c) Po vzd lenot mavence od odlaov li ty lat = x + y, tj. = vt? uv ut L t + L L? v t = t (u + v )? uv L t3 ; (1) i em tl=u ^ tl=v. Dotali jme kubickou

Transkript

1 e en lo 1. kola 46. o n ku fyzik ln olymi dy. Kategoie A Auto i lo L. Ricteek (1, 7), P. ediv (3, 4, 6), M. Jae ov (), J. J (5) Kone n ava P. ediv 1. a) Na ob. R1 je M oloa mavence v ae t Z odobnoti toj eln k MNB a AOB lyne jnbj jmbj = jobj jabj ; neboli vt? x = vt ut L ) x = vt? uv L t Dotali jme kvadatickou funkci v om nn t e z on m koecientem u kvadatick o lenu, kte je ovna nule o t = 0 a o t = L=u. V ae t = t 1 = L u tedy do ne maxima x max = v L u? uv L L 4u = L v 4u Tento v ledek vyovuje loze, okud t 1 L=v. Jetli e t 1 > L=v, tj. u < v=, vzdaluje e mavenec od t ny o celou dobu oybu ty e a v ae t = L=v do ne maxim ln vzd lenoti od t ny x max = v L v? uv L L v = L 1? u v b) Z odobnoti toj eln k MNB a AOB d le lyne jmnj jmbj = jaoj jabj ; neboli y ut = L? v t L ) y = ut L 3 body L? v t Dotali jme funkci, kte je v ae t = 0 a v ae t = L=v nulov. V intevalu (0; L=v) je ojit a kladn. Maxima doauje, kdy dy dt = u L L? v t L? v t = 0 ; tj. v ae t = t = L v. Maximum m odnotu y max = ul Lv L? v L v = L u v Tento v ledek vyovuje loze, okud t L=u, tj. uv. Jetli e u>v, tou mavenec o celou dobu lezen a na konci ty e do ne v ky y max = ul ul = L L? v L u 1? v u 3 body 1

2 c) Po vzd lenot mavence od odlaov li ty lat = x + y, tj. = vt? uv ut L t + L L? v t = t (u + v )? uv L t3 ; (1) i em tl=u ^ tl=v. Dotali jme kubickou funkci, jej ext m vy et me omoc jejic deivac d( ) dt = (u + v )t? 6uv t ; L d ( ) dt = (u + v )? 1uv t L Pvn deivace funkce (1) je ovna nule o t = 0 a o t = L(u + v ) 3uv. Du deivace je o t < L(u + v ) 6uv kladn, o t > L(u + v ) 6uv z on. Funkce (1) tedy doauje o t = 0 lok ln o minima a o t = t 3 = L(u + v ) 3uv lok ln o maxima ( max) = L (u + v ) 3 7u v 4 ; tedy max = L u + v u + v 3uv 3 () Tento v ledek vyovuje loze, okud t 3 < L=v, tj. u + v? 3uv < 0 ) u? 3 u v v + 1 < 0 ; 0;38 = 3? 5 Sou an mu latit t 3 < L=u, tj. < u v < = ;6 u + v < 3v ; ) u < v = 1;41v Platnot v ledku () je tedy omezena odm nkou v 3? 5 < u < v Po u < v 3? 5 leze mavenec omalu, jeo vzd lenot od li ty e b em oybu ty e t le zv t uje a v ae t = L=v do ne maxima max = (u + v ) L v? uv L 3 v 3 L = L 1? u ; max = L 1? u = x max v v

3 Po u > v leze mavenec ycle, jeo vzd lenot od li ty e b em jeo oybu o ty i t le zv t uje a v ae t = L=u do ne maxima max = (u + v ) L u? uv L 3 u 3 L = L 1? v u ; max = L 1? v u = ymax Altenativn e en loy b) Vyjdeme z ob. R Z odobnoti toj eln k MNB a OP B lyne jmnj jmbj = jop j jobj ; neboli y ut = H vt ) y = H u v ; 4 body kde H je vzd lenot ty e od odlaov li ty. V ovnoamenn m toj eln ku OSB (S je t ed ty e) je H v kou na ameno. Maxim ln velikot H max = L= m v okam iku, kdy je ty klon na o 45 a toj eln k OSB je avo l. V tomto okam iku je y = y max = H max u v = L u v Poan ituace mu ov em natat nejozd ji v okam iku, kdy mavenec doleze na konec ty e, tj. L=u L=(v ), u v. V oa n m ad bude mavenec nejv e v okam iku, kdy doaz na konec ty e a L y max = L? v = L 1? v u u y y A A S M P M O Ob. R1 N B x O N B x Ob. R 3

4 . a) Po tek vzta n outavy zvol me na vcolu yamidy, ou x kolmo k odtavn an, kladnou oloou y vile vz u. Jedn e o v ikm vz u o te n yclot v0 a eleva n m lem. Plat x = v 0t co ; y = v 0t in? 1 gt Po vylou en t a av omoc vztau 1 co = 1 + tg dotaneme y = x tg? gx v0 (1 + tg ) =? gx v0 + x tg? gx v0 tg (1) Sou adnice bodu doadu na obo n t n l uj odm nku y =?x tg, kde je el klonu obo n t ny yamidy, tg =. Doazen m do (1) a avou dotaneme ovnici gx v 0 tg? x tg + gx v 0? x tg = 0 () body Z t to kvadatick ovnice o tg m eme vyo tat ke zvolen ou adnici x bodu doadu lu n eleva n el vu. tg = x D gx v 0 ; D = x? g x 4 v gx3 tg v 0 (3) Po nejvzd len j bod doadu m ovnice jedin e en a dikiminant ovnice je oven nule D = x 1? g x gx tg v0 4 + v0 = 0 ; i em x 6= 0 ; x = g tg v 0 loze vyovuje kladn ko en tg + x = v 0 g P itom odle (3) tg = x + 0 gx v 0 4g tg v g v0 4 g v 4 0 tg + 1 = v 0 g (tg tg + 1) = v 0 g ( + 3) = 7; m (4) = v 0 gx = = 3? = 0;31784 ; = 17;6 (5) P i dan velikoti o te n ycloti m eme doodit nejd l do vzd lenoti x= co = x 3 = 15 m od vcolu yamidy, zvol me-li eleva n el 17;6. 3 body 4

5 b) St ed odtavn any yamidy m ou adnici x = =. V ledek (5) nez vi na velikoti o te n ycloti. Poto i t ed odtavn any za neme nejmen o te n yclot vu i eleva n m lu u en m v kolu a). Podle (4) ak = v 0min ( + 3) ; v0min g 6 = = g g ( + 3)? 1 ; v 0min = g 6? 1 = 18;0 m?1 body c) Vzta nou outavu zm n me tak, e oa x bude m t m lo ky odtavy. Doad me-li do ovnice (1) ou adnice bodu doadu [;?], dotaneme o av kvadatickou ovnici o tg aametem v 0 g Z too g v 0 tg? tg + g v 0 tg = 1 D g v 0? = v 0 je takov, o kteou m ovnice jedin e en, tj. loze vyovuje ko en tg? tg + g? v0 1 = 0 ; ; D = 1+ g v0? g v0 4 Minim ln velikot ycloti D = 0 ) v gv 0? g = 0 ; v 0 =? g 4g + 4g v 0min = g(? 1) ; v 0min = Pak tg = g v 0min q = v 0min g =? 1 ; = ;5 = g(?1 ) g(? 1) = 4;4 m?1 3 body Tajektoie v, kte jou e en m loy, jou v m tku nakeleny na ob. R3 a R4. 5

6 Ob. R3 Ob. R4 Altenativn e en kol a) a c) u it m difeenci ln o o tu a) Rovnici () uav me na tva x g(1 + tg ) v 0? x(tg + tg ) = x x g(1 + tg ) v 0? tg? tg Ko en x = 0 je ou adnice o tku vu, bod doadu m ou adnici x = v 0(tg + tg ) g(1 + tg ) Poveden m ubtituca tg = z dotaneme vzta = 0 (6) x = v 0 g z + tg 1 + z ; (7) kte zdeivujeme a deivaci olo me ovnu nule Z too dx dz = v 0 g 1 + z? (z + tg )z (1 + z ) = v 0 g 1? z tg? z (1 + z ) = 0 (8) z + z tg? 1 = 0 ; z =? tg 4 tg + 4 =? tg tg + 1 loze vyovuje ko en z 1 = tg =? tg + tg + 1 = 3?. Du ko en z =?? 3 nevyovuje ovnici (6), nebo v az na av tan by byl z on. Funkce (7) je kladn v intevalu (? tg ; 1). V bod? tg je ovna nule a tak limita o z! 1 je ovna 0. Poto v bod z 1 doauje maxima. Podle (6) x max = v 0 g ( 3? ) = v 0 3 g 6? 6 = v 0 g ( 3 + ) 6

7 c) Do ovnice (1) doad me ou adnice bodu doadu [;?] a dotaneme ovnici? = tg? g v0 (1 + tg ) ; (9) ze kte vyj d me v0 jako funkci tg. Povedeme ubtituci tg = z, v az zdeivujeme odle z a deivaci olo me ovnu nule d(v 0) dz = g v 0 = g 1 + tg 1 + tg = g 1 + z 1 + z ; (10) z(1 + z)? 1? z (1 + z) = g z + z? 1 (1 + z) = 0 ; (11) z + z? 1 = 0 ; z =? 8 =?1 loze vyovuje ko en z 1 = tg =? 1. Du ko en z =?? 1 nevyovuje ovnici (10), nebo v az na av tan by byl z on. Funkce (10) je kladn v intevalu (?1; 1). V bodec?1 a 1 m nevlatn limitu 1. Poto v bod z 1 doauje v 0 minima. Doazen m do (10) dotaneme v 0min = g 1 + (? 1) = g(? 1) 3. a) Zvolme vzta nou outavu ojenou otuj c n dobou. P oben m t ec c il e voda v n dob uvede do ot iv o oybu, jeo lov yclot je tejn jako lov yclot n doby. Hladina vody zaujme tva ota n locy. Jej meidi n m ovnici y = y(x), kde x je vzd lenot od oy ot en. V ka d m bodu ladiny je te n ovina kolm na v lednici t ov a etva n odt ediv ly, kte zde ob na tici (ob. R5). S vodoovnou ovinou v el, o kte lat Integac dotaneme tg = dy dx = dm! x =! x dm g g y = Z! x! dx = g g x + C (1) Hladina zaujme tva ota n o aaboloidu. Intega n kontanta C = y(0) ud v olou vcolu aaboloidu na oe. body 7

8 y! v C R dm FG F o F x C 0 Ob. R5 H Ob. R6 x 0 0 H H 4 D 0 f 1 f f Ob. R7 Ob. R8 V dal m e en ou ijeme omocnou v tu, kteou i jit ami nadno odvod te Objem ota n o aaboloidu o v ce v a olom u R (ob. R5) je V = R v b, c) Pokud lat f f 1, natane ituace odle ob. R6. Ze vztau (1) odvod me = y(r) =! R + C ;? C =! R ; g g a vyj d me objem kaaliny V = R 0 = R? 1 R (? C) = R? 1! R R g Po av dotaneme = 0 +! R = H 4g 4 + R f () g Z vilot v ky okaje ladiny na fekvenci je kvadatick. Hladina e dotkne dna, jetli e C = 0. V takov m ad V = R 0 = 1 R ; = 0 = H gh ; f = f1 = R body body 8

9 d, e) Po f 1 f < f natane ituace odle ob. R7 a intega n kontanta C je z on. Po v t elednot ozna me?c = D. Hladina ot n ovinu dna v ku nici o olom u x 0. Plat y =! x g? D ; + D =! R ; x 0 = gd g! ; R V = R 0 = R ( + D)?? x 0D = = R? R4! + g! R? 4g! = g g! ; 0 H = R g f = R g f (3) V ka okaje ladiny je mo m n fekvenci. Hon odtavy v lce do ne i fekvenci gh f = R = f1 body f) Gaf z viloti v ky okaje ladiny na fekvenci etojen na z klad vzta () a (3) je na ob. R8. body 4. a) Vyjdeme z ob. R9. Vzd lenot t edu kuli ky od t edu koule je = ( 0 + l in ) + l (1? co ) Sojnice obou t ed je odc lena od vodoovn o m u o el, i em co = 0 + l in ; in = l(1? co ) Vl kno kyvad lka je na n no ilou, kte je ovna v lednici F t ov ly FG a elektotatick ly Fe, kte ob na kuli ku. Velikoti il vyo t me u it m inov v ty F e FG = in in(90 +? ) = in co(? ) = in co co + in in ; F e = co ( 0 + l in ) mg in + l in (1? co ) = mg in 0 co + l in = = mg in ( 0 + l in ) + l (1? co ) 0 co + l in = ;4 10?4 N 9

10 F = F FG = in(90? ) in(90 +? ) = co ( 0 + l in ) 0 + l in mg + co co(? ) = l in (1? co ) = co co co + in in ; mg(0 + l in ) 0 co + l in = 5;7 10?4 N 5 bod F e 90 +? l Q m; q F e F G F 0 F G F 90? Ob. R9 b) Po otenci l ' koule lat ' = U = Q 4" 0R Z too Q = 4" 0RU = 4;9 10?8 C c) Z b) lyne body Q 4" 0 = UR. N boj na kuli ce kyvad lka u me z Coulombova z kona F e = 1 Qq 4" 0 = URq ; q = Fe UR = mg 3 in UR( 0 co + l in ) = = mg in? ( 0 + l in ) + l (1? co ) 3 UR( 0 co + l in ) = 5;6 10?9 C 3 body 10

11 5. a) Za dan c edoklad jou ob amena O 1P 1 a O P nam na tejn. M eme je teoeticky naadit jedin m amenem ojuj c m t ed e ky O 1O a t i t kabiny lov kem a oyb obazen kabiny vy et ovat jako oyb motn o bodu o motnoti m, na kte ob dv ly { t ov la FG a eakce amene R (ob. R10, R11). Jejic v lednice F ud luje kabin zyclen a = F m = FG + R m Te n lo ka v lednice, kte je ou an te nou lo kou t ov ly Ft = F1, ud luje kabin te n zyclen at a t = F1 mg in ' = = g in ' m m Po 0 < ' < 180 je te n zyclen kladn a yclot kabiny e zv t uje, o 180 < ' < 360 je te n zyclen z on a yclot kabiny e zmen uje. Nom lov lo ka v lednice, kte je vektoov m ou tem lo ky F t ov ly ve m u olom u a eakce amene R, ud luje kabin dot ediv zyclen an o velikoti v =. Ryclot kabiny u me u it m z kona zacov n mecanick enegie mg = mg(1? co ') = 1 mv ) v = g(1? co ') Pak a n = v = g(1? co ') Zvolme vzta nou outavu odle ob. R11. Celkov zyclen kabiny je vekto a = at + an = (a t co '? a n in '; a t in ' + a n co ') = = g(3 in ' co '? in '; 1 + co '? 3 co ') Po velikot a m celkov o zyclen lat a = a t + a n = g 5? 8 co ' + 3 co ' ; = ' + actg an (1? co ') = ' + actg ; a t in ' kde je m eno od oy x oientac lu '. F ' F n R FG ' F 1 = F t F O y ' a n 3 body x ' a t a Ob. R10 Ob. R11 11

12 b) Plat Fn = F + R ) R = Fn? F Oientace lo ky F a eakce R vzledem ke t edu tajektoie e b em oybu m n, t le v ak lat jrj = jma n? mg co 'j = mgj? 3 co 'j Reakce amene je nulov a ameno tedy nen nam no v okam iku, kdy co ' = 3 ; tedy o ly '1 = 48; ; ' = 311;8 Jetli e? 3 co ' < 0, tj. o 0 ' < ' 1 a o ' < ' 360, m uje eakce amene od t edu a ameno je nam no tlakem. Jetli e? 3 co ' > 0, tj. o ' 1 < ' < ', m uje eakce amene do t edu a ameno je nam no taem. 3 body c) V neineci ln vzta n outav ojen kabinou ob na lov ka o motnoti m 0 v lednice Fc t ov ly F 0 G a etva n ly F (ob. R1). Plat Fc = F 0 G + F = m 0 (g? a) = m 0 g? FG + R =? m0 m m R V ledn la Fc m tedy v ka d m okam iku oa n m ne eakce, kteou ob ameno na kabinu a velikot F c = m 0 gj? 3 co 'j. Z vilot v ledn ly ob c na lov ka v kabin na lu ' je atn z ob. R13 Po ' = 0 je Fc = m 0 g. Po 0 ' < ' 1 a o ' < ' 360 v ledn la m uje do t edu tajektoie. Po ' = ' 1 a o ' = ' nat v bezt n tav. Po ' 1 < ' < ' v ledn la m uje od t edu tajektoie. Nejv t velikot m o ' = 180, kdy F c = 5m 0 g. 4 body F =?m 0 a ' 1 O 0 x 0 ' F c FG y 0 Ob. R1 Ob. R13 1

13 7. a) Vyjdeme ze z kon zacov n elativitick ybnoti a elativitick enegie K = ; E K = E + + E 0 (1) V outav, ve kte je ozadaj c e mezon K + v klidu, lat K = 0 a enegie mezonu K + je ovna klidov enegii E K = m Kc. Oba z kony lze oto eat do tvau? + = 0 ; () m Kc? E + = E 0 (3) body Vyn ob me-li ovnici () yclot v tla c a umocn me ob ovnice na duou, dot v me c + = c 0 ; (4) m K c 4? m Kc E + + E + = E 0 (5) Ode ten vn ovnice (4) od (5) vede ke vztau m K c 4? m Kc E + + E +? c + {z } m +c 4 Vyj d me-li z oledn ovnice E +, vyc z = E 0? c 0 {z } m 0c 4 E + = c m K + m +? m 0 m K (6) Ode ten m klidov enegie ak z k me kinetickou enegii mezonu T + = E +? m +c = c m K + m +? m 0? m Km + m K = 110;5 MeV Velikot v + ycloti mezonu najdeme z jeo celkov enegie E +, nebo lat E + = m+c 1? v + c Vyj d me-li v + a doad me-li za E + z (6), dot v me m+c m Km + = v + = c 1? = c 1? E + m K + m 0;83 c +? m 0 13

14 eln v + = ; m?1. Vzledem k ymetii ovnic (1) odvod me dal vztay z m nou index. T 0 = c m K + m 0? m +? m Km 0 = 11;6 MeV ; m K m Km 0 = v 0 = c 1? m K + m 0;84 c 0? m + eln v 0 = ; m?1. 4 body b) Po ozadu mezonu K + oka uje t i t outavy +, 0 v oybu, kte ed ozadem konal mezon K +. Vzta nou outavu Oxyz, ve kte byl mezon v klidu, a vzta nou outavu O 0 x 0 y 0 z 0 v laboato i vol me odle ob. R14, kte je nakelen z ledika ozoovatele v laboato i. y 0 y Ob. R14 v z 0 O 0 z O v 0 v 0 K + (K + ) + x x 0 Podle elativitick o z kona kl d n yclot mu latit Po v 0 K tak dot v me v 0 + = v+ + v0 K 1 + v+v0 K c v 0 K = v0 +? v + 1? v0 +v + c = 0;0687 c = ; m?1 Po celkovou enegii E 0 K mezonu K + ve vzta n outav ojen laboato ak vyc z E 0 K = = 498;9 MeV mkc 1? v0 K c 4 body 14