Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Transkript

1 Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý až hod.

2 Přednáška 2 Induktivní statistika Data zobrazují jen část objektů reálného světa, který zkoumáme Populace a výběr Indukce usuzujeme o celku jen z jeho části Matematická (induktivní) statistika Odhady parametrů, bodové odhady, intervalové odhady Testování statistických hypotéz

3 Potíže při výzkumu založeném na empirických datech: počet objektů části reálného světa, kterou zkoumáme, je velký. Př. obyvatelé Moravskoslezského kraje, voliči v ČR, mravenci v Beskydech, součástky vyrobené na automatické lince,... zobrazit všechny objekty do statistických dat nelze z různých důvodů (čas, cena měření,...), musíme se spokojit s daty jen o části objektů přesto se potřebujeme dozvědět důležité pravdy o celé zkoumané části reálného světa

4 Popis situace: všechny objekty jen část objektů realita populace výběr data základní soubor výběrový soubor charakteristiky parametry odhady (parametrů) metody deskriptivní statistika induktivní statistika

5 Abychom z výběru mohli usuzovat o populaci: jasně vymezit (definovat) populaci, o níž chceme vědět dosud nepoznané pravdy zařídit, aby výběr tuto populaci opravdu reprezentoval (náhodný výběr jedinců z populace, všichni stejnou šanci) mít dostatečný rozsah výběru (počet řádků ve výběrovém souboru) ~ kvalita nových pravd

6 Obtíže lze překonat s pomocí induktivní (matematické) statistiky!!! Dobré zprávy: struktura dat stejná, jakou známe z popisné statistiky charakteristiky počítáme stejně jako v popisné statistice Špatná zpráva: nemáme úplnou vstupní informaci v datech, tzn. charakteristiky z dat nejsou přesně hodnotami platnými pro všechny objekty

7 Zatím jsme vystačili se zdravým selským rozumem, abychom zmapovali situaci, ve které se nacházíme, když chceme z výběru udělat rozumný výrok platný pro celou populaci Dále ale budeme potřebovat základní pojmy z (teorie) pravděpodobnosti budeme muset namáhat hlavu

8 Pravděpodobnost základní pojmy: Náhodný pokus více možných výsledků, nevíme, jak to dopadne, např. - zkouška na řidičského průkaz (projdeme nebo neprojdeme?), - zkoumání vzorku říční vody (kolik druhů mikroorganismů?), - těhotenství (narodí se kluk nebo holka nebo více dětí?) - hod kostkou nebo mincí Náhodný pokus lze nezávisle opakovat za stejných podmínek!(?)

9 Náhodný jev a pravděpodobnost: Náhodný jev je výsledkem náhodného pokusu (např. padla sudá při hodu kostkou), jev A Náhodnému jevu A lze přiřadit pravděpodobnost P(A)

10 Hod kostkou - jevy E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 padla jednička padla dvojka padla trojka padla čtyřka padla pětka padla šestka Jiný výsledek nastat nemůže, kostka spadnout musí. Žádný z jevů E i, i = 1, 2,...,6, není složen z jiných jevů, nelze jej dále rozložit, ani nemohou nastat žádné dva takové jevy současně. Říkáme, že jevy E i jsou elementární jevy.

11 Jevy a operace jev B padne sudá je sjednocením jevů B = E E E Sjednocením všech elementárních jevů dostaneme jev jistý - označíme jej symbolem U, tedy v našem příkladu U = E 1. E2 E6 Průnik jevů = oba jevy nastanou současně Jev nemožný B C Pokud, jsou B, C neslučitelné Jev opačný k jevu A =

12 Jevy a operace s jevy

13 Pravděpodobnost - platí (axiomy): ( ) 0 PA 1 ( ) PU = 1 Je-li A B=, pak PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

14 Jak počítat pravděpodobnosti? lze odvodit z uvedených axiomů: ( ) ( ) PA = 1 PA PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) Kde vzít hodnoty pravděpodobnosti?

15 Určení hodnot pravděpodobnosti: klasická prst všechny elementární jevy stejně pravděpodobné (počet možností příznivých) / (počet všech možností) statistická prst - odhadnout relativní četností při n opakování náhodného pokusu n A P( A) = lim n n

16 Podmíněná prst, nezávislé jevy: Podmíněná prst P ( A B) = P ( A B) P( B) Pravděpodobnost, že současně nastanou dva nezávislé jevy A, B: P( A B) = P( A) P( B)

17 Náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina (X, Y,...) abstrakce, přiřazuje elementárnímu náhodnému jevu reálné číslo Praktický účel umožňuje definovat rozdělení pravděpodobnosti, např. prsti jevů X = x nebo Y < y Náhodná veličina má charakteristiky polohy, variability, šikmost,...

18 Funkce definující rozdělení: Distribuční funkce F( x) = P( X < x) Diskrétní prstní funkce [ x, P( X = x )] i i Spojité - hustota f(t) x t

19 p-kvantil (daného rozdělení)

20 Binomické rozdělení model hodu n mincemi, na každé padne lev s pravděpodobností p, pravděpodobnost, že na n mincích padne k lvů n PY ( = k) = p k ( p) k 1 n k

21 Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení n = 10, p = 0,5 n = 10, p = 0,8

22 Rovnoměrné spojité rozdělení - hustota

23 Normální rozdělení s parametry µ, sigma ^ 2

24 chi kvadrát, n stupňů volnosti f(x) n= n= x

25 Studentovo t -rozdělení

26 Fisherovo F rozdělení f(x) m=1, n=50 1 m=12, n= x

27 Náhodný výběr v matematické statistice n náhodných veličin jsou nezávislé všechny mají stejné rozdělení mat. statistika nám říká, jaké úsudky o celé populaci můžeme udělat z náhodného výběru výběrový soubor je realizací náhodného výběru, z toho spočítáme hodnoty výběrových charakteristik

28 Odhady

29 Bodové odhady výběrová charakteristika je odhadem populační charakteristiky chceme, aby se do populační charakteristiky strefovala nestranný odhad aby se rozptyl výb. charakteristiky zmenšoval s rostoucím rozsahem výběru konzistentní odhad aby rozptyl výb. charakteristiky byl co nejmenší nejlepší odhad

30 Intervalové odhady θ, θ 1 2 interval,, ve kterém leží parametr (populační charakteristika) s velkou pravděpodobností 100( 1 α ) ( ) P θ θ θ = α procentní interval spolehlivosti

31 Testování hypotéz testujeme (většinou) tvrzení o parametru populace tvrzení je nutno předem zformulovat najít odpovídající test, podle kterého se na základě informace z výběrového souboru, zda tvrzení přijímáme nebo zamítneme.

32 Testování hypotéz SKUTEČNOST (nám neznámá) NAŠE ROZHODNUTÍ: H 0 : nezamítáme H 0 : zamítáme Tvrzení H 0 je pravdivé SPRÁVNÉ CHYBA I. druhu Tvrzení H 0 je nepravdivé CHYBA II. druhu SPRÁVNÉ