14. cvičení z Matematické analýzy 2

Transkript

1 4. cvičení z atematické analýzy ledna (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti ohraničené křivkami y, x a y x 3 v prvním kvadrantu. Křivka Γ je orientována v kladném smyslu (tj. proti směru hodinových ručiček). Podle Greenovy věty pro pole F (F, F 2 ) máme ds, kde výraz na pravé straně si můžeme pamatovat jako F 2 x F x. Je to analogie rotace pole (jakéhosi víru v F F 2 daném bodě) ve třech dimenzích. Interpretací Greenovy věty je to, že víry pole uvnitř oblasti se v sousedních bodech vyruší a zbyde jen vír na okraji oblasti. áme tedy oblast : x & y x 3. Její hranicí je po částech diferencovatelná křivka, která má orientaci odpovídající použití Greenovy věty. Dále je F 2 x F 8xy2 6xy 2 2xy 2 a proto Γ ds 2xy 2 ds x3 2xy 2 dy dx 2 3 x dx (Greenova věta) Pomocí Greenovy věty spočítejte (i) (ii) Γ y 2 dx + 3xy dy kde Γ Γ Γ 2 je hranice mezikruží určeného záporně orientovanou kružnicí Γ s poloměrem 2 a středem v počátku a kladně orientovanou kružnicí Γ 2 s poloměrem a středem také v počátku. Γ x 4 dx + xy dy kde Γ je kladně orientovaná hranice trojúhelníku s vrcholy A (, ), O (, ), B (, ).

2 (i) Orientace hranice mezikruží odpovídá orientaci pro Greenovu větu (správná orientace znamená, že při postupu podél hranice máme oblast po levé straně). Naše oblast je tvaru : x 2 + y a pole je F (x, y) ( y 2, 3xy ). ůžeme proto psát Γ 2π 2 (ii) Trojúhelník popíšeme jako ds 3y 2y ds y ds r 2 cos ϕ dr dϕ 2 2π r 2 dr cos ϕ dϕ. [ xr cos ϕ ] yr sin ϕ r 2 ϕ 2π : y & x y a pole je F (x, y) ( x 4, xy ). Orientace křivky Γ je v souhlase s Greenovou větou. ůžeme proto psát Γ ds y ds y y dx dy y( y) dy (Stokesova věta) Pomocí Stokesovy věty spočítejte F d s, kde F (x, y, z) (xz, 2xy, 3xy) a Γ je hranice části roviny 3x + y + z 3, která je v prvním oktantu. Okraj plochy je orientovaný v záporném smyslu při pohledu seshora. Stokesova věta je zobecnění Greenovy věty z R 2 do R 3 (orientovaná plocha, jejíž je křivka nyní okrajem, už může být různě zakřivená v prostoru): rot( F ) ds, kde rot( F ) : F i j k x z F F 2 F 3 ( F3 F 2 z, F z F 3 x, F 2. Orientace plochy a jejího okraje musí být v souladu a to pomocí pravidla pravé ruky (vztyčený palec poblíž okraje ukazuje směr orientace plochy a prsty směr orientace okraje). Page 2

3 Plocha je trojúhelník. Orientace plochy v souladu s orientací okraje je tedy směrem dolů (při pohledu zdola bude okraj orientovaný v kladném smyslu). Normované normálové pole je tak dané směrem vektoru n (3,, ). Dále máme rot( F ) i j k x z xz 2xy 3xy ( 3x, x 3y, 2y ). Plochu zparametrizujeme jako graf funkce z 3 3x y, tedy pomocí množiny a Φ(x, y) (x, y, 3 3x y) U : x & y 3 3x. (U je jen projekcí do roviny xy). Pro tečné vektory máme Φ x (,, 3 ) Φ (,, ) Φ x Φ ( 3,, ). Protože tento vektorový součin má opačný směr než zadaná orientace n, musíme ho do integrálu dosadit s opačným znaménkem (nebo prostě změnit pořadí vektorů v součinu, tj. dosadit Φ namísto Φ x Φ ). Takže máme Φ(U) (3x, x 3y, 2y) U rot( F ) ds 3 U ( rot( F ) ( Φ ) Φ Φ ) ds x ds ( x + y) ds U 3( x) 9 2 ( x)2 3x( x) dx Φ x y x dy dx 4.4 (Stokesova věta) Pomocí Stokesovy věty spočítejte rot( F ) d S, kde F (x, y, z) (xyz, x, e xy cos z) a je polosféra x 2 + y 2 + z 2 a z s orientací směrem vzhůru. Page 3

4 a áme : x 2 + y 2 + z 2 & z : x 2 + y 2 & z. Plocha je orientovaná směrem nahoru a orientace jejího okraje tedy odpovídá orientaci dané např. parametrizací ϕ(α) (cos α, sin α, ) pro α 2π. áme tedy ϕ (α) ( sin α, cos α, ) rot( F ) ds 2π (, cos α, e sin α cos α ) sin α cos α 2π dα cos 2 α dα π. 4.5 (Stokesova věta) Určete kde je kladně orientovaná křivka při pohledu seshora. (y z) dx + (z x) dy + (x y) dz Γ Γ : x 2 + y 2 & x + z Křivka Γ je elipsa, která vznikne jako průnik roviny x + z, která šikmo přeřízne povrch válce x 2 + y 2. ůžeme ji chápat jako hranici plochy S : x 2 + y 2 & x + z s orientací nahoru. Použijeme proto Stokesovu větu. Spočítáme si rotaci rot( F i j k ) x z ( 2, 2, 2 ). y z z x x y Normované normálové vektorové pole orientované plochy je určené normálovým vektorem roviny, ve které plocha leží, a sice n 2 2 (,, ) (směr vektoru také odpovídá zadání). ůžeme pak psát rot( F ) ds ( ) rot( F ) n ds 2 2 ds. Γ Ted už stačí jen určit velikost povrchu plochy (tj. ds). Protože ale jde o plochu ohraničenou elipsou s délkami poloos a a b 2 (snadno určíme z obrázku), je obsah roven πab 2π. Dosazením pak dostáváme 2 2 ds 2 2 2π 4π. Γ Page 4

5 4.6 (Gaussova věta) Určete F d S kde S je hranice čtyřstěnu : x + y + z & x, y, z orientovaná vnější normálou a vektorové pole je F (x, y, z) ( xy, yz, xz ). S Použijeme Gaussovu větu. Orientace plochy S je v souladu s Gaussovou větou. Spočítáme si divergenci div( F ) F x + F 2 + F 3 z y + z + x. Čtyřstěn si rozřežeme (kvůli Fubiniově větě) např. jako áme tedy : x & y x & z x y F ds S div( F ) dv x x y x + y + z dz dy dx 2 x [(x + y) + 2 ( x y) ] ( x y) dy dx 2 [y ] y x (x + y)3 3 y dx 2 x (x + y) 2 dy dx 2 3 x + x3 3 dx ( ) (Gaussova věta) Pomocí Gaussovy věty spočítejte tok vektorového pole F (x, y, z) (x 3, y 3, z 3 ) a sférou x 2 + y 2 + z 2 s vnější orientací. áme a Orientace okraje je dána vnější normálou. : x 2 + y 2 + z 2 : x 2 + y 2 + z 2. Page 5

6 áme div( F ) 3(x 2 + y 2 + z 2 ) a Gaussova věta nám dává F ds div( F ) dv 3 ( [ x 2 + y 2 + z 2) dv π 2π 3r 2 r 2 sin ϑ dr dϕ dϑ 2π 3r 4 dr dϕ xr sin ϑ cos ϕ yr sin ϑ sin ϕ zr cos ϑ (r,ϕ,ϑ),,2π,π π ] sin ϑ dϑ 3 5 2π π. Page 6