29.1 MAGNETICKÉ POLE 29.2 DEFINICE MAGNETICKÉ INDUKCE

Transkript

1 29 MagnetickÈ pole udete-li pozoroat za bezmïsìënè noci oblohu, nejlèpe za pol rnìm kruhem, m ûete spat it nezapomenuteln je, pol rnì z i. Vypad jako jemn sìtìcì z clona, kter isì dol z oblohy. JejÌ rozmïry jsou obroskè, je nïkolik tisìc kilometr dlouh, nïkolik set kilometr ysok a to Ì oblouk tèmï kilometr öirok.»emu dïëìme za tuto grandiûznì podìanou a proë je tak z cn?

2 744 KAPTOLA 29 MAGNETCKÉ POLE 29.1 MAGNETCKÉ POLE V kap. 22 jsme se zabýali znikem a lastnostmi elektrického pole ytořeného například nabitou plastikoou tyčí. Toto pole existuje celém prostoru kolem tyče a můžeme ho popsat ektorem elektrické intenzity E. Podobně i magnet ytáří pole každém bodě prostoru kolem sebe a uidíme, že ho můžeme popsat ektoroou eličinou, kterou nazýáme magnetická indukce. S magnetickým polem se můžeme setkat běžném žiotě například tehdy, když přidržujeme papírky se zkazy na deřích ledničky malými magnety nebo když náhodou smažeme disketu, přiblížíme-li ji neopatrně k magnetu. Takoý magnet, a8 už na deřích ledničky nebo poblíž diskety, působí prostřednictím sého magnetického pole. Častý typ magnetu je tořen cíkou nainutou z drátu kolem oceloého jádra, kterou prochází elektrický proud, tz. elektromagnet. Čím ětší je proud, tím silnější je magnetické pole. V průmyslu se takoé elektromagnety použíají ke třídění železného šrotu (obr. 29.1) a mnoha dalších případech. V každodenním žiotě jsou ještě běžnější permanentní magnety magnety stejného typu jako na deřích ledničky. Ty ytářejí magnetické pole, aniž k tomu potřebují dodáat elektrický proud. Obr Třídění koů elektromagnetem ocelárnách V kap. 23 jsme objasnili, jak elektrický náboj e sém okolí ytáří elektrické pole, které působí na ostatní elektrické náboje. ylo by proto přirozené analogicky očekáat, že existuje magnetický náboj, který ytáří e sém okolí magnetické pole působící na jiné magnetické náboje. Ačkoli takoé magnetické náboje, zané magnetické monopóly, ystupují některých teoriích, nebyla jejich existence experimentálně potrzena. Magnetická pole, s nimiž se běžně setkááme, tedy znikají nějak jinak. Půod kteréhokoli magnetického pole kolem nás můžeme ysětlit jedním z těchto dou mechanismů: (1) Pohybující se elektricky nabité částice, jako jsou nosiče náboje e odičích, ytářejí e sém okolí magnetické pole. (2) Některé elementární částice (např. elektrony) mají kolem sebe také magnetické pole; toto pole je jejich základní charakteristikou stejně jako hmotnost či elektrický náboj. V kap. 32 si podrobně šimneme toho, že určitých látkách se skládají magnetická pole elektronů a ytářejí naenek ýrazné magnetické pole. Tak je tomu u látek, z nichž jsou yrobeny permanentní magnety. V ostatních látkách se magnetická pole šech elektronů yruší a žádné ýraznější magnetické pole jako ýsledek neznikne. To platí třeba pro látky, z nichž se skládá lidské tělo. Experimentálně je potrzeno, že na nabitou částici (a8 už jedinou, nebo jako jednu z mnoha, které ytářejí elektrický proud drátu) pohybující se magnetickém poli, působí pole jistou silou. V této kapitole se soustředíme na ztah mezi magnetickým polem a touto silou DEFNCE MAGNETCKÉ NDUKCE ntenzitu elektrického pole E určitém místě prostoru jsme určili tak, že jsme do tohoto místa ložili testoací částici s nábojem Q0 a měřili elektrickou sílu FE, která na ni působí. Potom jsme definoali elektrickou intenzitu E ztahem: E= FE. Q0 (29.1) Pokud by existoal magnetický monopól, mohli bychom definoat magnetickou indukci podobně. Poněadž šak žádné monopóly nebyly dosud nalezeny, musíme definoat jinak. Použijeme k tomu magnetickou sílu F, působící na pohybující se elektricky nabitou částici. To můžeme principu udělat tak, že střelujeme s různými rychlostmi různých směrech nabité částice do místa, kde chceme změřit. Přitom ždy určíme sílu působící na částici tomto místě. Po mnoha takoých zkouškách bychom zjistili, že existuje takoý směr rychlosti F =0, že síla F je nuloá. Pro šechny ostatní směry rychlosti je

3 29.2 DEFNCE MAGNETCKÉ NDUKCE 745 elikost síly F ždy úměrná součinu sin ϕ,kdeϕ je úhel mezi směry F =0 a. Kromě toho platí, že směr síly F je ždy kolmý na směr rychlosti. (Tyto ýsledky naznačují, že uedené eličiny budou mezi sebou ázány ektoroým součinem.) Definujme proto magnetickou indukci jako ektor, který má směr F =0. Pro rychlost kolmou k F =0 je ϕ = 90 a síla působící na částici má maximální elikost F,max. Velikost magnetické indukce definujeme pomocí elikosti této síly ztahem = F,max Q, kde Q je náboj částice. Všechny dosaadní ýsledky můžeme shrnout do jediné ektoroé ronice pro Lorentzou sílu: F = Q. (29.2) Síla F působící na nabitou částici je tedy rona součinu jejího náboje Q a ektoroého součinu její rychlosti a magnetické indukce. Použijeme-li ro. (3.20) pro elikost ektoroého součinu, můžeme pro elikost Lorentzoy síly F psát F = Q sin ϕ, (29.3) kde ϕ je úhel mezi směry rychlosti a magnetické indukce. Určení magnetické (Lorentzoy) síly působící na částici Ro. (29.3) nám říká, že elikost Lorentzoy síly F,která působí na částici magnetickém poli, je úměrná náboji Q a elikosti rychlosti částice. Síla je rona nule, je-li náboj nuloý nebo je-li částice klidu. Z tohoto ztahu roněž plyne, že síla je také rona nule, jsou-li ektory a ronoběžné, a už souhlasně (ϕ = 0 ) nebo nesouhlasně (ϕ = 180 ), a je maximální, jsou-li a na sebe kolmé. Ro. (29.2) určuje naíc i směr F. Z čl. 3.7 íme, že ektoroý součin ro. (29.2) je kolmý na oba ektory a. Praidlo praé ruky (obr. 29.2) nám říká, že ztyčený palec praé ruky ukazuje směr, jestliže zahnuté prsty ukazují směr otáčení ektoru doektoru přes menší z obou úhlů, které oba ektory sírají.* Jestliže je náboj Q kladný, potom podle ro. (29.2) má síla F stejný směr jako součin. To znamená, že pro kladný náboj Q má F směr ztyčeného palce, jak je ukázáno na obr. 29.2b. Je-li náboj Q záporný, mají síla F a ektoroý součin opačná znaménka a tedy i opačný směr. Jinými sloy, pro záporný náboj Q má F směr opačný, než ukazuje palec na obr. 29.2c. ez ohledu na znaménko náboje šak platí: Lorentzoa síla F, která působí na nabitou částici pohybující se rychlostí magnetickém poli, ježdy kolmá na oba ektory a. Síla F tedy nemá nikdy nenuloou složku do směru ektoru a nemůže tedy měnit elikost rychlosti částice (a tedy ani její kinetickou energii). Může měnit pouze směr rychlosti (a tím směr pohybu); jenom tomto smyslu urychluje síla F nabitou částici. Abychom lépe ocenili důležitost ro. (29.2), podíejme se na obr. 29.3, který znázorňuje stopy nabitých částic, pohybujících se bublinkoé komoře, umístěné Lawrencoě laboratoři erkeley. Komora, která je naplněna tekutým odíkem, se nachází silném homogenním magnetickém poli kolmém na roinu obrázku a směřujícím k nám. Z leé strany přilétla γ -částice; nezanechala stopu, nebo * Místo otáčení můžeme ukázat ukazoáčkem a prostředníkem ; palec pak míří e směru. Obr (a) Praidlo praé ruky určuje směr ektoroého součinu takto: ohnuté prsty praé ruky orientujeme tak, abychom otočili ektor do směru ektoru o menší z obou možných úhlů, které tyto ektory sírají. Vztyčený palec potom ukazuje směr ektoru.(b) Je-li náboj Q kladný, potom síla F = Q má směr stejný jako součin. (c) Je-li náboj Q záporný, je směr síly F opačný než směr součinu. (a) ϕ + F ϕ (b) Q ϕ F (c)

4 746 KAPTOLA 29 MAGNETCKÉ POLE e e Obr Trajektorie dou elektronů e a pozitronu e + bublinkoé komoře umístěné homogenním magnetickém poli (směr pole je kolmý k roině obrázku směrem k pozoroateli). e + nemá náboj. Poté při srážce yrazila elektron z odíkoého atomu (dlouhá,jenom mírně zakřiená dráha,označená e ), a sama se přeměnila na dojici elektron (spiráloitá dráha, označená e ) a pozitron (dráha e + ). Za pomoci ro. (29.2) a obr se přesědčte o tom, že trajektorie obou záporných a jedné kladné částice jsou zakřieny e spráném směru. Z ro. (29.2) a (29.3) plyne jednotka magnetické indukce. Nazýáme ji tesla (T): 1tesla= 1T= N s C 1 m 1. Protože coulomb za sekundu je ampér, platí 1T= N A 1 m 1. (29.4) Starší jednotkou, ktará nepatří do soustay S, ale dosud se příležitostně užíá, je gauss (G). Platí, že 1T= 10 4 G. (29.5) V tab jsou uedeny elikosti indukcí některých magnetických polí. Všimněte si, že magnetické pole Země má u zemského porchu indukci asi 10 4 T = 100 mt = = 1G. Tabulka 29.1 Přibližné elikosti magnetických indukcí některých polí Porch neutronoé hězdy 10 8 T lízko elkého elektromagnetu 1,5T lízko malého tyčoého magnetu 10 2 T Na porchu Země 10 4 T V mezihězdném prostoru T Nejnižší hodnota magneticky stíněné místnosti T KONTROLA 1: Na třech obrázcích se nabitá částice pohybuje rychlostí homogenním magnetickém poli. Jaký směr má Lorentzoa síla F, která na ni působí? z y + (a) x z y (b) ndukční čáry Podobně jako znázorňujeme elektrické pole pomocí elektrických siločár, znázorňujeme magnetické pole magnetickými indukčními čárami. Vytáříme je obdobně, to znamená, že každém bodě pole platí, že směr magnetické indukce je určen tečnou k indukční čáře. Velikost ektoru můžeme ystihnout hustotou indukčních čar dané oblasti. Obr. 29.4a ukazuje, jak lze znázornit magnetické pole tyčoého magnetu (tj. permanentního magnetu e taru tyče) pomocí indukčních čar. ndukční čáry procházející magnetem ytářejí uzařené křiky (a to i ty čáry, které na obrázku nejsou zakresleny jako uzařené). Vnější magnetické pole tyčoého magnetu je nejsilnější poblíž jeho konců, kde jsou indukční čáry nejhustší. Experimentálně to lze oěřit pomocí železných pilin, které se nastaují podél indukčních čar a shromaž ují se hlaně na koncích magnetu (obr. 29.4b). x z y (c) x

5 29.2 DEFNCE MAGNETCKÉ NDUKCE 747 S J S J S (a) Obr (a) Podkooitý magnet a (b) magnet taru C (jsou zakresleny pouze některé indukční čáry). (b) J (a) (b) Obr (a) ndukční čáry tyčoého magnetu. (b) Kraský magnet : tyčoý magnet, který se nechá kráě spolknout, aby zůstal jejím bachoru. Tam pak přitahuje a drží šechny náhodně spolknuté železné předměty (např. hřebíky), aby neporanily další nitřnosti. Protože indukční čáry toří uzařené křiky, musí ycházet z jednoho konce magnetu a cházet do druhého (a pokračoat dál unitř magnetu). Ten konec, ze kterého indukční čáry ycházejí, se nazýá seerní pól magnetu; opačný konec, kde cházejí do magnetu, se nazýá jižní pól. Magnety, kterými si lepíme zkazy na ledničku nebo oznámení na magnetickou tabuli, mají práě tar takoých krátkých tyčoých magnetů. Na obr jsou další da typické tary magnetu: podkooitý magnet a magnet taru písmene C, jehož konce, zané čela, někdy dále upraená póloými nástaci, jsou blízko sebe a jsou nazájem ronoběžná; magnetické pole mezi nimi je pak silné a přibližně homogenní. Když k sobě magnety přiblížíme, tak bez ohledu na jejich tar zjistíme: Opačné póly magnetu se nazájem přitahují, souhlasné se odpuzují. Země má lastní magnetické pole, které zniká jejím jádře, ale zatím přesně neíme jak. Na zemském porchu ho můžeme zjistit kompasem, jehož podstatou je střelka tenký tyčoý magnet, olně otáčiý e odoroné roině. Střelka se otočí, protože její seerní pól je přitahoán k Ark- tidě. Tedy jižní pól zemského magnetického pole se musí nacházet oblasti Arktidy a logicky bychom ho potom měli nazýat jižním pólem. Protože šak se Arktidě nachází seerní geografický pól, bylo dohodnuto užíat pro tento jižní magnetický pól termín seerní geomagnetický pól.* Tedy na seerní polokouli cházejí magnetické indukční čáry zemského magnetického pole do Země směrem k Arktidě. Naopak na jižní polokouli ycházejí indukční čáry ze Země oblasti Antarktidy z místa, které nazýáme jižním geomagnetickým pólem. PŘÍKLAD 29.1 Magnetická indukce homogenního magnetického pole má elikost 1,2 mt a ektor míří sisle zhůru, takže indukční čáry procházejí celým objemem komůrky měřicího zařízení. Proton s kinetickou energií 5,3 MeV letí odoroně do komůrky směrem odjihu k seeru. Jaká ychylující síla na něj působí? ŘEŠENÍ: Magnetická ychylující síla záisí na rychlosti protonu, kterou můžeme určit ze ztahu pro kinetickou energii E k = 1 2 m2 ; z něj plyne = 2Ek m = 2(5,3MeV)(1, J/MeV) (1, = kg) = 3, m s 1. * Magnetické pole Země se pomalu mění. Na rozdíl od geografických pólů, které mají prakticky neměnnou polohu, se poloha magnetických pólů mění. V geologických časoých měřítkách (10 5 až 10 7 let) dokonce mění magnetické pole Země i sůj směr ( přemagnetoání ). Viz čl

6 748 KAPTOLA 29 MAGNETCKÉ POLE Z ro. (29.3) potom dostaneme F = Q sin ϕ = = (1, C)(3, m s 1 ) (1, T)(sin 90 ) = = 6, N. (Odpoě ) Tato síla se může zdát elmi malá, ale protože působí na částici s elmi malou hmotností, udělí jí elké zrychlení: a = F m = (6, N) (1, kg) = 3, m s 2. Zbýá určit směr magnetické síly F. Víme, že rychlost má směr odoroný z jihu na seer a směřuje sisle zhůru. Použitím praidla praé ruky (obr. 29.2b) určíme, že síla F směřuje odoroně od západu na ýchod, jak je idět na obr (Tečky na obrázku znázorňují magnetické pole kolmé k roině obrázku směřující k nám. Kdyby měla částice záporný náboj, měla by magnetická síla opačný směr, to znamená od ýchodu na západ. Plyne to přímo z ro. (29.2), dosadíme-li Q místo Q. Z S + J trajektorie protonu Obr Příklad29.1. Pohledshora na proton pohybující se z jihu na seer komůrce měřicího zařízení. Magnetické pole má směr k nám (jak je znázorněno řadou teček, připomínajících špičky šípů letících směrem k nám). Proton je ychyloán směrem na ýchod. F V RADY A NÁMĚTY od 29.1: Klasické a relatiistické ztahy pro kinetickou energii V př jsme pro kinetickou energii protonu použili (přibližný) klasický ztah E k = 1 2 m2 místo (přesného) relatiistického ýrazu (7.51). Kritériem pro opráněnost použití klasického ýrazu je podmínka E k mc 2,kdemc 2 je klidoá energie částice. V našem případě je E k = 5,3MeV, zatímco mc 2 = 938 MeV. Proton tedy splňuje ýše uedenou podmínku a můžeme bez oba použít ztah E k = 1 2 m2. To šak nemůžeme udělat ždy, zejména ne tehdy, jedná-li se o lehké částice s ysokou energií OJEV ELEKTRONU Může se stát, že na nabitou částici působí současně jak elektrické, tak i magnetické pole. Zajímaý a celkem snadno řešitelný je případ, když jsou obě pole na sebe nazájem kolmá; jde o tz. zkřížená pole. V dalším zjistíme, co se takoé situaci stane s nabitou částicí, konkrétně s elektronem. Rozebereme to na pokusu, který edl roce 1897 k objeu elektronu (J. J. Thomson na Uniersitě Cambridgi). Na obr je znázorněna moderní zjednodušená erze Thomsonoa experimentálního zařízení katodoá trubice (podobná obrazoce teleizního přijímače). Nabité částice (které nyní nazýáme elektrony) jsou emitoány ze žhaého lákna na konci yčerpané trubice a jsou urychloány napětím U. Průchodem štěrbinou e cloně C se z nich ymezí úzký sazek. Poté elektrony projdou oblastí zkřížených polí E a a nakonec dopadnou na fluorescenční stínítko S, na němž ytoří sětelnou skrnu (teleizní obraz je složen z mnoha takoých skrn). Síly působící na nabité částice oblasti zkřížených polí je mohou ychýlit odstředu stínítka. Změnou elikostí a směrů obou polí mohl Thomson posunoat sětelnou stopu na stínítku. V konkrétním případě zobrazeném na obr jsou Obr Moderní erze zařízení, pomocí něhož J. J. Thomson změřil poměr hmotnosti a náboje elektronu. Elektrické pole E ytořil připojením baterie na odoroné ychyloací destičky. Magnetické pole ytořil pomocí proudu procházejícího soustaou cíek (na obrázku nejsou zakresleny). Je kolmé k roině obrázku a směřuje odnás (jak ukazují křížky). lákno clona C U k ýěě + E skleněná baňka obrazoky stínítko S obrazoky sětelná stopa

7 29.4 HALLŮV JEV 749 elektrony ychyloány roině obrázku směrem nahoru elektrickým polem E a směrem dolů magnetickým polem, což znamená, že příslušné síly působí opačných směrech. Thomson postupoal e třech krocích: 1. Nastail E = 0a = 0 a označil polohu sítící stopy na stínítku S obrazoky (pro neychýlený paprsek). 2. Zapnul elektrické pole a změřil ýchylku paprsku. 3. Udržoal stálou intenzitu elektrického pole a magnetickou indukci měnil tak dlouho, dokud se paprsek nerátil do půodní, na stínítku označené polohy. V př jsme počítali ýchylku y nabité částice pohybující se mezi děma ronoběžnými destičkami (krok 2), mezi nimiž bylo ytořeno elektrické pole E. Zjistili jsme, že je rona y = QEL2 2m 2, (29.6) kde L je délka destiček a elikost rychlosti, s níž částice s hmotností m a nábojem Q letěla do elektrického pole. Téhož ztahu můžeme použít i pro paprsek elektronů na obr. 29.7: změříme polohu místa dopadu paprsku na obrazoce S a z ní ypočítáme ýchylku y na konci destiček. Poněadž směr posunutí záleží na znaménku náboje částice, dokázal tím Thomson, že částice, které dopadaly na obrazoku, měly záporný náboj. Jsou-li obě pole na obr nastaena tak, že se síly, kterými působí na náboj, yruší (krok 3), dostaneme z ronic (29.1) a (29.3) a odtud Q E = Q sin 90 = E. (29.7) Zkřížená pole nám tedy umožňují změřit rychlost nabitých částic. Dosazením za z ro. (29.7) do ro. (29.6) dostaneme po úpraě Q m = 2yE 2 L 2. (29.8) Všechny eličiny na praé straně tohoto ztahu můžeme přímo měřit. Uspořádání zkřížených polí nám tedy umožňuje změřit měrný náboj Q/m částic yletujících ze žhaého lákna. Thomson došel k záěru,že tyto částice elektrony se yskytují každé látce a že mají hmotnost íce než 1 000krát menší než nejlehčí známý atom odík. (Přesný poměr hmotností, zjištěný později, je 1 836,15.) Thomsonoa měření poměru Q/m spolu se smělostí jeho dou trzení můžeme poažoat za obje elektronu. KONTROLA 2: Na obrázku jsou zakresleny čtyři směry rychlosti kladně nabité částice pohybující se homogenním elektrickém poli E (je kolmé k obrázku a má směr k nám, což je znázorněno tečkou kroužku) a homogenním magnetickém poli. (a) Seřa te směry 1, 2, 3 a 4 sestupně podle elikosti ýsledné síly působící na částici. (b) Pro který z nich je ýsledná síla nuloá? E HALLŮV JEV Jak jsme ukázali, může být paprsek elektronů e akuu ychýlen magnetickým polem. Naskýtá se otázka: mohou být magnetickým polem ychyloány také odiostní elektrony pohybující se driftoou rychlostí např. měděném odiči? Že to je opradu možné, ukázal roce 1879 Edwin H. Hall, té době 24letý absolent Uniersity Johna Hopkinse. Tento Hallů je umožňuje nejen zjistit, zda náboj nosičů proudu je kladný nebo záporný, ale můžeme s jeho pomocí změřit i počet těchto nosičů objemoé jednotce odiče. Na obr. 29.8a je měděný odič e taru proužku ošířced, kterým protéká elektrický proud odhorní části proužku směrem dolů. Nosiče náboje jsou elektrony, a jak íme, pohybují se (s driftoou rychlostí d ) směrem opačným, tedy od dolní části proužku nahoru. V určitém okamžiku (obr. 29.8a) bylo zapnuto nější magnetické pole, kolmé k roině obrázku směřující odnás. Z ro. (29.2) plyne, že magnetická síla F bude působit na každý elektron pohybující se driftoou rychlostí tak, že ho bude tlačit k praé straně proužku. ěhem jisté doby se elektrony pohybující se dopraa nakupí na praé straně proužku, takže zanechají na leé straně proužku neykompenzoané kladné náboje. Tím zniká elektrické pole o intenzitě E unitř proužku. Toto pole má směr zlea dopraa (obr. 29.8b), takže elektrická síla F E tlačí každý elektron dolea. ěhem elmi krátké doby se ustaí ronoáha: elektrická síla působící na každý elektron poroste tak dlouho, až se yroná opačně působící magnetické síle. Tím se 4 3

8 750 KAPTOLA 29 MAGNETCKÉ POLE d d F E d F E F F E F + + d yšší + (a) (b) (c) Obr Měděný proužek, kterým protéká proud, jeumístěn do magnetického pole. (a) Situace okamžitě po zapnutí magnetického pole. Je zakreslena zakřiená trajektorie, po níž se bude elektron pohyboat. (b) Ustálená situace, která se ytoří brzy po zapnutí. Všimněte si, že záporné náboje se budou shromaž oat na praé straně proužku, takže na leé straně zůstane neykompenzoaný kladný náboj. Leá strana proužku tedy bude mít yšší elektrický potenciál než strana praá. (c) Pokudbudou mít nosiče nábojů kladné znaménko, budou se shromaž oat na praé straně proužku a ta bude mít yšší potenciál než strana leá. obě síly nazájem yruší: F E + F = 0. Nadále se elektrony budou pohyboat driftoou rychlostí e směru délky proužku k jeho hornímu okraji a náboj nahromaděný na praé straně, a tedy i pole E jím ytořené napříč proužku už íce neporostou. Rozdíl potenciálů U H zniklý podle ro. (25.42) na zdálenosti d se nazýá Halloo napětí: nižší nižší E + yšší U H = Ed. (29.9) Připojením oltmetru k bočním okrajům proužku můžeme Halloo napětí přímo změřit. Zjistíme tím také, který z okrajů má yšší potenciál. V situaci na obr. 29.8b má leá strana proužku yšší potenciál, což souhlasí s naším předpokladem, že nosiče náboje mají záporné znaménko. Předpokládejme na chíli,že nosiče náboje mají kladný náboj (obr. 29.8c). Jestliže by se tyto kladné nosiče náboje pohyboaly odhorního konce proužku k dolnímu, byly by tlačeny k praé straně proužku silou F, a tedy jeho praá strana by měla yšší potenciál. Protože je tento ýsledek protikladu s údaji našeho oltmetru, musí mít nosiče náboje znaménko záporné. Nyní doplníme naše úahy kantitatiními ýpočty. Velikost náboje nosiče označíme Q; pro elektron je Q = = e. Je-li elektrická síla ronoáze se silou magnetickou (obr. 29.8b), dostaneme z ro. (29.1) a (29.3) ronici QE = Q d. (29.10) Z ro. (27.7) plyne pro driftoou rychlost d d = J nq = nqs, (29.11) kde J = /S je elikost hustoty proudu proužku, S je obsah příčného průřezu proužku a n je počet nosičů náboje objemoé jednotce odiče (koncentrace nosičů náboje). Vyjádříme-li n z ro. (29.11), dostááme po dosazení z ro. (29.9) a (29.10) ztah n = d U H SQ. (29.12) Vidíme, že koncentraci n můžeme yjádřit pomocí eličin, které lze přímo měřit. Halloa jeu je také možno yužít k přímému měření driftoé rychlosti d nosičů náboje, která je, jak jsme již uedli, řádoě centimetry za hodinu. Tento nápaditý experiment je sestaen tak, že se kooý proužek pohybuje magnetickém poli opačném směru, než je směr driftoé rychlosti nosičů náboje. Rychlost pohybujícího se proužku lze měnit tak, aby Halloo napětí bylo práě rono nule. Za tohoto stau musí být rychlost nosičů náboje ůči magnetickému poli nuloá. Rychlost proužku tedy musí být co do elikosti rona driftoé rychlosti nosičů záporného náboje (ale opačně orientoaná). PŘÍKLAD 29.2 Na obr je kooá krychlička s délkou hrany d = 1,5cm, která se pohybuje kladném směru osy y konstantní rychlostí o elikosti 4,0m s 1 homogenním magnetickém poli s indukcí o elikosti 0,050 T e směru osy z. Obr Příklad29.2. Kooá krychlička o délce hrany d se pohybuje konstantní rychlostí homogenním magnetickém poli o indukci. z (a) Která stěna bude mít díky pohybu krychličky elektrický potenciál yšší a která nižší? d y d d x

9 29.5 POHY NATÉ ČÁSTCE PO KRUŽNC 751 ŘEŠENÍ: Když se krychlička bude pohyboat magnetickém poli, budou se její odiostní elektrony pohyboat spolu s ní. Proto na ně bude působit magnetická síla F daná ro. (29.2). Na obr působí síla F záporném směru osy x. To znamená, že některé elektrony budou ychýleny silou F k (nezakreslené) leé stěně krychličky, čímž dojde k tomu, že tato stěna bude nabita záporně, a tedy praá stěna bude naopak kladná. Tím znikne elektrické pole E směřující odpraé stěny k leé, takže leá stěna bude mít nižší potenciál než stěna praá. (b) Určete napětí U mezi stěnami s yšším a nižším potenciálem. ŘEŠENÍ: Elektrické pole o intenzitě E, které takto zniklo, způsobí,že na elektrony bude působit elektrická síla F E orientoaná k praé stěně krychličky (tedy opačně než magnetická síla F ). Ronoáhy, při níž F E = F, bude dosaženo rychle poté, co se krychlička začne pohyboat magnetickém poli. Z ro. (29.1) a (29.3) dostaneme ee = e. Po dosazení za E z ro. (29.9) (U = Ed) dostaneme Dosazením dostaneme ýsledek U = d. (29.13) U = (0,015 m)(4,0m s 1 )(0,050 T) = = 0,0030V= 3,0mV. (Odpoě ) KONTROLA 3: Na obrázku je kooý kádr, který se pohybuje rychlostí o elikosti homogenním magnetickém poli. Jeho rozměry jsou celisté násobky délky d, jak je idět z obrázku. Máte šest možností pro ýběr směru rychlosti kádru: může být ronoběžná sosamix, y, neboz, a mířit bu jejich kladném, nebo záporném směru. (a) Seřa te sestupně oněch šest možností podle elikosti napětí, které znikne mezi protilehlými stěnami. (b) Ve kterém případě má čelní stěna nižší potenciál? z 2d y 3d d x 29.5 POHY NATÉ ČÁSTCE PO KRUŽNC Pohybuje-li se částice ronoměrně po kružnici, pak ýsledná síla, která na ni působí, musí mít stálou elikost a musí být orientoána do středu kružnice.je tedy stále kolmá k rychlosti částice. Předstame si kámen, upeněný na lákně a obíhající ronoměrně po kružnici e odoroné roině, nebo družici, pohybující se po kruhoé trajektorii kolem Země.V prním případě ytáří tuto dostřediou sílu tah lákna; e druhém případě je to graitační přitažliá síla mezi Zemí a družicí. Na obr je ukázán jiný příklad: sazek elektronů je střeloán elektronoým dělem (ED) do měřicí komůrky. Elektrony do ní létají roině obrázku rychlostí a dostáají se do oblasti homogenního magnetického pole o indukci, která je kolmá k roině obrázku a má směr k nám. Výsledkem je, že magnetická síla F = Q stále ychyluje elektrony, a protože ektory a jsou na sebe stále kolmé, budou se elektrony pohyboat po kružnici. Stopu elektronů idíme na fotografii, nebo atomy plynu komůrce yzařují sětlo, kdykoli se s nimi některý z letících elektronů srazí. Nyní určíme parametry, které charakterizují kruhoý pohyb elektronů (nebo jakýchkoli jiných částic s nábojem o elikosti Q a hmotností m) pohybujících se kolmo ke směru homogenního magnetického pole rychlostí o elikosti. Podle ro. (29.3) má síla působící na částici elikost Q. Pro ronoměrný pohyb po kružnici (ro. (6.20)) platí podle druhého Newtonoa zákona F = ma = m2, (29.14) r odkud po dosazení za F = Q dostááme Q = m2. (29.15) r Z této ronice můžeme yjádřit poloměr kružnice, po níž se částice pohybuje: r = m (poloměr). (29.16) Q Perioda T (tj. doba, potřebná pro jeden oběh) je rona obodu kružnice dělenému rychlostí částice, takže T = 2pr Frekence f je = 2p f = 1 T = Q 2pm m Q = 2pm Q (perioda). (29.17) (frekence). (29.18)

10 752 KAPTOLA 29 MAGNETCKÉ POLE Úhloá frekence ω je tedy ω = 2pf = Q m (úhloá frekence). (29.19) Vidíme, že eličiny T, f a ω nezáisejí na elikosti rychlosti částice (za předpokladu, že její rychlost je mnohem menší, než je rychlost sětla). Rychlé, resp. pomalé částice se pohybují po kružnicích o elkém, resp. malém poloměru, ale šechny částice se stejným poměrem Q/m potřebují stejnou dobu T (periodu) k ykonání jednoho oběhu. S yužitím ro. (29.2) se můžeme přesědčit o tom, že díáme-li se e směru indukce,obíhá kladná částice ždycky kladném smyslu (tj. proti směru otáčení hodinoých ručiček), zatímco částice se záporným nábojem obíhá e směru opačném. Trajektorie e taru šrouboice Ukážeme, že má-li nabitá částice letící homogenním magnetickém poli nenuloou složku rychlosti e směru, bude se pohyboat po šrouboici s osou e směru pole. Na obr a je ektor rychlosti částice rozložen zhledem ke směru do dou průmětů ronoběžného a kolmého a platí = cos ϕ a = sin ϕ. (29.20) Ronoběžná složka určuje stoupání p šrouboice, což je zdálenost mezi děma sousedními záity (obr b), a je rono zdálenosti, o kterou se částice posune za dobu jedné periody (jedné otočky) e směru magnetické indukce. Kolmá složka určuje poloměr šrouboice a je práě tou eličinou, kterou musíme dosadit do ro. (29.16) za. ϕ (a) ϕ + Q F p ϕ Q + r ED Obr Elektrony obíhají komůrce obsahující plyn za nízkého tlaku (stopa elektronů je kruhoá). Magnetické pole, které je kolmé k roině obrázku a směřuje k nám, je homogenní celém objemu komůrky. Všimněte si radiálně působící magnetické síly F : protože se částice pohybuje ronoměrným pohybem po kružnici, síla F míří stále do jejího středu. Použijte praidla praé ruky a přesědčete se, že síla F = Q má příslušný směr. F částice F (b) trajektorie e taru šrouboice (c) Obr (a) Nabitá částice se pohybuje magnetickém poli tak, že její rychlost sírá úhel ϕ s ektorem magnetické indukce. (b) Částice se pohybuje po šrouboici, která má poloměr r a stoupání p. (c) Nabitá částice se pohybuje po šrouboici nehomogenním magnetickém poli. (Létá tam a zpátky mezi konci, nichž je magnetické pole dostatečně silné.) Všimněte si, že ektory magnetické síly na obou stranách magnetické pasti mají složku směřující do středu pasti. F

11 29.5 POHY NATÉ ČÁSTCE PO KRUŽNC Na obr c je znázorněna nabitá částice pohybující se po šrouboici nehomogenním magnetickém poli. Z ětší hustoty indukčních čar na obou krajích je idět, že magnetické pole je zde silnější. Je-li magnetické pole na konci trubice dostatečně silné, částice se od něj odrazí. Odráží-li se částice od obou konců, říkáme, že je zachycena magnetické pasti, případně magnetické nádobě. Magnetické pole Země takto zachytáá elektrony a protony, a tak se ytářejí Van Allenoy radiační pásy nad hranicí atmosféry mezi seerním a jižním geomagnetickým pólem Země. Zachycené částice se odrážejí tam a zpět mezi oběma konci této magnetické pasti (trá jim to zhruba několik sekund). Když mohutná sluneční erupce ymrští elké množstí elektronů a protonů s ysokými energiemi a ty doletí do Van Allenoých radiačních pásů, znikne místech, kde se elektrony odrážejí, elektrické pole. Toto pole ruší odraz a žene elektrony dolů do atmosféry, kde se srážejí s atomy a molekulami kyslíku a dusíku a tím yoláají jejich záření. Tak zniká polární záře je, připomínající sítící záclonu, která isí dolů a sahá až do ýšky asi 100 km nad Zemí. Zelené sětlo je emitoáno atomy kyslíku a růžoé sětlo molekulami dusíku. Často je šak sětlo tak mdlé, že je nímáme pouze jako bílé. dráhy elektronů sbíhající se magnetické indukční čáry seerní magnetický pól 753 Polární záře se yskytuje určité oblasti prstenci obepínajícím Zemi, který nazýáme pásem polárních září (obr a 29.13). Ačkoli je tato oblast elmi dlouhá, nepřesahuje její tlouš8ka 1 km (od seeru k jihu), protože dráhy elektronů, které ji ytářejí, se sbíhají. Elektrony se totiž pohybují dolů po zužujících se šrouboicích nainutých na sbíhající se magnetické indukční čáry. Obr Obrázek polární záře unitř seerního pásu polárních září pořídila družice Dynamic Explorer, která yužíá ultrafialoého sětla, emitoaného kyslíkoými atomy, jež jsou ybuzeny oblasti polární záře (obrázek je umělých barách ). Sluneční sětlo dopadající na Zemi toří půlměsíc leé části obrázku. 4: Na obrázku jsou kruhoé stopy dou KONTROLA částic pohybujících se stejně elkou rychlostí homopás polárních září Obr Pás polárních září obklopující zemský magnetický seerní pól (nachází se nyní na Kanadském ostroě athurst). ndukční čáry magnetického pole Země se sbíhají k tomuto pólu. Elektrony pohybující se směrem k Zemi jsou zachyceny a pohybují se po šrouboicích podél indukčních čar a e ysokých ýškách stupují do zemské atmosféry ytářejí polární záři (unitř prstence). genním magnetickém poli, jehož indukce je kolmá k roině obrázku a směřuje od nás. Jednou z částic je proton a druhou elektron. (a) Která částice se pohybuje po kružnici s menším poloměrem? (b) ude se tato částice pohyboat proti, nebo po směru otáčení hodinoých ručiček?

12 754 KAPTOLA 29 MAGNETCKÉ POLE PŘÍKLAD 29.3 Na obr je schematicky znázorněn princip hmotnostního spektrometru, který slouží k měření hmotností iontů: iont o hmotnosti m (která má být změřena) s nábojem Q zniká e zdroji Z a poté je urychlen elektrickým polem ytořeným napětím U. ont opustí zdroj Z a létá štěrbinou do separační komory, e které na něj působí homogenní magnetické pole, kolmé k jeho rychlosti ( je kolmé k roině obrázku a směřuje k nám). Magnetické pole způsobí, že se iont bude pohyboat po půlkružnici, dopadne na fotografickou desku e zdálenosti x odštěrbiny a exponuje ji tam. Nech = 80,000 mt, U = 1 000,0V a Q =+1, C. ont dopadne e zdálenosti x = 1,625 4 m odštěrbiny. Jaká je jeho hmotnost m, yjádřená pomocí atomoé hmotnostní jednotky (u = 1, kg)? Dosadíme-li ypočtenou hodnotu do ro. (29.16), dostaneme r = m Q = m 2QU Q m = 1 2mU Q, tedy x = 2r = 2 2mU Q. Odtud získáme hledanou hmotnost iontu: m = 2 Qx 2 8U = = (0, T)2 (1, C)(1,625 4 m) 2 8(1 000,0V) = 3, kg = 203,93 u. (Odpoě ) = U Z +Q Obr Příklad29.3. Podstata hmotnostního spektrometru. Kladný iont je emitoán zdrojem Z a po urychlení napětím U létá do komory nacházející se homogenním magnetickém poli s indukcí. ont se bude liem magnetické síly pohyboat po půlkružnici o poloměru r a dopadne na fotografickou desku e zdálenosti x odštěrbiny, kterou do komory létl. ŘEŠENÍ: Nejdříe bude užitečné najít ztah mezi hmotností m iontu a naměřenou zdáleností x. Z obr je patrné, že x = 2r, kd e r je poloměr půlkružnice, po níž se pohybuje iont. Mezi poloměrem r a hmotností m platí jednoduchý ztah (29.16): r = m/q. Dále je třeba zjistit souislost mezi elikostí rychlosti iontu a urychlujícím napětím U. Můžeme k tomu yužít zákona zachoání energie pro iont: jeho kinetická energie na konci procesu urychloání je rona jeho potenciální energii QU na začátku urychloání. Tedy: x r PŘÍKLAD 29.4 Elektron s kinetickou energií 22,5 ev létá do oblasti magnetického pole o elikosti = 4, T. Úhel mezi indukcí a rychlostí elektronu je 65,5. Jaké bude stoupání šrouboice, po níž se pohybuje elektron? ŘEŠENÍ: Jak jsme již uedli, je stoupání p zdálenost, o kterou se elektron posune za dobu jedné periody T e směru ektoru magnetické indukce. Tato zdálenost je T, kde je složka rychlosti elektronu do směru. Vyjdeme-li z ro. (29.20) a (29.17), dostaneme p = T = cos ϕ 2pm Q. (29.22) Velikost rychlosti elektronu můžeme ypočítat z jeho kinetické energie stejně jako případě protonu (příklad 29.1). (Kinetická energie 22,5 ev je mnohem menší než klidoá energie elektronu, která je 5, ev, takže nemusíme použít relatiistického zorce pro kinetickou energii elektronu.) Vypočteme, že = 2, m s 1, a po dosazení do ro. (29.22) dostaneme p = (2, m s 1 )(cos 65,5 ) 2p(9, kg) (1, C)(4, T) = = 9,16 cm. (Odpoě ) a m 2 = QU 2 = 2QU m. (29.21) 29.6 CYKLOTRONY ASYNCHROTRONY Otázka struktury hmoty zajímala fyziky odedána. Jeden ze způsobů, jak získat odpoě na tuto otázku, spočíá

13 29.6 CYKLOTRONY A SYNCHROTRONY 755 tom, že necháme urychlenou nabitou částici (např. proton) dopadnout na pený terčík. Ještě ýhodnější je sestait experiment tak, aby se mohly da elmi urychlené protony čelně srazit. Potom můžeme z rozboru zbytků po takoých srážkách poznáat lastnosti subatomoých částic hmoty. Nobeloy ceny za fyziku roce 1976 a 1984 byly uděleny práě za takoé studie. Jak můžeme udělit protonu dostatečnou kinetickou energii? Přímý a nejjednodušší způsob spočíá tom, že necháme částici (např. proton) s nábojem Q prolétnout mezi místy s potenciáloým rozdílem U, což zýší její kinetickou energii o hodnotu QU. Chceme-li šak získáat stále ětší energii, čekají nás stále ětší těžkosti při ytáření potřebného napětí U. Lépe je sestait experiment tak, aby proton obíhal po kružnici magnetickém poli, a dodáat mu elektrickým polem malý impulz ( postrčení ) při každé otočce. Otočí-li se napříkladproton stokrát magnetickém poli a získá-li přírůstek energie 100 kev při každém oběhu, bude končit soje urychloání s kinetickou energií 10 MeV. Na tomto principu jsou založena dě elmi užitečná zařízení. Cyklotron Obr znázorňuje pohledshora na cyklotron, e kterém obíhají nabité částice (napříkladprotony). Da duté půlálce e taru písmene D, oteřené na roné straně, jsou yrobeny z neferomagnetického, elektricky odiého materiálu (např. měděných plechů) a nacházejí se ploché akuoé komoře. Tyto tz. duanty jsou části elektrického oscilátoru, který ytáří střídaé napětí e štěrbině mezi nimi. Celá komora i s duanty se nachází mezi rozsáhlými póly (o průměru až několika metrů) silného elektromagnetu (např. = 1,5 T). Na obr je pole kolmé k roině obrázku a má směr k nám. Předpokládejme, že proton, který ylétl ze zdroje Z e středu cyklotronu, se zpočátku pohybuje směrem k záporně nabitému leému duantu. Jeho pohyb bude zrychlený. Když ale letí donitř, nebude na něj působit elektrické pole, nebo prostor duantu je proti elektrickému poli stíněn. Magnetické pole šak není duantem odstíněno, nebo mě je diamagnetická (iz kap. 32), takže proton se bude duantu pohyboat po kruhoé trajektorii, jejíž poloměr (záislý na rychlosti) je dán ro. (29.16), tj. má elikost r = m/q. ěhem doby,kdy proton letí unitř leého duantu,změníme polaritu napětí mezi oběma duanty. Proton tedy bude mít opět před sebou záporně nabitý duant a bude znou urychloán. Tento proces pokračuje, obíhající proton stále drží krok s oscilacemi napětí mezi duanty, dokud se nedostane po spiráloité trajektorii k okraji duantu a neyletí en z cyklotronu. sazek částic duant ychyloací destička Z oscilátor duant Obr Schematické znázornění cyklotronu se zdrojem částic Z a oběma duanty. Homogenní magnetické pole je kolmé k roině obrázku a směřuje k nám. Protony obíhají po spiráloité trajektorii a získáají energii pokaždé, když procházejí štěrbinou mezi duanty. Aby cyklotron takto úspěšně urychloal protony, musí být frekence f, se kterou proton obíhá magnetickém poli (a která podle ro. (29.18) nezáisí na jeho rychlosti), rona frekenci f osc elektrického oscilátoru, čili musí platit f = f osc (rezonanční podmínka). (29.23) Má-li totiž energie obíhajícího protonu zrůstat, musí být frekence f osc jednotliých postrčení rona frekenci, se kterou proton obíhá magnetickém poli. Zkombinujeme-li ro. (29.18) a (29.23), můžeme napsat rezonanční podmínku e taru Q = 2pmf osc. (29.24) Náboj Q je ždy konstantní. V nerelatiistickém případě je konstantní i hmotnost m částice. Oscilátor pracuje na jediné pené frekenci f osc. Cyklotron potom ladíme pomocí změn, dokud není splněna ro. (29.24) a neobjeí se sazek urychlených protonů. Protonoý synchrotron Pokudmají protony energii yšší než cca 50 MeV, začínají klasické cyklotrony selháat z principiálních důodů. Základním předpokladem pro činnost cyklotronu je totiž nezáislost frekence obíhání nabité částice na její rychlosti. To ale platí pouze pro rychlosti mnohem menší, než je rychlost sětla. Pokudčástice dosahují elkých rychlostí, musíme poažoat problém za relatiistický. Z teorie relatiity plyne, že obíhající nabitá částice, jejíž rychlost se blíží rychlosti sětla, má hmotnost ětší, než když byla klidu. Podle ro. (29.24) tedy potřebuje stále

14 756 KAPTOLA 29 MAGNETCKÉ POLE delší dobu k ykonání jednoho oběhu a její frekence obíhání postupně klesá. Velmi rychlé protony tedy ypadnou z rytmu frekence cyklotronoého oscilátoru (která je, jak již bylo uedeno, konstantní). Nakonec přestane energie urychloaného protonu růst. Existuje šak ještě další problém. Chceme-li například, aby proton získal energii 500 GeV magnetickém poli o indukci 1,5 T, musel by se pohyboat po kruhoé dráze o poloměru 1,1 km. Magnet konenčního cyklotronu, který by protony urychloal na tuto energii, by byl neúnosně drahý, plocha jeho póloých nástaců by musela být elmi rozsáhlá, asi m 2. Protonoý synchrotron je založen na principu, který odstraňuje obě tyto neýhody. Velikost indukce magnetického pole ani frekence oscilátoru f osc nejsou tomto případě konstantní, jako tomu je u konenčního cyklotronu. Synchrotron je naržen tak, aby se obě eličiny mohly během urychloacího cyklu s časem měnit, což způsobí, že (1) frekence obíhajícího protonu zůstáá rezonanci s oscilátorem po celou dobu urychloání, (2) protony se pohybují po kruhoé trajektorii (a nikoli po spirále, jako tomu bylo případě cyklotronu). Potom stačí, aby se magnetické pole nacházelo pouze podél této kružnice a nikoli na celé ploše kruhu (o obsahu např m 2 ). Kružnice šak musí mít elký poloměr, má-li být dosaženo ysokých energií. Protonoý synchrotron e Fermiho národní laboratoři urychloačů (Fermilab) llinois (obr ) má obod6,3 km a může produkoat protony s energií přibližně 1TeV= ev. PŘÍKLAD 29.5 Předpokládejme, že cyklotron pracuje s frekencí oscilátoru 12 MHz a má poloměr duantu R = 53 cm. (a) Jak silné magnetické pole je potřeba k tomu, aby mohly být tomto cyklotronu urychloány deuterony? ŘEŠENÍ: Deuteron má stejný náboj jako proton, ale asi dakrát ětší hmotnost (m =. 3, kg). Na základě ro. (29.24) můžeme psát = 2pm f osc Q = 2p(3, kg)( s 1 ) (1, = C) = 1,57 T =. 1,6T. (Odpoě ) Všimněte si, že chceme-li urychlit protony, musí být magnetická indukce asi dakrát menší při téže frekenci oscilátoru 12 MHz. (b) Jaká je ýsledná kinetická energie deuteronu? ŘEŠENÍ: Z ro. (29.16) ypočteme rychlost deuteronu na kruhoé dráze o poloměru R: = RQ m = (0,53 m)(1, C)(1,57 T) (3, = kg) = 3, m s 1. Této rychlosti odpoídá kinetická energie E k = 1 2 m2 = = 1 2 (3, kg)(3, m s 1 ) 2 ( ) 1MeV 1, = J = 16,6MeV =. 17 MeV. (Odpoě ) 29.7 AMPÉROVA SÍLA Obr Letecký pohledna Fermilab Při ýkladu Halloa jeu jsme ukázali, že magnetické pole působí boční silou na pohybující se elektrony e odiči. Protože odiostní elektrony nemohou odič opustit, přenáší se tato síla na samotný odič. Na obr a je sisle umístěný ohebný odič, jímž protéká elektrický proud.vodič je na obou koncích upeněn a nachází se mezi póloými nástaci magnetu, jehož magnetické pole je kolmé k roině obrázku a směřuje k nám. Na obr b protéká proud odičem směrem nahoru: odič je ychyloán směrem dopraa. Na obr c je obrácen směr proudu a odič se ychyluje dolea. Na obr je znázorněn malý úsek odičů z obrázku Sledujme jeden z odiostních elektronů, pohybující se driftoou rychlostí d směrem dolů. Podle

15 29.7 AMPÉROVA SÍLA 757 = 0 pohybující se směrem nahoru. Směr ychylující síly, působící na odič, je týž. Neuděláme tedy chybu, budeme-li se držet dohodnutého směru proudu, který odpoídá pohybu kladných nosičů náboje. Uažujme úsek přímého odiče na obr Vodiostní elektrony tomto úseku odiče se budou pohyboat driftoou rychlostí dolů kolmo k řezu x po dobu t = L/ d. Za tuto dobu projde řezem náboj Q = t = L. d Dosadíme-li tento ýsledek do ro. (29.3), dostaneme (a) (b) Obr Na obrázku je ohebný odič, umístěný mezi póloými nástaci magnetu. (a) Neprotéká-li odičem proud, je odič roný. (b) Teče-li odičem proud směrem nahoru, prohne se dopraa. (c) Teče-li odičem proud směrem dolů, prohne se dolea. Kontakty pro příod proudu na obou koncích odiče nejsou zakresleny. ro. (29.3) pro ϕ = 90 zjistíme, že na něj bude působit síla F o elikosti Q d. Z ro. (29.2) plyne, že tato síla směřuje dopraa, takže můžeme očekáat, že na odič jako celek bude působit síla směrem dopraa ( souladu s obr b). (c) odkud F = Q d sin ϕ = = L d d sin 90, F = L. (29.25) Tato ronice určuje sílu, kterou působí magnetické pole o indukci na úsek přímého odiče délky L protékený proudem a ležícím roině kolmé k. Jestliže magnetické pole není kolmé k odiči (obrázek 29.19), bude magnetická síla dána zobecněním ronice (29.25). S užitím ektorů dostááme ztah F = L (síla působící na odič protékaný proudem), (29.26) x L d F který je souladu s ro. (29.2). Vektor délky L má směr totožný se směrem proudu. Ro. (29.26) je ekialentní s ro. (29.2) tom smyslu, že kterákoli z nich může být chápána jako definiční ztah pro indukci magnetického pole. V normě a metrologii šak definujeme magnetickou indukci pomocí ro. (29.26), nebo je mnohem snadnější měřit magnetickou sílu působící na odič s proudem než sílu působící na osamělou pohybující se nabitou částici. Obr Detailnější pohledna úsek odiče z obr b. Elektrický proudteče směrem nahoru, což znamená, že elektrony se pohybují driftoým pohybem směrem dolů. Magnetické pole, kolmé na roinu obrázku, má směr k nám a způsobuje, že elektrony i s odičem jsou ychyloány směrem dopraa. F ϕ L Jestliže bychom na obr obrátili bu směr magnetického pole, nebo směr elektrického proudu, změnil by se směr síly působící na odič a ta by směřoala nyní dolea. Všimněte si, že ýsledek nezáleží na tom, zda uažujeme záporné náboje, pohybující se e odiči směrem dolů (případ demonstroaný na obrázku), nebo kladné náboje, Obr Přímým odičem délky L protéká proud. Vod iči přiřadíme ektor L e směru proudu. Sírá-li L úhel ϕ se směrem magnetické indukce, pak na odič působí Ampéroa síla F = = L. Není-li odič přímý, můžeme jej myšleně rozdělit na infinitezimální délkoé elementy ds a použít ro. (29.26)

16 758 KAPTOLA 29 MAGNETCKÉ POLE pro každý z nich: df = ds. (29.27) Výslednou sílu působící na proudoodič liboolného taru, můžeme získat integrací ro. (29.27). Sílu yjádřenou ro. (29.26), resp. (29.27) nazýáme Ampéroa síla. KONTROLA 5: Na obrázku je zakreslen odič protékaný proudem, nacházející se magnetickém poli, a Ampéroa síla F působící na odič.magnetické pole je orientoáno tak, že síla je maximální. Jaký směr má magnetická indukce? y aodtud = (m/l)g = (46, kg m 1 )(9,8m s 2 ) (28 A) = 1, T. (Odpoě ) Tato hodnota je asi 160krát ětší než elikost indukce magnetického pole Země. PŘÍKLAD 29.7 Na obr je odič, jehož střední část má tar půlkružnice. Celý odič se nachází homogenním magnetickém poli, které je kolmé k roině obrázku a míří k nám. Jaká ýsledná Ampéroa síla F působí na tento odič, protéká-li jím proud? = z F PŘÍKLAD 29.6 Přímým odoroným měděným odičem protéká proud = = 28 A. Určete magnetickou indukci, jejíž elikost bude mít minimální hodnotu potřebnou k tomu, aby se odič znášel, tj. k tomu, aby tíhoá síla byla ykompenzoána Ampéroou silou? Délkoá hustota odiče je 46,6 g m 1. L F mg Obr Příklad Vodič protékaný proudem (znázorněn průřez) se může znášet leitoat magnetickém poli. Proude odiči je kolmý k roině obrázku a teče směrem k nám; magnetická indukce má směr dopraa. ŘEŠENÍ: Na obr je znázorněna situace pro úsek odiče délky L, kterým protéká proudkolmo k roině obrázku směrem k nám. Zadání splňuje ektor magnetické indukce, který leží e odoroné roině, je kolmý k odiči a míří dopraa. Aby byla Ampéroa síla ronoáze s tíhoou silou působící na úsek odiče, musí platit F = mg,kdem je hmotnost tohoto úseku. Po dosazení za F z ro. (29.25) dostaneme L = mg x L df sinθ ds dθ θ F 1 F 3 O df Obr Příklad Úsek odiče s proudem se nachází magnetickém poli. Výsledná Ampéroa síla, která na něj působí, směřuje dolů. ŘEŠENÍ: Síla, která působí na každý ze dou přímých úseků odiče, má elikost danou ro. (29.25) R F 1 = F 3 = L a směřuje dolů, jak ukazují ektory sil F 1 a F 3 na obr Na infinitezimální délkoý element ds centrálního oblouku působí podle ro. (29.27) síla df, jejíž elikost je df = ds = (Rdθ) a která směřuje radiálně k bodu O, tj. ke středu oblouku. Ve ýsledné síle se projeí pouze složka síly df sin ϕ působící dolů. Vodoroná složka této síly se yruší s odoronou složkou síly, která působí na element oblouku symetricky položený (zhledem k ose symetrie půlkružnice). Celkoá síla působící na půlkružnici směřuje dolů a má elikost F 2 = p 0 = R df sin θ = p 0 p 0 sin θ dθ = 2R. (R dθ)sin θ = Výsledná síla působící na celý odič, je potom F = F 1 + F 2 + F 3 = L + 2R + L = = 2(L+ R). (Odpoě ) L

17 29.8 MOMENT SÍLY PŮSOÍCÍ NA PROUDOVOU SMYČKU 759 Všimněte si, že tato síla je rona síle, která by působila na přímý odič délky 2(L + R). Lze dokázat, že to platí bez ohledu na to, jaký tar má střední část odiče. PŘÍKLAD 29.8 Na obr a je odič, kterým protéká proud = 6,0A kladném směru osy x. Vodič se nachází nehomogenním magnetickém poli charakterizoaném ektorem magnetické indukce = (2,0xi + 2,0xj) T m 1,kde i x jsou yjádřeny jednotkách S. Určete Ampérou sílu F působící na úsek odiče ohraničený souřadnicemi x = 0ax = 2,0m. y ektoru (nebo tato složka má stejný směr jako proud). Roněž idíme, že magnetická síla df, působící na element dx odiče, má směr ronoběžný s kladným směrem osy z (na obr c směrem k nám) a její elikost je df = (2,0xdx)T m 1. Poněadž směr síly df je stejný pro šechny elementy dx odiče, můžeme najít elikost celkoé síly sečtením elikostí šech sil df od x = 0pox = 2,0m: F = df = 2,0 0 (2,0T m 1 )x dx = = (2,0T m 1 ) [ 1 2 x2] 2,0 0 = = (2,0T m 1 )(6,0A)( 1 2 )(2,0m)2 = 24(T A m) = = 24 N. (Odpoě ) (a) x = 2,0m x Tato síla má směr kladné osy z. (b) dx ds Obr Příklad (a) Vodič protékaný proudem se nachází nehomogenním magnetickém poli. (b) nfinitezimální délkoý element ds o elikosti dx. (c) Síla df působící na element definoaný (b) způsobená magnetickým polem. Tato síla je kolmá k roině obrázku a má směr k nám. ŘEŠENÍ: Poněadž magnetické pole podél odiče je nehomogenní, musíme rozdělit odič na infinitezimální úseky a potom použít ro. (29.27) k určení síly df, která působí na každý takoý úsek. Nakonec sečteme (integrací) síly df a najdeme tím celkoou Ampérou sílu F působící na celý úsek odiče. Na obr b je infinitezimální délkoý element ds odiče. Tento ektor má délku dx a směr elektrického proudu (tj. kladný směr osy x). Můžeme ho tedy napsat e taru (c) df ds = dxi. (29.28) 29.8 MOMENT SÍLY PŮSOÍCÍ NAPROUDOVOU SMYČKU Průmysl šech zemí sěta yužíá práci elektrických motorů. Síly, které konají tuto práci, jsou síly, kterými magnetické pole působí na odič protékaný proudem, které jsme studoali předcházejícím odstaci. Na obr je znázorněn princip jednoduchého elektromotoru, skládajícího se ze smyčky protékané proudem (proudoé smyčky) umístěné magnetickém poli o indukci. Na smyčku působí dě magnetické síly F a F tak, že ytářejí siloý moment, který způsobí otáčení smyčky. Třebaže jsme ynechali mnoho podstatných konstrukčních detailů, ysětluje obrázek dostatečně dobře působení magnetického pole na proudoou smyčku. Rozeberme je podrobněji. F Podle ro. (29.27) je síla df působící na element dx odiče rona df = ds = = (dxi) (2,0xi + 2,0xj) = = dx ( 2,0x(i i) + 2,0x(i j) ) = = dx(0 + 2,0xk) = 2,0xdxk, (29.29) kde konstantě 2,0 přísluší jednotka tesla na metr. Z tohoto ýsledku idíme, že magnetická síla nezáisí na x-oé složce S Obr Základní prky elektrického motoru. Praoúhlá smyčka protékaná proudem, olně otáčiá kolem pené osy, se nachází magnetickém poli. Komutátor (není zakreslen) mění směr proudu každou poloinu otáčky, takže siloý moment má ždy tentýž směr. F J

18 760 KAPTOLA 29 MAGNETCKÉ POLE Na obr a je (nedeformoatelná) obdélníkoá smyčka se stranami a a b, kterou protéká proud akterá se nachází homogenním magnetickém poli o indukci. Umístíme ji tak, že její delší strany, označené 1 a 3, jsou ždy kolmé ke směru pole (které je kolmé k roině obrázku a směřuje odnás), na rozdíl odkrátkých stran, označených 2 a 4, které obecné poloze nejsou k poli kolmé. Vodiče, přiádějící proud do smyčky a en z ní, jsou ošem nutné, ale pro přehlednost nejsou na obrázku zakresleny. Abychom mohli popsat orientaci smyčky magnetickém poli, zaádíme ektor normály n, který je kolmý k ploše smyčky. Obr b ukazuje použití praidla praé ruky k určení směru n: orientujeme-li ohnuté prsty praé ruky e směru elektrického proudu e smyčce, ukáže ztyčený palec potom směr ektoru n. Nech ektor n smyčky sírá úhel θ s ektorem magnetické indukce (obr c). Nalezněme celkoou sílu a celkoý moment sil působící na smyčku této poloze. Výsledná síla je rona ektoroému součtu sil působících na každou ze čtyř stran smyčky. V případě strany 2 má ektor L, ystupující ro. (29.26), směr proudu a jeho elikost je b. Úhel mezi ektory L a prostranu2je90 θ (obr c). Velikost síly působící na tuto stranu je F 2 = bsin(90 θ) = bcos θ. (29.30) Snadno se přesědčíme o tom, že síla F 4, působící na stranu 4, má stejnou elikost jako síla F 2, ale opačný směr. Síly F 2 a F 4 se tedy yruší. Jejich ýslednice je nuloá. A protože spojnice jejich působiš leží ose smyčky, bude jejich ýsledný siloý moment roněž nuloý. Situace je odlišná pro strany 1 a 3. Pro ně je elikost obou sil F 1 a F 3 rona a, směry šak mají opačné, takže nemohou uést smyčku do posuného pohybu nahoru nebo dolů. Ašak, jak je ukázáno na obr c, neleží tyto dě síly na společné přímce, takže ytářejí nenuloý ýsledný moment sil. Tento moment se snaží otočit smyčku tak, aby normáloý ektor n měl směr magnetické indukce. Rameno každé ze sil ůči ose otáčení je (b/2) sin θ, a tedy elikost ýsledného momentu M obou sil F 1 a F 3 je (obr c) M = (a b2 ) sin θ + (a b2 ) sin θ = = absin θ. Nyní nahradíme jednu smyčku cíkou, složenou z N smyček neboli záitů. Dále předpokládejme, že záity jsou inuty dostatečně těsně k sobě, takže je můžeme chápat tak, jako by měly tentýž rozměr a ležely jedné roině. Potom říkáme, že toří plochou cíku. Na každý ze záitů působí moment M, takže celkoý moment působící na plochou cíku je M = NM = Nab sin θ = (NS) sin θ, (29.31) kde S = ab je obsah plochy ohraničené jedním záitem cíky. Veličiny záorkách (NS) jsme záměrně zařadili k sobě, nebo šechny charakterizují lastnosti cíky; je to počet záitů, proudtekoucí cíkou a obsah plochy jednoho záitu. Dá se ukázat, že ro. (29.31) platí pro šechny ploché cíky bez ohledu na jejich tar za předpokladu, že magnetické pole je homogenní. Zajímaé je sledoat pohyb ektoru n, který má podle praidla praé ruky směr normály k roině cíky. Z ro. (29.31) plyne, že magnetické pole bude plochou cíku protékanou proudem stáčet do polohy, e které bude ektor n souhlasně ronoběžný se směrem magnetické indukce pole. F 1 strana 4 strana 1 F 1 F 4 strana 4 strana 1 M strana 2 F 2 b n strana 2 b strana 1 θ strana 2 n strana 3 strana 3 směr otáčení F 3 F 3 a (a) (b) (c) Obr Obdélníkoá smyčka o délce a ašířceb, kterou protéká proud, se nachází homogenním magnetickém poli. Moment síly M se snaží otočit normáloý ektor n do směru magnetického pole. (a) Smyčka, jak ji idíme ze směru magnetického pole. (b) Pohledna smyčku z perspektiy. Je ukázáno použití praidla praé ruky, pomocí něhož lze stanoit směr n: je kolmý na plochu smyčky. (c) oční pohledna smyčku. Smyčka rotuje tak, jak je ukázáno na obrázku.