Summer Workshop of Applied Mechanics. Numerické a experimentální studium šíření napěťových vln v tenké ocelové desce

Transkript

1 Summer Workshop of Applied Mechanics June 2002 Department of Mechanics Faculty of Mechanical Engineering Czech Technical University in Prague Numerické a experimentální studium šíření napěťových vln v tenké ocelové desce Kolman Radek 1, Kuliš Zdeňek 1, Trnka Jan 2, Plešek Jiří 2, Svatopluk Pták 2 1 Odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky FSI ČVUT v Praze Technická Praha 6 2 Ústav termomechaniky AV ČR Dolejškova Praha 8 hrefmailto:kolmanr@sgi.fsid.cvut.czkolmanr@sgi.fsid.cvut.cz Klíčová slova: šíření napěťových vln, výbušný drátek dvoupulzní holografické interferometrie 1 Úvod Se zdokonalováním výpočetních systémů na bázi konečných prvků se začali řešit úlohy přechodových dějů a šíření vln napětí v tuhých tělesech. Řeší se šíření vln napětí v elastických, visko-elastických, elasto-plastických, elasto-visco-plastických popř. termo-visko-elasto-plastických materiálech. Tento článek se týká šíření vln v tenké desce z homogenního elastického a izotropního materiálu, kde se předpokládají malé deformace. Pomocí analytického řešení odezvy tenké ocelové desky se naladí numerický model a poté se provede výpočet pro okrajové podmínky shodné s experimentem. Cílem je porovnat posuvy bodů povrchu v určitých časech zjištěných simulací a experimentem. 105

2 2 Šíření elastických vln v izotropním elastickým prostřední Šíření napě ových vln v tuhém prostředí z elastického izotropního a homogenního materiálu popisují pohybové rovnice [1] ρ 2 u t 2 e = (λ + G) x + G 2 u (1) ρ 2 v e = (λ + G) t2 x + G 2 u ρ 2 w t 2 e = (λ + G) x + G 2 u, kde u, v, w jsou složky posuvu bodů v kartézském souřadnicovém systému, e je poměrná změna objemu e = u x + v y + w (2) z λ Lamého konstanta, G modul pružnosti ve smyku, vztah λ,g,e a ν je λ = νe (1 + ν) (1 2ν), G = E 2 (1 + ν) a ρ je hustota. V neomezeném prostředí se mohou šířit vlny podélné a to fázovou rychlostí λ + 2G c 1 = (3) ρ a příčné vlny fázovou rychlostí c 2 = G ρ. (4) Pro řešitelnost úlohy je dále nutné znát počáteční a okrajové podmínky. 3 Šíření napět ových vln v tenké ocelové desce Zde se bude studovat odezva tenké ocelové desky na plošné zatížení obr.??. Hledané řešení lze najít analyticky, samozřejmě numericky pomocí FEM a odezva desky se také sleduje experimentálně. 106

3 ø h y σ ø d t x Obrázek 1: Rotačně symetrický model tenké desky zatížené kolmým plošným tlakem Obrázek 2: Analytické řešení odezvy desky 3.1 Analytické řešení Pro odezvu rotačně symetrické tenké desky na kolmé plošné zatížení s časovým průběhem ve tvaru Heavisideovi funkce s velikostí skoku plošného zatížení σ 0 bylo nalezeno analytické řešení viz [2]. Odvození bylo provedeno pro homogenní izotropní elastický materiál, jsou uvažovány malé deformace a posuvy, deska byla uvažována jako tlustá (žádné zjednodušení kinematiky přetvoření). Analytické řešení bylo provedeno pro hodnoty E = 210 GP a, ν = 0.3, ρ = 7820 kg/m 3, h = 4 mm, σ 0 = 50 MP a, t = 5 mm. Na obr.2 jsou zobrazeny posuvy u y dvou bodů ve vzdálenosti 40 mm a 100 mm od osy na zatíženém povrchu desky. 107

4 Obrázek 3: Výbušný drátek 3.2 Experimentální řešení Dostupnost dvoupulzních rubínových laserů koncem osmdesátých let způsobila rozšíření dvoupulzní holografické interferometrie ( DPHI ) jako účinné metody při výzkumu šíření vln napětí v pevných tělesech i v plynném prostředí. DPHI dává možnost zkoumat nejen vlastnosti prostředí, jimiž se vlny šíří (izotropie, anizotropie), ale též detekovat různé vady (trhliny, vměstky aj.), které se v něm vyskytují [3]. Šířící se vlna je na hologramu zviditelněna v podobě světlých a tmavých proužků. Tyto proužky mohou být interpretovány jako izoamplitudové křivky. Pro izotropní prostředí a bodové zatížení jsou charakteristické soustředné kruhové interferenční pruhy, pro prostředí ortotropní pruhy oválné, odpovídající různým rychlostem šíření vlny v různých směrech. Hustota proužků je závislá na gradientu deformace. Vzdálenost proužků od místa buzení závisí na časovém intervalu mezi začátkem zatížení předmětu a okamžiky expozic holointerferogramu a na rychlosti šíření příslušné vlny. Složitější interferenční obrazec vznikne po odrazech vlny od okrajů předmětu, kdy se vlna odráží zpět a interferuje s vlnou postupující od místa zatížení. Extrémy ve výchylkách šířící se vlny (maxima či minima) představují široké světlé resp. tmavé pruhy. Mezi nimi jsou proužky značně užší a blíže u sebe, což charakterizuje rychlou změnu výchylky. Rozteč proužků odpovídá změně amplitudy o 2 světla použitého pro záznam hologramů. V případě, že vlna nedorazila ještě k okraji předmětu jsou její amplitudy v oblasti mezi posledním viditelným proužkem a okrajem menší než λ/4. Na základě analýzy holointerferenčního obrazce můžeme určit tvar šířící se vlny, resp. materiálové charakteristiky prostředí včetně přítomnosti nehomogenit [4], [5]. 108

5 Numerické a experimentální studium šíření napěťových vln v tenké ocelové desce Obrázek 4: Snímky odezvy desky v časech 25 µs (vlevo), 40 µs (uprostřed), 55 µs (vpravo) po výbuchu Pro úspěšný experimentální výzkum vln napětí v pevných tělesech pomocí DPHI je nutné vyřešit mj. optimální dynamické zatížení zkoumaného předmětu, které musí být dostatečně časově krátké, reprodukovatelné a intenzivní. Současně je nutné zajistit přesnou a reprodukovatelnou synchronizaci záblesků dvoupulzního rubínového laseru s tímto zatížením. S ohledem na tloušt ku zkoumané desky i s ohledem na potřebu znalosti přesného časového průběhu zatěžující síly jsme použili pro generaci rázového zatížení výbušných drátků obr.3. Takto generovaná výbušná síla má definovanou velikost i časový průběh a lze ji snadno synchronizovat se záznamovým zařízením. Generované pulzy jsou krátké (10 30 µs) i dostatečně intenzívní ( N ) [6]. Pomocí dvoupulzního rubínového laseru HLS 2 jako světelného zdroje v holokameře bylo zviditelněno šíření napětových vln v tenké ocelové desce o rozměrech 280 x 280 x 5 mm. Experimentální řešení bylo provedeno pro ocelovou desku s mechanickými hodnotami E = GP a, ν = a ρ = 7793 kg/m3. Hodnoty modulu pružnosti E a Poissonova čísla ν jsou určeny z naměřených hodnot rychlosti podélné vlny c1 = m/s a rychlosti příčné vlny c2 = m/s pomocí vztahů (3) a (4). Deska byla fixována na dolním okraji v blízkosti rohů, ve dvou bodech. Zatěžovací element o průměru h = 6 mm s výbušným drátkem působil kolmo k povrchu desky a to v jejím středu [7]. Na obr.4 jsou fotografie dvoupulsního holointerferogramu rázově zatížené desky v časech 25 µs, 40 µs a 55 µs po výbuchu. Uvedené časy jsou časy nastaveného zpoždění laserových pulzů. Pro porovnání výsledků výpočtů je třeba odečíst od uvedených hodnot 13 µs, neboť to je doba, kterou potřebuje mechanická vlna generovaná výbuchem drátku k tomu, aby zasáhla vnější snímaný povrch desky. Parazitní zpoždění v elektrických obvodech je prakticky nulové. 109

6 Obrázek 5: a) Průběh pulsu od výbušného drátku o průměru 6 [mm] b) Upravený puls po rozvunitý do Fourierovy řady Na obr.5a je zobrazen průběh výsledné budící síly od výbušného drátku. Pro potřeby dalšího použití pulzu byl signál upraven. Byl nalezen časový úsek, který charakterizoval silový účinek pulz obr.5b. Tento úsek byl dlouhý 50 µs z důvodu nezávislosti odezvy na okrajových podmínkách. Po určité době dojde k odrazu vln na okraji a tyto vln superponují s vlnami příchozími. Dále byl tento průběh signálu aproximován Fourierovou řadou, bylo uvažováno 20 členů Fourierov řady. 3.3 Numerické řešení Přechodové děje jakožto šíření vln napětí v tělesech je možné řešit numericky, a to hlavně metodou konečných prvků (FEM) [8]. Dále se bude předpokládat homogenní elastický izotropní materiál, deformace jsou malé, systém bez tlumení. Za těchto předpokladů je úloha lineární. Matice tuhosti K a hmotnosti M celého systému se určí klasickým způsobem pomocí diskretizace konečnými prvky [9] K = B T EB dv, (5) V M = V ρn T N dv, (6) kde N je matice tvarových funkcí, B matice derivací tvarových funkcí a E matice elastických konstant. Matice K a M se za zvolených předpokladů nemění. Pohybová rovnice systému je tedy ve tvaru M q + Kq = F ext, (7) kde q je zobecněný vektor posuvů a F ext je vektor vnějších uzlových sil. 110

7 Implicitní schéma časové integrace pohybové rovnice Sledovaný systém je lineární a pro je výhodné použít pro sledování odezvy implicitní časové integrační schéma, konkrétně Newmarkovo schéma [8]. Newmarkova metoda je založena na následujících vztazích - pohybová rovnice zapsaná v čase t + t M t+ t q + K t+ t q = t+ t F ext (8) a vztahem mezi zobecněnými posuvy q, rychlostmi q a zrychleními q t+ t q = t q + t t q t2 ( (1 2β) t q + 2β t+ t q ) (9) t+t q = t q + t ( (1 γ) t q + γ t+ t q ) (10) Newmark navrhl parametry β a γ tak, aby algoritmus byl numericky nepodmíněně stabilní, a to β = 1/4 a γ = 1/2. Po dosazení (9) a (10) do pohybové rovnice (8) se dostane rovnice rovnováhy ve tvaru kde tzv. efektivní matice tuhosti je a efektivní vektor pravé strany K eff t+ t q = F eff, (11) K eff = K + a 0 M, (12) F eff = t+ t F ext + M ( a 0 t q + a 1 t q + a 2 t q ). (13) Dále se pro známé t+ t q ze vztahu (9) určí zrychlení a rychlost ze vztahu (10) Konstanty a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 jsou t+t q = a 0 ( t+ t q t q ) a 1 t q a 2 t q (14) t+t q = t q + a 3 t q + a 4 t+ t q. (15) a 0 = 1/ ( β t 2), a 1 = 1/ (β t), a 2 = 1/ (2β) 1, a 3 = t (1 γ), a 4 = tγ. (16) Newmarkova metoda je velice efektivní při použití pro lineární úlohy a úlohy, kde není nutné měnit velikost časového kroku t. Efektivní matice tuhosti K eff se poté během výpočtu nemění, matice K eff se sestavuje pouze jednou a to na začátku výpočtu. Provede se faktorizace matice K eff. V každém časovém kroku se sestaví efektivní vektor pravé strany a provede se zpětný chod, čímž se určí posuv t+ t q. Rychlost t+ t q a zrychlení t+ t q se poté vypočítají ze vztahů (9) a (10). 111

8 Obrázek 6: Výsledky numerických testů 112

9 Obrázek 7: Porovnání simulace odezvy desky na reálný puls s experimentem Numerické testy Na obr.6 je sledován vliv typu a velikosti konečných prvků na odezvu desky modelovanou jako rotačně symetrická úloha. Použila se Newmarkova metoda. Protože Newmarkovo schéma je numericky nepodmíněně stabilní, tzn. pro libovolný časový krok nenarůstají výsledky řešení pro libovolné počáteční podmínky, může být časový krok libovolný. Aby se podchytil vlnový charakter jevu, volí se časový krok t podle t = l 2c 1, (17) kde l je charakteristický rozměr prvků a c 1 je rychlost podélných vln. Na obr.6 je sledován průběh odezvy v jednom bodě desky (poloměr 100 mm na zatíženém povrchu) pro shodné zadání, které se pouvžilo pro analytické řešení kap.3.1. Z uvedených numerických testů je možno usoudit na chybu řešení. Pro další výpočty se zvolí hustota sítě 140 x 5 konečných prvků (velikost konečných prvků 1 mm x 1 mm) s kvadratickou aproximací. Veškeré výpočty metodou konečných prvků se realizovaly pomocí systémem PMD. Odezva desky na reálný puls a porovnání s exprimentem Pro odezvu desky na reálný puls obr.5 se použila geometrie desky a mechanické vlastnosti shodné s experimentem kap.3.2. Úloha byla modelována jako rotačně symetrická. Protože se sleduje odezva desky v kratším čase než dojde k odrazu vln od okraje 113

10 desky, nezávisí odezva na okrajových podmínkách. Uložení desky bylo modelováno vetknutím. Výpočet se provedl na síti s velikostí kvadratických prvků 1 mm x 1 mm, použilo se Newmarkovo schéma s velikostí integračního kroku podle (17). Na obr.7 je zobrazeno porovnání pusuvů ve směru osy y (viz obr.3) bodů zatížené plochy desky v různých časech určené numerickým výpočtem a experimentem. Na základě porovnání průběhů posuvů na obr.7 lze najít dobrou shodu výpočtu odezvy tenké desky na plošné zatížení pomocí metody konečných prvků s experimentálně zjištěnými daty. Poděkování Práce vznikla při řešení grantového projektu GA AV Diagnostika nestacionární dynamické napjatosti v deskových a skořepinových útvarech. Reg. č. A Autoři práce proto upřímně děkují Grantové agentuře AV ČR za podporu. Literatura [1] Brepta, R., Prokopec, M.: Šíření napět ových vln a rázy v tělesech, Academia, Praha, 1972 [2] Červ, J., Valeš, F., Volek, J., Landa, M.: Wave propagation in plates under transverse impact loading. In: Proceedings of 9th International Congress on Sound and Vibration (7-11 July 2002), University of Central Florida, Orlando, USA (in press) [3] West, Ch.: Hologhraphic Interferometry, John Wiley, 1979 [4] Olofsson, K., et al.: Holographic interferometry measurements of transient bending waves in tubes and rings, Experimental Mechanics, Vol.33, No 4, , (1993). [5] Fallstrom, K. J., et al.: Transient Bending Waves in Plates Studied by Holointerferometry. Experimental Mechanics, 1989, p. 378 [6] Trnka, J., Veselý, E.: Generace rázového zatěžování při experimentálním výzkumu šíření napět ových vln v deskách a skořepinách. Proc. Inženýrská mechanika 99 Str [7] Trnka, J., Veselý, E.: Dvoupulzní holointerferometrie při výzkumu rázových dějů v mechanice těles a prostředí. Proc. of the Colloquium Dynamics of Machines 98. Str IT ASCR Prague3-4.Feb

11 [8] Okrouhlík, M., Höschl, C., Plešek, J., Pták, S., Nadrchal, J.: Mechanika poddajných těles, numerická matematika a superpočítače, Ústav termomechaniky AV ČR, Praha, 1997 [9] Bathe, K.J.,: Finite elements procedurs in engineering analysis, Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall,