Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.

Transkript

1 Obsah 1 lasticita Základní pojmy K ivka plasticity Následná mez kluzu Bauschinger v efekt o áte ní podmínka plasticity o áte ní podmínka plasticity dle von Misese Vztahy nap tí - plastická deformace ve 3D Zákony zpev ování materiálu Následná podmínka plasticity odmínka konzistence Isotropní zpevn ní Kinematické zpevn ní Smí²ené zpevn ní Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz. 1

2 Kapitola 1 lasticita 1.1 Základní pojmy edstavme si experiment, p i kterém je kovový vzorek - ty ka po áte ní délky l 0 s po áte ním pr ezem A 0 - tahov namáhán v podélném sm ru silou F. B hem experimentu je zaznamenávána závislost síla - prodlouºení vzorku. ro popis chování vzorku lze zvolit následující veli iny skute né Cauchyho) nap tí denované jako pom r p sobící síly a skute ného aktuálního) pr ezu vzorku σ t = F A, skute ná logaritmická) deformace denovaná jako p irozený logaritmus pom ru skute né aktuální) délky vzorku a po áte ní délky ε ln = ln l l 0. Deformace p i poru²ení vzorku m ºe být 50 % i více. V dal²ím výkladu budeme uvaºovat jen malé deformace asi do ty %). V t chto p ípadech posta í k popisu smluvní Kirchhoovo) nap tí denované jako pom r p sobící síly a po áte ního pr ezu vzorku σ = F A 0, innitesimální inºenýrská) deformace denovaná jako pom r zm ny délky vzorku a po áte ní délky vzorku ε = l l 0. orovnání závislostí σ t -ε ln základní k ivka p i e²ení problém s velkými deformacemi) a σ-ε základní k ivka p i e²ení problém s malými deformacemi) je na obr Dále budeme pracovat jiº jen s k ivkou σ-ε obr. 1.2). D leºitým bodem pro elastoplastickou analýzu je mez kluzu - bod A nap tí σ K ). okud zatíºíme vzorek do hodnoty nap tí odpovídající bodu A a následn zcela odleh íme, vzorek se vrátí do své nedeformované kongurace. i odleh ování bude charakteristika nap tí - deformace shodná s charakteristikou p i zat ºování. ƒást k ivky - p ímka OA - tedy p edstavuje elastickou oblast materiálu. okud bychom úpln odleh ovali z bodu B leºícího na k ivce za bodem A, závislost nap tí - deformace BC by byla lineární a rovnob ºná s p ímkou OA. o odleh- ení z stane na vzorku plastická trvalá) deformace ε. M ºeme tedy celkovou deformaci ε odpovídající nap tí σ rozloºit na elastickou a plastickou deformaci ε = ε E + ε, 1.1) 2

3 nap tí skute né nap tí - logaritmická deformace smluvní nap tí - in enýrská deformace 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 deformace Obrázek 1.1: K ivka skute né nap tí-logaritmická deformace versus smluvní nap tíinºenýrská deformace. kde ε E = σ E. 1.2) E p edstavuje Young v modul pruºnosti, který dává do vztahu elastickou deformaci a nap tí. Je z ejmé, ºe nap tí odpovídající deformaci ε je dáno vztahem σ = Eε E = E ε ε ). 1.3) ƒást k ivky za bodem A mezí kluzu) p edstavuje plastickou oblast materiálu. Te nu k bodu k ivky této oblasti lze denovat pomocí te ného modulu K ivka plasticity E T = dσ dε. 1.4) Z k ivky nap tí - deformace p i jednoosém namáhání lze ur it základní závislost viz obr Tuto závislost lze také zapsat ve tvaru σ = σ ε ), 1.5) f σ, ε ) = 0 1.6) p edstavujícím podmínku plasticity p i jednoosém zat ºování. Závislost 1.5) znázorn ná v obrázku 1.3 se nazývá k ivkou plasticity materiálu. Z obrázku je z ejmé, ºe nap tí roste s plastickou deformací. Tato vlasznost se ozna uje jako deforma ní zpevn ní. Okamºité zpevn ní v daném bod plastické k ivky lze popsat plastickým modulem E = dσ dε. 1.7) 3

4 nap tí B 1 E T K A E 1 C O 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 deformace ε ε E Obrázek 1.2: K ivka nap tí-deformace a chování elastoplastického materiálu. Tento modul je moºné vyjád it pomocí Youngova modulu a te ného modulu jako coº plyne z úpravy vztahu E = E E T E E T, 1.8) dσ = E T dε = E T dε E + dε ) = E T dσ E + dσ E ro n které houºevnaté materiály lze zpevn ní zanedbat. V tomto p ípad se jedná o ideáln plastický materiál - σ = σ K, E = 0 pro jakoukoliv deformaci ε. ) Následná mez kluzu okud bychom na obrázku 1.2 po úplném odleh ení z bodu B op t zat ºovali z bodu C tahem, materiál by neza al plastizovat p i hodnot nap tí odpovídající bodu A σ K ), ale aº p i hodnot nap tí odpovídající bodu B na k ivce závislosti nap tí - deformace. roto se denuje tzv. následná mez kluzu v tomto p ípad nap tí v bod B) ozna ovaná dále σ K a po áte ní mez kluz v tomto p ípad nap tí v bod A) ozna ovaná dále σ K Bauschinger v efekt Zatím jsme uvaºovali charakteristiku materiálu nap tí - deformace p i tahovém zatíºení. ro p ípad tlakového namáhání v oblasti malých deformací lze u v t²iny kovových materiál závislost nap tí - deformace povaºovat aº na znaménka za shodnou se závislostí získanou z tahové zkou²ky. ro po áte ní) meze kluzu v tahu a tlaku platí σ tah K = σ tlak K. edpokládejme dále, ºe materiál je nejd íve plasticky deformován v tahu k ivka OAB na obr. 1.4) a potom ztla ován. To odpovídá úplnému odleh ení a následnému tlakovému zatíºení. Tlakové nap tí následná mez kluzu v tlaku), p i kterém dojde k plastizaci v tlaku, 4

5 nap tí B 1 E K A O 0,00 C 0,02 0,04 plastická deformace Obrázek 1.3: K ivka nap tí-plastická deformace. Obrázek 1.4: Bauschinger v efekt. bývá pro n které materiály stejné jako nap tí, z kterého se odleh ovalo. Obecn v²ak m ºe být následná mez kluzu v tlaku men²í neº tahové nap tí, z kterého se odleh ovalo. Tento jev se nazývá Bauschinger v efekt. Vysv tluje se zm nami mikrostruktury materiálu zp sobenými plastickou deformací. Tento efekt je t eba uvaºovat p i e²ení problém s cyklickým zat ºováním. ro praktické aplikace jsou uvaºovány zjednodu²ené modely tohoto efektu: isotropní zpevn ní. Bauschinger v efekt je ignorován. Stejná plastická k ivka je uvaºována v tahu i tlaku. Na obrázku 1.4 se jedná o k ivku OABCD. latí tedy σ C = σ B. kinematické zpevn ní. Zm na nap tí mezi hodnotou odleh ení a následnou mezí kluzu p i tlakovém zatíºení je rovna dvojnásobku po áte ní meze kluzu. Na obrázku 1.4 se jedná o k ivku OABEF. latí tedy σ E = σ B 2σ A. 5

6 smí²ené zpevn ní. Tento model popisuje chování mezi vý²e zmín nými modely. Na obrázku 1.4 tomuto modelu odpovídá k ivka OABGH. ov²imn me si, ºe u v²ech model má k ivka zpevn ní v bod, ve kterém dochází k plastizaci v tlaku stejný sklon. Za íná ale v jiné hodnot následné meze kluzu. Modely kinematického a smí²eného zpevn ní zavád jí anisotropii v chování materiálu. 1.2 o áte ní podmínka plasticity i jednoosé napjatosti je podmínka po áte ní plastizace z ejmá: σ xx = σ K0. Jak by tato podmínka vypadala p i prostorové napjatosti? Uvaºujme isotropní materiál a takovou napjatost, ºe obecn platí σ ij 0 pro i, j = 1, 2, 3. Stanovme funkci f spl ující podmínky: f σ ij ) < 0... materiál se chová elasticky, f σ ij ) = 0... materiál je na rozhraní elastického a plastického stavu. i dal²ím zat ºování materiálu m ºe ale nutn nemusí) za ít docházet k plastizaci. Zapi²me tedy podmínku po áte ní plasticity ve tvaru f σ ij ) = 0, 1.9) kde f je funkce plasticity. Tato rovnice se nazývá podmínkou plasticity. Vyslovme poºadavky na funkci f: 1. Z experiment vyplývá, ºe plastizace není ovlivn na hydrostatickou napjatostí σ 11 = σ 22 = σ 33 ). Na vzniku plastických deformací se podílí jenom ást tenzoru nap tí zp - sobující zm nu tvaru, tj. nezávislá na st edním nap tí σ m = 1 3 σ 11 + σ 22 + σ 33 ). 1.10) f je tedy nezávislá na této hodnot a lze ji vyjád it pomocí sloºek deviátoru tenzoru nap tí S ij S ij = σ ij σ m δ ij. 1.11) 2. V p ípad polykrystalických kov lze vyslovit p edpoklad isotropnosti. Materiál se chová ve v²ech sm rech stejn. rotoºe komponenty tenzoru nap tí se m ní se sou adným systémem, musí být f funkcí invariant tenzoru nap tí I 1, I 2, I 3, takºe f I 1, I 2, I 3 ) = 0, 1.12) kde I 1 = σ kk, I 2 = σ 11 σ 22 + σ 22 σ 33 + σ 33 σ 11 σ σ σ 2 31), I 3 = det σ. f tedy nesmí záviset na ozna ení nap tí, musí být symetrickou funkcí sloºek nap tí σ ii. 3. V p ípad prvotní plastizace lze zanedbat Bauschinger v efekt a povaºovat po áte ní meze kluzu v tahu a tlaku stejné aº na znaménko. f musí být sudou funkcí sloºek nap tí σ ii. 6

7 Tyto poºadavky lze shrnout. Vliv prvního invariantu I 1 stejn jako t etího invariantu I 3 lze zanedbat. roto m ºeme redukovat funkci plasticity do tvaru nebo kde J 2 = 1 2 S ijs ij je druhý invariant deviátoru tenzoru nap tí. f I 2 ) = ) f J 2 ) = 0, 1.14) o áte ní podmínka plasticity dle von Misese edpoklad rovnosti deforma ní energie na zm nu tvaru. Ur ení funkce plasticity je zaloºeno na p edpokladu, ºe kovový materiál se za ne plasticky deformovat tehdy, kdyº hustota deforma ní energie na zm nu tvaru we F dosáhne své mezní hodnoty. wf E lze pro obecnou napjatost vyjád it pomocí deviátoru nap tí S ij a deviátoru elastické deformace e E ij we F = 1 2 S ije E ij, 1.15) kde e E ij = ε E ij 1 3 εe kk pro i = j, 1.16) e E ij = 1 2 γe ij pro i j. 1.17) Rovnici 1.15) je moºno dále upravit w F E = 1 4G S ijs ij. 1.18) i úprav bylo vyuºito vztahu S ij = 2G e E ij. 1.19) Uvaºujme nyní p ípad jednoosého zat ºování prp p ípad dosaºení po áte ní meze kluzu σ 11 = σ K0 ). otom S 11 = 2 3 σ K, S 22 = S 33 = 1 3 σ K0 a tedy w F E = 1 4G S ijs ij = 1 6G σ2 K ) Je vysloven p edpoklad, ºe pro v²echny zp soby zatíºení má hustota deforma ní energie na zm nu tvaru p i dosaºení po áte ní meze kluzu stejnou hodnotu p edpoklad rovnosti deforma ní energie na zm nu tvaru ). 7

8 Vyjád ení funkce plasticity a tak lze zavést funkci plasticity Z rovnosti vztah 1.15) a 1.20) plyne w F E = 1 4G S ijs ij = 1 6G σ2 K0 1.21) f S ij ) = 1 2 S ijs ij 1 3 σ2 K0 = ) nebo f J 2 ) = J σ2 K0 = ) Takto odvozená funkce plasticity se nazývá von Misesovou. Materiály spl ující tuto podmínku se nazývají von Misesovy. Geometrická interpretace. Funkce plasticity dle 1.22) v prostoru hlavních nap tí p edstavuje otev ený válec s osou σ 1 = σ 2 = σ 3 a polom rem R = 2 σ 3 K obr. 1.5). V rovin kolmé na osu válce - deviátorové rovin - s osami S 1, S 2, S 3 hlavní deviátorická nap tí) p edstavuje plocha plasticity kruºnici o polom ru R. Obrázek 1.5: Geometrická interpretace plocha plasticity dle von Misese. 1.3 Vztahy nap tí - plastická deformace ve 3D Vztahy dále uvedené vycházejí z experimentálního pozorování. Uvaºujme nejd íve pokus na jednoose tahov namáhaném vzorku ve sm ru osy x. Jestliºe nap tí σ x dosáhne meze kluzu σ K, materiál se za ne deformovat plasticky. Zjistíme, ºe velikost plastické deformace ve sm rech kolmých na zat ºování y, z ) dosahuje poloviny hodnoty ve sm ru x. Takºe m ºeme psát M rná objemová zm na plastické deformace ε yy = ε zz = 1 2 ε xx. 1.24) ε V = ε xx + ε yy + ε zz = ) 8

9 lastická deformace je tedy izochorická nem ní se objem). Jiº d íve bylo uvedeno, ºe plastizace není ovlivn na st edním nap tím. Sloºky deviátoru nap tí zp sobujícího plastickou deformaci jsou S xx = 2 3 σ xx, S yy = S zz = 1 3 σ xx = 1 2 S xx. 1.26) Z porovnání vztah 1.24) a 1.26) m ºeme zapsat ε xx S xx = ε yy S yy = ε zz S zz = λ, 1.27) kde λ je kladný skalár, který bývá ozna ován jako plastický multiplikátor. Tento vztah lze vyjád it ve tvaru ε ij = λs ij. 1.28) Obecn plastická deformace závisí na historii zat ºování. To znamená, ºe hodnota plastické deformace ε ij pro dané deviátorové nap tí S ij závisí na tom, jak se m nila napjatost, neº bylo dosaºeno dané hodnoty. roto je nutné vztah 1.28) modikovat a zobecnit. lastickou deformaci je t eba po ítat p ír stkov. randtlovy-reussovy rovnice. edpokládejme, ºe p i dané napjatosti malá zm na zatíºení zp sobí plastizaci. i zm n zatíºení kaºdé nenulové deviátorové nap tí S ij zp - sobí p ír stek dε ij plastické deformace. Tato úvaha vede ke vztahu dε ij = dλs ij. 1.29) ír stek plastické deformace je úm rný celkovému deviátorovému nap tí. Je experimentáln prokázáno, ºe vztah 1.29) platí obecn, zatímco vztah 1.28) je platný pouze tehdy, jestliºe nap tí roste proporcionáln. ed pouºitím zmín ných vztah je t eba zjistit, zdali zm na zatíºení zp sobí plastizaci. okud ano, pak jsou vztahy pouºitelné. Rovnice 1.29) bývají ozna ovány jako randtlovy-reussovy rovnice. Teorie plasticity zaloºená na vztahu 1.29) se nazývá inkrementální teorií plasticity nebo teorií plastického te ení. Lze dokázat, ºe potom lze vztah 1.29) zapsat σ ij = S ij, 1.30) dε ij = dλ σ ij. 1.31) Tento vztah p edstavuje zákon te ení nebo princip kolmosti. Geometrická interpretace je, ºe p ír stek plastické deformace dε ij je ve sm ru kolmém k te n plochy plasticity v bod odpovídajícím napjatosti. Jinými slovy p ír stek je ve sm ru nap tí S ij. Toto nap tí denuje jednotkovou normálu k plo²e plasticity. Funkce plasticity f [σ ij, σ K ] p edstavuje plastický potenciál. Obecn m ºe být ve vztahu 1.31) pouºit plastický potenciál g σ ij ) f σ ij ). roto m ºeme kategorizovat zákon te ení dle pouºitého plastického potenciálu: asociovaný zákon te ení - pouºita funkce plasticity f, neasociovaný zákon te ení - pouºita funkce g σ ij ) f σ ij ). 9

10 1.4 Zákony zpev ování materiálu Následná podmínka plasticity V t²ina kov p i plastické deformaci zpev uje. To znamená, ºe pro zv t²ení plastické deformace je t eba zv t²it nap tí na rozdíl od tzv. zm k ování). i jednoosé napjatosti to lze vyjád it nerovnicí dσ xx > 0. dε 1.32) xx edpoklad rovnosti plastické práce. ro denici zpev ování kov v procesu plastizace po dosaºení po áte ní podmínky plasticity vyuºijeme p edpoklad rovnosti plastické práce. Vychází z úvahy, ºe p ír stek hustoty plastické práce b hem plastické deformace dw p i víceosé napjatosti je roven p ír stku hustoty plastické práce p i jednoosé napjatosti. ro obecnou napjatost m ºeme s uvaºováním randtlových-reussových rovnic 1.29) vyjád it hustotu plastické práce Tato práce odpovídá trvalé zm n tvaru a je nevratná. ro p ípad jednoosé napjatosti platí dw = S ij dε ij = dλs ij S ij. 1.33) a tedy hustota plastické práce je S xx = 2 3 σ K, S yy = S zz = 1 3 σ K dw = λs ij S ij = 2 3 dλσ2 K. 1.34) Následná podmínka plasticity. Z rovnosti vztah 1.33) a 1.34) vyplývá S ij S ij = 2 3 σ2 K. 1.35) Tato rovnice m ºe být také vyjád ena ve tvaru f = 1 2 S ijs ij 1 3 σ2 K = ) i uvaºování libovolného stavu napjatosti b hem plastické deformace m ºeme ur it mez kluzu σ K na jednoosé plastické k ivce odpovídající danému stavu napjatosti. B hem plastické deformace musí být podmínka 1.36) spln na. Okamºitá mez kluzu σ K se m ní podle jednoosé plastické k ivky. Hypotéza rovnosti plastické práce je ve shod s hypotézou rovnosti deforma ní energie na zm nu tvaru viz sekce 1.2). o áte ní podmínka plasticity a následná podmínka plasticity dle von Misese jsou shodné. Hovo me proto dále jen o podmínce plasticity, kde 1.22) je zvlá²tní p ípad 1.36) pro σ K = σ K0. 10

11 okud zavedeme tzv. efektivní nap tí nebo von Misesovo nap tí) σ e = pak podmínku plasticity 1.36) m ºeme zjednodu²it do tvaru 3 2 S ijs ij, 1.37) σ e σ K = ) Deforma ní zpevn ní. Zatím bylo ukázáno, v jakém tvaru je vyjád ena podmínka plasticity, ale nebyl doposud zaveden zákon popisující zm nu plochy plasticity. V následujích úvahách vyjdeme z p edpokladu, ºe p ír stek hustoty plastické práce musí být kladný dw > ) Tato nerovnost vyjad uje fakt, ºe p i plastizaci dochází k disipaci energie v podob trvalé deformace. Zadenujme p ír stek efektivní plastické deformace dε e odpovídající efektivnímu nap tí σ e tak, aby platilo pro p ír stek hustoty plastické práce dw = σ e dε e. 1.40) odle p edpokladu 1.39) musí být p ír stek dε e kladný. Vztah 1.40) platí pro obecnou napjatost, musí proto platit i pro jednoosou napjatost. Z porovnání vztah 1.40), kde σ e = σ K, a 1.34) s uvaºováním 1.38) dostáváme a úpravou dw = σ K dε e = 2 3 dλσ2 K 1.41) dλ = 3 dε e. 1.42) 2 σ K Dosazením randtlovýchreussových rovnic 1.29) do vztahu pro p ír stek plastické práce 1.33) a porovnáním s rovnicí 1.40) obdrºíme 1 dλ dε ijdε ij = σ e dε e. 1.43) Do tohoto výrazu dosadíme 1.42) a získáme p ír stek efektivní plastické deformace vyjád ený pomocí p ír stk plastické deformace 2 dε e = 3 dε ijdε ij. 1.44) ro p ípad jednoosé napjatosti platí dε e = dε xx. ˆ ε e = dε e 1.45) p edstavuje akumulovanou efektivní plastickou deformaci. odmínky plasticity 1.38) a 1.5) ukazují, ºe plastická k ivka p i jednoosém tahu p edstavuje sou asn obecnou plastickou k ivku σ K = σ K ε e ). 1.46) 11

12 Tedy zpevn ní von Misesova materiálu je denováno plastickou k ivkou σ K ε e ). odmínku plasticity 1.36) lze zapsat jako f = 1 2 S ijs ij 1 ) 3 σ2 K ε e = 0, 1.47) a analogicky ke vztahu 1.38) σ e σ K ε e ) = ) lastický multiplikátor dλ v randtlových-reussových rovnicích 1.29) je denován 1.42). M ºe být ur en z plastické k ivky. rotoºe r st okamºité meze kluzu je vyjád en funkcí efektivní plastické deformace, ozna uje se jako deforma ní zpevn ní odmínka konzistence ro spln ní podmínky plasticity musí u jednorozm rného problému bod odpovídající dané napjatosti z stat na plastické k ivce. Nebo obecn bod musí z stat na plo²e plasticity. Máli být tento poºadavek spln n, plocha plasticity funkce plasticity) se v pr b hu zat ºování musí m nit. odmínku plasticity 1.47) m ºeme zjednodu²e zapsat f ) σ ij, ε e = ) Tuto rovnici lze pro p ípad inkrementální zm ny napjatosti a efektivní plastické deformace nazveme ji podmínkou konzistence) p epsat f ) σ ij + dσ ij, ε e + dε e = 0, 1.50) coº lze dále rozepsat f σ ij + dσ ij, ε e + dε e ) = f σij, ε e Jestliºe má být spln na rovnice 1.49) i 1.51), musí platit Isotropní zpevn ní ) + dσ ij + dε σ ij ε e. 1.51) e dσ ij + dε σ ij ε e = ) e Jak jiº bylo e eno v podsekci 1.1.3, p i jednoosé napjatosti je následná mez kluzu v tahu i tlaku stejná. Takºe obecn p i víceosé napjatosti dochází vlivem zpev ování ke zv t²ování plochy plasticity. okud se tak d je ve v²ech sm rech nap ového prostoru stejn, hovo í se o isotropním zpevn ní. locha plasticity musí s ohledem na podmínky konzistence expandovat s r stem efektivního nap tí σ e. Jak bylo uvedeno v podsekci 1.4.1, velikost této expanze lze vyjád it jako funkci akumulované efektivní plastické deformace ε e. Následná mez kluzu v rovnici 1.47) m ºe být vyjád ena ve tvaru ) σ K ε e = σk0 + r ) ε e, 1.53) kde σ K0 je po áte ní mez kluzu a r ) ε e je funkce isotropního zpevn ní. 12

13 Lineární isotropní zpevn ní. Jednoduchou lineární funkci isotropního zpevn ní lze vyjád it ve tvaru dr ) ε e = h dε e, 1.54) kde h je konstanta. ro p ípad jednoosé napjatosti platí dε e = dε xx a dr p edstavuje p ímo zv t²ení nap tí následné meze kluzu). Vztah 1.54) m ºeme p epsat ro p ír stek elastické deformace platí dε xx = dσ h. 1.55) dε E xx = dσ E. 1.56) Celková deformace je dε = dε E xx + dε xx = dσ ) E + h E h = dσ E T. 1.57) Nelineární isotropní zpevn ní. Jedním z asto uºívaných tvar pro vyjád ení funkce isotropního zpevn ní je dr ) ε e = b Q r) dε e, 1.58) kde b a Q jsou materiálové konstanty. Integrací tohoto vztahu s uvaºováním po áte ní podmínky r 0) = 0 obdrºíme tvar r ε e ) ) = Q 1 e bε e. 1.59) Q je satura ní veli ina ε e, takºe maximální nap tí je z rovnice 1.53) σ K0 + Q). ro vyjád ení plastic- lastický multiplikátor jako funkce p ír stku deformace. kého multiplikátoru vyjdeme z Hookova zákona dσ ij = C ijkl dε E kl = C ijkl dεkl dε kl), 1.60) do n jº dosadíme zákon te ení 1.31), takºe dσ ij = C ijkl dε kl dλ ). 1.61) σ kl Dosazením této rovnice do podmínky konzistence 1.52) obdrºíme C ijkl dε kl dλ ) + dε σ ij σ kl ε e = ) e ír stek efektivní plastické deformace vyjád íme z denice 1.44) a dosadíme do ní zákon te ení 1.31) 2 dε e = dλ dλ ) ) 3 σ ij σ ij 13

14 o dosazení 1.63) do 1.62) vyjád íme plastický multiplikátor jako funkci p ír stku deformace dλ = σ ij C ijkl dε kl σ ab C abcd σ cd ε e 2 3 σ mn ) 1 2 σ mn. 1.64) ír stek nap tí lze potom ur it z rovnice 1.61) dosazením odvozeného plastického multiplikátoru. Tento tvar je vhodný pro pouºití p i numerických výpo tech nap. metodou kone ných prvk ), kdy se po ítá p ír stek celkové deformace a k n mu odpovídající p ír stek nap tí. lastický multiplikátor jako funkce p ír stku nap tí. Jednodu²²í moºností je vyjád it plastický multiplikátor pomocí p ír stku nap tí, coº je výhodné pro lep²í fyzikální vhled do problému e²ení plastizace. Sta í dosadit do podmínky konzistence 1.52) denici p ír stku efektivní plastické deformace 1.63). ak lze vyjád it plastický multiplikátor σ dλ = ij dσ ij. 1.65) ε e Kinematické zpevn ní 2 3 σ mn ) 1 2 σ mn V p ípad monotónního zat ºování posta í modelovat zpevn ní jako isotropní. Jiný p ípad je p i obráceném zat ºování nap. nejd íve tahovém, potom tlakovém). Model isotropního zpevn ní vede p i reverzaci zatíºení ke zv t²ování elastické oblasti. V t²inou je elastická oblast men²í, coº zap í i uje Bauschinger v efekt. Tento fakt je schopen popsat model kinematického zpevn ní. edpokládá se, ºe velikost plochy plasticity se nem ní, ale jenom se posouvá v nap ovém prostoru. i jednoosé napjatosti je rozdíl následné meze kluzu v tahu i tlaku vºdy dvojnásobek po áte ní meze kluzu. Funkce plasticity musí záviset na poloze plochy v nap ovém prostoru. i zatíºení a plastické deformaci se plocha posunuje tak, ºe po áte ní poloha st edu plochy je posunuta. Lze zavést podmínku plasticity ve tvaru f = 1 2 S ij α ij ) S ij α ij ) 1 3 σ2 K0 = 0, 1.66) kde α ij jsou sloºky tzv. back stress, které ur ují polohu plochy plasticity. Takto funkce plasticity bere v úvahu zm nu polohy plochy plasticity. Velikost plochy plasticity se v²ak nem ní. okud zavedeme polom r plochy plasticity pak lze vztah 1.66) p epsat Ŝ ij = S ij α ij, 1.67) f = 1 2ŜijŜij 1 3 σ2 K0 = ) Úpravou tohoto vztahu lze zavést analogicky ke vztahu 1.37) redukované efektivní nap tí 3 ˆσ e = 2ŜijŜij 1.69) a rovnici 1.68) zapsat ˆσ e σ K0 = ) 14

15 Lineární kinematické zpevn ní. K dokon ení formulace modelu je t eba stanovit zákon zpevn ní pro back stress α ij. Zde pouºijeme ragr v zákon zpevn ní ve tvaru dα ij = C dε ij, 1.71) kde C p edstavuje modul kinematického zpevn ní. edpokládá se, ºe posuv plochy plasticity je ve sm ru normály k plo²e plasticity. Back stress je veli ina denovaná v nap ovém prostoru a má stejné sloºky jako tenzor nap tí. ír stek plastické deformace je deviátorická veli ina, protoºe vzhledem k podmínce nestla itelnosti platí rovnost roto dα ij musí být také deviátorická veli ina. de ij = dε ij 1 3 dε kk = dε ij. 1.72) Modul C lze ur it z plastické k ivky pro jednoosou napjatost a podmínky kinematického zpevn ní. i jednoosé napjatosti σ xx 0 platí S xx = 2 3 σ xx, S yy = S zz = 1 3 σ xx = 1 2 S xx a podobn α xx 0, α yy = α zz = 1 2 α xx. odmínka plasticity 1.66) má pro tento p ípad tvar 2 3 σ xx α xx 2 3 σ K0 = ) a vyjád ena v p ír stcích 2 3 dσ xx dα xx 2 3 dσ K0 = 0., 1.74) p i emº dσ K0 = 0. Nap tí σ xx sleduje k ivku plasticity. M ºeme tedy zapsat následující vztahy dσ xx = E dε xx, 1.75) dα xx = C dε xx, 1.76) kde E = σ K ε ε xx 1.77) xx ) je plastické modul, tj. sklon na plastické k ivce σ K = σ K ε xx. V p ípad obecné napjatosti by byla pouºita k ivka σ K = σ K ε e ). o dosazení vztah 1.75) a 1.76) do 1.74) získáme vztah pro C C = 2 3 E. 1.78) Nelineární kinematické zpevn ní. Jako p íklad nelineárního kinematického zpevn ní je uveden model Armstrong v-frederick v. V p ípad obecné napjatosti má p ír stek back stress tvar dα ij = C dε ij γα ij dε e, 1.79) kde C je modul a γ je materiálová konstanta. V p ípad jednoosé napjatosti lze rovnici integrovat p i uvaºování podmínky α ij = 0 pro ε xx = 0 α xx = C γ ) 1 e γε xx. 1.80) 15

16 Zákon te ení s kinematickým zpevn ním. Dal²ím krokem je denice vztahu nap tí - plastická deformace. randtlovy-reussovy rovnice mají nyní tvar Analogicky jako u vztahu 1.30) lze dokázat, ºe dε ij = dλŝij. 1.81) σ ij = Ŝij, 1.82) potom lze vztah 1.81) zapsat dε ij = dλ σ ij. 1.83) Konzisten ní podmínka 1.52) bude mít pro p ípad kinematického zpevn ní tvar dσ ij + dα ij = ) σ ij α ij ro vyjád ení plastic- lastický multiplikátor jako funkce p ír stku deformace. kého multiplikátoru vyjdeme z Hookova zákona dσ ij = C ijkl dε E kl = C ijkl dεkl dε kl), 1.85) do n jº dosadíme zákon te ení 1.31), takºe dσ ij = C ijkl dε kl dλ ). 1.86) σ kl Dosazením této rovnice do podmínky konzistence 1.84) obdrºíme C ijkl dε kl dλ ) + dα ij = ) σ ij σ kl α ij ro vyjád ení p ír stku back stress pouºijeme v tomto p ípad nelineární zpevn ní 1.79), efektivní plastické deformace vyjád íme z denice 1.44), p ír stky plastické deformace rozepí²eme dosazením zákona te ení 1.31) dλ = dα ij = C dλ 2 γα ij dλ dλ ) ) σ ij 3 σ mn σ mn o dosazení 1.88) do 1.87) vyjád íme plastický multiplikátor jako funkci p ír stku deformace σ ij C ijkl dε kl σ ab C abcd σ cd + γ α pq α pq 2 3 σ mn ) 1 2 σ mn C α rs. 1.89) ír stek nap tí lze potom ur it z rovnice 1.86) dosazením odvozeného plastického multiplikátoru. 16

17 1.4.5 Smí²ené zpevn ní V p ípad cyklické plastizace, kdy materiál zpev uje isotropn i kinematicky, je t eba pouºít smí²ený model. Velikost plochy plasticity se m ní podle vztahu 1.47). Jak jiº bylo uvedeno v podsekci 1.1.3, model isotropního zpevn ní neuvaºuje Bauschinger v efekt. Lze zavést podmínku plasticity v následujícím tvaru f = 1 2 S ij α ij ) S ij α ij ) 1 3 σ2 K = 0, 1.90) kde α ij jsou sloºky tzv. back stress a σ K je denováno ) σ K ε e = σk0 + r ) ε e. 1.91) Takto funkce plasticity bere v úvahu zm ny velikosti a polohy plochy plasticity, zanedbává v²ak moºné zm ny jejího tvaru. lastický multiplikátor jako funkce p ír stku deformace. multiplikátor pro následující denice nelineárního zpevn ní: Odvodíme plastický isotropní zpevn ní 1.58) dr ε e ) = b Q r) dε e, kinematické zpevn ní 1.79) dα ij = C dε ij γα ij dε e. ro p ípad smí²eného zpevn ní má podmínka konzistence tvar dσ ij + dα ij + dε σ ij α ij ε e = ) e Dosadíme do této rovnice Hook v zákon 1.60), nelineární kinematické 1.79) a isotropní 1.58) zpevn ní s uváºením denice efektivní plastické deformace 1.44) obdrºíme C ijkl dε kl dε p kl σ ) + 2 C dε p ij γα ij ij α ij 3 dεp mndε p mn ) ε e ) dεp tudε p 2 tu = ) ír stek plastické deformace vyjád íme ze zákona te ení 1.31) a po úprav získáme plastický multiplikátor dλ = σ ab C abcd σ cd + γ α pq α 2 pq 3 σ mn σ ij C ijkl dε kl ) 1 2 σ mn C α rs σ rs ε e 2 3 σ tu ) 1 2 σ tu. 1.94) 17

18 Literatura [1] Bathe, K.-J.: Finite Element rocedures, rentice-hall, 1996 [2] Dunne, F., etrinic, N.: Introduction to Computational lasticity, Oxford University ress, 2005 [3] Koji, M., Bathe, K.-J.: Inelastic Analysis of Solids and Structures, Springer-Verlag, 2005 [4] Lemaitre, J., Desmorat, R.: Engineering Damage Mechanics, Springer-Verlag, 2005 [5] Lubliner, J.: lasticity Theory, Dover ublications,