Cvi en Jak je ustota pravd podobnosti nalezen klasick o jednorozm rn o oscil toru s energi E v intervalu (x x + dx)? Co pot ebujeme zn t, cceme-li ten

Transkript

1 Kvantov mecanika { cvi en s n vody a v sledky Ladislav Hlavat, text n vod Libor nobl September 9, 003 N vody zde uveden jsou z m rn uv d ny ve stru n form, jako n pov da a vod tko, jak p i e en lo postupovat nep edstavuj a nenarazuj detailn popis e en vy adovan p i cvi en c. Obzvl t nejsou explicitn rozepisov ny v po ty integr l apod. V n kter c jednoduc c p kladec jen vod narazen pouze v sledkem. Uv t m jak koliv koment e a upozorn n na mo n cyby a p eklepy (kontaktujte m em na adrese Libor.Snobl@fj.cvut.cz). Cvi en Napi te rozd lovac funkci Gaussova pravd podobnostn o rozd len. Interpretujte v znam jej c parametr. Vypo tejte jeo momenty. Napi te vzorec pro I(n a b) := Z ; (Zapamatujte si jej pro n=0,,!) N vod: Rozd lovac funkce x n e ;ax +bx dx n Z a b C Re a>0: (x) =Ne ; (x;) Normalizace: R ; (x)dx = N p =, tj. N = p (k v po tu integr lu je R vodn po tat jeo kvadr t ( ; exp(;y )dy) p ecodem do pol rn c sou adnic) Momenty: denice (x ; ) n i = N Z V sledky se li pro n lic, resp. sud : Hledan vzorec: I(n a b) := ; (x ; ) n e ; (x;) = R ; R ; exp(;y ; z )dydz dx (x ; ) n+ i =0 (x ; ) n i = n (n ; )!! Z ; x n e ;ax +bx dx = e b 4a [ n ] X j=0 ( b p n! a )n;j (n ; j)!j! j a j+

2 Cvi en Jak je ustota pravd podobnosti nalezen klasick o jednorozm rn o oscil toru s energi E v intervalu (x x + dx)? Co pot ebujeme zn t, cceme-li tento pravd podobnostn v rok zm nit v deterministickou p edpov? N vod: (x)dx = doba str ven v intervalux x+dxi p lperioda = R E je vodn si ov it normalizaci ; m! dx jv(x)j = p dx = T=! (E;V (x))=m dx, E m! ;x (x)dx =. K deterministick p edpov di E m! pot ebujeme zn t polou (nebo ryclost i ybnost) v jednom asov m okam iku (tj. po te n podm nku). Cvi en 3 Popi te jednorozm rn armonick oscil tor Hamiltonovskou formulac klasick mecaniky. Napi te a vy e te poybov rovnice. Napi te rovnici pro f zov trajektorie. Hodnotou jak fyzik ln veli iny jsou ur eny? N vod: H(p ) = ( p m + m! ) Poybov rovnice tj. _ _p _ = p m _p = ;m! e en : (t) =A sin(!t + ), p(t) =A!m cos(!t + ), Rovnice pro f zov trajektorie { z sk me vylou en m asu z poybov c rovnic, jsou ur eny odnotou energie p A! m + A = Cvi en 4 Spo t te carakteristickou dobu ivota elektronu v atomu vod ku pokud jej pova ujeme za klasickou stici poybuj c se po kruov dr ze o (Borov ) polom ru a 0 ;0 m. (viz skripta toll, Tolar Teoretick fyzika, p klad 9.5) N vod: viz skripta toll, Tolar Teoretick fyzika, p klad 9.5 Cvi en 5 Nec statistick rozd lovac funkce stav klasick o mecanick o oscil toru je d na Gibbsovou formul Spo t te st edn odnotu energie. P = a e ; E kt :

3 N vod: Energie mecanick o oscil toru E :(p ) 7! (p m + m! ) Normalizace: R ; R ; ae kt ( p m +m! ) dp d =,tj. a =! kt St edn odnota energie: Z ; Z ; a (p m + m! )e kt ( p m +m! ) dp d = kt Cvi en 6 Jakou vlnovou d lku m elektromagnetick z en, jeo zdrojem je elektron { pozitronov aniilace v klidu? e + + e ;! + N vod: Ze z kona zacov n energie je energie fotonu rovna E = m e c = 0:5MeV, vlnov d lka pak je = c = c m ec =0:40 ; m: Cvi en 7 Ur ete vlnovou d lku a frekvenci de Broglieovy vlny pro molekulu kysl ku ve vzducu va eo pokoje a pro stici o motnosti 0 g poybuj c se ryclost zvuku. N vod: Kysl k: E = 3 kt _=6 0; J (T = 300K) p = p m O E = ::: z de Broglieo vzta pak plyne = p = 58 0; m. stice: obdobn = 0 ;8 m. Cvi en 8 Podle de Broglieovy ypot zy ur ete oyb zp soben pr letem tenisov o m ku (m =0: kg) ryclost 0,5 m/s obd ln kovit m otvorem ve zdi orozm rec :5 m. N vod: Z Vln n, optiky...jezn mo _==L, kdelje ka t rbiny, po dosazen :30 ;3 rad, resp. 90 ;33 rad. Cvi en 9 Na jakou ryclost je t eba uryclit elektrony aby bylo mo no pozorovat jejic difrakci na krystalov m i s carakteristickou vzd lenost atom 0. nm? N vod: Z podm nky _=0 nm nalezneme p ibli n v = ms ;. Cvi en 0 Nec V (~x) = 0 (voln stice). Pomoc Fourierovy transformace ur ete e en Scr dingerovy rovnice, kter v ase t 0 m tvar kde Re A>0 ~ B C3 C C. (~x t 0 )=g(~x) =C exp[;ax + ~B~x] () 3

4 N vod: P i e en pou v me Fourierovu transformaci (FT) (~x t) = R R R ; e i~p~x ~ (~p t)d3 ~p a rozklad vlnov funkce na sou in vlnov c funkc z visej c c na jednotliv c kart zsk c sou adnic c (~x t) = (x t) (y t) 3 (z t). Postupn nalezneme zp tnou FT po te n podm nky pak asov v voj ~ j(p j t) ~ j (p j t)= ~ j(p j t 0 )e ; i akone n op t pomoc FT kde (t) =+ ia m (t ; t 0). ~ j (p j t 0 )= C r =3 A e (B j ; i p j ) 4A p j (t;t 0 ) m = C r =3 A e (B j ; i p j ) 4A (~x t) =C(t) ;3= e ~ B 4A e ;A [~x; ~B=(A)] (t) e ; i p j (t;t 0 ) Cvi en Nec (x y z t) je e en m Scr dingerovy rovnice pro volnou stici. Uka te, e ~ (x y z t) := exp[;i Mg (zt + gt3 =6)] (x y z + gt = t) je e en m Scr dingerovy rovnice pro stici v omogenn m poli se zryclen m g. N vod: Dosa te do Scr dingerovy rovnice a prove te asovou derivaci. Cvi en emu je m rn pravd podobnost nalezen stice popsan de Broglieovou vlnou ~p E(~x t) =Ae i (~p~x;et) () v oblasti (x x ) (y y ) (z z )? N vod: Proto e j (~x t)j = jaj = konst:, je pravd podobnost nalezen stice popsan de Broglieovou vlnou m rn objemu uva ovan oblasti. Cvi en 3 emu je m rn ustota pravd podobnosti pro e en (~x t) =C(t) ;3= e ~ B 4A e ;A [~x; ~B=(A)] m (t) (3) (t) =+ ia m (t ; t 0) z p kladu 0 pro A>0? Jak se m n poloa jej o maxima s asem? emu je rovna jej st edn kvadratick odcylka? Jak se m n s asem? Za jak dlouo se zdvojn sob " ka" vlnov o bal ku pro elektron lokalisovan s p esnost cm a pro motn bod o mot gram jeo t i t je lokalisov no s p esnost 0 ;6 m? 4

5 4A e ;A [~x; ~B=(A)] (t) N vod: Je zapot eb po tat j (x t)j B je ~ j (nezaj m n s asov v voj normalizace, i v dal m po t n je vodn vynec vat celkov faktory nez visej c na x). Odvo te si a vyu ijte je z j = e <z. Pro ur en st edn kvadratick odcylky atd. porovnejte v sledek s tvarem Gaussovy rozd lovac funkce a najdete ~x 0 = < ~B A + = ~B m t (t) = +4 A m (t ; t 0 ) 4A Zdvojn soben : pro elektron cca 3s, pro motn bodcca 0 let. Cvi en 4 Jak je pravd podobnost nalezen elektronu vod kov o obalu ve vzd lenosti (r r+ dr) od j dra, je-li pops n (v ase t 0 ) funkc g(x y z) =Ae ;p x +y +z =a 0 kde a 0 =0:53 0 ;8 cm je tzv. Bor v polom r? N vod: P eve te do sf rick c sou adnic (nezapome te, e nesta jen p epsat vzorec pro ustotu prav podobnosti, tak tam p isp je Jakobi n transformace), pak integrujte p es lov prom nn. V sledek je m rn r e ; r a, nakreslete si graf. Cvi en 5 Nalezn te vlastn odnoty energie kvantov stice poybuj c se v jednorozm rn konstantn "nekone n lubok potenci lov j m " t.j. v potenci lu V (x) =0pro jxj <aa V (x) = pro jxj >a. N vod: P edpokl dejte, e vlnov funkce jsou v ude spojit a nulov pro jxj a. N vod: Uvnit \j my" m vlnov funkce tvar vlnov funkce pro volnou stici. Z podm nek na okraj c (;a) = 0 = (a) dost v me soustavu omogenn c rovnic, po adavek nulovosti jej o determinantu d v rovnici pro energii, v sledek je E = k 8ma k N. Cvi en 6 Nalezn te vlastn odnoty energie kvantov stice poybuj c se v jednorozm rn konstantn potenci lov j m t.j. v potenci lu V (x) = ;V 0 < 0 pro jxj <aa V (x) =0pro jxj >a. N vod: P edpokl dejte, e vlnov funkce jsou spojit a maj spojit derivace pro x R. N vod: Nejprve siuka te, e pro potenci ly ve tvaru sud funkce lze z libovoln vlastn funkce Hamiltoni nu (x) sestavit (ne nezbytn r znou) vlastn funkci (;x) aodvo te, e vlastn funkce lze v tomto p pad volit sud a lic. Vyu ijte podm nek nav z n (spojitost a spojitost. derivac ) vlnov c funkc pro volnou stici v bod x = a (t m je d ky symetrii spln na i podm nka v x = ;a, jinak : 5

6 bycom m li 4rovnice pro 4konstanty) a op t po adujte nulovost determinantu p slu n omogenn soustavy. V sledkem jsou vztay resp. ; mjej mjej = = m(e + V 0 ) ty je nutno e it gracky. tan( m(e + V 0 ) cotg( m(e + V 0 ) a) (sud p pad) m(e + V 0 ) a) (lic p pad) Cvi en 7 Najd te ortonorm ln basi v C, jej prvky jsou vlastn mi vektory matice! := 0 0 V sledek: Vlastn sla, normalizovan vlastn vektory ~x = p ~x ; = p!. Cvi en 8 Uka te, e Hermitovy polynomy lze denovat t zp sobem!, N vod: Uka te e prav strana (4) spl uje rovnici H n (z) :=(;) n e z ( d dz )n e ;z (4) u" =zu 0 ; nu (5) N vod: Po dosazen zadan o tvaru H n (z) dou" =zu 0 ; nu vyu ijte vodn Lebnizova pravidla na (n + )-n derivaci sou inu z:e ;z (= ; d ) a upravte. dz e;z Sodnost denic pak plyne z v ty o jednozna nosti e en diferenci ln c rovnic (je t porovnejte koecient u nejvy mocniny z, abybylo zaru eno spln n stejn po te n podm nky). Cvi en 9 Uka te, e X n=0 H n (x) n = exp[x ; (x ; ) ] n! N vod: Ov te, e (;) n e x ( d dx )n e n exp[x ; (x ; ) ]j =0 8n. 6

7 Cvi en 0 Pou it m vytvo uj c funkce ze cvi en 9 uka te, e Z H n(x)h m (x)e ;x dx = n n! = nm : ; Uka te, e odtud plyne ortonormalita vlastn c funkc armonick o oscil toru. N vod: R ; H n (x)h m (x)e ;x m p e j =0 m R ; e x ;(x;) e x ;(x;) e ;x dxj =0 = Cvi en Jak je ustota pravd podobnosti nalezen kvantov o jednorozm rn o oscil toru s energi!(n+ ) v bod x? Spo tejte a nakreslete grafy t to ustoty pro n =0 ::: a srovnejte je s ustototu pravd podobnosti v skytu klasick o oscil toru v dan m m st. V sledek: n =0: j 0 (x)j = ja 0 j e ;, n =: j (x)j =4jA j e ;, n =: j (x)j =4jA j ( ; ) e ;. V grafec je po et maxim roven stupni p slu n o Hermiteova polynomu +. Cvi en Spo tejte komut tory [L j X k ] [L j P k ] [L j L k ] (6) kde ^L j := jkl ^X k ^P l (7) V sledek: [L j X k ] = i jkl ^X l, [L j P k ] = i jkl ^P l, [L j L k ] = i jkl^l l, tj. oper tory ^~X ^~P ^~L jsou tzv. vektorov oper tory (kvantov analogie vektor ~x ~p ~ l, tj. objekt se spr vn mi transforma n mi vlastnostmi vzledem ke grup rotac prostoru SO(3)). Cvi en 3 Uka te, e vz jemn komutuj oper tory ^P =m + V (j~xj) ^L 3 ^L z a ^L := ^L x + ^L y + ^L z (8) N vod: P ejd te do sf rick c sou adnic. Cvi en 4 Jak vypadaj oper tory ^X j ^P j ^L j j = 3 x y z ve sf rick c sou adnic c? 7

8 N vod: Oper tory ^X j vzniknou dosazen m denice sf rick c sou adnic, nap. ^X = r cos sin. Pro v po et oper tor ^P j je vodn vyu t pravidla pro derivaci slo en funkce + a dosadit @x j j denice sf rick c sou adnic. V sledek je ^P = ; sin @ ^P 3 ; sin r + cos @ ) ^P = ::: v sledky pro ^L j jsou uvedeny ve \slabik i". Nezapom nejte na spr vn postup p i skl d n oper tor x ; id x), pro n zornost si konci v ec oper torov c identit p edstavit vlnovou funkci, a pak postupovat jako p i derivov n slo en funkce. Cvi en 5 "Kvantov tu t leso" (nap. dvouatomov molekula) s momentem setrva nosti I z voln rotuje v rovin. Najd te jej mo n odnoty energie. N vod: H = ; d I z d (viz princip korespondence a klasickou kinetickou energii I Z _ ). e en m stacion rn Scr dingerovy rovnice nalezneme e en ve tvaru () =Ae i + Be ;i = ::: a z po adavku jednozna nosti () = ( +) najdeme mo n odnoty energie E m = m I z m Z. Cvi en 6 S pou it m vzorc pro jednotliv slo ky momentu ybnosti uka te, e oper tor ^L m ve sf rick c sou adnic c tvar ^L = ; + sin N vod: Nau te se skl dat (n sobit) )] Cvi en 7 Odvo te pravd podobnosti nalezen stice v dan m prostorov m lu pro stavy s p d. V sledek: l =0: l =: jy 0 0 j = C 0 0 jy ; j = C ; sin (), jy 0 j = C 0 cos (), jy j = C sin (), l =: jy ; j = C ; sin 4 (), jy ; j = C ; sin () cos (), jy 0 j = C 0 ( 3 cos () ; ), jy j = C sin () cos (), jy j = C sin 4 () Nakreslete si grafy (nejl pe trojrozm rn na po ta i). 8

9 Cvi en 8 Napi te v ecny vlnov funkce armonick o oscil toru pro stavy s energiemi 3=!, 5=! a 7=!. V sledek: Nezapome te na degeneraci energie, v sledek lze zapsat r zn mi zp soby, nap. jako sou in vlastn c funkc jednorozm rn o oscil toru nebo pomoc vlastn c funkc ^H ^L ^L z. Cvi en 9 Napi te oper tor ^L a ^L 3. vyj d en pomoc posunovac c oper tor ^L V sledek: ^L = ^L + ^L ; + ^L 3 ; ^L 3 = ^L ; ^L + + ^L 3 + ^L 3 Cvi en 30 Posunovac oper tory momentu ybnosti p sob na kulov funkce zp sobem ^L Y lm = lmy l m (0) Spo tejte koecienty lm N vod: Snadno lze nal zt s vyu it m p edcoz o cvi en j lmj (oblo te p edcoz v sledek (Y lm a Y lm ) a uv domte si, e kulov funkce jsou vlastn funkce ^L, L 3 ). V sledek je j + lm j = [l(l +); m(m + )] j ; lm j = [l(l +); m(m ; )]: F ze lm neplyne z algebry oper tor, z vis na konkr tn volb f z Y l m, pro standartn volbu uvedenou ve \slabik i" jsou lm re ln. Cvi en 3 Krea n a aniila n oper tory p sob na vlastn funkce oper toru energie armonick o oscil toru zp sobem Spo tejte koecienty n. â n = n n () N vod: Oblo te ^H =!(â ;â + ; ), resp. ^H =!(â +â ; + ) vlastn funkc armonick o oscil toru (obdobn jako v p edcoz m cvi en ), v sledek: + n = p n + ; n = p n: Oledn f ze plat stejn koment jako v e. Cvi en 3 Uka te, e pro krea n a aniila n oper tory energie armonick o oscil toru plat â +â ; n = n n N vod: Vyu ijte ^H =!(â +â ; + ). 9

10 Cvi en 33 Spo t te st edn odnoty slo ek ybnosti kvantov stice v Coulombov poli s energi ; MQ a nulov m momentem ybnosti (elektron v atomu vod ku ve stavu s). N vod: Vyu ijte tvar ^P i ve sf rick c sou adnic c (viz cvi en 4) a spo tejte ^P i i = ( ^P i )=( ). V sledek je ^P i i = 0 (jak lze ostatn o ek vat ze symetrie vlnov funkce). Cvi en 34 Spo t te st edn odnoty slo ek poloy kvantov stice popsan vlnovou funkc (). V sledek: ^X i i = <B i <A Cvi en 35 Spo t te st edn odnoty slo ek ybnosti kvantov stice popsan vlnovou funkc (). Napi te tvar vlnov funkce () popisuj c vlnov bal k se st edn odnotou ybnosti ~p 0, kter m v ase t 0 st edn odnotu poloy ~x 0. V sledek: ^P i i = ;i(b i ; A <B i <A ) AR = =B i Vlnov bal k: kde ~B =A~x 0 + i ~p 0. (x t) =C(t) ; 3 e ; ~ B 4A e ;A (~x; ~B (t) Cvi en 36 Ur ete pravd podobnost nalezen ybnosti stice popsan vlnovou funkc (x) =Ce ;~x +ix () v intervalu (a b ) (a b ) (a 3 b 3 ). Ur ete ustotu pravd podobnosti nalezen ybnosti v okol odnoty ~p 0. A ) V sledek: Ozn. J =(a b ) (a b ) (a 3 b 3 ), ~ k =( 0 0) P ~pj = ~p ~k; RJ ( e; ) d 3 ~p ( p ) 3 : Cvi en 37 Nec "jednorozm rn " stice s motou M v potenci lu armonick o oscil toru s vlastn frekvenc! = =M je ve stavu popsan m vlnovou funkc +ix (x) =Ce ;x (3) S jakou pravd podobnost nam me odnoty jej energie rovn! resp.!, 3!? N vod: S vyu it m znalosti vlastn c funkc armonick o oscil toru a denice pravd podobnosti p ecodu do p sl. vlastn c stav lze snadno spo tat P E= p 3 e; 3 P E= 3 p! = 4 7 e; 3 energii! nelze nam it (nen ve spektru). 0! =

11 Cvi en 38 Nec stice s motou M v potenci lu armonick o oscil toru s vlastn frekvenc! ==M je ve stavu popsan m vlnovou funkc (x) =Ce ;~x +ix (4) S jakou pravd podobnost nam me odnoty jej energie rovn 5!? N vod: Nezapome te, e energie 5! t rozm rn o armonick o oscil toru je degenerovan, mus te spo tat pravd podobnosti p ecodu do jednotliv c ortogon ln c vlastn c stav p slu n c k t to energii a pak je se st. V sledn pravd podobnost: e ; p Cvi en 39 Nec stice je ve stavu popsan m vlnovou funkc =(4) ;= (e i sin +cos)g(r) (5) Jak odnoty L z m eme nam it a s jakou pravd podobnost? Jak je st edn odnota L z v tomto stavu? N vod: Uv domte si, e vlastn funkce ^L ^L z maj tvar f(r)y lm ( ) pro libovolnou funkci f(r). Lze tedy uva ovat nap klad f(r) = g(r). V sledek: P = P 3 0 =, ostatn pravd podobnosti pak mus b t rovny nule. Lze nam it 3 L z =0 L z =. St edn odnota L z je. 3 Cvi en 40 Nec stice je pops na vlnovou funkc =(x + y +z)exp(; x + y + z ) Jak je pravd podobnost nalezen stice v prostorov m lu ( + d) ( + d), kde jsou pol rn, respektive azimut ln el? Jak odnoty kvadr tu momentu ybnosti m eme nam it? Jak je st edn odnota z-ov slo ky momentu ybnosti? Jak je pravd podobnost nam en z-ov slo ky momentu ybnosti L z =+? N vod: zapi te pomoc kulov c funkc. N vod: P eve te vlnovou funkci do sf rick c sou adnic. Pravd podobnost nalezen v prostorov m lu d lze pak snadno nal zt P d = K(sin cos + sin sin + cos ) d = K sin (sin cos +sin sin + cos ) dd (K = 8 ): Pro dal v po et rozlo te do kulov c funkc (uka te, e je line rn kombinac Y ; Y 0 a Y ), je tedy vlastn m vektorem kvadr tu momentu ybnosti p slu n m l =, d le dopo tejte st edn odnotu z-ov slo ky momentu ybnosti (v sledek je 0) a pravd podobnost nam en z-ov slo ky momentu ybnosti L z =+ (v sledek je ). 6

12 Cvi en 4 Spo t te st edn kvadratick odcylky slo ek poloy a ybnosti kvantov stice p i m en na stavu popsan m vlnovou funkc (), kde A>0. Uka te, e pro tento stav plat (X k ) (P k )== (6) N vod: Spo tejte ^X j i = <B j A, ^X j i = (<B j ) +A a po dosazen do pat i n o 4A vzorce ( ^X j )= 4A. Obdobn najdete ( ^P j )= p A. Cvi en 4 Uka te, e v jednorozm rn m p pad podm nka [ Â; < Â > ;i( ^B; < ^B > )] =0 (7) pro oper tory Â = ^X ^B = ^P je integrodiferenci ln rovnic, jej mi jedin mi e en mi jsou funkce g(x) =C exp[;ax + Bx] kter jsme nazvali minim ln vlnov bal ky. N vod: Prozat m si ozna te ^Xi = x ^P i = p a najd te e en pat i n diferenci ln rovnice x ; x ; p ) =0: Na z v r ur ete vzta mezi, integra n konstantou a x p nalezen m st edn c polo ^Xi, ^P i a jejic porovn n m s x p (m ete vyu t v sledek cvi en 34, 35). Cvi en 43 Nec Hamiltoni n kvantov o syst mu m ist bodov spektrum. Na syst mu byla nam ena odnota a pozorovateln A, kter m ist bodov spektrum a a je nedegenerovan vlastn odnota. Jak je pravd podobnost, e nam me stejnou odnotu, budeme-li m en opakovat po ase t? N vod: Rozlo me{li a = (0) = P k c k k, kde k jsou vlastn funkce amiltoni nu odpov daj c energii E k, pak s vyu it m znalosti asov o v voje vlastn c funkc amiltoni nu najdeme P A=a (t) =j( (0) (t))j = j X k jc k j e ; i E kt j = X j k jc k j jc j j e ; i (E k;e j )t : Cvi en 44 Nec stice moty M v jednorozm rn nekone n lubok potenci lov j m ky a je v ase t =0pops na vlnovou funkc, (kter je superposic stacion rn c stav ) (x 0) = 0 pro jxj >a (x 0) = sin[ a (x ; a)] + sin[ (x ; a)] pro jxj <a: a Jak je pravd podobnost, e stice se v ase t = 0 a t = 8Ma intervalu (-a,0)? bude nac zet v

13 N vod: V p pad superpozice stacion rn c stav snadno naleznete asov v voj, pak sta prointegrovat j j p es (;a 0) a normovat. V sledek: t =0:::P 0 = ;8+3 6, t = 8Ma :::P = : Cvi en 45 Nec jednorozm rn stice v poli armonick o oscil toru je v ase t =0ve stavu (x 0) = A 0 + B kde A B R n vlastn stavy energie normalizovan k. V jak m stavu je v libovoln m ase t>0? N vod: Z st v superpozic stav 0, ur ete asov v voj koecient line rn kombinace. Cvi en 46 Uka te jak z vis na ase st edn kvadratick odcylka sou adnice jednorozm rn o armonick o oscil toru. N vod: Jeden z mo n c postup je n sleduj c : vyjd te z vyj d en = c k (t)â k +jvaci a najd te (jednoduc ) asov v voj c k (t). Pak vyj d ete ^X ^X pomoc â a po prav c (s vyu it m â k ;jvaci = 0 vacjâ k + = 0) naleznete ( (A)) = K e i!t + K + K 3 e ;i!t, kde K K K 3 jsou konstanty z visl na po te n c podm nk c c k (0). Obecn lze tedy c, e ( (A)) vyovuje diferenci ln rovnici f ! f 0 =0: Cvi en 47 Nalezn te oper tor ryclosti pro stici v elektromagnetick m poli. N vod: ^_~Q = i [ ^H ^~Q] = :::, v sledek odpov d dle principu korespondence (nikoliv p ekvapiv ) v sledku v klasick mecanice. Cvi en 48 Uka te, e vlastn sla oper toru ^~ ~ B jsou 0 j ~ Bj. Najd te vlastn funkce. N vod: Vyu ijte too, e po nalezen vlastn c sel ji v te, e rovnice pro odpov daj c vlastn vektory m netrivi ln e en, tj. dky matice soustavy jsou line rn z visl a t m p dem ne e te soustavu, ale jednu rovnici pro nezn m konstanty. Cvi en 49 Uka te e ^~S = 3 4. Porovnejte tento v sledek s ^~L. V sledek: Odpov daj c l pro spin je, tj. spin elektronu je \polo seln ". 3

14 Cvi en 50 Nec pro volnou stici se spinem je nam ena odnota z{ov slo ky spinu s z ==. Jestli e vz p t m me odnotu spinu ve sm ru, kter se z{ovou osou sv r el, jak m eme nam it odnoty a s jakou pravd podobnost? N vod: Najd te si n jak oper tor spinu sv raj c o se z{ovou osou el (nap. (cos() 3 + sin() ) ), p slu n pravd podobnosti z sk te pat i n mi skal rn my sou iny vlastn c vektor, v sledky: P (+ )= cos +, P (; )= ; cos +. Cvi en 5 Uva ujte syst m (tzv. supersymetrick armonick oscil tor) popsan na Hilbertovu prostoru L (R dx) C amiltoni nem D le je d n oper tor ^H = ; m + m! x +! 3: ^Q = p m ( ^P + i!m 3 ^X): Nalezn te ^Q y, ^Q, [ ^H ^Q] a v sledky vyj d ete pomoc oper tor ^H, ^Q. Jak omezen lze vyvodit z t cto relac na spektrum amiltoni nu ( tj. zda je sora i zdola omezen a m )? ( Posta uva ovat bodovou st spektra. ) N vod: ^Q y = ^Q ^Q = ^H [ ^H ^Q] = 0. vztau ^H =^Q y ^Q (pozitivn oper tor). Omezen na spektrum z sk me ze Cvi en 5 stice se spinem = je um st na v konstantn m magnetick m poli sm uj c m m ve sm ru osy x. V ase t = 0 byla nam ena odnota jej z-ov slo ky spinu +=. S jakou pravd podobnost nalezneme v libovoln m dal m ase odnotu jej y-ov slo ky spinu +=? V sledek: P Sy= = cos( Bxt Bxt ) + sin( ) : Cvi en 53 Uka te, e pokud v raz exp[i~a ~] denujeme pomoc ady exp[i~a ~] := X n=0 (i~a ~) n (8) n! pak plat ~a ~ exp[i~a ~] =cos(j~aj)+i sin(j~aj) (9) j~aj N vod: Spo t te nejprve (~a ~) a pov imn te si, e je to n sobek jednotkov matice, pak sumu rozd lte na sou et p es sud a lic indexy. 4

15 Cvi en 54 Napi te vlnovou funkci (~x ) z kladn o stavu stice v poli Coulombova potenci lu s odnotou z{ov, resp. x{ov, resp. y{ov slo ky spinu rovn =. N vod: Proto e ^H je ve spinov m prostoru diagon ln, bude m t z kladn stav stejnou energii, jako! kdy spin neuva ujeme, a odpov daj c vlastn vektor m e ; a r tvar = e ; a r. Konstanty ur me tak, aby to byl sou asn vlastn vektor odpov daj c slo ky spinu. Cvi en 55 Najd te energie a vlastn funkce z kladn o a prvn o excitovan o stavu dvou nerozli iteln c stic se spinem 0, respektive v poli armonick o oscil toru. V sledek: Spin 0:. z kladn stav E =3!, nedegenerovan.. excitovan stav E =4!, 3 line rn nez visl stavy Spin :. z kladn stav E =3!, nedegenerovan.. excitovan stav E =4!, line rn nez visl c stav Cvi en 56 Atom ul ku m ty i valen n elektrony (p esv d te se). M eme na n j tedy nal et jako na syst m ty elektron ve sf ricky symetrick m poli. Jak je pak degenerace jeo z kladn o stavu? V sledek: 5. Cvi en 57 Najd te v. du porucov teorie energii z kladn o stavu atomu elia. N vod: Neporu en syst m ::: elektrony v poli j dra, poruca ::: elektrostatick interakce mezi elektrony ^H 0 =~e =j~x () ; ~x () j, z kladn stav neporu en o ^H 0 (zd vodn te a ov te normalizaci) (~x () ~x () () () )= p () 0 (~x () () ) (;) 0 (~x () () ) ; (~x () () ) $ (~x () () ) kde () 0 (~x ) = ;= (Z=a) 3= exp(;zr=a) = : 5

16 P i v po tu E () 0 = j ^H 0 ji vyu ijte (viz Form nek: vod do kvantov teorie) a j~x ; ~yj = R X l=0 P 0 l (~n ~n )= ( r R )l P 0 (cos ) l 4 l + lx m=;l r<r r= j~xj R = j~yj ~x~y = rr cos Y lm (~n )Y lm (~n ) 8~n j : j~n j j =: Integr ly pro m 6= 0, resp. l 6= 0 vymiz (pro?), zb v prov st trivi ln integraci p es ly aperpartes v r r. V sledek: E () 0 = 5~e 4a E 0 = E (0) 0 + E () 0 + :::';74 8eV: 6