmé,žehodnota K xmin jeurčenadélkoustranyčtverceskenování(rastrování)ahodnota K xmax jeurčena vzdáleností dvou nejbližších sousedních bodů, v nichž jsou hodnoty výšek určovány(tj. je dána počtem pixelů). Z předcházejícího je tedy zřejmé, že hodnoty statistických veličin určené AFM odpovídají pouze určitému intervalu prostorových frekvencí odpovídajících studovanému drsnému povrchu, což zřejmě ovlivní hodnoty statistických veličin určovaných pomocí AFM dat. Existují samozřejmě i další systematické chyby, které ovlivňují výsledky AFM měření. Patří mezi ně především chyby spojené se zpracováním naměřených dat výšek. Jako příklad lze uvést chyby vzniklé v důsledku použití rychlé Fourierovytransformacepřiurčováníhodnotfunkce W 1 (K x ).Podrobnějšímrozboremjsmezjistili,žekombinovaná optická metoda je citlivá na jiný interval prostorových frekvencí náhodně drsných povrchů(tento podrobnější rozbor je relativně komplikovaný a bude presentován v jiném článku). Tato skutečnost je pravděpodobně hlavním důvodem dříve zmíněného nesouhlasu mezi hodnotami statistických veličin určených AFM a kombinovanou optickou metodou. V rámci tohoto odstavce je vhodné ještě zdůraznit dva významné fakty vyplývající s předcházejícího textu tohotočlánku.prvníznichjepozitivníaspočívávtom,žepomocíafmipopsanékombinovanéoptickémetody je možné určovat hodnoty významných statistických veličin i u nanometricky drsných povrchů. Druhý z nich je negativní a říká to, že u těchto nanometricky drsných povrchů lze očekávat z principiálních důvodů poměrně značný nesouhlas mezi hodnotami statistických parametrů nalezených pomocí AFM a kombinované optické metody v důsledku vlivu výraznějších systematických chyb, které jsou u obou zmíněných experimentálních technik rozdílné. 7 Závěr V závěru tohoto článku je možné konstatovat, že mikroskopie atomové síly i optická metoda založená na kombinaci spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektometrie jsou velmi důležitými a efektivními metodami pro analýzu náhodné povrchové drsnosti. V rámci obou těchto metod je možné určit významné číselné statistické charakteristiky této drsnosti, tj. je možné určit hodnoty parametrů σ(standardní odchylka výšek nerovností), T (autokorelačnívzdálenost)atanβ 0 (standardníodchylkasklonůnerovností).dálejsmeukázali,žepomocíafmje možné určit i další důležité statistické veličiny popisující kvantitativně náhodně drsné povrchy. Jsou to tyto veličiny:jednorozměrnérozdělenívýšeksklonů w(z),jednorozměrnáspektrálníhustotaprostorovýchfrekvencí W 1 (K x ) a autokorelační funkce B(τ)(autokeralační funkci lze určit pomocí Fourierovy transformace ze spektrální hustoty prostorových frekvencí). Pro ilustraci byly v tomto článku také presentovány konkrétní výsledky dosažené pro statistické veličiny popisující vybrané vzorky náhodně drsných povrchů monokrystalického křemíku a náhodně drsných horníchrozhranítenkýchvrstevtio 2.Ukázalijsmerovněž,žepomocíAFMakombinovanéoptickémetodylzeurčit i hodnoty významných statistických charakteristik popisujících nanometrickou náhodnou povrchovou drsnost. Dále je nutné zdůraznit, že hodnoty statistických charakteristik mohou být značně ovlivněny systematickými chybami přístrojového charakteru i systematickými chybami spojenými s matematickým zpracováním AFM dat. Je proto nutné provádět interpretaci a vysvětlení výsledků dosažených zvláště pomocí AFM velmi opatrně. Toto konstatování je především platné při srovnávání výsledků týkajících se povrchové drsnosti dosažených pomocí AFM na jedné straně a optickými metodami na straně druhé. Toto tvrzení platí zvláště pro případ nanometricky drsných povrchů vykazujících velmi malé hodnoty autokorelační délky T. 8 Poděkování Tento článek byl vypracován v rámci projektu Tandem FT-TA/094, který je podporován Ministerstvem průmyslu a obchodu České republiky. 9 Literatura [1] I. Ohlídal, D. Franta, in Progress in Optics, Vol. 41, (2000) edited by E. Wolf(Amsterdam: North- -Holland) [2] D. Franta, I. Ohlídal and P. Klapetek, Mikrochim Acta 132, (2000) [3] D. Franta and I. Ohlídal, Surf. Interface Anal. 30, (2000) [4]D.Franta,I.Ohlídal,J.Mod.Optics45, (1998) [5] I. Ohlídal, F. Lukeš, Opt. Acta 19, ,(1972) [6] D. Franta, I. Ohlídal, P. Klapetek, and P. Pokorný, Surf. Interface. Anal. 34, (2002) 9
2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceFyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Praktikum z pevných látek (F6390)
Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Praktikum z pevných látek (F6390) Zpracoval: Michal Truhlář Naměřeno: 13. března 2007 Obor: Fyzika Ročník: III Semestr:
Více2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná.
1 Pracovní úkoly 1. Změřte tloušťku tenké vrstvy ve dvou různých místech. 2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná. 3. Okalibrujte
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Příklady použití tenkých vrstev Jaromír Křepelka
Příklady použití tenkých vrstev Jaromír Křepelka Příklad 01 Spočtěte odrazivost prostého rozhraní dvou izotropních homogenních materiálů s indexy lomu n 0 = 1 a n 1 = 1,52 v závislosti na úhlu dopadu pro
VíceEXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření. Jan Krystek
EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření Jan Krystek 9. května 2019 CHYBY A NEJISTOTY MĚŘENÍ Každé měření je zatíženo určitou nepřesností způsobenou nejrůznějšími negativními vlivy,
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VícePosouzení přesnosti měření
Přesnost měření Posouzení přesnosti měření Hodnotu kvantitativně popsaného parametru jakéhokoliv objektu zjistíme jedině měřením. Reálné měření má vždy omezenou přesnost V minulosti sloužila k posouzení
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
Více2. Určete frakční objem dendritických částic v eutektické slitině Mg-Cu-Zn. Použijte specializované programové vybavení pro obrazovou analýzu.
1 Pracovní úkoly 1. Změřte střední velikost zrna připraveného výbrusu polykrystalického vzorku. K vyhodnocení snímku ze skenovacího elektronového mikroskopu použijte kruhovou metodu. 2. Určete frakční
VíceÚloha 5: Spektrometrie záření α
Petra Suková, 3.ročník 1 Úloha 5: Spektrometrie záření α 1 Zadání 1. Proveďte energetickou kalibraci α-spektrometru a určete jeho rozlišení. 2. Určeteabsolutníaktivitukalibračníhoradioizotopu 241 Am. 3.
VíceAplikace spektroskopické reflektometrie při studiu elastohydrodynamického mazání
Aplikace spektroskopické reflektometrie při studiu elastohydrodynamického mazání Vladimír Čudek Ústav konstruování Fakulta strojního inženýrství Vysoké učení technické v Brně Úvod Úvod Vlivem nedostatečného
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceVliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin
Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických
VíceExperimentální realizace Buquoyovy úlohy
Experimentální realizace Buquoyovy úlohy ČENĚK KODEJŠKA, JAN ŘÍHA Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého, Olomouc Abstrakt Tato práce se zabývá experimentální realizací Buquoyovy úlohy. Jedná se o
VíceVytyčení polohy bodu polární metodou
Obsah Vytyčení polohy bodu polární metodou... 2 1 Vliv měření na přesnost souřadnic... 3 2 Vliv měření na polohovou a souřadnicovou směrodatnou odchylku... 4 3 Vliv podkladu na přesnost souřadnic... 5
VíceElektronová mikroskopie SEM, TEM, AFM
Elektronová mikroskopie SEM, TEM, AFM Historie 1931 E. Ruska a M. Knoll sestrojili první elektronový prozařovací mikroskop 1939 první vyrobený elektronový mikroskop firma Siemens rozlišení 10 nm 1965 první
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceLinearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
Více1.1 Povrchy povlaků - mikrogeometrie
1.1 Povrchy povlaků - mikrogeometrie 1.1.1 Požadavky na povrchy povlaků [24] V případě ocelových plechů je kvalita povrchu povlaku určována zejména stavem povrchu hladících válců při finálních úpravách
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
Více4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
VícePříloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty
Příloha č. 1 Při hodnocení expozice nízkofrekvenčnímu elektromagnetickému poli (0 Hz 10 MHz) je určující veličinou modifikovaná proudová hustota J mod indukovaná v tělesné tkáni. Jak je uvedeno v nařízení
VíceGraf I - Závislost magnetické indukce na proudu protékajícím magnetem. naměřené hodnoty kvadratické proložení. B [m T ] I[A]
Pracovní úkol 1. Proměřte závislost magnetické indukce na proudu magnetu. 2. Pomocí kamery změřte ve směru kolmém k magnetickému poli rozštěpení červené spektrální čáry kadmia pro 8-10 hodnot magnetické
VíceSkenovací tunelová mikroskopie a mikroskopie atomárních sil
Skenovací tunelová mikroskopie a mikroskopie atomárních sil M. Vůjtek Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzdělávání výzkumných
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceMetody využívající rentgenové záření. Rentgenovo záření. Vznik rentgenova záření. Metody využívající RTG záření
Metody využívající rentgenové záření Rentgenovo záření Rentgenografie, RTG prášková difrakce 1 2 Rentgenovo záření Vznik rentgenova záření X-Ray Elektromagnetické záření Ionizující záření 10 nm 1 pm Využívá
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VícePlazmová depozice tenkých vrstev oxidu zinečnatého
Plazmová depozice tenkých vrstev oxidu zinečnatého Bariérový pochodňový výboj za atmosférického tlaku Štěpán Kment Doc. Dr. Ing. Petr Klusoň Mgr. Zdeněk Hubička Ph.D. Obsah prezentace Úvod do problematiky
VíceOpakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu
11. Polovodiče Polovodiče jsou krystalické nebo amorfní látky, jejichž elektrická vodivost leží mezi elektrickou vodivostí kovů a izolantů a závisí na teplotě nebo dopadajícím optickém záření. Elektrické
VíceMetody využívající rentgenové záření. Rentgenografie, RTG prášková difrakce
Metody využívající rentgenové záření Rentgenografie, RTG prášková difrakce 1 Rentgenovo záření 2 Rentgenovo záření X-Ray Elektromagnetické záření Ionizující záření 10 nm 1 pm Využívá se v lékařství a krystalografii.
VíceSkládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :
Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat,
Vícevzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291
Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených
VíceATOMOVÁ SPEKTROMETRIE
ATOMOVÁ SPEKTROMETRIE Atomová spektrometrie valenčních e - 1. OES (AES). AAS 3. AFS 1 Atomová spektra čárová spektra Tok záření P - množství zářivé energie (Q E ) přenesené od zdroje za jednotku času.
VíceEXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření
FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechanik a technik prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. EXPERIMENTÁLNÍ METODY I OSNOVA. KAPITOLY. Zpracování měření Zpracování výsledků měření (nezávislých
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
VícePRAKTIKUM III. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Jan Polášek stud. skup. 11 dne 23.4.2009.
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM III Úloha č. XXVI Název: Vláknová optika Pracoval: Jan Polášek stud. skup. 11 dne 23.4.2009 Odevzdal dne: Možný počet bodů
Více1. Změřte teplotní závislost povrchového napětí destilované vody σ v rozsahu teplot od 295 do 345 K metodou bublin.
1 Pracovní úkoly 1. Změřte teplotní závislost povrchového napětí destilované vody σ v rozsahu teplot od 295 do 35 K metodou bublin. 2. Měřenou závislost znázorněte graficky. Závislost aproximujte kvadratickou
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování
KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE FAKULTY CHEMICKO TECHNOLOGICKÉ UNIVERSITA PARDUBICE - Licenční studium chemometrie LS96/1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování Praha, leden 1999 0 Úloha
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceF7030 Rentgenový rozptyl na tenkých vrstvách
F7030 Rentgenový rozptyl na tenkých vrstvách O. Caha PřF MU Prezentace k přednášce Numerické simulace Příklady experimentů Vybrané vztahy Sylabus Elementární popis vlnového pole: Rtg vlna ve vakuu; Greenova
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 4/003 Průběh geoidu z altimetrických měření
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Fyzikální geodézie 2/7 Gravitační potenciál a jeho derivace
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceRelativní chybu veličiny τ lze určit pomocí relativní chyby τ 1. Zanedbáme-li chybu jmenovatele ve vzorci (2), platí *1+:
Pracovní úkol 1. Změřte charakteristiku Geigerova-Müllerova detektoru pro záření gamma a u jednotlivých měření stanovte chybu a vyznačte ji do grafu. Určete délku a sklon plata v charakteristice detektoru
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
VíceFourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
VíceŘešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl
VíceFabry Perotův interferometr
Fabry Perotův interferometr Princip Dvě zrcadla jsou sestavena tak aby tvořila tzv. Fabry Perotův interferometr, s jehož pomocí je vyšetřován svazek paprsků vycházejících z laseru. Při experimentu se pohybuje
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceVyjadřování přesnosti v metrologii
Vyjadřování přesnosti v metrologii Měření soubor činností, jejichž cílem je stanovit hodnotu veličiny. Výsledek měření hodnota získaná měřením přisouzená měřené veličině. Chyba měření výsledek měření mínus
VícePRAKTIKUM III. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM III Úloha č. IV Název: Měření fotometrického diagramu. Fotometrické veličiny a jejich jednotky Pracoval: Jan Polášek stud.
VíceProč elektronový mikroskop?
Elektronová mikroskopie Historie 1931 E. Ruska a M. Knoll sestrojili první elektronový prozařovací mikroskop,, 1 1939 první vyrobený elektronový mikroskop firma Siemens rozlišení 10 nm 1965 první komerční
VíceSemestrální projekt. Vyhodnocení přesnosti sebelokalizace VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Semestrální projekt Vyhodnocení přesnosti sebelokalizace Vedoucí práce: Ing. Tomáš Jílek Vypracovali: Michaela Homzová,
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceZKUŠEBNÍ PROTOKOLY. B1M15PPE / část elektrické stroje cvičení 1
ZKUŠEBNÍ PROTOKOLY B1M15PPE / část elektrické stroje cvičení 1 1) Typy testů 2) Zkušební laboratoře 3) Dokumenty 4) Protokoly o školních měřeních 2/ N TYPY TESTŮ PROTOTYPOVÉ TESTY (TYPOVÁ ZKOUŠKA) KUSOVÉ
VíceOddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 4 Název: Určení závislosti povrchového napětí na koncentraci povrchově aktivní látky Pracoval: Jakub Michálek
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
VíceDaniel Franta. jaro Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita
Pokročilé disperzní modely v optice tenkých vrstev Lekce 4: Univerzální disperzní model amorfních pevných látek aplikace na elipsometrická a spektrofotometrická měření HfO 2 vrstvy v rozsahu.86-.8 ev Daniel
VíceMěření povrchového napětí
Měření povrchového napětí Úkol : 1. Změřte pomocí kapilární elevace povrchové napětí daných kapalin při dané teplotě. 2. Změřte pomocí kapkové metody povrchové napětí daných kapalin při dané teplotě. Pomůcky
VícePRAKTIKUM IV Jaderná a subjaderná fyzika
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM IV Jaderná a subjaderná fyzika Úloha č. A15 Název: Studium atomových emisních spekter Pracoval: Radim Pechal dne 19. listopadu
VíceCvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:
VíceChemie a fyzika pevných látek p3
Chemie a fyzika pevných látek p3 strukturní faktor, monokrystalové a práškové difrakční metody Doporučená literatura: Doc. Michal Hušák dr. Ing. B. Kratochvíl, L. Jenšovský - Úvod do krystalochemie Kratochvíl
VíceCharakteristika datového souboru
Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex
VíceTestování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceTeorie tkaní. Modely vazného bodu. M. Bílek
Teorie tkaní Modely vazného bodu M. Bílek 2016 Základní strukturální jednotkou tkaniny je vazný bod, tj. oblast v okolí jednoho zakřížení osnovní a útkové nitě. Proces tkaní tedy spočívá v tvorbě vazných
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Vícemagnetizace M(t) potom, co těsně po rychlé změně získal vzorek magnetizaci M 0. T 1, (2)
1 Pracovní úkoly Pulsní metoda MR (část základní) 1. astavení optimálních excitačních podmínek signálu FID 1 H ve vzorku pryže 2. Měření závislosti amplitudy signálu FID 1 H ve vzorku pryže na délce excitačního
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VícePRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne: 20. března 2009 Odevzdal dne: Možný
VíceNauka o materiálu. Přednáška č.2 Poruchy krystalické mřížky
Nauka o materiálu Přednáška č.2 Poruchy krystalické mřížky Opakování z minula Materiál Degradační procesy Vnitřní stavba atomy, vazby Krystalické, amorfní, semikrystalické Vlastnosti materiálů chemické,
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
VíceFyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze
Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 4: Balrmerova série Datum měření: 13. 5. 016 Doba vypracovávání: 7 hodin Skupina: 1, pátek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: 1 Zadání 1. DÚ: V přípravě
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více5. Pro jednu pružinu změřte závislost stupně vazby na vzdálenosti zavěšení pružiny od uložení
1 Pracovní úkoly 1. Změřte dobu kmitu T 0 dvou stejných nevázaných fyzických kyvadel.. Změřte doby kmitů T i dvou stejných fyzických kyvadel vázaných slabou pružnou vazbou vypouštěných z klidu při počátečních
VíceTeorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika
Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika B. Vlková 1, M.Berg 2, B. Martínek 3, O. Švec 4, M. Neumann 5 Gymnázium Uničov 1, Gymnázium Václava Hraběte Hořovice 2, Mendelovo gymnázium Opava
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceÚloha 3: Mřížkový spektrometr
Petra Suková, 2.ročník, F-14 1 Úloha 3: Mřížkový spektrometr 1 Zadání 1. Seřiďte spektrometr pro kolmý dopad světla(rovina optické mřížky je kolmá k ose kolimátoru) pomocí bočního osvětlení nitkového kříže.
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceCvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti
Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze
VícePoznámky k Fourierově transformaci
Poznámky k Fourierově transformaci V těchto poznámkách jsou uvedeny základní vlastnosti jednorozměrné Fourierovy transformace a její aplikace na jednoduché modelové případy. Pro určitost jsou sdružené
VíceVyhodnocení součinitele alfa z dat naměřených v reálných podmínkách při teplotách 80 C a pokojové teplotě.
oučinitel odporu Vyhodnocení součinitele alfa z dat naměřených v reálných podmínkách při teplotách 80 C a pokojové teplotě Zadání: Vypočtěte hodnotu součinitele α s platinového odporového teploměru Pt-00
VíceU Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
VíceÚloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté
Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0
VíceTECHNOLOGICKÉ PROCESY PŘI VÝROBĚ POLOVODIČOVÝCH PRVKŮ I. APLIKACE LITOGRAFIE
TECHNOLOGICKÉ PROCESY PŘI VÝROBĚ POLOVODIČOVÝCH PRVKŮ I. APLIKACE LITOGRAFIE Úvod Litografické technologie jsou požívány při výrobě integrovaných obvodů (IO). Výroba IO začíná definováním jeho funkce a
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
VíceÚvod do teorie měření. Eva Hejnová
Úvod do teorie měření Eva Hejnová Program semináře 1. Základní pojmy - metody měření, druhy chyb, počítání s neúplnými čísly, zaokrouhlování 2. Chyby přímých měření - aritmetický průměr a směrodatná odchylka,
Více