Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky"

Transkript

1 řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesůvvzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická a Bayesovská statistika

2 Opakování klíčové principy biostatistiky Zkreslení Významnost Reprezentativnost Spolehlivost Srovnatelnost

3 Opakování příčina a důsledek říklad: Farmaceutická společnost se snaží o kategorizaci nového přípravku proti běžné rýmě. Jako důkaz účinnosti přípravku provedla společnost experiment, kdy byl její přípravek podán velkému množství pacientů s rýmou. S potěšením pak firma reportovala Státnímu ústavu pro kontrolu léčiv, že 90 % pacientů se po 10 dnech užívání cítilo lépe. SÚKL přesto přípravek neschválil. roč?

4 Statistika, biostatistika a analýza dat Statistika nalýza dat rimárně je zaměřena na vývoj metod a algoritmů pro řešení teoretických problémů. Nicméně i statistika je vždy primárně motivována reálnými problémy. Vychází z teorie pravděpodobnosti. ropojení znalosti statistických metod a dané problematiky v řešení biologických a klinických úloh. Na prvním místě není teoretický vývoj, ale aplikace. Velmi obecná oblast bez jasné definice. rostupuje různými odvětvími. Zahrnuje komplexní postupy hodnocení dat čištění, kódování. Nemusí být založena na statistice.

5 vychází ze statistiky je aplikace statistických metod v řešení biologických a klinických problémů. Snahou je získat z pozorovaných dat užitečnou informaci. V popředí zájmu je pozorovaná variabilita mezi studovanými subjekty, kterou chceme vysvětlit.

6 Statistický pohled na problém Cílová populace chceme postihnout konkrétní problém. Získáme experimentální vzorek cílové populace pozorování, která převedeme na číselné vyjádření data. Vzorek by měl být reprezentativní a náhodný. ředpokládáme pravděpodobnostní chování model tohoto vzorku tedy i cílové populace. Konkrétní problém vyjádříme ve vybraném modelu jako hypotézu. Zhodnotíme hypotézu na základě vybraného modelu a pozorovaných dat.

7 Statistika vychází z pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti se zabývá modelováním náhody. Lze nějak ale vyjádřit, co je to náhoda?

8 Statistika vychází z pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti se zabývá modelováním náhody. Lze nějak ale vyjádřit, co je to náhoda? Objektivní nepředvídatelnost? Nedostatek informací?

9 Statistika vychází z pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti se zabývá modelováním náhody. Lze nějak ale vyjádřit, co je to náhoda? Objektivní nepředvídatelnost? Nedostatek informací? Chance is only ignorance of the connections between phenomena. ierre Simon de Laplace

10 Značení Základní prostor Ω množina všech možných výsledků experimentu Elementární jev ω konkrétní výsledek experimentu Náhodný jev podmnožina základního prostoru Množina všech jevů množina všech podmnožin základního prostoru Ø představuje jev nemožný, Ω zase jev jistý Množinové operace mají v teorii pravděpodobnosti svůj význam: 1. ω jev nastane, když nastane ω 2. ω jev nenastane, když nastane ω 3. B nastání jevu implikuje nastání jevu B 4. B nastání jevu azároveň jevu B 5. B nastání jevu nebo jevu B 6. B = 0 jevy ab se navzájem vylučují, jsou disjunktní 7. c nastání jevu opačného k jevu

11 říklad hod kostkou Jak vypadá základní prostor

12 říklad hod kostkou Jak vypadá základní prostor: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jaké jsou elementární jevy příznivé jevu, padne liché číslo

13 říklad hod kostkou Jak vypadá základní prostor: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jaké jsou elementární jevy příznivé jevu, padne liché číslo: = {1, 3, 5} Uvažujme = {1, 3, 5}, B= {4, 5, 6}. Jak vypadá B B

14 říklad hod kostkou Jak vypadá základní prostor: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jaké jsou elementární jevy příznivé jevu, padne liché číslo: = {1, 3, 5} Uvažujme = {1, 3, 5}, B= {4, 5, 6}. Jak vypadá B = {5} B = {1, 3, 4, 5, 6} = {2, 4, 6}

15 DeMorganova pravidla 1. B c 2. B c = = c c B c B c říklad: Uvažujme opět hod kostkou a jevy = {1, 3, 5} a B = {4, 5, 6}.

16 ravděpodobnost ravděpodobnost lze definovat jako funkci, která přiřazuje náhodnému jevu reálné číslo mezi 0 a 1. Je to tedy funkce : [0,1]. Musí platit následující: , 1. B B B + = = Ω = Ω = φ φ

17 Definice pravděpodobnosti Klasická definice pravděpodobnosti: předpokládáme, že Ω je konečná a všechny ω jsou stejně pravděpodobné. ak Ω = Ω kde je počet prvků množiny počet elementárních jevů jevu. xiomatická definice pravděpodobnosti: Ω je libovolná množina elementárních jevů, je množina měřitelných jevů je podmnožina. Funkce : [0,1], která splňuje 1. Ω = 1 2. n n 1, 2,... Ω: i j = φ, i j Ui= 1 i = i = 1 i se nazývá pravděpodobnost. Trojice Ω,, se nazývá pravděpodobnostní prostor.

18 Definice pravděpodobnosti najděte 3 rozdíly Klasická definice pravděpodobnosti: předpokládáme, že Ω je konečná a všechny ω jsou stejně pravděpodobné. ak Ω = Ω kde je počet prvků množiny počet elementárních jevů jevu. xiomatická definice pravděpodobnosti: Ω je libovolná množina elementárních jevů, je množina měřitelných jevů je podmnožina. Funkce : [0,1], která splňuje 1. Ω = 1 2. n n 1, 2,... Ω: i j = φ, i j Ui= 1 i = i = 1 i se nazývá pravděpodobnost. Trojice Ω,, se nazývá pravděpodobnostní prostor.

19 Co to znamená? xiomatická definice připouští i nespočetný základní prostor, tedy nespočetnou množinu elementárních jevů. říklady: hod kostkou měření výšky lidské postavy xiomatická definice připouští různou pravděpodobnost různých elementárních jevů. říklady: hod kostkou měření výšky lidské postavy

20 Nezávislost jevů Dva jevy ab jsou nezávislé právě tehdy, když platí B = B Jsou li dva jevy ab nezávislé, pak i c je nezávislé na B je nezávislé na B c c je nezávislé na B c

21 Nezávislost jevů Dva jevy ab jsou nezávislé právě tehdy, když platí B = B Jsou li dva jevy ab nezávislé, pak i c je nezávislé na B je nezávislé na B c c je nezávislé na B c říklad: Uvažujme opět hod kostkou a jevy = {1, 3, 5} a B = {4, 5, 6}. B = 1/6 1/ 4 = B Jevy ab tedy nejsou nezávislé.

22 odmíněná pravděpodobnost Máme li jev B s pravděpodobností B >0, pak podmíněnou pravděpodobnost jevu za podmínky nastoupení jevu B definujeme jako B B = B ro nezávislé jevy ab platí B B = = B

23 odmíněná pravděpodobnost Ω B B = B B B

24 odmíněná pravděpodobnost říklad: Osoba X má všechny typické příznaky chřipky. ravděpodobnost, že se jedná o klasickou chřipku je 0,7 jev, prasečí chřipku 0,2 jev B, ptačí chřipku 0,05 jev C a dosud neznámou formu 0,05 jev D. Diagnostický test prokázal, že klasická chřipka to není. Jaká je nyní pravděpodobnost, že se jedná o novou formu chřipky?

25 odmíněná pravděpodobnost říklad: Osoba X má všechny typické příznaky chřipky. ravděpodobnost, že se jedná o klasickou chřipku je 0,7 jev, prasečí chřipku 0,2 jev B, ptačí chřipku 0,05 jev C a dosud neznámou formu 0,05 jev D. Diagnostický test prokázal, že klasická chřipka to není. Jaká je nyní pravděpodobnost, že se jedná o novou formu chřipky? Řešení: c c D D 0,05 D = = = = 0,167 c c 0,3

26 Celková pravděpodobnost a Bayesůvvzorec Můžeme li rozdělit základní prostor na k po dvou disjunktních podmnožin i, i = 1,, k, pro které zároveň platí, že jejich sjednocení je celý základní prostor tzv. systém hypotéz, pak pravděpodobnost jevu lze získat jako Dále platí = = k i i i 1 = = = k i i i j j j j 1 Bayesůvvzorec Vzorec pro celkovou pravděpodobnost

27 očasí a celková pravděpodobnost Co má počasí společného s pravděpodobností?

28 očasí a celková pravděpodobnost Co má počasí společného s pravděpodobností? U každého jevu se můžeme ptát na jeho pravděpodobnost za slunečného počasí, za deště, za bouřky, atd. Celkovou pravděpodobnost jevu potom můžeme získat jako součet přes tyto možnosti. Tyto stavy lze chápat jako výchozí hypotézy ovlivňující výsledek, přičemž vždy nastává platí pouze jeden z těchto stavů hypotéz. okud pozorujeme jev, můžeme se zpětně ptát na platnost těchto hypotéz s použitím Bayesova vzorce. 0 Ω

29 Celková pravděpodobnost jiný příklad opulaci můžeme rozdělit dle věku na tři skupiny: děti 0, dospělé v produktivním věku 1 a dospělé v postproduktivním věku 2, přičemž známe rozdělení populace, tedy známe 0, 1 a 2. Ω Označme jev : stane se úraz. Známe li pravděpodobnost úrazu u dítěte, 0, u dospělého v produktivním věku, 1, a u dospělého v postproduktivním věku, 2, jsme schopni pomocí vzorce pro celkovou pravděpodobnost spočítat.

30 Bayesůvvzorec říklad: Uvažujme populaci mužů nekuřáků ve věku let, u kterých sledujeme výskyt chronického kašle jev. Dle stavu plic můžeme muže zjednodušeně rozdělit na zdravé jev 1, nemocné plicním karcinomem jev 2 a nemocné sarkoidózou jev 3. ravděpodobnosti výskytu jednotlivých plicních onemocnění jsou známé, navíc známe i pravděpodobnosti výskytu chronického kašle dle stavu plic: 1 = 0,991, 2 = 0,001, 3 = 0,008 1 =0,002, 2 =0,900, 3 =0,950 Zajímá nás, s jakou pravděpodobností bude u pacienta s chronickým kašlem při podrobnějším vyšetření diagnostikován karcinom plic.

31 Bayesůvvzorec říklad: Uvažujme populaci mužů nekuřáků ve věku let, u kterých sledujeme výskyt chronického kašle jev. Dle stavu plic můžeme muže zjednodušeně rozdělit na zdravé jev 1, nemocné plicním karcinomem jev 2 a nemocné sarkoidózou jev 3. ravděpodobnosti výskytu jednotlivých plicních onemocnění jsou známé, navíc známe i pravděpodobnosti výskytu chronického kašle dle stavu plic: 1 = 0,991, 2 = 0,001, 3 = 0,008 1 =0,002, 2 =0,900, 3 =0,950 Zajímá nás, s jakou pravděpodobností bude u pacienta s chronickým kašlem při podrobnějším vyšetření diagnostikován karcinom plic. Řešení: 2 2 = = 2 = 3 i= 1 2 i 0,900 0,001 = 0,095 0,001 0,991+ 0,900 0,001+ 0,950 0,008 2 i

32 Význam podmíněné pravděpodobnosti v biostatistice rincip podmíněné pravděpodobnosti je v biostatistice velmi častý máme systém hypotéz nejčastěji dvou o vlastnostech cílové populace a pozorovaná data. Na jejich základě pak rozhodujeme o platnosti stanovených hypotéz. římé použití podmíněné pravděpodobnosti lze demonstrovat na příkladu binárních diagnostických testů: Osoba ve skutečnosti má jev nebo nemá jev c sledované onemocnění. Diagnostický test u dané osoby indikuje přítomnost jev + nebo nepřítomnost jev sledovaného onemocnění. Nás zajímají diagnostické schopnosti testu.

33 Senzitivita, specificita Skutečnost přítomnost nemoci no Ne c Výsledek diagnostického testu ozitivní + T U Negativní V W Senzitivita testu: schopnost testu rozpoznat skutečně nemocné osoby, tedy pravděpodobnost, že test bude pozitivní, když je osoba skutečně nemocná. Senzitivita testu = + = T / T + V. Specificita testu: schopnost testu rozpoznat osoby bez nemoci, tedy pravděpodobnost, že test bude negativní, když osoba není nemocná. Specificita testu = c = W / U + W.

34 ozitivní a negativní prediktivní hodnota Skutečnost přítomnost nemoci no Ne c Výsledek diagnostického testu ozitivní + T U Negativní V W rediktivní hodnota pozitivního testu: pravděpodobnost, že osoba je skutečně nemocná, když je test pozitivní. rediktivní hodnota pozitivního testu = + = T / T + U. rediktivní hodnota negativního testu: pravděpodobnost, že osoba není nemocná, když je test negativní. rediktivní hodnota negativního testu = c = W / V + W.

35 Shrnutí Skutečnost přítomnost nemoci Výsledek diagnostického testu no Ne c ozitivní + T U T + U Negativní V W V + W T + V U + W rediktivní hodnota pozitivního testu rediktivní hodnota negativního testu Senzitivita testu Specificita testu

36 Senzitivita, specificita říklad: Zajímá nás přesnost vyšetření jater ultrazvukem, tedy schopnost vyšetření UTZ identifikovat maligní ložisko v pacientových játrech. řesnost je vztažena k histologickému ověření odebrané tkáně. Výsledky jsou dány tabulkou: Vyšetření UTZ istologické ověření Maligní Benigní Celkem Maligní Benigní Celkem Senzitivita testu = + =? Specificita testu = c =?

37 Senzitivita, specificita říklad: Zajímá nás přesnost vyšetření jater ultrazvukem, tedy schopnost vyšetření UTZ identifikovat maligní ložisko v pacientových játrech. řesnost je vztažena k histologickému ověření odebrané tkáně. Výsledky jsou dány tabulkou: Vyšetření UTZ istologické ověření Maligní Benigní Celkem Maligní Benigní Celkem Senzitivita testu = + = 32 / 35 = 91,4 % IS = 75,8 97,8 Specificita testu = c = 24 / 26 = 92,3 % IS = 73,4 98,7

38 Bayesůvvzorec pro výpočet prediktivních hodnot Obě prediktivní hodnoty testu lze vypočítat s pomocí charakteristik testu, senzitivity a specificity, a celkové prevalence onemocnění v cílové populaci. c c = rediktivní hodnota pozitivního testu rediktivní hodnota negativního testu c c c c c + = Senzitivita testu Specificita testu revalence + c

39 ozitivní a negativní prediktivní hodnota říklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na IV pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu. 1. Uvažujme jihoafrickou zemi s prevalencí IV pozitivních cca 20 %: + = 0,98; c = 0,99; = 0,2.

40 ozitivní a negativní prediktivní hodnota říklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na IV pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu. 1. Uvažujme jihoafrickou zemi s prevalencí IV pozitivních cca 20 %: + = 0,98; c = 0,99; = 0,2. rediktivní hodnota pozitivního testu + + 0,98 0,20 = = = 96,1% + + c c + 0,98 0, ,99 1 0,20 rediktivní hodnota negativního testu c c c 0,99 1 0,20 = = = 99,5% c c + 0,99 1 0, ,98 0,20

41 ozitivní a negativní prediktivní hodnota říklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na IV pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu. 2. Uvažujme evropskou zemi s prevalencí IV pozitivních cca 0,2 %: + = 0,98; c = 0,99; = 0,002.

42 ozitivní a negativní prediktivní hodnota říklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na IV pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu. 2. Uvažujme evropskou zemi s prevalencí IV pozitivních cca 0,2 %: + = 0,98; c = 0,99; = 0,002. rediktivní hodnota pozitivního testu + + 0,98 0,002 = = = 16,4% + + c c + 0,98 0, ,99 1 0,002 rediktivní hodnota negativního testu c c c 0,99 1 0,002 = = = 99,9% c c + 0,99 1 0, ,98 0,002

43 Statistika vs. pravděpodobnost Statistika ravděpodobnost Cílová populace Cílová populace Vzorek Vzorek

44 Statistika vs. pravděpodobnost Statistika ravděpodobnost Cílová populace Cílová populace Cílem statistiky je získání informace o cílové populaci na základě pozorovaného experimentálního vzorku. V teorii pravděpodobnosti se ptáme na pravděpodobnost získání konkrétního výsledku, máme li danou strukturu cílové populace. Vzorek Vzorek

45 Dva směry statistiky Ve statistice existují dva hlavní filozofické směry: frekventistický a Bayesovský. Liší se v pohledu na pravděpodobnostní chování neznámých hodnot, které se snažíme odhadnout. Frekventistická statistika: všechny neznámé hodnoty považujeme za konstantní parametry. Na základě dat se snažíme tuto hodnotu lokalizovat. Bayesovská statistika: všechny neznámé hodnoty mají pravděpodobnostní chování rozdělení pravděpodobnosti. Na základě dat se snažíme toto pravděpodobnostní chování upřesnit.

46 Frekventistická statistika Neznámou charakteristiku cílové populace konstantu se snažíme odhadnout pouze na základě pozorovaných dat. Důležitý je předpoklad reprezentativnosti vzorku pracujeme pouze s daty jako obrazem neznámé charakteristiky. Bude li špatný vzorek, bude špatný i odhad výsledky mohou být velmi odlišné od známých hodnot. Často pracuje s asymptotickým chováním, kdy velikost vzorku jde do nekonečna; řada odhadů a testů je odvozena právě pro tyto situace. 0.3 n << 0.3 n

47 Bayesovská statistika Neznámá charakteristika cílové populace má pravděpodobnostní chování, které se snažíme pomocí pozorovaných dat upřesnit. = ředpoklad reprezentativnosti vzorku je stále důležitý, ale již nepracujeme pouze s daty pracujeme i s tzv. apriorní pravděpodobností,, což je náš vstupní předpoklad o chování neznámé charakteristiky. Nevýhodou je neznalost apriorní pravděpodobnosti.

48 Dále jen frekventistická statistika V dalších přednáškách se budeme zabývat již jenom frekventistickou statistikou.

49 Reklama na další týdny Středem zájmu statistiky a biostatistiky je tzv. náhodná veličina. Základní prostor Ω ravděpodobnost Jev ω 1 Náhodná veličina X 0 1 R 0 x R

50 oděkování Rozvoj studijního oboru Matematická biologie řfmu Brno je finančně podporován prostředky projektu ESF č. CZ.1.07/2.2.00/ Víceoborová inovace studia Matematické biologie a státním rozpočtem České republiky

Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky

Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická

Více

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost

Více

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat 1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení

Více

Teorie pravěpodobnosti 1

Teorie pravěpodobnosti 1 Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako

Více

Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky

Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky V této kapitole dáme biostatistiku do kontextu s teorií pravděpodobnosti, z níž biostatistika společně se statistikou vycházeí Cílem e zavést důležité

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně

Více

Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Testování hypotéz o podílech Kontingenční tabulka, čtyřpolní tabulka Testy nezávislosti, Fisherůvexaktní test, McNemarůvtest Testy dobré shody

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Statistika (KMI/PSTAT)

Statistika (KMI/PSTAT) Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové

Více

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.

Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek

Více

Informační a znalostní systémy

Informační a znalostní systémy Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou

Více

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se

Více

Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev

Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz

Více

Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1

Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1 ? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v

Více

ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI ZÁKLDY TEORIE RVDĚODOBNOSTI 1 Vytvořeno s podporou projektu růřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

PRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová

PRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová RAVDĚODOBNOST JE Martina Litschmannová Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND. Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,

Více

Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost

Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už

Více

5.1. Klasická pravděpodobnst

5.1. Klasická pravděpodobnst 5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky

Více

Usuzování za neurčitosti

Usuzování za neurčitosti Usuzování za neurčitosti 25.11.2014 8-1 Usuzování za neurčitosti Hypotetické usuzování a zpětná indukce Míry postačitelnosti a nezbytnosti Kombinace důkazů Šíření pravděpodobnosti v inferenčních sítích

Více

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle

Více

Počet pravděpodobnosti

Počet pravděpodobnosti PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 4 Počet pravděpodobnosti Je známo, že když muž použije jeden z okrajových pisoárů, sníží se pravděpodobnost, že bude pomočen o 50%. anonym Pravděpodobnost

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec 3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta

Více

VÝBĚR A JEHO REPREZENTATIVNOST

VÝBĚR A JEHO REPREZENTATIVNOST VÝBĚR A JEHO REPREZENTATIVNOST Induktivní, analytická statistika se snaží odhadnout charakteristiky populace pomocí malého vzorku, který se nazývá VÝBĚR neboli VÝBĚROVÝ SOUBOR. REPREZENTATIVNOST VÝBĚRU:

Více

Úvod do teorie pravděpodobnosti

Úvod do teorie pravděpodobnosti Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Přednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy

Přednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy Přednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy Relativní riziko a poměr šancí Princip korelace dvou náhodných veličin Korelační koeficienty Pearsonůva Spearmanův Korelace a kauzalita

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti

Více

STATISTICKÝ SOUBOR. je množina sledovaných objektů - statistických jednotek, které mají z hlediska statistického zkoumání společné vlastnosti

STATISTICKÝ SOUBOR. je množina sledovaných objektů - statistických jednotek, které mají z hlediska statistického zkoumání společné vlastnosti ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ POJMY HROMADNÝ JEV Statistika pracuje s tzv. HROMADNÝMI JEVY cílem statistického zpracování dat je podání informace o vlastnostech a zákonitostech hromadných jevů: velkého počtu jedinců

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Přednáška III. Data, jejich popis a vizualizace. Náhodný výběr, cílová a výběrová populace Typy dat Vizualizace různých typů dat Popisné statistiky

Přednáška III. Data, jejich popis a vizualizace. Náhodný výběr, cílová a výběrová populace Typy dat Vizualizace různých typů dat Popisné statistiky Přednáška III. Data, jejich popis a vizualizace Náhodný výběr, cílová a výběrová populace Typy dat Vizualizace různých typů dat Popisné statistiky Opakování podmíněná pravděpodobnost Ω A A B B Jak můžu

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ

VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi

Více

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015) III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Vytěžování znalostí z dat

Vytěžování znalostí z dat Pavel Kordík, Jan Motl (ČVUT FIT) Vytěžování znalostí z dat BI-VZD, 2012, Přednáška 7 1/27 Vytěžování znalostí z dat Pavel Kordík, Jan Motl Department of Computer Systems Faculty of Information Technology

Více

Statistika. Základní pojmy a cíle statistiky. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .

Statistika. Základní pojmy a cíle statistiky. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) . Statistika Základní pojmy a cíle statistiky Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Statistika Pojmy a cíle

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Bayesovské modely Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc.

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl

Více

Pravděpodobnost vs. Poměr šancí. Pravděpodobnostní algoritmy: Bayesova věta. Bayesova teorie rozhodování. Bayesova věta (teorém) Vzorec. ...

Pravděpodobnost vs. Poměr šancí. Pravděpodobnostní algoritmy: Bayesova věta. Bayesova teorie rozhodování. Bayesova věta (teorém) Vzorec. ... ravděpodobnostní algoritmy: Bayesova věta Fantasy is hardly an escape from reality. It is a way of understanding it. LLoyd Alexander ravděpodobnost vs. oměr šancí ravděpodobnost - poměr počtu jedinců surčitým

Více

Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN

Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940

Více

Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka

Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Náhodné chyby přímých měření

Náhodné chyby přímých měření Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.

Více

STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik

STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost

cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost 3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Bayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat

Bayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A

Více

analýzy dat v oboru Matematická biologie

analýzy dat v oboru Matematická biologie INSTITUT BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Lékařská a Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Komplexní přístup k výuce analýzy dat v oboru Matematická biologie Tomáš Pavlík, Daniel Schwarz, Jiří Jarkovský,

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D. Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak

Více

Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma

Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1. Metodický list č 1. Název tématického celku: Elementární statistické zpracování 1 - Kolekce a interpretace statistických dat, základní pojmy deskriptivní statistiky. Cíl: Základním cílem tohoto tematického

Více

RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.

RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 6 Jak analyzovat kategoriální a binární

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití

2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití 2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student

Více

Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014

Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014 ravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014 Jak osedlat náhodu? Řecká mytologie: Bratři Zeus, oseidon, Hádes hráli v kostky astragalis. Zeus vyhrál nebesa, oseidon moře a Hádes peklo. Jak osedlat

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.

RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 7 Jak hodnotit vztah spojitých proměnných

Více

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0.

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0. 11 cvičení z PSI 12-16 prosince 2016 111 (Test dobré shody - geometrické rozdělení Realizací náhodné veličiny X jsme dostali následující četnosti výsledků: hodnota 0 1 2 3 4 5 6 pozorovaná četnost 29 15

Více

Epidemiologické ukazatele. lních dat. analýza kategoriáln. Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat. a I E

Epidemiologické ukazatele. lních dat. analýza kategoriáln. Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat. a I E Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Epidemiologické ukazatele Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly

Více

analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat Epidemiologické ukazatele

analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat Epidemiologické ukazatele Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. 1 Záznam epidemiologických dat Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.

Více