Pravděpodobnostní model rozdělení příjmů v České republice
|
|
- Daniela Krausová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Jitka Bartošová Pravděpodobnostní model rozdělení příjmů v České republice # Jitka Bartošová * Úvod Zkoumání rozdělení příjmů a jeho porovnávání z různých sociálně-ekonomických a časově-prostorových hledisek je východiskem pro posouzení životní úrovně obyvatelstva, úrovně sociálního zabezpečení a sociální spravedlnosti v rozdělování materiálních hodnot, vytvořených společností. Analýza rozdělení příjmů, vedoucí ke kvantitativnímu vystižení životní úrovně, je zaměřena na charakterizaci příjmové nerovnosti. V minulosti byla tato nerovnost vyjadřována obvykle pomocí Lorenzovy křivky a z ní vypočtených základních charakteristik příjmové diferenciace, odvozených Paretem, Brescianim, Ginim, Pietrem atd. V současné literatuře je tento tradiční přístup obohacen o zjišťování rozdílů mezi několika populacemi, lišícími se buď ze sociálněekonomického, nebo geografického hlediska, a o kvantitativní vystižení příspěvků jednotlivých subpopulací k nerovnosti příjmů celé heterogenní populace. Předložený článek je zaměřen na problematiku konstrukce pravděpodobnostního modelu rozdělení příjmů domácností s využitím hustoty známého teoretického rozdělení. Praktická část příspěvku je zaměřena na prezentaci výsledků modelování rozdělení příjmů neagregovaných datových souborů domácností v ČR, pocházejících z Mikrocensu Důvodem použití uvedeného datového souboru je to, že neagregovaná data umožňují kvalitní odhady parametrů zvoleného teoretického modelu. 1. Pravděpodobnostní modelování rozdělení Pravděpodobnostní modely rozdělení sledované veličiny umožňují jednoduchou aproximaci často značně komplikovaného výběrového rozdělení. Typ modelu, použitého v praxi, by měl pokud možno vyplývat logicky z charakteru sledovaného znaku nebo z dlouhodobé zkušenosti s jeho chováním. V těch případech, kdy logická kritéria chybějí, používáme k modelování tu teoretickou distribuční funkci, která maximalizuje shodu empirického a teoretického rozdělení četností. Ke konstrukci pravděpodobnostních modelů lze přistupovat dvěma principiálně odlišnými způsoby. Můžeme použít některé známé rozdělení, jako je rozdělení logaritmicko-normální, Paretovo, Weibullovo, gamma apod. (viz Johnson Kotz Balakrishnan, 1994), # * Článek je zpracován jako jeden z výstupů výzkumného projektu Získávání a modelování (lékařských) znalostí (ZIMOLEZ) registrovaného u grantové agentury FRVŠ pod evidenčním číslem C/06/019. RNDr. Jitka Bartošová, Ph.D. odborná asistentka; Katedra managementu informací, Fakulta managementu VŠE v Praze, bartosov@fm.vse.cz. 7
2 Acta Oeconomica Pragensia, roč. 15, č. 1, 007 aproximovat empirické rozdělení některou teoretickou křivkou z Pearsonova, či Johnsonova systému nebo namodelovat jeho tvar vhodnou rychle konvergující řadou (viz Edgeworth, 1907, s ). Při aproximaci empirického rozdělení pomocí známých rozdělení (parametrických modelů) si můžeme vybrat jednu ze dvou cest vedoucích k cíli. Můžeme využít hodnoty distribuční funkce F(x) (případně její derivace), kvantilové funkce Q(p) (popřípadě její derivace). Používané parametrické modely jsou definovány následovně. Jestliže X 1,,X n jsou nezávislé, stejně rozdělené náhodné veličiny s touž distribuční funkcí F = F θ, resp. kvantilovou funkcí Q = Q θ, pak jednoparametrickým modelem s parametrem θ je myšlen funkcionál { Fθ R}, resp. Q = { Q θ Θ R} F = θ Θ θ (1) kde F θ distribuční funkce s parametrem θ, kde θ je parametr modelu, Q θ kvantilová funkce s parametrem θ, Θ otevřená a konvexní množina všech parametrů. Tuto definici r lze jednoduše zobecnit rovněž pro víceparametrické modely s vektorem parametrů θ = (θ 1,,θ k ). 1.1 Modelování pomocí generalizovaných systémů Snaha o optimální aproximaci reálného empirického rozdělení vedla postupně k vytvoření několika teoretických (generalizovaných) systémů, které umožňují aproximaci mnoha empirických rozdělení. Historickou prioritu ve vytvoření univerzálního systému teoretických rozdělení, vhodných k modelování široké třídy empirických rozdělení, lze pravděpodobně přisoudit Pearsonovi (viz Pearson, 1895, s ). Všechny křivky z Pearsonova systému jsou prvky z množiny kořenů diferenciální rovnice dy dz 0 ( z b ) y 1 = () b + b z + b z 1 kde y = f(z) hustota rozdělení veličiny Z = X µ, kde µ = E(X), b 0, b 1, b konstanty závislé na momentových charakteristikách rozdělení. Tvar řešení diferenciální rovnice, tj. výsledné křivky, závisí na konstantách b 0, b 1 a b. Pearsonův systém má některé přednosti, ale i nedostatky. Hlavní předností systému je jeho univerzálnost velmi často existuje křivka, která zajistí pro praxi dostačující shodu modelu s empirickým rozdělením. Naopak jeho velkou nevýhodou je, že odhad parametrů modelu je produktem málo vydatné a nerobustní momentové metody. Další nevýhodou systému je jeho formálnost pro parametry jednotlivých křivek bychom jen těžko hledali věcnou interpretaci. Jiný alternativní přístup k modelování rozdělení je založen na transformaci sledované náhodné veličiny na veličinu s normálním rozdělením. Takovou polynomiální transformaci náhodné proměnné navrhl Edgeworth. Na tomto principu je založen 8
3 Jitka Bartošová Johnsonův systém křivek (viz Johnson, 1949, s ), který tento princip rozvíjí tak, aby vedl k univerzálnímu modelu. Johnsonův systém je tvořen třemi typy křivek S L, S B a S U. Pro nás zajímavé je to, že křivka typu S L je shodná s tříparametrickým logaritmicko-normálním rozdělením. Dalším prostředkem, používaným při modelování empirického rozdělení, jsou rychle konvergující nekonečné řady. Prvním členem řady je vždy tzv. vytvořující funkce, další členy jsou tvořeny jejími derivacemi. Např. řada Gram-Charlierovu typu A, která byla poprvé publikována v r. 1905, je tvořena násobky hustoty pravděpodobnosti normovaného normálního rozdělení a jejích derivací. Platí kde ( n) ( u) = a ( u) + a ϕ ( u) + a ϕ ( u) a ( u)... f 0 ϕ 1 nϕ + (3) f(u) hustota rozdělení standardizované veličiny U = X µ, kde µ = E(X), φ(u) hustota normovaného normálního rozdělení, φ (n) (u) n-tá derivace hustoty normovaného normálního rozdělení φ(u), a n, n=0,1, konstanty modelu. Při konstrukci modelu se obvykle omezujeme pouze na první tři členy rozvoje. Uvedený model má však jednu velmi nepříjemnou vlastnost u nesymetrických rozdělení dospíváme na jejich okraji často k záporným výsledkům hustoty pravděpodobnosti. Situace se zlepší, vyjdeme-li z jiného rozdělení, např. z Poissonova rozdělení. Pokud za vytvořující funkci vezmeme hustotu pravděpodobnosti Poissonova rozdělení, dostaneme Poisson-Charlierovu řadu typu B (viz Johnson Kotz Balakrishnan, 1994). Rozvoje v řady poskytují zvlášť vhodný prostředek k vystižení rozdělení četností směsí, kde každá složka má charakteristiky odlišné od ostatních. V takových případech nelze docílit pomocí Pearsonových křivek takové přizpůsobivosti modelu rozdělení, jako pomocí rozvoje. 1. Modelování pomocí známých rozdělení Schopnost citlivě vystihnout empirické rozdělení některým známým parametrickým modelem souvisí s počtem jeho parametrů. Velký počet parametrů však nejenom zvyšuje pružnost přizpůsobení, ale také nestabilitu modelu, takže model je zároveň vysoce citlivý na chyby v datových souborech. Takovým univerzálním pravděpodobnostním modelem empirického rozdělení četností je např. generalizované lambda rozdělení (GLD). Generalizované lambda rozdělení se čtyřmi parametrické (RS GLD), navržené Rambergem a Schmeiserem (viz Ramberg Schmeiser, 1974, s. 78 8), je dáno kvantilovou funkcí 3 4 p (1 p) Q( p; λ1, λ, λ3, λ4 ) = λ1 + λ pro p 0; 1 = 0 jinak λ kde p kvantil rozdělení, λ 1,,λ 4 parametry modelu. Tento způsob konstrukce rozdělení příjmů, využívající kvantilovou funkci, nalezneme např. v práci Sipkové (viz Sipková, 005, s ). λ (4) 9
4 Acta Oeconomica Pragensia, roč. 15, č. 1, 007 Velkou schopnost přizpůsobení má rovněž čtyřparametrická varianta logaritmicko normálního modelu, která je dána hustotou x γ ln µ τ x 1 τ γ ( x; µ, σ, γ, τ ) = e σ f pro x ( γ,τ ) σ π ( x γ )( τ x) = 0 jinak kde µ střední hodnota veličiny Y = ln[(x γ)/(τ X)], σ rozptyl veličiny Y, γ teoretické minimum veličiny X, τ teoretické maximum veličiny X. (5). Modelování rozdělení příjmů obyvatelstva Nejčastěji používaným modelem rozdělení příjmů byl tříparametrický logaritmicko normální model, jehož hustotu rozdělení získáme ze vztahu (5) po dosazení τ = 0. Největším soupeřem logaritmicko-normálního rozdělení při modelování rozdělení příjmů obyvatelstva je Paretovo rozdělení. Logaritmicko-normální model odpovídá empirickému rozdělení příjmů v rozsáhlé centrální oblasti, zatímco na okrajích se někdy značně odchyluje. Naproti tomu Paretova křivka je vhodným modelem rozdělení příjmů na okrajích (viz Johnson Kotz Balakrishnan, 1994)..1 Logaritmicko-normální model rozdělení příjmů v ČR v roce 1996 K odhadu parametrů µ, σ a γ tříparametrické varianty logaritmicko-normálního modelu rozdělení byla použita metoda maximální věrohodnosti (parametry µ a σ ) v kombinaci s odhadem teoretického minima (parametr γ) prostřednictvím numerické minimalizace věrohodnostního poměru (viz Bartošová, 005, s ). Důvodem této volby byla snaha o maximální kvalitu zkonstruovaných modelů. Odhady byly prováděny iteračně v programu MatLab. K posouzení kvality zkonstruovaných modelů zde byl použit věrohodnostní poměr v porovnání s 95% kvantilem rozdělení χ s (k 4) stupni volnosti, kde k je doporučovaný počet tříd, do nichž jsou data při výpočtu věrohodnostního poměru rozdělena. Důvodem této volby byla skutečnost, že věrohodnostní poměr je založen na stejném principu jako odhady parametrů modelu na principu maximální věrohodnosti. Zvolená testovací statistika byla použita k získání informace o tom, ve kterých sociálních skupinách je třída logaritmicko-normálních modelů pro vystižení rozdělení příjmů zcela nevhodná (viz Bartošová, 006, s. 15. Pravděpodobnostní model byl v této práci považován za vyhovující, pokud splňoval podmínku přibližné shody s empirickým rozdělením, tj. pokud hodnota věrohodnostního poměru výrazně nepřevyšovala kritickou hodnotu (kvantil χ 0,95(k 4)). Dosažené výsledky jsou uvedeny v tabulce 1. 10
5 Jitka Bartošová Tab. č. 1: Míra shody tříparametrického logaritmicko-normálního modelu s empirickým rozdělením příjmů domácností v ČR (r. 1996) Sociální Rozsah Věrohodnostní poměr Kritická skupina skupiny na domác. na hlavu hodnota Samostatně hospodařící ,04,699 6,96 Družstevní rolníci ,784 11,06 30,144 Ostatní 36 5,315 44,394 31,410 Nezaměstnaní 60 3,04 17,760 3,671 Důchodci s EA členy ,366 84,804 54,57 Samostatně činní ,134 55,848 6,830 Zaměstnanci ,35 104,40 103,010 Důchodci bez EA členů , ,59 110,898 Dělníci , ,10 11,0 Všechny domácnosti , ,3 170,807 Zdroj: Mikrocensus vlastní výpočty Závěr Nejdůležitějším praktickým výsledkem provedeného zkoumání je zjištění, že dříve běžně používaný pravděpodobnostní model rozdělení příjmů (logaritmicko-normální model se třemi parametry) lze ve většině sociálních skupin považovat za vyhovující i po roce Jako zcela nevhodný se tento model jeví pouze v případě domácností důchodců bez ekonomicky aktivních členů a všech domácností. Odlišnost rozdělení příjmů domácností důchodců bez EA členů lze odůvodnit rozdílností zdroje příjmů důchody. A protože domácnosti důchodců tvoří prakticky celou jednu třetinu zkoumaného souboru, budou výrazně ovlivňovat i tvar rozdělení všech domácností. Hledání adekvátního modelu rozdělení příjmů domácností v těchto dvou odlišných případech již není náplní tohoto článku. Literatura [1] BARTOŠOVÁ, J., 005: Logarithmic-Normal Model of Income Distribution in the Czech Republic. Austrian Journal of Statistics, 006, roč. 35, č. &3, s. 15. [] BARTOŠOVÁ, J., 005: Maximal Likelihood Estimates of Parameters of Model of Household Income Distribution in the Czech Republic. Forum Statisticum Slovacum, 005, č. 3, s [3] EDGEWORTH, F. Y., 1907: On the representation of statistical frequency by a series. Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 1907, roč. 70, s [4] JOHNSON, N. L., 1949: Systems of frequency curves generated by methods of translation. Biometrika, 1949, roč. 36, s
6 Acta Oeconomica Pragensia, roč. 15, č. 1, 007 [5] JOHNSON, N. L. KOTZ, S. BALAKRISHNAN, N., 1994: Continuous Univariate Distributions, vol. 1, nd edition. New York, J. Wiley, [6] PEARSON, K., 1895: Contributions to the mathematical Tudory of evolution. II. Skew variations in homogenous materia. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, 1895, roč. 186, s [7] RAMBERG, J. SCHMEISER, B., 1974: An approximate method for generating asymmetric random variables. Communications of the ACM, 1974, roč. 17, č., s [8] SIPKOVÁ, Ľ., 005: Modelovanie príjmov domácností zovšeobecneným lambda rozdelením. Ekonomika a informatika, 005, roč. 3, č. 1, s Jitka Bartošová Abstrakt K pravděpodobnostnímu modelování lze přistupovat několika principiálně odlišnými způsoby. Jednou z možností, vedoucích k cíli, je aproximace empirického rozdělení některým známým rozdělením (parametrickým modelem). Předložený příspěvek se zaměřuje jednak na popis metod, které lze obecně v praxi k modelování využít, a jednak na konstrukci a ověření platnosti jednoho z dosud používaných modelů rozdělení příjmů v České republice logaritmicko-normálního modelu se třemi parametry. Klíčová slova: platnost modelu; pravděpodobnostní model; rozdělení příjmů. Probability Model of Income Distribution in the Czech Republic Abstract Probability modeling may be approached in several principally different ways. One of such possibilities to achieve the aim is approximation of empirical distribution by means of an already known distribution (i.e. a parametric model). This paper focuses first on description of methods that may be used for modeling in practice and further on construction and verification of validity of one of present models of income distribution in the Czech Republic logarithm-normal model with three parameters. Key words: income distribution; probability model; validity of the model. JEL classification: G30 1
Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
KGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Charakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
y = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
VLIV STATISTICKÉ ZÁVISLOSTI NÁHODNÝCH VELIČIN NA SPOLEHLIVOST KONSTRUKCE
IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie 25 23.až 24.4.2003 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-055-7 VLIV STATISTICKÉ ZÁVISLOSTI NÁHODNÝCH VELIČIN NA SPOLEHLIVOST
10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Odhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
PŘÍSPĚVEK K ANALÝZE ROZDĚLENÍ PŘÍJMŮ DOMÁCNOSTÍ V ČR
ROBUST 2004 c JČMF 2004 PŘÍSPĚVEK K ANALÝZE ROZDĚLENÍ PŘÍJMŮ DOMÁCNOSTÍ V ČR Jitka Bartošová Klíčová slova: Příjmové rozdělení, teoretický model, test odlehlosti. Abstrakt: Pro správné ohodnocení příjmové
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly
Pravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru
X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.
Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment
Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení
5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme
Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít
Odhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
Odhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti
Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz
KVADRATICKÁ KALIBRACE
Petra Širůčková, prof. RNDr. Gejza Wimmer, DrSc. Finanční matematika v praxi III. a Matematické modely a aplikace 4. 9. 2013 Osnova Kalibrace 1 Kalibrace Pojem kalibrace Cíle kalibrace Předpoklady 2 3
8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
Vybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
IDENTIFIKACE BIMODALITY V DATECH
IDETIFIKACE BIMODALITY V DATECH Jiří Militky Technická universita v Liberci e- mail: jiri.miliky@vslib.cz Milan Meloun Universita Pardubice, Pardubice Motto: Je normální předpokládat normální data? Zvláštnosti
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
TLOUŠŤKOVÁ A VÝŠKOVÁ STRUKTURA A JEJÍ MODELOVÁNÍ
TLOUŠŤKOVÁ A VÝŠKOVÁ STRUKTURA A JEJÍ MODELOVÁNÍ 1 Vlastnosti tloušťkové struktury porostu tloušťky mají vyšší variabilitu než výšky světlomilné dřeviny mají křivku početností tlouštěk špičatější a s menší
KGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Testování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné
Příjmy domácností ve vybraných regionech České republiky Household Income in Some Regions in the Czech Republic
Příjmy domácností ve vybraných regionech České republiky Household Income in Some Regions in the Czech Republic Jitka Bartošová Abstract: The article deals with characterization of present income distribution
MOŽNOSTI APROXIMACE ROZDĚLENÍ KOLEKTIVNÍHO RIZIKA
MOŽNOSTI APROXIMACE ROZDĚLENÍ KOLEKTIVNÍHO RIZIKA a) Viera Pacáková, b) Veronika Balcárková a) Univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní, Ústav matematiky, b)univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní,
1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
Téma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého vektoru parametrů bodový a intervalový.
6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ X={X 1, X 2,..., X n } výběr z rozdělení s F (x, θ), θ={θ 1,..., θ r } - vektor reálných neznámých param. θ Θ R k. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého
Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013
Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko
Normální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.
UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Výběr od deskripce k indukci Deskripce dat, odhad parametrů Usuzování = inference = indukce Počítá se s náhodným
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
ZÁKLADNÍ POJMY a analýza výběru
ZÁKLADNÍ POJMY a analýza výběru PARAMETR je statistická charakteristika základního souboru (značíse řeckými písmeny, např. střední hodnota μ ). STATISTIKA je statistická charakteristika výběrového souboru
Pearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. Př. : Ve vjezdové skupině kolejí byly sledovány počty přijíždějících vlaků za hodinu. Za 5 dní (tedy 360 hodin) přijelo celkem 87 vlaků. Výsledky sledování jsou uvedeny v tabulce.
Vysoká škola ekonomická v Praze
Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta managementu v Jindřichově Hradci D i p l o m o v á p r á c e Pavel Jauker 8 Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta managementu Jindřichův Hradec D i p l o m o v
STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)
STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a
Národní informační středisko pro podporu kvality
Národní informační středisko pro podporu kvality STATISTICKÁ REGULACE POMOCÍ VÝBĚROVÝCH PRŮMĚRŮ Z NENORMÁLNĚ ROZDĚLENÝCH DAT Ing. Jan Král, RNDr. Jiří Michálek, CSc., Ing. Josef Křepela Duben, 20 Co je
1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
4 Parametrické odhady
4 Parametrické odhady Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student zná základní rozdělení pravděpodobnosti dat přežití 2. Student rozumí principu odhadu funkce přežití a rizikové funkce s využitím metody
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup
Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
Modelování heterogenity ročních příjmů českých domácností Modeling Heterogeinity in the Czech Household Incomes
Modelování heterogenity ročních přímů českých domácností Modeling Heterogeinity in the Czech Household Incomes Marie Forbelská Abstract: The distribution of income in most populations is heterogeneous,
Uni- and multi-dimensional parametric tests for comparison of sample results
Uni- and multi-dimensional parametric tests for comparison of sample results Jedno- a více-rozměrné parametrické testy k porovnání výsledků Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Katedra analytické chemie, Universita
pravděpodobnosti, popisné statistiky
8. Modelová rozdělení pravděpodobnosti, popisné statistiky Rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení jako statistický model Přehled a aplikace modelových rozdělení Popisné statistiky Anotace Klasickým
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
Chyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
Regresní analýza. Eva Jarošová
Regresní analýza Eva Jarošová 1 Obsah 1. Regresní přímka 2. Možnosti zlepšení modelu 3. Testy v regresním modelu 4. Regresní diagnostika 5. Speciální využití Lineární model 2 1. Regresní přímka 3 nosnost
INTERVALOVÉ ODHADY PARAMETRŮ ZÁKLADNÍHO SOUBORU
INTERVALOVÉ ODHADY PARAMETRŮ ZÁKLADNÍHO SOUBORU Interval spolehlivosti pro parametr τ při hladině významnosti α (0,1) je určen statistikami T 1 a T 2 :. P T τ T =1-α ( ) 1 2 X toto je bodový odhad neznámé
Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
8 Coxův model proporcionálních rizik I
8 Coxův model proporcionálních rizik I Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí formulovat Coxův model proporcionálních rizik 2. Student rozumí významu regresních koeficientů modelu 3. Student zná
15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Patrice Marek. Západočeská univerzita v Plzni. * Podpořeno z OPVK CZ.1.07/2.2.00/
Patrice Marek Západočeská univerzita v Plzni * Podpořeno z OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0377 OBSAH Předmět modelování Přehled modelů Vlastní model Data Experimenty Výsledky a budoucí práce PŘEDMĚT MODELOVÁNÍ
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
Statistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead Barevná srdíčka kolegyně
Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY. Martina Litschmannová
VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY Martina Litschmannová Obsah přednášky Vybrané dvouvýběrové testy par. hypotéz test o shodě rozptylů (F-test), testy o shodě středních hodnot (t-test, Aspinové-Welchův test),
Statistická analýza jednorozměrných dat
Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů Na analýzu rozptylu lze pohlížet v podstatě
MATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti
Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .
Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika
oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA)
Vytěžování dat Filip Železný Katedra počítačů oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 22. září 2014 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 22. září 2014 1 / 25 Odhad rozdělení Úloha: Vstup: data D = {
Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK
ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK www.biostatisticka.cz POPISNÉ STATISTIKY - OPAKOVÁNÍ jedna kvalitativní
4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013
Testy Pavel Provinský 19. listopadu 2013 Test a intervalový odhad Testy a intervalové odhady - jsou vlastně to samé. Jiný je jen úhel pohledu. Lze přecházet od jednoho k druhému. Například: Při odvozování
Design Experimentu a Statistika - AGA46E
Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: M 14:00 15:30 W 15:30 17:00
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
Analýza dat na PC I.
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Lékařská a Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Analýza dat na PC I. Popisná analýza v programu Statistica IBA výuka Základní popisná statistika Popisná statistika