Relativita I příklady

Transkript

1 quation Chapter 1 ection 1 Relatiita I příklad 1 Mion Zadání: Doba žiota mionu (těžkého elektronu) je = 10 6 s Mion nikl e ýšce h = 30 km nad porchem Země interakcí kosmického áření s horními rstami atmosfér a dopadl na Zem Jakou musel mít minimální rchlost při niku? Řešení: Mion b podle klasické fik neměl na porch Země ůbec dopadnout protože se dříe ropadne na normální elektron a neutrino Z hlediska pooroatele na Zemi je ale mion pohblié soustaě a doba jeho žiota se prodlužuje na t = Mion proto může ulétnout až dálenost h ct = c Z tohoto tahu počteme rchlost kterou musí minimálně mít: c c c (1) h Příklad le také řešit soustaě spojené s mionem jako kontrakci dálenosti kterou musí mion ulétnout Interal Zadání: Dokažte že interal mei děma událostmi je e šech souřadnicoých soustaách stejný Řešení: Předpokládejme že se odehrál dě události A a a každá je popsána čtřmi prostoročasoými údaji nějaké souřadnicoé soustaě počtěme interal soustaě a soustaě Ukážeme že obě hodnot jsou stejné V platí A A A A s c ( t t ) ( ) ( ) ( ) () Interal přepíšeme pomocí přírůstků které určíme Lorento transformace Pro interal ted máme t( t / c ) ( t) (3)

2 s c t s c ( t / c ) ( t) Po ronásobení se ýra úměrné t ruší a bude (4) ( ) ( ) ( ) ( ) s c t t c Nní sloučíme člen s a t k sobě: s c t 1 c Vužijeme-li definici koeficientu máme okamžitě s c t s (5) Interal mei oběma událostmi je proto e šech souřadnicoých soustaách stejný 3 lektron Zadání: lektron je urchlen napětím U = 10 6 V Určete jeho rchlost klasického i relatiistického ýrau pro kinetickou energii a ýsledk poronejte Řešení: lektron obou případech urchlením íská kinetickou energii W QU (6) k V klasickém případě je 1 Wk QU Wk m m m 1 98 c (7) V relatiistickém případě je m0c Wk m0c m0c c 1 094c (8) m0c QU Nerelatiistický ýra ted jeně nemůžeme tomto případě použít ede k rchlostem pohbu elektronu šším než je rchlost sětla 4 lunce Zadání: Jak se mění hmotnost lunce a jeden rok dík jeho ařoání? Intenita slunečního áření nad atmosférou Země je I = 14 kw/m hmotnost lunce je kg dálenost Země od lunce je d = km Řešení: Hmotnost se mění o m = /c = Pt /c = 4d I t/c ~ kg (9) lunce přicháí o anedbatelný lomek sé celkoé hmotnosti

3 5 Dopplerů je Zadání: Odoďte relatiistický Dopplerů je pomocí transformace lnoého čtřektoru (k k k ω/c) Zkuste se amslet nad tím proč docháí k Dopplerou jeu i tehd kdž droj pooroatele jen míjí a jejich dálenost se nemění (t transerální neboli příčný Dopplerů je) Řešení: nadno naleneme řešení soustaě spojené s drojem áření: / c 0 / c 0 / c k k cos0 0/ c cos0 k ksin / c sin 0 k 0 0 Nní proedeme Lorentou transformaci do sousta pooroatele (jde o inerní Lorentou transformaci): / c / c 0 0 / c cos 0/ c cos0 0 / c sin 1 0 0/ c sin Vhledem k tomu že nás ajímá frekence místě pooroatele postačí nalét jen nultý řádek maticoého násobení: 1 cos 00 c Tento tah je námý jako relatiistický Dopplerů je V limitě níkých rchlostí (anedbáme člen kadratické a šší /c) je 1 a = (1 + /c cos ) 0 Při daloání droje je = 180 a = (1 /c) 0 při přibližoání droje je = 0 a = (1 + /c) 0 Jde o námé nerelatiistické Dopplero tah Při šších rchlostech jsou tto tah modifikoán koeficientem Jestliže droj áření pooroatele míjí ( = ± 90 ) je = 0 Ke měně frekence ted docháí i případě že se droj nedaluje ani nepřibližuje Tento je se naýá transerální Dopplerů je a jde o čistě relatiistický je který nemá nerelatiistické fice obdob Je působen měnou chodu času pohbující se soustaě (dilatací času) Prostoroé relace maticoé transformace dají tah (1) cos ( cos ) (13) sin sin (14) Pokud obě ronice dělíme ískáme tah mei oběma úhl který je neáislý na frekencích a áisí jen na ájemné rchlosti sousta:

4 sin 0 tg cos Ze tahu je řejmé že lnoplocha měnila směr a že tato měna áisí jen na ájemné rchlosti sousta Relatiistický Dopplerů je jsme de ododili jen pro sětlo (ω = ck) a nikoli pro obecné lnění látk 0 (15) 6 Heaisideoo pole Zadání: Heaisideoo pole Určete pole nabité částice letící konstantní rchlostí Vužijte transformaci čtřektoru potenciálu pole ( A A A / c) Q Řešení: V soustaě spojené s nábojem je řejmě ektoroý potenciál nuloý (není de přítomno magnetické pole) a skalární potenciál je dán Coulomboým ákonem: Q (16) 4 r Proedeme inerní Lorentou transformaci do sousta pooroatele / c Q/(4 0cr ) A 0 A (17) A Po násobení matic dostááme pro potenciál soustaě pooroatele Q Q ; A ; A 0; A 0 4 r 4 cr Ve ýsledku jsme onačili r ( t) (19) Je řejmé že magnetické pole je již nenuloé a elektrické pole je také modifikoáno Noý tar polí je 0 A Q( t) t 3/ 4 0 ( t) A t 3/ 4 0 ( t) A t 3/ 4 0 ( t) Q Q (18) (0)

5 Magnetické pole určíme jako rotaci ektoroého potenciálu: A A 0 A A Q 3/ 4 0c ( t) A A Q 3/ 4 0c ( t) Důležitá je kolmá a ronoběžná složka elektrického pole určíme ji místech onačených na obráku postaičkou pooroatele: Q t 0 1 Q 4 ( ) ( t) Vidíme že elektrické pole je napříč pohbu nataženo faktorem a e směru pohbu je stlačeno faktorem Pole se pohbuje spolu s nábojem Magnetické pole toří kružnice kolmé na pohb náboje Pro nekonečnou řadu nábojů bchom ískali pole kolem odiče P P (1) () (3) 7 Letící kondenátor Zadání: Roinný deskoý kondenátor s homogenním elektrickým polem se pohbuje hledem k pooroateli rchlostí e směru silokřiek pole Určete elektrické a magnetické pole které bude pooroatel pooroat ' 0 ' ' Řešení: Zaedeme souřadnicoou soustau spojenou s kondenátorem oustaa bude spojená s pooroatelem V soustaě spojené s kondenátorem jsou potenciál pole triiální lektrické pole musí být áporně atým gradientem skalárního potenciálu magnetické pole rotací ektoroého potenciálu odsud určíme potenciál: 0 A 0 A 0 A 0 (4)

6 Nní proedeme inerní Lorentou transformaci k soustaě spojené s pooroatelem: / c 0 A 0 A (5) A Výsledné potenciál jsou: ( t) A 0 0 ( t) c c A 0 A 0 Poslední částí ýpočtu je určení noých elektrických a magnetických polí: A 0 0 (1 / c ) 0 0 t c A 0 t A 0 t A A A A A A Pohbuje-li se droj homogenního elektrického pole e směru silokřiek pole se nemění Toto trení ale neplatí pro pohb napříč silokřikám V tomto případě se mění elektrické pole a generuje pole magnetické (Vkoušejte!) (6) (7)