OBSAH. 1. Základní p edstava o k ivkách a plochách

Transkript

1 OBSAH 1. Základní p edstava o k ivkách a plochách 1.díl: P edstava o plo²e I trojrozm rné objekty lze znázornit v rovin. 2.díl: Reálná ísla a p ímka Souvislost mezi ísly a geometrií. 3.díl: Sou adnice bodu v rovin... 3 Bod v rovin jakoºto uspo ádaná dvojice reálných ísel. 4.díl: Kruºnice... 4 Rozdíl mezi kruhem a kruºnicí. Rovnice kruºnice. 5.díl: Mnoºiny....6 Zápis mnoºiny ve tvaru {prvek:vlastnost prvku}. Mnoºinový zápis kruºnice. 6.díl: Funkce Funkce z hlediska výpo tu. Metody: (A) vlastní výpo et, (B) pouºití tabulek, (C) výpo etní technika. P íklady: výpo et log(4), x 2 v bod 3, x v bod 15, sin(0, 5). 7.díl: N kolik poznámek Reálná ísla a zaokrouhlování. Mnoºinový symbol náleºení. Zna ení pro reálná ísla, p ímku a rovinu. Interval. Deni ní obor funkce. Zápis funkce, v etn deni ního oboru. 8.díl: K ivka jakoºto zobrazení...15 Zobrazení R R 2. Výpo et zobrazení pomocí funkcí. P íklad: zobrazení ur ující kruºnici. 9.díl: P íklady k ivek Elipsa. Parabola. P ímka. P lkruºnice. Spirála. 10.díl: Po ítání s vektory Vektor jakoºto uspo ádaná dvojice zapsaná do kulatých závorek. Pravidla pro po ítání s body a vektory. P íklady na tato pravidla. 11.díl: Geometrický význam vektoru Vektor jakoºto ²ipka. Vektor se vypo te jako koncový bod mínus po áte ní bod. Geometrický význam operací s body a vektory. 12.díl: Rovnice p ímky Zobrazení ur ující p ímku má tvar z(t) = B + t s, t R p i emº bod B leºí na p ímce a vektor s je sm rový vektor. 13.díl: Te na ke k ivce Te na jakoºto lokální lineární aproximace k ivky. 14.díl: Derivace funkce Výpo et derivace pomocí po íta ového programu 15.díl: Derivace zobrazení Výpo et derivace zobrazení R R 2 po sloºkách, kterými jsou funkce. 16.díl: Vzor bodu Výpo et vzoru bodu. 17.díl: Výpo et te ny...28 Vzorec pro sm rový vektor te ny. P íklad. 18.díl: K ivka v prostoru

2 Trojrozm rný prostor R 3. Sou adnice bodu v R 3. P íklad k ivky: ²roubovice. Te na. 19.díl: Plocha...32 Plocha jakoºto zobrazení R 2 R díl: Rovnice roviny Zobrazení ur ující rovinu je g(s, t) = B + s u + t v, kde B je bod leºící v rovin a vektory u a v jsou sm rové vektory. 21.díl: Te ná rovina k plo²e Jiné zna ení derivace. Pojem parciálních derivací. Parciální derivace zobrazení. Sm rové vektory pro te nou rovinu. 2. N které pojmy z algebry 22.díl: Matice...35 ádky a sloupce matice jakoºto vektory. Pozice prvku v matici. 23.díl: Násobení matic Skalární sou in vektor. Násobení matic zp sobem ádek krát sloupec. 24.díl: Inverzní matice Jednotková matice. Denice inverzní matice. Výpo et inverzní matice v po íta ovém programu. Regulární matice. 25.díl: Ortogonální matice...39 Transponovaná matice. Denice ortogonální matice. P íklad ortogonální matice. Vztah regulárních a ortogonálních matic. Podmnoºina. 26.díl: Grupa Algebraické struktury. Denice grupy. 27.díl: P íklady grup P íklady grup: Mnoºina reálných ísel se s ítáním. Mnoºina reálných ísel bez nuly s násobením. Mnoºina regulárních matic s násobením matic. Mnoºina ortogonálních matic s násobením matic. 28.díl: Podgrupy Denice podgrupy. Kritérium pro podgrupu. Aplikace na mnoºinu ortogonálních matic. 29.díl: Dodatek Zna ení prvk matice. Pojem sumy. Vzorec pro sou in matic. Prvky jednotkové matice. Prvky transponované matice. D kazy vztah pouºitých v ásti o algeb e: Pro matice platí (A B) C = A (B C). Jsou-li matice A, B regulární, pak A B je regulární, p itom platí (A B) 1 = B 1 A 1. Pro kaºdou matici A platí A I = A. Platí I T = I. Platí (A B) T = B T A T. Platí (A T ) T = A. 3. N kolik pojm z topologie 30.díl: Otev ené mnoºiny Otev ené mnoºiny v R 2. Otev ené mnoºiny v R. Vzdálenost bod. Koule v R n. Otev ené mnoºiny v R n. 31.díl: Systémy mnoºin...55 Systémy mnoºin. Pr nik. Sjednocení. 2

3 32.díl: Denice topologie...58 Prázdná mnoºina. Denice topologie. Euklidovská topologie T e na mnoºin R n. 33.díl: Zobrazení Denice zobrazení. Prosté zobrazení. Zobrazení na mnoºinu. Bijekce. Inverzní zobrazení. Obraz mnoºiny. Vzor mnoºiny. 34.díl: Spojité zobrazení a homeomorsmus Spojité zobrazení. Homeomorsmus. 35.díl: N kolik topologických pojm Mnoºinový dopln k. Otev ená mnoºina. Uzav ená mnoºina. Otev ené okolí bodu. Uzáv r mnoºiny. Hranice mnoºiny. Kompaktní mnoºina. Odd lovací vlastnost T díl: N kolik tvrzení o zavedených pojmech Pr nik a sjednocení systém otev ených a uzav ených mnoºin. Otev enost mnoºiny a okolí. Platí M M. Uzáv r M je uzav ená mnoºina. Uzáv r je nejmen²í (ve smyslu inkluze) mnoºinou obsahující výchozí mnoºinu. Hranice M je uzav ená mnoºina. Kompaktní mnoºina je uzav ená. Uzav ená podmnoºina kompaktu je kompakt. Euklidovská topologie T e na R n má vlastnost T díl: Homeomorsmus jakoºto zobrazení zachovávající topologickou strukturu Ukázka faktu, ºe homeomorsmus zachovává topologické pojmy: otev enost, uzav enost, okolí bodu, uzáv r, hranici, kompaktnost, odd lovací vlastnost T díl: Topologický podprostor Denice topologického podprostoru. Ov ení vlastností topologie. P íklad: otev ený oblouk v kruºnici. 39.díl: Dodatek D kazy pouºitých mnoºinových vztah : De Morganova pravidla. Pro bijekci z je z(g) = (z 1 ) 1(G). Platí F = X \ (X \ F ). Pro bijekci z je z(x \ M) = z(x) \ z(m). z 1 (z(m)) = M. z(a B) = z(a) z(b)). 4. VARIETA 40.díl: Varieta Motiva ní p íklad kruºnice. Neexistuje homeomorsmus otev ené podmnoºiny R na kruºnici. Popis kruºnice pomocí dvou homeomorsm. Denice variety. 41.díl: Spojité funkce Funkce jakoºto zobrazení R R. Graf funkce. P íklad nespojité funkce. Násobek, sou et, rozdíl, sou in, podíl a skládání spojitých funkcí je spojitá funkce. 42.díl: Funkce mající derivaci P íklad funkce, která nemá derivaci. Vzorce pro derivování. P íklady. Derivace vy²²ích ád. Hladké funkce. Funkce více prom nných. Parciální derivace. P íklady na výpo et parciálních derivací. Parciální derivace vy²²ích ád. Hladké funkce. 43.díl: Hladká varieta P echodová funkce. Hladká varieta. 44.díl: Dodatek-1. ást Homeomorsmus na kruºnici. Uspo ádání na R. Nejv t²í prvek mnoºiny. Suprémum. Existence supréma. Kompaktnost intervalu a, b. Kartézský sou in. Testování 3

4 otev enosti mnoºiny pomocí tverc. Kompaktnost obdélníku a, b c, d. Kompaktnost mnoºiny a 1, b 1 a n, b n R n. Omezené mnoºiny. Popis kompaktních mnoºin v R n. 4

5 Z OBLÍBENÉHO SUDU 1. díl 1. Základní p edstava o k ivkách a plochách Za ínám dnes seriál, týkající se Lieových grup. Takºe s chutí do toho, p l je hotovo. Pojem plochy P edev²ím se pokusíme ob as n co nakreslit. Jsme omezeni dvourozm rným prostorem, v tomto p ípad monitorem. To nemusí zas aº tak vadit, viz. obrázek dome ku, který je trojrozm rným objektem. Nás bude p edev²ím zajímat pojem plochy. mod e. Na obrázku je znázorn na Podstatné je, ºe se jedná o dvourozm rný objekt, umíst ný v trojrozm rném prostoru. Takºe zohýbaný list papíru nebo t eba plachta nám dá zatím dost dobrou p edstavu. 5

6 2. díl Ve ejnost od matematiky o ekává, ºe se v ní po ítá, a to nejlépe s ísly. Ve ejnost nezklameme, s ísly zacházet budeme, i kdyº zatím nebudeme po ítat. Reálná ísla a p ímka Reálná ísla jsou taková, která mohou obsahovat desetinnou árku. Takºe reálným íslem je nap. íslo 2,7. Nyní odbo me k pojmu p ímky. Op t jsme omezeni velikostí monitoru. To co je na obrázku je ást p ímky, ve skute nosti si ji musíme p edstavit, ºe pokra uje nalevo i napravo dále a stále dále. Jak p ímka souvisí s reálnými ísly? Opat íme ji ísly a získáme tzv. íselnou osu. Nyní jiº m ºeme m it. Modrý bod nap íklad vyzna uje reálné íslo 2,7. Práv jsme vyrobili první m stek mezi sv tem ísel a sv tem geometrie. 3. díl Dnes se tedy pokusíme zam it jeden jediný bod. 6

7 Zam íme levý koutek úst smajlíka: Jak je vid t z obrázku, získali jsme ísla 4 a 2,5. T mto ísl m budeme íkat sou adnice. Na záv r n co matematické kultury. P edev²ím jsem k osám p idal písmena x a y. Taková je konvence, vodorovná osa se zna í x, svislá y. Dále jsem ná² bod ozna il písmenem B. Bé jako bod, ale mohl jsem zvolit libovolné jiné písmeno. Matematický zápis vypadá takto: B=[4;2,5] Poznámka: st edník je pouºit proto, aby se nepletl s desetinnou árkou. 4. díl Kruh je prý symbolem dokonalosti. Za n me tedy s ním, p esn ji e eno kruºnicí. Kruºnice je okraj kruhu. 7

8 Rovnice kruºnice Rovnice kruºnice je x 2 + y 2 = Vznikají p idruºené otázky. CO to vlastn znamená a PROƒ tomu tak je. Druhou otázku e²í v matematice d kazy a to ponechme zatím stranou. Vý²e uvedený výrok o rovnici kruºnice nemá p íli² smysl, pokud nevíme, ºe písmena x a y mají význam sou adnic. Vylep²íme proto uvedený výrok takto: Bod [x,y] leºí na na²í kruºnici, práv kdyº platí rovnost x 2 + y 2 = 1. Na záv r pro pochopení v ci malý p íklad: P íkládek : Chci zjistit zda na na²í kruºnici leºí bod [2;5]. 1) Dosazuji do rovnice "x=2" a "y=5" 2) Podívám se, co je na levé stran rovnice: = = 29 3) Podívám se, co je na pravé stran rovnice: je tam íslo 1 4) konstatuji, ºe levá strana a pravá strana rovnice se nerovnají ( íslo 29 nerovná se íslu 1) 5) tedy rovnost není spln na 6) takºe bod [2;5] na kruºnici neleºí 8

9 Obrázek nám tento fakt dokládá: 5. díl Mnoºiny Mnoºina je souborem n jakých prvk. V p ípad na²í kruºnice je tato kruºnice mnoºinou bod, které na ní leºí. Zápis mnoºiny má tvar: {prvek:vlastnost prvku} Pokud na²í kruºnici chápeme jako mnoºinu, pak ji lze zapsat takto: {[x, y] : x 2 + y 2 = 1} Ozna íme-li na²í kruºnici pís- Kone n, i mnoºiny se ozna ují písmeny. menem k, pak dostáváme zápis: k = {[x, y] : x 2 + y 2 = 1} Moderní matematika je zaloºena na teorii mnoºin a v p íslu²ných knihách se to jenom hemºí mnoºinovými symboly, {... },,, apod. Mnoºinová symbolika poskytuje mj. stru ný zápis fakt, které by se zdlouhav opisovaly. /p í²t : poznali jsme jeden zp sob zápisu kruºnice, pomocí rovnice x 2 +y 2 = 1. Na²í snahou nyní bude dobrat se k vyjád ení k ivky i plochy jakoºto obrazu (pokud moºno) jednodu²²í mnoºiny. K tomu pot ebujeme pojem zobrazení a k tomu zase pojem funkce. P í²t tedy bude e o funkcích/ 9

10 6. díl Funkcí rozumíme p edpis pro p i azení ísla íslu. Ozna íme-li funkci f, pak základní zápis vypadá takto: f(vstupní íslo)=výstupní íslo Místo vstupní íslo budeme íkat prost bod. Místo výstupní íslo budeme íkat funk ní hodnota i hodnota funkce. Pouºívaných funkcí je celá ada a mají rozli né názvy jako nap. kosinus, kvadratická funkce, odmocnina, exponenciela, logaritmus apod. sinus, Co se tý e ozna ení. Jak jsme si jiº zvykli, pouºívá se písmeno, pouºívá se ale také skupina písmen. Nap. pro funkci sinus je to sin, pro funkci kosinus je to cos, pro logaritmus log apod. Ne kaºdá funkce má standardní ozna ení pomocí skupiny písmen jak uvidíme dále. Dnes se zam íme na funkce z hlediska výpo tu. V tuto chvíli m napadají tyto moºnosti výpo tu funk ní hodnoty: (A) spo teme si funk ní hodnotu sami (B) vyhledáme si funk ní hodnotu v tabulkách (C) pouºijeme po íta i kalkula ku, tedy n jakou výpo etní techniku Uvedené metody si ukaºme na n kolika p íkladech: P íklad 1: Chceme spo ítat log(4), tedy hodnotu logaritmu v bod 4. Metoda (A) by byla pracná a navíc by to cht lo n jaké dal²í znalosti. Metoda (B) 10

11 Upozor uji, ºe pracujeme s reálnými ísly, takºe budu asto zaokrouhlovat. Vyzna ovat to budu trojicí te ek (... ) za poslední íslicí. V t chto p íkladech budu zaokrouhlovat t eba na t i desetinná místa. Tabulka nám tedy dává log(4)= 0, =0, Metoda (C) Pouºiji kalkula ku na po íta i: Dostáváme tedy log(4)= 0, =0, P íklad 2: M jme funkci f(x) = x 2 a chceme zjistit funk ní hodnotu v bod 3. Tak zde bude bohat sta it metoda (A) f(3) = 3 2 = 9 P íklad 3: M jme odmocninovou funkci, tedy f(x) = x Chceme zjistit funk ní hodnotu v bod 15. Metodu (A) op t opomineme, i kdyº pouºitelná je. Metoda (B) 11

12 Je tedy f(15)=3, =3, Metoda (C) Kalkula ka, kterou pouºívám nemá speciální tla ítko pro odmocninu, takºe si je t eba uv domit, ºe x = x 0,5 12

13 Je tedy f(15)=3, =3, P íklad 4: Chceme zjistit sin(0,5). Metoda (A) pouºitelná, ale relativn sloºitá. Metoda (B) Nejprve p ekonáme drobný technický problém. V tabulkách (alespo v t ch, které mám k dispozici) jsou hodnoty sinu uvedeny pro stupn. Ud láme nejprve tzv. p epo et radián na stupn dle vzorce: st=57,302.rad=57,302. 0,5=28, =29 13

14 Dostáváme tak celkov sin(0,5)=0, =0, Metoda (C) Tedy sin(0,5)=0, =0,479 Výsledek se drobn li²í od ísla získaného metodou (B), to je zp sobeno omezeným po tem údaj v tabulkách. /p í²t : u iníme n kolik p edb ºných poznámek, neº se budeme v novat klí ovému pojmu zobrazení/ 7. díl U iníme nyní n kolik p edb ºných poznámek, které nám budou uºite né i v budoucnu. 14

15 (1.) Je²t o reálných íslech a zaokrouhlování Reálná ísla jsou asto tzv. iracionální, tj. za desetinnou árkou se nachází nekone n íslic. P itom nedochází k nekone nému opakování skupiny íslic, jako je to nap. v p ípad : 5, Iracionální íslem je nap. ƒíslo π, tedy íslo pí π = 3, Iracionálním íslem je téº 2 2 = 1, Poznámka k minulé ásti: Rovnost je zabudována v samých základech matematické logiky a je pro nás velmi cenná. To se ukazuje zvlá²t v úvahách, kde je celý et z rovností. Budu se proto pokou²et psát symbol = jen tam, kde skute n rovnost nastává. Kde se bude jednat o zaokrouhlenou hodnotu, tam budu psát symbol =.. Takºe nap. π =. 3, = 1, 41 (2.) Dal²í mnoºinový symbol symbol náleºení Jiº jsme poznali zápis mnoºiny ve form prvek: vlastnost prvku. Nyní p idáme symbol náleºení. Ozna íme-li n jakou mnoºinu nap. M a n jaký prvek p, pak zápisem p M vyjad ujeme fakt, ºe prvek p pat í do mnoºiny M. Naopak zápisem p / M vyjad ujeme fakt, ºe prvek p nepat í do mnoºiny M. (3.) Zna ení pro reálná ísla, p ímku a rovinu. Písmenem R budeme zna it mnoºinu reálných ísel. Zde pouºívám stejné vyobrazení jako jsem jiº pouºíval: body zna ím mod e. Symbolem R 2 budu zna it mnoºinu v²ech bod v rovin 15

16 (4.) interval Asi nej ast ji pouºívanou ástí mnoºiny reálných ísel je interval, který je tvo en v²emi ísly mezi n jakými dv ma pevn danými ísly. Na obrázku je znázorn n interval (1, 4. Je tvo en v²emi ísly mezi jedni kou a ty kou, p i emº jedni ka tam nepat í. Fakt, ºe tam krajní bod nepat í je vyjád en kulatou závorkou ( a na obrázku dutým kole kem. Naopak fakt, ºe íslo do intervalu pat í je vyjád en lomenou závorkou a na obrázku plným kole kem. Vyuºijeme-li mnoºinového zápisu, pak lze ná² interval zapsat jako (1, 4 = {x : 1 < x 4} Zkusme nyní probrat v²echny typy interval, místo krajních bod pouºijeme písmena, t eba a a b, která nám, jak víme, zastupují ísla. (A) interval (a, b) = {x : a < x < b} (B) interval a, b = {x : a x b} (C) interval a, b) = {x : a x < b} (D) interval (a, b = {x : a < x b} 16

17 (E) interval (, a) = {x : x < a} (F) interval (, a = {x : x a} (G) interval (a, ) = {x : x > a} (H) interval a, ) = {x : x a} Poznámka o symbolu nekone no: V bodech (E)-(H) jsme pouºili symbolu nekone na. Nad jeho významem nemusíme p emý²let, t eba ve vztahu (a, ) = {x : x > a} denujeme levou stranu pomocí pravé strany. Mohli jsme tuto denici ud lat t eba jako Hzygh2\r = {x : x > a}, ale bylo by to dost nep ehledné. V rovin intuice si vysta íme s p edstavou, ºe je na íselné ose umíst né "velice daleko nalevo" a je velice daleko napravo. (5.) Deni ní obor funkce Deni ní obor funkce je mnoºina ísel, ze které do této funkce dosazujeme. Ozna íme-li funkci "f", pak deni ní obor této funkce zna íme "D(f)". Deni ním oborem nemusí být celá mnoºina reálných ísel R. Jsou k tomu v podstat dva d vody. D vod první: v bec nelze do funkce dosadit, tedy vypo ítat její funk ní hodnotu. To je t eba p ípad odmocninové funkce f(x) = x. Nelze odmoc ovat záporná ísla, tedy D(f) = 0, ). Podobn nelze logaritmovat záporná ísla a ani nulu, tedy D(log) = (0, ). D vod druhý: z n jakých d vod se nám hodí omezit se na men²í mnoºinu. (6.) Zápis funkce, v etn deni ního oboru Zápis, který budeme asto pouºívat je tento: f : t f(t), t D(f) Vyjad ujeme tím, ºe do funkce f dosazujeme pouze ísla z mnoºiny D(f) /p í²t : zavedeme pojem zobrazení a ilustrujeme jej na na²í kruºnici/ 17

18 8. díl Bodem budeme (prozatím) rozum t bu reálné íslo, tj. bod na íselné ose nebo bod v rovin. P ipome me, ºe body v rovin jsou pro nás ur eny sou adnicemi. Nap. [3, 8] R 2 je pro nás bodem roviny. Zobrazením budeme (prozatím) rozum t p edpis, který bodu p i adí bod. Zobrazení jakoºto matematický objekt, jak jsme si jiº zvykli, budeme zna it písmenem. V tomto díle zvolím pro název zobrazení písmeno z. Jelikoº zobrazení je zobecn ním pojmu funkce, jsou pojmy týkající se zobrazení analogické pojm m pro funkce. Viz body (6.) a (7.) ze 7.dílu na²eho seriálku. Dnes bych rád ilustroval speciální p ípad zobrazení z : R R 2, tedy zobrazení, které reálnému íslu p i adí bod v rovin. P edpis pro toto zobrazení má obecn tvar z(t) = [f(t), g(t)], t D(z) kde f a g jsou n jaké funkce To byl d vod, pro jsme se v p edminulém díle zabývali funkcemi, a to hlavn z hlediska výpo tu funk ní hodnoty. Ilustra ní p íklad: M jme zobrazení dané p edpisem: z(t) = [cos(t), sin(t)], t 0, 2π) Spo tu hodnoty zobrazení v n kterých bodech deni ního oboru a ukáºu to na "obrázku" tím by se m la získat ur itá geometrická p edstava. Výchozí obrázek je tento: Deni ní obor zobrazení z je vyzna en mod e. Místo ísla 2π pouºívám zaokrouhlenou hodnotu: 2π =. 2 3, 1 = 6, 2. Tedy deni ním oborem je interval 0; 6, 2). 18

19 Jak jsem jiº ekl, budu po ítat hodnoty zobrazení z v n kterých bodech deni ního oboru. V matematické abstrakci je totiº bod v intervalu 0; 6, 2) nekone n. Vybral jsem si (vcelku náhodn ) body: B 1 = 0, 3 B 2 = 1 B 3 = 1, 6 B 4 = 2 B 5 = 2, 5 B 6 = 2, 9 B 7 = 3, 4 B 8 = 3, 9 B 9 = 4, 4 B 10 = 4, 9 B 11 = 5, 4 B 12 = 5, 8 B 13 = 6, 1 poznámka: Mám-li vícero objekt, které jsou n jak spjaty dohromady, pouºívá se asto v matematice psaní index. Prost, místo toho, abych pouºil t ináct r zných písmen, pouºiji jedno písmeno a opat ím jej r znými indexy. Spo tu nyní hodnoty zobrazení z v bodech B 1 aº B 13. Pro výpo et hodnot sinu a kosinu pouºiji kalkula ku, jak jsme to e²ili v 6. díle na²eho seriálku. z(b 1 ) = [cos(b 1 ), sin(b 1 )] = [cos(0, 3), sin(0, 3)]. = [0, 96; 0, 30] = C 1 z(b 2 ) = [cos(b 2 ), sin(b 2 )] = [cos(1), sin(1)]. = [0, 54; 0, 84] = C 2 z(b 3 ) = [cos(b 3 ), sin(b 3 )] = [cos(1, 6), sin(1, 6)]. = [ 0, 03; 1] = C 3 z(b 4 ) = [cos(b 4 ), sin(b 4 )] = [cos(2), sin(2)]. = [ 0, 42; 0, 91] = C 4 z(b 5 ) = [cos(b 5 ), sin(b 5 )] = [cos(2, 5), sin(2, 5)]. = [ 0, 80; 0, 60] = C 5 z(b 6 ) = [cos(b 6 ), sin(b 6 )] = [cos(2, 9), sin(2, 9)]. = [ 0, 97; 0, 24] = C 6 z(b 7 ) = [cos(b 7 ), sin(b 7 )] = [cos(3, 4), sin(3, 4)]. = [ 0, 97; 0, 26] = C 7 z(b 8 ) = [cos(b 8 ), sin(b 8 )] = [cos(3, 9), sin(3, 9)]. = [ 0, 73; 0, 69] = C 8 z(b 9 ) = [cos(b 9 ), sin(b 9 )] = [cos(4, 4), sin(4, 4)]. = [ 0, 31; 0, 95] = C 9 z(b 10 ) = [cos(b 10 ), sin(b 10 )] = [cos(4, 9), sin(4, 9)]. = [0, 19; 0, 98] = C 10 z(b 11 ) = [cos(b 11 ), sin(b 11 )] = [cos(5, 4), sin(5, 4)]. = [0, 63; 0, 77] = C 11 z(b 12 ) = [cos(b 12 ), sin(b 12 )] = [cos(5, 8), sin(5, 8)]. = [0, 89; 0, 46] = C 12 19

20 z(b 13 ) = [cos(b 13 ), sin(b 13 )] = [cos(6, 1), sin(6, 1)]. = [0, 98; 0, 18] = C 13 M ºeme vyslovit hypotézu (nebudu ji dokazovat), ºe kdybychom zobrazili v²echny body intervalu 0, 2π), získali bychom na²i kruºnici. /p í²t se budeme zabývat i jinými k ivkami, neº je kruºnice/ 9. díl Dnes ukáºi n kolik p íklad k ivek. Na obrázcích stále je²t zd raz uji ást vlevo a ást vpravo. Vlevo jsou body, které jsou zobrazovány, tedy deni ní obor. Vpravo jsou obrazy t chto bod p i zobrazení z. Pouºívám program gnuplot. P íklad 1: Elipsa ur ená zobrazením z : t [5 cos(t), 3 sin(t)], t 0, 2 π) 20

21 P íklad 2: Parabola ur ená zobrazením z : t [t, t 2 ], t R P íklad 3: P ímka ur ená zobrazením z : t [t, 3 t + 4], t R P íklad 4: π/2, π/2) P lkruºnice ur ená zobrazením z : t [cos(t), sin(t)], t P íklad 5: Spirála ur ená zobrazením z : t [(1/t) cos(t), (1/t) sin(t)], t 3, 30 21

22 /p í²t : zatím jsme pracovali s body, p í²t zavedeme pojem vektoru, jeº v sob nese význam sm ru/ 10. díl Ohledn vektor rozli²íme po etní a geometrickou stránku v ci. [A] po ítání s vektory Jiº jsme poznali zápis bodu, konkrétn nap. ve tvaru [2,5]. Ve skute nosti je objekt [2,5] speciálním p ípadem v matematice hojn pouºívaného objektu, kterému se íká uspo ádaná dvojice. Uspo ádaná proto, ºe záleºí na po adí ísel. [2,5] není totéº co [5,2]. Uspo ádaná dvojice je tvo ena sloºkami. Vektor bude téº uspo ádaná dvojice, akorát ºe místo hranatých závorek pouºijeme kulaté. Vektorem bude tedy nap. uspo ádaná dvojice (3,6). Podstatou pro po ítání s body a vektory je tzv. po ítání po sloºkách.to spo ívá v tom, ºe danou operaci provedeme pro kaºdou sloºku zvlá². Musíme v²ak v d t, zda po ítáním vznikne bod nebo vektor. K tomu jsou ur ena následující pravidla: Pravidlo 1: Vektor plus vektor je vektor. Vektor mínus vektor je vektor. Pravidlo 2: Bod plus vektor je bod. Pravidlo 3: Bod mínus bod je vektor. Pravidlo 4: ƒíslo krát vektor je vektor. 22

23 Tato pravidla si ihned osv tlíme na p íkladech a zanedlouho téº geometricky. P íklad 1: Spo t me (4,1) + (2,7). Dle pravidla 1 bude výsledkem vektor. Na pravou stranu rovnosti tedy pí²i kulaté závorky: (4,1) + (2,7) = (4+2, 1+7) = (6,8) P íklad 2: Spo t me [2, 4] + (1,5). Dle pravidla 2 bude výsledkem bod. Na pravou stranu rovnosti tedy pí²i hranaté závorky: [2, 4] + (1,5) = [2 + 1, 4 + 5]= [3, 9]. P íklad 3: Spo t me [6,5] [2, 3]. Dle pravidla 3 bude výsledkem vektor. Na pravou stranu rovnosti tedy pí²i kulaté závorky: [6,5] [2, 3] = (6 2, 5 3 ) = (4, 2) P íklad 4: Spo t m 2 (3, 4). Dle pravidla 4 bude výsledkem vektor. Na pravou stranu rovnosti tedy pí²i kulaté závorky: 2 (3, 4) = (2 3, 2 4) = (6, 8) /p í²t : osv tlíme geometrický význam vektoru/ 11. díl [B] Geometrický význam vektoru Geometricky je vektor rovná ²ipka. Na obrázku je vektor, ozna me ho t eba u, vyzna en zelen. Bod P nazveme po áte ním bodem vektoru, bod K koncovým bodem vektoru. Souvislost mezi geometrickým pojetím a pojetím uspo ádané dvojice dává následující vztah: vektor = koncový bod mínus po áte ní bod S na²ím ozna ením tedy dostáváme u=k P S vyuºitím pravidla 3 z minulého dílu, m ºeme spo ítat: u=k P =[5,3] [2,1] = [5-2, 3-1] = (3,2) Poznámka: Ukaºme si na p íklad, ºe r zn posunuté (ale jinak stejné) ²ipky jsou týmº vektorem. 23

24 Na obrázku vidíme t i vektory, které se zjevn li²í pouze posunutím. Po ítejme: u =[1,2] [0,0] = (1,2) v =[3,5] [2,3] = (1,2) w =[4,3] [3,1] = (1,2) Vidíme, ºe ve v²ech p ípadech jsme dostali to samé, tedy u=v=w. Je²t upozorn me na speciální polohu vektoru u, který má po átek v bod [0,0]. Nebude -li nám záleºet na umíst ní vektoru, pak jeho po átek umístíme práv do bodu [0,0]. Geometrický význam operací s body a vektory Ve zbytku tohoto dílu se podívejme jak geometricky chápat pravidla (1) (4) P íklad1: Na následujícím obrázku jsou vektory u = (4, 1), v = (2, 7) Vektor w = u + v získáme tak, ºe vektor v posuneme tak, aby m l po áte ní bod v koncovém bod vektoru u. Vektor w pak spojuje po áte ní bod vektoru u a koncový bod vektoru v. V²e je lépe vid t na obrázku: 24

25 P íklad 2: Na následujícím obrázku je bod B = [2, 4] a vektor u = (1, 5) Bod C = B + u získáme tak, ºe vektor u posuneme tak, aby m l po áte ní bod v bod B. Bod C je pak koncovým bodem takto posunutého vektoru u. Op t je to lépe vid t z obrázku: P íklad 3: Na následujícím obrázku jsou body B = [6, 5] a C = [2, 3]. Vektor u = B C získáme prost tak, ºe tyto dva body spojíme. 25

26 P íklad 4: Na následujícím obrázku je vektor u = (3, 4) Vektor v = 2 u získáme tak, ºe jeho délku zv t²íme dvakrát, ale sm r zachováme. /p í²t : ukáºeme rovnici p ímky s pomocí vektorového zápisu/ 12. díl P edev²ím i kdyº budeme asto mluvit o rovnici p ímky, p ípadn o parametrické rovnici p ímky, budeme mít na mysli "zobrazení ur ující p ímku. Podívejme se na p íklad 3 z 9. dílu na²eho seriálku: 26

27 z(t) = [t, 3 t + 4] Úpravou dle p íslu²ných pravidel pro po ítání s body a vektory dostáváme: [t, 3 t + 4] = [0, 4] + (t, 3 t) = [0, 4] + t (1, 3) Ozna me B = [0, 4] a s = (1, 3) a podívejme se na ná² obrázek znovu: Vidíme, ºe bod B leºí na na²í p ímce a vektor s je s ní rovnob ºný. Toto platí obecn. Zobrazení ur ující p ímku má tvar: z(t) = B + t s, t R p i emº bod B leºí na p ímce a vektor s je s p ímkou rovnob ºný. Vektor s nazýváme sm rovým vektorem /p í²t : te na jakoºto lineární aproximace/ 13. díl Te nou ke k ivce v n jakém bod rozumíme p ímku, která se co nejvíce p ibliºuje sm ování k ivky. 27

28 Na následujícím bod je p ímka, která sice prochází daným bodem T, ale te nou není. Omezíme se nyní na malé okolí bodu T. Viz ervený krouºek. P i desetinásobném zv t²ení, jako bychom se dívali pod lupou, vidíme, ºe jsou ob k ivky skoro stejné. 28

29 Vysv tleme n které termíny: lineární n co rovného, nap. p ímka nebo rovina aproximace..... p iblíºení, nahrazení lokální.... omezujeme se na n jaké malé okolí daného bodu M ºeme tak íci, ºe te na je lokální lineární aproximací k ivky. Budeme nyní sm ovat ke vzorci pro sm rový vektor te ny. K tomu budou pot eba jisté dal²í úvahy. /p í²t : výpo et derivace/ 14. díl Spokojíme se v tuto chvíli s konstatováním, ºe derivace funkce je op t funkce. Derivace funkce f se zna í f. Pro výpo et derivace lze pouºít jisté vzorce, my se v²ak vydáme jinou cestou. Pouºijeme program sage. I v jiných programech se pouºívá následující p epis symbol : místo krát se pouºije symbol hv zdi ka * místo mocn ní se pouºije symbol st í²ky ^, nap. x 2 se p epí²e jako x^2 P íklad 1: Zderivujme funkci f(t) = t 5 Dostáváme f (t) = 5t 4 P íklad 2: Zderivujme funkci f(t) = cos(t) Dostáváme f (t) = sin(t) P íklad 3: Zderivujme funkci f(t) = 5 t + 1/t Dostáváme f (t) = 1/t P íklad 4: Zderivujme funkci f(t) = t 2 sin(t) Dostáváme f (t) = 2t sin(t) + t 2 cos(t) P íklad 5: Zderivujme funkci f(t) = log(sin(t)) Dostáváme f (t) = cos(t)/ sin(t) 29

30 /P í²t : derivace zobrazení/ 15. díl P i výpo tu derivace zobrazení se uplatní my²lenka provád ní operace po sloºkách. Tím problém p evedeme na problém derivace funkce, kterému jsme se v novali v minulém dílu. Roz²i me denici zobrazení tak, ºe p i azení vektoru íslu je také zobrazení. Derivace zobrazení je tímto p ípadem. Na pravou stranu pí²eme tedy kulaté závorky. Víme, ºe kaºdé zobrazení z lze psát v tvaru: z(t) = [f(t), g(t)], kde f a g jsou n jaké funkce. Pro derivaci pak platí: z (t) = (f (t), g (t)) Jinými slovy, derivujeme ob sloºky zobrazení z zvlá²t. P íklad: Spo t me derivaci zobrazení z(t) = [t 2, sin(t)]. Nap íklad pomocí programu sage zjistíme, ºe (t 2 ) = 2t a (sin(t)) = cos(t) Odtud máme, ºe z (t) = (2t, cos(t)) /p í²t : nalezení vzoru bodu/ 16. díl M jme zobrazení z. Máme-li dané íslo t, víme jak spo ítat bod B = z(t). U iníme tak, ºe dosadíme t do zobrazení z. M ºeme mít ov²em opa nou úlohu. 30

31 Známe bod B a chceme spo ítat íslo t. vzorem bodu B. Zna íme z 1 (B) = t. V tomto p ípad se íslo t nazývá P íklad: M jme zobrazení z(t) = [cos(t), sin(t)], t 0, 2π) Dále m jme zadaný bod B = [ 0, 74; 0, 67]. Chceme spo ítat t = z 1 (B). To znamená e²ení následujících rovnic: cos(t) = 0, 74 sin(t) = 0, 67 Pro e²ení pouºijeme program Sage. První rovnice má tato dv e²ení: Druhá rovnice má tato dv e²ení: Spole ným e²ením je t. = 2, 4. /p í²t : vzorec pro sm rový vektor te ny/ 17. díl Nyní jiº máme pot ebné znalosti, abychom uvedli a následn pouºili vzorec pro sm rový vektor te ny. Ozna íme-li s sm rový vektor te ny ke k ivce z v bod T, pak s = z (z 1 (T )) P íklad: M jme zobrazení z(t) = [5 cos(t), 3 sin(t)] a bod T = [3, 54; 2, 09]. Chceme spo ítat sm rový vektor te ny v bod T. 1. Nap. pomocí programu Sage zjistíme, ºe t = z 1 (T ) = 0, Spo teme derivaci z (t) = ( 5 sin(t), 3 cos(t)) 3. Dosadíme za t s = z (0, 78) = ( 5 sin(0, 78), 3 cos(0, 78)) = ( 3, 90; 2, 13) 4. Spo teme koncový bod K vektoru s K = T + s = [3, 54; 2, 09] + ( 3, 90; 2, 13) = [ 0, 36; 4, 22] 31

32 Nyní uº zbývá nakreslit te nu tak, aby procházela sm rovým vektorem. /p í²t : trojrozm rný prostor/ 18. díl Trojrozm ným prostorem ( i krátce prostorem) rozumíme mnoºinu v²ech uspo ádaných trojic. Zna íme ji R 3. Pí²eme-li uspo ádanou trojici do hranatých závorek, nazýváme ji bodem. Pí²eme-li ji do kulatých závorek, jedná se o vektor. Sou adnice bodu se získají tak, jak je patrné z následujícího obrázku. Je zde vyzna en bod B = [3, 2, 4]. 32

33 šluté úse ky jsou kolmé na p íslu²né sou adné osy. V²e co bylo dosud e eno o bodech, zobrazeních a vektorech platí téº v prostoru. Zobrazení R R 3 ur uje k ivku v prostoru. P íklad: Zobrazení z : t [cos(t), sin(t), t] ur uje ²roubovici. (tvar má jako závit ²roubu) Na následujícím obrázku je znázon na te na ke ²roubovici v bod T. /p í²t : pojem plochy/ 33

34 19. díl Plocha je ur ena zobrazením R 2 R 3. Znamená to, ºe bodu [s, t] v rovin se p i azuje bod [x, y, z] v prostoru. Na následujícím obrázku je rota ní paraboloid ur ený zobrazením g(s, t) = [cos(s), sin(s), t 2 ]. V²imn me si, ºe místo g([s, t]) pí²eme stru n ji g(s, t). /p í²t : rovnice roviny/ 20. díl Na následujícím obrázku je rovina daná zobrazením g(s, t) = [s, t, 5s + 4t + 5] Úpravou tohoto p edpisu dostáváme g(s, t) = [0, 0, 5] + s(1, 0, 5) + t(0, 1, 4) Bod [0, 0, 5] v rovin leºí a vektory (1, 0, 5), (0, 1, 4) jsou s ní rovnob ºné. 34

35 Toto platí obecn : libovolná rovina má rovnici g(s, t) = B + s u + t v, kde B je bod leºící v rovin a vektory u a v jsou s ní rovnob ºné. Tyto vektory se nazývají sm rové. /p í²t : te ná rovina/ 21. díl 1. jiné zna ení derivace Víme, ºe funkci lze zadat p edpisem. Nap. f(t) = sin(t). Symbol "t" se v tomto p ípad nazývá prom nná. Známe zna ení derivace ve form f (t). Uºite né zna ení má v²ak také formu df dt. 2. pojem parciálních derivací Pojem parciální derivace si vysv tleme na zobrazení ur ující sféru, tj. povrch koule. g(s, t) = [sin(t) cos(s), sin(t) sin(s), cos(t)] Na obrázku je ukázána ást sféry. Rozepi²me si toto zobrazení do jednotlivých sloºek: g 1 (s, t) = sin(t) cos(s) g 2 (s, t) = sin(t) sin(s) g 3 (s, t) = cos(t) Kaºdé sloºce se budeme v novat zvlá². Za n me s první sloºkou: g 1 (s, t) = sin(t) cos(s) 35

36 Jedná se o zobrazení R 2 R. Tomuto typu zobrazení íkáme funkce dvou prom nných. Symbolu "s" se v tomto p ípad íká první prom nná. Symbolu "t" se íká druhá prom nná. V tomto p ípad budeme provád t derivaci podle kaºdé prom nné zvlá²t. Tyto derivace se nazývají parciální. Zna í se pomocí "kroucených dé ek", tedy g 1 s a g1 t. Pro jejich výpo et pouºijeme op t program "sage". Tím dostáváme g1 g1 s = sin(s) sin(t) a t = cos(s) cos(t). Op t pomocí programu "sage" získáme ostatní parciální derivace. g 2 s = sin(t) cos(s) g 2 t = cos(t) sin(s) g 3 s = sin(t) g 3 t = 0 3. parciální derivace zobrazení Nyní vypo tené parciální derivace spojíme dohromady následujícím zp - sobem. g s = ( g1 s, g2 s, g3 s ) a g t = ( g1 t, g2 t, g3 t ) V na²em konkrétním p ípad to znamená, ºe g s = ( sin(t) sin(s), sin(t) cos(s), sin(t)) = (cos(t) cos(s), cos(t) sin(s), 0) g t 4. sm rové vektory pro te nou rovinu Uve me nejprve bez d kazu fakt, ºe sm rové vektory te né roviny jsou práv parciální derivace g s a g t. P íklad: Uvaºujme stále p ípad zobrazení g, které ur uje sféru. Volme t = 2 a s = 3. Odpovídající bod je B = [2, 3]. Jeho obrazem p i zobrazení g je C = g(b) = [sin(2) cos(3), sin(2) sin(3), cos(2)] = [ 0, 90; 0, 13; 0, 42] Tento bod C je dotykovým bodem n jaké te né roviny ke sfé e. Ur íme nyní sm rové vektory této te né roviny. g (2, 3) = ( sin(3) sin(2), sin(3) cos(2), sin(3)) = ( 0, 12; 0, 06; 0, 14) s g t (2, 3) = (cos(3) cos(2), cos(3) sin(2), 0) = (0, 41; 0, 90; 0) Tímto kon íme první díl na²eho seriálku. /p í²t : pojem matice/ 36

37 22. díl Poznali jsme, ºe k ivka i plocha je ur ena zobrazením. Dále jsme zjistili, ºe k danému bodu na k ivce existuje te na. Podobn k danému bodu na plo²e existuje te ná rovina. Te nu i te nou rovinu budeme souhrnn nazývat te ným prostorem. Vid li jsme, ºe te ný prostor se po ítá pomocí derivace. Nyní m ºeme za ít dal²í ást seriálu. 2. N které pojmy z algebry Za neme pojmem matice. následující form. Matice je v podstat tabulka ísel zapsaná v ( ) D leºitou my²lenkou je, ºe ádky i sloupce matice lze chápat jako vektory. V na²em p ípad 1. ádek je vektor (3, 2) 2. ádek je vektor (5, 8) 1. sloupec je vektor (3, 5) 2. sloupec je vektor (2, 8) Matice v na²em p íklad má 2 ádky a 2 sloupce. íkáme, ºe je ádu 2. Ukaºme si p íklad matice ádu Op t lze ádky a sloupce chápat jako vektory. 1. ádek je vektor (2, 7, 1) 2. ádek je vektor (4, 6, 2) 3. ádek je vektor (3, 5, 1) 1.sloupec je vektor (2, 4, 3) 2.sloupec je vektor (7, 6, 5) 3.sloupec je vektor (1, 2, 1) Kaºdý prvek v matici má ur itou pozici. ekneme, ºe je na pozici i, j, jestliºe se nachází v i-tém ádku a v j-tém sloupci. Tak v na²em p íklad je na pozici 2,1 prvek 4, nebo se nachází ve 2. ádku a 1. sloupci. /p í²t : násobení matic/ 37

38 23. díl 1. skalární sou in vektor Neº se za neme zabývat maticemi, uvedeme jednu z nejd leºit j²ích operací týkající se vektor. Skalární sou in po ítáme tak, ºe odpovídající sloºky vynásobíme a vzniklá ísla se teme. P íklad: Spo t me (2, 4) (3, 5) Po ítejme (2, 4) (3, 5) = = = 26 P íklad: Spo t me (3, 1, 8) (2, 7, 2) Po ítejme (3, 1, 8) (2, 7, 2) = = = násobení matic ekn me, ºe máme matice A a B a jejich vynásobením vznikne matice C. Tedy A B = C Platí následující pravidlo. Pravidlo: Prvek matice C na pozici i,j je skalárním sou inem i-tého ádku matice A a j-tého sloupce matice B. P íklad: ( ) Po ítejme: na pozici 1,1 je (5, 9) (1, 2) = 23 na pozici 1,2 je (5, 9) (3, 2) = 33 na pozici 2,1 je (2, 6) (1, 2) = 14 na pozici 2,2 je (2, 6) (3, 2) = 18 Celkem tedy dostáváme ( ) ( ) 1 3 = 2 2 ( ) ( 23 ) P íklad: Zkusme je²t p íklad týkající se matic ádu Po ítejme: na pozici 1,1 je (2, 1, 7) (1, 3, 2) = 19 38

39 na pozici 1,2 je (2, 1, 7) (5, 0, 6) = 52 na pozici 1,3 je (2, 1, 7) (8, 2, 5) = 43 na pozici 2,1 je (3, 6, 5) (1, 3, 2) = 28 na pozici 2,2 je (3, 6, 5) (5, 0, 6) = 45 na pozici 2,3 je (3, 6, 5) (8, 2, 5) = 61 na pozici 3,1 je (2, 4, 0) (1, 3, 2) = 14 na pozici 3,2 je (2, 4, 0) (5, 0, 6) = 10 na pozici 3,3 je (2, 4, 0) (8, 2, 5) = 24 Celkem tedy dostáváme = /p í²t : inverzní matice/ 24. díl 1. jednotková matice Jednotková matice je matice, která má na diagonále 1 a jinde 0. Zna íme ji I. Jednotková matice ádu 2 je ( ) 1 0 I = 0 1 Jednotková matice ádu 3 je I = inverzní matice Nech je dána matice A. Matici, kterou ozna íme A 1, nazveme inverzní k matici A, jestliºe je spln no A A 1 = I P íklad: M jme matici A = ( )

40 Chceme ur it inverzní matici. Není na²ím cílem uvád t postup pro výpo et inverzní matice. Místo toho pouºijeme program "sage". Dostáváme tak A 1 = ( 8 ) Jelikoº umíme násobit matice, m ºeme ov it vztah A A 1 = I, tedy ( ) ( ) ( ) = P íklad: M jme matici A = Inverzní matici spo teme op t pomocí programu "sage". Dostáváme tak, ºe 1 1 A 1 11 = Op t m ºeme ov it vztah A A 1 = I, tedy = regulární matice Ne kaºdá matice má k sob matici inverzní. Tak nap íklad pro matici ( ) 2 1 A =

41 inverzní matice neexistuje. V tomto p ípad ohlásí program "sage" chybu. Reg- Matice, pro kterou inverzní matice existuje, se nazývá regulární. ulárními maticemi se budeme zabývat i v dal²ím textu. /p í²t : ortogonální matice/ 25. díl 1. transponovaná matice M jme matici A. Transponovonou maticí, kterou zna íme A T, rozumíme matici jejíº i-tý ádek je i-tým sloupcem matice A. P íklad: M jme matici A = ( ) Tato matice má sloupce (2, 1) a (3, 4). Transponovaná matice vznikne tak, ºe tyto sloupce napí²eme do ádk. Takºe ( ) A T 2 1 = 3 4 P íklad: M jme matici A = Tato matice má sloupce (8, 1, 6), (3, 4, 4) a (2, 5, 7). Transponovaná matice vznikne op t tak, ºe tyto sloupce napí²eme do ádk. Takºe A T = ortogonální matice Matice A je ortogonální, spl uje-li vztah A A T = I 41

42 P ipome me, ºe I zna í jednotkovou matici. P íklad: Ov me, ºe matice A je ortogonální Dosazením do vztahu A A T = I dostáváme = Jelikoº umíme násobit matice, umíme téº ov it tento vztah. Protoºe se v tomto p ípad po ítá s odmocninami, neza²kodí ov it výsledek alespo na dvou pozicích matice na pravé stran. Pouºíváme p itom vztah pro odmocniny a a = a. Na pozici 1,1 je ( , 3 14, 14 ) ( , 3 14, 14 ) = = = = 1. Na pozici 1,2 je ( , 3 14, 14 ) ( , 1 42, 42 ) = = ( ) = = vztah regulárních a ortogonálních matic P ipome me, ºe regulární matice je taková, ke které existuje matice inverzní. Jinak e eno, je spln n vztah A A 1 = I. P edpokládejme, ºe A je ortogonální matice, t.j. ºe platí A A T = I. Volíme-li A 1 = A T, je spln n první vztah, tedy A je regulární matice. Dosp li jsme tak k záv ru: Kaºdá ortogonální matice je téº matice regulární. Mnoºinová vsuvka. Zavedeme nový mnoºinový symbol, který znamená "být podmnoºinou". M jme mnoºiny M a N. Zápisem M N rozumíme, ºe kaºdý prvek mnoºiny M je téº prvkem mnoºiny N. íkáme, ºe M je podmnoºinou N. Vra me se nyní k na²ím maticím. Ozna me R mnoºinu v²ech regulárních matic a O mnoºinu v²ech ortogonálních matic. Vzhledem k faktu, ºe kaºdá ortogonální matice je regulární, m ºeme s pouºitím mnoºinové symboliky jednodu²e psát: O R Na záv r je²t ukaºme obrázek, který tento vztah vizuáln p ibliºuje. 42

43 /p í²t : pojem grupy/ 26. díl 1. algebraické struktury Smyslem matematické abstrakce je najít spole ný princip pro r zné jevy. P íkladem takového sjednocení jsou algebraické struktury. Algebraickou strukturou rozumíme mnoºinu opat enou jednou i více operacemi. Uve me nyní n které algebraické struktury. Jedná se ist o informativní záleºitost bez nároku na matematickou p esnost. grupa...mnoºina s jednou operací. Vyzna uje se existencí inverzních prvk. okruh...mnoºina se dv ma operacemi: s ítáním a násobením. Vzhledem k operaci násobení nemusí existovat inverzní prvky. Vzhledem k násobení existují in- t leso...mnoºina se dv ma operacemi. verzní prvky. vektorový prostor...mnoºina s operací s ítání a s operací násobení íslem. Je to kombinace okruhu a vek- algebra...mnoºina se t emi operacemi. torového prostoru. 43

44 obor integrity...komutativní 1 okruh bez d litel nuly. P íkladem je mnoºina polynom. ideál...podmnoºina okruhu s vlastností "pohlcování" prvk do sebe. Z vý²e uvedených struktur nás bude p edev²ím zajímat grupa a vektorový prostor. Za neme p esnou denicí grupy. 2. pojem grupy Mnoºina G opat ená operací se nazývá grupa, jestliºe jsou spln ny následující vlastnosti: (1) pro kaºdé prvky f G, g G, h G platí (f g) h = f (g h) (2) existuje prvek e G takový, ºe pro kaºdé g G je g e = g (3) pro kaºdý prvek g G existuje prvek g G takový, ºe g g = g g = e Poznámky: 1. Vlastnost z bodu (1) se nazývá asociativita. 2. Prvek e se nazývá jednotkový prvek grupy. 3. Prvek g se nazývá inverzním prvkem k prvku g. Na záv r si na ukázku dokaºme drobné tvrzení. Toto tvrzení pak bude platné pro kaºdou grupu a nebude se muset dokazovat pro kaºdý p ípad zvlá²t. Tvrzení: Bu G grupa. Pak pro kaºdé g G platí e g = g. 2 D kaz: Zvolme g G a po ítejme: e g = (g g) g = g (g g) = g e = g. V první rovnosti jsme pouºili vlastnost (3). Ve druhé rovnosti jsme pouºili vlastnost (1). Ve t etí rovnosti jsme pouºili op t vlastnost (3). Kone n ve tvrté rovnosti jsme pouºili vlastnost (2). /p í²t : p íklady grup/ 27. díl P íklady grup Uvedeme n kolik konkrétních p íklad grup. Krom mnoºiny G je t eba také zadat operaci. Následn je t eba ov it vlastnosti grupy, které p ipome me: 1 Tento pojem vysv tlíme pozd ji 2 Tento vztah sice p ipomíná p ímo vlastnost (2), ale nejedná se o totéº. Po adí prvk p i aplikaci operace je totiº obrácené. 44

45 (1) pro kaºdé prvky f G, g G, h G platí (f g) h = f (g h) (2) existuje prvek e G takový, ºe pro kaºdé g G je g e = g (3) pro kaºdý prvek g G existuje prvek g G takový, ºe g g = g g = e P íklad 1: Volme G = R mnoºinu reálných ísel a za operaci vezm me oby ejné s ítání. Ov me vlastnosti grupy: (1) P epí²eme-li tuto vlastnost, pak to znamená, ºe pro ísla a, b, c R má platit (a+b)+c = a+(b+c). Tato moºnost "p ezávorkování" je ov²em známou vlastností ísel. (2) Volme e = 0. Má platit, ºe pro kaºdé íslo a je a + 0 = a. To je op t známá vlastnost. (3) Máme dáno g = a, kde a je íslo. Poloºme g = a. Z ov ování bodu (2) jiº víme, ºe e = 0. Má tedy platit a + ( a) = ( a) + a = 0. I toto je nám známo. P íklad 2: Volme G = R \ {0} mnoºinu reálných ísel bez nuly a za operaci vezm me oby ejné násobení. Ov me vlastnosti grupy: (1) P epí²eme-li tuto vlastnost, pak to znamená, ºe pro ísla a, b, c R \ {0} má platit (a b) c = a (b c). "P ezávorkování" platí i pro násobení ísel, to je nám známo. (2) Volme e = 1. Má platit, ºe pro kaºdé nenulové íslo a je a 1 = a. To jist platí. (3) Máme dáno g = a, kde a 0 je íslo. Poloºme g = 1 a. 3 Z ov ování bodu (2) jiº víme, ºe e = 1. Má tedy platit a 1 a = 1 a a = 1. I toto je nám známo. P íklad 3: Volme G = R mnoºinu regulárních matic a za operaci vezm me násobení matic. P edev²ím je t eba ukázat, ºe operace je správn denovaná, coº znamená, ºe pro regulární matice A, B je jejich sou in A B op t regulární matice. To ov íme v dodatku na konci druhé ásti tohoto seriálu. Ov me vlastnosti grupy: (1) P epí²eme-li tuto vlastnost, pak to znamená, ºe pro matice A, B, C R má platit (A B) C = A (B C). D kaz p enecháme do dodatku. (2) Volme e = I, t.j. jednotkovou matici. Má platit, ºe pro kaºdou regulární matici A je A I = A. I tento fakt ov íme v dodatku. (3) Máme dáno g = A, kde A je regulární matice. Poloºme g = A 1, t.j. inverzní matici. Z denice inverzní matice plyne, ºe A A 1 = I. Lze dokázat, ºe z tohoto vztahu plyne téº, ºe A 1 A = I. Dohromady tak máme, ºe A A 1 = A 1 A = I. 3 D leºitý p edpoklad je nenulovost ísla a, protoºe nulou nelze d lit. 45

46 Z ov ování bodu (2) jiº víme, ºe e = I. Tím je ukázána vlastnost (3). P íklad 4: Volme G = O mnoºinu ortogonálních matic a za operaci vezm me násobení matic. Ov ení vlastností (1)-(3) provedeme pomocí pojmu podgrupy, kterému budeme v novat celý p í²tí díl. /p í²t : pojem podgrupy/ 28. díl Podgrupy Nejen v algeb e, ale i v jiných oblastech matematiky, má smysl studovat podmnoºiny n jaké struktury. P vodní struktura pak vytvá í (indukuje) na podmnoºin podstrukturu. Tento abstraktní p ístup nyní aplikujeme na pojem grupy. Denice: Bu G grupa s operací. Podmnoºinu H G nazveme podgrupou grupy G, jestliºe H spolu s operací 4 tvo í grupu. V konkrétních p ípadech je uºite né pouºít kritérium pro podgrupy. V n m se ov uje tzv. uzav enost operace, tedy to, ºe výsledek operace z stane v podmnoºin H. Schematicky lze tuto uzav enost na operaci znázornit následujícím obrázkem. 4 Podstatné je, ºe na H uvaºujeme stejnou operaci jako na G. 46

47 Dále se v kritériu poºaduje, aby inverzní prvek z stal v podmnoºin H. Op t lze schematicky vyjád it obrázkem. Formulujme nyní slovn kritérium pro podgrupy. Tvrzení: (kritérium pro podgrupu) Nech G spolu s operací je grupa a H G. Budiº spln no: (a) e H (b) pro kaºdé f, g H je f g H (c) pro kaºdé f H je f H Pak H je podgrupa grupy G. P íklad: Pouºijeme vý²e uvedené kritérium na grupu regulárních matic R a na mnoºinu ortogonálních matic O, která je podmnoºinou R. Ov ujeme vlastnost (a) z kritéria pro podgrupy. Pot ebujeme ukázat, ºe I O, tj., ºe jednotková matice je ortogonální. Po ítejme: I I T = I I = I. Pouºili jsme vztah I T = I, který ukáºeme v dodatku. Ov ujeme vlastnost (b). M jme matice A, B O. Chceme ukázat, ºe A B O. Po ítejme: (A B) (A B) T = (A B) (B T A T ) = A (B B T ) A T = A I A T = A A T = I. Pouºili jsme vztah (A B) T = B T A T, který ukáºeme v dodatku. Ov ujeme vlastnost (c). M jme matici A O. Chceme ukázat, ºe A 1 O. Po ítejme: A 1 (A 1 ) T = A T (A T ) T = A T A = A 1 A = I. Pouºili jsme vztah A 1 = A T, který platí pro ortogonální matice. Dále jsme pouºili vztah (A T ) T = A, který ukáºeme v dodatku. 47

48 /p í²t : uzav eme druhou ást na²eho seriálu dodatkem, obsahujícím d kazy pouºitých vztah / 29. díl Dodatek V tomto dodatku k druhé ásti na²eho seriálu provedeme d kazy vztah, které jsme pouºili v p edchozím textu. Bude téº ukázáno, jak se po ítá s prvky matice. Úvahy sice budou provedeny pro matice ádu 3, ale drobnou úpravou je moºno je zobecnit pro matice libovolného ádu. 1. zna ení prvk matice Máme-li matici A, pak prvek na pozici i,j, tj. v i-tém ádku a j-tém sloupci, ozna íme a ij. M ºeme tedy psát a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a pojem sumy Suma poskytuje zkrácený zápis za sou et více výraz. Forma sumy je tato: Do "výrazu v sum " se dosazují do "symbolu, p es který se s ítá", v na²em p ípad do i, postupn hodnoty od "po áte ní hodnoty" do "kone né hodnoty". V²echny takto vzniklé výrazy se se tou. P íklad: 48

49 3 i a ij = 1 a 1j + 2 a 2j + 3 a 3j i=1 3. vzorec pro sou in matic P edpokládejme, ºe máme sou in matic C = A B. Víme, ºe na pozici i, j matice C je skalární sou in i-tého ádku matice A a j-tého sloupce matice B. Máme tedy: c ij = (a i1, a i2, a i3 ) (b 1j, b 2j, b 3j ) = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j = Dospíváme tak ke vzorci c ij = 3 a ik b kj k=1 4. prvky jednotkové matice Prvky jednotkové matice I ozna me δ ij. Máme tak δ 11 δ 12 δ 13 I = = δ 21 δ 22 δ δ 31 δ 32 δ 33 3 k=1 a ik b kj Vidíme, ºe δ 11 = δ 22 = δ 33 = 1 a δ 12 = δ 13 = δ 21 = δ 23 = δ 31 = δ 32 = 0. Máme tak, ºe δ ij = 1 pro i = j a δ ij = 0 pro i j. Symbol δ ij se v této souvislosti nazývá Kroneckerovo delta. Poznamenejme je²t, ºe platí δ ij = δ ji, nebo na po adí index nezáleºí, záleºí pouze na tom, zda jsou stejné nebo r zné. 5. prvky transponované matice Prvek transponované matice A T ozna me a T ij. Tento leºí v i-tém ádku matice A T a je jeho j-tou sloºkou. Dle denice transponované matice je tento vektor i-tým sloupcem matice A. Ná² prvek se tak nachází v matici A na pozici j, i. Dosp li jsme ke vztahu a T ij = a ji 6. d kazy vztah pouºitých v ásti o algeb e Vztah 1: Pro kaºdé matice A, B, C platí (A B) C = A (B C) [bylo pouºito ve 27.díle, 3.p íkladu, bodu(1)] D kaz: Poloºme D = A B, E = D C, F = B C, G = A F. Máme ov it, ºe E = G. Po ítejme: e ij = 3 d ik c kj = 3 ( 3 a il b lk )c kj = 3 ( 3 a il b lk c kj ) = 5 3 ( 3 a il b lk c kj ) = k=1 k=1 l=1 3 a il ( 3 b lk c kj ) = 3 a il f lj = g ij l=1 k=1 l=1 5 po adí sum lze zam nit k=1 l=1 l=1 k=1 49

50 Vztah 2: Jsou-li matice A, B regulární, pak A B je regulární. P itom platí (A B) 1 = B 1 A 1. [bylo pouºito ve 27.díle, 3.p íkladu] D kaz: Ozna me C = A B. Ov ujeme, ºe C 1 = B 1 A 1. Po ítejme C C 1 = (A B) (B 1 A 1 ) = A (B B 1 ) A 1 = A I A 1 = A A 1 = I. Vztah 3: Pro kaºdou matici A platí A I = A. [bylo pouºito ve 27.díle, 3.p íkladu, bodu(2)] D kaz: Ozna me B = A I. Máme ukázat, ºe B = A. Po ítejme b ij = 3 k=1 a ik δ kj = 6 a ij δ jj = a ij 1 = a ij Vztah 4: Platí I T = I. [bylo pouºito ve 28.díle, v p íkladu p i ov ování vlastnosti (a)] D kaz: Po ítejme δ T ij = δ ji = δ ij Vztah 5: Pro v²echny matice A, B platí (A B) T = B T A T. [bylo pouºito ve 28.díle, v p íkladu p i ov ování vlastnosti (b)] D kaz: Ozna me C = A B a D = B T A T. Chceme ukázat, ºe C T = D. Po ítejme c T ij = c ji = 3 k=1 a jk b ki = 3 k=1 b ki a jk = 3 k=1 b T ik at kj = d ij Vztah 6: Pro kaºdou matici A platí (A T ) T = A. [bylo pouºito ve 28.díle, v p íkladu p i ov ování vlastnosti (c)] D kaz: Ozna me B = A T. Chceme ukázat, ºe B T = A. Po ítejme b T ij = b ji = a T ji = a ij /p í²t : zahájíme t etí ást seriálu, ve které se budeme v novat topologii/ 30. díl Ve druhé ásti na²eho seriálu jsme mj. zjisitili, ºe mnoºina regulárních matic R tvo í grupu a mnoºina ortogonálních matic O je její podgrupou. Nyní m ºeme p istoupit ke t etí ásti. 3. N kolik pojm z topologie Cílem je matematicky vyjád it pojem "blízkosti". Jeden p ístup je m ení vzdáleností, ímº se zabývá teorie metrických prostor. Je²t obecn j²í p ístup poskytuje topologická teorie. Jejím základním pojmem je otev ená mnoºina. 6 p i s ítání se vynulují ty leny s δ kj, pro n º k j 50

51 Otev ené mnoºiny Kv li názornosti za neme vysv tlením pojmu otev ené mnoºiny v rovin, t.j. v R otev ené mnoºiny v R 2 Pro testování otev enosti n jaké mnoºiny v R 2 pouºijeme kruh. Kruh je jednozna n ur en svým st edem a polom rem. Na obrázku je ozna en st ed x a polom r r. Celý kruh ozna íme U(x, r). Mnoºinu M nazveme otev enou, jestliºe pro kaºdý bod x M existuje kruh U(x, r) M. P íklad: Na obrázku máme mnoºinu M a chceme zjistit, zda je otev ená. P eru²ovaná ára vyjad uje fakt, ºe p íslu²né body neleºí v M. 51

52 Zvolíme-li bod x M, pak nalezneme kruh, který je podmnoºinou M. Viz následující obrázek. Toto jsme schopni u init pro libovolný bod x M. otev ená. Mnoºina M je tedy P íklad: Na obrázku máme mnoºinu N a chceme zjistit, zda je otev ená. 52

53 Zvolme bod x, který je na hranici mnoºiny N a je jejím prvkem. Zvolíme-li kruh se st edem x, pak jeho ást nebude leºet v N I kdybychom vzali n jaký men²í kruh, stále n jaká jeho ást nebude leºet v mnoºin N. Mnoºina N tedy není otev ená. 2. otev ené mnoºiny v R Pro testování otev enosti n jaké mnoºiny v R pouºijeme interval x r, x+r. I tento interval ozna íme U(x, r), takºe U(x, r) = x r, x + r 53

54 Denice otev enosti z stává stejná: Mnoºinu M nazveme otev enou, jestliºe pro kaºdý bod x M existuje U(x, r) M. P íklad: Chceme zjistit, zda interval (a, b) je otev ená mnoºina. Zvolíme-li bod x (a, b), vidíme z obrázku, ºe lze volit U(x, r) (a, b). M ºeme tedy konstatovat, ºe interval (a, b) je otev ená mnoºina. P íklad: Chceme zjistit, zda interval (a, b je otev ená mnoºina. Volíme-li za x pravý krajní bod intervalu (a, b, tj. x = b, pak vºdy n jaká ást mnoºiny U(x, r) neleºí v intervalu (a, b. To je patrné z následujícího obrázku. 54

55 Konstatujme tedy, ºe interval (a, b není otev ená mnoºina. 3. otev ené mnoºiny v R n Doposud jsme se zabývali prvky p ímky, roviny a prostoru, t.j. R, R 2, R 3. Nyní úvahy zobecníme do n-dimenzionálního prostoru. Ozna me R n mnoºinu v²ech uspo ádaných n-tic. Je-li x R n, pí²eme x = [x 1,..., x n ]. 7 Na²ím cílem je nyní zobecnit pojem kruhu a intervalu do prostoru R n. K tomu ov²em pot ebujeme pojem vzdálenosti bod. Vzdálenost bod Pouºijme pro vzdálenost bod X, Y R n ozna ení X Y a pokusme se ji vypo ítat. Za neme situací v R 2. Pi²me X = [x 1, x 2 ] a Y = [y 1, y 2 ]. 7 T i te ky zastupují v²echny sloºky s indexy od 2 do n 1. 55

56 Pro výpo et vzdálenosti X Y pouºijeme Pythagorovu v tu. Ta íká, ºe pro pravoúhlý trojúhelník platí a 2 + b 2 = c 2, kde a, b jsou délky odv sen a c je délka p epony. Na obrázku je zelen vyzna en pravoúhlý trojúhelník. Je a = y 1 x 1, b = y 2 x 2 a c = X Y. Dosazením do vztahu a 2 + b 2 = c 2 tak dostáváme: (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 = X Y 2 Odmocníme-li ob strany, dostáváme: (y1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 = X Y Kdybychom si dali trochu práce, mohli bychom op t pouºitím Pythagorovy v ty odvodit vztah pro vzdálenost bod v R 3. X Y = (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + (y 3 x 3 ) 2 Na základ analogie nyní m ºeme p istoupit k denici vzdálenosti v R n. Denice: Bu te X = [x 1,..., x n ] a Y = [y 1,..., y n ] dva body v R n. Vzdálenost bod X, Y denujme vztahem X Y = (y 1 x 1 ) (y n x n ) 2 = n (y i x i ) 2 i=1 Koule v R n Kruh je mnoºina bod, jejichº vzdálenost od st edu je men²í nebo rovna polom ru. Tohoto faktu vyuºijeme p i denici koule v R n. Denice: 56

57 Koulí v R n rozumíme mnoºinu U(x, r) denovanou vztahem U(x, r) = {y R n : y x r} Bod x R n nazveme st edem koule a íslo r polom rem koule. Nyní m ºeme kone n p istoupit k denici otev ené mnoºiny v R n. Denice: Mnoºinu G R n nazveme otev enou, jestliºe pro kaºdý bod x G existuje koule U(x, r) G. /p í²t : mnoºinové systémy, pr nik a sjednocení/ 31. díl Topologie je zásadn zaloºena na teorii mnoºin. Budeme se tedy v tomto díle v novat n kolika mnoºinovým pojm m. 1. SYSTÉMY MNOšIN Systémem rozumíme mnoºinu, která jako své prvky obsahuje n jaké mnoºiny. Klidn bychom místo systému mnoºin mohli mluvit o mnoºin mnoºin, nezní to ale moc dob e. Na obrázku je schematicky znázorn n mnoºinový systém S, které za své prvky obsahuje mnoºiny A, B, C, D. M ºeme téº psát S = {A, B, C, D}. 8 8 Tento zápis se nazývá "zápis mnoºiny vý tem jejích prvk ". 57

58 Jelikoº systém je speciální p ípad mnoºiny, m ºeme pro n j uplatnit mnoºinovou symboliku. Takºe nap. zápis A S znamená práv to, ºe A je prvkem S. 2. PR NIK MNOšIN Pr nik dvou mnoºin M jme mnoºiny A, B. Pr nikem mnoºin A a B rozumíme mnoºinu v²ech prvk, které jsou zárove v mnoºin A i B. Na obrázku je pr nik znázorn n mod e. Pr nik zna íme zápisem A B a s pouºitím mnoºinové symboliky lze psát A B = {x : x A, x B}. Pr nik systému mnoºin P edstavme si situaci, ºe máme více neº dv mnoºiny, dejme tomu ty i mnoºiny A, B, C, D. Jejich pr nikem rozumíme mnoºinu t ch prvk, které leºí ve v²ech mnoºinách A, B, C, D. Na následujícím obrázku je pr nik op t vyzna en modrou barvou. Jedna moºnost, jak zapsat pr nik je A B C D. S pomocí pojmu systému mnoºin lze u init stru n j²í zápis. Je-li S = {A, B, C, D}, pak pr nik m ºeme zapsat jako S. P istupme nyní k obecné denici. Je-li S systém mnoºin, pak pr nikem S rozumíme mnoºinu t ch prvk, které pat í do v²ech mnoºin ze systému S. Neboli lze psát S = {x : pro kaºdou mnoºinu S S je x S}. 58

59 3. SJEDNOCENÍ MNOšIN Sjednocení dvou mnoºin M jme mnoºiny A, B. Sjednocením mnoºin A a B rozumíme mnoºinu v²ech prvk, které jsou v mnoºin A nebo v mnoºin B. Na obrázku je sjednocení znázorn no op t mod e. Sjednocení zna íme zápisem A B a s pouºitím mnoºinové symboliky lze psát A B = {x : x A nebo x B}. Sjednocení systému mnoºin P edstavme si op t situaci, ºe máme více neº dv mnoºiny, dejme tomu ty i mnoºiny A, B, C, D. Jejich sjednocením rozumíme mnoºinu t ch prvk, které leºí v alespo jedné z mnoºin A, B, C, D. Na následujícím obrázku je sjednocení op t vyzna eno modrou barvou. Jedna moºnost, jak zapsat sjednocení je A B C D. S pomocí pojmu systému mnoºin lze u init stru n j²í zápis. Je-li S = {A, B, C, D}, pak sjednocení m ºeme zapsat jako S. P istupme nyní k obecné denici. Je-li S systém mnoºin, pak sjednocením S rozumíme mnoºinu t ch prvk, které pat í do alespo jedné mnoºiny ze systému S. Neboli lze psát S = {x : existuje S S tak, ºe x S}. /p í²t : denice topologie/ 59

60 32. díl V kapitole o algeb e jsme byli v situaci, ºe jsme m li výchozí mnoºinu a na ní strukturu zaji² ovala operace. V oblasti topologie zaji² uje strukturu systém mnoºin, spl ující ur ité vlastnosti. Poznámka: V následující denici pouºijeme nový mnoºinový pojem, který se nazývá prázdná mnoºina a zna í se. Je to mnoºina neobsahující ºádný prvek. Denice: Bu X mnoºina a T je systém podmnoºin mnoºiny X, který spl uje následující vlastnosti. (1) T, X T (2) je-li A, B T, pak A B T (3) je-li S T, pak S T Pak se T nazývá topologií na mnoºin X. Poznámka: Vlastnost (3) íká toto: vezmeme-li n které mnoºiny z T, pak i jejich sjednocení musí leºet v T. Jsou r zné zp soby, jak volit topologii. Nás bude p edev²ím zajímat následující volba. Volíme X = R n a T = {G R n : G je otev ená mnoºina } Nyní chceme ukázat, ºe takto zvolený systém T je topologie, tj. spl uje vlastnosti (1)-(3). P ipome me, ºe mnoºina G R n je otev ená, jestliºe pro kaºdý bod x G existuje koule U(x, r) G. Ov me vlastnost (1): Chceme ukázat, ºe T, t.j., ºe je otev ená mnoºina. Pro x máme ukázat existenci koule U(x, r). Ale ºádné takové x neexistuje, protoºe neobsahuje ºádný prvek. Není tedy co dokazovat a mnoºina je otev ená. Chceme ukázat, ºe R n T, t.j., ºe R n je otev ená mnoºina. Je-li x R n, volme polom r koule nap. r = 1. Protoºe U(x, 1) R n, je R n otev ená mnoºina. Ov me vlastnost (2): M jme A, B T, t.j. A a B jsou otev ené mnoºiny. Chceme ukázat, ºe A B je otev ená mnoºina. Volme tedy x A B. Pot ebujeme nalézt kouli U(x, r) A B. Jelikoº A je otev ená, existuje U(x, r 1 ) A. Jelikoº B je otev ená, existuje U(x, r 2 ) B. Nyní vezm me za r men²í íslo z ísel r 1 a r 2. Máme U(x, r) U(x, r 1 ) A, takºe U(x, r) A. Podobn máme U(x, r) U(x, r 2 ) B, takºe U(x, r) B. Dohromady tak získáme U(x, r) A B. Nalezli jsme poºadovanou kouli, tedy A B je otev ená mnoºina. 60

61 Ov me vlastnost (3): M jme S T. Chceme ukázat, ºe S je otev ená mnoºina. Volme tedy x S. Z denice sjednocení plyne, ºe existuje S S tak, ºe x S. Protoºe S je otev ená mnoºina, existuje koule U(x, r) S. Máme U(x, r) S S, takºe U(x, r) S. Nalezli jsme poºadovanou kouli, takºe S je otev ená mnoºina. Vý²e uvedená volba topologie je pro nás natolik d leºitá, ºe ji budeme nazývat euklidovská topologie na R n a budeme ji zna it T e. /p í²t : obecný pojem zobrazení/ 33. díl ZOBRAZENÍ Jak jiº bylo e eno, topologie jakoºto matematický obor, je siln zaloºena na teorii mnoºin. V dne²ním díle proto p i²el as na to, abychom se v novali obecn pojmu zobrazení. Pojem zobrazení jsme jiº hojn pouºívali v první ásti seriálu, tam jsme v²ak uvaºovali pouze speciální mnoºiny, a to R, R 2, R 3. V tomto díle budeme uvaºovat libovolné mnoºiny. Za neme s formální denicí. Denice Nech M a N jsou n jaké mnoºiny. Zobrazením mnoºiny M do mnoºiny N nazveme p edpis, který kaºdému pvku mnoºiny M p i adí n jaký prvek mnoºiny N. Ozna íme-li zobrazení písmenem z, pak pí²eme z : M N. Je-li prvku x M p i azen prvek y N, pak pí²eme y = z(x) P íklad 1: Zobrazení budu ilustrovat na mnoºinách, jejichº prvky jsou kv li p ehlednosti jednak písmena, jednak ísla. Oranºová ²ipka vede od prvku, ke kterému se p i azuje, k prvku, který se p i azuje. 61

62 Ozna íme-li zobrazení z, pak m ºeme psát: z(a) = 1, z(b) = 2, z(c) = 2, z(d) = 4, z(e) = 5, z(f) = 5, z(g) = 5, z(h) = 7 P íklad 2: V²imn me si na p edchozím obrázku, ºe m ºe nastat situace, kdy k jednomu prvku vedou dv nebo více ²ipek. Téº je moºné, ºe k prvku nevede ºádná ²ipka. Co v²ak p ípustné není, aby z jednoho bodu vycházelo více ²ipek neº jedna. 9 Uvedeme nyní n kolik denic týkajících se pojmu zobrazení a budeme je postupn vyuºívat v dal²ích dílech na²eho seriálu. Prosté zobrazení Zobrazení se nazývá prosté, jestliºe ke kaºdému prvku mnoºiny N vede nejvý²e jedna ²ipka. 9 V denici zobrazení se totiº hovo í o p i azení prvku, nikoli prvk. 62

63 Formáln m ºeme tento fakt vyjád it takto: jestliºe pro x 1, x 2 M platí x 1 x 2, pak z(x 1 ) (x 2 ). ƒi logicky stejn : jestliºe pro x 1, x 2 M platí z(x 1 ) = z(x 2 ), pak x 1 = x 2. Zobrazení z p íkladu 1 není prosté. Tak nap. dvoum r zným prvk m "b" a "c" je p i azen stejný prvek "2". Neboli z(b) = z(c), p estoºe b c. Zobrazení na mnoºinu ekneme, ºe zobrazení je na 10 mnoºinu, jestliºe ke kaºdému prvku mnoºiny N vede alespo jedna ²ipka. Formáln m ºeme tento fakt vyjád it takto: Pro kaºdé y N existuje x M tak, ºe z(x) = y. Zobrazení z p íkladu 1 není na. Nap. k prvku "3" nevede ºádná ²ipka. Bijekce Zobrazení, které je zárove prosté a na se nazývá bijekce. Znamená to, ºe ke kaºdému prvku z mnoºiny N vede práv jedna ²ipka. 10 Moºná zní nezvykle, ºe se pouºívá pouhá p edloºka "na". Zobrazení "na" se téº nazývá surjektivní. 63

64 Inverzní zobrazení Situace, kdy je zobrazení z bijekcí, nám umoº uje denovat inverzní zobrazení, které ozna íme z 1. Na následujícím obrázku je vyzna eno zelenými ²ipkami. Je tedy z 1 (1) = a, z 1 (2) = b, z 1 (3) = c, z 1 (4) = d, z 1 (5) = e. Podívejme se na propojení dvou prvk blíºe. Je z(x) = y a z 1 (y) = x. Dosadíme-li první rovnost do druhé, dostáváme vztah z 1 (z(x)) = x. Dosadíme-li druhou rovnost do první, dostáváme vztah z(z 1 (y)) = y. Obraz mnoºiny Obraz n jaké mnoºiny A M získáme tak, ºe vezmeme v²echny prvky, ke kterým vedou ²ipky z mnoºiny A. Obraz mnoºiny A zna íme z(a). Na následujícím obrázku jsme volili A = {b, d, e, f}. Je z(b) = 2, z(d) = 4, z(e) = 5, z(f) = 5. Je tedy z(a) = {2, 4, 5}. Na obrázku je obraz ozna en jako B. 64

65 Formální denice obrazu mnoºiny A je tato: z(a) = {y : y = z(x), x A} Vzor mnoºiny Vzor n jaké mnoºiny B N získáme tak, ºe vezmeme v²echny prvky, od kterých vedou ²ipky do mnoºiny B. Vzor mnoºiny B zna íme z 1 (B). Na následujícím obrázku jsme volili B = {1, 3, 4, 5}. Je z(a) = 1, z(d) = 4, z(e) = 5, z(f) = 5, z(g) = 5. Tedy z 1 (B) = {a, d, e, f, g}. Na obrázku je vzor ozna en jako A. Formální denice vzoru mnoºiny B je tato: z 1 (B) = {x : z(x) B} /p í²t : spojité zobrazení a homeomorsmus/ 34. díl 65

66 SPOJITÉ ZOBRAZENÍ Uvaºujme situaci, ºe máme mnoºinu X s topologií T a mnoºinu Y s topologií S. Dále máme zobrazení z : X Y. Cht li bychom, aby toto zobrazení bylo v n jakém souladu s ob ma topologiemi. Takovému poºadavku vyhovuje pojem spojitého zobrazení. V tuto chvíli by se nám t ºko zd vod ovalo pouºití slova "spojitý", takºe uve me prozatím pouze denici. Denice Nech z : X Y, na mnoºin X je topologie T, na mnoºin Y je topologie S. ekneme, ºe zobrazení z je spojité, jestliºe pro kaºdou mnoºinu G S je z 1 (G) T. P ipome me, ºe z 1 (G) je vzor mnoºiny G. Tento pojem byl osv tlen v minulém díle. P ipojme je²t schematický obrázek. HOMEOMORFISMUS Homeomorsmus je zobrazení, které zachovává topologickou strukturu. Podobnou roli hrají v r zných oblastech r zná zobrazení. V algeb e je to izomorsmus, v teorii metrických prostor je to izometrie atd. O tom, jak homeomorsmus zachovává topologické pojmy, pojednáme asi o t i díly dop edu. Zatím uvedeme pouze denici. Denice ekneme,ºe zobrazení z : X Y je homeomorsmus, jestliºe platí: (1) z je bijekce 11, (2) z : X Y je spojité zobrazení, (3) z 1 : Y X je spojité zobrazení. /p í²t : n kolik topologických pojm / 11 Bijekci jsme denovali v minulém díle. D leºité je, ºe bijekce z má inverzní zobrazení z 1. 66

67 35. díl Na za átku tohoto dílu p idáme do sbírky dal²í mnoºinový pojem. Mnoºinový dopln k Dopl kem mnoºiny M do mnoºiny X rozumíme mnoºinu t ch prvk, které leºí v mnoºin X, ale neleºí v mnoºin M. Tento dopln k zna íme X \ M. Formální denice je X \ M = {x : x X, x / M}. Nyni se tedy m ºeme vrátit k hlavnímu tématu, to jest k topologii. N KOLIK TOPOLOGICKÝCH POJM Budiº X mnoºina opat ená topologií T. Topologickým pojmem rozumíme pojem, který je vymezen pouze mnoºinovými pojmy a systémem T. Budeme nyní denovat n kolik základních pojm a pokud moºno je vizualizovat. 1. Otev ená mnoºina Otev enou mnoºinou rozumíme libovolnou mnoºinu ze systému T. Tato obecná denice není v kolizi s jiº d íve denovaným pojmem otev ené mnoºiny v R n v 30. díle na²eho seriálu. To proto, ºe jsme pak následn v 32. díle denovali euklidovskou topologii T e práv jako systém otev ených mnoºin (ve smyslu staré denice). P ipome me, ºe p eru²ovaná ára nazna uje to, ºe body na "okraji" mnoºiny v ní neleºí. 2. Uzav ená mnoºina Mnoºinu F X nazveme uzav enou, jestliºe její dopln k X \F je otev ená mnoºina, tj. leºí v systému T. 67

68 3. Otev ené okolí bodu V 30. díle jsme pro testování otev enosti n jaké mnoºiny pouºili kruh. Tam se v²ak jednalo o speciální prostor R 2, kde je denována vzdálenost. V obecném topologickém prostoru je otev ené okolí bodu x jakousi náhraºkou kruhu se st edem x. Denice: ekneme, ºe U X je otev eným okolím bodu x X, jestliºe U je otev ená mnoºina a x U. Ve schematických obrázcích ho zpravidla znázor ujeme krouºkem, který je men²í neº jsou dal²í znázorn né mnoºiny. 4. Uzáv r mnoºiny Na za átku ásti seriálu o topologii jsme nazna lii, ºe topologie je schopná vyjád it pojem "blízkosti". Nyní uvedeme jeden pojem, který tuto skute nost zachycuje. Uzáv r mnoºiny M m ºeme chápat jako mnoºinu t ch bod, které jsou k mnoºin M libovoln blízko. Formální denice je tato: Denice: Uzáv r mnoºiny M X ozna me M a denujme vztahem M = {x : pro kaºdé otev ené okolí U bodu x je U M }. Jinými slovy, uzáv r je mnoºina t ch bod, jejichº kaºdé otev ené okolí protíná M. Na obrázcích vý²e je ukázáno, jak se bod x dostane do uzáv ru. 68

69 5. Hranice mnoºiny Pojem hranice i okraj jsme jiº intuitivn pouºívali, nyní uvedeme p esnou denici. Denice: Hranici mnoºiny M X ozna me M a denujme vztahem M = M X \ M. Na následujících obrázcích je vid t proces vzniku hranice. 6. Kompaktní mnoºina Uve me nejprve pojem mající mnoºinový charakter. Pokrytím mnoºiny M rozumíme n jaký systém mnoºin P takový, ºe M P. Jinak e eno, kaºdý bod z M se nachází v n které mnoºin ze systému P. Na obrázku vý²e je ukázáno pokrytí mnoºiny M tvo ené sedmi mnoºinami. Nás budou zajímat i pokrytí tvo ená nekone n mnoha mnoºinami. 69

70 Pojem kompaktní mnoºiny je velice silný a platí pro n j ada tvrzení, jak uvidíme pozd ji. Dnes uvedeme denici. Denice: Mnoºina K se nazývá kompaktní, jestliºe pro kaºdé její pokrytí P, tvo ené otev enými mnoºinami, existuje kone né pokrytí 12 K takové, ºe K P. 7. Odd lovací vlastnost T 2 Ukazuje se, ºe pro adu úvah je denice topologie p íli² obecná. K této denici se proto p idávají dal²í vlastnosti, které popisují schopnost topologie "odd lovat" od sebe body i mnoºiny. Tyto vlastnosti se nazývají T 1, T 2, T 3, T 31/2, T 4 a jsou se azeny od obecn j²ích ke speciáln j²ím. Nás bude dnes zajímat vlastnost T 2. Denice: ekneme, ºe topologie T na mnoºin X spl uje vlastnost T 2, jestliºe pro kaºdé x, y X, x y, existuje U otev ené okolí bodu x a V otev ené okolí bodu y taková, ºe U V =. /p í²t : ukáºeme n kolik tvrzení o práv zavedených pojmech/ 36. díl Vytvá et teorii z pouhých denic by nem lo p íli² smysl, proto dnes uvedeme n kolik tvrzení. První ást se bude týkat otev enosti a uzav enosti mnoºin. Druhá ást se bude týkat kompaktnosti. Kone n ve t etí ásti se zmíníme o jedné vlastnosti eukleidovské topologie. Nebude na ²kodu, kdyº p ipomeneme deni ní vlastnosti topologie T na mnoºin X. Jsou to tyto vlastnosti. (1) T, X T (2) je-li A, B T, pak A B T (3) je-li S T, pak S T Tvrzení o otev enosti a uzav enosti Tvrzení 1: 12 Tj. pokrytí tvo ené kone n mnoha mnoºinami. 70

71 (i) Pr nik kone n mnoha otev ených mnoºin je otev ená mnoºina. (ii) Sjednocení kone n mnoha uzav ených mnoºin je uzav ená mnoºina. (iii) Pr nik libovolného systému uzav ených mnoºin je uzav ená mnoºina. D kaz. (i) Tvrzení tohoto typu se standardn dokazuje matematickou indukcí. My tento postup nazna íme. ekn me, ºe máme nap. p t otev ených mnoºin: 5 G 1, G 2, G 3, G 4, G 5. Jejich pr nik 13 je G n = (((G 1 G 2 ) G 3 ) G 4 ) G 5. n=1 Kdyº budeme postupn aplikovat vlastnost (2) topologie, zjistíme, ºe otev ená mnoºina. 5 n=1 G n je (ii) Zde se uplatní z teorie mnoºin tzv. De Morganova pravidla, viz Dodatek. Jsou-li F 1,..., F n uzav ené mnoºiny, pak m ºeme psát X \ n F k = n (X \F k ). Mnoºiny X \F k jsou otev ené, a tedy dle (i) je t.j. X \ n k=1 F k je otev ená mmoºina. Odtud je n n k=1 k=1 k=1 k=1 (X \F k ) otev ená mnoºina, F k uzav ená mnoºina. (iii) I zde se uplatní De Morganova pravidla. Je-li F n jaký systém uzav ených mnoºin, pak lze psát X \ F = {X \ F : F F}. Na pravé stran je sjednocení systému otev ených mnoºin, tedy dle vlastnosti (3) topologie se jedná o otev enou mnoºinu. Odtud je F uzav ená mnoºina. 14 Následující tvrzení dává do souvislosti otev enou mnoºinu a okolí bodu. Tvrzení 2: (kritérium pro otev enost mnoºiny) Nech G X a pro kaºdé x G existuje U, otev ené okolí bodu x takové, ºe U G. Pak G je otev ená mnoºina. D kaz. Pro kaºdé x G ozna me U x otev ené okolí bodu x takové, ºe U x G. Pak lze psát G = {U x : x G}. Na pravé stran je sjednocení systému otev ených mnoºin, tedy dle vlastnosti (3) topologie se jedná o otev enou mnoºinu. Fakt, ºe mnoºina je podmnoºinou svého uzáv ru, patrn vyplynul z obrázku v minulém dílu. Nyní jej formáln zapí²eme. Tvrzení 3: Pro libovolnou mnoºinu M X je M M. 13 Zna ení m n=1 G n je jiný zp sob zapsání pr niku S, kde S = {G 1,..., G m}. Podobn m G n je jiný zp sob zapsání sjednocení S n=1 14 ƒtvere kem (tak jak se to d lá) budeme ozna ovat konec d kazu. 71

72 D kaz. Nech x M. Je-li U otev ené okolí bodu x, pak M U, protoºe x M U. Tedy x M. Tvrzení 4: Pro libovolnou mnoºinu M X je uzáv r M uzav ená mnoºina. D kaz. Chceme ukázat, ºe X \ M je otev ená mnoºina. Pouºijeme "kritérium" z tvrzení 2. Zvolme x X \ M a chceme nalézt otev ené okolí U bodu x takové, ºe U X \ M, neboli U M =. Jelikoº x / M, existuje dle denice uzáv ru otev ené okolí U bodu x takové, ºe U M =. Tvrdíme, ºe dokonce U M =. Postupujme sporem. 15 Nech tedy existuje y U M. Pak je U otev eným okolím bodu y a navíc U M =. Odtud y / M. To je spor. Jiº jsme tedy zjistili, ºe uzáv r je uzav ená mnoºina. Následující tvrzení ukazuje, ºe uzáv r je nejmen²í (ve smyslu inkluze 16 ) mnoºinou obsahující výchozí mnoºinu. Tvrzení 5: Nech M F X a F je uzav ená. Pak M F. D kaz. Bu x M a p edpokládejme sporem, ºe x / F. Pak X \ F je otev ené okolí bodu x a (X \ F ) M =. Tedy x / M. To je spor. Tvrzení 6: Pro libovolnou mnoºinu M X je hranice M uzav ená mnoºina. D kaz. Dle denice je M = M X \ M. Podle tvrzení 4 jsou mnoºiny M a X \ M uzav ené. Dle tvrzení 1 (iii) je i jejich pr nik uzav ená mnoºina. Tvrzení o kompaktnosti Tvrzení 7: Nech K X je kompaktní mnoºina a nech topologie T má odd lovací vlastnost T 2. Pak K je uzav ená mnoºina. D kaz. Chceme ukázat, ºe X \K je otev ená mnoºina a pouºijeme k tomu kritérium z tvrzení 2. Volme tedy x X \ K a hledáme otev ené okolí U bodu x takové, ºe U K =. Z odd lovací vlastnosti T 2 plyne, ºe pro kaºdé y K existují otev ené okolí U y bodu x a otev ené okolí V y bodu y takové, ºe U y V y =. Systém 15 D kaz sporem, je zaloºen na tom, ºe o daném výroku p edpokládáme, ºe je nepravdivý. Po logicky správných úvahách dojdeme k logickému sporu. Z toho usuzujeme, ºe výchozí výrok je pravdivý. 16 Inkluzí nazýváme vztah "být podmnoºinou", tedy. 72

73 P = {V y : y K} tvo í pokrytí mnoºiny K tvo ené otev enými mnoºinami. Protoºe K je kompaktní mnoºina, existuje kone né pokrytí K P. Pi²me K = {V y1,..., V yn }. Poloºme U = n U yk a V = n V yk. Mnoºina U je otev ená dle tvrzení k=1 k=1 1 (i), a protoºe obsahuje x, je otev eným okolím bodu x. Dále je U V =. Protoºe K V, je U K =. Tvrzení 8: Nech K X je kompaktní mnoºina a L K je uzav ená mnoºina. Pak L je kompaktní. D kaz. Budiº P pokrytí mnoºiny tvo ené otev enými mnoºinami. Denujme systém R = P {X \ L}. 17 Systém R je otev eným pokrytím mnoºiny K. Protoºe K je kompaktní mnoºina, existuje její kone né pokrytí K R. Nyní poloºme L = R \ {X \ L}. 18 Systém L P je hledaným kone ným pokrytím mnoºiny L, tvo eným otev enými mnoºinami. Euklidovská topologie a vlastnost T 2 V úvodním díle k topologické ásti seriálu jsme zavedli kouli v R n vztahem U(x, r) = {y : y x r}. P esn ji se v této souvislosti mluví o uzav ené kouli. Podobn m ºeme denovat otev enou kouli vztahem B(x, r) = {y : y x < r}. Ta se nám hodí lépe, protoºe je otev eným okolím v euklidovské topologii T e. Tvrzení 9: Euklidovská topologie T e na R n spl uje vlastnost T 2. D kaz. M jme dány dva body x, y R n, x y. Poloºme r = x y 3. Pak B(x, r) B(y, r) =. 17 Tj. k systému P p idáme jedinou mnoºinu: X \ L. 18 Te naopak mnoºinu X \ L ze systému vyjmeme. 73

74 37. díl HOMEOMORFISMUS, JAKOšTO ZOBRAZENÍ ZACHOVÁVAJÍCÍ TOPOLOGICKOU STRUKTURU V dne²ním díle ilustrujeme, jak homeomorsmus zachovává topologickou strukturu. Vyuºijeme k tomu pojmy, zavedené v 35. díle. P ipome me nejprve denici homeomorsmu. Uvaºujme situaci, ºe máme mnoºinu X s topologií T a mnoºinu Y s topologií S. ekneme,ºe zobrazení z : X Y je homeomorsmus, jestliºe platí: (1) z je bijekce, (2) z : X Y je spojité zobrazení, (3) z 1 : Y X je spojité zobrazení. Ve v²ech následujících tvrzeních se p edpokládá, ºe z je homeomorsmus. Tvrzení 1: Nech G X je otev ená mnoºina. Pak z(g) 19 je otev ená mnoºina. D kaz. Platí vztah: z(g) = (z 1 ) 1 (G). Tento vztah dokáºeme v dodatku k této ásti seriálu. Jelikoº G je otv ená mnoºina a zobrazení z 1 je spojité, musí být (z 1 ) 1 (G) otev ená mnoºina. 19 Obraz mnoºiny byl zaveden ve 33. díle. 74

75 Tvrzení 2: Nech F X je uzav ená mnoºina. Pak z(f ) je uzav ená mnoºina. D kaz. Po ítejme: z(f ) = z(x \ (X \ F )) = z(x) \ z(x \ F ) = Y \ z(x \ F ) Vztah F = X \ (X \ F ) pouºitý v první rovnosti dokáºeme v Dodatku. Platnost vztahu z(x \ M) = z(x) \ z(m) pouºitého ve druhé rovnosti ukáºeme téº v Dodatku. Vztah z(x) = Y pouºitý ve t etí rovnosti plyne z toho, ºe z je zobrazení na. Jelikoº F je uzav ená mnoºina, je X \ F otev ená mnoºina. Dle tvrzení 1 je z(x \ F ) otev ená mnoºina, tedy Y \ z(x \ F ) je uzav ená mnoºina. Tvrzení 3: Bu x X a U je otev ené okolí bodu x. Pak z(u) je otev ené okolí bodu z(x). D kaz. Je z(x) z(u) a z(u) je otev ená mnoºina podle tvrzení 1. Tvrzení 4: Platí z(m) = z(m). D kaz. Pro d kaz pouºijeme následující prost edek matematické logiky: ROVNOST DVOU MNOšIN A a B se asto dokazuje tak, ºe jednak dokáºeme A B, jednak dokáºeme B A. 1. Dokazujeme z(m) z(m). Jelikoº 20 M M, musí být z(m) z(m). Dle tvrzení 4, 36. díl, je M uzav ená mnoºina a dle tvrzení 2 je z(m) uzav ená mnoºina. Dle tvrzení tvrzení 5, 36. díl, je z(m) z(m). 2. Dokazujeme z(m) z(m). 20 Dle tvrzení 3, 36. díl 75

76 Dle jiº dokázané první ásti d kazu máme w(n) w(n). Volíme-li zde w = z 1 a N = z(m), pak dostáváme z 1 (z(m)) z 1 (z(m)). Upravíme levou stranu vztahu 21 a máme tak M z 1 (z(m)). Nyní aplikujeme 22 na ob strany vztahu zobrazení z a dostáváme z(m) z(z 1 (z(m))) = z(m). Tvrzení 5: Platí z( M) = (z(m)). D kaz. Po ítejme z( M) = z(m X \ M) = z(m) z(x \ M) = z(m) z(x \ M) = z(m) Y \ z(m) = (z(m)). Ve druhé rovnosti jsme pouºili vztah z(a B) = z(a) z(b), který dokáºeme v Dodatku. Ve t etí rovnosti jsme pouºili tvrzení 4. Tvrzení 6: Nech K X je kompaktní mnoºina. Pak z(k) je kompaktní mnoºina. D kaz. Bu P pokrytí mnoºiny z(k) tvo ené otev enými mnoºinami. Poloºme R = {z 1 (P ) : P P}. Systém R je pokrytím mnoºiny K a je tvo eno otev enými mnoºinami, protoºe z je spojité zobrazení. Dle p edpokladu kompaktnosti mnoºiny K existuje kone né pokrytí K R. Nyní poloºme L = {z(m) : M K}. Systém L P 23 je hledaným kone ným pokrytím mnoºiny z(k). Tvrzení 7: Nech topologie T spl uje odd lovací vlastnost T 2. Pak topologie S spl uje odd lovací vlastnost T 2. D kaz. Zvolme x, y Y, x y. Poloºme u = z 1 (x) a v = z 1 (y). Je u v. Dle p edpokladu existují otev ená okolí U bodu u a V bodu v tak, ºe U V =. Dle tvrzení 3 je z(u) otev ené okolí bodu z(u) = z(z 1 (x)) = x a z(v ) je otev ené okolí bodu z(v) = z(z 1 (y)) = y. Navíc z(u) z(v ) = z(u V ) = z( ) =. 21 Viz dodatek. 22 Coº znamená pouºít tvrzení: Je-li A B, pak z(a) z(b) 23 Zde vyuºíváme vztah z(z 1 (P )) = P. 76

77 /p í²t : v posledním díle ásti o topologii (nepo ítáme-li Dodatek) se budeme v novat topologickému podprostoru/ 38. díl Nejprve u i me jednu terminologickou poznámku. Doposud jsme mluvili o n jaké mnoºin, nap. X, na které je n jaká topologie, nap. T. Pon kud stru n j²í formulace je, ºe se jedná o topologický prostor (X, T ). TOPOLOGICKÝ PODPROSTOR Uvaºujme topologický prostor (X, T ) a mnoºinu Y X. Topologii na Y vytvo íme vhodným zp sobem, a to tak, ºe kaºdou mnoºinu G ze systému T pronikneme s mnoºinou Y. Denujme systém S = {G Y : G T } Tvrdíme, ºe S je topologie na Y. K tomu je t eba ov it t i deni ní vlastnosti topologie. (1) S, nebo Y =. Y S, nebo X T a X Y = Y. (2) Bu te A, B S. Pak A = G Y a B = H Y pro n jaké G, H T. Platí A B = (G Y ) (H Y ) = (G H) Y = F Y, ozna íme-li F = G H. Dle vlastnosti (2) topologie T je F T. Odtud A B S. (3) Bu R S, chceme ukázat, ºe R S. Ke kaºdé mnoºin R R existuje mnoºina G R T tak, ºe G R Y = R. Tím je denován systém U = {G R : R R}. Poloºme G = U. Dle vlastnosti (3) topologie T je G T. Po ítejme G Y = U Y = {G R Y : R R} = {R : R R} = R. Tedy R S. M ºeme p istoupit k denici. Denice: Nech (X, T ) je topologický prostor a Y X. Budiº S = {G Y : G T }. 77

78 Pak (Y, S) nazveme topologickým podprostorem prostoru (X, T ). Poznámka: V p edchozím textu jsme denovali n kolik topologických pojm jako otev ená mnoºina, uzav ená mnoºina, otev ené okolí, uzáv r, hranice, kompaktnost. Je t eba si uv domit, ºe tyto pojmy se mohou li²it podle toho, zda se vztahují k výchozí topologii nebo k podprostoru. P íklad: Uvaºujme topologický prostor (R 2, T e ). Bu Y R 2 kruºnice a J oblouk, jak je to znázorn no na následujícím obrázku. Tvrdíme, ºe J je otev ená mnoºina vzhledem k podprostoru (Y, S). Znamená to, ºe pot ebujeme nalézt otev enou mnoºinu G vzhledem k prostoru (R 2, T e ) takovou, ºe J = G Y. Na následujícím obrázku je jedna 24 taková mnoºina G znázorn na. /p í²t : dodatek k ásti o topologii/ 39. díl DODATEK 24 Mnoºinu G lze volit r znými zp soby. 78

79 V tomto dodatku dokáºeme n které mnoºinové vztahy pouºité v minulých dílech. P ipome me jeden d kazový prost edek: ROVNOST DVOU MNOšIN A a B se asto dokazuje tak, ºe jednak dokáºeme A B, jednak dokáºeme B A. Vztah 1:(De Morganova pravidla) [pouºilo se v 36. díle, tvrzení 1,(iii)] Pro libovolný systém F podmnoºin mnoºiny X platí: X \ F = {X \ F : F F} D kaz. 1. Dokazujeme X \ F {X \ F : F F} Bu x X \ F. Tedy x / F. Odtud existuje F F taková, ºe x / F, t.j. x X \ F. Tedy x {X \ F : F F}. 2. Dokazujeme {X \ F : F F} X \ F Bu x {X \ F : F F}. Odtud existuje F F taková, ºe x X \ F, t.j. x / F. Tedy x / F. Odtud máme, ºe x X \ F. Vztah 2:(De Morganova pravidla) Pro libovolný systém F podmnoºin mnoºiny X platí: X \ F = {X \ F : F F} D kaz. D kaz je podobný d kazu vztahu 1, takºe ho uvád t nebudeme. D sledek. [pouºilo se v 36. díle, tvrzení 1,(i)] Pouºilo se na kone ný systém F = {F 1,..., F n }. Vztah 3: Nech z : X Y je bijekce a G X. Pak z(g) = (z 1 ) 1 (G). [Pouºilo se v 37. díle, tvrzení 1] D kaz. 1. Dokazujeme z(g) (z 1 ) 1 (G) Bu y z(g). Pak existuje x G tak, ºe y = z(x). Protoºe z je bijekce, existuje inverzní zobrazení a je x = z 1 (y). Odtud y (z 1 ) 1 (G). 2. Dokazujeme (z 1 ) 1 (G) z(g) Bu y (z 1 ) 1 (G). Pak existuje x G tak, ºe x = z 1 (y). Odtud je y = z(x). Tedy y z(g). Vztah 4: Pro kaºdou F X platí F = X \ (X \ F ). [Pouºilo se v 37. díle, tvrzení 2] D kaz. 1. Dokazujeme F X \ (X \ F ) Volme x F. Pak x / X \ F. Tedy x X \ (X \ F ). 2. Dokazujeme X \ (X \ F ) F Volme x X \ (X \ F ). Pak x / X \ F. Tedy x F. 79

80 Vztah 5: Nech z : X Y je bijekce a M X. Pak z(x \ M) = z(x) \ z(m). [Pouºilo se v 37. díle, tvrzení 2] D kaz. 1. Dokazujeme z(x \ M) z(x) \ z(m) Volme y z(x \ M). Pak existuje x X \ M tak, ºe z(x) = y. Protoºe x X, je y z(x). Chci ukázat, ºe y / z(m). Postupujme sporem. Kdyby y z(m), pak existuje u M tak, ºe z(u) = y. Protoºe zobrazení z je prosté, musí být u = x. To je spor, protoºe x / M. 2. Dokazujeme z(x) \ z(m) z(x \ M) Volme y z(x) \ z(m). Pak existuje x X tak, ºe z(x) = y. Kdyby bylo x M, pak y z(m), to je spor. Tedy x X \ M a odtud y z(x \ M). Vztah 6: Nech z : X Y je bijekce a M X. Pak z 1 (z(m)) = M. [Pouºilo se v 37. díle, tvrzení 4] D kaz. 1. Dokazujeme z 1 (z(m)) M Volme x z 1 (z(m)). Pak existuje y z(m) tak, ºe x = z 1 (y). Odtud y = z(x). Protoºe y z(m), existuje u M tak, ºe y = z(u). Protoºe z je prosté, musí být u = x. Tedy x M. 2. Dokazujeme M z 1 (z(m)) Volme x M. Dle 33. dílu m ºeme psát x = z 1 (z(x)). Je z(x) z(m) a odtud z 1 (z(x)) z 1 (z(m)). Tedy x z 1 (z(m)). Vztah 7: Nech z : X Y je bijekce a A X, B X. Pak platí z(a B) = z(a) z(b). [Pouºilo se v 37. díle, tvrzení 5 a 7] D kaz. 1. Dokazujeme z(a B) z(a) z(b). Volme y z(a B). Pak existuje x A B tak, ºe y = z(x). Protoºe x A, je y = z(x) z(a). Protoºe x B, je y = z(x) z(b). Odtud y z(a) z(b). 2. Dokazujeme z(a) z(b) z(a B). Volme y z(a) z(b). Protoºe y z(a), existuje x A tak, ºe y = z(x). Protoºe y z(b), existuje u B tak, ºe y = z(u). Jelikoº z je prosté, musí být x = u. Tedy x A B a odtud y z(a B). 40. díl V následující kapitole zavedeme pojem variety. Naváºeme hlavn na první kapitolu, která se zabývala k ivkami a plochami. 80

81 4. VARIETA Motiva n za neme jedním ze základních p íklad k ivky, a to kruºnicí. Kdysi jsme ji vyjád ili pomocí zobrazení g(t) = [cos(t), sin(t)], t 0, 2π). Podle obecné teorie zobrazení (viz 33.díl) je tato kruºnice obrazem intervalu t 0, 2π) p i zobrazení g : R R 2. Víme, ºe ob mnoºiny R i R 2 lze vybavit euklidovskou topologií. Víme téº, ºe na podmnoºinu topologického prostoru lze téº hled t jako na topologický prostor. To jsme e²ili v 38. díle. V na²em p ípad je interval 0, 2π) topologickým podprostorem topologického prostoru (R, T e ). Máme-li denované topologie, m ºeme pouºívat topologické pojmy. Zobrazení g je spojité. 25 Dále je zobrazení g prosté. Z nejr zn j²ích d vod by bylo dobré, aby deni ní obor zobrazení g byl otev ená mnoºina. To v²ak zde spln no není, protoºe interval 0, 2π) není otev ená mnoºina. V Dodatku podrobn odd vodníme, pro neexistuje spojité prosté zobrazení otev ené podmnoºiny R na kruºnici. Chceme-li tedy popsat kruºnici pomocí prostých a spojitých zobrazení na otev ených mnoºinách, pot ebujeme alespo dv taková zobrazení. V p ípad na²í kruº nice lze popis u init nap íklad následujícím zp sobem. Denujme zobrazení g 1 p edpisem g 1 (t) = [cos(t), sin(t)], t ( π 4, 7π 4 ). 25 Zatím bez d kazu. 81

82 Tak jsme popsali jednu ást kruºnice. Druhou ást kruºnice popí²eme pomocí zobrazení g 2, které denujeme jako g 2 (t) = [cos(t), sin(t)], t ( 3π 4, 3π 4 ). Oba obrázky je moºné slou it do jednoho. Cesta k denici variety Ozna me U 1 = g 1 (( π 4, 7π 4 )) a U 2 = g 2 ((( 3π 4, 3π 4 ). Lze ukázat,ºe ob zobrazení g 1, g 2 jsou prostá, existují k nim tedy inverzní zobrazení ϕ 1 = g1 1 a ϕ 2 = g2 1. Je ϕ 1 : U 1 ( π 4, 7π 4 ) a ϕ 2 : U 2 ( 3π 4, 3π 4 ). Lze ukázat, ºe zobrazení ϕ 1 a ϕ 2 jsou homeomorsmy. Tyto poznámky nás mohou dovést k následující denici. Denice: Bu (M, T ) topologický prostor. Bu {U α } α I systém 26 podmnoºin mnoºiny M takových, ºe = M. Bu dále {ϕ α } α I mnoºina zobrazení takových, U α α I ºe: (1) ϕ α : U α ϕ α (U α ) je homeomorsmus pro kaºdé α I. 26 Zápis {U α} α I je dal²ím zp sobem, jak zapsat mnoºinu. íkáme jím, ºe prvky této mnoºiny jsou indexovány prvky z mnoºiny I. Ve vý²e uvedeném p íklad s kruºnicí by v tomto zápise bylo I = {1, 2}. 82

83 (2) ϕ α (U α ) je otev ená podmnoºina R n pro kaºdé α I. Pak (M, T ) nazveme n-rozm rnou varietou. Schematicky lze tuto situaci vyjád it následujícím obrázkem. Poznámka: Topologický prostor (R n, T e ) nazveme euklidovským prostorem. Rozklad mnoºiny M na mnoºiny U α nazveme neformáln lokalizací. Dále víme, ºe homeomorsmus zachovává topologické pojmy. To nás vede k alternativnímu pojmenování variety souslovím lokáln euklidovský prostor. /p í²t : spojité funkce/ 41. díl V první kapitole jsme poznali tyto typy zobrazení. g : R R... funkce g : R R 2...k ivka v rovin g : R R 3...k ivka v prostoru g : R 2 R 3...plocha Funkce nás zajímaly z hlediska výpo tu, nebo pomocí nich jsme mohli po ítat hodnoty zobrazení. Zobrazení jsme vizualizovali tak, ºe prvk m z levé ásti byby p i azovány prvky z pravé ásti. Tak nap íklad funkci sinus bychom znázornili následujícím zp sobem. Navíc je zde znázorn n bod 2, 5, který se zobrazuje na bod 0, Takºe sin(2, 5). = 0,

84 Je vid t, ºe informace o funkci sinus je zna n nedostate ná. Cht lo by to n jaké lep²í znázorn ní. Graf funkce Lep²í informaci nám poskytne znázorn ní funkce v R 2 pomocí grafu funkce. Grafem funkce f rozumíme mnoºinu bod [x, f(x)], kde x je z deni ního oboru. Na následujícím obrázku je graf funkce sinus a bod [2, 5; 0, 6]. Na následujícím obrázku je graf funkce logaritmus P esn ji se jedná o tzv. p irozený logaritmus. 84

85 Spojité funkce Graf spojité funkce na intervalu je, zhruba e eno, nep eru²ená ára. Vý²e uvedené funkce sinus a logaritmus jsou spojité funkce. Ukaºme si naproti tomu p íklad nespojité funkce. V kapitole o topologii jsme uvedli obecnou denici spojitosti zobrazení. Aplikováno na funkci tato denice íká: Funkce f je spojitá, jestliºe pro kaºdou otev enou mnoºinu G R je její vzor f 1 (G) otev ená mnoºina. V p ípad funkce na obrázku vý²e volme G = (3, 5). To je otev ená mnoºina. Její vzor je f 1 (G) = (1, 5; 2, coº není otev ená mnoºina. Tedy tato funkce není spojitá. 85

86 Mnoho funkcí, se kterými se v rámci matematiky b ºn pracuje, jsou spojité. Jsou to nap. funkce x n, x, a x, log, sin, cos, tg (tangens), cotg (kotangens), arcsin (arkussinus), arccos (arkuskosinus), arctg (arkustangens), arccotg (arkuskotangens). D leºité je, ºe násobek, sou et, rozdíl, sou in, podíl a skládání 28 spojitých funkcí je op t spojitá funkce. P íklad: Ukaºme, ºe funkce log(sin(x)) + x 2 je spojitá. Víme, ºe funkce sin a log jsou spojité. Funkce log(sin(x)) je jejich sloºením, tedy spojitá funkce. Funkce log(sin(x)) + x 2 je sou et spojitých funkcí, tedy spojitá funkce. 42. díl Funkce mající derivaci V první kapitole jsme pouºili derivaci funkce pro výpo et te ny. Nutno íci, ºe ne kaºdá funkce má derivaci. Jako typický p íklad funkce, která nemá derivaci, se asto uvádí funkce absolutní hodnota. 28 Sloºení dvou funkcí znamená dosazení jedné funkce do druhé 86

87 "Problémem" u této funkce je ²pi ka v bod 0, tam také neexistuje te na. Derivaci budeme uvaºovat pro funkce denované na otev ených mnoºinách. Podívejme se znovu na " asto" pouºívané funkce, o kterých jsme mluvili v minulém díle. Budeme konstatovat, ºe tyto funkce mají derivaci a tuto derivaci i konkrétn uvedeme. 29 íslo vzorce f D(f) f (1) c R 0 (2) x n, n N R nx n 1 (3) x n, n Z, n < 0 R \ {0} nx n 1 (4) x (0, ) 1 2 x (5) a x, a > 0 R a x log a 1 (6) log(x) (0, ) x (7) sin(x) R cos(x) (8) cos(x) R sin(x) (9) tg(x) ( π 2 + kπ, π 2 + kπ) 1 cos 2 (x) k Z (10) cotg(x) (kπ, π + kπ) 1 k Z sin 2 (x) (11) arcsin(x) ( 1, 1) 1 1 x 2 (12) arccos(x) ( 1, 1) 1 1 x 2 1 (13) arctg(x) R 1+x 2 (14) arccotg(x) R 1 1+x 2 Podobn jako spojité funkce, se dají funkce mající derivaci kombinovat do sloºit j²ích funkcí. Konkrétn jde o násobek funkce, sou et funkcí, sou in funkcí, podíl funkcí, skládání funkcí. I pro tyto p ípady existují vzorce. 29 Písmenem N zna íme mnoºinu p irozených ísel. Jsou to ísla 1, 2, 3, 4,.... Písmenem Z zna íme mnoºinu celých ísel. Jsou to ísla..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... 87

88 (15) (cf) = cf (16) (f + g) = f + g (17) (fg) = f g + fg (18) ( f g ) = f g fg g 2 (19) f(g(x)) = f (g(x)) g (x) Spo teme nyní derivace funkcí, které jsme ve 14. díle po ítali pomocí programu Sage. P íklad 1: f(x) = x 5 Je f (x) = 5x 4 Pouºili jsme vzorec (2), ve kterém jsme volili n = 5. P íklad 2: f(x) = cos(x) Je f (x) = sin(x) Pouºili jsme vzorec (8) P íklad 3: f(x) = 5x + 1 x Je f (x) = (5x + 1 x ) = (5x) + (x 1 ) = 5 + ( 1)x 2 = 5 1 x 2. Ve druhé rovnosti jsme pouºili vzorec (16). Ve t etí rovnosti jsme pouºili vzorce (15) a (3), ve kterém se volilo n = 1. P íklad 4: f(x) = x 2 sin(x) Je f (x) = (x 2 ) sin(x) + x 2 (sin(x)) = 2x sin(x) + x 2 cos(x). V první rovnosti jsme pouºili vzorec (17). Ve druhé rovnosti jsme pouºili vzorce (2) a (7). P íklad 5: h(x) = log(sin(x)) Je h (x) = 1 sin(x) cos(x). Pouºili jsme vzorec (19), kde jsme volili f(y) = log(y) a y = g(x) = sin(x). Dle vzorce (6) je f (y) = 1 y a dle vzorce (7) je g (x) = cos(x). Derivace vy²²ích ád Derivováním funkce f (pokud tato derivace existuje) získáme funkci f. Nyní m ºeme tento postup zopakovat. Derivováním funkce f (pokud tato derivace existuje) získáme funkci f, tzv. druhou derivaci funkce f. Derivováním funkce f (pokud tato derivace existuje) získáme funkci f, tzv. t etí derivaci funkce f. V tomto postupu bychom mohli postupovat dále a dále. P íklad: 88

89 M jme funkci f(x) = x 10. Spo t me f, f a f. Dle vzorce (2) je f (x) = 10x 9. Dle vzorc (15) a (2) je f (x) = (10x 9 ) = 10(x 9 ) = 10 9x 8 = 90x 8. Op t dle vzorc (15) a (2) je f (x) = (90x 8 ) = 90(x 8 ) = 90 8x 7 = 720x 7. Poznámka: Máme denovanou první, druhou a t etí derivaci. Místo psaní árek m ºeme psát jejich po et. Tedy f = f (1), f = f (2), f = f (3). Obecn denujeme pro p irozené íslo n derivaci n-tého ádu f (n) jakoºto derivaci funkce f (n 1). Jinak zapsáno je f (n) = (f (n 1) ). Hladké funkce Denice: ekneme, ºe funkce f denovaná na otev ené mnoºin G R je hladká, jestliºe existuje její derivace libovolného ádu. Mnoºinu v²ech hladkých funkcí na otev ené mnoºin G R ozna íme C (G). M ºeme tedy psát C (G) = {f : f : G R, f (n) existuje pro kaºdé n N}. Poznamenejme bez d kazu, ºe funkce uvedené vý²e v tabulce jsou v²echny hladké. Funkce více prom nných a parciální derivace Zobrazení R n R nazveme funkcí n prom nných. Nap íklad funkce f : R 2 R zadaná p edpisem f(s, t) = sin(t) cos(s) je funkcí dvou prom nných. Symboly s a t nazveme prom nnými. Ve 21. díle jsme po ítali parciální derivace pomocí programu "sage". Nyní ukáºeme, jak se parciální derivace po ítají pomocí vý²e uvedených vzorc pro derivování. P íklad: Bu f(s, t) = sin(t) cos(s). Spo t me parciální derivace f t a f s. Následující postup je podrobn j²í, neº se d je p i rutinním derivování. Jde nám více o my²lenku, neº o rychlost. Za neme výpo tem f t. Derivace podle prom nné t znamená, ºe na prom nnou s pohlíºíme jako na konstantu, tj. s je n jaké konkrétní íslo, které se p i výpo tu nem ní. Je tedy cos(s) téº konstanta, ozna me c = cos(s). Odtud f(s, t) = c sin(t). Na pravé stran rovnosti je funkce, která má jedinou prom nou, a to t. Parciální derivace f t je derivací této funkce. Pi²me s pomocí vzorc (15) a (7) f t = (c sin(t)) = c(sin(t)) = c cos(t) = cos(s) cos(t). Celkem tak máme f t = cos(s) cos(t). Nyní spo teme f s. Derivace podle prom nné s znamená, ºe na prom nnou t pohlíºíme jako na konstantu. Je tedy sin(t) téº konstanta, ozna me c = sin(t). 89

90 Odtud f(s, t) = c cos(s). Na pravé stran rovnosti je funkce, která má jedinou prom nou, a to s. Parciální derivace f s je derivací této funkce. Pi²me s pomocí vzorc (15) a (8) f s = (c cos(s)) = c(cos(s)) = c sin(s) = sin(t) sin(s). Celkem tak máme f s = sin(t) sin(s). P íklad: Bu f(s, t) = sin(t) sin(s). Spo t me parciální derivace f t a f s. Za neme výpo tem f t. Derivace podle prom nné t znamená, ºe na prom nnou s pohlíºíme jako na konstantu. Je tedy sin(s) téº konstanta, ozna me c = sin(s). Odtud f(s, t) = c sin(t). Pi²me s pomocí vzorc (15) a (7) f t = (c sin(t)) = c(sin(t)) = c cos(t) = sin(s) cos(t). Nyní spo teme f s. Derivace podle prom nné s znamená, ºe na prom nnou t pohlíºíme jako na konstantu. Je tedy sin(t) téº konstanta, ozna me c = sin(t). Odtud f(s, t) = c sin(s). Pi²me s pomocí vzorc (15) a (7) f s = (c sin(s)) = c(sin(s)) = c cos(s) = sin(t) cos(s). P íklad: Bu f(s, t) = cos(t). Spo t me parciální derivace f t a f s. Za neme výpo tem f f t. Pi²me s pomocí vzorce (8) t = (cos(t)) = sin(t). Nyní spo teme f s. Derivace podle prom nné s znamená, ºe na prom nnou t pohlíºíme jako na konstantu. Je tedy cos(t) téº konstanta, ozna me c = cos(t). Odtud f(s, t) = c. Pi²me s pomocí vzorce (1) f s = (c) = 0. Parciální derivace vy²²ích ád a hladké funkce Parciální derivace (pokud existuje) je op t funkcí více prom nných. Má tedy smysl po ítat parciální derivace této funkce. Tak vznikají parciální derivace vy²²ích ád. Budiº f : x f(x 1,..., x n ) funkce n prom nných. Pro α {1,..., n} k 30 α = (i 1,..., i k } poloºme D α f = x i1... x ik f. Toto nazveme parciální derivací k-tého ádu. P íklad: Bu f : x f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) funkce ty prom nných. Bu nap íklad α = (3, 1, 4). Pak D α f = x 3 x 1 x 4 f je parciální derivací t etího ádu. Nyní denujeme mnoºinu hladkých funkcí na otev ené mnoºin G R n vztahem C (G) = {f : f : G R, D α f je spojitá pro kaºdé α {1,..., n} k pro kaºdé k N}. 43. díl 30 Takto zna íme uspo ádané k-tice, jejichº sloºky jsou p irozená ísla men²í nebo rovna n. 90

91 HLADKÉ VARIETY Postupn sm ujeme k vybudování te ného prostoru variety. K tomu je pot eba, aby varieta byla speciáln j²ího typu. My tento p edpoklad zajistíme její hladkostí. Nejprve ale u i me dv poznámky. Poznámka: Nech G R n je otev ená mnoºina a g : G R m je zobrazení. Víme, ºe lze psát g(x) = [g 1 (x),..., g m (x)] pro x G, kde g i : G R, i = 1,..., m jsou funkce, tzv. sloºky zobrazení g. Denice: Zobrazení g nazveme hladkým, jestliºe jsou v²echny jeho sloºky g i hladké funkce. Skládání zobrazení Tato poznámka pat í svým obsahem do 33. dílu, ve kterém jsme se v novali obecné teorii zobrazení. Tento díl byl ov²em plný nových informací, takºe jsem pojem skládání zobrazení vypustil. Denice: Nech g : X Y a f : Y Z jsou zobrazení. Zobrazení h : X Z denované p edpisem h(x) = f(g(x)) pro x X nazveme sloºením zobrazení f a g. Pí²eme h = f g. Na obrázku vidíme, ºe zelená ²ipka odpovídající zobrazení h vzniká spojením ²ipek odpovídajícím zobrazením g a f. Tohoto poznatku budeme dále vyuºívat v dal²ích schématech. Nyní se dostáváme k pojmu hladké variety. Vyjdeme ze základního obrázku, který popisuje varietu. 91

92 ƒást variety, totiº mnoºina U 1 U 2 je popsána jednak zobrazením ϕ 1, jednak zobrazením ϕ 2. Pro budoucí úvahy bude pot eba, aby byla tato dv zobrazení v jistém vztahu, totiº aby zobrazení ϕ 2 ϕ 1 1 (na obrázku je vyzna eno ervenou ²ipkou) denované na mnoºin ϕ 1 (U 1 U 2 ) bylo hladké. V na²em schématu je varieta pokryta dv ma mnoºinami: U 1 a U 2. Tuto situaci snadno zobecníme na libovolné pokrytí. Denice: Nech M je n-rozm rná varieta a {U α } α I a {ϕ α } α I jsou systémy vystupující v denici variety. ekneme, ºe M je hladká varieta, jestliºe pro kaºdé α, β I je zobrazení ϕ β ϕ 1 α : ϕ α (U α U β ) R n hladké. 92

93 44. díl DODATEK-1. ást V poklidném duchu uzav eme tuto kapitolu n kolika dodatky. Na za átku jsme uvedli p íklad kruºnice a konstatovali jsme, ºe nem ºe být popsána jediným zobrazením, které by bylo homeomorsmem otev ené mnoºiny. To nás motivovalo pouºít k popisu variety alespo dv zobrazení. Chceme tedy ukázat následující tvrzení: Tvrzení 1: Nech G R je otev ená mnoºina. Pak neexistuje homeomor- smus f mnoºiny G na kruºnici S. Není na²ím jediným dokázat toto tvrzení, ale chceme se podívat na problém z více stran. Dozvíme se také n co z matematické analýzy. Ukáºeme téº následující t i tvrzení, z kaºdého z nich tvrzení 1 bezprost edn plyne. Tvrzení 2: Nech G R je otev ená mnoºina. Pak neexistuje prosté spojité zobrazení f mnoºiny G na kruºnici S. Tvrzení 3: Nech G R je otev ená mnoºina. Pak neexistuje prosté zobrazení f mnoºiny G na kruºnici S takové, ºe by bylo f 1 spojité. Tvrzení 4: Nech M R je n jaká mnoºina. Pak neexistuje prosté zobrazení f mnoºiny M na kruºnici S takové, ºe by bylo f 1 spojité. Suprémum Snad tém kaºdá u ebnice oboru zvaného matematická analýza za íná výkladem pojmu supréma. Matematická analýza studuje na svém po átku mnoºinu reálných ísel R. Na mnoºin R se nalézají r zné struktury: algebraická struktura (tj. s ítání a násobení), topologická struktura, uspo ádání. Práv uspo ádání nás nyní bude zajímat. Vztah, ºe jedno íslo je men²í neº druhé ur uje strukturu uspo ádání. Nejprve se budeme zabývat pojmy nejv t²ím, resp. nejmen²ím prvkem mnoºiny, která je podmnoºinou mnoºiny reálných ísel R. Denice: Nech M R. ekneme, ºe x M je nejv t²ím prvkem mnoºiny M, jestliºe pro kaºdé y M je y x. ekneme, ºe x M je nejmen²ím prvkem mnoºiny M, jestliºe pro kaºdé y M je y x. P íklad: Na obrázku je mod e vyzna ená mnoºina a její nejv t²í prvek 2. 93

94 P íklad: Nejv t²í prvek v²ak nemusí existovat. V tomto p íklad volíme M = 1, 2). Prvek 2 není nejv t²ím prvkem, nebo neleºí v mnoºin M. Problém s moºnou neexistencí p ekonává pojem supréma. To existuje vºdy. Pojem supréma je zaloºen na pojmu horní závory. Denice: Nech M R. Prvek z je horní závorou mnoºiny M, jestliºe pro kaºdé x M je x z. P íklad: Pokra ujme v p íkladu s mnoºinou M = 1, 2). Horní závora není jedna, ale je celá mnoºina horních závor. Tato mnoºina je na obrázku vyzna ena zelen. Mnoºina horních závor je v na²em p ípad interval 2, ). prvkem této mnoºiny je íslo 2. Nejmen²ím P edchozí úvahy nás mohou motivovat k denici: Denice: Nech M R. Nejmen²í prvek mnoºiny horních závor mnoºiny M nazveme suprémum mnoºiny M a ozna íme ho sup M. P íklad: Dle p edchozích úvah pro mnoºinu M = 1, 2) je tedy sup M = 2. O tom, ºe suprémum existuje, hovo í následující v ta. V ta 1:(o suprému) Nech M R, M a existuje horní závora 31 mnoºiny M. Pak existuje sup M. 31 Kdyby neexistovala horní závora, pak sup M =. Pro M = je sup M =. Tyto p ípady by vyºadovaly denovat roz²í enou reálnou osu, coº zatím neu iníme. 94

95 Tuto v tu dokazovat nebudeme jelikoº souvisí se samotným vybudováním mnoºiny reálných ísel. P i pouºívání pojmu supréma se asto pouºívá následující charakteristika. Tvrzení 5: Nech M R a c R. Pak c = sup M, práv kdyº 32 jsou spln ny tyto podmínky: (1) pro kaºdé x M je x c, (2) jestliºe d < c, pak existuje x M tak, ºe d < x D kaz. (a) P edpokládejme, ºe c = sup M. Jelikoº sup M je horní závora mnoºiny M, platí vlastnost (1). Volme d < c. Jelikoº c je nejmen²í horní závora, d není horní závora. Odtud platí (2). (b)p edpokládejme, ºe platí (1) a (2). Vlastnost (1) íká, ºe c je horní závora. P edpokládejme sporem, ºe existuje men²í horní závora d. Vlastnost (2) v²ak íká, ºe d není horní závora. To je spor. Kompaktnost intervalu a, b. Práv zavedený pojem supréma hojn vyuºijeme v d kazu následující v ty. V ta 2. Nech a, b R, a < b. Pak interval a, b je kompaktní mnoºina. P ipome me denici kompaktnosti. Mnoºina K se nazývá kompaktní, jestliºe pro kaºdé její pokrytí P, tvo ené otev enými mnoºinami, existuje kone né pokrytí K takové, ºe K P. D kaz v ty. V d kazu pouºijeme techniku "prodluºování" intervalu. V celém pr b hu d kazu bude pevn dáno pokrytí P intervalu a, b tvo ené otev enými mnoºinami. Denujme mnoºinu A = {k R : a < k b, existuje kone né pokrytí L P intervalu a, k }. Nejprve ukaºme, ºe A. Jelikoº P je poktytí mnoºiny a, b, existuje otev ená mnoºina G P tak, ºe a G. Z denice otev enosti mnoºiny G pro n jaké δ > 0 platí a δ, a + δ G. Zvolme n jaké k tak, ºe a < k a + δ, k b. Pak k A, protoºe L = {G} je kone ným pokrytím intervalu a, k. Je tedy A a dle v ty 1 existuje s = sup A. Chceme dokázat, ºe s = b. Postupujme sporem a p edpokládejme, ºe s < b. Je s (a, b). Jelikoº P je poktytí mnoºiny a, b, existuje otev ená mnoºina G P tak, ºe s G. Z denice otev enosti mnoºiny G pro n jaké δ > 0 platí s δ, s + δ G. Zvolme n jaké d tak, ºe s δ < d < s, d > a. Dle tvrzení 5, vlastnost (2), existuje k A, d < k < s. Tedy existuje L P, kone né pokrytí intervalu a, k. Zvolme k 1 tak, ºe s < k 1 < s + δ, k 1 < b. Poloºíme-li L 1 = L {G}, pak L 1 P je pokrytí intervalu a, k 1. Odtud k 1 A. Dle vlastnosti (1) z tvrzení 5 je k 1 s. To je spor s tím, ºe s < k Spojka "práv kdyº" vyjad uje, ºe tvrzení má formu ekvivalence. Výrok1, práv kdyº výrok2 se dokazuje zpravidla ve dvou krocích. (a) dokáºe se: jestliºe platí výrok1, pak platí výrok2. (b) dokáºe se: jestliºe platí výrok2, pak platí výrok1. 95

96 Komentá k obrázku: interval a, k je pokryt mnoºinami L = {G 1, G 2, G 3 }. P idáním mnoºiny G 4 se tento interval "roztáhne" na interval a, k 1. Ukázali jsme tedy, ºe s = b. Podobnými úvahami jako vý²e bychom zjistili, ºe b A. Coº znamená, ºe existuje kone né pokrytí L P intervalu a, b. Tím je dokázána kompaktnost intervalu a, b. Nyní budeme chtít dokázat podobnou v tu o kompaktnosti v R 2. Nejprve ale zmíníme jeden pojem z teorie mnoºin a jeden pojem z topologie. Kartézský sou in Kartézským sou inem mnoºin M a N rozumíme mnoºinu M N = {[x, y] : x M, y N}. Jiné testování otev enosti mnoºiny 96

97 Ve 30. díle jsme denovali otev enou mnoºinu v R 2 takto: Mnoºinu M nazveme otev enou, jestliºe pro kaºdý bod z M existuje kruh U(z, r) M. Chceme ukázat, ºe místo kruhu lze pouºít tverec. Denice: (Otev eným) tvercem o st edu z = [x, y] R 2 a délkou strany 2r rozumíme mnoºinu B (z, r) = (x r, x + r) (y r, y + r). Nyní tedy nahradíme kruh tvercem. Tvrzení 6: Mnoºina G R 2 je otev ená, práv kdyº pro kaºdé z G existuje tverec B (z, r) G, r > 0. D kaz. 33 (a) Nech G R 2 je otev ená mnoºina. Z denice existuje kruh U(z, r) G. Pro n jaké dostate n malé r 1 > 0 je B (z, r 1 ) U(z, r). Odtud B (z, r 1 ) G. (b) Chceme ukázat, ºe G je otev ená mnoºina. Zvolme z G. Dle p edpokladu existuje tverec B (z, r) G, r > 0. Pro n jaké dostate n malé r 1 > 0 je U(z, r 1 ) B (z, r). Odtud U(z, r 1 ) G. Kompaktnost obdélníku a, b c, d V ta 3: Mnoºina a, b c, d R 2 je kompaktní. D kaz. Budiº P pokrytí mnoºiny a, b c, d tvo ené otev enými mnoºinami. Toto pokrytí bude b hem celého d kazu pevn zvoleno. Tentokrát budeme "natahovat" interval ve sm ru osy y, tj. ve vertikálním sm ru. Poloºme A = {k R : c < k d, existuje kone né pokrytí L P mnoºiny a, b c, k }. 33 O tom, jak se dokazuje tvrzení se spojkou "práv kdyº", bylo pojednáno vý²e. 97

98 D kaz, ºe A p esko íme, nebo podobné úvahy budou následovat vzáp tí. Dle v ty 1 existuje s = sup A. Chceme dokázat, ºe s = d. Postupujme sporem a p edpokládejme, ºe s < d. Denujme úse ku S = a, b {s}. Protoºe P je pokrytí, existuje pro kaºdé z S mnoºina G z P tak, ºe z G z. Protoºe G z je otev ená mnoºina, existuje dle tvrzení 6 tverec B (z, r z ) G z, r z > 0. Mnoºina S je kompaktní dle v ty Systém S = {B (z, r z ) : z S} je otev eným pokrytím mnoºiny S, existuje tedy kone né pokrytí K S. Pi²me K = {B (z, r z1 ),..., B (z, r zn )}. Poloºme r = min{r 1,..., r n }. 35 Je s r < s, tedy dle tvrzení 5, vlastnosti (2) existuje k A, s r < k < s. Zvolme k 1 tak, ºe s < k 1 s + r 2, k 1 < d. Protoºe k A, existuje L P, kone né pokrytí mnoºiny a, b c, k. Poloºme G = {G z1,..., G zn }. Systém G P je otev eným pokrytím mnoºiny a, b k, k 1. Celkov pak kone ný systém H = L G P je pokrytím mnoºiny a, b c, k 1. Odtud k 1 A. Tedy k 1 s. To je spor. Komentá k obrázku: Mnoºina a, b c, k (vyzna ena zelen ) je pokryta systémem L. Mnoºina a, b k, k 1 (vyzna ena fialov ) je pokryta kone ným systémem tverc K, a tedy i pokrytím G. Mnoºina a, b c, k 1 je 34 Zde by se m lo íci, ºe S je homeomorfní prostoru a, b, a ºe kompaktnost mnoºiny nezávisí na prostoru, jehoº je podmnoºinou. 35 min{r 1,..., r n} je nejmen²í z ísel r 1,..., r n. 98

99 pak pokryta systémem H = L G. Ukázali jsme tak, ºe s = d. Podobn by se ukázalo, ºe d A. Z denice mnoºiny A nyní plyne kompaktnost mnoºiny a, b c, d. Ob p edchozí v ty lze zobecnit do R n. V ta 4: Mnoºina 36 a 1, b 1 a n, b n R n je kompaktní. D kaz nep iná²í nové my²lenky, takºe ho uvád t nebudeme. Ve zbytku tohoto dílu dokáºeme v tu, která charakterizuje kompaktní mnoºiny v R n. Omezené mnoºiny Denice: Mnoºinu M nazveme omezenou, jestliºe existuje R > 0 tak, ºe M B(0, R). Popis kompaktních mnoºin v R n Hlavní v ta tohoto dílu, která shrnuje na²e snaºení, je následující: V ta 5: Mnoºina M R n je kompaktní, práv kdyº je uzav ená a omezená. D kaz. (a) Nech M je kompaktní. Dle 36. dílu, tvrzení 9 a 7, je M uzav ená mnoºina. Platí M n=1 B(0, n). Je tedy M pokryta systémem otev ených mnoºin {B(0, n)} n N. Dle p edpokladu kompaktnosti existuje kone né pokrytí {B(0, n)} k n=1. Takºe M k n=1 B(0, n) = B(0, k). Odtud je M omezená mnoºina. 36 Kartézský sou in lze denovat pro sou in n mnoºin. Denuje se M 1 M n = {[x 1,..., x n] : x 1 M 1,..., x n M n}. 99