Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Reprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005"

Transkript

1 Reprezentace přirozených čísel ve ibonacciho soustavě rantiše Maňá, JI ČVUT, 2005 Úvod Ja víme, přirozená čísla lze vyádřit různými způsoby Nečastěi zápisu čísel používáme soustavu desítovou, ale umíme používat i iné soustavy napřílad dvoovou a osmičovou V tomto článu se budeme zabývat reurentně zadanými číselnými soustavami, zeména pa soustavou ibonacciho Číselné soustavy Definice: Nechť Z ( ) Z e ostře rostoucí posloupnost celých čísel taová, že Z 0 Reprezentací přirozeného čísla n v soustavě Z rozumíme onečnou posloupnost celočíselných oeficientů ( ) ( a a L a ) Z n a taovou, že a Z Číslo n v soustavě Z zapisueme ao n a číslo nazýváme délou reprezentace Vidíme, že edno přirozené číslo může mít více reprezentací v dané soustavě Z Mezi všemi reprezentacemi daného n e nevýznamněší tzv hladový rozvo, terý zísáme hladovým algoritmem Na množině rozvoů přirozeného čísla n lze definovat tzv lexiograficé uspořádání a dá se uázat, že hladový rozvo e lexiograficy nevětší ze všech možných rozvoů přirozeného čísla n Jeho důležitost spočívá zeména v tom, že e pro aždé číslo n určen ednoznačně ibonacciho číselná soustava Jedná se o číselnou soustavu, eíž zálad tvoří prvy ibonacciho posloupnosti tzv ibonacciho čísla Ta sou definována následovně:, a pro 2 definueme Existue i přímý vzorec pro n-té ibonacciho číslo: n 5 n ( ( ) ) + n τ τ + Definice: Nechť + 5 5, deτ a τ 2 2 n N Posloupnost a L a splňuící n a nazveme a 0, pro a) ibonacciho rozvoem čísla n, poud { } b) ibonacciho reprezentací čísla n, poud a N pro Zapisueme n ( a a a ) L Hladový rozvo: Lexiograficy nevětší, neobsahue dvě edničy vedle sebe Líný rozvo: Lexiograficy nemenší, neobsahue dvě nuly vedle sebe Zápis přirozeného čísla n ao součet různých ibonacciho čísel není ednoznačný Přílad: Vypišme něteré možné rozvoe čísla n 63: (000000) (000)

2 Hladový rozvo čísla 63: ( ) Reprezentace, terá není rozvo: (202000) Z definice ibonacciho čísel vyplývá následuící pravidlo pro rozvoe: Poud ve ibonacciho rozvoi čísla n zaměníme libovolnou sevenci 00 za 0 nebo naopa, zísáme ibonacciho rozvo steného čísla Postupným zaměňováním těchto sevencí zísáme všechny ibonacciho rozvoe čísla n K převodu přirozeného čísla do ibonacciho soustavy použieme hladový algoritmus, terý e pro ibonacciho soustavu ednodušší, než pro soustavy obecné Zednodušení e možné díy omezení oeficientů a efetivnímu výpočtu ibonacciho čísel Hladový algoritmus e velmi podobný algoritmu pro převádění čísel z desítové soustavy do dvoové Podařilo se uázat, že průměrný počet nul za první edničou v hladovém rozvoi onvergue hodnotě τ 2 2, 68 Proto ve hladovém algoritmu budeme ibonacciho čísla počítat zpětně dle vztahu r r2 r Poznáma: Pro hladový rozvo čísla n N používáme často zápis n i Zápisem 0 rozumíme edniču a za ní i nul Poznameneme, že hladový rozvo ibonacciho čísla n má právě n míst, z toho na prvním místě e edniča a za ní následue n nul L Počet rozvoů přirozeného čísla n ve ibonacciho soustavě Chceme zoumat, oli existue různých ibonacciho rozvoů daného přirozeného čísla n Dále nás zaímaí vlastnosti funce, terá tuto neednoznačnost popisue Definice: Nechť n N Definueme následuící funce: R(n) počet všech možných rozvoů čísla n do ibonacciho soustavy R 0 (n) počet rátých rozvoů čísla n, t těch, teré maí délu menší než hladový R (n) počet dlouhých rozvoů n, t těch, teré maí stenou délu ao hladový Je zřemé, že platí: ( n) R ( n) R ( n) R 0 + symetricá a platí R( + i) R( + i) Dále se podařilo uázat, že funce R(n) e pro aždé i 0, K, 2 unce R(n)

3 Metody pro výpočet hodnot R(n): a) Přímá metoda využívá nahrazování sevencí 00 za 0 Vychází z hladového rozvoe, e velmi zdlouhavá a neefetivní Používá se pro výpis všech možných rozvoů daného přirozeného čísla n b) Gi Hi metoda velmi rychlá a efetivní metoda pro výpočet hodnot R(n) založená na výpočtu hodnot dvou velmi rychle onverguících posloupností Vychází z hladového algoritmu, onrétně pa z počtů nul mezi sousedícími edničami v hladovém rozvoi Metoda e složitosti O(log n) c) Berstelova metoda rovněž velmi rychlá a efetivní metoda pro výpočet hodnot R(n) založená na Berstelově maticovém schématu Využívá reurzivních vlastností posloupnosti R(n) a e stené složitosti ao metoda Gi Hi, tedy O(log n) Vlastnosti funce R(n) unce R(n) byla podrobena rozsáhlému výzumu Podařilo se neen doázat eí symetrii, ale taé polohu a ednoznačný tvar všech eich maxim a minim Podařilo se uázat, aá přirozená čísla maí maximální možný počet rozvoů do ibonacciho číselné soustavy, uvažueme-li rozvoe pevné dély Pro hledání maxim této funce potřebueme definovat následuící funce: Max ArgMax ( n) max { R( ) n < n+ } ( n) { N < R( ) Max( n) } n n+ unce Max(n) udává maximální počet rozvoů čísla v intervalu mezi sousedními ibonacciho čísly Jde o maximum počtu rozvoů na všech číslech, eichž hladový rozvo má ve ibonacciho soustavě n míst unce ArgMax(n) e množina všech čísel z intervalu, na terých funce R() svého maxima nabývá n n+ Zde e souhrn poznatů o funci R(n), teré se podařilo doázat: a) Pro všechna n N platí R ( n) a navíc R ( n) n pro něaé n n b) R( n ) R( 0 ) + 2 c) lim inf R ( n), lim sup R( n) + d) Max ( 2 + ) +, Max( 2 + 2) 2 e) Pro n lichá maí hladové rozvoe čísel, na terých funce R nabývá maxima, tvar ArgMax( 4 + ) {( 0 L0 0 ),( 0 0 L0 0 ) }, de počet sevencí 0 3 e roven Pro 2 bude navíc v množině ArgMax prve ( ) ArgMax( 4 + 3) {( 0 L0 0 ),( 0 0 L0 0 ) }, de počet sevencí 0 3 e roven v prvním rozvoi a ve druhém rozvoi f) Pro n sudá, n > 5, zísáme množinu ArgMax(n) ta, že prvům množiny ArgMax ( n 3) přidáváme na začáte a na onec sevenci 00 Nesmíme vša přidávat tuto sevenci současně na začáte i na onec rozvoe g) R( 0 L 0 0 ) R( 0 0 L0 0 ) 2 +, de počet bloů 0 3 e roven h) R( 0 L 0 0 ) R( 0 0 L0 0 ) 2 + 2, de počet bloů 0 3 v prvním čísle e roven a ve druhém čísle roven

4 i) Nechť N r r n, n ( 0 ) 0 L Poud existue i { K,, } ta, že r 5, potom R(n) není maximální (pro rozvoe dély + i r i ) r r ) Poud existue i {, K, 2} taové, že r i 4, potom rovněž R( 0 0 ) L není maximální n ) Průměrná hodnota R na intervalu, n n+ e přibližně rovna 5 2 n 3 τ i Reurzivní generování R(n) Byly odvozeny nové algoritmy založené na reurzivních vlastnostech R(n), teré umožnily generovat hodnoty této funce po velých blocích a přispěly ta urychlení výpočtu hodnot této funce Rovněž v dalších partiích, teré tuto funci využívaí, byly velmi přínosné Poznaty byly apliovány taé v algoritmu na hledání maxim R(n), de se podařilo původní složitost řádu O(n log n) snížit na řád O(n) unce r(m) a eí vlastnosti unce r(m) udává četnost výsytu hodnoty m v palindromech posloupnosti R(n) Jeí formální definice e následuící: Definice: Nechť n N Definueme množinu B m r r ( ) ω 0 L 0 r, r 2, R ω m { ( ) } Definueme funci r(m) #B(m), de # značí počet prvů množiny unce r(m) e velmi chaoticá Nicméně se podařilo o ní doázat následuící tvrzení: a) Prvy množiny B(m) maí rozvoe omezené dély Tedy pro ω B( m) platí ω 2m b) Nechť m, 2m Potom počet výsytů čísla m mezi čísly R( ),, ( K R + ) e roven r(m) #B(m) c) Nechť m N, m 2 Potom hodnota funce r(m) e sudé číslo Pro výpočet hodnot funce r(m) e nutné vyít ze vzorce, terý e poněud nepřehledný, ale terý dává funci r(m) do souvislosti s Eulerovou funcí φ : r m d ( m) φ r( d ) d < m d m S využitím tohoto vztahu spolu se známými vlastnostmi Eulerovy funce můžeme odvodit velmi nepřehledný vzorec, pomocí terého budeme moci hodnoty r(m) algoritmicy vypočítat Algoritmus bude založen na rychlém výpočtu hodnot Eulerovy funce tzv Eratostenovu sítu Rovněž můžeme zformulovat vztah pro přímý vzorec r(m) pro něterá m φ m 2 (m ) a) Nechť m e prvočíslo Potom r(m) 2 ( ) Potom ( ) ( )( ) b) Nechť m e prvočíslo a N r p 2 p 2 p Poznameneme, že další zobecnění není přímočaré z důvodů extrémní chaotičnosti funce r

5 Výpočet hodnot funce r(m) a) S využitím reurzivních vlastností R(n) algoritmus exponenciální složitosti b) S využitím Eratostenova síta algoritmus složitosti O(m ln m) Úsalí spočívá ve správném naprogramování velmi nepřehledného vzorce a efetivním výpočtu hodnot unce r(m) unce r(m) e opravdu velmi chaoticá Eulerova funce φ ( n)

6 ibonacciho reprezentace přirozeného čísla Počet reprezentací přirozeného čísla ve ibonacciho soustavě e vetší nebo roven počtu eho rozvoů Každý rozvo e zároveň i reprezentací, opačné tvrzení ale neplatí Definice: Nechť n N Definume funci B(n) počet ibonacciho reprezentací čísla n Pro tuto funci byl odvozen reurzivní vzorec a algoritmus pro výpočet eích hodnot, Definueme ( ) Definice: Nechť i n N b n, i počet ibonacciho reprezentací čísla n, de nevětší ibonacciho číslo vysytuící se v součtu e i Věta: Nechť, n N taová, že n < + Potom ( n, i) 0 b pro i >, i N Věta: Pro hodnoty b ( n, i) definované výše platí: b( n, i) b( n i, i) + b( n i, i ) + L + b( n i,) Spolu s počáteční podmínou b ( 0,) ta zísáváme vzorec pro výpočet hodnot ( n i) Pro výpočet hodnot B(n) použieme vztah B( n) b( n i) i b,,, de, n N a n < + První pozorování uazuí, že hodnoty B(n) rostou exponenciálně Toto pozorování se prozatím nepodařilo matematicy doázat Co se ale doázat podařilo, sou následuící tvrzení: a) unce B(n) e rostoucí b) Pro všechna N 2 n n n platí: b ( n, ), b ( n,2), ( n,3) + 2 b 2 2 unce B(n)

7 Závěr Pro práci s ibonacciho soustavou byl vytvořen program ibonacci3, terý si lze spolu s celou diplomovou prací stáhnout z adresy Tento program umožnil vzninout spoustě vět a definic týaících se ibonacciho soustavy a funcí na ní definovaných Poslouží taé další práci s ibonacciho soustavou, apliaci výsledů na onrétní problematiu a další Zmíním taé možnost používat rychlého výpočtu Eulerovy funce, terá e užitečná zeména v oblasti disrétní matematiy a ryptologie Rovněž z odvozených matematicých poznatů může vycházet další práce

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

3. Mocninné a Taylorovy řady

3. Mocninné a Taylorovy řady 3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáša 02 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Náhodné veličiny Záladní definice Nechť je dán pravděpodobnostní prostor

Více

- Pokud máme na množině V zvoleno pevné očíslování vrcholů, můžeme váhovou funkci jednoznačně popsat. Symbolem ( i)

- Pokud máme na množině V zvoleno pevné očíslování vrcholů, můžeme váhovou funkci jednoznačně popsat. Symbolem ( i) DSM2 C 8 Problém neratší cesty Ohodnocený orientoaný graf: - Definice: Ohodnoceným orientoaným grafem na množině rcholů V = { 1, 2,, n} nazýáme obet G = V, w, de zobrazení w : V V R { } se nazýá áhoá funce

Více

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 PŘEDNÁŠKA 5 MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 Multiriteriální rozhodování

Více

1 Gaussova kvadratura

1 Gaussova kvadratura Cvičení - zadání a řešení úloh Zálady numericé matematiy - NMNM0 Verze z 7. prosince 08 Gaussova vadratura Fat, že pro něterá rovnoměrná rozložení uzlů dostáváme přesnost o stupeň vyšší napovídá, že pro

Více

6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032

6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032 III. Opaované pousy, Bernoulliho nerovnost. Házíme pětrát hrací ostou a sledujeme výsyt šesty. Spočtěte pravděpodobnosti možných výsledů a určete, terý má největší pravděpodobnost. Řešení: Jedná se o serii

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Hakimiho

9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Hakimiho Typicé přílady pro zápočtové písemy DiM 470-301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 018) 1 9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Haimiho 9.1. Doážete nareslit graf na 9 vrcholech, ve terém mají aždé dva

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Binomická věta

Binomická věta 97 Binomicá věta Předpolady: 96 Kdysi dávno v prvním ročníu jsme se učili vzorce na umocňování dvojčlenu Př : V tabulce jsou vypsány vzorce pro umocňování dvojčlenu Najdi podobnost s jinou dosud probíranou

Více

Geometrická zobrazení

Geometrická zobrazení Pomocný text Geometricá zobrazení hodná zobrazení hodná zobrazení patří nejjednodušším zobrazením na rovině. Je jich vša hrozně málo a často se stává, že musíme sáhnout i po jiných, nědy výrazně složitějších

Více

4 všechny koeficienty jsou záporné, nedochází k žádné změně. Rovnice tedy záporné reálné kořeny nemá.

4 všechny koeficienty jsou záporné, nedochází k žádné změně. Rovnice tedy záporné reálné kořeny nemá. Přílad 1. Řešte v R rovnici x 4x + x 4 0. Výslede vypočtěte s přesností alespoň 0,07. 1) Reálné ořeny rovnice budou ležet v intervalu ( 5,5), protože největší z oeficientů polynomu bez ohledu na znaméno

Více

(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.

(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu. 2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáša 04 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Záon velých čísel Lemma Nechť náhodná veličina nabývá pouze nezáporných

Více

Měření indukčností cívek

Měření indukčností cívek 7..00 Ṫeorie eletromagneticého pole Měření indučností cíve.......... Petr Česá, studijní supina 05 Letní semestr 000/00 . Měření indučností cíve Měření vlastní a vzájemné indučnosti válcových cíve ZAÁNÍ

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Buckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)

Buckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Bucinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Formalizace rozměrové analýzy ( výsledné jednoty na obou stranách musí souhlasit ). Rozměr fyziální veličiny Mějme nějaou třídu jednote, napřílad [(g,

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Dynamika populací s oddělenými generacemi

Dynamika populací s oddělenými generacemi Dynamia populací s oddělenými generacemi Tento text chce představit nejjednodušší disrétní deterministicé dynamicé modely populací. Deterministicé nebudeme uvažovat náhodné vlivy na populace působící nebo

Více

4. Přednáška: Kvazi-Newtonovské metody:

4. Přednáška: Kvazi-Newtonovské metody: 4 Přednáša: Kvazi-Newtonovsé metody: Metody s proměnnou metriou, modifiace Newtonovy metody Efetivní pro menší úlohy s hustou Hessovou maticí Newtonova metoda (opaování): f aproximujeme loálně vadraticou

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

20 - Číslicové a diskrétní řízení

20 - Číslicové a diskrétní řízení 20 - Číslicové a disrétní řízení Michael Šebe Automaticé řízení 2013 22-4-14 Analogové a číslicové řízení Proč číslicově? Snadno se přeprogramuje (srovnej s výměnou rezistorů/apacitorů v analogové řídicím

Více

Přednáška 3: Limita a spojitost

Přednáška 3: Limita a spojitost 3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

Číselné posloupnosti

Číselné posloupnosti Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a

Více

Hodnocení přesnosti výsledků z metody FMECA

Hodnocení přesnosti výsledků z metody FMECA Hodnocení přesnosti výsledů z metody FMECA Josef Chudoba 1. Úvod Metoda FMECA je semivantitativní metoda, pomocí teré se identifiují poruchy s významnými důsledy ovlivňující funci systému. Závažnost následů

Více

Metoda konjugovaných gradientů

Metoda konjugovaných gradientů 0 Metoda onjugovaných gradientů Ludě Kučera MFF UK 11. ledna 2017 V tomto textu je popsáno, ja metodou onjugovaných gradientů řešit soustavu lineárních rovnic Ax = b, de b je daný vetor a A je symetricá

Více

Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky

Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky V této kapitole dáme biostatistiku do kontextu s teorií pravděpodobnosti, z níž biostatistika společně se statistikou vycházeí Cílem e zavést důležité

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme

Více

Vliv marketingového dotazování na identifikaci tržních segmentů

Vliv marketingového dotazování na identifikaci tržních segmentů Vliv aretingového dotazování na identifiaci tržních segentů Jední z líčových fatorů stanovení optiální aretingové strategie e správně provedená identifiace a následné vyezení tržních segentů cílového trhu.

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Mocnost bodu ke kružnici

Mocnost bodu ke kružnici 3..0 ocnost bodu e ružnici Předpolady: 309 Př. : Je dána ružnice a bod, ležící vně ružnice. Veď bodem dvě různé sečny ružnice p a p. Průsečíy sečny p,. Průsečíy sečny p,. Změř potřebné vzdálenosti a spočti

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Obsah přednášky. 1. Principy Meta-learningu 2. Bumping 3. Bagging 4. Stacking 5. Boosting 6. Shrnutí

Obsah přednášky. 1. Principy Meta-learningu 2. Bumping 3. Bagging 4. Stacking 5. Boosting 6. Shrnutí 1 Obsah přednášy 1. Principy Meta-learningu 2. Bumping 3. Bagging 4. Stacing 5. Boosting 6. Shrnutí 2 Meta learning = Ensemble methods Cíl použít predici ombinaci více různých modelů Meta learning (meta

Více

Mocnost bodu ke kružnici

Mocnost bodu ke kružnici 3.. ocnost bodu e ružnici Předpolady: 03009 Př. : Je dána ružnice a bod, ležící vně ružnice. Veď bodem dvě různé sečny ružnice p a p. Průsečíy sečny p s ružnicí označ A, B. Průsečíy sečny p s ružnicí označ

Více

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici [1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

NUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika I)

NUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika I) NUMP0 (Pravděpodobnost a Matematicá statistia I Střední hodnota disrétního rozdělení. V apce máte jednu desetiorunu, dvě dvacetioruny a jednu padesátiorunu. Zloděj Vám z apsy náhodně vybere tři mince.

Více

PRVOČÍSLA 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah

PRVOČÍSLA 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah PRVOČÍSLA Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah. Elementární úlohy o prvočíslech 2. Kongruence 2 3. Algebraicé rovnice a polynomy 3 4. Binomicá a trinomicá věta 5 5. Malá Fermatova věta 7 6. Diferenční

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Systé my, procesy a signály I - sbírka příkladů

Systé my, procesy a signály I - sbírka příkladů Systé my, procesy a signály I - sbíra příladů Ř EŠEÉPŘ ÍKLADY r 6 Urč ete amplitudu, opaovací periodu, opaovací mitoč et a počáteč ní fázi disrétních harmonicých signálů a) s( ) = cos π, b) s ( ) 6 = π

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Plánování projektu. 3. dubna Úvod. 2 Reprezentace projektu. 3 Neomezené zdroje. 4 Variabilní doba trvání. 5 Přidání pracovní síly

Plánování projektu. 3. dubna Úvod. 2 Reprezentace projektu. 3 Neomezené zdroje. 4 Variabilní doba trvání. 5 Přidání pracovní síly Plánování proektu 3. dubna 2018 1 Úvod 2 Reprezentace proektu 3 Neomezené zdroe 4 Variabilní doba trvání 5 Přidání pracovní síly Problémy plánování proektu Zprostředkování, instalace a testování rozsáhlého

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

Godunovovy metody pro 1D-Eulerovy rovnice

Godunovovy metody pro 1D-Eulerovy rovnice Godunovovy metody pro D-Eulerovy rovnice Řešte Eulerovy rovnice w t + f(w) w(0, t) = = o, x (0, l), t (0, T ), w(l, 0) w(x, 0) = w 0 (x), = 0, t (0, T ), x (0, l), w = (ϱ, ϱu, E) T, f(w) = (ϱu, ϱu + p,

Více

Rozlišujeme dva základní typy šifrování a to symetrické a asymetrické. Symetrické

Rozlišujeme dva základní typy šifrování a to symetrické a asymetrické. Symetrické 1 Šifrování Kryptografie Každý z nás si určitě umí představit situaci, dy je důležité utajit obsah posílané zprávy ta aby ho byl schopen přečíst jen ten omu je určená a nido nepovolaný nebyl schopen zjistit

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Číselné posloupnosti. H (å) a. a å

Číselné posloupnosti. H (å) a. a å Pokud napíšeme značku H a (ε), je třeba dát pozor, neboť značka je stejná u komplexního i u reálného okolí, ačkoliv jde o jinou množinu (reálné okolí je jen otevřený interval na reálné ose, komplexní zahrnuje

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a záladní vzdělávání Jaroslav Švrče a oletiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematia a její apliace Tematicý oruh: Práce s daty ombinatoria

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOL BÁŇSKÁ TECHICKÁ UIVERZIT OSTRV FKULT STROJÍ MTEMTIK II V PŘÍKLDECH CVIČEÍ Č 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Ostrava 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Vysoá šola báňsá Technicá univerzita Ostrava

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 000/00 Michal Marvan 3. Matice lineárního zobrazení V této přednášce budeme používat indexy dvoího druhu:

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 63. roční matematicé olympiády Úlohy rajsého ola ategorie A 1. Najděte všechna celá ladná čísla, terá nejsou mocninou čísla 2 a terá se rovnají součtu trojnásobu svého největšího lichého dělitele a pětinásobu

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

1 Seznamová barevnost úplných bipartitních

1 Seznamová barevnost úplných bipartitních Barvení grafů pravděpodobnotní důazy Zdeně Dvořá 7. proince 208 Seznamová barevnot úplných bipartitních grafů Hypergraf je (labě) -obarvitelný, jetliže exituje jeho obarvení barvami neobahující monochromaticou

Více

Statistika I (KMI/PSTAT)

Statistika I (KMI/PSTAT) Statistika I (KMI/PSTAT) Cvičení druhé aneb Kvantily, distribuční funkce Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 1 Co se dnes naučíme Po absolvování této hodiny byste měli být schopni: rozumět pojmu modus (modální

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

a) formulujte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence b) pomocí tohoto kritéria ukažte, že funkční řada konverguje stejnoměrně na celé R

a) formulujte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence b) pomocí tohoto kritéria ukažte, že funkční řada konverguje stejnoměrně na celé R ) ČÍSELNÉ A FUNKČNÍ ŘADY (5b) a) formulujte Leibnitzovo ritérium včetně absolutní onvergence b) apliujte toto ritérium na řadu a) formulujte podílové ritérium b) posuďte onvergenci řad c) oli členů této

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

20 - Číslicové a diskrétní řízení

20 - Číslicové a diskrétní řízení 20 - Číslicové a disrétní řízení Michael Šebe Automaticé řízení 2018 18-4-18 Automaticé řízení - Kybernetia a robotia Analogové a číslicové řízení Proč číslicově? Snadno se přeprogramuje (srovnej s výměnou

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

Exponenciální funkce. a>1, pro a>0 a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto

Exponenciální funkce. a>1, pro a>0 a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto Exponenciální funkce Exponenciální funkce je taková funkce, která má neznámou na místě exponentu. Symbolický zápis by tedy vypadal takto: f:y = a x, kde a > 0 a zároveň a 1 (pokud by se a mohlo rovnat

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. Úloha 1 - Koupě nového televizoru SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Chceme si oupit nový televizor v hodnotě 000,-Kč. Bana nám půjčí, přičemž její úroová sazba činí 11%. Předpoládejme, že si půjčujeme na jeden ro a

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více