ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová

Transkript

1 ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová

2 Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo), Studentovo, Fisherovo - Snedecorovo) Úvod do teorie odhadu bodové odhady vs. intervalové odhady vlastnosti bodových odhadů intervalové odhady jednovýběrové rozdílů, resp. podílů, parametrů dvou populací

3 Princip statistické indukce

4 Výběrové charakteristiky vs. parametry populace Parametry populace (obvykle pro jejich značení používáme symboly řecké abecedy) jsou konstanty. Charakteristiky výběru (obvykle značíme latinkou) jsou obvykle různé v závislosti na pořízeném výběru. Jsou to náhodné veličiny. Základní soubor (populace) Výběrový soubor (výběr) stř. hodnota E X, resp. μ (výběrový) průměr തX medián x 0,5 výběrový medián X 0,5 rozptyl D X, resp. σ výběrový rozptyl S směr. odchylka σ výběrová směr. odchylka S pravděpodobnost π rel. četnost p

5 Limitní věty aneb popis pravděpodobnostních modelů pro případ rostoucího počtu realizací náhodného pokusu

6 Slabý zákon velkých čísel Mějme nekonečný náhodný výběr X 1, X, z rozdělení se střední hodnotou μ X a konečným rozptylem, kde X 1, X, jsou nekorelované náhodné veličiny. Potom platí, že výběrový průměr തX n vypočítaný z prvních n pozorování se pro n blíží ke střední hodnotě μ X, což zapisujeme lim P തX n μ X > ε = 0 pro každé ε > 0. n Zjednodušeně: průměr se s rostoucím rozsahem výběru blíží střední hodnotě nebo relativní četnost se s rostoucím rozsahem výběru blíží pravděpodobnosti

7 Centrální limitní věta Jsou-li X i nezávislé náhodné veličiny se stejnou střední hodnotou μ X a se stejným konečným rozptylem, σ X pak výběrový průměr má při dostatečně velkém počtu pozorování přibližně normální rozdělení, ať už X i pocházejí z libovolného rozdělení. Centrální limitní větu zapisujeme തX~N μ X, σ X n nebo തX μ X σ X n~n 0,1. Předpoklady CLV: X i nezávislé náhodné veličiny, E X 1 = E X = = E X n = μ X, D X 1 = D X = = D X n = σ X ; σ X <, n (v praxi: n > 30, výběr neobsahuje odlehlé pozorování).

8 Centrální limitní věta Vlastnosti výběrového průměru തX~N μ X, σ X n f(x) 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, n=1 n=5 n=10 n= x Vliv rozsahu výběru na graf hustoty pravděpodobnosti výběrového průměru

9 1 Doba přežití jistého typu pacientů má exponenciální rozdělení se střední hodnotou roky. Určete pravděpodobnost, že a) doba přežití pacienta bude vyšší než 7 měsíců, Řešení: X doba přežití pacienta (měs.) X~Exp λ = 1 4 P X > 7 = 1 F 7 = e 7 4 0,35

10 1 Doba přežití jistého typu pacientů má exponenciální rozdělení se střední hodnotou roky. Určete pravděpodobnost, že b) průměrná doba přežití 150 pacientů bude vyšší než 7 měsíců. Řešení: തX 150 průměrná doba přežití 150 pacientů (měs.) X i doba přežití pacienta (měs.), E X i = 1 λ = 4, D X i = 1 λ = 576 തX 150 ~N μ = E X i, σ = D X i 150 തX 150 ~N μ = 4, σ = 3,84 P തX 150 > 7 = 1 F 7 = 1 Φ 7 4 3,84 = 1 Φ 1,53 = 0,063

11 Doba přežití jistého typu pacientů má střední hodnotu roky a směrodatnou odchylku roky. Určete pravděpodobnost, že a) doba přežití pacienta bude vyšší než 7 měsíců, Řešení: X doba přežití pacienta (měs.) X~? Nelze určit, protože neznáme rozdělení doby přežití pacienta.

12 Doba přežití jistého typu pacientů má střední hodnotu roky a směrodatnou odchylku roky. Určete pravděpodobnost, že b) průměrná doba přežití 150 pacientů bude vyšší než 7 měsíců. Řešení: തX 150 průměrná doba přežití 150 pacientů (měs.) X i doba přežití pacienta (měs.), E X i = 4, D X i = 576 തX 150 ~N μ = E X i, σ = D X i 150 തX 150 ~N μ = 4, σ = 3,84 P തX 150 > 7 = 1 F 7 = 1 Φ 7 4 3,84 = 1 Φ 1,53 = 0,063

13 Důsledky centrální limitní věty rozdělení součtu NV Nechť: X i nezávislé náhodné veličiny, E X 1 = E X = = E X n = μ X, D X 1 = D X = = D X n = σ X ; σ X <, n (v praxi: n > 30, výběr neobsahuje odlehlé pozorování), pak σ n i=1 X i ~N nμ X, nσ X.

14 Důsledky centrální limitní věty rozdělení rel. četnosti p~n π; π 1 π n nebo p π π 1 π n~n 0; 1 Relativní četnost p má pro dostatečně velké výběry přibližně normální rozdělení se střední hodnotou π a rozptylem π 1 π Výběry považujeme obvykle za dostatečně velké v případě, že n > 9 p 1 p. n. Důkaz: Nechť X i ~A π, pak 1 σ n i=1 X i = p. Dle CLV: 1 σ n i=1 n X i ~N E X i ; D X i n n, tj. p~n π; π 1 π n.

15 Důsledky centrální limitní věty rozdělení rozdílu průměrů Mějme náhodný výběr X 11,, X 1n1 z rozdělení se střední hodnotou μ 1 a náhodný výběr X 1,, X n z rozdělení se střední hodnotou μ. Dále nechť jsou splněny následující předpoklady: Rozsah každé z populací je dostatečně velký vzhledem k rozsahu příslušného výběru n i < 0,05N i. Platí předpoklady CLV, zejména to, že každý z výběrů pochází z normálního rozdělení nebo je dostatečně velký (za dostatečně velké obvykle považujeme výběry s rozsahem větším než 30). Pak തX 1 തX ~N μ 1 μ, σ 1 n 1 + σ n nebo തX 1 തX μ 1 μ σ 1 n1 +σ n ~N 0, 1.

16 Důsledky centrální limitní věty rozdělení rozdílu rel. četností Výběrový průměr തX 1 vypočítaný z prvních n 1 pozorování náhodného výběru z A π 1 udává relativní četnost jevu A a značíme ji p 1. Obdobně തX vypočítaný z prvních n pozorování náhodného výběru z A π udává relativní četnost jevu B a značíme ji p. Dále nechť: Rozsah každé z populací je dostatečně velký vzhledem k rozsahu příslušného výběru n i < 0,05N i. Výběry z obou populací jsou dostatečně velké na to, aby pro modelování rozdílu mezi relativními četnostmi mohlo být použito normální rozdělení. Výběry jsou obvykle považovány za dostatečně 9 9 velké v případě, že n 1 > n p 1 1 p >. Pak 1 p 1 p p 1 p ~N π 1 π, π 1 1 π 1 n 1 + π 1 π n nebo p 1 p π 1 π π1 1 π1 n1 + π 1 π n ~N 0, 1.

17 Spojitá rozdělení náhodné veličiny mající využití v metodách statistické indukce

18 K čemu potřebujeme znát výběrová rozdělení? Výběrová rozdělení nacházejí uplatnění při odhadech střední hodnoty a pravděpodobnosti, resp. jejich rozdílů nebo při testování hypotéz o těchto parametrech. Při odhadech rozptylu, poměru rozptylů, odhadech střední hodnoty v případě, že máme k dispozici pouze malý výběr, který nepochází z normálního rozdělení, a v dalších metodách statistické indukce nacházejí uplatnění tři důležitá spojitá rozdělení: χ - rozdělení, Studentovo rozdělení, Fisherovo Snedecorovo rozdělení.

19 χ - rozdělení (Pearsonovo rozdělení) Mějme nezávislé náhodné veličiny Z 1, Z,, Z ν, z nichž každá má normované normální rozdělení. Součet čtverců těchto náhodných veličin, tj. náhodná veličina X má rozdělení χ (čteme chíkvadrát ) s ν stupni volnosti, což značíme χ ν. i = 1,, n: Z i ~ N 0; 1, pak X = σν i=1 Z i ~ χ ν Sledujte vliv stupňů volnosti na tvar rozdělení NV s rozdělením χ ν, její střední hodnotu a rozptyl. (Spojitá rozdělení excel)

20 χ - rozdělení (Pearsonovo rozdělení) X~χ ν stupně volnosti (parametr rozdělení)

21 χ - rozdělení (Pearsonovo rozdělení) Vlastnosti χ - rozdělení: 1. E X = ν; D X = ν. Pro ν : X~ N ν; ν. Předpokládejme, že provedeme náhodný pokus spočívající v náhodném výběru o rozsahu n z populace podléhající normálnímu rozdělení s rozptylem σ. Pro uvedený výběr určíme výběrovou směrodatnou odchylku s. Lze ukázat, že : n 1 S σ ~ χ n 1.

22 χ - rozdělení (Pearsonovo rozdělení) Použití χ - rozdělení: 1. Vlastnosti, že n 1 S σ χ n 1 se využívá k testování toho, zda rozptyl základního souboru s normálním rozdělením je roven σ 0, resp. k odhadování směrodatné odchylky základního souboru s norm. rozdělením.. χ - rozdělení se používá pro ověření nezávislosti kategoriálních proměnných (test nezávislosti v kontingenční tabulce). 3. Pokud testujeme, zda náhodné veličiny (naměřená data) pocházejí z určitého rozdělení, můžeme také s úspěchem použít χ - rozdělení. Tento test je znám pod názvem "test dobré shody".

23 Firma Edison vyrábí žárovky Ed. Životnost těchto žárovek je průměrně 5 let se směrodatnou odchylkou 6 měsíců. Pro ověřování kvality výroby bude testováno 0 žárovek. Jaká je pravděpodobnost, že při tomto testu bude zjištěna směrodatná odchylka životnosti vyšší než 7 měsíců? Řešení: S výběrová směrodatná odchylka P S > 7 =? Neznáme rozdělení S! X = n 1 S σ X~χ n 1 V našem případě: X = 0 1 S = S ~χ 19 ALE! P S > 7 = P X > = P X > 5,86 = 0,134 3

24 Studentovo (t) rozdělení Uvažujme dvě nezávislé náhodné veličiny: Z a V. Náhodná veličina Z má normované normální rozdělení, náhodná veličina V má χ rozdělení s ν stupni volnosti. Potom náhodná veličina T, T = Z, V ν má Studentovo t rozdělení s ν stupni volnosti, což značíme T ~t ν. Sledujte vliv stupňů volnosti na tvar rozdělení NV s rozdělením t ν, její střední hodnotu a rozptyl. (Spojitá rozdělení excel)

25 Studentovo (t) rozdělení X~t ν stupně volnosti (parametr rozdělení)

26 Studentovo (t) rozdělení Vlastnosti Studentova rozdělení: 1. E X = 0; D X = ν ν pro ν >. Pro ν : X~N 0; 1. Pokud náhodné veličiny X 1, X,, X n mají normální rozdělení N μ, σ a jsou navzájem nezávislé, lze ukázat, že ത X μ S n ~ t n Mějme dva výběry z normálního rozdělení se stejným rozptylem. Pak തX 1 തX μ 1 μ S 1 n 1 1 +S n 1 n 1 n n 1 +n n 1 +n ~ t n1 +n. 4. Mějme dva výběry z normálního rozdělení s různými rozptyly. Pak തX 1 തX μ 1 μ S 1 n1 +S n ~ t ν, kde ν = S 1 n1 S 1 n1 +S n 1 n1+1 + S n. 1 n+1

27 Studentovo (t) rozdělení Použití Studentova rozdělení: 1. modelování založené na analýze malých výběrů n < 30,. testování hypotéz o střední hodnotě, pokud je rozptyl základního souboru neznámý a výběr pochází z normálního rozdělení, 3. testování hypotéz o shodě středních hodnot, 4. analýza výsledků regresní analýzy.

28 4 Útvar kontroly podniku Edison testoval životnost žárovek. Kontroloři vybrali z produkce podniku náhodně 50 žárovek a došli k závěru, že průměrná doba života (přesněji řečeno výběrový průměr doby života) těchto 50 žárovek je 950 hodin. Zároveň předpokládají, že směrodatná odchylka životnosti žárovek je 100 hodin. Odhadněte interval, v němž s pravděpodobností 0,95 leží střední životnost testovaných žárovek. (Předpokládejte, že životnost žárovek lze modelovat normálním rozdělením.)

29 4 Útvar kontroly podniku Edison testoval životnost žárovek. Kontroloři vybrali z produkce podniku náhodně 50 žárovek a došli k závěru, že průměrná doba života (přesněji řečeno výběrový průměr doby života) těchto 50 žárovek je 950 hodin. Zároveň předpokládají, že směrodatná odchylka životnosti žárovek je 100 hodin. Odhadněte interval, v němž s pravděpodobností 0,95 leží střední životnost testovaných žárovek. (Předpokládejte, že životnost žárovek lze modelovat normálním rozdělením.) Řešení: P x 0,05 < X < x 0,975 = 0,95 Důkaz: P x 0,05 < X < x 0,975 = F x 0,975 F x 0,05 = 0,975 0,05 = 0,95

30 4 Útvar kontroly podniku Edison testoval životnost žárovek. Kontroloři vybrali z produkce podniku náhodně 50 žárovek a došli k závěru, že průměrná doba života (přesněji řečeno výběrový průměr doby života) těchto 50 žárovek je 950 hodin. Zároveň předpokládají, že směrodatná odchylka životnosti žárovek je 100 hodin. Odhadněte interval, v němž s pravděpodobností 0,95 leží střední životnost testovaných žárovek. (Předpokládejte, že životnost žárovek lze modelovat normálním rozdělením.) Řešení: തX n průměrná životnost n žárovek (h), μ X střední životnost žárovek (h) P P P P തX n ~N μ = μ X, σ = σ X n ത X n μ X σ X z 0,05 < ത X n μ X σ X n < z 0,975 = 0,95 n ~N(μ = 0, σ = 1) തX n + z 0,05 σ X n < μ X < തX n + z 0,975 σ X n = 0,95 തX n z 0,05 σ X > μ n X > തX n z 0,975 σ X < μ n X < തX n z 0,975 σ X n = 0,95 തX n z 0,05 σ X n = 0,95 ത X n μ X σ X n~n(μ = 0, σ = 1)

31 4 Útvar kontroly podniku Edison testoval životnost žárovek. Kontroloři vybrali z produkce podniku náhodně 50 žárovek a došli k závěru, že průměrná doba života (přesněji řečeno výběrový průměr doby života) těchto 50 žárovek je 950 hodin. Zároveň předpokládají, že směrodatná odchylka životnosti žárovek je 100 hodin. Odhadněte interval, v němž s pravděpodobností 0,95 leží střední životnost testovaných žárovek. (Předpokládejte, že životnost žárovek lze modelovat normálním rozdělením.) Řešení: തX n průměrná životnost n žárovek (h), μ X střední životnost žárovek (h) P P P തX n ~N μ = μ X, σ = σ X n ത X n μ X σ X z 0,05 < ത X n μ X σ X n < z 0,975 = 0,95 തX n z 0,975 σ X n < μ X < തX n z 0,975 σ X n < μ X < n ~N(μ = 0, σ = 1) തX n z 0,05 σ X n = 0,95 തX n +z 0,975 σ X n = 0,95 ത X n μ X σ X n~n(μ = 0, σ = 1)

32 4 Útvar kontroly podniku Edison testoval životnost žárovek. Kontroloři vybrali z produkce podniku náhodně 50 žárovek a došli k závěru, že průměrná doba života (přesněji řečeno výběrový průměr doby života) těchto 50 žárovek je 950 hodin. Zároveň předpokládají, že směrodatná odchylka životnosti žárovek je 100 hodin. Odhadněte interval, v němž s pravděpodobností 0,95 leží střední životnost testovaných žárovek. (Předpokládejte, že životnost žárovek lze modelovat normálním rozdělením.) Řešení: തX n průměrná životnost n žárovek (h), μ X střední životnost žárovek (h) P P തX n ~N μ = μ X, σ = σ X n ത X n μ X σ X z 0,05 < ത X n μ X σ X n < z 0,975 = 0,95 തX n z 0,975 σ X n < μ X < n ~N(μ = 0, σ = 1) തX n +z 0,975 σ X n = 0,95 P 950 1, < μ X < , = 0,95 ത X n μ X σ X n~n(μ = 0, σ = 1)

33 4 Útvar kontroly podniku Edison testoval životnost žárovek. Kontroloři vybrali z produkce podniku náhodně 50 žárovek a došli k závěru, že průměrná doba života (přesněji řečeno výběrový průměr doby života) těchto 50 žárovek je 950 hodin. Zároveň předpokládají, že směrodatná odchylka životnosti žárovek je 100 hodin. Odhadněte interval, v němž s pravděpodobností 0,95 leží střední životnost testovaných žárovek. (Předpokládejte, že životnost žárovek lze modelovat normálním rozdělením.) Řešení: തX n průměrná životnost n žárovek (h), μ X střední životnost žárovek (h) P തX n ~N μ = μ X, σ = σ X n ത X n μ X σ X z 0,05 < ത X n μ X σ X n < z 0,975 = 0,95 n ~N(μ = 0, σ = 1) P തX n z 0,975 σ X < μ n X < തX n +z 0,975 σ X = 0,95 n P 9 < μ X < 978 = 0,95 ത X n μ X σ X n~n(μ = 0, σ = 1)

34 Fisherovo - Snedecorovo (F) rozdělení Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny V a W s rozdělením χ. První z nich má počet stupňů volnosti m, druhá má počet stupňů volnosti n (obecně mají různý počet stupňů volnosti). Pak má náhodná veličina V F = m W n Fisherovo-Snedecorovo rozdělení o m a n stupních volnosti, což značíme F ~ F m,n. Sledujte vliv stupňů volnosti na tvar rozdělení NV s rozdělením F m,n, její střední hodnotu a rozptyl. (Spojitá rozdělení excel)

35 Fisherovo - Snedecorovo (F) rozdělení X~F m,n stupně volnosti pro jmenovatele (parametr rozdělení) stupně volnosti pro čitatele (parametr rozdělení)

36 Fisherovo - Snedecorovo (F) rozdělení Vlastnosti Fisherova-Snedecorova rozdělení: 1. Mějme dva výběry z normálního rozdělení (X 1i ~N μ 1 ; σ 1, X j ~N μ ; σ ). S 1 a S jsou příslušné výběrové rozptyly. Pak S 1 Τ σ 1 Τ S Τσ ~F n1 1,n 1.

37 Fisherovo - Snedecorovo (F) rozdělení Použití Fisherova-Snedecorova rozdělení: 1. K testu o shodě rozptylů dvou základních souborů,. k testům o shodě středních hodnot více než dvou základních souborů, v tzv. analýze rozptylu, 3. k testům v regresní analýze.

38 5 Firma Edison vyrábí žárovky Ed. Životnost těchto žárovek je průměrně 5 let se směrodatnou odchylkou 6 měsíců. Uvedené informace specifikujeme: Žárovky jsou vyráběny na dvou linkách. Předpokládejme, že obě linky mají srovnatelné parametry, tj. že průměrná životnost a variabilita životnosti žárovek Ed vyrobených ve firmě Edison nezávisí na tom, na jaké lince byly vyrobeny. Pro ověření kvality výroby bude testována životnost 0 žárovek z linky 1 a 30 žárovek z linky. Jaká je pravděpodobnost, že u vzorku z linky 1 bude zjištěn více než dvojnásobný rozptyl oproti rozptylu zjištěnému u vzorku z linky? Řešení: S 1 výběrový rozptyl na lince 1, S výběrový rozptyl na lince S 1 Τ σ 1 Τ S Τσ ~F n1 1,n 1 σ 1 = σ S 1 ΤS ~F n1 1,n 1 P S 1 S > = 1 F = 0,045 (V R: 1-pf(,19,9))

39 Úvod do teorie odhadu

40 Lze určit střední hodnotu životnosti el. součástek? Lze určit účinnost léku? Lze určit, který výrobce vyrábí kvalitněji? Neznáme-li rozdělení náhodné veličiny X, pak parametry náhodné veličiny X nelze většinou přesně určit, lze je jen odhadnout.

41 Jak odhadnout parametry populace? Bodový odhad - parametr základního souboru aproximujeme jediným číslem Intervalový odhad parametr populace aproximujeme intervalem, v němž s velkou pravděpodobností příslušný populační parametr leží.

42 Bodový odhad Mějme náhodný výběr X 1, X,, X n z určitého rozdělení, které závisí na neznámém parametru θ. Odhadem T parametru θ je pak výběrová charakteristika T X 1, X,, X n, která nabývá hodnot blízkých neznámému parametru θ. Vybrané populační parametry a jejich bodové odhady: konstanty obecně značíme θ Základní soubor (populace) Výběrový soubor (výběr) stř. hodnota E X, resp. μ (výběrový) průměr തX medián x 0,5 výběrový medián X 0,5 rozptyl D X, resp. σ výběrový rozptyl S směr. odchylka σ výběrová směr. odchylka S pravděpodobnost π rel. četnost p náhodné veličiny obecně značíme T X

43 Interval spolehlivosti vs. intervalový odhad Interval spolehlivosti (konfidenční interval) pro parametr θ se spolehlivostí 1 α, kde α 0; 1, je taková dvojice statistik T D, T H, že Intervalový odhad t D, t H P T D θ T H = 1 α. je jednou z realizací intervalu spolehlivosti. V čem spočívá výhoda intervalových odhadů vůči bodovým odhadům? Přinášejí informaci o nejistotě (nepřesnosti) odhadu.

44 Co je co v terminologii intervalových odhadů? P T D θ T H = 1 α hledaný parametr (konstanta, kterou nejsme schopni přesně určit) spolehlivost odhadu, tj. pravděpodobnost s níž hledaný parametr θ leží v intervalu T D ; T H meze intervalu spolehlivosti (náhodné veličiny)

45 odhad Co to znamená, že spolehlivost odhadu je 1-α? realizace Simulace 100 intervalových odhadů střední hodnoty (spolehlivost 0,95) získaných na základě opakovaných výběrů o rozsahu 30 z populace se střední hodnotou intervalů ze 100 neobsahuje skutečnou střední hodnou.

46 Jaké máme požadavky na interval spolehlivosti? P T D θ T H = 1 α hladina významnosti Co největší spolehlivost odhadu. Co nejmenší šířka intervalu spolehlivosti. (S rostoucí šířkou intervalového odhadu klesá významnost získané informace.) Závěr: S rostoucí spolehlivostí se zvětšuje šířka intervalového odhadu a tím klesá významnost takto získané informace. Nutnost kompromisu α = 05, resp. 0,01 nebo 0,10 S rostoucím rozsahem výběru se šířka intervalového odhadu snižuje.

47 Jaké jsou typy intervalů spolehlivosti? oboustranné P θ < T D = P θ > T H = α Tyto dvě podmínky zaručují, že P T D θ T H = 1 α. jednostranné (odhadujeme-li například délku života nějakého zařízení, je pro nás důležitá pouze dolní mez) levostranné: P θ T D = 1 α pravostranné : P θ T H = 1 α

48 Jak najít intervalový odhad parametru θ? Obecně: 1) Zvolíme vhodnou výběrovou charakteristiku T X, jejíž rozdělení známe. (Nechť x p jsou p- kvantily spojité náhodné veličiny T X.) ) P xα T X x 1 α P T X x 1 α = 1 α, P T X x α = 1 α. = 1 α Proč to tak je? 1 α = 1 α α = F x 1 α F xα = P xα T X x 1 α 1 α = 1 F x α = P T X x α 1 α = F x 1 α = P T X < x 1 α = P T X x 1 α

49 Vybrané intervalové odhady parametrů rozdělení náhodné veličiny

50 Intervalový odhad střední hodnoty náhodné veličiny s normálním rozdělením a) známe-li rozptyl σ Předpokládejme, že sledovaná náhodná veličina X má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou μ a známým rozptylem σ. Vyberme vzorek z dané populace. Nechť má tento výběrový soubor rozsah n a průměr x. ҧ Dle CLV: തX N μ; σ Označme T X n = ത X μ σ, tj. ത X μ σ n. Oboustranný interval spolehlivosti P P xα zα T X ത X μ σ P തX σ n z 1 α x 1 α n z 1 α = 1 α μ തX + σ n z 1 α n N 0; 1 = 1 α, kde z p jsou p-kvantily N 0; 1 = 1 α

51 Intervalový odhad střední hodnoty náhodné veličiny s normálním rozdělením a) známe-li rozptyl σ Předpokládejme, že sledovaná náhodná veličina X má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou μ a známým rozptylem σ. Vyberme vzorek z dané populace. Nechť má tento výběrový soubor rozsah n a průměr x. ҧ Dle CLV: തX N μ; σ Označme T X n = ത X μ σ, tj. ത X μ σ n. Levostranný interval spolehlivosti P T X x 1 α = 1 α P ത X μ σ n z 1 α = 1 α P μ തX σ n z 1 α = 1 α n N 0; 1

52 Intervalový odhad střední hodnoty náhodné veličiny s normálním rozdělením a) známe-li rozptyl σ Předpokládejme, že sledovaná náhodná veličina X má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou μ a známým rozptylem σ. Vyberme vzorek z dané populace. Nechť má tento výběrový soubor rozsah n a průměr x. ҧ Dle CLV: തX N μ; σ Označme T X n = ത X μ σ, tj. ത X μ σ n. Pravostranný interval spolehlivosti P x α T X P z α ത X μ σ n = 1 α = 1 α P μ തX + σ n z 1 α = 1 α n N 0; 1

53 Intervalový odhad střední hodnoty náhodné veličiny s normálním rozdělením a) známe-li rozptyl σ Předpokládejme, že sledovaná náhodná veličina X má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou μ a známým rozptylem σ. Vyberme vzorek z dané populace. Nechť má tento výběrový soubor rozsah n n < 0,05N a průměr x. ҧ Intervalový odhad střední hodnoty μ se spolehlivostí 1 α při známém rozptylu σ Oboustranný xҧ σ n z 1 α x ҧ + ; σ n z 1 α Levostranný Pravostranný xҧ σ n z 1 α x ҧ + σ n z 1 α kde z p jsou p-kvantily N(0; 1)

54 Intervalový odhad střední hodnoty náhodné veličiny s normálním rozdělením a) známe-li rozptyl σ Předpokládejme, že sledovaná náhodná veličina X má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou μ a známým rozptylem σ. Vyberme vzorek z dané populace. Nechť má tento výběrový soubor rozsah n n < 0,05N a průměr x. ҧ (Vzorce a tabulky)

55 Intervalový odhad střední hodnoty náhodné veličiny s normálním rozdělením b) neznáme-li rozptyl σ Předpokládejme, že sledovaná náhodná veličina X má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou μ a neznámým rozptylem σ. Vyberme vzorek z dané populace. Nechť má tento výběrový soubor rozsah n, průměr xҧ a výběrovou směrodatnou odchylku s. Dle vlastností Studentova rozdělení: Označme T X = ത X μ S തX μ S n ~ t n 1 n a dále můžeme pokračovat obdobně jako v předchozím případě.

56 Intervalový odhad střední hodnoty náhodné veličiny s normálním rozdělením b) neznáme-li rozptyl σ Předpokládejme, že sledovaná náhodná veličina X má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou μ a neznámým rozptylem σ. Vyberme vzorek z dané populace. Nechť má tento výběrový soubor rozsah n n < 0,05N, průměr xҧ a výběrovou směrodatnou odchylku s. Intervalový odhad střední hodnoty μ se spolehlivostí 1 α při neznámém rozptylu σ Oboustranný xҧ s n t 1 α x ҧ + ; s n t 1 α Levostranný Pravostranný xҧ s n t 1 α x ҧ + s n t 1 α kde t p jsou p-kvantily Studentova rozdělení s n 1 stupni volnosti

57 Intervalový odhad střední hodnoty náhodné veličiny s normálním rozdělením b) neznáme-li rozptyl σ Předpokládejme, že sledovaná náhodná veličina X má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou μ a neznámým rozptylem σ. Vyberme vzorek z dané populace. Nechť má tento výběrový soubor rozsah n n < 0,05N, průměr xҧ a výběrovou směrodatnou odchylku s. (Vzorce a tabulky)

58 Intervalový odhad střední hodnoty - obecně V obecném případě, kdy neznáme typ rozdělení, používáme tzv. robustní (neparametrické) postupy. Robustní postupy hodnocení náhodné veličiny typicky používáme v případech, kdy výběrový soubor obsahuje odlehlá pozorování, která nemohou být opravena a není vhodné je vyloučit, výběrový soubor nepochází z normálního rozdělení, výběrový soubor má velké rozptýlení dat. Výklad robustních přístupů není součástí základního kurzu statistiky. Zájemci najdou základní informace v kapitole 4.4 (Úvod do statistiky).

59 Intervalový odhad rozptylu (sm. odchylky) normálního rozdělení Předpokládejme, že sledovaná náhodná veličina X má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou μ a neznámým rozptylem σ. Vyberme vzorek z dané populace. Nechť má tento výběrový soubor rozsah n a výběrovou směrodatnou odchylku s. Dle vlastností Pearsonova (χ ) rozdělení: n 1 S σ ~ χ n 1 Označme T X = n 1 S. Jednoduše lze ukázat, že σ

60 Intervalový odhad rozptylu (sm. odchylky) normálního rozdělení Předpokládejme, že sledovaná náhodná veličina X má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou μ a neznámým rozptylem σ. Vyberme vzorek z dané populace. Nechť má tento výběrový soubor rozsah n n < 0,05N a výběrovou směr. odchylku s. Intervalový odhad rozptylu σ se spolehlivostí 1 α při neznámé střední hodnotě μ Oboustranný n 1 s χ 1 α ; n 1 s χα Levostranný Pravostranný n 1 S χ 1 α n 1 s χ α kde χ p jsou p-kvantily Chí kvadrát rozdělení s n 1 stupni volnosti

61 Intervalový odhad rozptylu (sm. odchylky) normálního rozdělení Předpokládejme, že sledovaná náhodná veličina X má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou μ a neznámým rozptylem σ. Vyberme vzorek z dané populace. Nechť má tento výběrový soubor rozsah n n < 0,05N a výběrovou směr. odchylku s. (Vzorce a tabulky)

62 Intervalový odhad parametru binom. rozdělení (máme-li k dispozici dostatečně velký výběr) Mějme k dispozici výběrový soubor, jehož rozsah je dostatečně velký n > 30, je menší než 5% rozsahu základního souboru n < 0,05N, splňuje podmínku n > 9 p 1 p. Dle CLV: p ~ N π; π 1 π n, tj. p π π 1 π n ~ N 0; 1 Označme T X = p π π 1 π n. Lze ukázat, že

63 Intervalový odhad parametru binom. rozdělení (máme-li k dispozici dostatečně velký výběr) Intervalový odhad relativní četnosti π se spolehlivostí 1 α n > 30, n N < 0,05, n > 9 p 1 p standardní (Waldův) odhad Oboustranný p z 1 α p 1 p n ; p +z 1 α p 1 p n Levostranný p z 1 α p 1 p Pravostranný p +z 1 α p 1 p n n kde z p jsou p-kvantily normovaného normálního rozdělení

64 Intervalový odhad parametru binom. rozdělení (máme-li k dispozici dostatečně velký výběr) (Vzorce a tabulky)

65 6 Při kontrole data spotřeby určitého druhu masové konzervy ve skladech produktů masného průmyslu bylo náhodně vybráno 30 z konzerv a zjištěno, že 59 z nich má prošlou záruční lhůtu. Stanovte se spolehlivostí 95% intervalový odhad podílu konzerv s prošlou záruční lhůtou. Řešení:

66 6 Při kontrole data spotřeby určitého druhu masové konzervy ve skladech produktů masného průmyslu bylo náhodně vybráno 30 z konzerv a zjištěno, že 59 z nich má prošlou záruční lhůtu. Stanovte se spolehlivostí 95% intervalový odhad podílu konzerv s prošlou záruční lhůtou. Řešení: π podíl konzerv s prošlou záruční lhůtou mezi všemi konzervami Předpoklady: n > 30 n < 0,05N n > 9 p(1 p)

67 6 Při kontrole data spotřeby určitého druhu masové konzervy ve skladech produktů masného průmyslu bylo náhodně vybráno 30 z konzerv a zjištěno, že 59 z nich má prošlou záruční lhůtu. Stanovte se spolehlivostí 95% intervalový odhad podílu konzerv s prošlou záruční lhůtou. Řešení: π podíl konzerv s prošlou záruční lhůtou mezi všemi konzervami Předpoklady: n > 30 (OK, n = 30) n < 0,05N (OK, n = 30, 0,05N = 0, = 1 000) n > 9 p(1 p) (OK, n = 30, p = ,184 9 p(1 p) 59,8) Výpočet: P p z 0,975 p 1 p n < π < p + z 0,975 p 1 p n = 0,95

68 6 Při kontrole data spotřeby určitého druhu masové konzervy ve skladech produktů masného průmyslu bylo náhodně vybráno 30 z konzerv a zjištěno, že 59 z nich má prošlou záruční lhůtu. Stanovte se spolehlivostí 95% intervalový odhad podílu konzerv s prošlou záruční lhůtou. Řešení: π podíl konzerv s prošlou záruční lhůtou mezi všemi konzervami Předpoklady: n > 30 (OK, n = 30) n < 0,05N (OK, n = 30, 0,05N = 0, = 1 000) n > 9 p(1 p) (OK, n = 30, p = ,184 9 p(1 p) 59,8) Výpočet: P , < π < , = 0,95

69 6 Při kontrole data spotřeby určitého druhu masové konzervy ve skladech produktů masného průmyslu bylo náhodně vybráno 30 z konzerv a zjištěno, že 59 z nich má prošlou záruční lhůtu. Stanovte se spolehlivostí 95% intervalový odhad podílu konzerv s prošlou záruční lhůtou. Řešení: π podíl konzerv s prošlou záruční lhůtou mezi všemi konzervami Předpoklady: n > 30 (OK, n = 30) n < 0,05N (OK, n = 30, 0,05N = 0, = 1 000) n > 9 p(1 p) (OK, n = 30, p = ,184 9 p(1 p) 59,8) Výpočet: P 0,14 < π < 0,7 = 0,95

70 Intervalový odhad parametru binom. rozdělení (máme-li k dispozici dostatečně velký výběr) POZOR! Relativní četnost π je z intervalu 0; 1. Je tedy zřejmé, že dolní mez intervalových odhadů relativní četnosti nemůže klesnout pod 0 a horní mez těchto odhadů nemůže být větší než 1! Bylo ukázáno, že standardní (Waldův) odhad není optimální, existuje spousta vhodnějších alternativ (např. Wilsonův odhad, Clopperův-Pearsonův odhad, Agresti-Coullův odhad ).

71 Odhad rozsahu výběru v případě, že odhadujeme střední hodnotu nebo parametr binom. rozdělení chyba odhadu polovina šířky oboustranného intervalu spolehlivosti Požadovanou přesnost výpočtu vyjadřujeme pomocí tzv. přípustné chyby odhadu max, tj. hodnoty o kterou jsme ochotni se zmýlit oproti skutečné hodnotě odhadovaného parametru při dané spolehlivosti odhadu (hladině významnosti).

72 Odhad rozsahu výběru v případě, že odhadujeme střední hodnotu nebo parametr binom. rozdělení Oboustranný intervalový odhad střední hodnoty pro případ, že neznáme rozptyl σ je xҧ σ z n 1 α x ҧ + ; σ z n 1 α. Přípustná chyba odhadu je = σ n z 1 α. Požadujeme-li, aby přípustná chyba odhadu max, pak: σ n z 1 α n max σ max z 1 α

73 Odhad rozsahu výběru v případě, že odhadujeme střední hodnotu nebo parametr binom. rozdělení Odhad rozsahu výběru potřebného pro nalezení interval. odhadu se spolehlivostí 1 α a maximální přípustnou chybou max Požadovaný Odhadovaný populační parametr rozsah výběru Střední hodnota μ (známe σ) Střední hodnota μ (neznáme σ) n n σ max z 1 α s 1 max t 1 α Parametr binom. rozdělení π n n z 1 α z 1 α p 1 1 p 1 max 1 4 max

74 7 Výběrovým šetřením bychom chtěli odhadnout průměrnou mzdu pracovníků určitého výrobního odvětví. Z vyčerpávajícího šetření, které probíhalo před několika měsíci, víme, že směrodatná odchylka mezd byla 750,- Kč. Odhad chceme provést s 95% spolehlivostí a jsme ochotni připustit maximální chybu ve výši 50,-Kč. Jak velký musíme provést výběr, abychom zajistili požadovanou přesnost a spolehlivost?

75 7 Výběrovým šetřením bychom chtěli odhadnout průměrnou mzdu pracovníků určitého výrobního odvětví. Z vyčerpávajícího šetření, které probíhalo před několika měsíci, víme, že směrodatná odchylka mezd byla 750,- Kč. Odhad chceme provést s 95% spolehlivostí a jsme ochotni připustit maximální chybu ve výši 50,-Kč. Jak velký musíme provést výběr, abychom zajistili požadovanou přesnost a spolehlivost? Odhad rozsahu výběru potřebného pro nalezení interval. odhadu se spolehlivostí 1 α a maximální přípustnou chybou max Řešení: n σ max z 1 α Odhadovaný populační parametr Střední hodnota μ (známe σ) Střední hodnota μ (neznáme σ) Požadovaný rozsah výběru σ n z α 1 max n s 1 max t 1 α Parametr binom. rozdělení π n n z 1 α z 1 α p 1 1 p 1 max 1 4 max

76 7 Výběrovým šetřením bychom chtěli odhadnout průměrnou mzdu pracovníků určitého výrobního odvětví. Z vyčerpávajícího šetření, které probíhalo před několika měsíci, víme, že směrodatná odchylka mezd byla 750,- Kč. Odhad chceme provést s 95% spolehlivostí a jsme ochotni připustit maximální chybu ve výši 50,- Kč. Jak velký musíme provést výběr, abychom zajistili požadovanou přesnost a spolehlivost? Řešení: n σ max z 1 α n ,96 n 864,4

77 Intervalový odhad poměru rozptylů dvou náhodných veličin s normálním rozdělením Mějme dva výběry z normálního rozdělení, tj. i = 1,,, n 1, kde n 1 je rozsah prvního výběru: X 1i ~N μ 1 ; σ 1, j = 1,,, n, kde n je rozsah prvního výběru: X j ~N μ ; σ. Nechť S 1 a S jsou výběrové rozptyly daných výběrů. Dle vlastností Fisherova-Snedecorova rozdělení: Označme T X = S 1 Τ σ 1 Τ Τσ, pak je zřejmé, že S S 1 Τ σ 1 Τ S Τσ ~F n1 1,n 1

78 Intervalový odhad poměru rozptylů dvou náhodných veličin s normálním rozdělením Intervalový odhad poměru rozptylů σ 1 σ se spolehlivostí 1 α Oboustranný Levostranný Pravostranný 1 f 1 α S 1 S ; 1 S 1 fα S 1 S 1 f 1 α S 1 S 1 f α S kde f p jsou p-kvantily Fisherova Snedecorova rozdělení s n 1 1 stupni volnosti v čitateli a n 1 stupni volnosti ve jmenovateli (Vzorce a tabulky)

79 Intervalový odhad rozdílů středních hodnot dvou náhodných veličin s normálním rozdělením Intervalový odhad rozdílu středních hodnot dvou populací s normálním rozdělením, z nichž byly pořízeny náhodné výběry, lze provádět za trojího předpokladu. Známe rozptyly σ 1 a σ obou populací. Neznáme rozptyly obou populací, ale lze předpokládat, že jsou shodné. Neznáme rozptyly obou populací a nelze předpokládat, že jsou shodné.

80 Intervalový odhad rozdílů středních hodnot dvou náhodných veličin s normálním rozdělením a) známe rozptyly σ 1 a σ obou populací Mějme dvě populace s normálním rozdělením, jejichž rozptyly σ 1 a σ známe. Z těchto populací jsme provedli dva nezávislé náhodné výběry o rozsahu n 1 a n n 1 < 0,05N, n < 0,05N, a určili jejich průměry xҧ 1 a xҧ. Oboustranný Levostranný Pravostranný Intervalový odhad rozdílu středních hodnot μ 1 μ se spolehlivostí 1 α (známe σ 1, σ ) xҧ 1 xҧ z 1 α xҧ 1 xҧ 1 σ 1 + σ ; n 1 n xҧ 1 xҧ σ xҧ z 1 1 α σ xҧ + z 1 1 α + σ n 1 + z 1 α n + σ n 1 kde z p jsou p-kvantily normovaného normálního rozdělení n σ 1 n 1 + σ n (Vzorce a tabulky)

81 Intervalový odhad rozdílů středních hodnot dvou náhodných veličin s normálním rozdělením b) neznáme jejich rozptyly σ 1 a σ, ale víme, že σ 1 = σ Mějme dvě populace s normálním rozdělením, jejichž rozptyly neznáme, ale víme, že jsou shodné. Z těchto populací jsme provedli dva nezávislé náhodné výběry o rozsahu n 1 a n (n 1 < Oboustranný Levostranný Intervalový odhad rozdílu středních hodnot μ 1 μ se spolehlivostí 1 α (neznáme σ 1, σ, ale víme, že σ 1 = σ ) xҧ 1 xҧ t 1 α n 1 1 s 1 + n 1 s n 1 +n 1 n n ; xҧ 1 xҧ + t 1 α n xҧ 1 xҧ t 1 1 s 1 + n 1 s 1 α n 1 +n n 1 1 s 1 + n 1 s 1 n 1 +n n n 1 n n Pravostranný n xҧ 1 xҧ + t 1 1 s 1 + n 1 s 1 α n 1 +n 1 n n kde t p jsou p-kvantily Studentova rozdělení s n 1 + n stupni volnosti (Vzorce a tabulky)

82 Intervalový odhad rozdílů středních hodnot dvou náhodných veličin s normálním rozdělením c) neznáme jejich rozptyly σ 1 a σ, a nelze předpokládat, že σ 1 = σ Mějme dvě populace s normálním rozdělením, jejichž rozptyly neznáme a nelze předpokládat, že jsou shodné. Z těchto populací jsme provedli dva nezávislé náhodné výběry o rozsahu n 1 a n n 1 < 0,05N, n < 0,05N, a určili jejich průměry xҧ 1 a xҧ a výběrové směrodatné odchylky s 1 a s. Oboustranný Levostranný Pravostranný Intervalový odhad rozdílu středních hodnot μ 1 μ se spolehlivostí 1 α (neznáme σ 1, σ, a nelze předpokládat, že σ 1 = σ ) xҧ 1 xҧ t 1 α xҧ 1 xҧ 1 s 1 + s ; n 1 n xҧ 1 xҧ s xҧ t 1 1 α s xҧ + t 1 1 α + s n 1 + t 1 α n + S n 1 n s 1 n 1 + s n kde t p jsou p-kvantily Studentova rozdělení s S 1 n1 S 1 n1 +S n 1 n1+1 + S n stupni volnosti 1 n+1 (Vzorce a tabulky)

83 Intervalový odhad pro rozdíl parametrů binom. rozdělení dvou náhodných veličin Mějme dvě populace. Z těchto populací jsme provedli dva nezávislé náhodné výběry o rozsahu n 1 a n. Výběr z první populace obsahoval x 1 prvků se sledovanou vlastností, výběr z druhé populace obsahoval x prvků se sledovanou vlastností. Výběrové relativní četnosti p 1, p jsme pak určili dle vztahů p 1 = x 1, p n = x. 1 n Mají-li výběrové soubory rozsahy, které jsou dostatečně velké n 1 > 30, n > 30, jsou menší než 5% rozsahu základního souboru n 1 < 0,05N, n < 0,05N, splňují podmínky n 1 > pak 9 p 1 1 p 1, n > 9 p 1 p,

84 Intervalový odhad pro rozdíl parametrů binom. rozdělení dvou náhodných veličin Mějme dvě populace. Z těchto populací jsme provedli dva nezávislé náhodné výběry o rozsahu n 1 a n n 1 < 0,05N, n < 0,05N. Výběr z první populace obsahoval x 1 prvků se sledovanou vlastností, výběr z druhé populace obsahoval x prvků se sledovanou vlastností. Výběrové relativní četnosti p 1, p jsme pak určili dle vztahů p 1 = x 1, p n = x. 1 n Intervalový odhad rozdílu relativních četností π 1 π se spolehlivostí 1 α 9 i 1, : n i > 30, n i < 0,05N i, n i > p i 1 p i Oboustranný p 1 p z 1 α p 1 p 1 n n ; p 1 p + z 1 α Levostranný p 1 p z 1 α p 1 p Pravostranný p 1 p + z 1 α p 1 p 1 n n 1 n n p 1 p 1 n n kde z p jsou p-kvantily normovaného normálního rozdělení (Vzorce a tabulky)

85 DĚKUJI ZA POZORNOST!