BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Martin Jusko Modely volatility ARCH a GARCH

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Martin Jusko Modely volatility ARCH a GARCH"

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Martin Jusko Modely volatility ARCH a GARCH Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Šárka Došlá Studijní program: Matematika, Obecná matematika 009

2 Na tomto místě bych rád poděkoval Mgr. Šárce Došlé za množství drahocenných rad a příjemnou spolupráci při psaní bakalářské práce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 8. května 009 Martin Jusko

3 Obsah 1 Základní pojmy a tvrzení 6 ARMA modely 10.1 ARmodely MAmodely ARMAmodely... 3 Modely volatility ModelARCH ModelGARCH Aplikace na konkrétní časové řady PoužitéfunkcevprogramuR Simulovanádata Kurzčeskékorunyvůčieuru BurzovníindexPX Literatura 57 3

4 Název práce: Modely volatility ARCH a GARCH Autor: Martin Jusko Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Šárka Došlá vedoucího: Abstrakt: V předložené práci se věnujeme pojmu volatility a základním modelům volatility ARCH a GARCH. Nejprve jsou popsány ARMA modely, které k modelům volatility přirozeně vedou. Poté jsou představeny modely volatility ARCH a GARCH, jsou zkoumány jejich vlastnosti a metody odhadu. Podstatnou částí práce jsou podrobně popsané aplikace těchto modelů na konkrétní časové řady(na simulovaná a reálná data) v programu R. Analyzována jsou data zachycující vývoj pražského burzovního indexu PX a směnného kurzu české koruny vůči euru. Cílem práce je poskytnout čtenáři vybavenému základními poznatky z pravděpodobnosti a statistiky dostatek teoretických znalostí a praktických dovedností k pochopení modelů a jejich samostatné aplikaci. Klíčová slova: volatilita, ARCH, GARCH Title: ARCH and GARCH volatility models Author: Martin Jusko Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Šárka Došlá Supervisor s address: Abstract:Theworkisdevotedtotheconceptofvolatilityandthebasicmodelsofvolatility ARCH and GARCH. First, ARMA models, which lead naturally to the volatility models, are explained. Then the ARCH and GARCH volatility models are introduced and their properties and estimation methods are discussed. The substantial part of this work is a detailed application of the described models to some particular timeseries(bothsimulatedandrealdata)usingtherprogram.weanalyzethereal data capturing the evolution of Prague stock index PX and exchange rate between CzechcrownandEuro.Thekeyaspectoftheworkistoprovideenoughtheoretical knowledge and practical skills for a reader to fully understand the mentioned models andtobeabletoapplytheminpractice. Keywords: volatility, ARCH, GARCH 4

5 Úvod Modelování časových řad se ve velké míře využívá například ve finančnictví, pojišťovnictví nebo ekonomii. Volatilita neboli kolísavost časových řad se nejčastěji studuje právě v těchto oborech, neboť určitým způsobem reflektuje například rizikovost cenných papírů nebo náladu na trhu. Aplikaci proto nachází například při oceňování opcí nebo řízení rizika. Cílem této práce je zavést pojem volatility, definovat základní modely ARCH a GARCH pro její modelování a předvést postupy při jejich praktickém použití. K tomu je třeba představit některé základní pojmy a definovat ARMA modely, které se často aplikují na studované řady před vlastním modelováním volatility. U čtenáře se předpokládají základní znalosti z pravděpodobnosti a statistiky, výhodou mohou být vědomosti z teorie pravděpodobnosti a z teorie náhodných procesů. Po prostudování práce by měl čtenář rozumět podstatě modelů ARMA, ARCH agarchabýtschopenjeaplikovatnakonkrétnídata. V kapitole 1 jsou definovány základní pojmy používané v celém textu. Kapitola je věnována ARMA modelům, které jsou hojně používány pro modelování časových řad a jejichž pochopení je zásadní pro porozumění modelům volatility, které jsou studovány v kapitole 3. V kapitole 4 je čtenář nejprve seznámen s některými funkcemi programu R, načež jsou předvedeny aplikace získaných znalostí na konkrétní časové řady. Pro ilustraci vlastností představených modelů a předvedení různých funkcí programu R jsou použita simulovaná data. Praktická aplikace je poté předvedena na reálných datech. Tato práce, použitá data, obrázky, zdrojové kódy a některé výstupy programu R z kapitoly 4 jsou dostupné na přiloženém CD a na internetové adrese juskm6am/bc. 5

6 Kapitola 1 Základní pojmy a tvrzení V této kapitole definujeme základní pojmy týkající se časových řad potřebné pro pochopení dále probíraného tématu. Definice 1.1. Časovou řadou rozumíme posloupnost náhodných veličin {X t : t T },kde T R.Index tznačíčas,vněmžjepozorovánahodnota X t. Vdalšímtextubudemepodoznačením {X t }uvažovat T N.Budemetaképracovatpouzesreálnýmičasovýmiřadami,tojestpřípad,kdynáhodnéveličiny X t tvořícířadu {X t }nabývajípouzereálnýchhodnot.poznamenejme,žeteorienáhodných procesů obecně pracuje s komplexními časovými řadami, jako je tomu například v[13]. Definice1..Nechťčasovářada {X t : t T }splňujeext < provšechna t T. Pakdefinujemeautokovariančnífunkci γ(, )řady {X t }předpisem γ(p, r)=cov(x p, X r )=E(X p EX p )(X r EX r ), p, r T. Autokorelačnífunkci(ACF) ρ(, )řady {X t }definujemejako ρ(p, r)= cov(x p, X r ), p, r T. var(xp )var(x t ) Hodnoty autokorelační funkce se také někdy nazývají korelační koeficienty. Definice1.3.Řekneme,žečasovářada {X t : t T }jestriktněstacionární,jestliže prolibovolné n N,provšechna x 1,...,x n R,provšechna t 1,...,t n Taprolibovolné h Rtakové,že t k + h Tpro1 k n,platí,že P(X t1 x 1,..., X tn x n )=P(X t1 +h x 1,...,X tn+h x n ). Řečeno slovy, definice striktní stacionarity požaduje, aby libovolná skupina náhodných veličin z časové řady měla v případě libovolného časového posunu stejné rozdělení jako neposunutá. To je poměrně silná podmínka. Zavedeme tedy ještě pojem slabé stacionarity. 6

7 Definice1.4.Časovářada {X t : t T }jenazývánaslaběstacionární,jestližeplatí (i)ex t <, (ii)ex t = µprovšechna t Tanějaké µ R, (iii)cov(x p, X r )=γ( p r )provšechna p, r T. Bod(iii)vpředchozídefiniciznamená,žeautokovariančnífunkce {X t }závisí pouze na vzdálenosti indexů. U stacionárních časových řad proto autokovarianční funkcipíšemejensjednímargumentem,kterýudávátutovzdálenost: γ(p, r) ozn. = γ(l) pro l= p r. Poznámka 1.5. Je-li časová řada striktně stacionární s konečnými druhými momenty, pak je zřejmě splněna definice slabé stacionarity. Stacionární časovou řadou budeme v dalším textu rozumět slabě stacionární řadu. Implicitně tak předpokládáme konečnost prvních dvou momentů. V dalším textu se zabýváme stacionárními časovými řadami. Více informací o nestacionárních časových řadách najde čtenář například v[7]. Poznámka 1.6.Ustacionárníčasovéřadyplatívar(X t ) = cov(x t, X t ) = γ(0). Autokorelační funkce takové řady(definice 1.) má potom tvar ρ(p, r)= γ( p r ) γ( p r ) ozn. = = ρ(l), kde l= p r, p, r T. γ(0)γ(0) γ(0) Definice1.7.Nechť {X t : t N}jestacionárníčasovářada.Označme X 1 projekci X 1 dolineárníhoprostoru Pgenerovanéhonáhodnýmiveličinami {X,...,X k },kde kjepřirozenéčíslo.existujítedyčísla c,...,c k Rtaková,že X 1 = c X + +c k X k a X 1 X 1 X,...,X k. Podobněoznačme X k+1 projekci X k+1 dolineárníhoprostoru P.Parciálníautokorelačnífunkci(PACF)časovéřady {X t }definujemejako α(k)=ρ(1) k=1 =corr(x 1 X 1, X k+1 X k+1 ) k >1. Projekce X k+1 tedyvyjadřuje X k+1 pomocíveličin X,...,X k a X 1 rovněžvyjadřuje X 1 pomocítěchtoveličin.protožena X k+1 i X 1 majívlivještějinénáhodné veličiny,nejednáseopřesnévyjádření.pokudby X 1 bylanekorelovanás X,...,X k, potombyprojekce X 1 bylanulovýmprvkemprostoru PaX 1 X 1 = X 1.Vopačném případě X 1 = X 1 +E 1,kde E 1 jenějakánáhodnáveličinynekorelovanásx,...,x k (atedynulovýprvekprostoru P).Podobně X k+1 = X k+1 +E k+1.pacfvbodě k pakvyjadřujekorelačníkoeficientmezi E 1 a E k+1,tedyvztahmezi X 1 a X k+1,který nemůžebýtvyjádřenskrze X,...,X k.protože {X t }jestacionární,platírovnost corr(x 1 X 1, X k+1 X k+1 )=corr(x h X h, X k+h X k+h ) atedy α(k)vyjadřujetentovztahprokaždédvěnáhodnéveličinyz{x t },vzdálené odsebeočas k. 7

8 Definice1.8.Pronaměřenéhodnoty X 1,...,X n časovéřady,ukterépředpokládáme slabou stacionaritu, definujeme výběrovou autokorelační funkci ˆρ( ) předpisem ˆρ(l) = n t=l+1 (X t X n )(X t l X n ) n t=1 (X t X n ), 0 l n 1 kde X n jevýběrovýprůměrdefinovanýjako X n = 1 n n t=1 X t. Výběrová ACF ˆρ slouží jako odhad ACF ρ. Za určitých předpokladů lze ukázat, že rozdíl ˆρ(l) ρ(l) má asymptoticky normální rozdělení, viz.[13], a to je možné využít protestováníhypotézy H 0 : ρ(l)=0prokonkrétní l 1.Vespeciálnímpřípadě,kdy data odpovídají realizaci Gaussovského bílého šumu, leží ˆρ(l) s pravděpodobností 95%vintervalu( 1,96/ n,1,96/ n).tentointervalbudemenazývatintervalem spolehlivosti pro hodnoty výběrové ACF. V grafu výběrové ACF bývá zpravidla vyznačen přerušovanou čárou, jak je vidět například na obrázku.1. Leží-li výběrová ACF ˆρ(l) v tomto intervalu, můžeme odpovídající ρ(l) považovat za nulové. Předchozí odstavec popisuje testování hypotézy o nulovosti jednotlivých korelačních koeficientů, ovšem v dalších kapitolách budeme při ověřování adekvátnosti modelů často používat Portmanteaův test, který testuje hypotézu o nulovosti většího množství korelačních koeficientů najednou. Uvedeme zde Ljung Boxovu testovací statistiku publikovanou v[1]. Tato statistika vznikla jako modifikace Box Piercovy statistiky, odvozené v[3], jež při malé velikosti výběru n způsobuje menší sílu testu, jakjepopsánov[1]. Portmanteaův test (Ljung Boxova statistika). Nechť X 1,...,X n jsou pozorovanéhodnotyčasovéřady {X t }sautokorelačnífunkcí ρ( ).Zaplatnostihypotézy H 0 : ρ(1)=ρ()= =ρ(m)=0platí,že kde Q(m)=n(n+) m l=1 ˆρ(l) n l L značíkonvergencivdistribucipro n. L χ m, m N, Číslo m v předchozí větě udává počet korelačních koeficientů, které testujeme. Výsledky simulačních studií ukazují, že optimální volba m je přibližně ln(n), jak je uvedenov[15]. Definice1.9.Časovářada {X t }senazývábílýšum,jestliže {X t }jeposloupnost nekorelovaných stejně rozdělených náhodných veličin s nulovou střední hodnotou askonečnýmrozptylem σ.bílýšumznačímewn(0, σ )(whitenoise).má-linavíc X t normálnírozdělenín(0, σ ),nazýváse {X t }Gaussovskýbílýšum. Při práci s finančními časovými řadami se většinou místo cen aktiv pracuje s jejich výnosy. Z následujících definic uvidíme, že pro investora poskytuje výnos stejnou informaci jako samotná cena aktiva, navíc může být uváděn v procentech a je tak dokonce jasnějším ukazatelem výhodnosti investice. 8

9 Definice1.10.Buď P t cenaaktivavčase t.hrubýmvýnosemaktivarozumímečíslo 1+R t = P t P t 1. Podletétodefiniceje R t P t 1 částka,kterouvydělámevlastněnímaktivavčasovém intervalu(t 1, t).jinýmislovy, R t vyjadřujeprocentuálníziskzaktivazačasový interval(t 1, t).tatočástkasenazýváčistývýnosaktiva.vpraxisečastopoužívá tzv. logaritmický výnos. Definice Přirozený logaritmus hrubého výnosu aktiva nazveme logaritmický výnosaoznačímehojako r t.platíproněj r t =ln(1+r t )=ln P t P t 1 =ln(p t ) ln(p t 1 ) ozn. = p t p t 1. Vdalšímtextubudemeproobecnostčasovéřadyznačitjako {X t : t N},vefinančníchaplikacíchsevšakčastopoužívajířadylogaritmickýchvýnosů {r t : t N}. Pokudsičtenářbudechtítpředstavitaplikacivefinancích,můžesimísto X t dosadit r t. 9

10 Kapitola ARMA modely U finančních časových řad se často setkáváme s tím, že hodnoty autokorelační funkce nejsou nulové a náhodné veličiny tvořící studovanou řadu jsou tedy korelované. To můžeme interpretovat tak, že hodnota řady v čase t je ovlivněna hodnotami v předcházejících časech. Této vlastnosti využívají matematické modely k přesnějšímu popisu a předpovídání průběhu časových řad, což jsou dva jejich hlavní úkoly. Mezi často používané modely pro finanční časové řady patří autoregresní(ar autoregressive) modely a modely s klouzavými součty(ma moving average) a jejich kombinace, tzv. ARMA modely. V tomto textu se věnujeme pouze stručnějšímu a spíše prakticky zaměřenému přehledu základních vlastností ARMA modelů. Pro více podrobných informací o ARMA modelech může čtenář nahlédnout například do[10] nebo[13]..1 AR modely Autoregresnímodelypředpokládají,žehodnotačasovéřadyvčase tsedáažnanáhodnou složku vyjádřit jako lineární funkce hodnot v předcházejících časech. V námi probíraných modelech je tato náhodná složka bílý šum. Definice.1.Nechť p N, φ 0,...,φ p R, φ p 0aY t jebílýšum.řekneme,že časovářada {X t }seřídíautoregresnímmodelemřádu p(značímear(p)),jestliže platí X t = φ 0 + φ 1 X t 1 + +φ p X t p + Y t. Jak je ukázáno například v[13], model AR(p) je stacionární, jestliže všechny kořeny polynomu φ(z)=1 φ 1 z φ z φ p z p jsou v absolutní hodnotě větší než jedna. Je-liřada {X t }zpředchozídefinicestacionární,můžemeprovéstnásledujícívý- 10

11 početstředníhodnotyex t = =EX t p = µ: EX t = φ 0 + φ 1 EX t 1 + +φ p EX t p µ=φ 0 + φ 1 µ+ +φ p µ φ 0 = µ(1 φ 1 φ φ p ) φ 0 µ=ex t =. 1 φ 1 φ φ p Autoregresní modely mají řadu dalších vlastností, které se dají studovat. My se zde budeme zabývat jen těmi, které nám pomohou na cestě k modelům volatility. Zájemce o podrobnější informace o vlastnostech AR modelů budiž odkázán na[13] nebo na[10]. Základní úlohy, které řešíme při aplikaci matematických modelů na časovou řadu, jsou určení(identifikace) modelu a jeho řádu, odhad parametrů v modelu a posouzení adekvátnosti odhadnutého modelu. Ve zbytku této podkapitoly se budeme věnovat těmto úlohám a nastíníme některé z metod, které se používají k jejich řešení. Identifikace modelu a určení řádu Dá se ukázat, že autokorelační funkce AR(p) modelu je řešení diferenční rovnice p- tého řádu, viz.[13]. Proto její graf vypadá jako graf klesající exponenciály nebo tlumeného sinu, případně jejich kombinace, což ilustruje obrázek.1. Autokorelační funkce tak má nekonečně mnoho nenulových hodnot. Naopak parciální autokorelační funkce AR modelu nabývá jen konečně mnoha nenulových hodnot, což bude ukázáno později. Toho se dá využít v situaci, kdy máme časovou řadu, kterou chceme modelovat, a rozhodujeme se, jaký model použít. Dejme tomu, že jsme pro studovanou řadu na základě průběhu výběrové ACF apacfidentifikovaliarmodelarádibychomurčiliřád p.ktomutoúčelupoužijeme užitečnou vlastnost parciální autokorelační funkce AR modelu, kterou nyní odvodíme. Uvažujme AR model řádu p ve tvaru X t = φ 0 + φ 1 X t 1 + +φ p X t p + Y t. Zvolme n > p.vzhledemkdanémumodelujeprojekce X n+1 doprostoru Pgenerovaného {X,..., X n }rovna X n+1 = φ 0 + φ 1 X n + +φ p X n p+1.dáleprojekce X 1 do Pje X 1 = f(x,...,x p+1 ),pronějakoulineárnífunkci f,neboť X 1 senaposledy (explicitně)vyskytujevzápisu X p+1 = φ 0 + φ 1 X p + +φ p X 1.Potom α(n)=corr(x 1 X 1, X n+1 X n+1 )=corr(x 1 f(x,..., X p+1 ), Y n+1 ). Zdefinicemodeluplyne,ževeličiny X p+1,..., X 1 mohoubýt(skrzerekurzi)vyjádřenypomocí Y p+1,...,y 1,tedy X 1 f(x,..., X p+1 )můžemenapsatjakonějakou lineárnífunkci g(y 1,...,Y p+1 ).Proto cov(x 1 f(x,...,x p+1 ), Y n+1 )=cov(g(y 1,...,Y p+1 ), Y n+1 )=0, 11

12 AR(1) s parametrem 0.8 AR() s parametry ACF ACF a) b) AR(1) s parametrem 0.5 AR() s parametry 0.5, 0.5 ACF ACF c) d) Obrázek.1: Grafy výběrové ACF simulovaných řad řídících se modely a) AR(1) sparametrem φ 1 = 0.8,b)AR()sparametry φ 1 = 0.8, φ =0.,c)AR(1) sparametrem φ 1 =0.5ad)AR()sparametry φ 1 =0.5, φ =

13 neboť n > p a Y 1,...,Y n+1 jsou z definice bílého šumu nekorelované. Pro n > pjetedyhodnotapacfčasovéřadyřídícísemodelemar(p)vbodě n nulová. Z předchozího postupu vidíme, že pro n p dostaneme stejným postupem α(n)= =cov(g(y 1,...,Y p+1 ), Y n+1 ) 0. Pro výpočet parciální autokorelační funkce existují metody založené na řešení soustavy rovnic, ve které figuruje autokorelační funkce. Podrobnosti zde nebudeme uvádět, případný zájemce najde bližší informace v[13]. Výběrovou PACF dostaneme dosazením výběrových korelačních koeficientů namísto korelačních koeficientů do zmíněné soustavy rovnic a budeme ji značit ˆα. VýběrováPACFjeodhademPACF.PodobnějakouACF,iuPACFlzezaurčitých podmínek určit asymptotické rozdělení rozdílu ˆα(n) α(n), viz.[13], a testovat hypotézu H 0 : α(n)=0propevné n 1.Interval( 1,96/ n,1,96/ n)jevgrafech výběrové PACF znázorněn stejně jako u ACF, což můžeme vidět na obrázku.. Leží-li výběrová PACF ˆα(n) v tomto intervalu, který budeme nazývat intervalem spolehlivosti, můžeme odpovídající α(n) považovat za nulové. Připomeňme, že pro model AR(p) s autokorelační funkcí ρ a parciální autokorelační funkcí α platí, že ρ(l) 0 pronekonečněmnoho l α(l)=0 pro l > p. Předchozí výsledky dávají návod pro určení řádu AR modelu. Je-li výběrová PACF zkoumané časové řady, u které jsme podle průběhu výběrové ACF identifikovali AR model,takzvaněuseknutávbodě p(tzn.nenulovávbodě panulovázaním),použijeme AR(p) model. Odhadování parametrů Proodhadováníparametrů φ 0,...,φ p var(p)modelusedápoužítmetodanejmenších čtverců(lse least squares estimate), momentová metoda a v případě, že známe rozděleníbíléhošumu Y t,takémetodamaximálnívěrohodnosti(mle maximum likelihood estimate). Posledně jmenované se budeme podrobněji věnovat v dalších kapitolách, zde jen v krátkosti uvedeme metodu nejmenších čtverců. Více informací čtenář nalezne například v[13] nebo v[7]. Definice..Nechť X 1,...,X T jsoupozorovanéhodnotyčasovéřady {X t },uníž předpokládáme model AR(p) ve tvaru X t = φ 0 + φ 1 X t 1 + +φ p X t p + Y t = X t (φ)+y t. Odhademparametru φ=(φ 0,...,φ p )metodounejmenšíchčtvercůrozumíme φ=( φ 0,..., φ p )=argmin φ T t=p+1 ( X t X t (φ)). Řadu { X t } = {X t ( φ)}nazvemeodhadnutýmodel.číslo Ŷt = X t X t nazveme reziduum odhadnutého modelu v čase t. 13

14 AR(1) s parametrem 0.8 AR() s parametry 0.5, 0.5 Partial ACF Partial ACF a) b) AR() s parametry 0.4, 0.4 AR() s parametry Partial ACF Partial ACF c) d) Obrázek.: Grafy výběrové PACF simulovaných řad řídících se modely a) AR(1) sparametrem φ 1 = 0.8,b)AR()sparametry φ 1 =0.5, φ = 0.5,c)AR() sparametry φ 1 =0.4, φ =0.4ad)AR()sparametry φ 1 =0.1, φ =

15 Testování adekvátnosti modelu Je vhodné posoudit, zda odhadnutý model správně reflektuje odhadovanou časovou řadu(je adekvátní). Odpovídající statistické testy využívají předpokladu, že náhodná veličina Y t jebílýšumwn(0, σ ).Videálnímpřípaděbyplatilo,že X t X t atedy Y t Ŷtprokaždé t {1,..., T }. Chcemeprototestovat,zda Ŷt WN(0, σ ),tedyzdarezidua Ŷt,odhadující chybovousložku Y t,majíblízkokbílémušumu.vtakovémpřípaděbymělybýt výběrovékorelačníkoeficientyřady {Ŷt}statistickynevýznamné.Pokudzgrafuvýběrové ACF vidíme, že se významně od nuly liší, usoudíme, že model není adekvátní a musíme ho vylepšit zvětšením řádu nebo použít jiný model. Leží-li výběrové korelační koeficienty uvnitř intervalu spolehlivosti, znamená to nezamítnutí hypotézy o nulovosti jednotlivých korelačních koeficientů. V takovém případě přistoupíme k testování hypotézy o nulovosti ve sdruženém testu. K tomu můžeme použít Portmanteaův test, uvedený na konci kapitoly 1, ovšem s drobnou modifikací testová statistika Q(m) v případě modelu AR(p) konverguje v distribuci k χ -rozděleníom pstupníchvolnosti,tj. χ m p-rozdělení.jetímreflektována skutečnost, že v modelu bylo odhadováno p parametrů, viz.[15]. Pokud hypotézu běžněnahladině α=0.05 nezamítneme,znamenáto,žekorelačníkoeficienty nejsouodnulytakdaleko,abytobylovrozporushypotézouojejichnulovosti. V takovém případě je považujeme za nulové a odhadnutý model za adekvátní. Předpovídání Nechť X 1,...,X T jsouopětpozorovanéhodnotyčasovéřady {X t },unížpředpokládáme model AR(p) s nyní již známými(v praxi však jen odhadnutými) parametry φ 0, φ 1,...,φ p. Definice.3.Předpovědí X T+h pomocínejmenšístředníčtvercovéchyby(mse mean square error) rozumíme (, X T (h)=argmine X T+h f) f kde fjefunkcepozorovanýchhodnot X 1,...,X T.Číslo hsenazýváhorizontpředpovědi.náhodnouveličinu e T (h) = X T+h X T (h)nazvemechybouvpředpovědi X T+h. Předpověďpro h=1podlepředchozídefinicezískámetakto:provyjádření X T+1 využijemeznalostihodnot X 1,..., X T aparametrůmodeluar(p).dáseukázat,že nejmenší střední chyby ve smyslu předchozí definice dosáhneme tehdy, když v předpovědimísto Y T+1 použijemeey T+1 =0,viz.[10]nebo[13].Tentopostuplzezapsat jako X T (1)=E(X T+1 X T, X T 1,..., X T p+1 )=φ 0 + φ 1 X t + +φ p X T p+1, kdee(x T+1 X T, X T 1,...,X T p+1 )jestřední hodnota X T+1 podmíněnáznalostí hodnot X T, X T 1,...,X T p+1.odpovídajícíchybavpředpovědije e T (1)=X T+1 X T (1)=Y T+1. 15

16 Dosadíme-li proto X T (1) do definice předpovědi za f, je minimalizovaný výraz EYT+1 =var Y T+1=var e T (1)=σ.Ztohoplyne,želepšípředpověďnemůžeme získat, protože rozdíl předpovědi a skutečné hodnoty bude vždy alespoň neznámá složka Y T+1. Podobnězkonstruujemepředpověďpro h=.místo X T+1 použijemepředpověď X T (1)astejnějakopro h=1místo Y T+ napíšemeey T+.Odhadpakbude X T ()=E(X T+ X T, X T 1,...,X T p+1 ) = φ 0 + φ 1 E(X T+1 X T, X T 1,...,X T p+1 )+φ X T + +φ p X T p+ = φ 0 + φ 1 XT (1)+φ X T + +φ p X T p+. Chybavpředpovědi X T+ jeproto e T ()=X T+ X T ()=φ 0 + φ 1 X T+1 + φ X T + +φ p X T p+ + Y T+ φ 0 φ 1 XT (1) φ X T φ p X T p+ = φ 1 (X T+1 X ) T (1) + Y T+ = φ 1 e T (1)+Y T+ = φ 1 Y T+1 + Y T+. Proveďme nyní tento postup pro přirozené h splňující h < p. Pak X T (h)=φ 0 + φ 1 XT (h 1)+ +φ h 1 XT (1)+φ h X T + +φ p X T p+h, pro obecné h potom h 1 X T (h)=φ 0 + φ i XT (h i)+ i=1 p φ j X T+h j, kdeprázdnýsoučettypu p j=p+1 položímerovennule. Tímtopostupemjsmezkonstruovalibodovépředpovědihodnotřady {X t }(to znamená,žepředpovědijsoučísla).pokudznámerozděleníchyby e T (h),můžeme sestrojitintervalovoupředpověďpro X T+h ospolehlivosti1 α. Nechť Y t N(0, σ ).Protože {Y t }jebílýšum,jsouveličiny Y t nekorelované. Jednou z vlastností normálního rozdělení přitom je, že nekorelovanost je ekvivalentní nezávislosti. Je známo, že pro nezávislé náhodné veličiny s normálním rozdělením Z 1 N(µ 1, σ1 ), Z N(µ, σ ) platí, že jejich součet má normální rozdělení N(µ 1 + µ, σ1 + σ ),viz.[1].přidáme-liktomudalšívlastnostpravděpodobnostních rozdělení,asice,želineárnítransformace(z µ)/σ N(0,1),kde Z N(µ, σ ), zjistíme,žejsmeschopniurčitrozděleníchybyvpředpovědi e T (h). Pro h=1je e T (1)=X T+1 X T (1)=Y T+1 N(0, σ ),protoplatí ( P u 1 α < X T+1 X T (1) σ j=h < u 1 α P( XT (1) σu 1 α < X T+1 < X T (1)+σu 1 α ) =1 α, ) =1 α, 16

17 kde u 1 α je1 αkvantiln(0,1).mámetakintervalovoupředpověď X T+1.Podobným způsobembudemepostupovatpro h >1.Pro h=ah=3dostaneme ) e T () φ 1 Y T+1 + Y T+ N (0, σ (1+φ 1 ), ( e T (3) φ 1 e T ()+φ e T (1)+Y T+3 N 0, σ [ 1+φ 1 (1+φ 1 ] ) )+φ. Odtud ( P u 1 α < X T+ X T () ) σ (1+φ 1 ) < u 1 α =1 α, ( P u 1 α < X T+3 X T (3) ) σ ( ) < u 1+φ 1 α =1 α, 1 (1+φ 1 )+φ odkud opět snadno dopočítáme intervalové předpovědi. Vpraxiovšemnemámepřesnéhodnotyparametrů φ 0,...,φ p,nýbržjejichodhady. Protože tyto odhady jsou konzistentní, jak je ukázáno v[13], funguje pro ně předchozí postup asymptoticky pro velikost výběru T.. MA modely Druhým modelem, který je rovněž užitečný při modelování časových řad, je model klouzavých součtů(ma moving average). Definice.4.Nechť {Y t }jebílýšum(viz.definice1.9).řekneme,žečasovářada {X t }seřídímamodelemřádu q N,jestližeplatí X t = θ 0 + Y t θ 1 Y t 1 θ q Y t q, kde θ 0,...,θ q R, θ q 0. UvažujmemodelMA(1),tedy X t = θ 0 + Y t θ 1 Y t 1.Pak EX t = θ 0 +EY t θ 1 EY t 1 = θ 0 adíkynekorelovanosti {Y t } var X t =var Y t + θ1 var Y t 1= σ + θ1 σ = σ (1+θ1 ). Podobně pro model MA(q) dostaneme EX t = θ 0 +EY t θ 1 EY t 1 θ q EY t q = θ 0, var X t =var Y t + θ1var Y t 1 + θvar Y t + +θqvar Y t q = σ (1+θ1+ +θq). Jak bude ukázáno dále, každý MA model je stacionární. 17

18 Identifikace modelu a určení řádu UvažujmenyníopětmodelMA(1),tedy X t = θ 0 +Y t θ 1 Y t 1.Potompro l 1, l N platí Pro autokorelační funkci z definice platí X t l X t = θ 0 X t l + Y t X t l θ 1 Y t 1 X t l. γ(l)=ex t l X t EX t l EX t = θ 0 EX t l +EY t X t l θ 1 EY t 1 X t l θ 0. Svyužitímnekorelovanosti X t l a Y t dostaneme atedy γ(l)=θ 0 EX t l +EY t EX t l θ 1 EY t 1 X t l θ 0 = θ 1 EY t 1 X t l Pro autokorelační funkci z toho plyne, že γ(l)=0 l >1 = θ 1 σ l=1. ρ(l)=1 l=0, = θ 1 l=1, (1+θ1) =0 l >1. Tento výsledek je možné zobecnit pro model MA(q), čímž dostaneme ρ(l) 0 l q, =0 l > q, viz. například[13]. Toznamená,ževeličina Y t ovlivňujepouze qhodnot X t,...,x t+q amodelma má takzvaně konečnou paměť. Protože ACF je funkcí rozdílu časů, střední hodnota je konstantní a rozptyl konečný, je každý model MA stacionární. Parciální autokorelační funkce modelu MA(q) je řešením diferenční rovnice q-tého řádu a má proto tvar tlumeného sinu nebo exponenciály, případně jejich kombinace, viz.[13]. Proto nabývá nenulových hodnot v nekonečně mnoho bodech. Připomeňme, že pro model MA(q) s autokorelační funkcí ρ a parciální autokorelační funkcí α platí, že α(l) 0 pronekonečněmnoho l ρ(l)=0 pro l > q. Mají-li tedy výběrové ACF a PACF takovýto průběh, identifikujeme MA model řádu q. 18

19 MA() s parametry 1, MA(4) s parametry 1,, 3, 5 ACF ACF a) b) MA() s parametry 1, MA(4) s parametry 1,, 3, 5 Partial ACF Partial ACF c) d) Obrázek.3: Grafy výběrové ACF a PACF simulovaných řad řídících se modely MA()sparametry θ 1 = 1, θ = ama(4)sparametry θ 1 = 1, θ =, θ 3 = 3, θ 4 = 5. 19

20 Odhadování parametrů V modelech MA se běžně používají odhady metodou maximální věrohodnosti. K tomu jetřebapředpokládat,žeznámerozděleníbíléhošumu {Y t }.Parametrylzeodhadovat také použitím metody nejmenších čtverců, zmíněné v předchozí kapitole. Zde uvedeme metodu maximální věrohodnosti, která je sice náročnější na výpočetní výkon, ale dává přesnější výsledky. Podrobnější informace o používaných metodách může čtenář nalézt například v[13]. Mějmepozorovanéhodnotyveličin X 1,..., X T aoznačmeje x 1,..., x T.Chceme odhadovatparametry θ 0,..., θ q vmodeluma(q).zestacionarityvíme,žestřední hodnotaex t = θ 0 jekonstantní.budemeprotobezújmynaobecnostipředpokládat, že θ 0 =0(jinakbychomodečetliod X t výběrovýprůměr X T ). Označme F t 1 σ-algebrugenerovanounáhodnýmiveličinami X t 1,..., X 1.Jinými slovy, F t 1 obsahuje informaci o hodnotách řady {X t } až do času t 1. Označme θ=(θ 0,..., θ q )vektorparametrůmodeluma(q).rádibychomnazákladě znalosti F t 1 vyjádřilihodnoty Y t 1,...,Y 1.Tytohodnotyoznačímepronázornost y t 1,...,y 1.Díkypředpokládanémumodelumůžemepotompsát y 1 = x 1, y = x + θ 1 y 1, y 3 = x 3 + θ 1 y + θ y 1, Nyní můžeme psát(z vlastností podmíněné hustoty): f(y T,..., y 1 θ)=f(y T,...,y θ, F 1 )f(y 1 θ). = f(y T,...,y 3 θ, F )f(y θ, F 1 )f(y 1 θ). = f(y T θ, F T 1 )f(y T 1 θ, F T ) f(y θ, F 1 )f(y 1 θ), kde f(y T,..., y 1 θ)jesdruženáhustotaveličin Y T,...,Y 1 podmíněnáparametrem θ a f(y t θ, F t 1 )jehustotanáhodnéveličiny Y t podmíněnávektorem θaσ-algebrou F t 1. Protožezpředpokladůznámerozděleníveličin Y t (zdefinicebíléhošumustejné pro všechna t), dosadíme za f hustotu tohoto rozdělení. Máme tedy sdruženou hustotuveličin Y T,...,Y 1 vyjádřenoupomocínámznámýchhodnot x T,...,x 1 avektoru parametrů θ, který neznáme a chceme ho odhadnout. Myšlenka metody maximální věrohodnostije,ženámipozorovanéhodnoty x T,..., x 1 atedyiznichvypočítané y T,...,y 1 jsou nejvícepravděpodobné.protosdruženáhustotaveličin Y T,...,Y 1 mábýtprotytohodnotymaximálníaodhadem θbudetakovývektor θ=( θ 0,..., θ q ), který tuto sdruženou hustotu maximalizuje. Tentoodhadvzniklvsituaci,kdyjsmepoložili y t =0pro t 0,říkásemuproto podmíněnýodhadmetodoumaximálnívěrohodnosti.hodnoty y 1 q,..., y 0 vstupují 0

21 do maximalizované hustoty proto, že v modelu MA(q) platí y 1 = x 1 + θ 1 y 0 + θ y 1 + +θ q y 1 q, y = x + θ 1 y 1 + θ y 0 + +θ q y q,. Druhámožnostjeodhadnouthodnoty y 1 q,...,y 0,kterépovažujemezaneznámé konstanty,společněsparametrem θ=(θ 0,...,θ q ). Označme y=(y 1 q,...,y 0 ).Pakpodobnějakovpředchozím f(y T,...,y 1 θ, y)=...=f(y T θ, F T 1, y)f(y T 1 θ, F T, y) f(y 1 θ, y), což je opět funkce, kterou chceme maximalizovat v argumentech θ a y. Výsledkem budouodhady θ=( θ 0,..., θ q )a ŷy=(ŷ 1 q,..., ŷ 0 ),znichžpotřebujemepouze θ,ale parametr y nám posloužil ke zpřesnění odhadu, kterému se proto někdy říká přesný odhad metodou maximální věrohodnosti. Testování adekvátnosti modelu Testování adekvátnosti modelu je opět založeno na testování nekorelovanosti reziduí {Ŷt},kde Ŷt= X t X t.ktomulzevyužítmetodypopsanéuarmodelůvčásti.1. Pokud známe rozdělení bílého šumu, je možné testovat také hypotézu o tom, že rezidua odpovídají tomuto rozdělení. Pokud ji nezamítneme, stejně jako hypotézu o nekorelovanosti, neliší se rezidua závažně od bílého šumu a model pokládáme za adekvátní. Předpovídání Uvažujmeprořadu {X t }modelma(q).nechť X T,...,X 1 jsouopětznáméhodnoty {X t }.Prohorizontpředpovědi h=1chcemepředpovědět X T+1.VmodeluMA(q), vněmžpředpokládámeex t =0,platí X T+1 = Y T+1 θ 1 Y T θ q Y T+1 q. Předpovědí X T+1 pakpodobnějakouarmodelůrozumíme X T (1)=E(X T+1 X T,...X 1 )= θ 1 Ŷ T θ q Ŷ T+1 q, kde Ŷtjereziduumodhadnutéhomodeluvčase t,tedy Ŷt= X t X t. Pro h=potom Pro obecné h platí X T+ = Y T+ θ 1 Y T+1 θ q Y T+ q, X T ()=E(X T+ X T,...X 1 )= θ Y T θ q Y T+ q. X T+h = ŶT+h θ 1 Ŷ T+h 1 θ q Ŷ T+h q, q X T (h)= θ h Ŷ T θ q Ŷ T+h q = θ i Ŷ T+h i, 1 i=h

22 kdeopětprázdnýsoučetdodefinujemenulou.vidíme,žepro h > qjepředpověď X T (h)=0,cožjeex t.jakvímezprůběhuacf,veličiny X 1,...,X T nijakneovlivňujíveličiny X T+q+1, X T+q+,...,aprotoznalost X 1,...,X T nemůženicnapovědět obudoucíchhodnotách X T+q+1, X T+q+, ARMA modely V některých aplikacích se můžeme dostat do situace, kdy při aplikaci AR nebo MA modelu budeme pro adekvátní popis časové řady potřebovat vysoký řád modelu. ZtohotodůvodusezavádíspojeníARaMAmodelů,tzv.ARMAmodel. Definice.5.Nechť {Y t }jebílýšuma{x t }jestacionárníčasovářada.řekneme, žečasovářada {X t }seřídíarma(p, q)modelem, p, q N {0},jestližeplatí X t = φ 0 + p φ i X t i i=1 q θ j Y t j + Y t, j=1 kde φ 0,..., φ p, θ 1,..., θ q R, φ p 0aθ q 0. V literatuře se často používá zápis pomocí operátoru zpětného posunu: Definice.6.Operátor B: X t X t 1 senazýváoperátorzpětnéhoposunu(backshift operator). Model ARMA(p, q) zapsaný pomocí operátoru zpětného posunu vypadá následovně: (1 φ 1 B φ B φ p B p )X t = φ 0 +(1 θ 1 B θ B θ q B q )Y t. Polynom φ(z)=(1 φ 1 z φ z φ p z p )nazvemecharakteristickýmpolynomem ARsložkyARMA(p, q)modelu.jakjeukázánonapříkladv[13],arma(p, q)model je stacionární, pokud je jeho AR složka stacionární(ma složka je stacionární vždy). To nastává, jestliže jsou všechny kořeny charakteristického polynomu AR složky v absolutní hodnotě větší než jedna. Identifikace modelu a určení řádu Jakužbylořečenovúvodukapitoly,vpraxičastopoužívámeARMAmodelvsituacích, kdy jsme identifikovali AR nebo MA model vysokého řádu. V takových případech ARMA model k adekvátnímu popsání dané časové řady potřebuje tak vysoký řád. UrčovánířádůneníuARMAmodelutakjednoduchéjakouARaMAmodelů anepomůženámsnímaniacfapacf.protožepodrobnýpopismetodpoužitelnýchkurčenířádůarmamodelubynijaknepřispělkúčelutétopráce,uvedeme zde pouze stručný popis s odkazem na literaturu, v níž může zájemce nalézt bližší informace. Standardně se uvádí metoda FPE(final prediction error) a AIC(Akaike s information criterion). Metoda FPE vyjádří střední čtvercovou chybu v předpovědi

Modely stacionárních časových řad

Modely stacionárních časových řad Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Proces bílého šumu Proces {ɛ t} nazveme bílým šumem s nulovou střední hodnotou a rozptylem σ 2 a

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2... } se nazývá stochastický

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Modely pro nestacionární časové řady

Modely pro nestacionární časové řady Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Modely ARIMA Transformace Proces náhodné procházky Random Walk Process Proces Y t = Y t 1 + ɛ t je

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd

Matematické modelování Náhled do ekonometrie. Lukáš Frýd Matematické modelování Náhled do ekonometrie Lukáš Frýd Výnos akcie vs. Výnos celého trhu - CAPM model r it = r ft + β 1. (r mt r ft ) r it r ft = α 0 + β 1. (r mt r ft ) + ε it Ekonomický (finanční model)

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme,

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme, Úloha 1: V naší studii se zabýváme poptávkovou funkcí životního pojištění, vycházíme z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky DIPLOMOVÁ PRÁCE

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky DIPLOMOVÁ PRÁCE ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky DIPLOMOVÁ PRÁCE Předpovědi vysokofrekvenčních časových řad pomocí modelů typu ARCH a metody Monte Carlo Plzeň 2013 Vypracoval:

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Odhad stavu matematického modelu křižovatek

Odhad stavu matematického modelu křižovatek Odhad stavu matematického modelu křižovatek Miroslav Šimandl, Miroslav Flídr a Jindřich Duník Katedra kybernetiky & Výzkumné centrum Data-Algoritmy-Rozhodování Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

4ST432. Kamil Kladívko. 1 Cena a výnos aktiva, volatilita 2. 1.1 Odhad očekávaného výnosu, interval spolehlivosti, test hypotézy...

4ST432. Kamil Kladívko. 1 Cena a výnos aktiva, volatilita 2. 1.1 Odhad očekávaného výnosu, interval spolehlivosti, test hypotézy... 4ST432 Modely ekonomických a finančních časových řad Kamil Kladívko Zadání úkolů a data najdete v souboru zadani432.xlsx. Výpočty jsou v souboru solution432.xlsx. Obsah 1 Cena a výnos aktiva, volatilita

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Logaritmické a exponenciální funkce

Logaritmické a exponenciální funkce Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

Úloha - rozpoznávání číslic

Úloha - rozpoznávání číslic Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Teorie časových řad Test 2 Varianta A HODNOCENÍ (max. 45 bodů z 50 možných)

Teorie časových řad Test 2 Varianta A HODNOCENÍ (max. 45 bodů z 50 možných) Teorie časových řad Test 2 Varianta A HODNOCENÍ (max. 45 bodů z 50 možných) 1. SPECIFIKACE (12 bodů): (1) Graf průběhu proměnných (1) Obě řady se chovají stejně, lze předpokládat jejich lineární vztah

Více

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

Diagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak

Diagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak StatSoft Diagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak V tomto článečku si uděláme exkurzi do teorie regresní analýzy a detailně se podíváme na jeden jediný diagnostický graf. Jedná se o graf Předpovědi

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Pearsonův korelační koeficient

Pearsonův korelační koeficient I I.I Pearsonův korelační koeficient Úvod Předpokládejme, že náhodně vybereme n objektů (nebo osob) ze zkoumané populace. Často se stává, že na každém z objektů měříme ne pouze jednu, ale několik kvantitativních

Více

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Mnohorozměrné metody Regrese jedna náhodná veličina je vysvětlována pomocí jiných

Více

REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD

REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD Politická ekonomie 45: (2), str. 281-289, VŠE Praha, 1997. ISSN 0032-3233. (Rukopis) REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD Josef ARLT, Vysoká škola ekonomická, Praha 1. Úvod Pro modelování

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více