Summer Workshop of Applied Mechanics June 2002 Department of Mechanics Faculty of Mechanical Engineering Czech Technical University in Prague

Transkript

1 Summer Workshop of Applied Mechanics June 2002 Department of Mechanics Faculty of Mechanical Engineering Czech Technical University in Prague Matematické modelování membránového čerpadla Chlup H. 1, Kratochvíl Z. 2, Pražák J. 1, Musil J. 1 1 Ústav termomechaniky AV ČR Dolejškova Praha 8 2 VUT v Brně Technická Brno chlup@it.cas.cz Klíčová slova: pneumatické membránové čerpadlo, matematický model čerpadla 1 Motivace Membránová čerpadla speciální konstrukce se užívají jako podpora nebo náhrada srdce. Práce ventilů a čerpadla se blíží fyziologické práci srdce. Vykazují nízkou hemolýzu. Po dobu náhrady je třeba zachovat pulzační tok, což membránové čerpadlo splňuje. Při kontinuálním toku by během několika týdnů docházelo k remodelaci aorty [10], [11]. 2 Úvod Model byl vytvořen na základě experimentů. Byly získány časové průběhy požadovaných veličin při předem definovaných stavech systému. Parametry vstupující do modelu, které nebyly získány experimentálně, byly stanoveny výpočtem. Časové závislosti žádaných veličin, byly analyzovány a získány jejich funkční závislosti na změně stavu systému. Vložením těchto funkčních závislostí jednotlivých veličin do připraveného matematického modelu, byl vytvořen celek, kterým lze prognostikovat chování membránového čerpadla. Tento přístup byl zvolen z důvodů obtížně definovatelné změny geometrie pracovního prostoru čerpadla v závislosti na čase. Na základě zvoleného algoritmu by bylo možno vytvořit zjednodušený matematický model libovolného prvku sledovaného systému, a to rozborem signálu vstupních, výstupních a pohonných veličin. 83

2 3 Metody a postupy Pro účely experimentu byly navrženy dvě experimentální linky obr.1 a obr.2. Jako media bylo použito destilované vody bez příměsi. Tato náhrada je v souladu s literaturou [4, 5]. Byly prověřovány tepové frekvence 60, 75, 100, 120 tepů/min s vlivem i bez vlivu větrníku simulujícího vliv pružnosti aorty. Pro každou tepovou frekvenci byly nastaveny 4 hodnoty odporu, simulujícího fyzickou zátěž, označené R0, R25, R50, R75, kde R0=0% zastínění světlosti trubice,r25=27,8%, R50=55,6%, R75=83,3%. Pro měření tlaků byla použita absolutní tlaková čidla. Průtok byl sledován vrtulkovým průtokoměrem, kde byla snímána otáčková frekvence vrtulky. Obrázek 1: zleva: zásobník kapaliny, průtokoměr na sání, membránové čerpadlo osazené tlakovými čidly, elektronika průtokoměru, řídící jednotka tlakového vzduchu pohonu čerpadla, měřící počítač Obrázek 2: zleva: řídící jednotka tlakového vzduchu pohonu čerpadla, membránové čerpadlo osazené tlakovými čidly, větrník simulující pružnost aorty, průtokoměr na výtlaku (za konzolou), výtlačná nádrž, sací nádrž Experimentem byly získány časové průběhy následujících veličin: tlak na sání ps, tlak na výtlaku pv, tlak vzduchu pvz, průtok na výtlaku Qv. Frekvence snímání byla 200 Hz. Orientačně byl proměřen vnitřní tlak v čerpadle pin a průtok na sání Qs. 84

3 Z experimentálně a početně získaných dat byly vytvořeny pomocí metody nejmenších čtverců [7] náhradní funkce pro efektivnější zpracování záznamů. Ze známého záznamu průtoku byl vypočten průběh střední rychlosti (2) [1, 2, 3]. v (t) = Q (t) /S (1) Zrychlení kapaliny bylo získáno výpočtem z průběhu rychlosti pomocí metody konečných diferencí (3). Byla využito centrálních diferencí [9]. a (t) i =. 1 2 t (v (t) i+1 v (t) i 1 ) Náhradní funkce byla řešena pomocí rozkladu periodických kmitů do upravené Fourierovy řady (4) [6, 7]. u (t) = u m0 + (2) n [u mi sin (2 π f i t) + ϕ i ] (3) i=1 Vypočtené amplitudy a fázové posuvy jednotlivých superponovaných sinových průběhů dané veličiny byly při konstantní tepové frekvenci a různých nastaveních tělního odporu porovnány a byla stanoveny jejich funkční závislosti, kde jako proměnná vystupovala základní frekvence. Pro zvolenou tepovou frekvenci dané veličiny byl získán předpis pro amplitudu kmitů a fázové posuvy všech složek superponovaných sinových průběhů. Předpisy byly vytvořeny pomocí polynomů druhého až čtvrtého stupně obr.3, obr.4. Střední hodnoty jednotlivých sledovaných veličin jsou závislé pouze na velikosti tělního odporu. Matematický model byl vytvořen aplikováním Bernoulliho rovnice pro reálnou kapalinu (4) na sací a výtlačnou větev okruhu čerpadla a využitím rovnice kontinuity a jejich modifikací [1, 2, 3, 8]. p 1 ρ + v2 1 2 U 1 = p 2 2 ρ + v2 2 2 U a t dl + Y zm1,2 + Y zl1,2 (4) Byla provedena substituce místní ztrátové energie na tlakovou energii prostřednictvím tlakové diference (5). Y zm = ξ v2 2 = p ρ Vztah pro zrychlení kapaliny (6) v sací a výtlačné větvi čerpadla. (5) a v (t) D 2 v = a c (t) D 2 c (6) 85

4 Obrázek 3: Graf závislostí amplitudy a faz. posuvu pvz na tep. frekvenci Obrázek 4: Graf závislostí stř. hodnot pvz při různých tep. frekvencí zátěži 86

5 Rovnice kontinuity pro korelaci rychlostí (7) v sací a výtlačné (10) větvi čerpadla. v v (t) D 2 v = v c (t) D 2 c (7) Změna geometrického objemu čerpadla byla modelována jako změna objemu náhradního tělesa - válce. Podstava válce byla vypočtena z reálného průměru vetknutí membrány. Měnící se parametr určující změnu objemu čerpadla v čase byla výška válce x x (t) = 4 Q s (t) t π D 2 c (8) Výpočet integrálu zrychlení v Bernoulliho rovnici pro sací a výtlačnou větev v c a t dl = a v (t) ( L v + 4 Q ) s (t) t D v π Dc 3 (9) V okruhu bylo zjištěno turbulentní proudění (vypočtené střední Re cca ). Byl definován vztah pro ztrátovou energii třením po délce potrubí Y ZLv (t) = ( ) 2 4 Qv(t) 0, 316 L v π Dv Q v(t) γ π D v D v 2 (10) Potenciální energie je reprezentována výškou vodních sloupců, v sací a výtlačné (11) nádrži, nad kótou umístění tlakových čidel na sání a na výtlaku čerpadla. Výšky vodních sloupců jsou závislé na nastavení tělního odporu U v = g h v (R) (11) Veličina popisuje energetickou ztrátu, úbytek tlaku, která je potřebná pro deformaci (prolomení) membrány. Velmi zjednodušeným způsobem zde supluje vlastnosti membrány. Tato veličina byla získána porovnáním tlakového spádu na čerpadle s tlakem vzduchu pohonné jednotky získaným experimentálním měřením před vstupem do pneumatické části čerpadla. Do Bernoulliho rovnic dosazujeme časové průběhy jednotlivých veličin. Model výtlačné větve čerpadla (12) (výtlaku) byl získán dosazením vztahů (5), (8), (9), (10), (11) do obecného řešení Bernoulliho rovnice pro reálnou kapalinu (4) a vymezením hranic platnosti rovnice obr.6. Model sací větve čerpadla byla získána identickým způsobem. 87

6 Obrázek 5: Porovnání experimentu a modelu průběhu tlaku na sání. Obrázek 6: Porovnání experimentu a modelu průběhu tlaku na výtlaku 88

7 4 Diskuse, závěr ( ( p v = (p vz p mn ) + ρ ) 2 ( ) Qv 4 Qv π D v D c π Dv 2 ( 2 a v L v + 4 Q )) (12) s t D v p π Dc 3 chv Y ZLv U v Zjednodušený matematický model je konstruován tak, aby pro celý řetězec výpočtu postačilo zadat střední hodnotu tlaku vzduchu, střední hodnoty, základní frekvenci, nastavení tělního odporu. Provedením experimentů byly nalezeny takové závislosti a provázanost jednotlivých veličin, že toto zadání pro získání přibližných průběhů tlaků na sání a výtlaku čerpadla postačuje. Na výtlaku dochází k mírnému fázovému posuvu modelových a experimentálně získaných záznamů. Zřejmě je to způsobeno odchylkou polohy modelových a experimentálních vztažných bodů nebo chybou při zpracovávání modelu. V modelu také nejsou pro zatím uvažovány ztrátové energie získané vlivem náhlého rozšíření a zúžení průtočného průřezu. Ztráty na chlopních byly získány výpočtem ze setrvačné síly kapaliny na plochu chlopně a následně byla určena ztrátová tlaková energie. Pro zlepšení výsledků by bylo třeba experimentální okruh osadit větším počtem měřících čidel, nebo jiným způsobem získat podklady pro energetickou bilanci okruhu a především bezprostředního okolí čerpadla. Tímto postupem by byla zvýšena shoda modelového záznamu s experimentem. Pro daný postup modelování je shoda modelu a experimentu je dobrá. Literatura [1] Macur M.: Úvod do analytické mechaniky a kontinua, Díl II., VUT Brno, Brno 1996 [2] Medek J.: Hydraulické pochody, VUT Brno, Brno 2000 [3] Bláha J., Brada K.: Příručka čerpací techniky, ČVUT, Praha 1997 [4] Valenta J., Konvičková S.: Biomechanika srdečně cévního systému člověka, ČVUT, Praha 1997 [5] Ottová-Leitmannová A.: Základy biofyziky, Alfa, Bratislava 1993 [6] Brepta R., Půst L., Turek F.: Mechanika kmitání, Sobotáles, Praha 1994 [7] Rektorys K.: Přehled užité matematiky, SNTL, Praha

8 [8] Tomáš F., Fleischner P.: Čerpadla, Sbírka příkladů část I., VUT Brno, Brno 1982 [9] Teasař V.: Mezní vrstvy a turbulence, ČVUT v Praze, Praha 1991 [10] Nishimura T. et al.: Prolonged nonpulsatile left heart bypass with reduced systemic pulse pressure causse morphologicalchanges in the aortic wall. Artif. Organs, 1998, 22,2, pp [11] Tayama E. et al.: The safety systém for the rotary blood pump, combination of valve and LVAD pulsatille mode: in vivo test, rtif Organs.: 1998, 22(4), pp