BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Martin Jusko Modely volatility ARCH a GARCH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Martin Jusko Modely volatility ARCH a GARCH"

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Martin Jusko Modely volatility ARCH a GARCH Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Šárka Došlá Studijní program: Matematika, Obecná matematika 009

2 Na tomto místě bych rád poděkoval Mgr. Šárce Došlé za množství drahocenných rad a příjemnou spolupráci při psaní bakalářské práce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 8. května 009 Martin Jusko

3 Obsah 1 Základní pojmy a tvrzení 6 ARMA modely 10.1 ARmodely MAmodely ARMAmodely... 3 Modely volatility ModelARCH ModelGARCH Aplikace na konkrétní časové řady PoužitéfunkcevprogramuR Simulovanádata Kurzčeskékorunyvůčieuru BurzovníindexPX Literatura 57 3

4 Název práce: Modely volatility ARCH a GARCH Autor: Martin Jusko Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Šárka Došlá vedoucího: Abstrakt: V předložené práci se věnujeme pojmu volatility a základním modelům volatility ARCH a GARCH. Nejprve jsou popsány ARMA modely, které k modelům volatility přirozeně vedou. Poté jsou představeny modely volatility ARCH a GARCH, jsou zkoumány jejich vlastnosti a metody odhadu. Podstatnou částí práce jsou podrobně popsané aplikace těchto modelů na konkrétní časové řady(na simulovaná a reálná data) v programu R. Analyzována jsou data zachycující vývoj pražského burzovního indexu PX a směnného kurzu české koruny vůči euru. Cílem práce je poskytnout čtenáři vybavenému základními poznatky z pravděpodobnosti a statistiky dostatek teoretických znalostí a praktických dovedností k pochopení modelů a jejich samostatné aplikaci. Klíčová slova: volatilita, ARCH, GARCH Title: ARCH and GARCH volatility models Author: Martin Jusko Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Šárka Došlá Supervisor s address: Abstract:Theworkisdevotedtotheconceptofvolatilityandthebasicmodelsofvolatility ARCH and GARCH. First, ARMA models, which lead naturally to the volatility models, are explained. Then the ARCH and GARCH volatility models are introduced and their properties and estimation methods are discussed. The substantial part of this work is a detailed application of the described models to some particular timeseries(bothsimulatedandrealdata)usingtherprogram.weanalyzethereal data capturing the evolution of Prague stock index PX and exchange rate between CzechcrownandEuro.Thekeyaspectoftheworkistoprovideenoughtheoretical knowledge and practical skills for a reader to fully understand the mentioned models andtobeabletoapplytheminpractice. Keywords: volatility, ARCH, GARCH 4

5 Úvod Modelování časových řad se ve velké míře využívá například ve finančnictví, pojišťovnictví nebo ekonomii. Volatilita neboli kolísavost časových řad se nejčastěji studuje právě v těchto oborech, neboť určitým způsobem reflektuje například rizikovost cenných papírů nebo náladu na trhu. Aplikaci proto nachází například při oceňování opcí nebo řízení rizika. Cílem této práce je zavést pojem volatility, definovat základní modely ARCH a GARCH pro její modelování a předvést postupy při jejich praktickém použití. K tomu je třeba představit některé základní pojmy a definovat ARMA modely, které se často aplikují na studované řady před vlastním modelováním volatility. U čtenáře se předpokládají základní znalosti z pravděpodobnosti a statistiky, výhodou mohou být vědomosti z teorie pravděpodobnosti a z teorie náhodných procesů. Po prostudování práce by měl čtenář rozumět podstatě modelů ARMA, ARCH agarchabýtschopenjeaplikovatnakonkrétnídata. V kapitole 1 jsou definovány základní pojmy používané v celém textu. Kapitola je věnována ARMA modelům, které jsou hojně používány pro modelování časových řad a jejichž pochopení je zásadní pro porozumění modelům volatility, které jsou studovány v kapitole 3. V kapitole 4 je čtenář nejprve seznámen s některými funkcemi programu R, načež jsou předvedeny aplikace získaných znalostí na konkrétní časové řady. Pro ilustraci vlastností představených modelů a předvedení různých funkcí programu R jsou použita simulovaná data. Praktická aplikace je poté předvedena na reálných datech. Tato práce, použitá data, obrázky, zdrojové kódy a některé výstupy programu R z kapitoly 4 jsou dostupné na přiloženém CD a na internetové adrese juskm6am/bc. 5

6 Kapitola 1 Základní pojmy a tvrzení V této kapitole definujeme základní pojmy týkající se časových řad potřebné pro pochopení dále probíraného tématu. Definice 1.1. Časovou řadou rozumíme posloupnost náhodných veličin {X t : t T },kde T R.Index tznačíčas,vněmžjepozorovánahodnota X t. Vdalšímtextubudemepodoznačením {X t }uvažovat T N.Budemetaképracovatpouzesreálnýmičasovýmiřadami,tojestpřípad,kdynáhodnéveličiny X t tvořícířadu {X t }nabývajípouzereálnýchhodnot.poznamenejme,žeteorienáhodných procesů obecně pracuje s komplexními časovými řadami, jako je tomu například v[13]. Definice1..Nechťčasovářada {X t : t T }splňujeext < provšechna t T. Pakdefinujemeautokovariančnífunkci γ(, )řady {X t }předpisem γ(p, r)=cov(x p, X r )=E(X p EX p )(X r EX r ), p, r T. Autokorelačnífunkci(ACF) ρ(, )řady {X t }definujemejako ρ(p, r)= cov(x p, X r ), p, r T. var(xp )var(x t ) Hodnoty autokorelační funkce se také někdy nazývají korelační koeficienty. Definice1.3.Řekneme,žečasovářada {X t : t T }jestriktněstacionární,jestliže prolibovolné n N,provšechna x 1,...,x n R,provšechna t 1,...,t n Taprolibovolné h Rtakové,že t k + h Tpro1 k n,platí,že P(X t1 x 1,..., X tn x n )=P(X t1 +h x 1,...,X tn+h x n ). Řečeno slovy, definice striktní stacionarity požaduje, aby libovolná skupina náhodných veličin z časové řady měla v případě libovolného časového posunu stejné rozdělení jako neposunutá. To je poměrně silná podmínka. Zavedeme tedy ještě pojem slabé stacionarity. 6

7 Definice1.4.Časovářada {X t : t T }jenazývánaslaběstacionární,jestližeplatí (i)ex t <, (ii)ex t = µprovšechna t Tanějaké µ R, (iii)cov(x p, X r )=γ( p r )provšechna p, r T. Bod(iii)vpředchozídefiniciznamená,žeautokovariančnífunkce {X t }závisí pouze na vzdálenosti indexů. U stacionárních časových řad proto autokovarianční funkcipíšemejensjednímargumentem,kterýudávátutovzdálenost: γ(p, r) ozn. = γ(l) pro l= p r. Poznámka 1.5. Je-li časová řada striktně stacionární s konečnými druhými momenty, pak je zřejmě splněna definice slabé stacionarity. Stacionární časovou řadou budeme v dalším textu rozumět slabě stacionární řadu. Implicitně tak předpokládáme konečnost prvních dvou momentů. V dalším textu se zabýváme stacionárními časovými řadami. Více informací o nestacionárních časových řadách najde čtenář například v[7]. Poznámka 1.6.Ustacionárníčasovéřadyplatívar(X t ) = cov(x t, X t ) = γ(0). Autokorelační funkce takové řady(definice 1.) má potom tvar ρ(p, r)= γ( p r ) γ( p r ) ozn. = = ρ(l), kde l= p r, p, r T. γ(0)γ(0) γ(0) Definice1.7.Nechť {X t : t N}jestacionárníčasovářada.Označme X 1 projekci X 1 dolineárníhoprostoru Pgenerovanéhonáhodnýmiveličinami {X,...,X k },kde kjepřirozenéčíslo.existujítedyčísla c,...,c k Rtaková,že X 1 = c X + +c k X k a X 1 X 1 X,...,X k. Podobněoznačme X k+1 projekci X k+1 dolineárníhoprostoru P.Parciálníautokorelačnífunkci(PACF)časovéřady {X t }definujemejako α(k)=ρ(1) k=1 =corr(x 1 X 1, X k+1 X k+1 ) k >1. Projekce X k+1 tedyvyjadřuje X k+1 pomocíveličin X,...,X k a X 1 rovněžvyjadřuje X 1 pomocítěchtoveličin.protožena X k+1 i X 1 majívlivještějinénáhodné veličiny,nejednáseopřesnévyjádření.pokudby X 1 bylanekorelovanás X,...,X k, potombyprojekce X 1 bylanulovýmprvkemprostoru PaX 1 X 1 = X 1.Vopačném případě X 1 = X 1 +E 1,kde E 1 jenějakánáhodnáveličinynekorelovanásx,...,x k (atedynulovýprvekprostoru P).Podobně X k+1 = X k+1 +E k+1.pacfvbodě k pakvyjadřujekorelačníkoeficientmezi E 1 a E k+1,tedyvztahmezi X 1 a X k+1,který nemůžebýtvyjádřenskrze X,...,X k.protože {X t }jestacionární,platírovnost corr(x 1 X 1, X k+1 X k+1 )=corr(x h X h, X k+h X k+h ) atedy α(k)vyjadřujetentovztahprokaždédvěnáhodnéveličinyz{x t },vzdálené odsebeočas k. 7

8 Definice1.8.Pronaměřenéhodnoty X 1,...,X n časovéřady,ukterépředpokládáme slabou stacionaritu, definujeme výběrovou autokorelační funkci ˆρ( ) předpisem ˆρ(l) = n t=l+1 (X t X n )(X t l X n ) n t=1 (X t X n ), 0 l n 1 kde X n jevýběrovýprůměrdefinovanýjako X n = 1 n n t=1 X t. Výběrová ACF ˆρ slouží jako odhad ACF ρ. Za určitých předpokladů lze ukázat, že rozdíl ˆρ(l) ρ(l) má asymptoticky normální rozdělení, viz.[13], a to je možné využít protestováníhypotézy H 0 : ρ(l)=0prokonkrétní l 1.Vespeciálnímpřípadě,kdy data odpovídají realizaci Gaussovského bílého šumu, leží ˆρ(l) s pravděpodobností 95%vintervalu( 1,96/ n,1,96/ n).tentointervalbudemenazývatintervalem spolehlivosti pro hodnoty výběrové ACF. V grafu výběrové ACF bývá zpravidla vyznačen přerušovanou čárou, jak je vidět například na obrázku.1. Leží-li výběrová ACF ˆρ(l) v tomto intervalu, můžeme odpovídající ρ(l) považovat za nulové. Předchozí odstavec popisuje testování hypotézy o nulovosti jednotlivých korelačních koeficientů, ovšem v dalších kapitolách budeme při ověřování adekvátnosti modelů často používat Portmanteaův test, který testuje hypotézu o nulovosti většího množství korelačních koeficientů najednou. Uvedeme zde Ljung Boxovu testovací statistiku publikovanou v[1]. Tato statistika vznikla jako modifikace Box Piercovy statistiky, odvozené v[3], jež při malé velikosti výběru n způsobuje menší sílu testu, jakjepopsánov[1]. Portmanteaův test (Ljung Boxova statistika). Nechť X 1,...,X n jsou pozorovanéhodnotyčasovéřady {X t }sautokorelačnífunkcí ρ( ).Zaplatnostihypotézy H 0 : ρ(1)=ρ()= =ρ(m)=0platí,že kde Q(m)=n(n+) m l=1 ˆρ(l) n l L značíkonvergencivdistribucipro n. L χ m, m N, Číslo m v předchozí větě udává počet korelačních koeficientů, které testujeme. Výsledky simulačních studií ukazují, že optimální volba m je přibližně ln(n), jak je uvedenov[15]. Definice1.9.Časovářada {X t }senazývábílýšum,jestliže {X t }jeposloupnost nekorelovaných stejně rozdělených náhodných veličin s nulovou střední hodnotou askonečnýmrozptylem σ.bílýšumznačímewn(0, σ )(whitenoise).má-linavíc X t normálnírozdělenín(0, σ ),nazýváse {X t }Gaussovskýbílýšum. Při práci s finančními časovými řadami se většinou místo cen aktiv pracuje s jejich výnosy. Z následujících definic uvidíme, že pro investora poskytuje výnos stejnou informaci jako samotná cena aktiva, navíc může být uváděn v procentech a je tak dokonce jasnějším ukazatelem výhodnosti investice. 8

9 Definice1.10.Buď P t cenaaktivavčase t.hrubýmvýnosemaktivarozumímečíslo 1+R t = P t P t 1. Podletétodefiniceje R t P t 1 částka,kterouvydělámevlastněnímaktivavčasovém intervalu(t 1, t).jinýmislovy, R t vyjadřujeprocentuálníziskzaktivazačasový interval(t 1, t).tatočástkasenazýváčistývýnosaktiva.vpraxisečastopoužívá tzv. logaritmický výnos. Definice Přirozený logaritmus hrubého výnosu aktiva nazveme logaritmický výnosaoznačímehojako r t.platíproněj r t =ln(1+r t )=ln P t P t 1 =ln(p t ) ln(p t 1 ) ozn. = p t p t 1. Vdalšímtextubudemeproobecnostčasovéřadyznačitjako {X t : t N},vefinančníchaplikacíchsevšakčastopoužívajířadylogaritmickýchvýnosů {r t : t N}. Pokudsičtenářbudechtítpředstavitaplikacivefinancích,můžesimísto X t dosadit r t. 9

10 Kapitola ARMA modely U finančních časových řad se často setkáváme s tím, že hodnoty autokorelační funkce nejsou nulové a náhodné veličiny tvořící studovanou řadu jsou tedy korelované. To můžeme interpretovat tak, že hodnota řady v čase t je ovlivněna hodnotami v předcházejících časech. Této vlastnosti využívají matematické modely k přesnějšímu popisu a předpovídání průběhu časových řad, což jsou dva jejich hlavní úkoly. Mezi často používané modely pro finanční časové řady patří autoregresní(ar autoregressive) modely a modely s klouzavými součty(ma moving average) a jejich kombinace, tzv. ARMA modely. V tomto textu se věnujeme pouze stručnějšímu a spíše prakticky zaměřenému přehledu základních vlastností ARMA modelů. Pro více podrobných informací o ARMA modelech může čtenář nahlédnout například do[10] nebo[13]..1 AR modely Autoregresnímodelypředpokládají,žehodnotačasovéřadyvčase tsedáažnanáhodnou složku vyjádřit jako lineární funkce hodnot v předcházejících časech. V námi probíraných modelech je tato náhodná složka bílý šum. Definice.1.Nechť p N, φ 0,...,φ p R, φ p 0aY t jebílýšum.řekneme,že časovářada {X t }seřídíautoregresnímmodelemřádu p(značímear(p)),jestliže platí X t = φ 0 + φ 1 X t 1 + +φ p X t p + Y t. Jak je ukázáno například v[13], model AR(p) je stacionární, jestliže všechny kořeny polynomu φ(z)=1 φ 1 z φ z φ p z p jsou v absolutní hodnotě větší než jedna. Je-liřada {X t }zpředchozídefinicestacionární,můžemeprovéstnásledujícívý- 10

11 početstředníhodnotyex t = =EX t p = µ: EX t = φ 0 + φ 1 EX t 1 + +φ p EX t p µ=φ 0 + φ 1 µ+ +φ p µ φ 0 = µ(1 φ 1 φ φ p ) φ 0 µ=ex t =. 1 φ 1 φ φ p Autoregresní modely mají řadu dalších vlastností, které se dají studovat. My se zde budeme zabývat jen těmi, které nám pomohou na cestě k modelům volatility. Zájemce o podrobnější informace o vlastnostech AR modelů budiž odkázán na[13] nebo na[10]. Základní úlohy, které řešíme při aplikaci matematických modelů na časovou řadu, jsou určení(identifikace) modelu a jeho řádu, odhad parametrů v modelu a posouzení adekvátnosti odhadnutého modelu. Ve zbytku této podkapitoly se budeme věnovat těmto úlohám a nastíníme některé z metod, které se používají k jejich řešení. Identifikace modelu a určení řádu Dá se ukázat, že autokorelační funkce AR(p) modelu je řešení diferenční rovnice p- tého řádu, viz.[13]. Proto její graf vypadá jako graf klesající exponenciály nebo tlumeného sinu, případně jejich kombinace, což ilustruje obrázek.1. Autokorelační funkce tak má nekonečně mnoho nenulových hodnot. Naopak parciální autokorelační funkce AR modelu nabývá jen konečně mnoha nenulových hodnot, což bude ukázáno později. Toho se dá využít v situaci, kdy máme časovou řadu, kterou chceme modelovat, a rozhodujeme se, jaký model použít. Dejme tomu, že jsme pro studovanou řadu na základě průběhu výběrové ACF apacfidentifikovaliarmodelarádibychomurčiliřád p.ktomutoúčelupoužijeme užitečnou vlastnost parciální autokorelační funkce AR modelu, kterou nyní odvodíme. Uvažujme AR model řádu p ve tvaru X t = φ 0 + φ 1 X t 1 + +φ p X t p + Y t. Zvolme n > p.vzhledemkdanémumodelujeprojekce X n+1 doprostoru Pgenerovaného {X,..., X n }rovna X n+1 = φ 0 + φ 1 X n + +φ p X n p+1.dáleprojekce X 1 do Pje X 1 = f(x,...,x p+1 ),pronějakoulineárnífunkci f,neboť X 1 senaposledy (explicitně)vyskytujevzápisu X p+1 = φ 0 + φ 1 X p + +φ p X 1.Potom α(n)=corr(x 1 X 1, X n+1 X n+1 )=corr(x 1 f(x,..., X p+1 ), Y n+1 ). Zdefinicemodeluplyne,ževeličiny X p+1,..., X 1 mohoubýt(skrzerekurzi)vyjádřenypomocí Y p+1,...,y 1,tedy X 1 f(x,..., X p+1 )můžemenapsatjakonějakou lineárnífunkci g(y 1,...,Y p+1 ).Proto cov(x 1 f(x,...,x p+1 ), Y n+1 )=cov(g(y 1,...,Y p+1 ), Y n+1 )=0, 11

12 AR(1) s parametrem 0.8 AR() s parametry ACF ACF a) b) AR(1) s parametrem 0.5 AR() s parametry 0.5, 0.5 ACF ACF c) d) Obrázek.1: Grafy výběrové ACF simulovaných řad řídících se modely a) AR(1) sparametrem φ 1 = 0.8,b)AR()sparametry φ 1 = 0.8, φ =0.,c)AR(1) sparametrem φ 1 =0.5ad)AR()sparametry φ 1 =0.5, φ =

13 neboť n > p a Y 1,...,Y n+1 jsou z definice bílého šumu nekorelované. Pro n > pjetedyhodnotapacfčasovéřadyřídícísemodelemar(p)vbodě n nulová. Z předchozího postupu vidíme, že pro n p dostaneme stejným postupem α(n)= =cov(g(y 1,...,Y p+1 ), Y n+1 ) 0. Pro výpočet parciální autokorelační funkce existují metody založené na řešení soustavy rovnic, ve které figuruje autokorelační funkce. Podrobnosti zde nebudeme uvádět, případný zájemce najde bližší informace v[13]. Výběrovou PACF dostaneme dosazením výběrových korelačních koeficientů namísto korelačních koeficientů do zmíněné soustavy rovnic a budeme ji značit ˆα. VýběrováPACFjeodhademPACF.PodobnějakouACF,iuPACFlzezaurčitých podmínek určit asymptotické rozdělení rozdílu ˆα(n) α(n), viz.[13], a testovat hypotézu H 0 : α(n)=0propevné n 1.Interval( 1,96/ n,1,96/ n)jevgrafech výběrové PACF znázorněn stejně jako u ACF, což můžeme vidět na obrázku.. Leží-li výběrová PACF ˆα(n) v tomto intervalu, který budeme nazývat intervalem spolehlivosti, můžeme odpovídající α(n) považovat za nulové. Připomeňme, že pro model AR(p) s autokorelační funkcí ρ a parciální autokorelační funkcí α platí, že ρ(l) 0 pronekonečněmnoho l α(l)=0 pro l > p. Předchozí výsledky dávají návod pro určení řádu AR modelu. Je-li výběrová PACF zkoumané časové řady, u které jsme podle průběhu výběrové ACF identifikovali AR model,takzvaněuseknutávbodě p(tzn.nenulovávbodě panulovázaním),použijeme AR(p) model. Odhadování parametrů Proodhadováníparametrů φ 0,...,φ p var(p)modelusedápoužítmetodanejmenších čtverců(lse least squares estimate), momentová metoda a v případě, že známe rozděleníbíléhošumu Y t,takémetodamaximálnívěrohodnosti(mle maximum likelihood estimate). Posledně jmenované se budeme podrobněji věnovat v dalších kapitolách, zde jen v krátkosti uvedeme metodu nejmenších čtverců. Více informací čtenář nalezne například v[13] nebo v[7]. Definice..Nechť X 1,...,X T jsoupozorovanéhodnotyčasovéřady {X t },uníž předpokládáme model AR(p) ve tvaru X t = φ 0 + φ 1 X t 1 + +φ p X t p + Y t = X t (φ)+y t. Odhademparametru φ=(φ 0,...,φ p )metodounejmenšíchčtvercůrozumíme φ=( φ 0,..., φ p )=argmin φ T t=p+1 ( X t X t (φ)). Řadu { X t } = {X t ( φ)}nazvemeodhadnutýmodel.číslo Ŷt = X t X t nazveme reziduum odhadnutého modelu v čase t. 13

14 AR(1) s parametrem 0.8 AR() s parametry 0.5, 0.5 Partial ACF Partial ACF a) b) AR() s parametry 0.4, 0.4 AR() s parametry Partial ACF Partial ACF c) d) Obrázek.: Grafy výběrové PACF simulovaných řad řídících se modely a) AR(1) sparametrem φ 1 = 0.8,b)AR()sparametry φ 1 =0.5, φ = 0.5,c)AR() sparametry φ 1 =0.4, φ =0.4ad)AR()sparametry φ 1 =0.1, φ =

15 Testování adekvátnosti modelu Je vhodné posoudit, zda odhadnutý model správně reflektuje odhadovanou časovou řadu(je adekvátní). Odpovídající statistické testy využívají předpokladu, že náhodná veličina Y t jebílýšumwn(0, σ ).Videálnímpřípaděbyplatilo,že X t X t atedy Y t Ŷtprokaždé t {1,..., T }. Chcemeprototestovat,zda Ŷt WN(0, σ ),tedyzdarezidua Ŷt,odhadující chybovousložku Y t,majíblízkokbílémušumu.vtakovémpřípaděbymělybýt výběrovékorelačníkoeficientyřady {Ŷt}statistickynevýznamné.Pokudzgrafuvýběrové ACF vidíme, že se významně od nuly liší, usoudíme, že model není adekvátní a musíme ho vylepšit zvětšením řádu nebo použít jiný model. Leží-li výběrové korelační koeficienty uvnitř intervalu spolehlivosti, znamená to nezamítnutí hypotézy o nulovosti jednotlivých korelačních koeficientů. V takovém případě přistoupíme k testování hypotézy o nulovosti ve sdruženém testu. K tomu můžeme použít Portmanteaův test, uvedený na konci kapitoly 1, ovšem s drobnou modifikací testová statistika Q(m) v případě modelu AR(p) konverguje v distribuci k χ -rozděleníom pstupníchvolnosti,tj. χ m p-rozdělení.jetímreflektována skutečnost, že v modelu bylo odhadováno p parametrů, viz.[15]. Pokud hypotézu běžněnahladině α=0.05 nezamítneme,znamenáto,žekorelačníkoeficienty nejsouodnulytakdaleko,abytobylovrozporushypotézouojejichnulovosti. V takovém případě je považujeme za nulové a odhadnutý model za adekvátní. Předpovídání Nechť X 1,...,X T jsouopětpozorovanéhodnotyčasovéřady {X t },unížpředpokládáme model AR(p) s nyní již známými(v praxi však jen odhadnutými) parametry φ 0, φ 1,...,φ p. Definice.3.Předpovědí X T+h pomocínejmenšístředníčtvercovéchyby(mse mean square error) rozumíme (, X T (h)=argmine X T+h f) f kde fjefunkcepozorovanýchhodnot X 1,...,X T.Číslo hsenazýváhorizontpředpovědi.náhodnouveličinu e T (h) = X T+h X T (h)nazvemechybouvpředpovědi X T+h. Předpověďpro h=1podlepředchozídefinicezískámetakto:provyjádření X T+1 využijemeznalostihodnot X 1,..., X T aparametrůmodeluar(p).dáseukázat,že nejmenší střední chyby ve smyslu předchozí definice dosáhneme tehdy, když v předpovědimísto Y T+1 použijemeey T+1 =0,viz.[10]nebo[13].Tentopostuplzezapsat jako X T (1)=E(X T+1 X T, X T 1,..., X T p+1 )=φ 0 + φ 1 X t + +φ p X T p+1, kdee(x T+1 X T, X T 1,...,X T p+1 )jestřední hodnota X T+1 podmíněnáznalostí hodnot X T, X T 1,...,X T p+1.odpovídajícíchybavpředpovědije e T (1)=X T+1 X T (1)=Y T+1. 15

16 Dosadíme-li proto X T (1) do definice předpovědi za f, je minimalizovaný výraz EYT+1 =var Y T+1=var e T (1)=σ.Ztohoplyne,želepšípředpověďnemůžeme získat, protože rozdíl předpovědi a skutečné hodnoty bude vždy alespoň neznámá složka Y T+1. Podobnězkonstruujemepředpověďpro h=.místo X T+1 použijemepředpověď X T (1)astejnějakopro h=1místo Y T+ napíšemeey T+.Odhadpakbude X T ()=E(X T+ X T, X T 1,...,X T p+1 ) = φ 0 + φ 1 E(X T+1 X T, X T 1,...,X T p+1 )+φ X T + +φ p X T p+ = φ 0 + φ 1 XT (1)+φ X T + +φ p X T p+. Chybavpředpovědi X T+ jeproto e T ()=X T+ X T ()=φ 0 + φ 1 X T+1 + φ X T + +φ p X T p+ + Y T+ φ 0 φ 1 XT (1) φ X T φ p X T p+ = φ 1 (X T+1 X ) T (1) + Y T+ = φ 1 e T (1)+Y T+ = φ 1 Y T+1 + Y T+. Proveďme nyní tento postup pro přirozené h splňující h < p. Pak X T (h)=φ 0 + φ 1 XT (h 1)+ +φ h 1 XT (1)+φ h X T + +φ p X T p+h, pro obecné h potom h 1 X T (h)=φ 0 + φ i XT (h i)+ i=1 p φ j X T+h j, kdeprázdnýsoučettypu p j=p+1 položímerovennule. Tímtopostupemjsmezkonstruovalibodovépředpovědihodnotřady {X t }(to znamená,žepředpovědijsoučísla).pokudznámerozděleníchyby e T (h),můžeme sestrojitintervalovoupředpověďpro X T+h ospolehlivosti1 α. Nechť Y t N(0, σ ).Protože {Y t }jebílýšum,jsouveličiny Y t nekorelované. Jednou z vlastností normálního rozdělení přitom je, že nekorelovanost je ekvivalentní nezávislosti. Je známo, že pro nezávislé náhodné veličiny s normálním rozdělením Z 1 N(µ 1, σ1 ), Z N(µ, σ ) platí, že jejich součet má normální rozdělení N(µ 1 + µ, σ1 + σ ),viz.[1].přidáme-liktomudalšívlastnostpravděpodobnostních rozdělení,asice,želineárnítransformace(z µ)/σ N(0,1),kde Z N(µ, σ ), zjistíme,žejsmeschopniurčitrozděleníchybyvpředpovědi e T (h). Pro h=1je e T (1)=X T+1 X T (1)=Y T+1 N(0, σ ),protoplatí ( P u 1 α < X T+1 X T (1) σ j=h < u 1 α P( XT (1) σu 1 α < X T+1 < X T (1)+σu 1 α ) =1 α, ) =1 α, 16

17 kde u 1 α je1 αkvantiln(0,1).mámetakintervalovoupředpověď X T+1.Podobným způsobembudemepostupovatpro h >1.Pro h=ah=3dostaneme ) e T () φ 1 Y T+1 + Y T+ N (0, σ (1+φ 1 ), ( e T (3) φ 1 e T ()+φ e T (1)+Y T+3 N 0, σ [ 1+φ 1 (1+φ 1 ] ) )+φ. Odtud ( P u 1 α < X T+ X T () ) σ (1+φ 1 ) < u 1 α =1 α, ( P u 1 α < X T+3 X T (3) ) σ ( ) < u 1+φ 1 α =1 α, 1 (1+φ 1 )+φ odkud opět snadno dopočítáme intervalové předpovědi. Vpraxiovšemnemámepřesnéhodnotyparametrů φ 0,...,φ p,nýbržjejichodhady. Protože tyto odhady jsou konzistentní, jak je ukázáno v[13], funguje pro ně předchozí postup asymptoticky pro velikost výběru T.. MA modely Druhým modelem, který je rovněž užitečný při modelování časových řad, je model klouzavých součtů(ma moving average). Definice.4.Nechť {Y t }jebílýšum(viz.definice1.9).řekneme,žečasovářada {X t }seřídímamodelemřádu q N,jestližeplatí X t = θ 0 + Y t θ 1 Y t 1 θ q Y t q, kde θ 0,...,θ q R, θ q 0. UvažujmemodelMA(1),tedy X t = θ 0 + Y t θ 1 Y t 1.Pak EX t = θ 0 +EY t θ 1 EY t 1 = θ 0 adíkynekorelovanosti {Y t } var X t =var Y t + θ1 var Y t 1= σ + θ1 σ = σ (1+θ1 ). Podobně pro model MA(q) dostaneme EX t = θ 0 +EY t θ 1 EY t 1 θ q EY t q = θ 0, var X t =var Y t + θ1var Y t 1 + θvar Y t + +θqvar Y t q = σ (1+θ1+ +θq). Jak bude ukázáno dále, každý MA model je stacionární. 17

18 Identifikace modelu a určení řádu UvažujmenyníopětmodelMA(1),tedy X t = θ 0 +Y t θ 1 Y t 1.Potompro l 1, l N platí Pro autokorelační funkci z definice platí X t l X t = θ 0 X t l + Y t X t l θ 1 Y t 1 X t l. γ(l)=ex t l X t EX t l EX t = θ 0 EX t l +EY t X t l θ 1 EY t 1 X t l θ 0. Svyužitímnekorelovanosti X t l a Y t dostaneme atedy γ(l)=θ 0 EX t l +EY t EX t l θ 1 EY t 1 X t l θ 0 = θ 1 EY t 1 X t l Pro autokorelační funkci z toho plyne, že γ(l)=0 l >1 = θ 1 σ l=1. ρ(l)=1 l=0, = θ 1 l=1, (1+θ1) =0 l >1. Tento výsledek je možné zobecnit pro model MA(q), čímž dostaneme ρ(l) 0 l q, =0 l > q, viz. například[13]. Toznamená,ževeličina Y t ovlivňujepouze qhodnot X t,...,x t+q amodelma má takzvaně konečnou paměť. Protože ACF je funkcí rozdílu časů, střední hodnota je konstantní a rozptyl konečný, je každý model MA stacionární. Parciální autokorelační funkce modelu MA(q) je řešením diferenční rovnice q-tého řádu a má proto tvar tlumeného sinu nebo exponenciály, případně jejich kombinace, viz.[13]. Proto nabývá nenulových hodnot v nekonečně mnoho bodech. Připomeňme, že pro model MA(q) s autokorelační funkcí ρ a parciální autokorelační funkcí α platí, že α(l) 0 pronekonečněmnoho l ρ(l)=0 pro l > q. Mají-li tedy výběrové ACF a PACF takovýto průběh, identifikujeme MA model řádu q. 18

19 MA() s parametry 1, MA(4) s parametry 1,, 3, 5 ACF ACF a) b) MA() s parametry 1, MA(4) s parametry 1,, 3, 5 Partial ACF Partial ACF c) d) Obrázek.3: Grafy výběrové ACF a PACF simulovaných řad řídících se modely MA()sparametry θ 1 = 1, θ = ama(4)sparametry θ 1 = 1, θ =, θ 3 = 3, θ 4 = 5. 19

20 Odhadování parametrů V modelech MA se běžně používají odhady metodou maximální věrohodnosti. K tomu jetřebapředpokládat,žeznámerozděleníbíléhošumu {Y t }.Parametrylzeodhadovat také použitím metody nejmenších čtverců, zmíněné v předchozí kapitole. Zde uvedeme metodu maximální věrohodnosti, která je sice náročnější na výpočetní výkon, ale dává přesnější výsledky. Podrobnější informace o používaných metodách může čtenář nalézt například v[13]. Mějmepozorovanéhodnotyveličin X 1,..., X T aoznačmeje x 1,..., x T.Chceme odhadovatparametry θ 0,..., θ q vmodeluma(q).zestacionarityvíme,žestřední hodnotaex t = θ 0 jekonstantní.budemeprotobezújmynaobecnostipředpokládat, že θ 0 =0(jinakbychomodečetliod X t výběrovýprůměr X T ). Označme F t 1 σ-algebrugenerovanounáhodnýmiveličinami X t 1,..., X 1.Jinými slovy, F t 1 obsahuje informaci o hodnotách řady {X t } až do času t 1. Označme θ=(θ 0,..., θ q )vektorparametrůmodeluma(q).rádibychomnazákladě znalosti F t 1 vyjádřilihodnoty Y t 1,...,Y 1.Tytohodnotyoznačímepronázornost y t 1,...,y 1.Díkypředpokládanémumodelumůžemepotompsát y 1 = x 1, y = x + θ 1 y 1, y 3 = x 3 + θ 1 y + θ y 1, Nyní můžeme psát(z vlastností podmíněné hustoty): f(y T,..., y 1 θ)=f(y T,...,y θ, F 1 )f(y 1 θ). = f(y T,...,y 3 θ, F )f(y θ, F 1 )f(y 1 θ). = f(y T θ, F T 1 )f(y T 1 θ, F T ) f(y θ, F 1 )f(y 1 θ), kde f(y T,..., y 1 θ)jesdruženáhustotaveličin Y T,...,Y 1 podmíněnáparametrem θ a f(y t θ, F t 1 )jehustotanáhodnéveličiny Y t podmíněnávektorem θaσ-algebrou F t 1. Protožezpředpokladůznámerozděleníveličin Y t (zdefinicebíléhošumustejné pro všechna t), dosadíme za f hustotu tohoto rozdělení. Máme tedy sdruženou hustotuveličin Y T,...,Y 1 vyjádřenoupomocínámznámýchhodnot x T,...,x 1 avektoru parametrů θ, který neznáme a chceme ho odhadnout. Myšlenka metody maximální věrohodnostije,ženámipozorovanéhodnoty x T,..., x 1 atedyiznichvypočítané y T,...,y 1 jsou nejvícepravděpodobné.protosdruženáhustotaveličin Y T,...,Y 1 mábýtprotytohodnotymaximálníaodhadem θbudetakovývektor θ=( θ 0,..., θ q ), který tuto sdruženou hustotu maximalizuje. Tentoodhadvzniklvsituaci,kdyjsmepoložili y t =0pro t 0,říkásemuproto podmíněnýodhadmetodoumaximálnívěrohodnosti.hodnoty y 1 q,..., y 0 vstupují 0

21 do maximalizované hustoty proto, že v modelu MA(q) platí y 1 = x 1 + θ 1 y 0 + θ y 1 + +θ q y 1 q, y = x + θ 1 y 1 + θ y 0 + +θ q y q,. Druhámožnostjeodhadnouthodnoty y 1 q,...,y 0,kterépovažujemezaneznámé konstanty,společněsparametrem θ=(θ 0,...,θ q ). Označme y=(y 1 q,...,y 0 ).Pakpodobnějakovpředchozím f(y T,...,y 1 θ, y)=...=f(y T θ, F T 1, y)f(y T 1 θ, F T, y) f(y 1 θ, y), což je opět funkce, kterou chceme maximalizovat v argumentech θ a y. Výsledkem budouodhady θ=( θ 0,..., θ q )a ŷy=(ŷ 1 q,..., ŷ 0 ),znichžpotřebujemepouze θ,ale parametr y nám posloužil ke zpřesnění odhadu, kterému se proto někdy říká přesný odhad metodou maximální věrohodnosti. Testování adekvátnosti modelu Testování adekvátnosti modelu je opět založeno na testování nekorelovanosti reziduí {Ŷt},kde Ŷt= X t X t.ktomulzevyužítmetodypopsanéuarmodelůvčásti.1. Pokud známe rozdělení bílého šumu, je možné testovat také hypotézu o tom, že rezidua odpovídají tomuto rozdělení. Pokud ji nezamítneme, stejně jako hypotézu o nekorelovanosti, neliší se rezidua závažně od bílého šumu a model pokládáme za adekvátní. Předpovídání Uvažujmeprořadu {X t }modelma(q).nechť X T,...,X 1 jsouopětznáméhodnoty {X t }.Prohorizontpředpovědi h=1chcemepředpovědět X T+1.VmodeluMA(q), vněmžpředpokládámeex t =0,platí X T+1 = Y T+1 θ 1 Y T θ q Y T+1 q. Předpovědí X T+1 pakpodobnějakouarmodelůrozumíme X T (1)=E(X T+1 X T,...X 1 )= θ 1 Ŷ T θ q Ŷ T+1 q, kde Ŷtjereziduumodhadnutéhomodeluvčase t,tedy Ŷt= X t X t. Pro h=potom Pro obecné h platí X T+ = Y T+ θ 1 Y T+1 θ q Y T+ q, X T ()=E(X T+ X T,...X 1 )= θ Y T θ q Y T+ q. X T+h = ŶT+h θ 1 Ŷ T+h 1 θ q Ŷ T+h q, q X T (h)= θ h Ŷ T θ q Ŷ T+h q = θ i Ŷ T+h i, 1 i=h

22 kdeopětprázdnýsoučetdodefinujemenulou.vidíme,žepro h > qjepředpověď X T (h)=0,cožjeex t.jakvímezprůběhuacf,veličiny X 1,...,X T nijakneovlivňujíveličiny X T+q+1, X T+q+,...,aprotoznalost X 1,...,X T nemůženicnapovědět obudoucíchhodnotách X T+q+1, X T+q+, ARMA modely V některých aplikacích se můžeme dostat do situace, kdy při aplikaci AR nebo MA modelu budeme pro adekvátní popis časové řady potřebovat vysoký řád modelu. ZtohotodůvodusezavádíspojeníARaMAmodelů,tzv.ARMAmodel. Definice.5.Nechť {Y t }jebílýšuma{x t }jestacionárníčasovářada.řekneme, žečasovářada {X t }seřídíarma(p, q)modelem, p, q N {0},jestližeplatí X t = φ 0 + p φ i X t i i=1 q θ j Y t j + Y t, j=1 kde φ 0,..., φ p, θ 1,..., θ q R, φ p 0aθ q 0. V literatuře se často používá zápis pomocí operátoru zpětného posunu: Definice.6.Operátor B: X t X t 1 senazýváoperátorzpětnéhoposunu(backshift operator). Model ARMA(p, q) zapsaný pomocí operátoru zpětného posunu vypadá následovně: (1 φ 1 B φ B φ p B p )X t = φ 0 +(1 θ 1 B θ B θ q B q )Y t. Polynom φ(z)=(1 φ 1 z φ z φ p z p )nazvemecharakteristickýmpolynomem ARsložkyARMA(p, q)modelu.jakjeukázánonapříkladv[13],arma(p, q)model je stacionární, pokud je jeho AR složka stacionární(ma složka je stacionární vždy). To nastává, jestliže jsou všechny kořeny charakteristického polynomu AR složky v absolutní hodnotě větší než jedna. Identifikace modelu a určení řádu Jakužbylořečenovúvodukapitoly,vpraxičastopoužívámeARMAmodelvsituacích, kdy jsme identifikovali AR nebo MA model vysokého řádu. V takových případech ARMA model k adekvátnímu popsání dané časové řady potřebuje tak vysoký řád. UrčovánířádůneníuARMAmodelutakjednoduchéjakouARaMAmodelů anepomůženámsnímaniacfapacf.protožepodrobnýpopismetodpoužitelnýchkurčenířádůarmamodelubynijaknepřispělkúčelutétopráce,uvedeme zde pouze stručný popis s odkazem na literaturu, v níž může zájemce nalézt bližší informace. Standardně se uvádí metoda FPE(final prediction error) a AIC(Akaike s information criterion). Metoda FPE vyjádří střední čtvercovou chybu v předpovědi

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy 1

6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy 1 6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy Obsah 6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy 1 6.1 SUR - Seemingly unrelated regression (zdánlivě nepropojené regrese).......... 3 6.2 Panelová data.........................................

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl Odhad simultánního modelu (SM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná studijní pomůcka MM2011 Úvodní obrazovka Gretlu

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Matematika a byznys Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Alena Švédová A07146 Investice do akcií společnosti ČEZ ÚVOD Tímto tématem, které jsem si pro tuto práci zvolila, bych chtěla poukázat na to,

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen společnost) stanoví k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen osvědčení) následující

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

Pokud data zadáme přes "Commands" okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18.

Pokud data zadáme přes Commands okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18. Regresní analýza; transformace dat Pro řešení vztahů mezi proměnnými kontinuálního typu používáme korelační a regresní analýzy. Korelace se používá pokud nelze určit "kauzalitu". Regresní analýza je určena

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

MEZIREGIONÁLNÍ PŘEPRAVA NA ŽELEZNICI V ČR INTERREGINAL RAILWAY TRANSPORT IN CZECH REPUBLIC

MEZIREGIONÁLNÍ PŘEPRAVA NA ŽELEZNICI V ČR INTERREGINAL RAILWAY TRANSPORT IN CZECH REPUBLIC MEZIREGIONÁLNÍ PŘEPRAVA NA ŽELEZNICI V ČR INTERREGINAL RAILWAY TRANSPORT IN CZECH REPUBLIC Kateřina Pojkarová 1 Anotace:Článek se věnuje železniční přepravě mezi kraji v České republice, se zaměřením na

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

Návod na statistický software PSPP část 2. Kontingenční tabulky

Návod na statistický software PSPP část 2. Kontingenční tabulky Návod na statistický software PSPP část 2. Kontingenční tabulky Jiří Šafr FHS UK poslední revize 31. srpna 2010 Logika kontingenčních tabulek... 2 Postup vytváření kontingenčních tabulek v PSPP (SPSS)....

Více

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů?

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? Dnes se podíváme na zoubek speciální třídě grafů, podle názvu článku a případně i ilustračního obrázku vpravo jste jistě již odhadli, že půjde o třídu pravděpodobnostních

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F vypracoval: Jaroslav Nušl dne: 17.6.24 email: nusl@cvut.org Semestrální práce z předmětu Matematika 6F Zádání: Cílem semestrální práce z matematiky 6F bylo zkoumání hudebního signálu. Pluginem ve Winampu

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Zvířata zařazená do hodnocení V modelu plemene H jsou hodnoceny krávy s podílem krve H nebo 75% a výše. V modelu plemene C jsou hodnoceny krávy s podílem krve

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva

Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva Základní seminář 6. října 2009 Obsah Úloha optimalizace portfolia Markowitzův model Míry rizika Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk Drawdown míry rizika Minimalizační formule Optimalizační modely Empirická

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Modelování výnosové křivky a modelování úrokových nákladů státního dluhu Kamil Kladívko Odbor řízení státního dluhu a finančního majetku Úrokové náklady portfolia státního dluhu 2 Úrokové náklady státního

Více

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí Matematické přístupy k pojištění automobilů Silvie Kafková 3. 6. září 2013, Podlesí Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3 Motivace Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3

Více