POUŽITÍ KONEČNÝCH SMĚSÍ LOGARITMICKO-NORMÁLNÍCH ROZDĚLENÍ PRO MODELOVÁNÍ PŘÍJMŮ ČESKÝCH DOMÁCNOSTÍ

Transkript

1 POUŽITÍ ONEČNÝCH SMĚSÍ LOGARITMICO-NORMÁLNÍCH ROZDĚLENÍ PRO MODELOVÁNÍ PŘÍJMŮ ČESÝCH DOMÁCNOSTÍ Ivana Malá, Vysoká škola ekonomická v Praze Úvod Zkoumání a modelování pravděpodobnostního rozdělení mezd a přímů z různých úhlů pohledu a různými ekonometrickými nebo statistickými metodami e dlouhodobě aktuálním tématem a problémem, kterému e věnována velká pozornost. Informace o přímech osob a domácností sou nedílnou součástí analýz týkaících neširšího spektra ekonomických, demografických i dalších problémů, neboť velikost, skladba, vývo přímů a také očekávání eich vývoe silně ovlivňuí chování domácností. Znalost rozdělení dává o přímech hlubší znalost, než sou en běžně používané charakteristiky polohy, variability, šikmosti nebo špičatosti. Tyto charakteristiky lze samozřemě z modelového rozdělení snadno určit, e možné ale porovnávat rozdělení pro různé skupiny obyvatel definované například bydlištěm, pohlavím, vzděláním či zaměstnáním, sledovat vývo a změny v čase, srovnávat regiony nebo státy. Přímy, eich velikost a veličiny od nich odvozené (ako například míra chudoby) sou také považovány za eden z určuících faktorů ovlivňuících kvalitu života obyvatel. Proto sou součástí různých indexů snažících se kvalitu života v daném regionu či státu popsat. Výsledky takových zkoumání a analýz sou pak využívány neen odborníky a analytiky, ale přímy a hlavně eich výše sou obektem zámu neširší veřenosti. Velký záem o přímy a eich rozdělení dokumentue také bohatá literatura týkaící se nerůzněších přístupů (obsáhlý přehled McDonald, 1984 nebo leiber, otz, 2003). Jako pravděpodobnostní model pro přímy (nebo mzdy) sou v obsáhlé literatuře používána různá pravděpodobnostní rozdělení, která se také někdy nazývaí přímová. Logaritmicko-normálního rozdělení, použité také v tomto textu, bylo pro přímy a platy v České republice použito například v Bartošová (2009), Bartošová, Bína (2009) nebo Bílková (2012). Mezi často a s úspěchem používaná přímová rozdělení patří také Dagumovo rozdělení (leiber, 2007; Dagum, 2008; pro přímy v České republice Malá, 2011), zobecněné lambda rozdělení (Pacáková, Sipková, 2007 pro Slovensko), zobecněné beta (McDonald, Xu, 1995), Paretovo rozdělení pro velké přímy a další pravděpodobnostní rozdělení (leiber, otz, 2003; McDonald, 1984; Milanovic, 2002). V práci Pittau, Zelli (2006) e místo parametrického přístupu k problému hledání vhodného pravděpodobnostního rozdělení (pomocí odhadu parametrů ve zvoleném modelu) použit neparametrický ádrový odhad hustoty pravděpodobnosti. V obsáhlé literatuře se setkáváme s podrobnými a obsáhlými analýzami velikosti 356 POLITICÁ EONOMIE, 3, 2013

2 a variability přímů v různých státech konstruovanými na základě různých zdroů dat. V práci Prieto-Alaiz, Victoria-Feser (1996) se analýza týká Španělska, článek autorů Wu a Perloff (2005) podrobně zkoumá vývo přímů v Číně. Flachaire a Nunez (2007) použili data o přímech domácností ve Velké Británii ke konstrukci modelů používaících směs pravděpodobnostních rozdělení. Práce Pittau, Zelli (2006) nebo Milanovic (2002) srovnávaí přímy mezi státy či regiony. Morley (1981) použil data týkaící se vývoe přímů v Brazílii ke zkoumání vlivu změny struktury (a velikosti) populace na změnu přímů a také odlišnou dynamiku vývoe pro různé skupiny obyvatel. Cílem tohoto textu e provést analýzu ročních přímů domácností v České republice v letech pomocí modelů směsi logaritmicko-normálních rozdělení se dvěma až čtyřmi složkami. Použití směsi rozdělení umožňue hledat v přímově velmi nehomogenní populaci českých domácností podmnožiny s podobnými přímy. Vzhledem k tomu, že sou použita data o přímech za šest let, e v článku sledován také vývo velikosti homogenních skupin domácností podle přímů. Všechny výpočty byly provedeny pro příem na ednu osobu a pro příem na spotřební ednotku určený podle metodiky Evropské unie (EU). Je proto možné porovnat rozdíly vývoe podle toho, aký příem e sledován. S různými výpočty průměrného přímu domácnosti také souvisí také zkoumání vývoe velikosti českých domácností posuzované počtem členů či počtem spotřebních ednotek. Giniho koeficient e použit pro posouzení přímové nerovnosti v populaci domácností, steně ako v eích částech. V dalším textu e použit pro modelování rozdělení přímů v České republice model směsi dvou až čtyř složek s logaritmicko-normálním rozdělením (bez informace o příslušnosti domácností ke složce). V takovém případě sou složky konstruovány tak, aby výsledný model co nelépe vystihoval empirické hodnoty. Není zřemá interpretace složek a také tento postup nedává ednoznačně příslušnost ednotlivých domácností ke složkám směsi, e ovšem možné takové pravděpodobnosti pro každou domácnost odhadnout. V tomto textu se budeme zabývat pouze odhady parametrů a charakteristik rozdělení, nikoliv odhady příslušnosti domácností ke složkám. Jde tedy o úlohu nalezení co nevýstižněších složek a odhad eich parametrů, nikoliv o shlukovou nebo diskriminační analýzu třídící domácnosti do homogenních skupin podle velikosti přímu (Hebák a kol., 2007). Nebyly také použity žádné vysvětluící proměnné pro pravděpodobnosti příslušnosti domácností do složek. Pracueme pouze s čistými ročními přímy na ednoho člena domácnosti a na ednu spotřební ednotku. 1. onečné směsi pravděpodobnostních rozdělení Podrobné informace o českých domácnostech poskytue šetření Životní podmínky (edná se národní modul šetření s názvem European Union Statistics on Income and Living Conditions, EU-SILC). Data z tohoto šetření provedeného v letech 2005 až 2011 Českým statistickým úřadem obsahuí podrobné údae o přímech českých domácností v letech 2004 až 2010, které sou použity v tomto textu. romě mnoha znaků domácností (CZSO) obsahuí soubory dat celkový roční čistý příem domácností a informaci POLITICÁ EONOMIE, 3,

3 o počtu členů a eich složení. Pro porovnání domácností lze použít tento celkový příem anebo příem na ednoho člena domácnosti, inak též příem na osobu nebo per capita. Další možností e sledovat přímy na spotřební neboli ekvivalentní ednotku, tento postup zohledňue neen velikost, ale také demografické složení domácnosti. Výpočet těchto ednotek e konstruován tak, aby odrážel úspory plynoucí ze sdílení domácnosti více osobami, tedy úspory na nákladech na předměty a služby, které slouží většímu počtu členů domácnosti (domácí spotřebiče, elektřina apod.). Standardně se používaí dvě stupnice spotřebních ednotek. Stupnice Organizace pro hospodářskou spolupráci a rozvo (dále OECD) přiřazue první dospělé osobě v domácnosti váhu 1,0, dalším osobám starším 13 let váhu 0,7 a dětem do 13 let včetně váhu 0,5. Ve stupnici EU (dále e) sou více zohledněny úspory ze sdílení výdaů, váhy sou definovány ako 1,0 pro první dospělou osobu, 0,5 pro další osoby starší 13 let věku a váhu 0,3 pro všechny děti mladší 13 let věku (CZSO). Celkový příem domácnosti vztažený na spotřební ednotku podle metodiky Evropské Unie budeme nazývat ekvivalizovaným přímem. Podle předchozího e zřemé, že nevětší hodnotu má počet osob, pak počet spotřebních ednotek podle OECD a nemenší e hodnota počtu spotřebních ednotek podle metodiky EU. Pro přepočítané přímy e nerovnost obrácená, nevyšší e příem přepočtený na spotřební ednotku podle EU, menší e pro příem na ednu spotřební ednotku podle metodiky OECD a nemenší e příem na ednu osobu. Rovnosti e dosaženo pro ednočlenné domácnosti. Vzhledem k tomu, že domácnosti v České republice netvoří homogenní soubor, použieme v tomto textu pro rozdělení přímů na osobu a ekvivalizovaného přímu rozdělení směsi pravděpodobnostních rozdělení se dvěma, třemi a čtyřmi složkami, které budou mít logaritmicko-normální rozdělení se dvěma parametry (McLachlan, Peel, 2000). Pro všechny složky tedy předpokládáme stené pravděpodobnostní rozdělení a ednotlivé složky se liší pouze parametry. Pro popis přímového rozdělení se obyčeně pouze dvouparametrické logaritmicko-normální rozdělení nepoužívá, v případě více složek dochází ovšem ke zřetelnému zlepšení iž při několika málo složkách a rozdělení lze brát pouze dvouparametrické. Budeme tedy předpokládat, že hustoty pravděpodobnosti ekvivalizovaného přímu (budeme používat značení s indexy e) fe (; x e ) lze zapsat ako e ln( ) 2 1 x e e e e fe (; x e ) f(; x, ), x R, e 1 1 x (1) e e2 kde f(; x, ) e hustota logaritmicko-normálního rozdělení s parametry ( = 1,..., ), e e2 e a, φ e hustota normovaného normálního rozdělení a, = 1,..., sou váhy složek směsi splňuící podmínky 1 e 1, 0 1, 1,...,. e e Vektor ψ e obsahue neznámé parametry, tedy parametrů μ, parametrů e2 σ a ( 1) volných parametrů Budeme uvažovat počet složek rovný 1 (logarit- e. 358 POLITICÁ EONOMIE, 3, 2013

4 micko-normální rozdělení), 2, 3 a 4. Budeme tedy hustotu zkoumaného přímu hledat ako vážený průměr hustot ednotlivých složek. Obdobně označíme hustotu přímů přepočítaných na ednu osobu (per capita) F pc (x;ψ pc ) a všechny další funkce a parametry obdobně indexem pc. V dalších úvahách budou využity známé vztahy pro logaritmicko-normální rozdělení a eho vztah k rozdělení normálnímu, neboť náhodná veličina má logaritmicko-normální rozdělení právě když eí logaritmus má normální rozdělení a navíc parametry logaritmicko-normálního rozdělení sou střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení logaritmů. Z definice hustoty (1) ihned plyne, že distribuční funkce F e (x;ψ e ) náhodné veličiny s rozdělením směsi e váženým průměrem distribučních e e2 e funkcí Fx (;, ) složek s vahami. Totéž platí i o střední hodnotě, neboť střední hodnota směsi E(X e e ) e váženým průměrem středních hodnot složek EX ( ) s vahami e. Dostáváme tedy e ln( x) e e e2 e Fe (; x e ) F(; x, ), xr, e 1 1 (2) 1 e e 2 2 (3) e e e e EX ( ) E X = e, 1 1 kde F e distribuční funkce logaritmicko-normálního rozdělení a e distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Rozptyl směsi byl určen podle vztahu 1 e e e e e e DX ( ) E ( X ) EX ( ) e e e e 2 2 e e (4) e 100P% kvantil x P (0 < p < 1) rozdělení ekvivalizovaného přímu popsaného směsí e třeba počítat z definice kvantilu ako řešení rovnice (použieme (1), (2)) e e ln( x ) e e e e2 e P Fe ( x ; P e ) F( xp ;, ) P. e 1 1 (5) Tato rovnice nemá explicitní řešení, vážený průměr odpovídaících skupinových e kvantilů x,p, = 1,..., ednotlivých složek směsi může sloužit ako vhodná počáteční hodnota pro aproximační numerický proces. Pro výpočet Giniho koeficientu pro ednotlivé složky byl využit vztah pro Giniho koeficient logaritmicko-normálního rozdělení s parametry μ (na tomto parametru koeficient nezávisí) a σ 2, 2 (σ / 2) 1 podle leiber, otz (2003). V případě směsí byl Giniho koeficient určen ako (Young, 2011) e e e e e e2 e2 ( ) ln ( ) ln ( ) 0,5 0,5 i EX EXi EX i i G 2 1. e ( ) e e i EX i (6) 2 POLITICÁ EONOMIE, 3,

5 Vzorec obsahue střední hodnoty ednotlivých složek směsi (tyto hodnoty podle (3) závisí na všech parametrech) a Giniho koeficient směsi tedy nelze určit pouze pomocí směrodatných odchylek ednotlivých složek. Předpokládeme, že máme k dispozici náhodný výběr x i, i = 1,..., n z rozdělení s hustotou (1). Odhad neznámého vektoru parametrů metodou maximální věrohodnosti znamená naít bod ˆ e (respektive ˆ pc ), ve kterém nabývá maxima věrohodnostní funkce n n e e e e e2 L( ) fe ( xi ; ) f( xi ;, ). (7) i1 i1 1 Logaritmická věrohodnostní funkce (logaritmus (7)) má tvar l f x f x n n e e e e2 e e e2 ( ) ln ( i;, ) ln ( i;,, i1 1 i1 1 a výraz nelze upravit tak, aby nebylo nutné logaritmovat součet. Vhodným nástroem pro nalezení odhadů neznámých parametrů směsi e EM-algoritmus (McLachlan, Peel, 2000), numerický iterační postup, ve kterém se každá iterace skládá ze dvou kroků. Je třeba vyít z počátečních přiblížení neznámého vektoru parametrů ψ, dále se opravuí zvlášť odhady pravděpodobností (vah) a parametry rozdělení. První krok (E-krok podle expectation ) hledá novou aproximaci vektoru pravděpodobností π, druhý krok (M-krok podle maximization ) hledá maximálně věrohodné odhady parametrů rozdělení složek pro pevné hodnoty pravděpodobností složek získané v kroku prvním. Tyto dva kroky sou opakovány tak dlouho, až iž nedochází ke změně hodnot parametrů ψ a lze tedy nalezené parametry považovat za řešení optimalizační úlohy. Pro odhad parametrů modelů směsí byly použity balíčky mixtools (RMIXTOOLS) a fl exmix (RFLEXMIX) v programu R (RPROGRAM). Tyto programy hledaí odhady parametrů ve směsích normálních rozdělení, proto byly použity na hodnoty logaritmů analyzovaných přímů. Odhady parametrů pro počet složek do 3 byly dosaženy oběma programy bez numerických problémů, čtyři složky iž byly numerickým problémem a procesy i po velkém počtu iterací nekonvergovaly, nebo konvergovaly k řešením s nulovým (nulovými) rozptyly složek. valitu modelů se steným počtem složek lze porovnat srovnáním hodnoty logaritmické věrohodnostní funkce v dosaženém maximu, modely s různým počet složek (a tedy i parametrů) pak pomocí hodnoty Akaikova informačního kritéria AIC definovaného vztahem AIC = 2ln(L(ψ)) + 2 počet parametrů modelu. (9) V případě ednoho dvouparametrického rozdělení e počet neznámých parametrů 2, pro dvě složky 5, tři složky 8 a čtyři složky 11 parametrů. Připomeňme, že pomocí tohoto kritéria lze porovnávat kvalitu modelů vždy v rámci ednoho roku, v našem případě (8) 360 POLITICÁ EONOMIE, 3, 2013

6 2. Data a výsledky Modely popsané v první části nyní použieme pro popis rozdělení čistého ročního přímu (v č) českých domácností v letech 2004 až Již bylo zmíněno, že použitá data pocházeí z šetření Životní podmínky, které provádí od roku 2005 každoročně Český statistický úřad. Jedná se o národní modul šetření s názvem European Union Statistics on Income and Living Conditions (zkratka EU-SILC), šetření byla provedena v letech 2005 až 2011, zahrnuí však přímy z let Z rozsáhlého šetření přímů byly použity pouze informace o celkovém ročním čistém přímu domácnosti (v č), počtu členů domácnosti, počtu spotřebních ednotek podle metodiky Evropské unie (e) a OECD (s). Příem na ednu osobu byl určen pro každou domácnost ako podíl celkového ročního čistého přímu domácnosti a počtu členů domácnosti. Ekvivalizované přímy byly určeny ako podíl celkových přímů a počtu spotřebních ednotek podle obou metodik. Dále byly využity koeficienty (váhy) poskytované pro vybrané domácnosti a umožňuící odstranit vliv způsobu výběru (needná se o prostý náhodný výběr) a přepočítat hodnoty na celou populaci českých domácností. Rozsahy výběrů šetření SILC-EU byly postupně 4 351, 7 483, 9 675, , 9 911, a domácností. Odhady tedy byly pořízeny na základě velkých výběrů a studie zahrnue sedm let. Na obrázku 1 e znázorněn vývo rozložení počtu členů českých domácností. Ve všech sledovaných letech byla modální hodnotou domácnost se dvěma členy, se zastoupením mezi 33 a 35 procenty domácností. Obrázek 1 Rozdělení počtu členů domácnosti v letech % 80% 60% 40% 20% více než % Zdro: vlastní výpočty Na dalším obrázku (obrázek 2) e znázorněn vývo průměrného počtu členů domácnosti a průměrného počtu spotřebních ednotek podle metodik EU a OECD. POLITICÁ EONOMIE, 3,

7 Z grafu e patrné iž zmíněné seřazení všech tří zkoumaných charakteristik velikosti domácnosti. Ve všech třech charakteristikách dochází k pomalému poklesu velikosti domácnosti (kvantifikované počtem členů či počtem spotřebních ednotek), regresní přímky sou znázorněny en ako orientační, byly sestroeny z určených průměrů, nikoliv z panelových dat výběrů a mohou znázorňovat (a porovnat) rychlost zmenšování domácností. Za sledované období došlo k poklesu průměrného počtu osob v edné domácnosti ze 2,37 na 2,26, počet spotřebních ednotek na ednu domácnost podle metodiky EU poklesl z 1,62 na 1,60 a počet spotřebních ednotek podle metodiky OECD z 1,90 na 1,87. Obrázek 2 Průměrné počty členů domácnosti, počtu spotřebních ednotek podle metodik EU a OECD v letech ,5 počet osob spotřební ednotka (OECD) spotřební ednotka (EU) 2 1,5 1 0, Zdro: vlastní výpočty V dalším textu budeme předpokládat, že přímy maí přibližně logaritmickonormální rozdělení. Pro posouzení lineární závislosti mezi přímy přepočítanými na osobu a na spotřební ednotku podle EU a OECD proto použieme korelační koeficient na logaritmy přímů. Výsledky sou ve sledovaných letech přibližně stálé, korelace mezi přímem na ednoho člena a přímem na spotřební ednotku e rovna přibližně 0,86, mezi přímem na ednoho člena a na ednotku OECD 0,95 a nesilněi sou vázány ekvivalizované přímy na ednotku podle metodik EU a OECD s korelačním koeficientem přibližně 0,97. e konstrukci složek nebudeme používat známé vysvětluící proměnné (ako například v Malá (2012) vzdělání osoby v čele domácnosti nebo počet dětí v domácnosti), ale budeme e tvořit tak, aby výsledný model co nelépe vystihoval pozorovaná data. V prvním případě e možné problém rozložit na odhad v ednotlivých (známých) složkách a výsledné rozložení e pak směsí odhadnutých rozdělení s vahami, eichž 362 POLITICÁ EONOMIE, 3, 2013

8 maximálně věrohodným odhadem e relativní četnost prvků složek ve výběru. Dostáváme tedy také informaci o ednotlivých složkách a výsledky lze interpretovat se znalostí vzniku složek. V případě neznámých příslušností ke složkám e odhad i interpretace výsledků složitěší, dostáváme ale lepší odhad hledaného rozdělení. Pro předkládanou analýzu nebyly využity pro třídění do složek žádné další vysvětluící proměnné a cílem bylo pouze odhadnout rozdělení směsi, nikoliv třídit ednotlivé domácnosti do složek a odhadovat pravděpodobnosti příslušnosti ednotlivých domácností do složek. V následuících tabulkách sou uvedeny ednotlivé složky v pořadí podle odpovídaící střední hodnoty rozdělení. Vzhledem k tomu, že střední hodnota logaritmickonormálního rozdělení závisí na obou parametrech, e toto pořadí iné, než aké by bylo dosaženo porovnáním středních hodnot logaritmů přímů (odhadnutých parametrů μ e a μ pc ) Všechny údae sou v nominálních cenách. V tabulkách e proto v posledním řádku uveden index změny za sledované období. Inflace v České republice ve sledovaných letech byla celkem 17,0 procenta (CZSO), meziroční pak postupně 1,9, 2,5, 2,8, 6,3, 1,0 a 1,5 procenta. Neprve se budeme zabývat pouze celkovým rozdělením sledovaných přímů. V tabulce 1 sou uvedeny výběrové hodnoty charakterizuící polohu (aritmetický průměr a medián) a variabilitu (výběrová směrodatná odchylka a Giniho koeficient) pro přímy na ednoho člena a v tabulce 2 hodnoty získané pro ekvivalizovaný příem podle metodiky EU. Tabulka 1 Porovnání výběrových charakteristik polohy a variability a odhadů na základě logaritmicko-normálního rozdělení, příem na ednoho člena domácnosti (hodnoty kromě Giniho koeficientu v č) rok průměr Výběrové hodnoty medián směrodatná odchylka Gini střední hodnota Maximálně věrohodný odhad medián Gini směrodatná odchylka , , , , , , , , , , , , , , Index 1,389 1,389 1,154 1,394 1,402 1,348 Zdro: vlastní výpočty Již bylo uvedeno, že úroveň ekvivalizovaných přímů e vyšší než úroveň přímů na ednoho člena domácnosti a toto platí také pro směrodatnou odchylku, která kvantifikue absolutní variabilitu. Variabilitu přímů přepočítaných podle obou přístupů lze porovnat pomocí relativní variability (určené ako podíl směrodatné odchylky POLITICÁ EONOMIE, 3,

9 a průměru). Variační koeficienty (neuvedené v tabulkách) ukazuí větší relativní variabilitu pro přímy na ednu osobu o 1 6 procentních bodů. Pokud budeme uvažovat Giniho koeficient ako míru nerovnosti, pohybuí se hodnoty od 0,230 do 0,255 a není patrný ednoznačný vývo. Odhady hodnot těchto charakteristik (určené z ednoho logaritmicko-normálního rozdělení) ukazuí asně slabiny použití logaitmicko-normálního rozdělení pro popis rozdělení přímů. Rozdělení dobře vystihue charakteristiky polohy a Giniho koeficient, v případě směrodatné odchylky však dochází ke značnému podhodnocení. Tento problém e odstraněn použitím více logaritmicko-normálních hustot ve směsi. Tabulka 2 Porovnání výběrových charakteristik polohy a variability a odhadů na základě logaritmickonormálního rozdělení, příem na spotřební ednotku podle metodiky EU (hodnoty kromě Giniho koeficientu v č) rok průměr Výběrové hodnoty medián směrodatná odchylka Gini střední hodnota Maximálně věrohodný odhad medián Gini směrodatná odchylka , , , , , , , , , , , , , , Index 1,842 1,844 1,448 1,849 1,871 1,728 Zdro: vlastní výpočty V dalším textu budeme uvažovat pro všechny roky a oba přepočítané přímy modely se dvěma, třemi a čtyřmi složkami. Hodnoty Akaikova kritéria určeného podle (8) nesou uvedeny v textu, ale výsledek dává pro všechny roky a oba přímy stále zmenšování až do modelu se čtyřmi složkami. Pokles e značný mezi hodnotou pro ednu a dvě složky, neboť iž použití dvou složek výrazně vylepšue kvalitu modelu. Velikost poklesu hodnoty Akaikova kritéria se zmenšue s počtem použitých složek tak, ak zlepšení modelu e stále více vyváženo zvětšením počtu odhadovaných parametrů (vždy 3 parametry na ednu přidanou složku). Vzhledem k velkému počtu pozorování ve výběrech, na eichž základě byly parametry modelů odhadovány, všechny testy dobré shody modelů byly statisticky významné (P<0,05). Na obrázcích 3 a 4 sou znázorněny odhadnuté váhy (pravděpodobnosti) odhadnutých složek, od složky s nemenší střední hodnotou (vždy I. složka) až do složky s nevětší odhadnutou střední hodnotou (složky II. až IV. podle počtu složek). Obrázek 3 obsahue výsledky pro přímy na ednu osobu a obrázek 4 na spotřební ednotku. 364 POLITICÁ EONOMIE, 3, 2013

10 Obrázek 3 Odhadnuté váhy pro přímy na ednu osobu, modely se 2, 3 a 4 složkami 100% 80% 60% 40% 20% IV III II I 0% Zdro: vlastní výpočty Obrázek 4 Odhadnuté váhy pro přímy na spotřební ednotku, modely se 2, 3 a 4 složkami 100% 80% 60% 40% 20% IV III II I 0% Zdro: vlastní výpočty Jak iž bylo zmíněno, modely se třemi a méně složkami vykazuí v čase poměrně stabilitu, modely se čtyřmi složkami iž takové nesou. Tyto vlastnosti sou patrné ve všech dále prezentovaných výsledcích. POLITICÁ EONOMIE, 3,

11 V případě dvou složek se soubor dělí na dvě části, pro příem na ednoho člena e menší složka domácností s nižšími přímy (30 % až 50 %, s výimkou 62 % v roce 2009), pro ekvivalizovaný průměr e naopak menší složka s vyššími přímy (23 % až 32 % s výimkou pouze 15 % v roce 2007). Pro model se čtyřmi složkami pro přímy na ednoho člena má čtvrtá složka nevyšších přímů zastoupení 3 % až 8 %. První složka nízkopřímových domácností obsahue kolem čtvrtiny domácností (s výimkou 8 procent v roce 2006). Pro ekvivalizované přímy e rozložení složek v ednotlivých letech (obrázek 4) velmi proměnlivé. Odhadnuté pravděpodobnosti pro třísložkové modely sou uvedeny v tabulce 3. Odhadnuté střední hodnoty složek pro modely (a eich vývo v čase) sou ukázány na obrázcích 5 7 pro 2, 3 a 4 složky a příem na ednu osobu (levý obrázek) a na spotřební ednotku (pravý obrázek). Sloupcové grafy sou doplněny trendovou přímkou proloženou odhadnutými hodnotami. Tato přímka naznačue předpověď vývoe na další období, pokud by přímka byla protažena. Obrázek 5 Odhadnuté střední hodnoty přímů pro modely se dvěma složkami, příem na ednu osobu (vlevo) a na spotřební ednotku (vpravo). 300 I. složka II. složka 200 tis. č Zdro: vlastní výpočty Všimněme si, že pro model s dvěma složkami dochází v letech k růstu střední hodnoty v obou složkách, v posledním sledovaném roce pak e vidět pokles středních hodnot (pro příem na ednu osobu v první složce ze č na č, ve druhé ze č na č), pro příem na spotřební ednotku pouze ve druhé složce z č na č. Došlo však k růstu celkové střední hodnoty přímu na ednoho člena ze č na č, neboť se změnila struktura složek (obrázky 3 a 4) a odhadnuté váhy z 0,62 a 0,38 na 0,53 a 0,47. Obdobně pro příem na spotřební ednotku vzrostl z č na č změnou vah 0,77 a 0,23 na 0,7 a 0,3. Znamená to, že ve skupině domácností s vyššími přímy bylo odhadnuto o 7 procent více domácností a tedy do skupiny domácností s menšími přímy o 7 procent méně. 366 POLITICÁ EONOMIE, 3, 2013

12 V případě tří složek (obrázek 6) nastává pokles středních hodnot složek iž od roku 2008, e však opět vyvážen změnou rozložení pravděpodobností a zvýšením procenta domácností ve složkách s vyššími přímy. Růst popsaný přímkou vykazue o trochu rychleší růst prostřední složky, pomaleší byl růst přímů složky nízkopřímových domácností a nepomalei rostly střední hodnoty ve skupině vysokých přímů. V případě ekvivalizovaných přímů (obrázek vpravo) dochází ke kolísání středních hodnot. Růst středních hodnot dvou složek s nižšími přímy e v tomto případě lineární s téměř stenými směrnicemi. Obrázek 6 Odhadnuté střední hodnoty přímů pro modely se třemi složkami, příem na ednu osobu (vlevo) a na spotřební ednotku (vpravo). 300 I. složka II. složka III. složka 200 tis. č Zdro: vlastní výpočty Na obrázku 7 sou znázorněny odhadnuté střední hodnoty v modelu se čtyřmi složkami. Tyto modely iž nevykazuí asný vývo. Proto, i když (ak bylo zmíněno) dochází pro čtyři složky eště k poklesu hodnoty Akaikova kritéria, e patrně lepší omezit se na model se třemi složkami definuícími složky domácností s přímy nízkými, středními a vysokými. Obrázky 3 a 4 doplníme tabulkou pravděpodobností pro tyto modely (tabulka 3). POLITICÁ EONOMIE, 3,

13 Obrázek 7 Odhadnuté střední hodnoty přímů pro modely se čtyřmi složkami, příem na ednu osobu (vlevo) a na spotřební ednotku (vpravo). 300 I. složka II. složka III. složka IV. složka 200 tis. č Zdro: vlastní výpočty Tabulka 3 Odhadnutá procentní zastoupení složek (%) pro modely se třemi složkami. rok složka přímy na osobu I. 27,0 26,23 28,1 30,7 27,5 22,1 22,7 II. 64,5 64,48 60,6 63,0 61,3 59,1 51,6 III. 8,5 9,27 11,4 6,3 11,2 18,8 25,7 přímy na spotřební ednotku I. 52,1 24,91 24,3 30,0 26,0 26,0 25,1 II. 24,5 64,47 63,6 63,9 64,2 61,1 55,5 III. 23,3 10,60 12,1 6,1 9,8 12,9 19,5 Pro přímy na ednu osobu kolísá procento domácností ve složce s nízkými přímy v intervalu 22,1 30,7 procent, ve složce středních přímů v intervalu 51,6 64,5 procent a procento domácností s vyššími přímy e od 6,3 procenta v roce 2007 do 25,7 procent v roce Pro přímy na spotřební ednotku se vymyká rok 2005, dále pak sou rozložení velmi podobná a znamenaí kolem 25 procent ve složce nižších přímů, kolem 60 procent ve složce středních přímů a zbylých přibližně 10 procent ve složce vyšších přímů. Rok 2010 se ukazue být opět rozdílný a teprve další data týkaící se let 2011 a 2012 ukáží, ak bude vývo pokračovat. Na závěr popíšeme rozdílnost přímů v ednotlivých složkách (variabilitu nebo nerovnost přímů). V tabulkách 4 a 5 e patrný rozdíl v modelech se dvěma složkami mezi Giniho indexem v ednotlivých složkách. Index e malý v první a velký ve druhé 368 POLITICÁ EONOMIE, 3, 2013

14 složce, toto platí také pro směrodatné odchylky (v textu neuvedeno). Složky domácností s nízkými přímy sou tedy daleko homogenněší než složky domácností s přímy vyššími. Obdobně e to pro tři složky, neplatí to však vždycky, výimkou e pro oba typy přímů rok Tabulka 4 Odhad Giniho koeficientu pro složky nalezené pro příem na ednu osobu =2 =3 =4 I. II. celkem I. II. III. celkem I. II. III. IV celkem ,090 0,305 0,251 0,453 0,073 0,257 0,253 0,090 0,068 0,281 0,504 0, ,090 0,305 0,246 0,073 0,257 0,453 0,250 0,068 0,281 0,090 0,504 0, ,089 0,303 0,242 0,069 0,246 0,447 0,242 0,063 0,259 0,094 0,459 0, ,099 0,305 0,236 0,075 0,236 0,430 0,235 0,044 0,091 0,249 0,451 0, ,113 0,308 0,237 0,082 0,238 0,486 0,236 0,075 0,203 0,332 0,657 0, ,135 0,334 0,242 0,081 0,213 0,443 0,240 0,076 0,179 0,307 0,546 0, ,138 0,344 0,246 0,076 0,200 0,406 0,243 0,073 0,183 0,345 0,565 0,245 Zdro: vlastní výpočty Tabulka 5 Odhad Giniho koeficientu pro složky nalezené pro příem na spotřební ednotku =2 =3 =4 I. II. celkem I. II. III. celkem I. II. III. IV celkem ,169 0,334 0,249 0,127 0,365 0,140 0,248 0,066 0,069 0,202 0,389 0, ,173 0,338 0,244 0,108 0,214 0,417 0,244 0,045 0,096 0,214 0,418 0, ,163 0,321 0,240 0,098 0,208 0,404 0,240 0,072 0,067 0,204 0,398 0, ,182 0,385 0,236 0,114 0,212 0,484 0,236 0,109 0,196 0,344 0,630 0, ,142 0,331 0,231 0,076 0,197 0,443 0,230 0,065 0,148 0,242 0,501 0, ,170 0,359 0,241 0,106 0,203 0,418 0,240 0,020 0,114 0,203 0,415 0, ,167 0,336 0,243 0,108 0,191 0,376 0,242 0,118 0,232 0,100 0,397 0,242 Zdro: vlastní výpočty Již bylo zmíněno, že model se čtyřmi složkami e složitěší a také interpretace výsledků není asná. Nepodařilo se nalézt v datových souborech složky snadno interpretovatelné pomocí výše přímů. Byly nalezeny například složky se skoro stenými hodnotami parametru μ a velice rozdílnými parametry σ, algoritmus měl snahu zmenšit počet složek nebo nebylo dosaženo řešení ani při rozumných počátečních podmínkách (například dosažené aproximaci při iném pokusu) a velkém množství (řádově tisících) iterací. Časová náročnost těchto výpočtů nebyla zanedbatelná, ednalo se přibližně o minuty až desítky minut. POLITICÁ EONOMIE, 3,

15 Dále e vidět, že Giniho koeficienty určené ze směsí v tabulkách 4 a 5 (podle Young, 2011) sou srovnatelné s ostatními modely i s výběrovými hodnotami (tabulka 1). Závěr V textu bylo ukázáno, že model konečné směsi pravděpodobnostních rozdělení e užitečný a dobře aplikovatelný při modelování nehomogenních rozdělení přímů. Hustotu složitého rozdělení pravděpodobnosti, často s více vrcholy, popisue pomocí váženého průměru (obecně velkého počtu) hustot ednoduchých, vhodných rozdělení se známými vlastnostmi. Pokud sledovaná veličina e definována na základním souboru, který se skládá z disunktních podmnožin, lze si představit různá pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny v ednotlivých složkách. Tato rozdělení sou pak popsána hustotami, z kterých e pomocí vah, odrážeících zastoupení dané podmnožiny v celé sledované populaci, konstruováno rozdělení náhodné veličiny. Problém odhadu parametrů pak závisí na tom, zda pro konkrétní pozorování lze anebo nelze pozorovat příslušnost k některé ze složek. Nečastěi e pro všechny složky směsi použito, tak ako v tomto textu, stené rozdělení (a složky se liší en volbou parametrů). Další možností použití směsi rozdělení e popsat rozdělení směsí různých rozdělení tak, aby bylo možné použít například iná rozdělení pro střední část hodnot náhodné veličiny a iné (například Paretovo) pro hodnoty malé či velké. Při modelování přímů na osobu dochází k výraznému vylepšení (samostatně nepříliš vhodného) logaritmicko-normálního rozdělení iž při použití dvou složek, přičemž iž tři složky poskytly poměrně velmi dobrou aproximaci pro přímy v letech Hledání umělých komponent tak, aby výsledný model co nelépe vystihoval data, vedlo k velmi dobrému vystižení rozdělení pozorovaných hodnot. V tomto případě ale docházelo (zvláště pro počty čtyři složky anebo v textu neuvedených pěti složek) k numerickým problémům s odhadem a k problémům s identifikací parametrů. Obecně při použití konečných směsí s mnoha složkami dochází k obtížné identifikaci parametrů (složek) dokonce i ve velkých výběrech. Steně ako u iných problémů parametrických modelů e důležitá volba vhodného pravděpodobnostního rozdělení. Je to základní problém zvláště tehdy, pokud používáme předem definované dělení do složek anebo model s malým počtem složek s neznámou příslušností. Pokud bychom nebyli omezeni počtem složek, bylo by možné rozdělení libovolně přesně aproximovat například en směsí normálních rozdělení. Literatura: BARTOŠOVÁ, J Analysis and Modelling of Financial Power of Czech Households. Bratislava In 8th International Conference APLIMAT Bratislava: Slovak University of Technology, pp BARTOŠOVÁ, J.; BÍNA, V Modelling of Income Distribution of Czech Households in Years Acta Oeconomica Pragensia. Vol. 17, No. 4, pp POLITICÁ EONOMIE, 3, 2013

16 BÍLOVÁ, D Recent Development of the Wage and Income Distribution in the Czech Republic. Prague Economic Papers, Vol. 21, No. 2, pp DAGUM, C. A New Model of Personal Income Distribution: Specifi cation and Estimation, In Modeling Income Distributions and Lorenz Curves, Economic Studies in Equality, Social Exclusion and Well-Being, Vol. 5, pp FLACHAIRE E.; NUNEZ O Estimation of the Income Distribution and Detection of Subpopulations: an Explanatory Model. Computational Statistics & Data Analysis Vol. 51, No.7, pp HEBÁ, P.; HUSTOPECÝ, J.; PECÁOVÁ, I.; PLAŠIL, M.; PRŮŠA, P.; VLACH P.; SVOBODOVÁ, A. A Vícerozměrné statistické metody [3]. 2. vyd. Praha: Informatorium, LEIBER, C.; OTZ, S Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences. New York: Wiley-Interscience, LEIBER, C. A Guide to the Dagum Distributions. Working paper 23/07, Wirtschaftswissenechaftliches Zentrum (WWZ) der Univeritat Basel, Dostupné na unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf. MALÁ, I Distribution of Incomes Per Capita of the Czech Households from 2005 to Bratislava In Aplimat 2011 [CD-ROM]. Bratislava: Slovak University of Technology, pp MALÁ, I Použití konečných směsí pro modelování přímových rozdělení. Acta Oeconomica Pragensia, Vol. 20, No. 4, pp MCDONALD, J. B Some Generalized Functions for the Size Distributions of Income. Econometrica, Vol. 52, pp MCDONALD, J. B.; XU, Y. J A Generalization of the Beta Distribution with Applications. Journal of Econometrics, Vol. 66, No. 6, pp MCLACHLAN, G. J.; PEEL, D Finite Mixture Models. New York: Wiley series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics Section. MILANOVIC, B True World Income Distribution, 1988 and 1993: First Calculation Based on Household Surveys Alone. The Economic Journal, Vol. 112, pp MORLEY, S. A The Effect of Changes in the Population on Several Measures of Income Distribution. The American Economic Review, Vol. 71, No. 3, pp PACÁOVÁ, V.; SIPOVÁ, L Generalized Lambda Distributions of Households Incomes. E + M Ekonomie a Management, Vol.10, No.1, pp PITTAU, M. G.; ZELLI, R Empirical Evidence of Income Dynamics across EU Regions. Journal of Applied Econometrics, Vol. 21, No. 5, pp PRIETO-ALAIZ, M.; VICTORIA-FESER, M. P Modelling Income Distribution in Spain: A Robust Parametric Approach. STICERD - Distributional Analysis Research Programme Papers 20, Suntory and Toyota International Centres for Economics and Related Disciplines, LSE. YOUNG, Y The Gini Coeffi cient for a Mixture of Ln-Normal Populations, Working Paper LSE, London. Dostupné na WU, X.; PERLOFF, J. M China s Income Distribution, The Review of Economics and Statistics, Vol. 87, No. 4, pp Internetové zdroe: CZSO. Czech Statistical Offi ce. Dostupné na RPROGRAM. R Core Team. R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria Dostupné na MIXTOOLS. Tatiana Benaglia, Didier Chauveau, David R. Hunter, Derek Young. mixtools: An R Package for Analyzing Finite Mixture Models. Journal of Statistical Software, 32(6), Dostupné na POLITICÁ EONOMIE, 3,

17 THE USE OF FINITE MIXTURES OF LOGNORMAL DISTRIBUTION FOR THE MODELLING OF HOUSEHOLD INCOME DISTRIBUTIONS IN THE CZECH REPUBLIC Ivana Malá, University of Economics, Prague, W. Churchill Sq. 4, CZ Prague 3 (malai@vse.cz) Abstract In the text fi nite mixtures of lognormal distributions are used for the modelling of net annual income per capita and equivalized income of the Czech households (in CZ) in The development of distribution of number of members of households is analysed and the characteristics of standardized units according to EU and OECD methodologies are given. Data from the survey EU-SILC organized by the Czech Statistical Offi ce from (dealing with incomes from ) are used for the analysis. Models (with incomplete data) with two to four artifi cial components are used in order to fi t the distribution of incomes; the development of their characteristics is shown. All estimates in the text are maximum likelihood estimates, EM algorithm in the program R is used for the optimalization. Models are compared with the use of Akaike criterion. eywords fi nite mixture of distributions, income distribution, income inequality, Gini coeffi cient, EM algorithm JEL Classification C13, C51, O POLITICÁ EONOMIE, 3, 2013