Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .

Transkript

1 Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .cz 21. února 2012 Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 1 / 20

2 Obsah Definice Interpretace Matematická statistika a rozdělení parametrů rozdělení Výsledky matematické statistiky Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 2 / 20

3 Definice Intervalový odhad I Oboustranný intervalový odhad P(T D < θ < T H ) = 1 α P(θ (T D ; T H )) = 1 α 1 α označujeme jako koeficient spolehlivosti (konfidence), spolehlivost α označujeme jako riziko odhadu (hladina významnosti) 1 α = 0,9; 0,95; 0,99 a 0,999 TH T D se nazývá přesnost odhadu U symetricky konstruovaných intervalů spolehlivosti (µ, π) se T H T D značí 2 a nazývá se maximální přípustná chyba odhadu Bodový odhad lze považovat za extrémní případ intervalového odhadu s nulovou šířkou. Je sice přesný, ale ztrácí spolehlivost 1 α 0. Jednostranný interval omezený zdola (levostranný) P(T D < θ) = 1 α P(θ (T D ; )) = 1 α 1 α označujeme jako koeficient spolehlivosti (konfidence), spolehlivost α označujeme jako riziko podhodnocení (hladina významnosti) 1 α = 0,9; 0,95; 0,99 a 0,999 Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 3 / 20

4 Definice Intervalový odhad II Jednostranný interval omezený shora (pravostranný) P(θ < T H ) = 1 α P(θ ( ; T H )) = 1 α 1 α označujeme jako koeficient spolehlivosti (konfidence), spolehlivost α označujeme jako riziko nadhodnocení (hladina významnosti) 1 α = 0,9; 0,95; 0,99 a 0,999 Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 4 / 20

5 Interpretace Interpretace intervalového odhadu Správná interpretace (1 α) 100 % intervalů obsahuje parametr θ. Každý interval překryje odhadovaný parametr s (1 α) 100% pravděpodobností. Interval spolehlivosti je plácačka, která s danou spolehlivostí (1 α) připlácne mouchu (přilepenou) parametr. Nesprávná interpretace Interval spolehlivosti obsahu (1 α) 100 % všech možných hodnot odhadovaného parametru θ. Parametr θ padne do (1 α) 100% intervalu spolehlivosti právě s pravděpodobností 1 α. Parametr θ je šíp, který se spolehlivostí (1 α) zasáhne terč interval spolehlivosti. Náhodný je interval spolehlivosti nikoliv parametr, proto se výroky o pravděpodobnosti MUSÍ týkat intervalu a nikoliv parametru rozdělení, který je daný, neměnný, neznámý a proto jej odhadujeme. Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 5 / 20

6 Matematická statistika a rozdělení parametrů rozdělení Matematická statistika a rozdělení parametrů rozdělení I Podstatná tvrzení pro určení intervalových odhadů parametru normálního rozdělení O rozdělení náhodného výběru z N(µ; σ 2 ) Má-li populace normální rozdělení s parametry µ a σ 2 pak náhodný výběr má též normální rozdělení s parametry µ a σ 2 X 1, X 2,..., X n i.i.d. N ( µ; σ 2) O rozdělení náhodné veličiny sledující N(µ; σ 2 ) opakování Má-li náhodná veličina normální rozdělení s parametry µ a σ 2, pak náhodná veličina U = X µ σ má normální normované rozdělení N(0; 1). U = X µ σ N(0; 1) Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 6 / 20

7 Matematická statistika a rozdělení parametrů rozdělení Matematická statistika a rozdělení parametrů rozdělení II Podstatná tvrzení pro určení intervalových odhadů parametru normálního rozdělení O rozdělení střední hodnoty náhodného výběru z N(µ; σ 2 ) Má-li populace normální rozdělení s parametry µ a σ 2, pak výběrový průměr X má normální rozdělení s parametry µ a σ 2 /n X N ( µ; σ 2 /n ) O rozdělení rozptylu náhodného výběru z N(µ; σ 2 ) Má-li populace normální rozdělení s parametry µ a σ 2, pak náhodná veličina χ 2 = s2 (n 1) σ sleduje χ 2 (n 1) rozdělení. 2 χ 2 = s2 (n 1) σ 2 χ 2 (n 1) Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 7 / 20

8 Matematická statistika a rozdělení parametrů rozdělení Matematická statistika a rozdělení parametrů rozdělení III Podstatná tvrzení pro určení intervalových odhadů parametru normálního rozdělení O studentovo rozdělení opakování Jsou-li U a χ 2 takové nezávislé náhodné veličiny, že U N(0; 1) a χ 2 χ 2 (n) a definujeme-li: T = U t(n 1), χ 2 pak T má studentovo rozdělení o n stupních volnosti. n Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 8 / 20

9 Intervalový odhad střední hodnoty populace sledující normální rozdělení při známém rozptylu Oboustranný intervalový odhad P ( x n σ u 1 α/2 < µ < x + n σ ) u 1 α/2 = 1 α Jednostranný interval omezený zdola (levostranný) ( P x σ ) u 1 α < µ = 1 α n Jednostranný interval omezený shora (pravostranný) P (µ < x + n σ ) u 1 α = 1 α Hodnota σ n je směrodatná odchylka výběrového průměru a říká se jí standardní chyba. Hodnota = s n u 1 α/2 je maximální přípustnou chybou intervalového odhadu střední hodnoty. Přesnost intervalového odhadu (šířka intervalu) pro střední hodnotu závisí přímo na variabilitě a spolehlivosti a nepřímo na rozsahu výběru. Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 9 / 20

10 Související otázky s intervalovým odhadem střední hodnoty populace sledující normální rozdělení při známém rozptylu vedle vymezení samotného intervalu spolehlivosti je výsledkem jeho šířka, tj. přesnost odhadu = 2, variabilita dat je svým způsobem konstantní, přesnost odhadu lze zvýšit buďto: zvýšením rozsahu souboru, snížením spolehlivosti. někdy je předepsána přesnost odhadu prostřednictvím maximální přípustné chyby nechceme-li přesáhnout jak předepsanou přesnost, tak spolehlivost 1 α, nesmí rozsah výběru klesnout pod: ( σ u1 α/2 ) 2 n = n nutno zaokrouhlit na nejbližší vyšší cele číslo! nechceme-li přesáhnout předepsanou přesnost a nelze-li zvýšit rozsah souboru je spolehlivost odhadu nejvýše: ( n 1 α = 2Φ σ ) 1 Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 10 / 20

11 Dvoufázový výběr Postup určení rozsahu výběrového souboru pro dosažení předepsané přesnosti a spolehlivosti odhadu 1. Provedení rozumně velikého výběrového šetření m, 2. Vypočtení nutného rozsahu pro dosažení předepsané přesnosti a spolehlivosti odhadu ( σ u1 α/2 ) 2 n = n nutno zaokrouhlit na nejbližší vyšší cele číslo!, 3. Je-li n m, je vytvořený výběr dostačující, je-li n > m, je třeba výběr doplnit o (n m) dodatečných pozorování. Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 11 / 20

12 Intervalový odhad střední hodnoty populace sledující normální rozdělení při neznámém rozptylu Oboustranný intervalový odhad ( P x s n t 1 α/2 (n 1) < µ < x + s ) t 1 α/2 (n 1) = 1 α n Jednostranný interval omezený zdola (levostranný) ( P x s ) t 1 α (n 1) < µ = 1 α n Jednostranný interval omezený shora (pravostranný) ( P µ < x + s ) t 1 α (n 1) = 1 α n Hodnota s n je odhadem směrodatné odchylky výběrového průměru a říká se jí standardní chyba. Hodnota = s n t 1 α/2 (n 1) je maximální přípustnou chybou intervalového odhadu střední hodnoty. Přesnost intervalového odhadu (šířka intervalu) pro střední hodnotu závisí přímo na variabilitě a spolehlivosti a nepřímo na rozsahu výběru. Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 12 / 20

13 Související otázky s intervalovým odhadem střední hodnoty populace sledující normální rozdělení při neznámém rozptylu vedle vymezení samotného intervalu spolehlivosti je výsledkem jeho šířka, tj. přesnost odhadu = 2, variabilita dat je svým způsobem konstantní, přesnost odhadu lze zvýšit buďto: zvýšením rozsahu souboru, snížením spolehlivosti. někdy je předepsána přesnost odhadu prostřednictvím maximální přípustné chyby nechceme-li přesáhnout jak předepsanou přesnost, tak spolehlivost 1 α, nesmí rozsah výběru klesnout pod: ( ) s t1 α/2 (m 1) 2 n = n nutno zaokrouhlit na nejbližší vyšší cele číslo! nechceme-li přesáhnout předepsanou přesnost a nelze-li zvýšit rozsah souboru je spolehlivost odhadu nejvýše: ( ) n 1 α = 2F 1 s Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 13 / 20

14 Dvoufázový výběr Postup určení rozsahu výběrového souboru pro dosažení předepsané přesnosti a spolehlivosti odhadu 1. Provedení rozumně velikého výběrového šetření m, 2. Vypočtení nutného rozsahu pro dosažení předepsané přesnosti a spolehlivosti odhadu ( ) 2 s t1 α/2 (m 1) n = n nutno zaokrouhlit na nejbližší vyšší cele číslo!, 3. Je-li n m, je vytvořený výběr dostačující, je-li n > m, je třeba výběr doplnit o (n m) dodatečných pozorování. Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 14 / 20

15 Intervalový odhad rozptylu populace sledující normální rozdělení Oboustranný intervalový odhad ( ) (n 1) s 2 P χ 2 1 α/2 (n 1) < (n 1) σ2 s2 < = 1 α (n 1) χ 2 1 α χ 2 α/2 Jednostranný interval omezený zdola (levostranný) ( ) (n 1) s 2 P < σ2 = 1 α (n 1) Jednostranný interval omezený shora (pravostranný) P (σ 2 < ) (n 1) s2 χ 2 = 1 α α(n 1) Přesnost intervalového odhadu (šířka intervalu) pro rozptyl závisí přímo na variabilitě a rozsahu výběru a nepřímo na spolehlivosti. Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 15 / 20

16 Intervalový odhad směrodatné odchylky populace sledující normální rozdělení Oboustranný intervalový odhad P (n 1) s < σ < χ 2 1 α/2 (n 1) (n 1) s χ 2 α/2 (n 1) Jednostranný interval omezený zdola (levostranný) P (n 1) s < σ = 1 α χ 21 α (n 1) = 1 α Jednostranný interval omezený shora (pravostranný) ( ) (n 1) s P σ < = 1 α χ 2 α (n 1) Přesnost intervalového odhadu (šířka intervalu) pro rozptyl závisí přímo na variabilitě a rozsahu výběru a nepřímo na spolehlivosti. Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 16 / 20

17 Intervalový odhad populační pravděpodobnosti (poměru) alternativního rozdělení Oboustranný intervalový odhad ( P p u 1 α/2 p(1 p) n < π < p + u 1 α/2 Jednostranný interval omezený zdola (levostranný) ( ) p(1 p) P p u 1 α < π = 1 α n Jednostranný interval omezený shora (pravostranný) ( ) p(1 p) P π < p + u 1 α = 1 α n Hodnota p(1 p) n p(1 p) n ) = 1 α je odhadem směrodatné odchylky výběrového poměru. p(1 p) n Hodnota = u 1 α je maximální přípustnou chybou intervalového odhadu populačního poměru. Přesnost intervalového odhadu (šířka intervalu) pro populačního poměru závisí přímo na variabilitě a spolehlivosti a nepřímo na rozsahu výběru. Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 17 / 20

18 Související otázky s intervalovým odhadem populační pravděpodobnosti I vedle vymezení samotného intervalu spolehlivosti je výsledkem jeho šířka, tj. přesnost odhadu = 2, variabilita dat je svým způsobem konstantní, přesnost odhadu lze zvýšit buďto: zvýšením rozsahu souboru snížením spolehlivosti někdy je předepsána přesnost odhadu prostřednictvím maximální přípustné chyby nechceme-li přesáhnout jak předepsanou přesnost, tak spolehlivost 1 α, nesmí rozsah výběru klesnout pod: ( ) 2 p(1 p) u1 α/2 n = n nutno zaokrouhlit na nejbližší vyšší cele číslo! Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 18 / 20

19 Související otázky s intervalovým odhadem populační pravděpodobnosti II nechceme-li přesáhnout předepsanou přesnost a nelze-li zvýšit rozsah souboru je spolehlivost odhadu nejvýše: ( n ) 1 α = 2Φ 1 p(1 p) Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 19 / 20

20 Dvoufázový výběr Postup určení rozsahu výběrového souboru pro dosažení předepsané přesnosti a spolehlivosti odhadu 1. Provedení rozumně velikého výběrového šetření m, 2. Vypočtení nutného rozsahu pro dosažení předepsané přesnosti a spolehlivosti odhadu ( ) 2 p(1 p) u1 α/2 n = n nutno zaokrouhlit na nejbližší vyšší cele číslo! 3. Je-li n m, je vytvořený výběr dostačující, je-li n > m, je třeba výběr doplnit o (n m) dodatečných pozorování. Statistika by Birom Statistika by Birom Intervalový odhad 20 / 20