Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
|
|
- Rudolf Marek
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky V této kapitole dáme biostatistiku do kontextu s teorií pravděpodobnosti, z níž biostatistika společně se statistikou vycházeí Cílem e zavést důležité pomy ako sou podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec a ukázat, že s pomocí ednoduchých výpočtů lze řešit i biologicky a klinicky významné problémy Předpokládané výstupy z výuky: 1 Student umí definovat biostatistiku a eí vztah ke statistice, pravděpodobnosti a analýze dat 2 Student zvládá výpočet podmíněné pravděpodobnosti a Bayesova vzorce 3 Student rozumí významu podmíněné pravděpodobnosti v hodnocení statistických hypotéz 4 Student e schopen vypočítat hodnoty senzitivity a specificity a prediktivní hodnoty pro diagnostický test 5 Student umí aplikovat výpočet prediktivních hodnot v populacích s různou prevalencí sledované nemoci 1 Úvod Jak iž bylo řečeno v úvodní kapitole, biostatistika e vědní disciplínou, která primárně vychází ze statistiky, nicméně eich hranice nesou ostré Biostatistika e navíc často zaměňována s analýzou dat, se kterou může mít společný cíl a někdy i metodiku Rozdíly mezi těmito třemi oblastmi lze shrnout následovně: Statistika (statistics) e primárně zaměřena na teoretické aspekty, respektive na vývo metod a algoritmů Nicméně i vývo ve statistice byl a e motivován reálnými problémy, cílem e však zeména eich adekvátní teoretické řešení Statistika navíc zásadně souvisí s teorií pravděpodobnosti Rozdíl mezi nimi e však v předpokládaných vstupech a výstupech Zatímco cílem statistiky e získání informace o cílové populaci na základě pozorovaného experimentálního vzorku, v teorii pravděpodobnosti se ptáme na pravděpodobnost získání konkrétního možného výsledku, známe-li danou strukturu cílové populace Biostatistika (biostatistics) představue propoení znalosti statistických metod a dané problematiky v řešení biologických a klinických úloh Biostatistika také zahrnue metodický vývo, nicméně vždy e primárně orientována na řešení konkrétního biologického a medicínského problému, e tedy zaměřena převážně prakticky Analýza dat (data analysis) e velmi obecná oblast, která nemusí být nutně spoována se statistickými metodami a která prostupue různými odvětvími Zahrnue komplexní postupy pro získávání informací z dat, včetně eich zpracování a přípravy, tedy čištění dat, analýzu odlehlých pozorování a kódování dat Metody analýzy dat mohou i nemusí mít matematický základ, často se např setkáváme v analýze dat s metodami a algoritmy dolování dat
2 2 Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Jedním ze základních konceptů v biostatistice, který ednoznačně propoue teorii pravděpodobnosti, statistiku a biostatistiku, e podmíněná pravděpodobnost, která, ak už název napovídá, vyadřue pravděpodobnost ednoho evu za podmínky nastání evu druhého Praktické ukázce použití podmíněné pravděpodobnosti v biostatistice se věnue další část této kapitoly o vyhodnocování diagnostických testů Abychom však mohli definovat podmíněnou pravděpodobnost, uvažume dva evy A a B s tím, že ev B má nenulovou pravděpodobnost, tedy > 0 Pak podmíněnou pravděpodobnost evu A za podmínky nastoupení evu B definueme vztahem A A = (21) S pomem podmíněná pravděpodobnost úzce souvisí i další důležité pomy, ako sou nezávislost dvou evů a Bayesův vzorec (Bayes formula) Nezávislostí dvou evů ednoduše myslíme skutečnost, kdy výsledek příznivý pro eden z evů niak neovlivňue pravděpodobnost nastání evu druhého Výpočetně to znamená, že pravděpodobnost společného nastoupení obou evů, opět řekněme označených A a B, lze získat pomocí součinu ednotlivých pravděpodobností Pro nezávislé evy A a B tedy platí P ( A = S použitím tohoto vztahu, respektive eho dosazením do (21) lze nezávislost mezi evy A a B vyádřit následovně: P ( A = = (22) Zaměníme-li ve vztahu (21) evy A a B, budeme-li tedy chtít vyádřit pravděpodobnost evu B za podmínky nastoupení evu A, dostaneme výraz, kde v čitateli bude opět figurovat pravděpodobnost společného nastoupení evů A a B, tedy A Pravděpodobnost A následně vyádříme s pomocí vztahu (21) ako P ( A = A, což vede ke vztahu, který e označován ako Bayesův vzorec: A A P ( B = = (23) Tento výraz lze dále rozvést vyádřením pravděpodobnosti evu A,, s pomocí matematické věty o celkové pravděpodobnosti, která má v případě, že máme úplný systém dvou evů, označme e B a C, tvar P ( = A + A C) C) Využití věty o celkové pravděpodobnosti vede k vyádření Bayesova vzorce ve tvaru A B = (24) A + A C) C) V biostatistice se nečastěi setkáváme se situací, kdy evy B a C představuí dvě navzáem se vylučuící hypotézy (vždy e v platnosti pouze edna z těchto hypotéz), což sou tvrzení, že
3 něco existue/neexistue, platí/neplatí, případně že se něco rovná/nerovná Jev A pak představue něaký výsledek experimentu, nečastěi v podobě dat, na ehož základě se rozhodueme, zda platí spíše hypotéza B nebo C Logicky se tedy snažíme kvantifikovat pravděpodobnosti P ( B a P ( C Můžeme-li rozdělit základní prostor dokonce na k po dvou disunktních podmnožin tzv systém hypotéz (H i, i = 1,, k), pro které opět platí, že eich sednocením e celý základní prostor, pak pravděpodobnost platnosti konkrétní z nich, např hypotézy H, za podmínky nastání evu A lze pomocí Bayesova vzorce získat ako A H ) A H ) H ) H = = k A H ) H ) i= 1 i i (25) 3 Senzitivita, specificita a prediktivní hodnoty Neběžněší situací, při níž se setkáváme s ednoduchou aplikací podmíněné pravděpodobnosti, e statistické hodnocení správnosti diagnostických testů, kdy sou diagnostické schopnosti testu validovány proti skutečně verifikovanému stavu testovaných osob Srovnáváme tedy výsledky testu (pozitivní/negativní) proti skutečně prokazatelné přítomnosti/nepřítomnosti nemoci Pro tuto situaci byla navržena sada ukazatelů správnosti, které představuí číselné ohodnocení testu ve vztahu k eho chybovosti [1] Definici těchto ukazatelů provedeme na základě značení, v němž proti sobě sumarizueme výsledky diagnostického testu, pozitivní výsledek (označen ako A + ) a negativní výsledek (označen ako A - ), a skutečnou přítomnost nemoci, nemoc přítomna (označeno ako H + ) a nemoc nepřítomna (označeno ako H - ) Kvantifikovat skutečnou přítomnost onemocnění není vždy ednoduché, zde však tento fakt budeme považovat za bernou minci Prvními dvěma ukazateli správnosti testu sou tzv senzitivita testu a specificita testu, které definueme pomocí podmíněné pravděpodobnosti následovně: senzitivita testu (test sensitivity) e eho schopnost rozpoznat skutečně nemocné osoby, tedy pravděpodobnost, že test bude pozitivní, když e osoba skutečně nemocná; specificita testu (test specificity) e eho schopnost rozpoznat osoby bez nemoci, tedy pravděpodobnost, že test bude negativní, když osoba není nemocná Pomocí výše zavedeného značení definueme senzitivitu a specificitu ako Senzitivita: P ( A H ) = a /( a + c), Specificita: P ( A H ) = d /( b + d) (26) Druhými dvěma ukazateli sou tzv prediktivní hodnoty, které také definueme pomocí podmíněné pravděpodobnosti: prediktivní hodnota pozitivního testu (predictive value of positive test) e pravděpodobnost, že osoba e skutečně nemocná, když test vyde ako pozitivní; a naopak prediktivní hodnota negativního testu (predictive value of negative test) e pravděpodobnost, že osoba skutečně není nemocná, když eí test vyde ako negativní Pomocí výše zavedeného značení definueme prediktivní hodnoty ako Prediktivní hodnota pozitivního testu: a /( a + b), Prediktivní hodnota negativního testu: d /( c + d) (27)
4 Příklad 1 Hodnotíme přesnost vyšetření ater ultrazvukem, respektive schopnost vyšetření ultrazvukem identifikovat postižené ložisko v pacientových átrech Přesnost e vztažena k laboratornímu ověření odebrané tkáně Výsledky sou dány tabulkou 1 Tabulka 1 Sumarizace výsledků ultrazvukového vyšetření ater vzhledem k laboratornímu ověření Výsledek ultrazvuku Histologické ověření postižení ater Ložisko přítomno (H + ) Ložisko nepřítomno (H - ) Celkem Pozitivní (A + ) Negativní (A - ) Celkem Výpočet senzitivity a specificity testu e následuící: Senzitivita testu: P ( A H ) = a /( a + c) = 32/35 = 0, 914, (28) Specificita testu: P ( A H ) = d /( b + d) = 24/ 26 = 0, 923 (29) Obdobně vypočítáme i obě prediktivní hodnoty testu Prediktivní hodnota pozitivního testu: a /( a + b) = 32/34 = 0, 941, (210) Prediktivní hodnota negativního testu: d /( c + d) = 24/ 27 = 0, 889 (211) Z hlediska interpretace e vhodné poznamenat, že senzitivita a specificita sou spíše populační ukazatele, neboť vycházeí ze znalosti skutečné přítomnosti/nepřítomnosti onemocnění, kterou však u konkrétního testovaného pacienta stoícího v ordinaci s výsledkem testu neznáme Více než testované osoby (potenciální pacienty) tak senzitivita a specificita zaímaí lékaře, kteří mohou tyto dva ukazatele velmi dobře použít pro srovnání diagnostické správnosti dvou různých testů Naopak prediktivní hodnoty vycházeí z konkrétního výsledku testu (pozitivní/negativní) a sou tak zaímavé především pro pacienty Ty totiž v případě konkrétního testu istě zaímá, aká e pravděpodobnost, že danou nemoc skutečně maí (respektive nemaí) ve chvíli, kdy im eich vlastní test vyšel pozitivně (respektive negativně) Otázkou e, aké hodnoty senzitivity a specificity sou dostatečné pro to, abychom označili daný test ako kvalitní nebo eště lépe ako kvalitněší než testy, které sou aktuálně dostupné Odpověď není ednoduchá, neboť do značné míry závisí na stavu poznání dané oblasti a na dosažitelné správnosti dostupných testů V určité oblasti mohou být hodnoty nad 60 % vítězstvím, v iné se diagnostika blíží v obou ukazatelích hodnotě 100 %, což znamená, že se téměř nevyskytuí falešně pozitivní a falešně negativní výsledky V každé oblasti existuí obektivní limity dané úrovní diagnostiky Nicméně relevanci odhadu specificity a senzitivity určue také kvalita experimentu, a to především ve dvou aspektech: 1 Dostatečná velikost experimentálního vzorku zvyšue kvalitu a přesnost provedených odhadů Při malém n roste pravděpodobnost, že některé specifické pacienty nezachytíme a odhady specificity a senzitivity budou zkreslené
5 2 Musí být zaručena reprezentativnost vzorku vzhledem k rozdělení četností v tabulce Je-li například podíl nemocných a zdravých edinců v obecné populaci 1:4, měl by být takto ideálně zachován i ve výběrovém souboru, získáváme tím realistický základ pro posouzení skutečných ukazatelů testu Jednoduchým a přitom v odborné literatuře málo využívaným způsobem, ak vyádřit kvalitu odhadu senzitivity a specificity, e výpočet eich intervalu spolehlivosti Všechny čtyři definované ukazatele totiž představuí neznámé parametry, které sou příslušné danému diagnostickému testu a které maí formu podílu Jeich bodové odhady vypočtené na základě výběrových souborů tak můžeme ednoduše doplnit 100(1 α)% intervalem spolehlivosti s pomocí postupu, který e blíže popsán v části Testování hypotéz o kvalitativních proměnných Zaímavou vlastností obou prediktivních hodnot e fakt, že úzce souvisí s prevalencí sledované nemoci (nebo obecně vlastnosti) v cílové populaci Budeme-li ednoduše uvažovat konkrétní časový okamžik (konkrétní datum), lze prevalenci vyádřit ako procento pacientů s danou nemocí počítané ze všech osob v cílové populaci Abychom mohli demonstrovat závislost pozitivní a negativní prediktivní hodnoty na prevalenci onemocnění (označme i ako H + ), pak 1 H + ) = H - )), e nutno e nedříve vyádřit pomocí Bayesova vzorce a hodnot senzitivity a specificity následovně: + ( A H ) H ) P H A ) =, + + A H ) H ) + A H ) H ) (212) ( A H ) H ) P H A ) = + A H ) H ) + A H ) H + ) (213) Odvození vztahů (212) a (213) e základním cvičením z podmíněné pravděpodobnosti, necháváme ho proto na laskavém čtenáři ako cvičení Vliv prevalence nemoci na prediktivní hodnoty nelépe ukážeme na příkladu Příklad 2 Vypočtěme pozitivní a negativní prediktivní hodnotu diagnostického testu na HIV pozitivitu, u kterého výrobce garantue 98% senzitivitu a 99% specificitu Jako první uvažume výpočet těchto ukazatelů v zemi s vysokou prevalencí HIV pozitivity (např ihoafrické země) a předpokládeme H + ) = 0,2 Prediktivní hodnoty pak sou následuící: 0,98 0,20 = 0,961, 0,98 0,20 + (1 0,99) (1 0,20) (214) 0,99 (1 0,20) = 0,995 0,99 (1 0,20) + (1 0,98) 0,20 (215) Vidíme tedy, že v zemi s relativně vysokou prevalencí HIV pozitivity má kvalitní test (respektive test s vysokou senzitivitou a specificitou) velkou vypovídací hodnotu, tedy osoby s pozitivním testem (respektive negativním testem) maí vysokou pravděpodobnost, že sou skutečně HIV pozitivní (respektive HIV negativní) Nyní uvažume výpočet prediktivních hodnot v zemi s nízkou prevalencí HIV pozitivity (např evropské země) a předpokládeme H + ) = 0,002 Hodnoty se po přepočtu změní takto:
6 0,98 0,002 = 0,164, 0,98 0,002 + (1 0,99) (1 0,002) (216) 0,99 (1 0,002) = 0,999 0,99 (1 0,002) + (1 0,98) 0,002 (217) Máme-li zemi s nízkou prevalencí HIV pozitivity, e vidět, že kvalitní test má velmi dobrou vypovídací schopnost pro osoby, imž vyšel negativní výsledek testu, neboť na 99,9 % sou tyto osoby opravdu HIV negativní Na druhou stranu osoba, íž vyšel pozitivní výsledek testu, má i při použití kvalitního diagnostického testu pravděpodobnost pouze 16,4 %, že e skutečně HIV pozitivní Příklad k řešení: 1 Osoba X má všechny typické příznaky chřipky Pravděpodobnost, že se edná o klasickou chřipku e 0,7 (ev, prasečí chřipku 0,2 (ev, ptačí chřipku 0,05 (ev C) a dosud neznámou formu 0,05 (ev D) Diagnostický test prokázal, že klasická chřipka to není Jaká e nyní pravděpodobnost, že se edná o novou formu chřipky? [Výsledek: P = 0,167] Doporučená literatura: 1 Pagano M, Gauvreau K Principles of biostatistics 2 nd edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, Belmont, Zvárová J Základy statistiky pro biomedicínské obory Nakladatelství Karolinum, Praha, 2004
Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
VícePřednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesůvvzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Testování hypotéz o rozdělení
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz o rozdělení Testování hypotéz o rozdělení Nechť X e náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládeme, že neznáme tvar distribuční funkce
VíceTestování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času
Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek
Více1. Úvod do genetických algoritmů (GA)
Obsah 1. Úvod do genetických algoritmů (GA)... 2 1.1 Základní informace... 2 1.2 Výstupy z učení... 2 1.3 Základní pomy genetických algoritmů... 2 1.3.1 Úvod... 2 1.3.2 Základní pomy... 2 1.3.3 Operátor
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 000/00 Michal Marvan 3. Matice lineárního zobrazení V této přednášce budeme používat indexy dvoího druhu:
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec
Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost
VíceRanní úvahy o statistice
Ranní úvahy o statistice Neúplný návod ke čtení statistických výsledků Dušan Merta květen 2016 Co nás čeká 1 Základní pojmy 2 Testování hypotéz 3 Confidence interval 4 Odds ratio 2 / 26 Základní pojmy
VícePočet pravděpodobnosti
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 4 Počet pravděpodobnosti Je známo, že když muž použije jeden z okrajových pisoárů, sníží se pravděpodobnost, že bude pomočen o 50%. anonym Pravděpodobnost
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Víceanalýzy dat v oboru Matematická biologie
INSTITUT BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Lékařská a Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Komplexní přístup k výuce analýzy dat v oboru Matematická biologie Tomáš Pavlík, Daniel Schwarz, Jiří Jarkovský,
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
VíceReprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005
Reprezentace přirozených čísel ve ibonacciho soustavě rantiše Maňá, JI ČVUT, 2005 Úvod Ja víme, přirozená čísla lze vyádřit různými způsoby Nečastěi zápisu čísel používáme soustavu desítovou, ale umíme
VíceRNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 6 Jak analyzovat kategoriální a binární
VíceUsuzování za neurčitosti
Usuzování za neurčitosti 25.11.2014 8-1 Usuzování za neurčitosti Hypotetické usuzování a zpětná indukce Míry postačitelnosti a nezbytnosti Kombinace důkazů Šíření pravděpodobnosti v inferenčních sítích
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VícePřednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy
Přednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy Relativní riziko a poměr šancí Princip korelace dvou náhodných veličin Korelační koeficienty Pearsonůva Spearmanův Korelace a kauzalita
VíceStatistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omylů a lží
Statistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omylů a lží Zdeněk Karpíšek Jsou tři druhy lží: lži, odsouzeníhodné lži a statistiky. Statistika je logická a přesná metoda, jak nepřesně
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
VícePopisná statistika kvantitativní veličiny
StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
Více676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368
Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540
VíceStatistické vyhodnocení průzkumu funkční gramotnosti žáků 4. ročníku ZŠ
Statistické vyhodnocení průzkumu funkční gramotnosti žáků 4. ročníku ZŠ Ing. Dana Trávníčková, PaedDr. Jana Isteníková Funkční gramotnost je používání čtení a psaní v životních situacích. Nejde jen o elementární
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
Víceanalýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat Epidemiologické ukazatele
Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. 1 Záznam epidemiologických dat Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly
VíceSPRÁVNÁ INTERPRETACE INDIKÁTORŮ KVALITY MAMOGRAFICKÉHO SCREENINGU. Májek, O., Svobodník, A., Klimeš, D.
SPRÁVNÁ INTERPRETACE INDIKÁTORŮ KVALITY MAMOGRAFICKÉHO SCREENINGU Májek, O., Svobodník, A., Klimeš, D. Smysl indikátorů kvality Statisticky významné snížení úmrtnosti lze očekávat až po delší době, posouzení
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení
VíceÚvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi
Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová
Více3. SEMINÁŘ MĚŘENÍ FREKVENCE NEMOCÍ V POPULACI
3. SEMINÁŘ MĚŘENÍ FREKVENCE NEMOCÍ V POPULACI EPIDEMIOLOGIE 1. Úvod, obsah epidemiologie. Měření frekvence nemocí v populaci 2. Screening, screeningové (diagnostické) testy 3. Typy epidemiologických studií
VíceIII. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina
III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu
VíceEpidemiologické ukazatele. lních dat. analýza kategoriáln. Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat. a I E
Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Epidemiologické ukazatele Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Víceρ = 0 (nepřítomnost volných nábojů)
Učební text k přednášce UFY Světlo v izotropním látkovém prostředí Maxwellovy rovnice v izotropním látkovém prostředí: B rot + D rot H ( r, t) div D ρ rt, ( ) div B a materiálové vztahy D ε pro dielektrika
VícePRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová
RAVDĚODOBNOST JE Martina Litschmannová Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování
VícePro zvládnutí této kapitoly budete potřebovat 4-5 hodin studia.
Úvod (Proč se zabývat statistikou?) Statistika je metoda analýzy dat, která nachází široké uplatnění v celé řadě ekonomických, technických, přírodovědných a humanitních disciplín. Její význam v poslední
VíceSOFTWARE STAT1 A R. Literatura 4. kontrolní skupině (viz obr. 4). Proto budeme testovat shodu středních hodnot µ 1 = µ 2 proti alternativní
ŘEŠENÍ PRAKTICKÝCH ÚLOH UŽITÍM SOFTWARE STAT1 A R Obsah 1 Užití software STAT1 1 2 Užití software R 3 Literatura 4 Příklady k procvičení 6 1 Užití software STAT1 Praktické užití aplikace STAT1 si ukažme
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti
VíceZahrnutí alelického dropoutu
Sémantická interoperabilita v biomedicíně a zdravotnictví Mgr. Dalibor Slovák Oddělení medicínské informatiky a biostatistiky, ÚI AV ČR školitelka: Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Ústav hygieny a epidemiologie,
VíceStatistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík
Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012 Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Statistika věda o získávání znalostí z empirických dat empirická
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více8 Coxův model proporcionálních rizik I
8 Coxův model proporcionálních rizik I Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí formulovat Coxův model proporcionálních rizik 2. Student rozumí významu regresních koeficientů modelu 3. Student zná
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
VíceDiagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak
StatSoft Diagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak V tomto článečku si uděláme exkurzi do teorie regresní analýzy a detailně se podíváme na jeden jediný diagnostický graf. Jedná se o graf Předpovědi
VíceCvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 8 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Centrální limitní věta Laplaceho věta (+ korekce na spojitost) Konfidenční intervaly
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1.
Metodický list č 1. Název tématického celku: Elementární statistické zpracování 1 - Kolekce a interpretace statistických dat, základní pojmy deskriptivní statistiky. Cíl: Základním cílem tohoto tematického
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceRekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce
Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled Evoluce křivek princip evoluce použití evoluce křivky ve
VíceMÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE)
zhanel@fsps.muni.cz MÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE) 2.5 MÍRY ZÁVISLOSTI 2.5.1 ZÁVISLOST PEVNÁ, VOLNÁ, STATISTICKÁ A KORELAČNÍ Jednorozměrné soubory - charakterizovány jednotlivými statistickými znaky
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Leptání plasmou. Ing. Pavel Bouchalík
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Leptání plasmou Ing. Pavel Bouchalík 1. ÚVOD Tato semestrální práce obsahuje písemné vypracování řešení příkladu Leptání plasmou. Jde o praktickou zkoušku znalostí získaných při přednáškách
VíceÚvod do problematiky měření
1/18 Lord Kelvin: "Když to, o čem mluvíte, můžete změřit, a vyjádřit to pomocí čísel, něco o tom víte. Ale když to nemůžete vyjádřit číselně, je vaše znalost hubená a nedostatečná. Může to být začátek
VíceRNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 8 Jak analyzovat přežití pacientů.
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceIntervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr
StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule
VíceNázev testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů)
VYBRANÉ TESTY NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ TESTY DOBRÉ SHODY Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení test dobré shody Očekávané četnosti, alespoň 80% očekávaných četností >5 ( ) (p
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
VíceÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová
ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo),
VícePřednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných
Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Testování hypotéz o podílech Kontingenční tabulka, čtyřpolní tabulka Testy nezávislosti, Fisherůvexaktní test, McNemarůvtest Testy dobré shody
Více3. Cíle a základní metodické nástroje finanční analýzy
3. Cíle a základní metodické nástroje finanční analýzy 3.1 Úloha a cíle FA Obecný cíl FA = posouzení finančního zdraví podniku = identifikace silných a slabých stránek podniku. Finanční zdraví = rentabilita
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.
Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,
VíceZáklady počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky
Errata ke skriptu Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky K. Hron a P. Kunderová Autoři prosí čtenáře uvedeného studijního textu, aby případné další odhalené chyby nad rámec tohoto
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceLineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel
Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních
VíceTestování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina
Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi
VíceEpidemiologické metody
6. SEMINÁŘ RIZIKA Epidemiologické metody Posuzování vztahů mezi nemocemi a jejich příčinami a podmínkami vzniku. Důležitou roli zde má statistika poskytuje metody pro měření asociace mezi jevy Pro posouzení
VíceManuál pro zaokrouhlování
Manuál pro zaokrouhlování k předmětu Pravděpodobnost a Statistika (PS) Michal Béreš, Martina Litschmannová 19. března 2019 Obsah 1 Úvod 2 2 Obecné poznámky 2 2.1 Typy zaokrouhlování...........................................
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceManagement rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceStatistická teorie učení
Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1
Metodický list č 1. Název tématického celku: Vymezení role Pravděpodobnosti a Matematické Statistiky v širším celku čisté a aplikované matematiky. Základním cílem tohoto tématického celku je základní pojmy
VíceParametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin
Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin EuroMISE Centrum I. ÚVOD vv této přednášce budeme hovořit o jednovýběrových a dvouvýběrových testech týkajících se střední hodnoty
VícePravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1
Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu
VícePearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. Př. : Ve vjezdové skupině kolejí byly sledovány počty přijíždějících vlaků za hodinu. Za 5 dní (tedy 360 hodin) přijelo celkem 87 vlaků. Výsledky sledování jsou uvedeny v tabulce.
VíceStatistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .
Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceObsah přednášky Jaká asi bude chyba modelu na nových datech?
Obsah přednášky Jaká asi bude chyba modelu na nových datech? Chyba modelu Bootstrap Cross Validation Vapnik-Chervonenkisova dimenze 2 Chyba skutečná a trénovací Máme 30 záznamů, rozhodli jsme se na jejich
VícePilotní ověření standardizace na agendě živnostenského podnikání. Projekt A121
Projekt A121 Východiska projektu A121 #1 Procesní modelování agend je v širším smyslu součástí programu transformace výkonu veřejné správy založený na procesním přístupu a standardizaci agend. Přináší
VíceANALÝZA A KLASIFIKACE DAT
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT RNDr. Eva Janoušová INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ HODNOCENÍ ÚSPĚŠNOSTI KLASIFIKACE A SROVNÁNÍ KLASIFIKÁTORŮ ÚVOD Vstupní data Subjekt Objem hipokampu Objem komor Skutečnost
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceOR (odds ratio, poměr šancí) nebo též relativní riziko RR. Validita vyšetření nádorových markerů. Validita (určuje kvalitu testu)v % = SP/ SP+FP+FN+SN
Validita vyšetření nádorových markerů v rámci požadavků správné laboratorní práce Preanalytická fáze vyšet etřování sérových nádorových markerů (TM) Základní předpoklady správného užití TM: nádorové markery
VíceModerní systémy pro získávání znalostí z informací a dat
Moderní systémy pro získávání znalostí z informací a dat Jan Žižka IBA Institut biostatistiky a analýz PřF & LF, Masarykova universita Kamenice 126/3, 625 00 Brno Email: zizka@iba.muni.cz Bioinformatika:
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceHodnocení populačního přežití pacientů diagnostikovaných s C20 v ČR Projekt Diagnóza C20 - vzdělávání, výzkum a lékařská praxe
Hodnocení populačního přežití pacientů diagnostikovaných s C20 v ČR Projekt Diagnóza C20 - vzdělávání, výzkum a lékařská praxe CZ.2.17/1.1.00/32257 Motivace a cíle přednášky 1. Srovnání 5letého přežití
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
VíceMOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01
matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceÚloha - rozpoznávání číslic
Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceStatistika. Základní pojmy a cíle statistiky. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .
Statistika Základní pojmy a cíle statistiky Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Statistika Pojmy a cíle
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceStatistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.
Více