Sbírka úloh z technické mechaniky I. Martin Havelka

Transkript

1 - Sbírka úloh z technické mechaniky I. Martin Havelka 05

2

3 Sbírka úloh z technické mechaniky I. /vybrané úlohy ze statiky pro posluchače tříletého bakalářského studijního oboru Základy technických věd a informačních technologií pro vzdělávání/ Martin Havelka 05 3

4 4

5 Obsah: Úvod, Průvodce studiem Technická mechanika a její členění Úloha yzikální veličiny a jejich jednotky Násobky a díly jednotek Převody jednotek Kontrola rozměru jednotky Zapisování a zaokrouhlování čísel Statika Operace se silami Nalezení výslednice soustavy sil se společným působištěm Úloha Nalezení výslednice soustavy rovnoběžných sil Úloha Úloha Příhradové konstrukce prutové soustavy /řešené příklady/ Úloha Úloha LITERATURA A ZDROJE Příloha

6 ÚVOD Průvodce studiem Předložená studijní opora je určena posluchačům Pedagogické fakulty UP v Olomouci, kteří si (ve všech formách studia) zapsali předmět Základy konstruování. Je koncipována s cílem vytvořit základy pro hlubší individuální studium problematiky. Neklade si za cíl obsáhnout příslušnou problematiku v komplexní podobě; prezentuje výběr poznatků ve strukturaci respektující univerzální charakter výuky se zaměřením na vzdělávání. Současně se však text snaží o propojení tématu a o uchopení problematiky v souvislostech. Author předpokládá, že posluchači mají osvojeny struktury poznatků obecné povahy, které tvoří obsah dříve realizovaných disciplín Teoretické základy technických předmětů. Vlastní koncepce a pojetí předkládaného textu si klade za cíl aplikovat osvojené poznatky obecné povahy při studiu konkrétní vědní technické disciplíny technické mechaniky. Koncepce a strukturace studijní opory byla vedena snahou o vytvoření vhodných podmínek pro studium uvedené technické disciplíny. Osvojením vybraných poznatkových struktur z této oblasti spolu s osvojením určitých algoritmů práce si vytvoříte dobré vstupní podmínky pro další studium oboru. Učební text obsahuje vybrané učení úlohy ze statiky, a to jak učební úlohy řešené, tak soubory učebních úloh k řešení, u nichž jsou uvedeny výsledky, popř. pro řešení klíčové funkční vztahy. Příslušná teorie v tomto textu uváděna není, autor čtenáře odkazuje na přednášky výše uvedené disciplíny a zde prezentovanou základní a doplňkovou studijní literaturu. Zde nabyté vědomosti a dovednosti budou aplikovány v navazující disciplíně Části strojů a zařízení. Autor tímto vyslovuje přání, aby předložený text posloužil posluchačům všech forem studia k úspěšnému zvládnutí studia této disciplíny. Bude vděčný za případné připomínky a podněty. 6

7 TECHNICKÁ MECHANIKA A JEJÍ ČLENĚNÍ Mechanika je část klasické fyziky, jejímž předmětem zkoumání jsou všeobecné zákony mechanického pohybu a vzájemného mechanického působení těles. Jejími součástmi jsou: statika část mechaniky zabývající se podmínkami rovnováhy sil působících na objekt (hmotný bod, tuhé těleso, soustavu, kinematika část mechaniky zabývající se popisem pohybu objektů (hmotných bodů, tuhých těles a soustav) v čase a prostoru, bez ohledu na příčiny tohoto pohybu, dynamika část mechaniky zabývající se popisem pohybu objektů (hmotných bodů, tuhých těles a soustav) z hlediska popisu jeho příčin, řeší působení sil a zohledňuje setrvačné vlastnosti zkoumaných objektů. Společně s matematikou a astronomií patří mechanika mezi nejstarší vědní obory. (, s. ) Shrňme tedy alespoň základní historická data: Za zakladatele statiky je považován řecký učenec Archimédes (3. stol. př. n. l.). Novověk přinesl rozvoj statiky i teorie o pružnosti a pevnosti. Zde je za zakladatele považován italský vědec Galileo Galilei (564-64). Aktuální poznatky vědy byly využívány ve stavebnictví a při konstrukci jednoduchých mechanismů a strojů. Mezi průkopníky patří mj. Angličan Robert Hook (7. stol.), rancouz Pierr Varingnon (7. a 8. stol.), Švýcaři Leonhard Euler (8. stol.) a bratři Jacques Bernoulli a Daniel Bernoulli. (, s. 0). Úloha : V novodobé historii jistě náleží mezi uvedené významné osobnosti také některá vybraná jména osobností působících na našich technických vysokých školách či v technické praxi. Vyhledejte je. Inspiraci lze hledat ve Vašem bydlišti a okolí na pamětních deskách, na poštovních známkách, v názvech některých ulic apod. Technická mechanika patří mezi technické disciplíny zaměřené na technickou praxi, tvoří obsah technického vzdělávání na technických vysokých školách. V určitých rysech se svým pojetím od fyzikálního pojetí klasické mechaniky liší. S definicí tohoto pojmu je obtíž. Kupříkladu řada pracovišť našich technických vysokých škol se uvedené problematice na teoretické úrovni systematicky věnuje, pojem technická mechanika však vnímají jako natolik zažitý a jasný, že zřejmě necítí potřebu jej pojem definovat. Výjimkou je práce (3), která uvádí: Technická mechanika je část mechaniky, která se zabývá vzájemným působením a pohybem tuhých (nedeformovatelných) hmotných útvarů (hmotných bodů, těles a soustav těles) v běžných případech technické praxe. Logicky se tedy musíme při pokusu o definici pojmu technická mechanika opřít o nadřazený /fyzikální/ pojem mechanika. Práce (4) definuje nejprve nadřazený pojem mechanika a dále zde pod heslem technická mechanika nalézáme: mechanika aplikovaná na řešení technických problémů. Obdobně k tomuto problému přistupuje i práce (5, s. 59), v níž pod heslem mechanika mj. nacházíme členění mechaniky na teoretickou a aplikovanou. K aplikované mechanice je zde dále uvedeno: Aplikacemi obecných poznatků mechaniky v různých oborech, zejména technických, se zabývá aplikovaná mechanika {applied mechanics}; její 7

8 významnou součástí, která se zabývá technickými aplikacemi (např. ve strojírenství, stavebnictví apod.), je technická mechanika. Na základě výše uvedených definic můžeme tedy pro účel tohoto učebního textu shrnout: Technická mechanika je jednou ze složek tzv. aplikované mechaniky, zabývá se aplikací teoretických poznatků mechaniky v technické praxi, např. ve strojírenství, stavebnictví, apod. Členění technické mechaniky: dle skupenství zkoumaných těles popř. skupenství: mechanika hmotného bodu, mechanika tuhých těles, mechanika pružných (též poddajných) těles, mechanika kapalin, mechanika plynů. Mechanika tuhých těles, kterou se zde budeme zabývat, se dále člení na statiku, kinematiku, dynamiku. Mechanika pružných (poddajných) těles je též nazývána pružnost a pevnost. Mechanika kapalin (hydromechanika) se dělí na hydrostatiku a hydrodynamiku. Mechanika plynů (aeromechanika) se dělí na aerostatiku a aerodynamiku a zahrnuje také nauku o změnách stavu látek působením tepla zvanou termomechaniku. V tomto textu se vzhledem k jeho omezenému rozsahu budeme zabývat vybranou problematikou z oblasti statiky. K řešení vybraných typových úloh z výše uvedené oblasti budou použity metody početní (přesné, někdy náročnější na matematické operace a méně názorné), metody grafické (názorné, poměrně rychlé, méně přesné) a metody graficko-početní (používáme je tehdy, pokud by předchozí metody nebyly dostatečně účinné, spojují výhody obou předchozích). 8

9 YZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY Vazba mezi technickou mechanikou a fyzikou je zřejmá, viz výše. Pojem fyzikální veličina je používán v souvislosti s kvantitativním vyjádřením fyzikálních jevů či vlastností zkoumaných objektů. Pro označení fyzikálních veličin jsou používána písmena latinské a řecké abecedy. Vzhledem k tomu, že studentům zpravidla zpočátku činí čtení písmen řecké abecedy a jejich názvy obtíže, odkazujeme se na níže uvedenou tabulku. Tabulka č. : Řecká abeceda (6) Jak je z tabulky zřejmé, znaky řecké abecedy byly užívány i při zápisu čísel. Poznámky: Chybějící čísla 6, 90, 900 se zapisovala zastaralými písmeny Od do 999 se číslice označovaly písmeny s čárkou nahoře: α = Pro tisíce se užívala stejná písmena, ale s čárkou dole před písmenem:,α = 000 Znaky označené v tabulce křížkem nejsou užívány z důvodu možnosti záměny s písmeny latinské abecedy. Zápis fyzikální veličiny provádíme formou rovnice, např. m = 5 kg Veličina: hmotnost, značka: m, číselná hodnota: 5, jednotka: kilogram; veličina je zapsána jako součin číselné hodnoty a jednotky. Je-li třeba od sebe odlišit veličiny stejného druhu, používáme k tomu index; index tvoří číslo, písmeno, čárka, hvězdička, např.,, a0, h apod. 9

10 Názvy a značky jednotek jsou stanoveny normou. Používáme jednotky Mezinárodní soustavy jednotek SI, přičemž rozlišujeme: Základní jednotky SI /veličiny, které jsou důležité v mechanice jsou podtržené/: /veličina / jednotka / značka jednotky/ délka / metr / m hmotnost / kilogram / kg čas / sekunda / s elektrický proud / ampér / A termodynamická teplota / kelvin / K látkové množství / mol / mol svítivost / kandela / cd Definice uvedených jednotek daných fyzikálních nalezneme např. v práci (7). Doplňkové jednotky SI rovinný úhel / radián / rad prostorový úhel / steradián / sr Odvozené jednotky SI Odvozují se na základě definiční rovnice. Některé odvozené jednotky mají zvláštní název, např.: Jednotka fyzikální veličiny kmitočet má rozměr s - a nazývá se hertz, značka jednotky Hz. Podobně jednotka fyzikální veličiny síla má rozměr kg m s - a nazývá se newton, značka jednotky N. Jiné odvozené jednotky nemají zvláštní název, např.: Jednotka fyzikální veličiny plošný obsah má rozměr m a nazývá se čtvereční metr, značka jednotky m. Podobně jednotka fyzikální veličiny rychlost má rozměr m s - a nazývá se metr za sekundu, značka jednotky m s -. Z důvodů požadavků praxe jsou vedle základních, doplňkových a odvozených jednotek používány také vedlejší jednotky, např.: pro čas jednotky minuta, hodina, den, týden, měsíc, rok pro rovinný úhel jsou používány jednotky stupeň (úhlový), minuta (úhlová), vteřina (úhlová) pro plošný obsah jednotky hektar, ar pro hmotnost jednotka tuna je třeba znát vždy příslušný převodní vztah, např. d = 4 h = s 0

11 Poznámka : Mezinárodní soustava jednotek SI není využívána v celém světě. Kupříkladu při dovozu strojních zařízení z anglosaských zemí se setkáme např. se šrouby, jejichž parametry jsou udávány v anglických palcích ( =,54 cm). Manometry některých zařízení jsou postaru cejchovány v atmosférách, nebo v PSI. Různé např. chemické senzory indikují číselnou hodnotu jako relativní množství v jednotkách ppm (parts per million, / ), ppb (parts per bilion, / ), popř. ppt (parts per trilion, / ). Tyto jednotky SI nepovoluje, přesto se s nimi v technické praxi setkáváme a je třeba s nimi umět pracovat. Pro další informace se seznamte se zdrojem (8). V době masivní aplikace výpočetní techniky lze nalézt řadu aplikací pro převody jednotek apod. V této oblasti má autor textu dobré zkušenosti s aplikací converter, viz Tato aplikace má širší možnosti využití, než pouhé převody jednotek. Základní dovednosti práce s jednotkami je však třeba bezpečně ovládat na úrovni automatizované dovednosti každého studenta, nelze se spoléhat na uvedenou aplikaci.. Násobky a díly jednotek Je-li základní jednotka příliš velká či malá, vyjadřujeme její násobky a díly s použitím předpon a zapisujeme je v exponenciálním tvaru, viz tabulka č.. TABULKA č. : Násobky a díly jednotek Předpona Násobek předpona násobek Název Značka Název Značka exa E 0 8 deci d 0 - peta P 0 5 centi c 0 - tera T 0 mili m 0-3 giga G 0 9 mikro µ 0-6 mega M 0 6 nano n 0-9 kilo k 0 3 piko p 0 - hekto h 0 femto f 0-5 deka d 0 ato a 0-8 Další informace nalezneme např. v práci (8). Převody jednotek Při převodech jednotek je třeba vycházet z definičního vztahu příslušné veličiny. Například převod jednotky rychlosti rychlost v metrech za sekundu potřebujeme převést na hodnotu vyjádřenou v kilometrech za hodinu: v = m/s =? km/h v = m s = 0 3 km 3600 h = 3,6 km h

12 Pro rychlé převody (v situaci kdy je nám princip převádění jednotek znám) lze s výhodou použít aplikaci converter ( popřípadě on-line převodník jednotek dostupný na adrese: Kontrola rozměru jednotky Kontrola rozměru jednotky je jedním z důležitých nástrojů kontroly správnosti při provádění nejrůznějších technických či fyzikálních výpočtů. Podstatou této kontroly je důsledná práce s jednotkami veličin dosazovaných do funkčních vztahů při výpočtech a výsledný soulad výpočtem vyjadřované veličiny a rozměru získaného výsledku, např.: Při výpočtu dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu použijeme vztah s a t pro zadané hodnoty zrychlení a 0,5 m s a času t 0 s po dosazení do vztahu pro výpočet dráhy dostaneme: s 0,5 m s (0 s) 0,5 m s 00 s 5 m Hledaná veličina je dráha s a rozměr výsledku je m, což odpovídá. Pro ilustraci uvedeme další příklad: Při výpočtu velikosti střižné síly při střihání materiálu na prostřihovadle (porušení pevnosti materiálu střihem) vycházíme z platnosti kritéria pro dimenzování ve střihu: Odtud určíme velikost střižné síly s:, S s S, Namísto dovoleného napětí zde však musíme použít mez pevnosti materiálu ve střihu R, tedy: ms s R S. Za střižnou plochu S zde dosadíme dle toho, jaká plocha má být střihem porušena. Je-li stříhán kruhový otvor o průměru d 0 mm v plechu o tloušťce t mm, je střižná plocha obdélník o výšce t a šířce odpovídající obvodu kruhového otvoru o poloměru r, tedy: Střižná síla s je tedy dána vztahem: s ms S r t. R ms r t. Pro zadané hodnoty poloměru r 5 mm stříhaného otvoru, tloušťky plechu t mm a mez pevnosti materiálu ve střihu R ms 60 MPa je velikost střižné síly:

13 R s ms r t Pa 3, Pa 6,80 m Pa m Nyní je třeba vyjádřit rozměr jednotky napětí Pa: Z definičního vztahu pro napětí N m m0. 3 m p vyjádříme rozměr jednotky napětí Pa: S kg m s m Výše vyjádřená střižná síla má tedy rozměr: Výsledek: Pa kg m s. s kg m s m kg m s s N. N. Z hlediska kontroly rozměru jednotky je to v pořádku, síla se měří v N a rozměr našeho výsledku tomu odpovídá. Z definičního vztahu pro sílu m a vyplývá, že jednotka síly N má rozměr kg m s. Ve výpočtu je dále třeba zohlednit počet platných míst výsledku, viz níže..4 Zapisování a zaokrouhlování čísel Při praktických výpočtech je dále důležité vzít v úvahu přesnost, s jakou jsou zadávány vstupní údaje, tzv. počet platných míst číselné hodnoty zadané fyzikální veličiny, což se promítá do přesnosti, s jakou určujeme výsledek výpočtu. V případě zápisu desetinného čísla se desetinná místa od celého čísla oddělují desetinnou čárkou. Některé texty zpracované na počítači či výstupy z účetnických systémů používají namísto desetinné čárky desetinnou tečku. Dle způsobu zápisu má každé číslo určitý počet platných míst. Počtem platných míst rozumíme počet všech nenulových číslic zleva od poslední zapsané číslice vpravo. Například: číslo 4,0 číslo 40 číslo má 3 platné číslice, má platné číslice, má 3 platné číslice, číslo 0,4 0 má 3 platné číslice, číslo 0,00 3 má platné číslice. Při výpočtech určujeme v souladu s prací (9) počet platných míst výsledku podle následujících pravidel: a) Při sčítání a odečítání: Výsledek zaokrouhlit na stejný počet desetinných míst jako má číslo s nejmenším počtem desetinných míst. Př:, , + 0,0 = 9,5 = 9, b) Při násobení a dělení: Výsledek zaokrouhlit tak, aby obsahoval stejný počet platných číslic jako číslo ve výpočtu s nejmenším počtem platných číslic. 3

14 Př: 4 4,0/00,0 = 0,9648 = 0,96 c) Při kombinacích (sčítání, odečítání, násobení a dělení): Dílčí výsledky se vyjádří číslicí mající o jednu platnou číslici víc než odpovídá jmenovaným pravidlům. Teprve konečný výsledek se zaokrouhlí na příslušný počet míst. Př: (35,/0,3) (35,3 4,687) = 3,48 9,6 = 670,5 Zápis čísel ) Při zápisu přibližných čísel rozlišujeme počet platných číslic: Zápis 3,4 znamená, že číselný údaj má zaručenou hodnotu celých čísel a desetin. Skutečná hodnota může nabývat hodnoty 3,35 až 3,44. Zapíšeme-li číslo 3,40 znamená to, že číselný údaj má zaručenou hodnotu celých čísel, desetin a setin. Skutečná hodnota může nabývat hodnoty 3,395 až 3,404. Zápis 8 znamená, že všechny číslice (jednotky, desítky i stovky) jsou zaručené; pokud není poslední číslice (jednotky) zaručena, je třeba zapsat číslo ve tvaru, 0. Jsou-li v čísle zaručeny pouze první dvě číslice, je třeba ji zapsat ve tvaru: 36 0, popř. 3, ) Číslo uvedené s mezní chybou (úchylkou) musí mít poslední platnou číslici stejného řádu, jaký uvádí platná číslice číselné hodnoty uvedené chyby. Např.: 5,0 ±0, /zaručena je přesnost v řádu desetin/, zápis 5 ±0, popř. 5,00 ±0, je chybný. 3,4±0, /zaručena je přesnost v řádu setin/, zápis 3,4 ±0, popř. 3,4 ±0, je chybný. 8,40±0,5 /zaručena je přesnost v řádu setin/, Zápis periodičnosti desetinných čísel zápis 8,405 ±0,5 popř. 8,4 ±0,5 je chybný. Periodičnost desetinných míst se vyznačuje tečkami nad číslicemi, které vyznačují začátek a konec periodicky se opakující části čísla, např.: 0, se zapisuje 0,45 9 0,444 se zapisuje 0, 4 0, se zapisuje 0,458 3 Zaokrouhlování čísel Pro zaokrouhlování čísel platí následující pravidla: je-li poslední platná číslice 5, nemění se hodnota na předcházejícím řádu čísla, např.: číslo 7,6 se zaokrouhlí na jedno desetinné místo na 7,6. je-li poslední platná číslice 5, hodnota čísla na předcházejícím řádu se zaokrouhluje o nahoru, např.: 4

15 číslo 73,7 se zaokrouhlí na jedno desetinné místo na 73,3. Při zaokrouhlování platných číslic vlevo od desetinné čárky se provede zápis s použitím násobku mocniny deseti, např.: číslo se po zaokrouhlení na tři platná místa zapíše: Na požadovaný počet platných míst se zaokrouhluje najednou. Pokud bychom opakovaně zaokrouhlovali vždy o jeden řád, výsledek by byl zkreslen. Shrnutí: yzikální veličina má svou značku, hodnotu a jednotku. Násobky a díly jednotek vyjadřujeme s použitím předpon, číselně pak v desetinné či exponenciální formě. Při výpočtech používáme rozměrovou kontrolu jednotky. Uvažujeme počet platných míst čísla a respektujeme pravidla pro zaokrouhlování čísel. 5

16 3 STATIKA Statika řeší případy, kdy je šetřené tuhé těleso či celá mechanická soustava v klidu, nebo se pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem. Veškeré statikou řešené úlohy můžeme zařadit do jedné ze dvou základních úloh statiky: Nahrazení dané soustavy sil jinou soustavou sil, popř. silou jedinou výslednicí Řešení rovnováhy dané soustavy sil. 3. Operace se silami Skládání a rozklad sil Jedná se o vzájemně doplňkové operace se silami. Mluvíme-li v tomto textu o silách, máme na mysli jejich vektorový charakter. Skládání sil Poznámka : V následujícím textu je předpokládáno zvládnutí základních operací se silami, viz (Mičkal), s Skládání sil je postup, kdy dvě či více sil působících na těleso nahrazujeme jedinou silou výslednicí R. Ta má na těleso stejné účinky jako soustava sil, které nahrazuje. V této části se zaměříme na: a) problematiku nalezení výslednice soustavy sil se společným působištěm (důležité mj. pro navazující téma prutových konstrukcí), b) na problematiku nalezení výslednice soustavy rovnoběžných sil. 3.. Nalezení výslednice soustavy sil se společným působištěm Úloha : Nalezněte výslednici soustavy čtyř sil se společným působištěm, je li zadáno: x = 4 kn, x = - 3 kn, 3x = - kn, 4x = 0 N y = kn, y = 3 kn, 3y = - 3 kn, 4y = -,5 kn Rozhodněte, zda je uvedená soustava sil v rovnováze, pokud není, určete sílu, kterou tuto soustavu sil do rovnováhy uvedete. Řešení: a) metoda grafická Zvolíme vhodné měřítko sil a zadání graficky znázorníme, viz obr.. 6

17 Obr. znázornění situace ze zadání příkladu Grafické řešení: Obr. Řešení úlohy konstrukce polygonu sil 7

18 Obrázek ukazuje řešení úlohy grafickou metodou, které spočívá v konstrukci silového obrazce (silový mnohoúhelník, polygon sil). Pro interpretaci se zaměříme na silový mnohoúhelník, viz obr. 3. Obr. 3 Analýza řešení úlohy Konstrukce silového obrazce je jednoduchá: na kreslící ploše si zvolíme bod a jím vedeme rovnoběžku s nositelkou síly. Zvolený bod bereme jako počátek síly a na nositelku přeneseme velikost síly, dostáváme tak i koncový bod síly. Koncovým bodem síly vedeme rovnoběžku se směrem síly, získáváme tak nositelku síly a přenesením velikosti dostaneme i její koncový bod. Tak postupně přeneseme všechny známé síly (zde,, 3 a 4). Při výše popsaném postupu mohou nastat tyto případy: a) Počáteční bod, z něhož vychází první síla (zde ) je totožný s bodem, v němž končí poslední síla (zde 4), silový obrazec je uzavřený a uvedená soustava sil je v rovnováze. (Tomu tak zde není.) b) Počáteční bod, z něhož vychází první síla () není totožný s bodem, v němž končí poslední síla (zde 4), silový obrazec není uzavřený a uvedená soustava sil není v rovnováze. Výslednicí této soustavy sil je pak orientovaná úsečka R, směřující z počátečního bodu síly do koncového bodu poslední síly (4). R je výslednice této soustavy sil. Opačná síla (vektor R) je síla, kterou soustavu sil až 4 uvedeme do rovnováhy, viz obr. 4. 8

19 Obr. 4 Uvedení soustavy sil do rovnováhy silou -R Z obr. 4 odečteme složky síly Rx a Ry, která tuto soustavu uvede do rovnováhy: - Rx = kn a - Ry = 0,5 kn. S užitím Pythagorovy věty vyčíslíme velikost výslednice R: Rx Ry R 000 N 500 N N R 8 její velikost je shodná s velikostí výslednice R, má ale opačný směr: R arc tg Z obr. 3 vyplývá, že: R y R x 000 N arc tg 500 N arc tg 0,5 R 633. soustava sil se společným působištěm zadaná dle obr. není v rovnováze. s použitím měřítka lze odečíst: Rx = - kn a Ry = - 0,5 kn. S užitím Pythagorovy věty vyčíslíme velikost výslednice R: 000 N 500 N N R Rx Ry R 8 Máme tedy vyčíslenou velikost výslednice R, je třeba určit ještě její směr. Tento směr určuje úhel, který svírá výslednice R s kladnou poloosou x. Jak je patrné z obr. 5, lze směr výslednice určit s použitím jejích složek Rx a Ry následovně:., 9

20 * R R arc tg R Obr. 5 Vyjádření směru výslednice αr y x arc tg 000 N 500 N arc tg 0,5 R 633, V našem případě je výslednice R orientována ve třetím kvadrantu (viz znaménka u složek Rx a Ry), platí tedy (viz obr. 6): R R Obr. 6 Relace výslednice R a síly R pro uvedení soustavy sil do rovnováhy b) metoda početní: Velikost složek Rx a Ry výslednice r určíme ze vztahů: R, x ix R. y Určení velikosti a směru výslednice R se pak provádí stejným způsobem, jak bylo předvedeno výše. Pokud tedy výše uvedené podmínky aplikujeme na situaci na obr., dostáváme: Rx ix x x 3 x 4 x N N 000 N 0 N 000 N Ry iy y y 3 y 4 y 000 N N N 500 N iy 0

21 R y 500 N Tyto výsledky se plně shodují s výsledky zjištěnými grafickou metodou: Rx = - kn a Ry = - 0,5 kn. S užitím Pythagorovy věty vyčíslíme velikost výslednice R: 000 N 500 N N R Rx Ry R 8 Směr výslednice se určí také stejným způsobem: R R arc tg R y x arc tg 000 N 500 N arc tg 0,5 R. 633, v našem případě je výslednice R orientována ve třetím kvadrantu (viz znaménka u složek Rx a Ry), platí tedy: R R 3.. Nalezení výslednice soustavy rovnoběžných sil Úloha 3: Nalezněte výslednici soustavy dvou rovnoběžných sil orientovaných ve směru osy y: = -,5 kn, x = m, = -,0 kn, x = 4 m. Řešení: Řešení má dvě části: a) Určení velikosti a směru výslednice R, b) Určení působiště výslednice R. Nejprve však zadání úlohy znázorníme graficky, viz obr. 7. Pro tento krok je třeba zvolit odpovídající měřítko sil a měřítko vzdáleností.

22 y x x 0 x měřítko sil: měřítko vzdáleností: 0 kn 0 m Obr. 7 Grafické znázornění zadání úlohy Ad a): Určení velikosti a směru výslednice R grafickou metodou, viz obr. 8. Obr. 8 Grafické řešení - určení velikosti a směru výslednice R

23 Ad b): Určení působiště výslednice R grafickou metodou, viz obr. 9 až 4. Obecný postup: ) Zadané síly jsou vektory a. Sestrojíme pomocné síly a tak, že síly a ve svých působištích vzájemně vyměníme a současně jednu z nich otočíme (změníme její směr; zde tedy = - ), viz obr. 9 a obr. 0. ) Koncové body vektorů a spojíme úsečkou, která určuje polohu působiště výslednice R jako průsečík s osou x, viz obr.. 3) Síly a jsou rovnoběžné, stejný směr má i nositelka výslednice R. Do působiště výslednice R přeneseme silový obrazec (viz obr. ), popř. přímo výslednici R (viz obr. 3). 4) Výslednici R, u níž již známe jak velikost a směr, tak polohu působiště zakreslíme do zadání, viz obr. 4. y 0 x měřítko sil: 0 kn měřítko vzdáleností: 0 m Obr. 9 Grafické řešení - určení působiště výslednice R - první krok (síla přesunuta;, síla přesunuta a současně otočena ; ) Po provedení naznačené transformace tedy dospějeme k situaci na obr. 0: 3

24 y 0 x měřítko sil: měřítko vzdáleností: 0 kn 0 m Obr. 0 Grafické řešení - určení působiště výslednice R - první krok dokončení y 0 x měřítko sil: měřítko vzdáleností: 0 kn Obr. Grafické řešení - určení působiště výslednice R - druhý krok (spojnice a vymezuje na ose x bod, jímž prochází nositelka výslednice R) 4 0 m

25 y R 0 x R R = + měřítko sil: měřítko vzdáleností: 0 kn 0 m Obr. Grafické řešení přenesení silového obrazce do působiště R y (do působiště R je přenesen silový obrazec) R 0 x R R = + měřítko sil: měřítko vzdáleností: 0 kn Obr. 3 Grafické řešení nahrazení silového obrazce výslednicí R 5 0 m

26 Výsledek řešení úlohy grafickou metodou vyjadřuje následující obrázek. y x x xr 0 x R měřítko sil: měřítko vzdáleností: Obr. 4 Grafické řešení výsledek Nyní je třeba s použitím měřítka sil interpretovat velikost výslednice: R = - 3,5 kn, a s použitím měřítka vzdáleností interpretovat polohu působiště výslednice: xr = 3,5 m. 0 kn Výsledky získané grafickou metodou nyní ověříme početně. 0 m 6

27 A. Určení velikosti a směru výslednice R početní metodou. I zde lze úlohu rozdělit na dva kroky: a) Určení velikosti a směru výslednice R b) Určení působiště výslednice R Ad a): Určení velikosti a směru výslednice R Vycházíme z definice pojmu výslednice sil, proto musí platit: vektorově a skalárně R i, R i. Velikost a směr výslednice zjistíme tak, že provedeme algebraický součet všech sil i, které má Výslednice R nahradit. Jde tedy o matematické vyjádření toho, co je na obr. 8 realizováno graficky. Pokud výše uvedený obecný vztah aplikujeme na zadání úlohy (viz obr. 7), dostáváme rovnici: Odtud pro zadané vstupní hodnoty: R, R,5 kn,0 kn 3, 5 kn. Znaménko - značí směr výslednice ve smyslu záporné poloosy y, velikost výslednice je 3,5 kn. Ad b): Určení působiště výslednice R Vycházíme z definice pojmu výslednice sil, která musí mít na těleso stejný účinek, jako soustava sil, které nahrazuje, proto musí platit: M R M, což dále rozepíšeme: M R i xi. Výše uvedený obecný vztah převedeme do skalárního tvaru a opět aplikujeme na zadání úlohy, do kterého na libovolné místo dokreslíme předpokládanou výslednici (my zde využijeme obr. 4) a dostáváme rovnici: A odtud vyjádříme neznámou xr: Po dosazení dostáváme: R x R, i x x x R x x R. 7

28 ,5 kn m kn4 m knm x R 3, 43 m. 3,5 kn 3,5 kn Tato hodnota je kladná, to znamená, že výslednice R (orientovaná rovnoběžně se silami a ) se nachází napravo od počátku souřadnic (kladná poloosa x) ve vzdálenosti asi 3,43 m od počátku souřadnic. Při srovnání výsledků získaných grafickou a početní metodou vidíme, že vzájemně korespondují, lze je tedy považovat za spolehlivé. POZNÁMKA: Z příslušné teorie plyne, že ve trojrozměrném prostoru je síla jako vektorová veličina určena třemi parametry: velikost, směr a působiště. V řadě případů tedy používáme vektorový zápis, který je jednoduchý. Ve výše uvedeném výpočtu se pracuje s těmito atributy síly - velikost, směr a působiště následovně: působiště leží na tzv. nositelce síly; ve výše uvedeném příkladu obě nahrazované síly i jejich výslednice mají působiště totožné s fiktivním tělesem položeným na kladnou poloosu x, směr síly je v případě vektoru (orientované úsečky) dán směrem šipky, v případě početního řešení potom znaménkem (, i R jsou orientovány ve směru osy y dolů, mají tedy všechny znaménko - ), velikost síly je vyjádřena délkou orientované úsečky, přičemž bereme v úvahu příslušné měřítko velikosti síly. Ve výše uvedeném příkladu tedy při početním řešení vycházíme z obr. 4, rovnice píšeme ve skalárním tvaru, to znamená, že znaménko - vyplynulo z orientace sil a dále, i R chápeme jako skalární veličinu určující velikost síly. (V zadání uvedený údaj = -,5 kn zahrnuje právě jak velikost, tak i směr, pro výpočet však velikost síly =,5 kn.) 8

29 Úloha 4 Nalezněte výslednici soustavy dvou rovnoběžných sil orientovaných ve směru osy y: Řešte graficky, kontrolu proveďte početně. = -,5 kn, x = m, =,0 kn, x = 4 m. Porovnejte zadání se zadáním předchozího příkladu. Co se změnilo? Zvolte odpovídající měřítko vzdáleností a měřítko sil a zakreslete situaci graficky. Řešte nejprve velikost a směr výslednice R, potom vzdálenost jejího působiště xr v soustavě souřadnic x-0-y. y x x 0 x měřítko sil: měřítko vzdáleností: Řešení: 0 kn 0 m Obr. 5 Grafická podoba zadání úlohy 3 Obecný postup řešení je shodný s postupem řešení předchozího příkladu. Řešte samostatně. Výsledky pro kontrolu: R = 0,5 kn, x R = 0,0 m. Vlastní řešení uvádí Příloha č. : Řešení úlohy 3 9

30 3. Příhradové konstrukce prutové soustavy /řešený příklad/ Úloha 5: Řešte příhradovou konstrukci (dále jen PK) na obr. 6. /Řešit PK znamená určit velikost a směr sil působících v jednotlivých jejích prutech./ Q = kn C A 3 D 5 4 B m m 4 m Popis PK: Obr. 6 Příhradová konstrukce Q je vnější zatěžující síla, příhradová konstrukce /prutová soustava/ je tvořena jednotlivými pruty (číslovány až 5), spojení dvou či více prutů nazýváme styčník (označeny A až D). PK je zakotvena ve styčníku A kloubovou /též rotační/ podporou a ve styčníku B posuvnou podporou. Kloubová podpora odebírá soustavě stupně volnosti, pro výpočet znamená dvě neznámé /složky Ax a Ay obecně orientované síly A/. Posuvná podpora odebírá soustavě stupeň volnosti, pro výpočet znamená jednu neznámou /velikost síly B, její směr je vždy kolmý ke stykovým deskám, kterými je posuvná podpory realizována, síla B má tedy pouze složku v ose y/. Níže bude popsáno řešení PK tzv. styčníkovou metodou. PK jako celek tvoří tuhé těleso. Podstatou styčníkové metody je myšlenka, že je-li PK v rovnováze, musí být v rovnováze i jednotlivé styčníky. Z hlediska statiky představuje každý styčník soustavu sil se společným působištěm. Problém určení sil v jednotlivých prutech PK tedy převádíme na řešení rovnováhy soustavy sil se společným působištěm. Postup řešení:. Kontrola statické určitosti PK. Kontrola tvarové určitosti PK 3. Uvolnění PK výpočet vazbových sil 4. Grafické a početní řešení rovnováhy sil v jednotlivých styčnících 30

31 Řešení: Ad - kontrola statické určitosti PK: Metody statiky lze použít jen za určitých podmínek. Jimi jsou statická a tvarová určitost PK. PK je s předměty ve svém okolí mechanicky spojena. Toto spojení je realizováno tzv. vazbovými silami. PK je metodami statiky řešitelná tehdy, pokud způsob mechanického spojení PK a jejího okolí je takové, že počet stupňů volnosti PK je nulový /i = 0/. Poznámka : Je-li i 0, jde o pohyblivé uložení, které nazýváme mechanismus, je-li naopak i 0, jde o uložení staticky neurčité. Podmínka statické určitosti je dána vztahem: kde: n je počet prvků konstrukce, i = 3 (n ) 3v r p, (-) /vždy je počet prvků konstrukce roven n = /, jedním je PK samotná, druhým je tzv. rám, tj. okolí, na které podpory přenášejí reakce na vnější zatížení vazbové síly. v je počet vetknutých podpor, r je počet rotačních podpor, p je počet posuvných podpor. PK na obr. 6 je ve styčníku A uchycena rotační podporou /r = /, ve styčníku B posuvnou podporou /p = /. Vetknutá podpora použita není /v = 0/, počet prvků konstrukce je n =. Podmínka statické určitosti (-) má tedy po dosazení tvar: PK je tedy staticky určitá. i = 3 ( ) 3 0 i = 0 Ad - kontrola tvarové určitosti PK: Tvarová určitost PK je dána počtem prutů p a počtem styčníků s a je vyjádřena podmínkou: p = s 3. (-) Protože PK na obr. 6 má 4 styčníky /s = 4/ a 5 prutů /p = 5/, má pro tuto PK podmínka tvarové určitosti tvar: p = s 3 5 = = = 5 Podmínka tvarové určitosti je splněna, PK je tedy tvarově určitá. 3

32 Ad 3 Uvolnění PK výpočet vazbových sil A a B: Vnější zatěžující síla Q je orientována ve směru osy y, proto i reakce A a B jsou orientovány čistě ve směru osy y. Pro výpočet reakcí A a B se obr. 6 zjednoduší, viz obr. 7: Q = kn A 5 D m 4 m B Obr. 7 Pro výpočet vazbových sil PK oprostíme vlivů uložení k rámu jejím uvolněním zavedením reakcí A a B: Q = kn A A 5 D B B m 4 m Obr. 8 Vyznačení vazbových sil A a B Pro výpočet vazbových sil A a B použijeme tzv. statické podmínky rovnováhy. Jsou tři: ix 0 N (-3) iy 0 N (-4) M ia 0 Nm (-5) Z obr. 8 plyne, že vnější zatěžující síla Q i její reakce vazbové síly A a B jsou orientovány pouze ve směru osy y. První statická podmínka vyjadřující rovnováhu všech sil působících na PK ve směru osy x zde tedy nemá smysl. Aplikujeme-li zbývající dvě podmínky na situaci na obr. 8, dostane rovnice (-4) podmínka rovnováhy sil působících ve směru osy y tvar: iy 0 N A Q B 0 N. (-6) 3

33 Rovnice (-5) podmínka rovnováhy momentů sil v kloubové podpoře A nabývá tvar: MiA 0 Nm Q d AD B d AB 0 Nm. (-7) Nejprve vyřešíme rovnici (-7) vyjadřující rovnováhu momentů v rotační podpoře vzhledem k tomu, že obsahuje jen jednu neznámou, tj. reakci B, odtud: Q d AD kn m B kn 666,6 N 667 N d AB 6 m 3 Velikost druhé neznámé vazbové síly A vyjádříme z rovnice (-6) popisující rovnováhu vnější zatěžující síly Q a reakcí A a B: A Q B kn 0,667 kn,33 kn 33 N Zavedením vazbových sil A a B je tedy PK uvolněna. Ad 4 Grafické a početní řešení rovnováhy sil v jednotlivých styčnících: Příhradová konstrukce je zpravidla sestavena z jednotlivých prutů s použitím technologie svařování, šroubových spojů, v dřívějších provedeních též nýtováním. U styčníkové metody je však za účelem výpočtu na každý styčník nahlíženo jako na kloub. Díky tomu lze předpokládat, že se pruty mohou v kloubu vlivem působení sil natočit a tak směr síly působící v prutu je totožný právě se směrem prutu. Jednotlivé pruty proto mohou být namáhány buď čistě v tahu, nebo v tlaku (ty je potom třeba dimenzovat z hlediska kombinace tlaku a ohybu, tj. vzpěru). Styčník A: Styčník A řešení grafickou metodou Obr. 9 - Styčník A situace Vazbová síla A její velikost i směr známe, zakreslíme ji v uzlu A ve vhodném měřítku. Měřítko volíme dostatečně velké, abychom omezili vznik chyby. (Zde na obr. 9, obr. 0 a obr. zakresleno bez měřítka.) Počátečním bodem známého vektoru A vedeme rovnoběžku s jedním z obou prutů, v nichž hledáme neznámé síly (zde rovnoběžka s prutem ) a koncovým bodem vektoru A vedeme rovnoběžku s druhým z obou prutů (zde rovnoběžka s prutem ), viz obr

34 Obr. 0 - Styčník A přenášení rovnoběžek se směry prutů Obě rovnoběžky se protnou a vymezí tak budoucí silový obrazec (zde trojúhelník), výsledný silový obrazec vyjadřuje rovnováhu sil ve styčníku, musí tedy být uzavřený. Odtud vyplyne směr sil v silovém obrazci, viz obr.. Obr. - Styčník A výsledný silový obrazec Pokud jsme tedy úsečku reprezentující vektor A zakreslili v měřítku, stačí nyní změřit délky úseček majících význam sil a a s použitím tohoto měřítka zjistíme velikost neznámých sil. d... cm... kn d... cm... kn Styčník A řešení početní metodou Z orientace sil v obr. je zřejmý i směr sil a působících v prutech a : síla působí směrem do styčníku, síla působí ze styčníku ven, viz obr.. Obr. - Styčník A směr sil v prutech Na situaci na obr. popřípadě obr. nyní aplikujeme tzv. statické podmínky 34

35 rovnováhy:. ix 0 N. iy 0 N (-8) Obě podmínky pro situaci na obr. rozepíšeme následovně:. x 0 N. N Z rozměrů úseček AD a DC vyjádříme velikost úhlu : m tg m arc tg 6, A y 0 Druhou podmínku rovnováhy pro osu y rozepíšeme: A A sin 0 N sin A sin 33 N sin N Nyní se vrátíme k první podmínce rovnováhy pro osu x: x x 0 N cos 978 N cos N Pokud si výsledky získané graficky a početně odpovídají, lze přikročit k řešení dalšího styčníku. Pro výpočet každého styčníku můžeme použít pouze dvě statické podmínky rovnováhy, viz vztah (-8). Proto můžeme dále řešit pouze takový styčník, ve kterém jsou maximálně dvě neznámé síly. Nyní je tedy ještě třeba vrátit se k výsledkům výpočtů ve styčníku A. Síly a jsou ve styčníku A dle 3. Newtonova pohybového zákona akcemi, které vyvolávají na koncích prutů a stejně veliké reakce opačného směru. Do PK tedy zakreslíme odpovídající reakce, viz obr

36 A A Obr. 3 Zakreslení sil ze styčníku A a jejich reakcí do PK C Q 3 D Poznámka 3: Z fyzikálního hlediska by bylo potřebné ještě rozlišovat síly v prutu ve smyslu akce (např. ) a odpovídající reakce ( ). Protože by to ovšem v tomto textu zkomplikovalo zápis příslušných rovnic, dovolíme si tuto nepřesnost a nebudeme mezi nimi v zápisu rozlišovat. PK, která je řešena v tomto příkladě, je jednoduchá. Při pohledu na obr. 3 je zřejmé, že kterýkoliv ze tří zbývajících styčníků (B, C i D) je nyní řešitelný, protože jsou zde vždy jen dvě neznámé síly. Zde jako další bod řešení volíme styčník B. 5 4 B B Styčník B: Styčník B řešení grafickou metodou Obr. 4 - Styčník B situace Vazbová síla B její velikost i směr známe, zakreslíme ji v uzlu B ve vhodném měřítku. Měřítko volíme dostatečně velké, abychom omezili vznik chyby. (Zde na obr. 4, obr. 5 a obr. 6 zakresleno bez měřítka.) Přikročíme ke konstrukci silového obrazce. Počátečním bodem známého vektoru B vedeme rovnoběžku s jedním z obou prutů, v nichž hledáme neznámé síly (zde rovnoběžka s prutem 5) a koncovým bodem vektoru B vedeme rovnoběžku s druhým z obou prutů (zde rovnoběžka s prutem 4), viz obr. 5. Obr. 5 - Styčník B přenášení rovnoběžek se směry prutů Obě rovnoběžky se protnou a vymezí tak budoucí silový obrazec (zde trojúhelník). Výsledný silový obrazec vyjadřuje rovnováhu sil ve styčníku, musí tedy být uzavřený. Odtud vyplyne směr sil v silovém obrazci, viz obr

37 Obr. 6 - Styčník B výsledný silový obrazec Pokud jsme tedy úsečku reprezentující vektor B zakreslili v měřítku, stačí nyní změřit délky úseček majících význam sil 4 a 5 a s použitím tohoto měřítka zjistíme velikost neznámých sil. d... cm... kn 4 d... cm... kn 5 Styčník B řešení početní metodou Z orientace sil v obr. 6 je zřejmý i směr sil 4 a 5 působících v prutech 4 a 5: síla 4 působí směrem do styčníku, síla 5 působí ze styčníku ven, viz obr. 7. Obr. 7 - Styčník B směr sil v prutech Na situaci na obr. 6 popřípadě obr. 7 nyní opět aplikujeme tzv. statické podmínky (-8). Obě podmínky pro situaci na obr. 6 rozepíšeme následovně:. x 0 N. N 4 5 Z rozměrů úseček DB a DC vyjádříme velikost úhlu : m tg 4 m arc tg 4 4, B 4 y 0 Druhou podmínku rovnováhy pro osu y rozepíšeme: 37

38 B B B 4 4 y 4 sin 0 N sin B sin 0 N 667 N 4 sin N 4 4 Nyní se vrátíme k první podmínce rovnováhy pro osu x: 4x 0 N cos 0 N cos 5 75 N cos N Pokud si výsledky získané graficky a početně odpovídají, lze přikročit k řešení dalšího styčníku. Nyní je tedy ještě třeba vrátit se k výsledkům výpočtů ve styčníku B. Síly 4 a 5 jsou ve styčníku B dle 3. Newtonova pohybového zákona akcemi, které vyvolávají na koncích prutů 4 a 5 stejně veliké reakce opačného směru. Do PK tedy zakreslíme odpovídající reakce, viz obr. 8. A A Q C D 5 5 Obr. 8 Zakreslení sil ze styčníku B a jejich reakcí do PK B B Styčník D: 38

39 Styčník D řešení grafickou metodou Obr. 9 - Styčník D situace Na základě provedeného řešení ve styčnících A a B známe velikost i směr sil působících ve styčníku D, viz obr. 9. Měřítko volíme dostatečně velké, abychom omezili vznik chyby. (Zde na obr. 9 a obr. 30 zakresleno bez měřítka.) Přikročíme ke konstrukci silového obrazce. Do výchozího bodu styčník D zakreslíme známý vektor 5. Do koncového bodu vektoru 5 přeneseme vektor. (Na obr. 30 jsou pro větší přehlednost oba vektory zakresleny nad sebou, ve skutečnosti se kryjí). Již nyní je zřejmé, že síly a 5 jsou v rovnováze, silový obrazec je uzavřený a síla 3 = 0 N. Obr Styčník D výsledný silový obrazec Výsledný silový obrazec vyjadřuje rovnováhu sil ve styčníku. Velikost a směr obou vektorů působících ve styčníku D byly předem známé. V tomto bodě výpočtu tedy odpadá měření délek úseček reprezentujících vektory a určování velikosti sil s použitím měřítka, v němž byl silový obrazec zakreslen. Styčník D řešení početní metodou Na situaci na obr. 9 popřípadě obr. 30 nyní aplikujeme tzv. statické podmínky rovnováhy, viz vztah (-8):. 0 N. 0 N N 664 N 0 N Poznámka 4: Početní chyba, ke které po dosazení do podmínky rovnováhy pro osy x ve styčníku D dospějeme, je dána zaokrouhlením v předchozích výpočtech výpočty úhlů a a výpočty sil a 5. Počítáme-li v kn, jsou chyby v řádu jednotek N zanedbatelné. 3 Zamyslete se nad tím, jak by se změnila chyba ve výpočtech, pokud bychom 39

40 respektovali počet platných míst v zadaných údajích (vnější síla Q a rozměry PK). Poznámka 5: Obecný tvar podmínky rovnováhy pro osu y je: iy 0 N. Je-li v uzlu D jedinou silou působící ve směru osy y síla 3, není zde další síla, která by její účinky kompenzovala, potom, mají-li být všechny síly ve směru osy y v rovnováze, musí být tato složka nulovým vektorem. Než přikročíme k řešení dalšího styčníku, zakreslíme ještě výsledek výpočtů ve styčníku D: síla 3 = 0 N, viz obr. 3. A A Q C = 0 N 4 5 D 5 5 Obr. 3 Zakreslení sil ze styčníku D a jejich reakcí do PK B B Styčník C: Styčník C řešení grafickou metodou Obr. 3 - Styčník C situace Všechny síly působící ve styčníku C (vnější síla, a síly v prutech, 3 a 4 jsou již známé), našim úkolem v této fázi řešení PK je potvrzení existence rovnováhy všech uvedených sil. Síly působící v uzlu C zakreslíme ve vhodném měřítku, které volíme dostatečně velké, abychom omezili vznik chyby. (Zde na obr. 3, obr. 33 a obr. 34 zakresleno bez měřítka.) Pořadí, v němž začínáme přenášet síly do silového obrazce je libovolné. Např. využijeme vnější sílu Q: do jejího koncového bodu přeneseme sílu 4 a následně do koncového bodu síly 4 přeneseme sílu. V tuto chvíli se silový obrazec již uzavírá, což: a) potvrzuje rovnováhu sil Q, a 4 a b) ilustruje předpoklad, že 3 = 0 N, viz obr. 33 a obr. 34. C 3 Q 4 3 = 0 N 4 40

41 Q 4 C Obr Styčník C rovnoběžky se směry prutů 3 3 = 0 N 4 4 Q Obr Styčník C konstrukce silového obrazce Výsledný silový obrazec vyjadřuje rovnováhu sil ve styčníku, uzavírá se již silami Q, a 4 a potvrzuje, že 3 = 0 N, viz obr. 35. C = 0 N 4 Obr Styčník C výsledný silový obrazec Velikost a směr všech vektorů působících ve styčníku C byly předem známé. V tomto bodě výpočtu tedy opět odpadá měření délek úseček reprezentujících vektory a určování velikosti sil s použitím měřítka, v němž byl silový obrazec zakreslen. V úvodu řešení tohoto příkladu bylo uvedeno, že řešit PK znamená určit síly působící v jednotlivých prutech PK. V tomto smyslu jsme dospěli k řešení již v části výpočtu zaměřené na styčník D. Vyřešit poslední styčník je ale důležité z hlediska kontroly. V posledním uzlu je třeba prokázat rovnováhu sil vypočtených v předchozích krocích a potvrdit tak správnost výpočtů. Tento krok je důležitý z hlediska kontroly. Styčník C řešení početní metodou Na situaci na obr. 35 nyní aplikujeme tzv. statické podmínky rovnováhy, vztah (-8) a dosadíme, dostáváme tak: pro osu x: x 4 x 0 N cos 4 cos 0 N 978 N cos N cos 4 0 N 5,3 N 0 N 4

42 pro osu y: Q Q 4 y y 0 N sin sin 0 N N 75 N sin N sin N N 0 N Nepřesnosti v řádu jednotek N přičteme opět na vrub zaokrouhlování během dílčích výpočtů. V posledním styčníku se potvrdila rovnováha vnějších sil, vazbových sil i sil působících v prutech PK. Známe nyní velikost a směr vazbových sil jako reakcí na vnější zatěžující síly a konečně známe velikost a směr sil působících v prutech PK, tím ji považujeme za vyřešenou. V technické praxi následuje dimenzování jednotlivých prvků PK výpočet rozměrů jednotlivých prutů (při známých pevnostních parametrech použitého materiálu) na základě velikosti a směru působících sil. Pruty PK se dimenzují na tah a v případě orientace sil v prutu vyvolávajících tlak je prut dimenzován na vzpěr (vzhledem k štíhlosti prutu má tento tendenci se ohýbat, přičemž jeho únosnost značně klesá). Této problematice je věnována jedna z posledních přednášek orientovaná na problematiku pružnosti a pevnosti. Na následujícím příkladu příhradové konstrukce si ukážeme, jak se řeší případ, kdy:. vnější zatěžující síla působí mimo styčník,. vnější zatěžující síly nepůsobí jen ve směru osy y. Úloha 6: Řešte PK na obr. 36, pokud platí: Q =,0 kn Q =,0 N Q3 =,5 kn d AC = m d BC = 3 m d DC = m 4

43 (působiště síly Q3 dělí prut 4 v poměru /3 ku /3) Postup řešení:. Kontrola statické určitosti PK. Kontrola tvarové určitosti PK Obr. 36 PK - situace 3. Uvolnění PK výpočet vazbových sil 4. Grafické a početní řešení rovnováhy sil v jednotlivých styčnících Řešení: Ad. Kontrola statické určitosti PK: Použijeme vztah (-) i = 3 (n ) 3v r p, po dosazení dle situace na obr. 36 (v = 0, r =, p = ) dostáváme: PK je tedy staticky určitá. Ad - kontrola tvarové určitosti PK: i = 3 ( ) 3 0 i = 0 Tvarová určitost PK je dána počtem prutů p a počtem styčníků s a je vyjádřena podmínkou (-): p = s 3. Protože PK na obr. 36 má 5 styčníků /s = 6/ a 9 prutů /p = 9/, má pro tuto PK podmínka tvarové určitosti tvar: p = s 3 9 =

44 9 = 3 9 = 9 Podmínka tvarové určitosti je splněna, PK je tedy tvarově určitá. Ad 3 - Uvolnění PK výpočet vazbových sil Ze zadání na obr. 36 je zřejmé, že vnější zatěžující síla Q3 působí mimo styčník. To je třeba před výpočtem vazbových sil vyřešit. Vnější zatěžující sílu Q3 je třeba rozložit na složky QC působící ve styčníku C a QD působící ve styčníku D. Tyto síly společně mají na PK stejný účinek, jako vnější zatěžující síla Q3 kterou nahrazují, viz obr. 37. Obr. 37 PK nahrazení síly Q3 ležící mimo uzel silami QC a QD Síly QC a QD musí mít na PK stejný účinek, jako vnější zatěžující síla Q3, kterou nahrazují, viz obr

45 Obr. 38 K výpočtu sil QC a QD nahrazujících sílu Q3 Musí tedy platit podmínka rovnosti sil: Q3 = QC + QD, a současně také podmínka rovnosti momentu MQ3 výslednice Q3 a momentů MQC a MQD složek QC a QD vzhledem k bodu D: MQ3 = MQC + MQD. Síla QD otáčivý moment vzhledem k bodu D nemá, její rameno je nulové, odtud tedy plyne: Z druhé rovnice po dosazení dostáváme: a odtud: Q3 a = QC l. Q3 /3 l = QC l, QC = /3 Q3, QC = /3 500 N 667 N. Tento výsledek dosadíme do podmínky rovnosti sil, odkud dostáváme: QD = Q3 QC, a po dosazení: QD = 500 N 667 N 833 N. Vnější zatěžující síla Q3 působící mimo styčník tedy byla nahrazena silami QC a QD, výchozí situaci pro výpočet vazbových sil (uvolnění PK) znázorňuje obr. 39. Vnější zatěžující síly působí jak ve směru osy x (Q), tak ve směru osy y (QC, QD, Q). Z toho plyne, že reakce v kloubové podpoře A síla A bude obecná, budeme tedy počítat její složky Ax a Ay, reakce v posuvné podpoře je orientována pouze ve směru osy y. 45

46 Obr. 39 Výchozí situace k výpočtu vazbových sil A a B Reakce tzv. vazbové síly doplníme do PK, viz obr. 40. Obr. 40 K výpočtu vazbových sil A a B Z obr. 40 je patrné, že otáčivý účinek na PK (vzhledem ke kloubové podpoře A) má i vnější zatěžující síla Q (rameno jejího otáčivého momentu je úsečka DC ). PK tedy v tomto případě nelze redukovat na úsečku AB, jak tomu bylo v předchozím příkladě. Pro výpočet tří neznámých vazbových sil máme k dispozici tři statické podmínky rovnováhy, viz vztahy (-3), (-4) a (-5). První podmínka vyjadřující rovnováhu vnějších a vazbových sil působících ve směru osy x: ix 0 N, Po dosazení dle obr. 40 dostáváme: 46

47 Ax Q 0 N, a odtud vyjádříme: Ax Q 000 N. Druhá podmínka vyjadřující rovnováhu vnějších a vazbových sil působících ve směru osy y: iy 0 N, Po dosazení dle obr. 40 dostáváme: Q Q Q N. Ay D C B 0 Zde jsou prozatím dvě neznámé síly Ay a B, proto se k uvedené rovnici vrátíme později. Třetí podmínka vyjadřující rovnováhu momentů vzhledem k bodu A kloubové podpoře: M ia 0 Nm, Po dosazení dle obr. 40 dostáváme: Q d DE QD d AE QC d A Q d A B d AB 0 Odtud vyjádříme velikost neznámé vazbové síly B: Nm. B Q d DE Q D d AE Q d AB C d A Q d A. Po dosazení dostáváme: a odtud: 000 N m 000 N m 000 N 4 m 000 N 4 m B, 5 m B 800 N. Nyní se vracíme ke druhé podmínce vyjadřující rovnováhu vnějších a vazbových sil působících ve směru osy y: Q Q Q N, Ay D C B 0 a odtud vyjádříme poslední neznámou vazbovou sílu Ay: Ay Q Q Q. Po dosazení dostáváme: D C B Ay 000 N 000 N 000 N 800 N 00 N. PK je tedy tzv. uvolněna, vazbové síly dle obr. 40 mají velikosti: 47

48 Ax = 000 N, Ay = 00 N, B = 800 N. Přistupujeme tedy k dalšímu bodu řešení, k výpočtům sil působících v jednotlivých prutech PK. Ad 4 Grafické a početní řešení rovnováhy sil v jednotlivých styčnících Zde používané principy jsou shodné s těmi, které byly použity v předchozím příkladě, pusťte se tedy samostatně do řešení a následující pasáž použijte jako případnou nápovědu a také pro kontrolu správnosti. Doporučujeme dodržovat následující postup:. Začínáme uzlem, ve kterém jsou maximálně dvě neznámé síly.. V každém uzlu je třeba nejprve zobrazit situaci vyznačit, jaké jsou směry prutů, jaké zde působí vnější zatěžující síly a případně i vazbové síly. 3. Zvolte vhodné měřítko sil. Zkonstruujte silový obrazec (polygon): nejprve za sebe přeneste síly, které jsou v uzlu známé, poté doplňte rovnoběžkami se směry prutů, v nichž jsou velikosti sil neznámé do uzavřeného silového obrazce. Doplňte směry sil tak, aby se silový obrazec uzavřel. 4. Změřte délku úseček odpovídajících neznámým silám v prutech. S použitím předem zvoleného měřítka pak vyčíslete velikost těchto sil zjištěnou grafickou metodou. 5. S použitím silového obrazce aplikujte na daný uzel statické podmínky rovnováhy pro síly působící v ose x a pro síly působící v ose y. Řešte soustavu rovnic. 6. Porovnejte výsledky získané početně s výsledky zjištěnými grafickou metodou. Musí si (s ohledem na zvolené měřítko) řádově odpovídat. Tento postup budeme nyní aplikovat jako vzor. Ad : Začínáme uzlem A Ad : Situaci v uzlu A znázorňuje obr. 4. Obr. 4 Uzel A situace 48

49 Ad 3: Sestrojení silového obrazce, viz obr. 4. Obr. 4 Sestrojení silového obrazce uzel A Obr. 43 Doplnění sil uzavření silového obrazce uzel A Poznámka: V jakém pořadí silový obrazec složíme, není důležité. Platí pouze, že do koncového bodu síly jedné (na obr. 43 síly AY) přeneseme počátek síly následující (zde AX). Silový obrazec poté uzavřeme tak, že bodem, ve kterém začíná jedna ze sil (zde AY), vedeme rovnoběžku se směrem jednoho prutu (zde prut ), ve kterém sílu určujeme a následně bodem, ve kterém poslední síla končí (zde AX), vedeme rovnoběžku se směrem druhého prutu (zde prut ). Směry sil potom doplníme tak, abychom získali uzavřený silový obrazec, který znamená rovnováhu sil ve styčníku. Pokud síly budeme skládat v jiném pořadí, obdržíme jiný tvar silového obrazce, velikost a směry zjišťovaných sil v prutech a jsou však totožné se směry na obr. 43. Srovnejte obr. 43 a obr. 44. Všechny alternativy jsou rovnocenné. Obr. 44 Jedna z alternativních variant silového obrazce uzel A 49

50 Na obr. 43 byla velikost síly AY = 00 N a AX = 000 N. Změříme v tomto obrázku velikosti sil a. Dostáváme 860 N a 440 N. /Změřeno v grafickém programu v pixelech a vyčísleno./ Ad 4) Početní řešení. Použijeme statické podmínky rovnováhy: ) ix 0 N, ) iy 0 N. Pro situaci na obr. 43 (popř. na obr. 44) platí: ) Osa x: N. AX x 0 V této rovnici jsou neznámé, síly a, proto budeme nejdříve řešit druhou rovnici. ) Osa y: Ay Ay Ay sin 0 N y Ay sin 0 N sin 00 N sin N Nyní se vrátíme k první rovnici pro osu x a odtud: AX AX x cos 000 N 460 N cos N Je zřejmé, že výsledky získané grafickou metodou odpovídají výsledkům získaným početní metodou. Můžeme je tedy považovat za spolehlivé. Závěrem řešení styčníku A zakreslíme síly v prutech a do nákresu PK: V uzlu A jsou síly a orientovány směrem do uzlu. Na opačném konci prutů a zakreslíme odpovídající reakce: je orientována směrem do uzlu D a je orientována směrem do uzlu E, viz obr

51 Obr. 45 zakreslení vyčíslených sil v prutech a do PK (reakce Ax pro dobrou čitelnost posunuta o něco níže) Postup je tedy zřejmý, pokračujte dále ve výpočtech samostatně, níže budou uvedeny pro kontrolu další dílčí výsledky. 5

52 Styčník D: Obr. 46 Uzel D situace Obr. 47 Uzel D přenos známých sil Obr. 48 uzavření silového obrazce Když na silový obrazec na obr. 48 aplikujeme statické podmínky rovnováhy, dostáváme nyní: ) Osa x: ) Osa y: ix 0 N, iy 0 N, x Q Q Q cos N 460 N cos N x 0 N Q y D Q sin Q 460 N sin N 00 N D y 0 N D 5

53 Styčník E: Obr. 49 Uzel E situace Obr. 50 Uzel E přenos známých sil Obr. 5 uzavření silového obrazce Když na silový obrazec na obr. 5 aplikujeme statické podmínky rovnováhy, dostáváme nyní: ) Osa x: ) Osa y: ix 0 N, iy 0 N, x 5 5x 0 N cos y 5 y 5 0 N sin N cos N 900 N sin 00 N sin N 53

54 Styčník C: Obr. 5 Uzel C situace Obr. 53 Uzel C přenos známých sil Obr. 54 uzavření silového obrazce Když na silový obrazec na obr. 54 aplikujeme statické podmínky rovnováhy, dostáváme nyní: 54

55 55 ) Osa x: ix 0 N, N N N N x x x x cos cos 63 cos cos cos cos ) Osa y: iy 0 N N N N N Q Q N Q C y y C y y C sin sin sin sin

56 Styčník : Obr. 55 Uzel situace Obr. 56 Uzel přenos známých sil Obr. 57 uzavření silového obrazce Když na silový obrazec na obr. 57 aplikujeme statické podmínky rovnováhy, dostáváme nyní: ) Osa x: ) Osa y: ix 0 N, iy 0 N, N 0 N Q 7 7 Q 0 N 999 N 000 N 56

57 Styčník B: Obr. 58 Uzel B situace Obr. 59 Uzel B silový obrazec Výpočty v tomto uzlu již mají pouze kontrolní charakter vzhledem k tomu, že už v předcházejícím styčníku byly určeny poslední neznámé síly působící v prutech PK. Když na silový obrazec na obr. 59 aplikujeme statické podmínky rovnováhy, dostáváme nyní: ) Osa x: ) Osa y: ix 0 N, iy 0 N, 8 8 9x 0 N cos 0 N 900 N 0 N cos N 0,04 N 0 N 9 B B 9 y 0 N sin 0 N N 0 N sin 636 O N 0,43 N 0 N V průběhu všech uvedených výpočtů jsme určitou měrou zaokrouhlovali (na celé N), což se projevilo chybou, díky které v posledních výpočtech uvedená rovnost z hlediska matematického není splněna. Provádíme-li však výpočty s veličinami v řádech jednotek kn, je chyba v řádu desetin N zanedbatelná. Uvedená metoda řešení je z tohoto hlediska dostatečně přesná. Do PK v závěru řešení zakreslíme síly působící v jednotlivých prutech, viz obr