4. Dynamika letu umělých družic Aleš Bezděk
|
|
- Danuše Marková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4. Dynamika letu umělých družic Aleš Bezděk Teoretická geodézie 4 FSV ČVUT 2017/2018 LS 1
2 Úvod do astrodynamiky Astrodynamika je studium pohybu umělých objektů v kosmickém prostoru, na které působí jak přírodní, tak uměle vyvolané síly. (Vallado D, 2007: Fundamentals of astrodynamics and applications, 3ed) Nebeská mechanika zabývá se dynamikou pohybu nebeských těles. Astrodynamika je nebeskou mechanikou aplikovanou specifický problém pohybu umělých družic Země. Tento obor vznikl po vypuštění první umělé družice Sputnik 1 dne 4. října V dalším textu budeme slovem družice rozumět umělou družici Země. 2
3 Příklad: Pohyb Mezinárodní kosmické stanice Jeden den pohybu ISS Počáteční data: reálná sada dráhových elementů Znázorněny osy inerciálního systému Výška ISS nad zemí: 400 km Oběžná doba je 92 minut, za den družice oběhne Zemi asi 15krát Trajektorie družice: elipsa nehybná v inerciálním systému Tato skutečná trajektorie se od dokonalé elipsy liší o méně než 1%, jako tvar Země se o méně než 1% liší od dokonalé koule. Hlavní porucha: Rovina elipsy koná pomalou precesi okolo polární osy, v případě ISS o 5 /den. 3
4 LEO družice na nízkých oběžných drahách V této přednášce se budeme zabývat dráhovou dynamikou družic, které se označují jako LEO satellites = satellites in low Earth orbits (LEO) Pohybují se ve výškách km, kde na ně působí zemská atmosféra. Většina umělých družic je na nízkých drahách. Příklady: ISS, dálkový průzkum Země, gravitační mise, komunikační systém Iridium Další typy drah družic jsou například: Medium Earth orbit (MEO) střední oběžná dráha, výšky 2 36 tis. km Příklady: GPS (20 tis. km), Telstar (první družice pro TV přenosy) Geostationary Earth Orbit (GEO) geostacionární družice ve výšce 36 tis. km Příklady: telekomunikační družice, meteorologické družice V dalším textu bude slovo družice označovat LEO družici. 4
5 Keplerovy zákony 1. Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách, v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce. 2. Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za stejný čas jsou stejně velké. 3. Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin jejich velkých poloos. a 3 /T 2 = konst První dva zákony objevil Kepler v Praze analýzou měření Tycha Brahe a publikoval r. 1609, třetí zákon publikoval r za pobytu v Linci. Tyto zákony platí v nezměněné podobě i pro družice! Zákon 1 Družice se pohybují po elipsách okolo Země. Zákon 2 V perigeu družice letí rychleji než v apogeu. Zákon 3 Družice na nižší dráze má kratší oběžnou dobu než na vyšší dráze. 5
6 Isaac Newton řešení pohybových rovnic Newtonova pohybová rovnice: F = m d 2 r/dt 2 Známe-li působící síly, vektor F(x,y,z), v každém bodě, můžeme spočítat řešení, tzn. předpovědět pohyb r(t). Newtonův zákon všeobecné gravitace: F G = GMm/R 2 mm kde R mm je vektor spojující tělesa o hmotnosti m a M Isaac Newton matematicky spočetl, proč se tělesa pod vlivem gravitační síly pohybují po kuželosečkách, v případě gravitačně vázaného tělesa po elipsách. Slavná Newtonova Principia z r již obsahují dokonce i obrázek a krátkou diskusi pohybu těles okolo Země. V této přednášce se omezíme na diskuzi eliptických drah. 6
7 Problém dvou těles, keplerovská elipsa V rovině dráhy se družice pohybuje po elipse, jejíž tvar definují veličiny: a velká poloosa e excentricita Polohu družice na elipse určuje úhel zvaný θ pravá anomálie Vzdálenost od centra C je daná r=a(1 e 2 )/(1+e cos θ) Významná místa na eliptické dráze: Apogeum bod nejdále od středu Země výška nad Zemí v perigeu: h a =a + ae R z =a (1+e) R z kde R z je poloměr Země Perigeum bod nejblíže středu Země výška nad Zemí v perigeu: h p =a ae R z =a (1 e) R z 7
8 Periody oběhu Třetí Keplerův zákon: a 3 /T 2 = konst. neboli T=konst. a 3/2 Dosazením za konstanty a úpravou vyjde perioda oběhu družice: T=2π (a 3 /μ) 1/2 kde μ = GM U m 3 /s 2 je tzv. geocentrická gravitační konstanta. Tato konstanta je rovna součinu gravitační konstanty G a hmotnosti Země M a ve výpočtech astrodynamiky je používána proto, že její hodnota je o mnoho řádů přesnější než G a M. Třetí Keplerův zákon říká kvantitativně, že: Čím je menší výška družice, tím je oběžná doba kratší. Nejníže družice může sestoupit do výšky km, tam již zbývá max 1 2 dny letu. Oběžná doba pro kruhovou dráhu ve výšce h je dána: T=2π ([R z +h] 3 /μ) 1/2 Nejkratší možná perioda umělých družic: h=100 km T=86 minut Pro LEO družice ve výškách km typické oběžné doby: minut Geostacionární družice: h= km T 24 hodin 8
9 Příklad: vývoj dráhy družice CHAMP CHAMP Vědecká mise, určená k výzkumu zemského magnetického a gravitačního pole Vypuštěna r. 2000, shořela v atmosféře r Horní graf: Výška v apogeu h A a perigeu h P : h A a h P jsou prakticky stejné excentricita 0, je to kruhová dráha Počáteční výška h 450 km, výška se působením odporu atmosféry neustále snižuje. Během letu několikrát manévr, zvýšení výšky, s cílem prodloužit trvání mise. V posledních měsících letu prudký sestup z výšky 300 km až nakonec družice shořela v atmosféře ve výšce 120 km. Dolní graf: oběžná doba Typická oběžná doba družice na nízké dráze, cca 90 min. 9
10 Problém dvou těles, keplerovská elipsa v prostoru Rovníková soustava S r2 má střed ve středu Země, osa x míří k jarnímu bodu, osa z míří k severnímu pólu. Výstupný uzel místo, kde při letu družice protíná rovinu rovníku směrem vzhůru (N). Polohu oběžné dráhy v prostoru určují: i sklon dráhy i<90 přímé (prográdní dráhy) i>90 zpětné (retrográdní dráhy) Ω délka výstupného uzlu Úhel od jarního bodu směrem k výstupnému uzlu N. Ω se také nazývá RAAN=rektascenze výstupného uzlu. ω argument perigea Úhel od výstupného uzlu N do perigea P. 10
11 Příklad: Orbitální elementy pro ISS Dráhové elementy ISS pro 1 Oct :02 Excentricita: e= Velmi nízká excentricita dráha je prakticky kruhová. Velká poloosa: a= km Pro kruhovou dráhu se výška získá odečtením poloměru Země: h=a R z 392 km Sklon: i=51.6 Sklon je vidět při pohledu z boku v rovině rovníku. Sklon dráhy určuje, která místa družice může přeletět. 11
12 Oskulační elementy Pohybové rovnice: F=m d 2 r/dt 2 Známe-li působící síly, vektor F(x,y,z), v každém bodě, můžeme spočítat řešení r(t), tzn. předpovědět, kde bude těleso v libovolném budoucím čase. Dnes rovnice řešíme nejsnáze numericky přímo v kartézských souřadnicích. Pro každý čas dostaneme stavový vektor, což je souhrnný název pro vektory polohy a rychlosti: r=(x,y,z), v=(v x,v y,v z ). V astrodynamice se však nadále používají orbitální elementy proto, že skutečný pohyb družice je velmi blízký pohybu po keplerovské elipse. Mějme řadu poloh a rychlostí určených pro skutečnou družici: (r 1,v 1 ), (r 2,v 2 ), (r 3,v 3 ), Pro každý okamžik můžeme přepočíst 6 souřadnic (r j,v j ) na 6 dráhových elementů: (r j,v j ) (a j,e j,i j,ω j,ω j,θ j ) které ale počítáme, jako by se jednalo o keplerovskou elipsu, tedy o problém dvou těles. Nazýváme je oskulační elementy. 12
13 Poruchové síly působící na družice Kdyby Země byla sférická, izolovaná od jiných těles a neměla atmosféru, byla by dráha družice dokonalá a vůči hvězdám neměnná keplerovská elipsa. Hlavní poruchové síly působící na družice (na nízkých drahách) způsobuje: 1. Zploštění Země a další členy geopotenciálu 2. Odpor atmosféry Tyto síly se nazývají poruchové, protože způsobují pouze malé poruchy dráhy vzhledem k ideální keplerovské elipse. Skutečná dráha je velmi blízká pomalu se měnící elipse. Nebeská mechanika rozvinutá matematiky jako Newton, Laplace, Legendre se zabývala poruchovou teorií kosmických těles, zejména planet a Měsíce. Avšak příchod umělých družic v r přinesl hned zpočátku poruchové síly 1. 2., odlišné od sil, které studovali nebeští mechanici. Bylo nutné teorii rozvinout pro tento nový případ. 13
14 Oskulační elementy Pro každý časový okamžik existuje transformace: (r j,v j ) (a j,e j,i j,ω j,ω j,θ j ) spojující stavové vektory a oskulační elementy. Pro každý časový okamžik tak máme jednu sadu oskulačních elementů. Vzhledem k existenci poruch jsou oskulační elementy časově proměnné. Poruchy jsou malé, oskulační elementy jsou téměř konstatní, některé se pomalu mění (kromě rychlé proměnné, což je pravá anomálie θ j ) Obrázek: Dráhové elementy družice STARSHINE 2 Data: reálná dráha velká poloosa: pomalý sekulární pokles excentricita: periodické variace + pokles sklon: variace + velmi malý pokles délka uzlu: lineární změna argument perigea: skoro lineární změna (na obr. jsou střední elementy, viz dále) 14
15 Poruchy dráhových elementů Poruchy dráhových elementů družice lze rozdělit na sekulární a periodické. Sekulární změny působí, že dráhový element soustavně narůstá nebo klesá. Periodické poruchy lze rozdělit na krátkodobé, perioda kratší než jeden oběh, dlouhodobé, periody delší (zpravidla dny až měsíce). Teorie poruch je založena na principu hledání pohybového řešení rozvojem přes malé parametry. První aproximace k reálnému pohybu je keplerovská elipsa. Další síly jsou mnohem menší než centrální gravitační člen matematicky je možno reálný pohyb popsat jako superpozici malých variací a dominantního řešení. Středováním přes jeden oběh (či jiný časový interval) dostaneme střední elementy. 15
16 Hlavní poruchová síla: zploštění Země (J2) Geopotenciál V(x,y,z), z nějž derivací získáme působící gravitační sílu F= V, je možné zjednodušeně napsat: V=(GM/r) [1 J 2 (R/r) 2 P 2 (sin φ) J 3 (R/r) 3 P 3 (sin φ) ] kde G..gravitační konstanta, M..hmotnost Země, R..poloměr Země, P n (sin φ)..legendrovy polynomy, φ..zeměpisná šířka. V tomto rozvoji jsou koeficienty, které určují relativní velikost jednotlivých příspěvků: centrální člen má koeficient rovný jednotce člen odpovídající zemskému zploštění J 2 = 1, normovaný koeficient: C 20 = J 2 / 5 = 0, podle posledních měření zploštění (J 2 ) klesá koeficienty J 3, J 4, aspoň tisíckrát menší než J 2 Zploštění Země je definováno: f = (a b)/a = 21 km/ 6378 km U 1/300 = 3, kde a je rovníkový, b polární poloměr Pozn.: Ve fyzice se potenciál V definuje F= V, kdežto v geodézii a astronomii F= V. Ve fyzice tak odpovídá přitažlivému centru minimum V, kdežto v geodézii maximum V. 16
17 Sledování zemského zploštění z družicových měření Měření zploštění, Stokesova koeficientu J normovaný koef.: C 20 = J 2 / 5 = Obr: zploštění klesá (J 2 klesá, C 20 roste) Země se mění směrem k větší sféričnosti články před r vysvětlovaly sekulární nárůst C20 působením postglaciálnímu zdvihu Měřilo se však dál a přesněji časová řada nyní vykazuje řadu dalších variací sezónní variace dlouhoperiodické a meziroční variace, navrženy různé možné příčiny klimatické oscilace v oceánech vodní masy na kontinentech anelasticita Země viditelná změna ve sklonu počínaje r hypotéza: ztráta ledu v Grónsku a Antarktidě Čím déle a přesněji se měří, tím více zajímavých jevů se může objevit. Figure 4 The blue line shows a time series of C 20, determined from more than 35 years of SLR measurements (Cheng et al., 2013; data provided by Minkeng Cheng). The orange line is a smoothed version of those values. (Wahr 2015 Time-Variable Gravity from Satellites) 17
18 Dominantní krátkoperiodická porucha daná J2 Periodické poruchy lze rozdělit na krátkodobé, perioda kratší než jeden oběh, Dominantní krátkoperiodická porucha je působena koeficientem J2 daným zploštěním Země. Pro pár obletů okolo Země tuto poruchu vidíme na grafu každé LEO družice: Variace ±10 km vůči velké poloose 6725 km jsou řádu 10 3, stejného jako má zemské zploštění f a koeficient J 2. 18
19 Sekulární porucha daná J2: precese roviny dráhy Vlivem pólového zploštění Země se rovina dráhy družice pomalu otáčí. Analytický vzorec: dω/dt = (3/2) J2 (2π/a) (R z /a) 2 (1 e 2 ) -2 cos i Přibližný vzorec pro kruhovou dráhu: dω/dt = 10 (R/a) 3.5 cos i [stupňů/den] Pro přímé dráhy, kdy je sklon i<90, rovina dráhy rotuje zpětně (jako na obrázku). Typická perioda precese roviny dráhy jsou měsíce až roky. ISS, 5 /den perioda 72 dnů Pro nepřímé dráhy (retrográdní), je sklon i>90, rovina dráhy se otáčí ve směru nárůstu délky uzlu Ω. 19
20 Sekulární porucha daná J2: rotace perigea Druhá významná porucha způsobená zploštěním Země je sekulární rotace přímky apsid (přímka spojující perigeum a apogeum). Přibližný vzorec pro kruhovou dráhu: dω/dt = 5 (R/a) 3.5 (5 cos 2 i 1) [stupňů/den] Existuje tzv. kritický sklon i=63.4, pro který se směr perigea nemění. Nazývají se dráhy se zamrzlým perigeem, a jsou někdy používány pro svůj praktický význam. Např. řada sovětských komunikačních družic Molnija na drahách s vysokou excentricitou a oběžnou dobou 12 hodin; většinu času družice stráví v apogeu, kde je pohyb v dráze nejpomalejší, družice se sub-satelitním bodem na šířce 63.4 ve výšce 40 tis. km má tak výbornou viditelnost na severní polokouli. Pro nepřetržité pokrytí je potřeba minimálně tři družice. 20
21 Příklad na hlavní sekulární poruchy Družice CHAMP má dle grafu sklon i=87, počáteční velkou poloosu a 6790 km, výšku km. Odpor atmosféry způsobuje sekulární snižování velké poloosy, dochází k postupnému snižování energie a výšky. J2: Rovina dráhy se otáčí o 360 za více než 800 dnů. Na grafu je zřejmý sekulární pokles délky výstupného uzlu (RAAN). J2: Podobně argument perigea ω se změní o 360 za 88 dnů, perigeum rotuje v rovině dráhy. Grafy dále ukazují, že v červnu 2002 byl proveden manévr s cílem zvýšit výšku a snížit excentricitu dráhy. 21
22 Odpor atmosféry (OA) Odpor atmosféry je pro družice blízko Země důležitá poruchová síla, protože působí sekulárně. Přesto, že je to síla malá, odpor atmosféry působí stále jedním směrem proti směru pohybu družice, odebírá družici energii, družice klesá. Odpor atmosféry se týká družic s výškou perigea km. Ve výškách km je atmosféra pro pohyb družic příliš hustá, nad 2000 km atmosféra končí. Zrychlení dané OA: a D = ½ C D (S/m) ρ v 2 přímo úměrné hustotě atmosféry ρ, kvadrátu rychlosti družice vůči atmosféře v 2, ploše družice S a koeficientu odporu atmosféry C D, nepřímo úměrné hmotnosti družice m Podobně jako na letadla i na družice působí vztlaková síla F L, avšak pro přibližně kulové družice nebo pro volně se otáčející družice je vztlak zpravidla průměrně nulový. 22
23 Odpor atmosféry (OA) Obrázek ukazuje, že vždy při průletu perigeem družice ztrácí část energie, postupně se snižuje počáteční excentricita dráhy, až je dráha kruhová a družice nakonec: shoří v hustých vrstvách atmosféry řízeně sestoupí na povrch výjimečně neshoří zcela a zbytky dopadnou až na zemský povrch hustota atmosféry klesá exponenciálně s výškou, proto je působení OA maximální v perigeu Obrázek dole: působení OA na orbitální elementy: sekulární snižování: velká poloosa, excentricita, sklon (J2: kvazi-sekulární změny RAAN, arg. perigea ω) Sekulární snižování velké poloosy má za důsledek snižování energie družice. Vztah pro energii keplerovské elipsy: E = GM/2a. 23
24 Příklad: družice Cannonball LOADS (Low Altitude Density Satellite), jinak nazývané Cannonball, byly dvě družice vypuštěné r. 1968, 1971 Cíl mise: získat data o hustotě atmosféry ve velmi nízkých výškách (až do 100 km) Družice byly sférické, velmi kompaktní («65cm, 364 kg, konstrukce z mosazi), aby se maximálně snížil odpor atmosféry Název družice se stal součástí pojmosloví astrodynamiky: při plánování mise se často použije cannonball k modelování odporu atmosféry, komplexní tvar družice se nahradí přibližnou dělovou koulí o vhodné ploše a hmotnosti. 24
25 Příklad: Pohyb ISS a pokrytí zemského povrchu Sklon: i=51.6 Sklon dráhy určuje, která místa družice může přeletět. Pás subsatelitních bodů je omezen na určité zeměpisné šířky φ: φ i (pro přímé dráhy i<90 ) φ 180-i (retrográdní dráhy i>90 ) Sklon je parametr zásadního významu pro každou družicovou misi. Např. pro dálkový průzkum je zásadní, jakou část zemského povrchu může družice pozorovat. 25
26 Příklad: Pohyb ISS a pokrytí zemského povrchu Sklon: i=51.6 dráha je přímá. Pás subsatelitních bodů je omezen na: φ 51.6 Obrázek nahoře je pokrytí povrchu za půl dne, obrázek dole po uplynutí jednoho dne. Taková síť průmětů dráhy na povrch po uplynutí jednoho dne je typická pro všechny LEO družice. Za 1 den se Země otočí jednou, avšak družice uletí maximálně 16.5 oběhů, na kruhové dráze ve výškách km to dělá oběhů. 26
27 Příklad: Gravitační mise GRACE polární dráha Cílem mise je měření gravitačního pole Země Jedná se o dvě družice letící za sebou ve vzdálenosti 200 km. Požadavek: co nejlepší pokrytí zemského povrchu co nejvyšší sklon, i=89 Obrázek vpravo nahoře: pokrytí povrchu drahami za jeden den. Obrázek vpravo dole: pokrytí povrchu za měsíc. Polární dráha: dráha má vysoký sklon blízký k 90 díky pokrytí celého zemského povrchu často používané družicemi pro dálkový průzkum Země někdy jsou polární dráhy volené jako slunečně-synchronní (viz dále) 27
28 Příklad: Gravitační mise GRACE Vědecké požadavky: 1. Co nejlepší pokrytí vysoký sklon dráhy 2. Maximalizace měřeného signálu a SNR kruhová dráha, co nejnižší výška 3. Dostatečná doba trvání mise (více roků) Požadavky 2. a 3. jsou v rozporu, problém s nízkou výškou je v odporu atmosféry, který by ukrátil dobu trvání mise kompromis, počáteční výška 500 km, která postupně klesá. 28
29 Slunečně synchronní dráhy Slunečně synchronní dráha = SSO = sun-synchronous orbit: Úhlová rychlost stáčení roviny dráhy je stejná, jakou obíhá Země kolem Slunce: 360 / dnů = /den Rovina dráhy stále sleduje Slunce, vzhledem ke Slunci je dráha stále stejně natočená. Úhlová rychlost precese pro kruhovou dráhu: dω/dt = 10 (R/a) 3.5 cos i [stupňů/den] Odtud plyne, že aby bylo dω/dt > 0, musí být dráha retrográdní, i>90 Výhody, pro které jsou SSO hojně využívány zvláště pro dálkový průzkum: Jsou to polární dráhy (dráhy s vysokým sklonem v blízkosti 90 ) pokrytí (téměř) celého povrchu Země Družice prolétá nad stejnou zem. šířkou ve stejnou denní dobu (stejný lokální čas): např. Landsat-7 prochází sestupným uzlem dráhy vždy v 10 hod ráno, data jsou sbírána nad osvětlenou částí Země na celé sestupné části dráhy 29
30 Příklad: slunečně synchronní dráha GOCE První gravitační mise ESA ( ) Dráha: výška 260 km, polární, i=96.7 Slunečně synchronní dráha: rovina dráhy se stáčí vlivem J2 tak, že dráha udržuje vzhledem ke Slunci stejný úhel. V případě Goce je dráha stále kolmá na směr ke Slunci. Družice: 1100 kg, délka 5,3 m, průměr 1 m Kvůli dostatečnému přísunu energie musí být dráha družice GOCE slunečně synchronní. Na obrázku vlevo strana družice přivrácená ke Slunci, prakticky celá pokrytá slunečními panely, vpravo strana odvrácená od Slunce. 30
31 Další poruchové síly První aproximace pohybu družice: keplerovská elipsa (two-body) Hlavní poruchové síly: odpor atmosféry (drag) gravitační pole (70 70) Pro velmi přesné dráhové výpočty je možno zahrnout další, menší poruchové síly: Lunisolární poruchy (Third-body) Tlak slunečního záření (SRP) Slapy pevné Země (Solid tides) Slapy oceánů (Ocean tides) Obrázek ukazuje změnu polohy LEO družice vyvolanou jednotlivými poruchovými silami pro slunečně synchronní dráhu ve výšce 500 km za 4 dny. 31
32 Hlavní poruchy pro modelování dlouhodobého vývoje LEO družice Družice: GFZ-1 ( ), v grafech jsou pozorování (modře) a teorie (červeně) Do teorie byly postupně přidávány poruchové síly, aby se zlepšil souhlas s daty 1: J2 správně Ω 2: J2,OA správně a 3: J2,J3 správně e,ω 4: J2,J3,OA správně Ω,a, e,ω 5: J2,J3,OA,SOL lépe i 6: J2,J3,OA,LUNI,SOL lépe i 32
33 Paradox zvýšení rychlosti při poklesu výšky Odpor atmosféry snižuje velkou poloosu a odebírá energii, družice klesá. Důsledek rovnic keplerovské elipsy: Při odebrání energie se zvýší rychlost družice! Pro kruhovou keplerovskou dráhu platí: Velká poloosa a=r, rychlost v=(μ/r) 1/2, kde μ=gm Celková energie E je daná součtem kinetické E K a potenciální E P (užíváme zde energii pro družici o jednotkové hmotnosti) E = E K + E P = v 2 /2 μ/r Pro keplerovskou elipsu: E = μ/(2a) = μ/(2r) Odtud pro kinetickou energii dostaneme: E K = E E P = μ/2r + μ/r = μ/(2r) = E = E P /2 = E P /2 Zdánlivý paradox je dán tím, že kinetická energie je rovna polovině absolutní hodnoty potenciální energie (viz obrázek nahoře) Jak psáno výše, rychlost je v=(μ/r) 1/2, takže skutečně čím je družice níže, tím se pohybuje rychleji (obr. dole) 33
7. Gravitační pole a pohyb těles v něm
7. Gravitační pole a pohyb těles v něm Gravitační pole - existuje v okolí každého hmotného tělesa - představuje formu hmoty - zprostředkovává vzájemné silové působení mezi tělesy Newtonův gravitační zákon:
VíceÚvod do nebeské mechaniky
OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení
Vícelní model gravitačního pole z inverze dráhových dat družic CHAMP, GRACE a GOCE
Globáln lní model gravitačního pole z inverze dráhových dat družic CHAMP, GRACE a GOCE Aleš Bezděk 1 Josef Sebera 1,2 Jaroslav Klokočník 1 Jan Kostelecký 2 1 Astronomický ústav AV ČR 2 ČVUT Seminář Výzkumného
VíceÚvod do nebeské mechaniky
OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení
VíceDigitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceFYZIKA I. Gravitační pole. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYIKA I Gravitační pole Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová
VícePohyby HB v některých význačných silových polích
Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB Gravitační pole Gravitační pole v blízkém okolí Země tíhové pole Pohyb v gravitačním silovém poli Keplerova úloha (podrobné řešení na semináři)
VíceFyzika svrchní atmosféry a její výzkum pomocí umělých družic (01)
Fyzika svrchní atmosféry a její výzkum pomocí umělých družic (01) Aleš Bezděk, Astronomický ústav AV ČR http://www.asu.cas.cz/~bezdek/prednasky/ Vybrané kapitoly z astrofyziky, AÚ UK, ZS 2005/2006 1 Atmosféra
Více1.6.9 Keplerovy zákony
1.6.9 Keplerovy zákony Předpoklady: 1608 Pedagogická poznámka: K výkladu této hodiny používám freewareový program Celestia (3D simulátor vesmíru), který umožňuje putovat vesmírem a sledovat ho z různých
VíceObr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku
4 ZÁKLADY SFÉRICKÉ ASTRONOMIE K posouzení proslunění budovy nebo oslunění pozemku je vždy nutné stanovit polohu slunce na obloze. K tomu slouží vztahy sférické astronomie slunce. Pro sledování změn slunečního
VíceFilip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse
ÚTFA,Přírodovědecká fakulta MU, Brno, CZ březen 2005 březnového tématu Březnové téma je věnováno klasické sférické astronomii. Úkol se skládá z měření, výpočtu a porovnání výsledků získaných v obou částech.
Více[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.
5. GRAVITAČNÍ POLE 5.1. NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. Newtonův gravitační zákon Znění: Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami
VíceSlapový vývoj oběžné dráhy. Michaela Káňová, Marie Běhounková Geodynamický seminář
Slapový vývoj oběžné dráhy Michaela Káňová, Marie Běhounková Geodynamický seminář 20. 5. 2015 Problém dvou těles v nebeské mechanice: dva hmotné body + gravitační síla = Keplerova úloha m keplerovská rychlost
VíceObsah. Obsah. 2.3 Pohyby v radiálním poli Doplňky 16. F g = κ m 1m 2 r 2 Konstantu κ nazýváme gravitační konstantou.
Obsah Obsah 1 Newtonův gravitační zákon 1 2 Gravitační pole 3 2.1 Tíhové pole............................ 5 2.2 Radiální gravitační pole..................... 8 2.3..................... 11 3 Doplňky 16
Více1. Úvod do kosmické geodézie Aleš Bezděk
1. Úvod do kosmické geodézie Aleš Bezděk Teoretická geodézie 4 FSV ČVUT 2017/2018 LS 1 Teoretická geodézie 4: základní informace Přednáší: Mgr. Aleš Bezděk, Ph.D. (B922) Cvičení: Ing. Jan Holešovský (B919a)
VíceInterpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze
Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec
VíceInterpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze
Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec
Více5a. Globální referenční systémy Parametry orientace Země (EOP) Aleš Bezděk
5a. Globální referenční systémy Parametry orientace Země (EOP) Aleš Bezděk Teoretická geodézie 4 FSV ČVUT 2017/2018 LS 1 Celková orientace zemského tělesa, tj. precese-nutace+pohyb pólu+vlastní rotace,
VíceBIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
VíceFyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK
Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická
VíceFyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole
Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů AA a BB a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu
VíceInterpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze
Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec
VíceNebeská mechanika. U3V 1
Nebeská mechanika Prof. Ing. Miroslav Kasal, CSc. Ústav radioelektroniky FEKT VUT v Brně SD6.97 E-mail kasal@feec.vutbr.cz http://www.urel.feec.vutbr.cz/esl/ http://www.urel.feec.vutbr.cz/esl/files/othact/u3v/3pr.pdf
Více8. Gravimetrické mise CHAMP, GRACE, GOCE Aleš Bezděk
8. Gravimetrické mise CHAMP, GRACE, GOCE Aleš Bezděk Teoretická geodézie 4 FSV ČVUT 2017/2018 LS 1 Globální gravitační pole Země Určení gravitačního pole Země určení tvaru Země (geoidu) Vpravo je obrázek
VíceZákladní jednotky v astronomii
v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve
VíceBIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY
BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 2/3 GPS - Výpočet drah družic školní rok
Více4. Matematická kartografie
4. Země má nepravidelný tvar, který je dán půsoením mnoha sil, zejména gravitační a odstředivé (vzhledem k rotaci Země). Odstředivá síla způsouje, že tvar Země je zploštělý, tj. zemský rovník je dále od
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 4/3 GPS - oskulační elementy dráhy družice
VíceR2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.
2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?
VícePřednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze
Seminář z geoinformatiky Úvod do geodézie Seminář z geo oinform matiky Přednášející: Ing. M. Čábelka cabelka@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze Úvod do geodézie
Vícepohyb hvězdy ve vesmírném prostoru vlastní pohyb hvězdy pohyb, změna, souřadné soustavy vzhledem ke stálicím precese,
Změny souřadnic nebeských těles pohyb hvězdy ve vesmírném prostoru vlastní pohyb hvězdy vlastní pohyb max. 10 /rok, v průměru 0.013 /rok pohyb, změna, souřadné soustavy vzhledem ke stálicím precese, nutace,
VíceDynamika. Dynamis = řecké slovo síla
Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při
Více1 Newtonův gravitační zákon
Studentovo minimum GNB Gravitační pole 1 Newtonův gravitační zákon gravis latinsky těžký každý HB (planeta, těleso, částice) je zdrojem tzv. gravitačního pole OTR (obecná teorie relativity Albert Einstein,
VíceGRAVITAČNÍ POLE. Všechna tělesa jsou přitahována k Zemi, příčinou tohoto je jevu je mezi tělesem a Zemí
GRAVITAČNÍ POLE Všechna tělesa jsou přitahována k Zemi, příčinou tohoto je jevu je mezi tělesem a Zemí Přitahují se i vzdálená tělesa, například, z čehož vyplývá, že kolem Země se nachází gravitační pole
Více3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky
3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -
VíceProjekt podpořený Operačním programem Přeshraniční spolupráce Slovenská republika Česká republika
Projekt podpořený Operačním programem Přeshraniční spolupráce Slovenská republika Česká republika 2007-2013 ZMĚNY DRAH KOSMICKÝCH OBJEKTŮ A TECHNICKÉ MOŽNOSTI K JEJICH ZABEZPEČENÍ prof. Ing. Jan Kusák,
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční
VíceAbstrakt: Autor navazuje na svůj referát z r. 2014; pokusil se porovnat hodnoty extrémů některých slunečních cyklů s pohybem Slunce kolem barycentra
Úvaha nad slunečními extrémy - 2 A consideration about solar extremes 2 Jiří Čech Abstrakt: Autor navazuje na svůj referát z r. 2014; pokusil se porovnat hodnoty extrémů některých slunečních cyklů s pohybem
VíceZemě třetí planetou vhodné podmínky pro život kosmického prachu a plynu Měsíc
ZEMĚ V POHYBU Anotace: Materiál je určen k výuce přírodovědy v 5. ročníku ZŠ. Seznamuje žáky se základními informacemi o Zemi, jejích pohybech a o historii výzkumu vesmíru. Země Země je třetí planetou
VíceRychlost, zrychlení, tíhové zrychlení
Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete
VíceZavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově
Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_5_Gravitační pole Ing. Jakub Ulmann 5 Gravitační pole 5.1 Newtonův gravitační zákon 5. Intenzita gravitačního
VíceDynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině.
Dynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině. Přehled proudění Vazkost - nevazké - vazké (newtonské, nenewtonské) Stlačitelnost - nestlačitelné (kapaliny
VíceKorekce souřadnic. 2s [ rad] R. malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů. výška pozorovatele
OPT/AST L07 Korekce souřadnic malé změny souřadnic, které je nutno uvažovat při stanovení polohy astronomických objektů výška pozorovatele konečný poloměr země R výška h objektu závisí na výšce s stanoviště
VíceJiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015
Kartografie 1 - přednáška 1 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Úvod přednášky, cvičení, zápočty, zkoušky Jiří Cajthaml (přednášky, cvičení) potřebné znalosti: vzorce
VícePLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1
PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY Maturitní otázka č. 1 TVAR ZEMĚ Geoid = skutečný tvar Země Nelze vyjádřit matematicky Rotační elipsoid rovníkový poloměr = 6 378 km vzdálenost od středu Země k pólu = 6 358 km
VíceRegistrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Šablona: III/2 Sada: VY_32_INOVACE_5IS Ověření ve výuce Třída 9. B Datum: 7. 1. 2013 Pořadové číslo 10 1 Astronomie Předmět: Ročník: Jméno autora: Fyzika
VíceRovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83
Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice
VíceMechanika - kinematika
Mechanika - kinematika Hlavní body Úvod do mechaniky, kinematika hmotného bodu Pohyb přímočarý rovnoměrný rovnoměrně zrychlený. Pohyb křivočarý. Pohyb po kružnici rovnoměrný rovnoměrně zrychlený Pohyb
VíceVzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony
Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Astronomové při sledování oblohy zaznamenávají především úhly a pozorují něco, co se nazývá nebeská sféra. Nicméně, hvězdy nejsou od Země vždy
VíceMěření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem
Úloha č. 3 Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úkoly měření: 1. Určete tíhové zrychlení pomocí reverzního a matematického kyvadla. Pro stanovení tíhového zrychlení, viz bod 1, měřte
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU
VíceTÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD. 9, m s.
TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD Soustavu souřadnic spojenou se Zemí můžeme považovat prakticky za inerciální. Jen při několika jevech vznikají odchylky, které lze vysvětlit vlastním pohybem Země vzhledem
VíceČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole
ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole 161 Pole je druhá základní forma existence hmoty (vedle
VíceOdchylka ekliptiky od roviny Galaxie
Jiří Kapr 1, Jakub Fuis 2, Tomáš Bárta 3 1 Gymnázium Plasy, Plasy 2 Gymnázium Botičská, Praha 3 Gymnázium Nad Štolou, Praha Týden Vědy, 2010 Jiří Kapr 1, Jakub Fuis 2, Tomáš Bárta 3 1 Gymnázium Plasy,
VíceČLOVĚK A ROZMANITOST PŘÍRODY VESMÍR A ZEMĚ. GRAVITACE
ČLOVĚK A ROZMANITOST PŘÍRODY VESMÍR A ZEMĚ. GRAVITACE Sluneční soustava Vzdálenosti ve vesmíru Imaginární let fotonovou raketou Planety, planetky Planeta (oběžnice) ve sluneční soustavě je takové těleso,
VíceGRAVITAČNÍ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník
GRAVITAČNÍ POLE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Gravitace Vzájemné silové působení mezi každými dvěma hmotnými body. Liší se od jiných působení. Působí vždy přitažlivě. Působí
VíceUkázkové řešení úloh ústředního kola kategorie EF A) Úvodní test
Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie EF A) Úvodní test 1. Ve kterém městě je pohřben Tycho Brahe? [a] v Kodani [b] v Praze [c] v Gdaňsku [d] v Pise 2. Země je od Slunce nejdál [a] začátkem ledna.
VíceOdhad změny rotace Země při změně poloměru
Odhad změny rotace Země při změně poloměru NDr. Pavel Samohýl. Seznam symbolů A, A, A součinitel vztahu pro závislost hustoty Země na vzdálenosti od středu, totéž v minulosti a současnosti B, B, B součinitel
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceIt is time for fun with Physics; play, learn, live
1. Ve kterém místě má houpačka největší kinetickou energii? 2. Ve kterém místě má houpačka nejmenší kinetickou energii? 3. Ve kterém místě má houpačka největší rychlost? 4. Ve kterém místě má houpačka
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceReferenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice
Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice Kartografie přednáška 5 Referenční plochy souřadnicových soustav slouží k lokalizaci bodů, objektů
VíceÚvod do analytické mechaniky
Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceKreslení elipsy Andrej Podzimek 22. prosince 2005
Kreslení elipsy Andrej Podzimek 22. prosince 2005 Kreslení elipsy v obecné poloze O co půjde Ukázat přesný matematický model elipsy Odvodit vzorce pro výpočet souřadnic důležitých bodů Nalézt algoritmus
VíceFinále 2018/19, kategorie GH (6. a 7. třída ZŠ) řešení. A Přehledový test. (max. 20 bodů)
A Přehledový test (max. 20 bodů) POKYNY: U každé otázky zakroužkuj právě jednu správnou odpověď. Pokud se spleteš, původní odpověď zřetelně škrtni a zakroužkuj jinou. Je povolena maximálně jedna oprava.
VíceKINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník
KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Kinematika hmotného bodu Kinematika = obor fyziky zabývající se pohybem bez ohledu na jeho příčiny Hmotný bod - zastupuje
Více8a. Geodetické družice Aleš Bezděk
8a. Geodetické družice Aleš Bezděk Teoretická geodézie 4 FSV ČVUT 2017/2018 LS 1 Družice v minulosti určovali astronomové, plavci, geodeti,... polohu na Zemi pomocí hvězd v dnešní době: pomocí družic specializované
VíceAstronomie jednoduchými prostředky. Miroslav Jagelka
Astronomie jednoduchými prostředky Miroslav Jagelka 20.10.2016 Když si vystačíte s kameny... Stonehenge (1600-3100 BC) Pyramidy v Gize (2550 BC) El Castilllo (1000 BC) ... nebo s hůlkou Gnomón (5000 BC)
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceGravitační pole. a nepřímo úměrná čtverci vzdáleností r. r r
Newtonův avitační zákon: Gavitační pole ezi dvěa tělesy o hotnostech 1 a, kteé jsou od sebe vzdáleny o, působí stejně velké síly vzájené přitažlivosti, jejichž velikost je přío úěná součinu hotností 1
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceVÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL
VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská
VíceDynamika soustav hmotných bodů
Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy
Více37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
VíceAstronomická pozorování
KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové
Víceb) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0
Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:
VíceZákladní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici
Kinematika Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici Základní pojmy Kinematika - popisuje pohyb tělesa, nestuduje jeho příčiny Klid (pohyb)
VíceK L A S I C K Á T E O R I E P O H Y B U Č Á S T I C A J E J I CH S O U S T A V
ČÁST III K L A S I C K Á T E O R I E P O H Y B U Č Á S T I C A J E J I CH S O U S T A V 10. Pohyb hmotného bodu 11. Dynamika hmotného bodu 12. Dynamika systému hmotných bodů 13. Statistická mechanika 14.
VíceExperimentální realizace Buquoyovy úlohy
Experimentální realizace Buquoyovy úlohy ČENĚK KODEJŠKA, JAN ŘÍHA Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého, Olomouc Abstrakt Tato práce se zabývá experimentální realizací Buquoyovy úlohy. Jedná se o
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Více9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.
9. Astrofyzika 9.1 Uvažujme hvězdu, která je ve vzdálenosti 4 parseky od sluneční soustavy. Určete: a) jaká je vzdálenost této hvězdy vyjádřená v kilometrech, b) dobu, za kterou dospěje světlo z této hvězdy
VíceLaboratorní úloha č. 5 Faradayovy zákony, tíhové zrychlení
Laboratorní úloha č. 5 Faradayovy zákony, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Měření na digitálním osciloskopu a přenosném dataloggeru LabQuest 2. 2. Ověřte Faradayovy zákony pomocí pádu magnetu skrz trubici
VíceFakulta výrobních technologií a managementu HISTORIE VESMÍRNÉHO VÝZKUMU
Fakulta výrobních technologií a managementu HISTORIE VESMÍRNÉHO VÝZKUMU Úvod Seznámení s teoriemi astronomií dávných kultur Významní astronomové 15.-18.století Vývojáři Raket Vstup člověka na měsíc Astronomie
VíceFyzika II, FMMI. 1. Elektrostatické pole
Fyzika II, FMMI 1. Elektrostatické pole 1.1 Jaká je velikost celkového náboje (kladného i záporného), který je obsažen v 5 kg železa? Předpokládejme, že by se tento náboj rovnoměrně rozmístil do dvou malých
VíceMgr. Jan Ptáčník. Astronomie. Fyzika - kvarta Gymnázium J. V. Jirsíka
Mgr. Jan Ptáčník Astronomie Fyzika - kvarta Gymnázium J. V. Jirsíka Astronomie Jevy za hranicemi atmosféry Země Astrofyzika Astrologie Historie Thalés z Milétu: Země je placka Ptolemaios: Geocentrismus
VícePříklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
VíceÚvod do předmětu geodézie
1/1 Úvod do předmětu geodézie Ing. Hana Staňková, Ph.D. IGDM, HGF, VŠB-TU Ostrava hana.stankova@vsb.cz A911, 5269 1 Geodézie 1/2 vědní obor o měření části zemského povrchu, o určování vzájemných vztahů
Víceplochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
VíceSférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii
Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí
VíceProjekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky
Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................
VícePlaneta Země. Pohyby Země a jejich důsledky
Planeta Země Pohyby Země a jejich důsledky Pohyby Země Planeta Země je jednou z osmi planet Sluneční soustavy. Vzhledem k okolnímu vesmíru je v neustálém pohybu. Úkol 1: Které pohyby naše planeta ve Sluneční
Více3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9
Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................
Více