BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Martin Jusko Modely volatility ARCH a GARCH

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Martin Jusko Modely volatility ARCH a GARCH"

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Martin Jusko Modely volatility ARCH a GARCH Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Šárka Došlá Studijní program: Matematika, Obecná matematika 009

2 Na tomto místě bych rád poděkoval Mgr. Šárce Došlé za množství drahocenných rad a příjemnou spolupráci při psaní bakalářské práce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 8. května 009 Martin Jusko

3 Obsah 1 Základní pojmy a tvrzení 6 ARMA modely 10.1 ARmodely MAmodely ARMAmodely... 3 Modely volatility ModelARCH ModelGARCH Aplikace na konkrétní časové řady PoužitéfunkcevprogramuR Simulovanádata Kurzčeskékorunyvůčieuru BurzovníindexPX Literatura 57 3

4 Název práce: Modely volatility ARCH a GARCH Autor: Martin Jusko Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Šárka Došlá vedoucího: Abstrakt: V předložené práci se věnujeme pojmu volatility a základním modelům volatility ARCH a GARCH. Nejprve jsou popsány ARMA modely, které k modelům volatility přirozeně vedou. Poté jsou představeny modely volatility ARCH a GARCH, jsou zkoumány jejich vlastnosti a metody odhadu. Podstatnou částí práce jsou podrobně popsané aplikace těchto modelů na konkrétní časové řady(na simulovaná a reálná data) v programu R. Analyzována jsou data zachycující vývoj pražského burzovního indexu PX a směnného kurzu české koruny vůči euru. Cílem práce je poskytnout čtenáři vybavenému základními poznatky z pravděpodobnosti a statistiky dostatek teoretických znalostí a praktických dovedností k pochopení modelů a jejich samostatné aplikaci. Klíčová slova: volatilita, ARCH, GARCH Title: ARCH and GARCH volatility models Author: Martin Jusko Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Šárka Došlá Supervisor s address: Abstract:Theworkisdevotedtotheconceptofvolatilityandthebasicmodelsofvolatility ARCH and GARCH. First, ARMA models, which lead naturally to the volatility models, are explained. Then the ARCH and GARCH volatility models are introduced and their properties and estimation methods are discussed. The substantial part of this work is a detailed application of the described models to some particular timeseries(bothsimulatedandrealdata)usingtherprogram.weanalyzethereal data capturing the evolution of Prague stock index PX and exchange rate between CzechcrownandEuro.Thekeyaspectoftheworkistoprovideenoughtheoretical knowledge and practical skills for a reader to fully understand the mentioned models andtobeabletoapplytheminpractice. Keywords: volatility, ARCH, GARCH 4

5 Úvod Modelování časových řad se ve velké míře využívá například ve finančnictví, pojišťovnictví nebo ekonomii. Volatilita neboli kolísavost časových řad se nejčastěji studuje právě v těchto oborech, neboť určitým způsobem reflektuje například rizikovost cenných papírů nebo náladu na trhu. Aplikaci proto nachází například při oceňování opcí nebo řízení rizika. Cílem této práce je zavést pojem volatility, definovat základní modely ARCH a GARCH pro její modelování a předvést postupy při jejich praktickém použití. K tomu je třeba představit některé základní pojmy a definovat ARMA modely, které se často aplikují na studované řady před vlastním modelováním volatility. U čtenáře se předpokládají základní znalosti z pravděpodobnosti a statistiky, výhodou mohou být vědomosti z teorie pravděpodobnosti a z teorie náhodných procesů. Po prostudování práce by měl čtenář rozumět podstatě modelů ARMA, ARCH agarchabýtschopenjeaplikovatnakonkrétnídata. V kapitole 1 jsou definovány základní pojmy používané v celém textu. Kapitola je věnována ARMA modelům, které jsou hojně používány pro modelování časových řad a jejichž pochopení je zásadní pro porozumění modelům volatility, které jsou studovány v kapitole 3. V kapitole 4 je čtenář nejprve seznámen s některými funkcemi programu R, načež jsou předvedeny aplikace získaných znalostí na konkrétní časové řady. Pro ilustraci vlastností představených modelů a předvedení různých funkcí programu R jsou použita simulovaná data. Praktická aplikace je poté předvedena na reálných datech. Tato práce, použitá data, obrázky, zdrojové kódy a některé výstupy programu R z kapitoly 4 jsou dostupné na přiloženém CD a na internetové adrese juskm6am/bc. 5

6 Kapitola 1 Základní pojmy a tvrzení V této kapitole definujeme základní pojmy týkající se časových řad potřebné pro pochopení dále probíraného tématu. Definice 1.1. Časovou řadou rozumíme posloupnost náhodných veličin {X t : t T },kde T R.Index tznačíčas,vněmžjepozorovánahodnota X t. Vdalšímtextubudemepodoznačením {X t }uvažovat T N.Budemetaképracovatpouzesreálnýmičasovýmiřadami,tojestpřípad,kdynáhodnéveličiny X t tvořícířadu {X t }nabývajípouzereálnýchhodnot.poznamenejme,žeteorienáhodných procesů obecně pracuje s komplexními časovými řadami, jako je tomu například v[13]. Definice1..Nechťčasovářada {X t : t T }splňujeext < provšechna t T. Pakdefinujemeautokovariančnífunkci γ(, )řady {X t }předpisem γ(p, r)=cov(x p, X r )=E(X p EX p )(X r EX r ), p, r T. Autokorelačnífunkci(ACF) ρ(, )řady {X t }definujemejako ρ(p, r)= cov(x p, X r ), p, r T. var(xp )var(x t ) Hodnoty autokorelační funkce se také někdy nazývají korelační koeficienty. Definice1.3.Řekneme,žečasovářada {X t : t T }jestriktněstacionární,jestliže prolibovolné n N,provšechna x 1,...,x n R,provšechna t 1,...,t n Taprolibovolné h Rtakové,že t k + h Tpro1 k n,platí,že P(X t1 x 1,..., X tn x n )=P(X t1 +h x 1,...,X tn+h x n ). Řečeno slovy, definice striktní stacionarity požaduje, aby libovolná skupina náhodných veličin z časové řady měla v případě libovolného časového posunu stejné rozdělení jako neposunutá. To je poměrně silná podmínka. Zavedeme tedy ještě pojem slabé stacionarity. 6

7 Definice1.4.Časovářada {X t : t T }jenazývánaslaběstacionární,jestližeplatí (i)ex t <, (ii)ex t = µprovšechna t Tanějaké µ R, (iii)cov(x p, X r )=γ( p r )provšechna p, r T. Bod(iii)vpředchozídefiniciznamená,žeautokovariančnífunkce {X t }závisí pouze na vzdálenosti indexů. U stacionárních časových řad proto autokovarianční funkcipíšemejensjednímargumentem,kterýudávátutovzdálenost: γ(p, r) ozn. = γ(l) pro l= p r. Poznámka 1.5. Je-li časová řada striktně stacionární s konečnými druhými momenty, pak je zřejmě splněna definice slabé stacionarity. Stacionární časovou řadou budeme v dalším textu rozumět slabě stacionární řadu. Implicitně tak předpokládáme konečnost prvních dvou momentů. V dalším textu se zabýváme stacionárními časovými řadami. Více informací o nestacionárních časových řadách najde čtenář například v[7]. Poznámka 1.6.Ustacionárníčasovéřadyplatívar(X t ) = cov(x t, X t ) = γ(0). Autokorelační funkce takové řady(definice 1.) má potom tvar ρ(p, r)= γ( p r ) γ( p r ) ozn. = = ρ(l), kde l= p r, p, r T. γ(0)γ(0) γ(0) Definice1.7.Nechť {X t : t N}jestacionárníčasovářada.Označme X 1 projekci X 1 dolineárníhoprostoru Pgenerovanéhonáhodnýmiveličinami {X,...,X k },kde kjepřirozenéčíslo.existujítedyčísla c,...,c k Rtaková,že X 1 = c X + +c k X k a X 1 X 1 X,...,X k. Podobněoznačme X k+1 projekci X k+1 dolineárníhoprostoru P.Parciálníautokorelačnífunkci(PACF)časovéřady {X t }definujemejako α(k)=ρ(1) k=1 =corr(x 1 X 1, X k+1 X k+1 ) k >1. Projekce X k+1 tedyvyjadřuje X k+1 pomocíveličin X,...,X k a X 1 rovněžvyjadřuje X 1 pomocítěchtoveličin.protožena X k+1 i X 1 majívlivještějinénáhodné veličiny,nejednáseopřesnévyjádření.pokudby X 1 bylanekorelovanás X,...,X k, potombyprojekce X 1 bylanulovýmprvkemprostoru PaX 1 X 1 = X 1.Vopačném případě X 1 = X 1 +E 1,kde E 1 jenějakánáhodnáveličinynekorelovanásx,...,x k (atedynulovýprvekprostoru P).Podobně X k+1 = X k+1 +E k+1.pacfvbodě k pakvyjadřujekorelačníkoeficientmezi E 1 a E k+1,tedyvztahmezi X 1 a X k+1,který nemůžebýtvyjádřenskrze X,...,X k.protože {X t }jestacionární,platírovnost corr(x 1 X 1, X k+1 X k+1 )=corr(x h X h, X k+h X k+h ) atedy α(k)vyjadřujetentovztahprokaždédvěnáhodnéveličinyz{x t },vzdálené odsebeočas k. 7

8 Definice1.8.Pronaměřenéhodnoty X 1,...,X n časovéřady,ukterépředpokládáme slabou stacionaritu, definujeme výběrovou autokorelační funkci ˆρ( ) předpisem ˆρ(l) = n t=l+1 (X t X n )(X t l X n ) n t=1 (X t X n ), 0 l n 1 kde X n jevýběrovýprůměrdefinovanýjako X n = 1 n n t=1 X t. Výběrová ACF ˆρ slouží jako odhad ACF ρ. Za určitých předpokladů lze ukázat, že rozdíl ˆρ(l) ρ(l) má asymptoticky normální rozdělení, viz.[13], a to je možné využít protestováníhypotézy H 0 : ρ(l)=0prokonkrétní l 1.Vespeciálnímpřípadě,kdy data odpovídají realizaci Gaussovského bílého šumu, leží ˆρ(l) s pravděpodobností 95%vintervalu( 1,96/ n,1,96/ n).tentointervalbudemenazývatintervalem spolehlivosti pro hodnoty výběrové ACF. V grafu výběrové ACF bývá zpravidla vyznačen přerušovanou čárou, jak je vidět například na obrázku.1. Leží-li výběrová ACF ˆρ(l) v tomto intervalu, můžeme odpovídající ρ(l) považovat za nulové. Předchozí odstavec popisuje testování hypotézy o nulovosti jednotlivých korelačních koeficientů, ovšem v dalších kapitolách budeme při ověřování adekvátnosti modelů často používat Portmanteaův test, který testuje hypotézu o nulovosti většího množství korelačních koeficientů najednou. Uvedeme zde Ljung Boxovu testovací statistiku publikovanou v[1]. Tato statistika vznikla jako modifikace Box Piercovy statistiky, odvozené v[3], jež při malé velikosti výběru n způsobuje menší sílu testu, jakjepopsánov[1]. Portmanteaův test (Ljung Boxova statistika). Nechť X 1,...,X n jsou pozorovanéhodnotyčasovéřady {X t }sautokorelačnífunkcí ρ( ).Zaplatnostihypotézy H 0 : ρ(1)=ρ()= =ρ(m)=0platí,že kde Q(m)=n(n+) m l=1 ˆρ(l) n l L značíkonvergencivdistribucipro n. L χ m, m N, Číslo m v předchozí větě udává počet korelačních koeficientů, které testujeme. Výsledky simulačních studií ukazují, že optimální volba m je přibližně ln(n), jak je uvedenov[15]. Definice1.9.Časovářada {X t }senazývábílýšum,jestliže {X t }jeposloupnost nekorelovaných stejně rozdělených náhodných veličin s nulovou střední hodnotou askonečnýmrozptylem σ.bílýšumznačímewn(0, σ )(whitenoise).má-linavíc X t normálnírozdělenín(0, σ ),nazýváse {X t }Gaussovskýbílýšum. Při práci s finančními časovými řadami se většinou místo cen aktiv pracuje s jejich výnosy. Z následujících definic uvidíme, že pro investora poskytuje výnos stejnou informaci jako samotná cena aktiva, navíc může být uváděn v procentech a je tak dokonce jasnějším ukazatelem výhodnosti investice. 8

9 Definice1.10.Buď P t cenaaktivavčase t.hrubýmvýnosemaktivarozumímečíslo 1+R t = P t P t 1. Podletétodefiniceje R t P t 1 částka,kterouvydělámevlastněnímaktivavčasovém intervalu(t 1, t).jinýmislovy, R t vyjadřujeprocentuálníziskzaktivazačasový interval(t 1, t).tatočástkasenazýváčistývýnosaktiva.vpraxisečastopoužívá tzv. logaritmický výnos. Definice Přirozený logaritmus hrubého výnosu aktiva nazveme logaritmický výnosaoznačímehojako r t.platíproněj r t =ln(1+r t )=ln P t P t 1 =ln(p t ) ln(p t 1 ) ozn. = p t p t 1. Vdalšímtextubudemeproobecnostčasovéřadyznačitjako {X t : t N},vefinančníchaplikacíchsevšakčastopoužívajířadylogaritmickýchvýnosů {r t : t N}. Pokudsičtenářbudechtítpředstavitaplikacivefinancích,můžesimísto X t dosadit r t. 9

10 Kapitola ARMA modely U finančních časových řad se často setkáváme s tím, že hodnoty autokorelační funkce nejsou nulové a náhodné veličiny tvořící studovanou řadu jsou tedy korelované. To můžeme interpretovat tak, že hodnota řady v čase t je ovlivněna hodnotami v předcházejících časech. Této vlastnosti využívají matematické modely k přesnějšímu popisu a předpovídání průběhu časových řad, což jsou dva jejich hlavní úkoly. Mezi často používané modely pro finanční časové řady patří autoregresní(ar autoregressive) modely a modely s klouzavými součty(ma moving average) a jejich kombinace, tzv. ARMA modely. V tomto textu se věnujeme pouze stručnějšímu a spíše prakticky zaměřenému přehledu základních vlastností ARMA modelů. Pro více podrobných informací o ARMA modelech může čtenář nahlédnout například do[10] nebo[13]..1 AR modely Autoregresnímodelypředpokládají,žehodnotačasovéřadyvčase tsedáažnanáhodnou složku vyjádřit jako lineární funkce hodnot v předcházejících časech. V námi probíraných modelech je tato náhodná složka bílý šum. Definice.1.Nechť p N, φ 0,...,φ p R, φ p 0aY t jebílýšum.řekneme,že časovářada {X t }seřídíautoregresnímmodelemřádu p(značímear(p)),jestliže platí X t = φ 0 + φ 1 X t 1 + +φ p X t p + Y t. Jak je ukázáno například v[13], model AR(p) je stacionární, jestliže všechny kořeny polynomu φ(z)=1 φ 1 z φ z φ p z p jsou v absolutní hodnotě větší než jedna. Je-liřada {X t }zpředchozídefinicestacionární,můžemeprovéstnásledujícívý- 10

11 početstředníhodnotyex t = =EX t p = µ: EX t = φ 0 + φ 1 EX t 1 + +φ p EX t p µ=φ 0 + φ 1 µ+ +φ p µ φ 0 = µ(1 φ 1 φ φ p ) φ 0 µ=ex t =. 1 φ 1 φ φ p Autoregresní modely mají řadu dalších vlastností, které se dají studovat. My se zde budeme zabývat jen těmi, které nám pomohou na cestě k modelům volatility. Zájemce o podrobnější informace o vlastnostech AR modelů budiž odkázán na[13] nebo na[10]. Základní úlohy, které řešíme při aplikaci matematických modelů na časovou řadu, jsou určení(identifikace) modelu a jeho řádu, odhad parametrů v modelu a posouzení adekvátnosti odhadnutého modelu. Ve zbytku této podkapitoly se budeme věnovat těmto úlohám a nastíníme některé z metod, které se používají k jejich řešení. Identifikace modelu a určení řádu Dá se ukázat, že autokorelační funkce AR(p) modelu je řešení diferenční rovnice p- tého řádu, viz.[13]. Proto její graf vypadá jako graf klesající exponenciály nebo tlumeného sinu, případně jejich kombinace, což ilustruje obrázek.1. Autokorelační funkce tak má nekonečně mnoho nenulových hodnot. Naopak parciální autokorelační funkce AR modelu nabývá jen konečně mnoha nenulových hodnot, což bude ukázáno později. Toho se dá využít v situaci, kdy máme časovou řadu, kterou chceme modelovat, a rozhodujeme se, jaký model použít. Dejme tomu, že jsme pro studovanou řadu na základě průběhu výběrové ACF apacfidentifikovaliarmodelarádibychomurčiliřád p.ktomutoúčelupoužijeme užitečnou vlastnost parciální autokorelační funkce AR modelu, kterou nyní odvodíme. Uvažujme AR model řádu p ve tvaru X t = φ 0 + φ 1 X t 1 + +φ p X t p + Y t. Zvolme n > p.vzhledemkdanémumodelujeprojekce X n+1 doprostoru Pgenerovaného {X,..., X n }rovna X n+1 = φ 0 + φ 1 X n + +φ p X n p+1.dáleprojekce X 1 do Pje X 1 = f(x,...,x p+1 ),pronějakoulineárnífunkci f,neboť X 1 senaposledy (explicitně)vyskytujevzápisu X p+1 = φ 0 + φ 1 X p + +φ p X 1.Potom α(n)=corr(x 1 X 1, X n+1 X n+1 )=corr(x 1 f(x,..., X p+1 ), Y n+1 ). Zdefinicemodeluplyne,ževeličiny X p+1,..., X 1 mohoubýt(skrzerekurzi)vyjádřenypomocí Y p+1,...,y 1,tedy X 1 f(x,..., X p+1 )můžemenapsatjakonějakou lineárnífunkci g(y 1,...,Y p+1 ).Proto cov(x 1 f(x,...,x p+1 ), Y n+1 )=cov(g(y 1,...,Y p+1 ), Y n+1 )=0, 11

12 AR(1) s parametrem 0.8 AR() s parametry ACF ACF a) b) AR(1) s parametrem 0.5 AR() s parametry 0.5, 0.5 ACF ACF c) d) Obrázek.1: Grafy výběrové ACF simulovaných řad řídících se modely a) AR(1) sparametrem φ 1 = 0.8,b)AR()sparametry φ 1 = 0.8, φ =0.,c)AR(1) sparametrem φ 1 =0.5ad)AR()sparametry φ 1 =0.5, φ =

13 neboť n > p a Y 1,...,Y n+1 jsou z definice bílého šumu nekorelované. Pro n > pjetedyhodnotapacfčasovéřadyřídícísemodelemar(p)vbodě n nulová. Z předchozího postupu vidíme, že pro n p dostaneme stejným postupem α(n)= =cov(g(y 1,...,Y p+1 ), Y n+1 ) 0. Pro výpočet parciální autokorelační funkce existují metody založené na řešení soustavy rovnic, ve které figuruje autokorelační funkce. Podrobnosti zde nebudeme uvádět, případný zájemce najde bližší informace v[13]. Výběrovou PACF dostaneme dosazením výběrových korelačních koeficientů namísto korelačních koeficientů do zmíněné soustavy rovnic a budeme ji značit ˆα. VýběrováPACFjeodhademPACF.PodobnějakouACF,iuPACFlzezaurčitých podmínek určit asymptotické rozdělení rozdílu ˆα(n) α(n), viz.[13], a testovat hypotézu H 0 : α(n)=0propevné n 1.Interval( 1,96/ n,1,96/ n)jevgrafech výběrové PACF znázorněn stejně jako u ACF, což můžeme vidět na obrázku.. Leží-li výběrová PACF ˆα(n) v tomto intervalu, který budeme nazývat intervalem spolehlivosti, můžeme odpovídající α(n) považovat za nulové. Připomeňme, že pro model AR(p) s autokorelační funkcí ρ a parciální autokorelační funkcí α platí, že ρ(l) 0 pronekonečněmnoho l α(l)=0 pro l > p. Předchozí výsledky dávají návod pro určení řádu AR modelu. Je-li výběrová PACF zkoumané časové řady, u které jsme podle průběhu výběrové ACF identifikovali AR model,takzvaněuseknutávbodě p(tzn.nenulovávbodě panulovázaním),použijeme AR(p) model. Odhadování parametrů Proodhadováníparametrů φ 0,...,φ p var(p)modelusedápoužítmetodanejmenších čtverců(lse least squares estimate), momentová metoda a v případě, že známe rozděleníbíléhošumu Y t,takémetodamaximálnívěrohodnosti(mle maximum likelihood estimate). Posledně jmenované se budeme podrobněji věnovat v dalších kapitolách, zde jen v krátkosti uvedeme metodu nejmenších čtverců. Více informací čtenář nalezne například v[13] nebo v[7]. Definice..Nechť X 1,...,X T jsoupozorovanéhodnotyčasovéřady {X t },uníž předpokládáme model AR(p) ve tvaru X t = φ 0 + φ 1 X t 1 + +φ p X t p + Y t = X t (φ)+y t. Odhademparametru φ=(φ 0,...,φ p )metodounejmenšíchčtvercůrozumíme φ=( φ 0,..., φ p )=argmin φ T t=p+1 ( X t X t (φ)). Řadu { X t } = {X t ( φ)}nazvemeodhadnutýmodel.číslo Ŷt = X t X t nazveme reziduum odhadnutého modelu v čase t. 13

14 AR(1) s parametrem 0.8 AR() s parametry 0.5, 0.5 Partial ACF Partial ACF a) b) AR() s parametry 0.4, 0.4 AR() s parametry Partial ACF Partial ACF c) d) Obrázek.: Grafy výběrové PACF simulovaných řad řídících se modely a) AR(1) sparametrem φ 1 = 0.8,b)AR()sparametry φ 1 =0.5, φ = 0.5,c)AR() sparametry φ 1 =0.4, φ =0.4ad)AR()sparametry φ 1 =0.1, φ =

15 Testování adekvátnosti modelu Je vhodné posoudit, zda odhadnutý model správně reflektuje odhadovanou časovou řadu(je adekvátní). Odpovídající statistické testy využívají předpokladu, že náhodná veličina Y t jebílýšumwn(0, σ ).Videálnímpřípaděbyplatilo,že X t X t atedy Y t Ŷtprokaždé t {1,..., T }. Chcemeprototestovat,zda Ŷt WN(0, σ ),tedyzdarezidua Ŷt,odhadující chybovousložku Y t,majíblízkokbílémušumu.vtakovémpřípaděbymělybýt výběrovékorelačníkoeficientyřady {Ŷt}statistickynevýznamné.Pokudzgrafuvýběrové ACF vidíme, že se významně od nuly liší, usoudíme, že model není adekvátní a musíme ho vylepšit zvětšením řádu nebo použít jiný model. Leží-li výběrové korelační koeficienty uvnitř intervalu spolehlivosti, znamená to nezamítnutí hypotézy o nulovosti jednotlivých korelačních koeficientů. V takovém případě přistoupíme k testování hypotézy o nulovosti ve sdruženém testu. K tomu můžeme použít Portmanteaův test, uvedený na konci kapitoly 1, ovšem s drobnou modifikací testová statistika Q(m) v případě modelu AR(p) konverguje v distribuci k χ -rozděleníom pstupníchvolnosti,tj. χ m p-rozdělení.jetímreflektována skutečnost, že v modelu bylo odhadováno p parametrů, viz.[15]. Pokud hypotézu běžněnahladině α=0.05 nezamítneme,znamenáto,žekorelačníkoeficienty nejsouodnulytakdaleko,abytobylovrozporushypotézouojejichnulovosti. V takovém případě je považujeme za nulové a odhadnutý model za adekvátní. Předpovídání Nechť X 1,...,X T jsouopětpozorovanéhodnotyčasovéřady {X t },unížpředpokládáme model AR(p) s nyní již známými(v praxi však jen odhadnutými) parametry φ 0, φ 1,...,φ p. Definice.3.Předpovědí X T+h pomocínejmenšístředníčtvercovéchyby(mse mean square error) rozumíme (, X T (h)=argmine X T+h f) f kde fjefunkcepozorovanýchhodnot X 1,...,X T.Číslo hsenazýváhorizontpředpovědi.náhodnouveličinu e T (h) = X T+h X T (h)nazvemechybouvpředpovědi X T+h. Předpověďpro h=1podlepředchozídefinicezískámetakto:provyjádření X T+1 využijemeznalostihodnot X 1,..., X T aparametrůmodeluar(p).dáseukázat,že nejmenší střední chyby ve smyslu předchozí definice dosáhneme tehdy, když v předpovědimísto Y T+1 použijemeey T+1 =0,viz.[10]nebo[13].Tentopostuplzezapsat jako X T (1)=E(X T+1 X T, X T 1,..., X T p+1 )=φ 0 + φ 1 X t + +φ p X T p+1, kdee(x T+1 X T, X T 1,...,X T p+1 )jestřední hodnota X T+1 podmíněnáznalostí hodnot X T, X T 1,...,X T p+1.odpovídajícíchybavpředpovědije e T (1)=X T+1 X T (1)=Y T+1. 15

16 Dosadíme-li proto X T (1) do definice předpovědi za f, je minimalizovaný výraz EYT+1 =var Y T+1=var e T (1)=σ.Ztohoplyne,želepšípředpověďnemůžeme získat, protože rozdíl předpovědi a skutečné hodnoty bude vždy alespoň neznámá složka Y T+1. Podobnězkonstruujemepředpověďpro h=.místo X T+1 použijemepředpověď X T (1)astejnějakopro h=1místo Y T+ napíšemeey T+.Odhadpakbude X T ()=E(X T+ X T, X T 1,...,X T p+1 ) = φ 0 + φ 1 E(X T+1 X T, X T 1,...,X T p+1 )+φ X T + +φ p X T p+ = φ 0 + φ 1 XT (1)+φ X T + +φ p X T p+. Chybavpředpovědi X T+ jeproto e T ()=X T+ X T ()=φ 0 + φ 1 X T+1 + φ X T + +φ p X T p+ + Y T+ φ 0 φ 1 XT (1) φ X T φ p X T p+ = φ 1 (X T+1 X ) T (1) + Y T+ = φ 1 e T (1)+Y T+ = φ 1 Y T+1 + Y T+. Proveďme nyní tento postup pro přirozené h splňující h < p. Pak X T (h)=φ 0 + φ 1 XT (h 1)+ +φ h 1 XT (1)+φ h X T + +φ p X T p+h, pro obecné h potom h 1 X T (h)=φ 0 + φ i XT (h i)+ i=1 p φ j X T+h j, kdeprázdnýsoučettypu p j=p+1 položímerovennule. Tímtopostupemjsmezkonstruovalibodovépředpovědihodnotřady {X t }(to znamená,žepředpovědijsoučísla).pokudznámerozděleníchyby e T (h),můžeme sestrojitintervalovoupředpověďpro X T+h ospolehlivosti1 α. Nechť Y t N(0, σ ).Protože {Y t }jebílýšum,jsouveličiny Y t nekorelované. Jednou z vlastností normálního rozdělení přitom je, že nekorelovanost je ekvivalentní nezávislosti. Je známo, že pro nezávislé náhodné veličiny s normálním rozdělením Z 1 N(µ 1, σ1 ), Z N(µ, σ ) platí, že jejich součet má normální rozdělení N(µ 1 + µ, σ1 + σ ),viz.[1].přidáme-liktomudalšívlastnostpravděpodobnostních rozdělení,asice,želineárnítransformace(z µ)/σ N(0,1),kde Z N(µ, σ ), zjistíme,žejsmeschopniurčitrozděleníchybyvpředpovědi e T (h). Pro h=1je e T (1)=X T+1 X T (1)=Y T+1 N(0, σ ),protoplatí ( P u 1 α < X T+1 X T (1) σ j=h < u 1 α P( XT (1) σu 1 α < X T+1 < X T (1)+σu 1 α ) =1 α, ) =1 α, 16

17 kde u 1 α je1 αkvantiln(0,1).mámetakintervalovoupředpověď X T+1.Podobným způsobembudemepostupovatpro h >1.Pro h=ah=3dostaneme ) e T () φ 1 Y T+1 + Y T+ N (0, σ (1+φ 1 ), ( e T (3) φ 1 e T ()+φ e T (1)+Y T+3 N 0, σ [ 1+φ 1 (1+φ 1 ] ) )+φ. Odtud ( P u 1 α < X T+ X T () ) σ (1+φ 1 ) < u 1 α =1 α, ( P u 1 α < X T+3 X T (3) ) σ ( ) < u 1+φ 1 α =1 α, 1 (1+φ 1 )+φ odkud opět snadno dopočítáme intervalové předpovědi. Vpraxiovšemnemámepřesnéhodnotyparametrů φ 0,...,φ p,nýbržjejichodhady. Protože tyto odhady jsou konzistentní, jak je ukázáno v[13], funguje pro ně předchozí postup asymptoticky pro velikost výběru T.. MA modely Druhým modelem, který je rovněž užitečný při modelování časových řad, je model klouzavých součtů(ma moving average). Definice.4.Nechť {Y t }jebílýšum(viz.definice1.9).řekneme,žečasovářada {X t }seřídímamodelemřádu q N,jestližeplatí X t = θ 0 + Y t θ 1 Y t 1 θ q Y t q, kde θ 0,...,θ q R, θ q 0. UvažujmemodelMA(1),tedy X t = θ 0 + Y t θ 1 Y t 1.Pak EX t = θ 0 +EY t θ 1 EY t 1 = θ 0 adíkynekorelovanosti {Y t } var X t =var Y t + θ1 var Y t 1= σ + θ1 σ = σ (1+θ1 ). Podobně pro model MA(q) dostaneme EX t = θ 0 +EY t θ 1 EY t 1 θ q EY t q = θ 0, var X t =var Y t + θ1var Y t 1 + θvar Y t + +θqvar Y t q = σ (1+θ1+ +θq). Jak bude ukázáno dále, každý MA model je stacionární. 17

18 Identifikace modelu a určení řádu UvažujmenyníopětmodelMA(1),tedy X t = θ 0 +Y t θ 1 Y t 1.Potompro l 1, l N platí Pro autokorelační funkci z definice platí X t l X t = θ 0 X t l + Y t X t l θ 1 Y t 1 X t l. γ(l)=ex t l X t EX t l EX t = θ 0 EX t l +EY t X t l θ 1 EY t 1 X t l θ 0. Svyužitímnekorelovanosti X t l a Y t dostaneme atedy γ(l)=θ 0 EX t l +EY t EX t l θ 1 EY t 1 X t l θ 0 = θ 1 EY t 1 X t l Pro autokorelační funkci z toho plyne, že γ(l)=0 l >1 = θ 1 σ l=1. ρ(l)=1 l=0, = θ 1 l=1, (1+θ1) =0 l >1. Tento výsledek je možné zobecnit pro model MA(q), čímž dostaneme ρ(l) 0 l q, =0 l > q, viz. například[13]. Toznamená,ževeličina Y t ovlivňujepouze qhodnot X t,...,x t+q amodelma má takzvaně konečnou paměť. Protože ACF je funkcí rozdílu časů, střední hodnota je konstantní a rozptyl konečný, je každý model MA stacionární. Parciální autokorelační funkce modelu MA(q) je řešením diferenční rovnice q-tého řádu a má proto tvar tlumeného sinu nebo exponenciály, případně jejich kombinace, viz.[13]. Proto nabývá nenulových hodnot v nekonečně mnoho bodech. Připomeňme, že pro model MA(q) s autokorelační funkcí ρ a parciální autokorelační funkcí α platí, že α(l) 0 pronekonečněmnoho l ρ(l)=0 pro l > q. Mají-li tedy výběrové ACF a PACF takovýto průběh, identifikujeme MA model řádu q. 18

19 MA() s parametry 1, MA(4) s parametry 1,, 3, 5 ACF ACF a) b) MA() s parametry 1, MA(4) s parametry 1,, 3, 5 Partial ACF Partial ACF c) d) Obrázek.3: Grafy výběrové ACF a PACF simulovaných řad řídících se modely MA()sparametry θ 1 = 1, θ = ama(4)sparametry θ 1 = 1, θ =, θ 3 = 3, θ 4 = 5. 19

20 Odhadování parametrů V modelech MA se běžně používají odhady metodou maximální věrohodnosti. K tomu jetřebapředpokládat,žeznámerozděleníbíléhošumu {Y t }.Parametrylzeodhadovat také použitím metody nejmenších čtverců, zmíněné v předchozí kapitole. Zde uvedeme metodu maximální věrohodnosti, která je sice náročnější na výpočetní výkon, ale dává přesnější výsledky. Podrobnější informace o používaných metodách může čtenář nalézt například v[13]. Mějmepozorovanéhodnotyveličin X 1,..., X T aoznačmeje x 1,..., x T.Chceme odhadovatparametry θ 0,..., θ q vmodeluma(q).zestacionarityvíme,žestřední hodnotaex t = θ 0 jekonstantní.budemeprotobezújmynaobecnostipředpokládat, že θ 0 =0(jinakbychomodečetliod X t výběrovýprůměr X T ). Označme F t 1 σ-algebrugenerovanounáhodnýmiveličinami X t 1,..., X 1.Jinými slovy, F t 1 obsahuje informaci o hodnotách řady {X t } až do času t 1. Označme θ=(θ 0,..., θ q )vektorparametrůmodeluma(q).rádibychomnazákladě znalosti F t 1 vyjádřilihodnoty Y t 1,...,Y 1.Tytohodnotyoznačímepronázornost y t 1,...,y 1.Díkypředpokládanémumodelumůžemepotompsát y 1 = x 1, y = x + θ 1 y 1, y 3 = x 3 + θ 1 y + θ y 1, Nyní můžeme psát(z vlastností podmíněné hustoty): f(y T,..., y 1 θ)=f(y T,...,y θ, F 1 )f(y 1 θ). = f(y T,...,y 3 θ, F )f(y θ, F 1 )f(y 1 θ). = f(y T θ, F T 1 )f(y T 1 θ, F T ) f(y θ, F 1 )f(y 1 θ), kde f(y T,..., y 1 θ)jesdruženáhustotaveličin Y T,...,Y 1 podmíněnáparametrem θ a f(y t θ, F t 1 )jehustotanáhodnéveličiny Y t podmíněnávektorem θaσ-algebrou F t 1. Protožezpředpokladůznámerozděleníveličin Y t (zdefinicebíléhošumustejné pro všechna t), dosadíme za f hustotu tohoto rozdělení. Máme tedy sdruženou hustotuveličin Y T,...,Y 1 vyjádřenoupomocínámznámýchhodnot x T,...,x 1 avektoru parametrů θ, který neznáme a chceme ho odhadnout. Myšlenka metody maximální věrohodnostije,ženámipozorovanéhodnoty x T,..., x 1 atedyiznichvypočítané y T,...,y 1 jsou nejvícepravděpodobné.protosdruženáhustotaveličin Y T,...,Y 1 mábýtprotytohodnotymaximálníaodhadem θbudetakovývektor θ=( θ 0,..., θ q ), který tuto sdruženou hustotu maximalizuje. Tentoodhadvzniklvsituaci,kdyjsmepoložili y t =0pro t 0,říkásemuproto podmíněnýodhadmetodoumaximálnívěrohodnosti.hodnoty y 1 q,..., y 0 vstupují 0

21 do maximalizované hustoty proto, že v modelu MA(q) platí y 1 = x 1 + θ 1 y 0 + θ y 1 + +θ q y 1 q, y = x + θ 1 y 1 + θ y 0 + +θ q y q,. Druhámožnostjeodhadnouthodnoty y 1 q,...,y 0,kterépovažujemezaneznámé konstanty,společněsparametrem θ=(θ 0,...,θ q ). Označme y=(y 1 q,...,y 0 ).Pakpodobnějakovpředchozím f(y T,...,y 1 θ, y)=...=f(y T θ, F T 1, y)f(y T 1 θ, F T, y) f(y 1 θ, y), což je opět funkce, kterou chceme maximalizovat v argumentech θ a y. Výsledkem budouodhady θ=( θ 0,..., θ q )a ŷy=(ŷ 1 q,..., ŷ 0 ),znichžpotřebujemepouze θ,ale parametr y nám posloužil ke zpřesnění odhadu, kterému se proto někdy říká přesný odhad metodou maximální věrohodnosti. Testování adekvátnosti modelu Testování adekvátnosti modelu je opět založeno na testování nekorelovanosti reziduí {Ŷt},kde Ŷt= X t X t.ktomulzevyužítmetodypopsanéuarmodelůvčásti.1. Pokud známe rozdělení bílého šumu, je možné testovat také hypotézu o tom, že rezidua odpovídají tomuto rozdělení. Pokud ji nezamítneme, stejně jako hypotézu o nekorelovanosti, neliší se rezidua závažně od bílého šumu a model pokládáme za adekvátní. Předpovídání Uvažujmeprořadu {X t }modelma(q).nechť X T,...,X 1 jsouopětznáméhodnoty {X t }.Prohorizontpředpovědi h=1chcemepředpovědět X T+1.VmodeluMA(q), vněmžpředpokládámeex t =0,platí X T+1 = Y T+1 θ 1 Y T θ q Y T+1 q. Předpovědí X T+1 pakpodobnějakouarmodelůrozumíme X T (1)=E(X T+1 X T,...X 1 )= θ 1 Ŷ T θ q Ŷ T+1 q, kde Ŷtjereziduumodhadnutéhomodeluvčase t,tedy Ŷt= X t X t. Pro h=potom Pro obecné h platí X T+ = Y T+ θ 1 Y T+1 θ q Y T+ q, X T ()=E(X T+ X T,...X 1 )= θ Y T θ q Y T+ q. X T+h = ŶT+h θ 1 Ŷ T+h 1 θ q Ŷ T+h q, q X T (h)= θ h Ŷ T θ q Ŷ T+h q = θ i Ŷ T+h i, 1 i=h

22 kdeopětprázdnýsoučetdodefinujemenulou.vidíme,žepro h > qjepředpověď X T (h)=0,cožjeex t.jakvímezprůběhuacf,veličiny X 1,...,X T nijakneovlivňujíveličiny X T+q+1, X T+q+,...,aprotoznalost X 1,...,X T nemůženicnapovědět obudoucíchhodnotách X T+q+1, X T+q+, ARMA modely V některých aplikacích se můžeme dostat do situace, kdy při aplikaci AR nebo MA modelu budeme pro adekvátní popis časové řady potřebovat vysoký řád modelu. ZtohotodůvodusezavádíspojeníARaMAmodelů,tzv.ARMAmodel. Definice.5.Nechť {Y t }jebílýšuma{x t }jestacionárníčasovářada.řekneme, žečasovářada {X t }seřídíarma(p, q)modelem, p, q N {0},jestližeplatí X t = φ 0 + p φ i X t i i=1 q θ j Y t j + Y t, j=1 kde φ 0,..., φ p, θ 1,..., θ q R, φ p 0aθ q 0. V literatuře se často používá zápis pomocí operátoru zpětného posunu: Definice.6.Operátor B: X t X t 1 senazýváoperátorzpětnéhoposunu(backshift operator). Model ARMA(p, q) zapsaný pomocí operátoru zpětného posunu vypadá následovně: (1 φ 1 B φ B φ p B p )X t = φ 0 +(1 θ 1 B θ B θ q B q )Y t. Polynom φ(z)=(1 φ 1 z φ z φ p z p )nazvemecharakteristickýmpolynomem ARsložkyARMA(p, q)modelu.jakjeukázánonapříkladv[13],arma(p, q)model je stacionární, pokud je jeho AR složka stacionární(ma složka je stacionární vždy). To nastává, jestliže jsou všechny kořeny charakteristického polynomu AR složky v absolutní hodnotě větší než jedna. Identifikace modelu a určení řádu Jakužbylořečenovúvodukapitoly,vpraxičastopoužívámeARMAmodelvsituacích, kdy jsme identifikovali AR nebo MA model vysokého řádu. V takových případech ARMA model k adekvátnímu popsání dané časové řady potřebuje tak vysoký řád. UrčovánířádůneníuARMAmodelutakjednoduchéjakouARaMAmodelů anepomůženámsnímaniacfapacf.protožepodrobnýpopismetodpoužitelnýchkurčenířádůarmamodelubynijaknepřispělkúčelutétopráce,uvedeme zde pouze stručný popis s odkazem na literaturu, v níž může zájemce nalézt bližší informace. Standardně se uvádí metoda FPE(final prediction error) a AIC(Akaike s information criterion). Metoda FPE vyjádří střední čtvercovou chybu v předpovědi

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme,

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme, Úloha 1: V naší studii se zabýváme poptávkovou funkcí životního pojištění, vycházíme z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

4ST432. Kamil Kladívko. 1 Cena a výnos aktiva, volatilita 2. 1.1 Odhad očekávaného výnosu, interval spolehlivosti, test hypotézy...

4ST432. Kamil Kladívko. 1 Cena a výnos aktiva, volatilita 2. 1.1 Odhad očekávaného výnosu, interval spolehlivosti, test hypotézy... 4ST432 Modely ekonomických a finančních časových řad Kamil Kladívko Zadání úkolů a data najdete v souboru zadani432.xlsx. Výpočty jsou v souboru solution432.xlsx. Obsah 1 Cena a výnos aktiva, volatilita

Více

REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD

REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD Politická ekonomie 45: (2), str. 281-289, VŠE Praha, 1997. ISSN 0032-3233. (Rukopis) REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD Josef ARLT, Vysoká škola ekonomická, Praha 1. Úvod Pro modelování

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Podkladové údaje Korelační matice Odhad lineárního regresního modelu (LRM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

VYUŽITÍ WAVELETŮ PŘI ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD 2. PRAKTICKÁ ČÁST

VYUŽITÍ WAVELETŮ PŘI ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD 2. PRAKTICKÁ ČÁST EMI, Vol., Issue 3, ISSN: -99 (Print), 5-353X (Online) VYUŽITÍ WAVELETŮ PŘI ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD. PRAKTICKÁ ČÁST USING WAVELETS BY TIME SERIES ANALYSIS. PRACTICAL PART Vratislava Mošová Moravská vysoká

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme motivační příklad Párový Párový Příklad (Platová diskriminace) firma provedla šetření s cílem zjistit, zda dochází k platové diskriminaci žen Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni BAYESOVSKÉ ODHADY V NĚKTERÝCH MODELECH Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Slunce Řidiči IQ Regrese Přežití Obvyklý model Pozorování X = (X 1,..., X

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl Odhad simultánního modelu (SM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná studijní pomůcka MM2011 Úvodní obrazovka Gretlu

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více