Matematika I (KMI/5MAT1)

Transkript

1 Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ)

2 Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny a odmocniny přirozený exponent racionální exponent řešení polynomických rovnic definice polynomu polynomická rovnice kvadratická rovnice

3 Množiny Množiny Množinou budeme rozumět soubor objektů, který je určen takovým způsobem, že můžeme jednoznačně rozhodnout, zda daný objekt do tohoto souboru (množiny) patří, či nikoliv. Jak určit prvky množiny? Konkrétní množinu A lze zavést následujícími způsoby: výčtem všech prvků: A = {a, b,..., c} stanovením charakteristické vlastnosti ϕ(x) : A = {x : ϕ(x)} Příklady: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {x : x 2 = 1}

4 Množiny Další příklady stanovení množin {x : x 2 = 1} = { 1, 1} {d : d je pracovní den} = {ponděĺı, úterý, středa, čtvrtek, pátek} {c : c je kladné sudé číslo} = {2, 4, 6, 8,...} Náležení do množiny Objekt x je prvkem množiny A: x A Objekt y není prvkem množiny B: y B 1 {1, 2, 3, 4} 5 {1, 2, 3, 4} 1 {x; x 2 = 1} 5 {x; x 2 = 1}

5 Významné množiny Základní množina Základní množina - výchozí množina, ze které můžeme vybírat prvky do daných množin. A = {x Z : ϕ(x)} Prázdná množina Prázdná množina - množina, která nemá žádný prvek - značíme nebo { }

6 Vztahy mezi množinami Podmnožina množiny Množina B je podmnožinou množiny A: B A (x B x A) Rovnost množin Rovnost množin A a B: A = B (A B B A)

7 Operace s množinami Sjednocení množin Sjednocení množin A a B: A B = { x : (x A) (x B)}

8 Operace s množinami Průnik množin Průnik množin A a B: A B = {x : (x A) (x B)}

9 Operace s množinami Rozdíl množin Rozdíl množin A a B: A\B = {x : (x A) (x B)}

10 Operace s množinami Disjunktní množiny Množiny A a B jsou disjunktní: A B =.

11 Číselné obory Množina přirozených čísel N = {1, 2, 3,...} N 0 = {0, 1, 2, 3,...} Množina celých čísel Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Množina racionálních čísel Q = { } p q : p Z, q N

12 Číselné obory Množina iracionálních čísel R\Q Množina reálných čísel R = (, ) R + = {x R; x > 0} R = {x R; x < 0} R + 0 R 0 = {x R; x 0} = {x R; x 0}

13 Množiny reálných čísel Otevřený interval (a, b) Množina všech reálných čísel x, pro něž platí vztah a < x < b. Oba krajní body intervalu, tj. a a b, podle této definice do intervalu (a, b) nepatří; (a, b) = {x R; a < x < b}. Uzavřený interval a, b Množina všech reálných čísel x, pro něž platí vztah a x b. Oba krajní body intervalu, tj. a a b, podle této definice do intervalu a, b patří; a, b = {x R; a x b}.

14 Množiny reálných čísel Polootevřený interval (a, b Množina všech reálných čísel x, pro něž platí vztah a < x b. Z obou krajních bodů a a b je prvkem množiny (a, b pouze bod b; (a, b = {x R; a < x b}. Polouzavřený interval a, b) Množina všech reálných čísel x, pro která platí nerovnost a x < b. Z obou krajních bodů a a b je prvkem množiny a, b) pouze bod a; a, b) = {x R; a x < b}.

15 Okoĺı bodu Okoĺı bodu A, O δ (A) Množina reálných čísel x, pro která platí nerovnice x A < δ. Číslo δ nazýváme poloměr okoĺı bodu A. O δ (A) = {x R; x A < δ}, O δ (A) = (A δ, A + δ).

16 Okoĺı bodu Prstencové okoĺı bodu A, P δ (A) Okoĺı bodu A ochuzené o střed, tedy o bod A. P δ (A) = O δ (A)\{A}, P δ (A) = (A δ, A) (A, A + δ). Často nám bude záležet pouze na tom, že nějaké okoĺı bodu A s určitou vlastností existuje. Potom vynecháváme údaje o poloměru δ a píšeme pouze O(A), resp. P(A).

17 Mocniny a odmocniny kladné celočíselné mocniny Je-li a R a n N, potom je a n = a a a... a (kde a je n-krát násobeno samo sebou. Ve výrazu a n nazýváme číslo n exponent (mocnitel) a číslo a základ (mocniny). 4 5 = = kladné celočíselné mocniny 3 2 = 3 3 = = = = = 0 ( 1) 3 = ( 1) ( 1) ( 1) = = = =

18 Příklady záporné celočíselné mocniny Je-li a R\{0} a n je kladné celé číslo, potom je a n = 1 a n 2 3 = = 1 a a a... a záporné celočíselné mocniny = 1 = 0, = = 1 9 a 1 = 1 a 1 = 1 a a 6 a 2 = a2 a 6 = a 4 = 1 a = = 1 ( 2) 3 = 1 ( 2) 3 = 1 8 = není definováno

19 Mocniny nulový exponent Je-li a R\{0}, potom je a 0 = 1. Výraz 0 0 není definován! nulový exponent 3 0 = = = není definováno

20 Práce s mocninami Vzorce a r a s = a r+s Příklady = = 3 7 = x 3 x 2 = x 3 2 = x 1 = x Příklady Vzorce a r a s = ar s pro a = 53 2 = 5 1 = 5 x 3 x 2 = x 3 ( 2) = x = 32 4 = 3 2 = 1 9

21 Práce s mocninami Vzorce (a r ) s = a rs Příklady ( a 2 ) 3 = a (2 3) = a 6 (3 x ) 4 = 3 4x ( 8 3 ) = ( 2 3) 3 = = 2 9 Příklady Vzorce (ab) n = a n b n (4 2) 3 = = 512 ( 2y) 4 = ( 2) 4 y 4 = 16y = (3 5) 4 =

22 Práce s mocninami Příklady ( ) 4 2 = 42 Vzorce ( a b ) n = a n b n pro b = 16 9 ( ) x 3 = x 3 3 y ( y) 3 = x y ( ) = = 2 5 = = = ( ) = 6 = = 6 32 = 192

23 Odmocniny Definice n-té odmocniny n a = b b n = a Příklady 4 = = = = 8 3 ( 8) = ( 2) ( 2) 3 = ( 8) Důležitá rovnost x 2 = x

24 Racionální mocniny Racionální mocnina Je-li a nezáporné číslo, potom a r/s = s a r = ( s a ) r. Speciálně platí: Příklady a 1/s = s a 4 3/2 = ( 4) 3 = 2 3 = 8 8 2/3 =...? 9 3/2 = ( 9) 3 = 3 3 = /3 =...?

25 Polynom n-tého stupně Definice polynomu Polynomem P n (x) proměnné x rozumíme výraz, který lze zapsat ve tvaru P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, kde a i jsou pevně dané konstanty. Je-li a n 0 potom říkáme, že daný polynom má stupeň rovný číslu n, resp. že se jedná o polynom n-tého stupně. Příklad P 3 (x) = 5x 3 + 9x 2 11x + 5 P 2 (x) = (x 1) 2 P 3 (x) = x 3 + 5x 15 P 1 (x) = 7x + 11 P 2 (x) = x 2 + 4x + 5 P 0 (x) = 10

26 Řešení polynomických rovnic Polynomická rovnice Polynomická rovnice jedné neznámé může být zapsána ve tvaru a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, kde a 0, a 1, a 2,..., a n jsou reálné konstanty. Nejvyšší mocninu výrazu x s nenulovým koeficientem a i nazýváme stupněm rovnice. Příklady polynomických rovnic ax + b = 0 ax 2 + bx + c = 0 ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 lineární rovnice, rovnice 1. stupně kvadratická rovnice, rovnice 2. stupně kubická rovnice, rovnice 3. stupně

27 Řešení kvadratické rovnice Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice může být vyjádřena ve tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde a, b a c jsou reálná čísla a a 0. Kořeny rovnice vypočteme ze vztahu x 1,2 = b ± D, 2a kde je tzv. diskriminant kvadratické rovnice a vypočteme jej ze vztahu D = b 2 4ac.

28 Řešení kvadratické rovnice Kvadratická rovnice Vypočtěte řešení kvadratické rovnice 2x 2 8x + 6 = 0. Řešení: Koeficienty a, b, c jsou po řadě rovny a = 2, b = 8, c = 6. D = b 2 4ac = ( 8) = = 16 x 1,2 = ( 8) ± x 1 = x 2 = = 1 = 3

29 Řešení kvadratické rovnice Kvadratická rovnice Vypočtěte řešení kvadratické rovnice x 2 4x + 4 = 0. Řešení: Koeficienty a, b, c jsou po řadě rovny a = 1, b = 4, c = 4. D = b 2 4ac = ( 4) = = 0 x 1,2 = ( 4) ± x 1 = x 2 = = 2 = 2

30 Řešení kvadratické rovnice Kvadratická rovnice Vypočtěte řešení kvadratické rovnice x 2 + 3x + 10 = 0. Řešení: Koeficienty a, b, c jsou po řadě rovny a = 1, b = 3, c = 10. D = b 2 4ac = = 9 40 = 31 Zadaná rovnice nemá řešení. x 1,2 = (3) ±