p gh Hladinové (rovňové) plochy Tlak v kapalině, na niž působí pouze gravitační síla země

Transkript

1 Hladinové (rovňové) plochy Plochy, ve kterých je stálý statický tlak. Při posunu po takové ploše je přírůstek tlaku dp = 0. Hladinová plocha musí být všude kolmá ke směru výsledného zrychlení. Tlak v kapalině, na niž působí pouze gravitační síla země Hydrostatický tlak v hloubce h p gh Celkový statický tlak v hloubce h ps pv0 gh kde pv je vnější tlak na hladinu. Vydělením rov. g dostaneme vyjádření v ps 0 g pv g h Veličina p/g má délkový rozměr a nazývá se tlaková výška; tlak lze převést na výšku sloupce kapaliny a tím ho graficky znázornit, nebo je možné ho sloupcem kapaliny měřit. Při volné hladině vnější tlak pv0 = pa, kde pa je atmosférický tlak, což je nejčastější tlak okolního prostředí.

2 Normální atmosférický tlak smluvená střední hodnota atmosférického tlaku na mořské hladině: pn = 1, Pa Přetlak pp rozdíl tlaku statického a atmosférického: pp ps pa p, když s pa Podtlak pva rozdíl tlaku atmosférického a statického: p va pa ps p, když s pa 3

3 Spojité nádoby Spojité nádoby se řeší sestavením rovnice tlakové rovnováhy ke zvolené rovňové ploše 4

4 Hydrostatická síla Hydrostatická síla vzniká působením hydrostatického tlaku na plochu. Na tuto plochu působí vždy kolmo. Hydrostatická síla na rovinnou, vodorovnou plochu F ghs gv ZT kde VZT je objem zatěžovacího tělesa a S je tlačená plocha. Hydrostatická síla se rovná tíze sloupce kapaliny, jehož základnou je tlačená plocha a výškou hloubka plochy pod hladinou, tj. rovná se tíze zatěžovacího tělesa. Hydrostatická síla působí vždy v těžišti zatěžovacího tělesa. 5

5 Hydrostatická síla na rovinnou, šikmou plochu F gz kde zt je hloubka těžiště zatěžované plochy pod hladinou. Hydrostatická síla je opět dána tíhou zatěžovacího tělesa, tj. tíhou sloupce kapaliny, jehož základnou je zatěžovaná plocha a jeho výška vyplývá ze znázornění průběhu hydrostatického tlaku. T S 6

6 Hydrostatická síla opět působí v těžišti zatěžovacího tělesa, tj. působiště hydrostatické síly C je pod těžištěm zatěžované plochy T ve vzdálenosti: 0 Sy kde I0 je moment setrvačnosti k těžišťové ose o (u pravidelných obrazců). Je-li zatěžovanou plochou obdélník nebo čtverec, je možné objem zatěžovacího tělesa počítat jako součin řezu tímto tělesem a šířky tohoto tělesa. Hydrostatická síla pak je F gbs ZO I T kde b a SZO jsou patrné z obr. Řez zatěžovacím tělesem je tzv. zatěžovací obrazec a SZO je plocha zatěžovacího obrazce. Hydrostatická síla působí v jeho těžišti. 7

7 Tvar plochy Obsah plochy S (m ) Veličiny k výpočtu hydrostatické síly Moment setrvačnosti I0 (m 4 ) Hloubka působiště síly yc (m) a 1 4 a 1 a a h 6 h a a 1 4 a 1 h a a 6 h a a 1 3 ba 1 a a h 6 h a v D 4 a b v 3 D 4 64 a b ab 36 a b D D h 8 h D vk v k ab h 3k 6k 3k vk k a b k a b, av 1 3 av 36 h 3 v v 6 3h v D 8 D D 16 D 16 0,0175D h 0,88D h 0,8D 0,0175D h 0,1D h 0,1D 8

8 U některých příkladů je výhodné rozložit výslednou hydrostatickou sílu do dvou směrů, na vodorovnou a svislou složku. Vodorovná složka hydrostatické síly FX se rovná hydrostatické síle působící na průmět zatěžované plochy do svislé roviny kolmé k uvažovanému směru. F gsz sin x T... úhel sklonu zatěžované plochy od vodorovné roviny S.sin... průmět zatěžované plochy do svislé roviny Svislá složka hydrostatické síly Fz se rovná tíze svislého sloupce kapaliny nad zatěžovanou plochou až ke hladině F gsz cos z T S.cos... průmět zatěžované plochy do vodorovné roviny 9

9 V případě, že zatěžované plochy jsou obdélníkové nebo čtvercové, můžeme sestrojit příslušné zatěžovací obrazce pro jednotlivé složky hydrostatické síly Fx a Fz: Zatěžovacím obrazcem vodorovné složky hydrostatické síly je zatěžovací obrazec na průmět zatížené plochy do svislé roviny. Zatěžovacím obrazcem svislé složky hydrostatické síly je sloupec nad zatěžovanou plochou až po hladinu. Síly Fx, Fz působí v těžištích příslušných zatěžovacích obrazců - obr...4. Působí-li složka Fz dolů, jedná se o tlak, působí-li Fz vzhůru, jedná se o vztlak. Velikosti složek hydrostatických sil Fx a Fz jsou podle rovnice (..4) počítány jako Fx gbs ZOx Fz gbszoz Celková hydrostatická síla je dána vztahem: F F x Fz (..9) Řešení hydrostatické síly ze zatěžovacího obrazce pro celkovou hydrostatickou sílu a ze zatěžovacích obrazců pro složky hydrostatické síly je ekvivalentní. Zvolíme vždy ten způsob, který je v daném případě vhodnější a jednodušší. Hydrostatická síla na rovinnou, svislou plochu ( = 90 ) Fx gszt sin Fz gszt cos 10

10 HYDRODYNAMIKA Základní druhy proudění Neustálené proudění (nestacionární, nepermanentní) základní veličiny jsou funkcí polohy a času: Ustálené proudění (stacionární, permanentní) všechny charakteristiky proudu jsou v čase konstantní. Závisí pouze na poloze částice. Ustálené proudění - rovnoměrné proudění - nerovnoměrné proudění Rovnoměrné proudění Q, v, S, y = konst. Nerovnoměrné proudění Q = konst., v = v(l), S = S(l), y = y(l) 1

11 Nerovnoměrné proudění zrychlené - střední rychlost se s dráhou zvětšuje a plocha průtočného průřezu se zmenšuje Nerovnoměrné proudění zpomalené - střední rychlost se s dráhou zmenšuje a plocha průtočného průřezu se zvětšuje Z hlediska uspořádání proudových vláken se proudění dělí na: - Proudění plynule se měnící - Proudění náhle se měnící Z hlediska vedení proudu se proudění dělí na: - Proudění s volnou hladinou proud je omezen pevnými stěnami, na povrchu je volná hladina, pohyb vzniká vlastní tíhou kapaliny, např. proudění v otevřených korytech - Proudění tlakové proud omezen pevnými stěnami ze všech stran, pohyb je způsoben např. vlivem rozdílných tlaků, který může být také vyvolán vlivem tíhy kapaliny nebo i vnější silou. - Proudové paprsky proud je ohraničen kapalným nebo plynným prostředím, pohyb je způsoben vlastní tíhou nebo setrvačností vlivem počáteční rychlosti.

12 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) vychází z definice ustáleného proudění, že Q = konst. v každém průřezu proudu. Vyjadřuje zákon zachování hmotnosti. Pro rovnoměrné proudění je rovnice kontinuity vyjádřena vztahem: Q = Sv = konst. Pro nerovnoměrné proudění pak: Q = S1 v1 = Sv = Pro stlačitelnou kapalinu: Q = ρ1 S1v 1 = ρsv = konst. konst. 3

13 BERNOULLIHO ROVNICE Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování energie pro proudící kapalinu. Mechanická energie tělesa, které se pohybuje při působení zemské gravitace bez tření je stálá veličina. Základní tvar Bernoulliho rovnice vztaženo k jednotce hmotnosti: gh + p ρ + v = konst. Tvar Bernoulliho rovnice vztažený k jednotce tíhy v tzv. energetických výškách: h + p ρg + v g = konst. = E E... měrná energie proudu polohová energie... E p =mgh polohová energie jednotky hmotnosti e p =gh kinetická energie... E k =mv / kinetická energie jednotky hmotnosti e k =v / tlaková energie... m(p/ρ) tlaková energie jednotky hmotnosti p/ρ 4

14 Tvar Bernoulliho rovnice vztažený k jednotce tíhy pro dva libovolné průřezy: p1 v1 p v h1 + + = h + + ρg g ρg g v /g - rychlostní výška p/ρg - tlaková výška h - polohová výška Součet všech energií je v každém průřezu jedné a téže trubice konstantní Bernoulliho rovnice platí pro proudovou trubici, v jejichž průřezech je rychlost rovnoměrně rozložena Praktické použití Bernoulliho rovnice 1. Zvolí se libovolná vodorovná rovina (ekvipotenciální plocha nulového potenciálu). V proudové trubici se zvolí průřezy 3. Sestaví se Bernoulliho rovnice pro dva průřezy 4. Případné doplnění o rovnici kontinuity 5

15 USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH Rovnoměrné proudění Charakteristika: 1. Hloubka vody v korytě, průtočná plocha a průřezová rychlost jsou v každém příčném řezu konstantní.. Čára energie, vodní hladina a dno koryta jsou rovnoběžné, takže i E = i = i 0 kde i E je sklon čáry energie, i je sklon hladiny a i 0 je sklon dna. Rozdělení dle tvaru průtokového profilu: 1. prizmatické kanály konst. geometrické vlastnosti po délce toku. neprizmatické kanály proměnný tvar po délce, změny lze definovat jako fce S resp. O 3. přirozená koryta nepravidelný tvar měnící se po délce toku Dělení průřezů a koryt: 1. jednoduché (obdélník, trojúhelník, lichoběžník...). složené (kromě dna lze nalézt další vodorovnou část) 3. přirozené

16 Základní geometrické charakteristiky 1. rozměry průtokového profilu (šířka ve dně, sklon svahů, průměr atd.). průtočná plocha... S 3. omočený obvod... O 4. hydraulický poloměr... R 5. šířka v hladině... B 6. podélný sklon... I 7. hloubka... y Hydraulické charakteristiky 1. stupeň drsnosti... n. rychlostní součinitel ( Chezyho)... C (m 1/.s-1) 3. střední průřezová rychlost... v 4. průtok... Q Chézyho rovnice v = C RI 0 kde v... průřezová rychlost C... rychlostní součinitel (m 0,5 s -1 ) R... hydraulický poloměr (m)

17 Průtok se spočítá z rovnice spojitosti Q = vs = CS RI = K I 0 0 kde S... průtočná plocha (m ), K... modul průtoku (m 3 s -1 ). Modul průtoku patří k základním hydraulickým charakteristikám koryta, neboť zahrnuje jak vliv tvaru a velikosti průtočné plochy, tak i drsnost omočeného obvodu. Vztahy pro určení rychlostního součinitele C z Chézyho rovnice. Manning 1 platnost: (1889) C = 1 n R 1 R n Pavlovskij (195) P C = P =,5 n 6 0,13 0,75 R ( n 0,1 ) n > 0,011 0,3m < R < 5m zjednodušené určení P: pro: R < 1m... P 1,5 n R > 1m... P 1,3 n n > 0,05... P 1,6 n

18 Agroskin (1955) 0,05643 C = 17,7 + logr n Martinec (1958) R C = 17,7 0,77 + log d 50 Pro R = 1 m platnost: n & > 0,009 odvozen z měření na českých řekách, ověřen pro: 0,15 < R <,5 0,004 m < d50 < 0,5 m Pro nepravidelné říční tratě Martinec doporučuje nahradit zrno d 50 náhradní drsností d n = d 50 + d, kde d = 0,063.S max /S min - 0,3. Hlavní vliv na změnu drsnosti je tedy přisuzován proměnlivosti průřezu. Mez použitelnosti byla stanovena poměrem S max /S min =,1. Manningova rovnice v = 1 n R 3 I 1 0 kde n... Manningův drsnostní součinitel (s.m -1/3 ).

19 V případě, že je omočený obvod složen z částí s různou drsností (např. různé typy opevnění), uvažuje se při výpočtu průměrná ekvivalentní drsnost, kterou je možné stanovit následujícími způsoby: váženým průměrem: n n = O n O podle Pavlovského: = i 1 ( ) O n i O i i podle Hortona a Einsteina a Bankse: Oin n = O kde i jsou dílčí omočené obvody s drsnostními součiniteli n i. 3 i 3

20 Geometrické charakteristiky příčného profilu koryta Tvar koryta Průtočná plocha S by Omočený obvod O b + y Hydraulický poloměr R by b + y Šířka v hladině B b Střední hloubka průřezu y = S/B y ( b my) y + b + y 1+ m ( b + my) b + y y 1+ m b + my ( b + my) y b + my my my y 1+ m 1+ m my y 8 y B + 3 B By přibližně pro 3 4y 0 < < 1 * B 1 πϕ sinϕ D D πϕ 180 () B y 3B 3 + 8y y D sin ϕ 1 4 πϕ 180 S ( D y) 4 y *) Pro > 1 je: B B 4y B 4y 4y O = 1+ + ln + 1+ B 4y B B y D 3 y πϕ sin ϕ sin ϕ

21 Základní typy úloh při řešení rovnoměrného pohybu 1. Zadáno: rozměry koryta, drsnost, hloubka vody v korytě y 0 a sklon i 0 Počítá se: rychlost a průtok. Zadáno: rozměry koryta, drsnost, hloubka vody v korytě y 0 a průtok Q. Počítá se: sklon i 0 3. Zadáno: rozměry koryta, drsnost, sklon dna koryta i 0 a průtok Q. Počítá se: hloubka y 0 a) přibližováním (s využitím výpočetní techniky) - volba několika y 0 postup výpočtu Q je stejný jako pro typ 1. b) sestrojením konzumční křivky Q = f(y 0 ) a odečtením y 0 pro dané Q. 4. Zadáno: drsnost koryta, sklon dna koryta i 0, hloubka y 0 sklon svahů koryta 1:m a průtok vody Q. Počítá se: šířka dna koryta b: a) obdoba postupu pro typ 3, ale s volbou několika b, b) sestrojením křivky Q = f(b) a odečtením pro dané Q. 5. Zadáno: rozměry koryta, sklon dna koryta i 0 hloubka vody y 0 a průtok Q. Počítá se: drsnost koryta: