Obr. 0.1: Nosník se spojitým zatížením.

Transkript

1 Každý test obsahuje jeden příklad podobný níže uvedeným tpovým příkladům a několik otázek vbraných z níže uvedených testových otázek. Za příklad je možno získat maimálně bodů, celkový počet bodů z testu je. Tpové příklad..určetepřibližněprůhbovoučáru vnosníkuzatíženéhospojitýmzatížením q[nmm ].Rozměraprůřezové charakteristik jsou zaveden na obr. 0., materiál je elastický s Youngovým modulem pružnosti E. Užijte princip minima celkové potenciální energie a Ritzovu metodu s polnomickou bází do stupně polnomu. q J l Obr. 0.: Nosník se spojitým zatížením. Řešení: Předpokládejme v jako lineární kombinaci Talorovské báze va 0 + a +a + a + a Hledámekoeficient a i tak,abchomvhověliprincipuminimacelkovépotenciálníenergie.podletohotoprincipu se řešení vbírá z množin kinematick přípustných posuvů. Proto splnění kinematických okrajových podmínek musí být předem zajištěno i ve výše navržené lineární kombinaci pro libovolnou volbu koeficientů. Kinematickéokrajovépodmínk: v00, v 0 v/ 0 0.Jeevidentní,ževolba a 0 a 0zaručísplnění kinematickýchokrajovýchpodmínekprolibovolnouvolbu a, a, a.nnítedmámekinematickpřípustná řešení ve tvaru va + a + a s derivacemi v a +a +a v a +a +a Celková potenciální energie Π tělesa sestává z deformační energie U a potenciálu vnější síl W Nní, z plne U l 0 ΠU+ W,kde Mo EJ EJ W l 0 l 0 qv (v ) (v ) ( a +a +a ) a +a +a +8a a +a a +a a Π 7 EJl a +EJl a +EJla +8EJl a a +EJl a a +EJl a a ql a ql a ql a PodmínkouminimaΠa, a, a je Π EJl a +EJl a +EJla ql a Π 8EJl a +EJl a +EJl a ql a Π a EJl a +8EJl a +EJl a ql 0 0 0

2 sstém občejných lineárních rovnic, jehož řešení vede na přibližné řešení naší úloh ve tvaru Průhb na volném konci a q EJ ; a ql EJ ; a ql EJ v q [ l +l ] EJ vl ql 8EJ je v plném souladu s klasickým analtickým řešením Mohrovým integrálam.. Určete přibližně posuv(horizontální i vertikální) stčníku V prutové soustav. Rozměr jsou zaveden na obr. 0., materiál je elastický s Youngovým modulem pružnosti E a všechn prut mají stejný průřez A. Užijte princip minima celkové poteciální energie a předpoklad malých posuvů. V F a A B C a a Obr. 0.: Jednoduchá prutová soustava. Řešení: Celkovou potenciální energii prutové soustav vjádříme jako součet deformační energie U a potenciálu vnějších sil W, ted Π U + W. Deformační energii lze vjádřit jako součet deformačních energií jednotlivých prutů [ ] U U i Eε i Al i, i i kde l i jedélkaaε i poměrnéprodloužení i téhoprutu.potenciálvnějšíchsiljeformálnězáporněvzatou hodnotou skalárního součinu síl a posuvu jejího působiště. V našem případě ted jde o stčník V a protože síla je horizontální platí, že W u V F, kdeposuv u V stčníku V jevesložkách u V [u V, v V ].Poměrnéprodlouženíprutuevidentnězávisínaposuvu u A l B u B l 0 l l l 0 u B A u A Obr. 0.: Prodloužení prutu jako funkce posuvů jeho stčníků za předpokladu malých posuvů.

3 jeho koncových bodů(stčníků). Dle obrázku 0. znázorníme nedeformovaný prut s počátečním stčníkem A a koncovýmstčníkem Bvektorem l 0 aprutpodeformacivektorem l.zapředpokladumalýchposuvůsedélka prutupodeformaci laproimujejakovelikostprůmětudeformovanéhoprutudopůvodníhosměru l0 l l l 0 Označíme-li u A,resp. u B posuvstčníků A,resp. B,pakpodlevektorovéhoobrazcenaobr.0.platí l ub + l 0 u A Prodlouženíprutu(zapředpokladumalýchposuvů)vjádřímejakorozdíldélek l podeformacia deformací, takže prodloužení prutu l l l0 l 0 l l 0 l 0 l 0 l0 l l 0 l 0 l 0 ( l l0 ) l 0 l 0 ( u B u A ) l0 l 0 l 0 před je dáno průmětem rozdílu posuvů jeho stčníků do směru prutu před deformací. Evidentně i poměrné prodloužení prutu ε l ( u B u A ) l0 l 0 l 0 je lineární funkcí posuvů stčníků A a B. Celková potenciální energie naší soustav Π(u A, v A, u B, v B, u C, v C, u V, v V ) i [ ] Eε i Al i u V F je (kvadratickou) funkcí posuvů stčníků A, B, C a V. Podle principu minima celkové potenciální energie je řešením takový posuv, který minimalizuje celkovou potenciální energii Π na množině všech kinematick přípustných posuvů, ted v našem případě při splnění okrajových podmínek Za těchto podmínek platí u A v A u B v B u C v C 0 Π(u V, v V ) i [ ] Eε ial i u V F, kde ε u V a+v V a ε a u V a ε v V a ε a u 0 V ε u V a+v V a ε a u V a Nutnou podmínkou minima celkové potenciální energie Π je což po dosazení vede na soustavu [ uv + v V EA a a [ uv + v V EA a Π u V Π v V [ ] ε i Eε i Al i F0 u V [ ] ε i Eε i Al i 0 v V i i a+ v V a 0a+ u V+ v V a a a+ v V a ( a a a+ u V+ v V a ε v V a ε v V a ε v V a ) ] a F 0 ( ) ] a 0 a

4 sřešením Fa u V EA v V 0 Totořešeníjeopětvsouladus klasickým řešenímsilovoumetodousdeformačnípodmínkounebopomocí. Castiglianov vět. Testové otázk.. Jaký varianční princip představuje následující rovnice? σ ij δε ij dv X i δu i dv Ω Ω p i δu i ds0 Ω σ Copředstavujísmbol(Ω, Ω σ, σ ij, δε ij, X i, δu i, p i )vnízapsané?zformulujtepříslušnývariačníprincip! (Nápověda: Nezapomeňte na pojem kinematick přípustného pole posuvů).. Co představuje smbol Π, a v jakém variančním principu se vužívá? Π σ ij ε ij dv X i u i dv p i u i ds Ω Ω Ω σ CopředstavujísmbolΩ, Ω σ, σ ij, ε ij, X i, u i, p i?zformulujtepříslušnývariačníprincip!(nápověda:nezapomeňte na pojem kinematick přípustného pole posuvů).. Celkovou potenciální energii lze zapsat ve tvaru ΠU W Copředstavujísmbol Ua W.Doplňtevztahprojejichvjádření U dv W Ω Ω dv+ Ω σ ds a popište význam použitých smbolů. Zformulujte příslušný variační princip!(nápověda: Nezapomeňte na pojem kinematick přípustného pole posuvů)..odvoďteprocessestaveníglobálnímaticetuhostikzmatictuhostijednotlivýchelementůk e svužitímdefiničníchvztahůprodeformačníenergii.(nápověda: U e Ue, U T K, U e δ et K e δ e.vužijte matictuhostielementu K e ostejnémrozměru,jakojerozměrglobálnímaticetuhosti.).vsvětletezavedeníkinematickýchokrajovýchpodmínek(modifikacisoustavk F)doMKPmodelu. (Nápověda: výjděte z faktu, že kinematická okrajová podmínka snižuje počet neznámých posuvů a vužijte smetrii matice tuhosti. Pojednejte i případ, kd je vnucen nenulový posuv!)

5 . Zapište vztah pro celkovou potenciální energii Π MKP modelu s pomocí globální matice tuhosti K, globálního vektoruuzlovýchposuvů aglobálníhovektoruvnějšíchuzlovýchsil F.Odvoďteaspomocítýchžsmbolů zapište soustavu rovnic, které reprezentují nutnou podmínku etrému(minima) celkové potenciální energie a tím podmínku rovnováh MKP modelu. 7. Odvoďte, jak se v MKP modelu(v rovinné úloze) projeví zatížení tělesa teplotním polem T(, ).(Nápověda: (a) Pomocí teplotního rozdílu T a teplotní roztažnosti α definujte za předpokladu isoropního materiálu tenzor počátečnídeformace ε 0.Vjádřeteijehovektorovoureprezentaci ε 0 (b) Upravte Hookeův zákon ve vektorové reprezentaci σ E ε tak, ab respektoval počáteční deformaci. (c) Pro takto upravený Hookeův zákon modifikujte výraz pro celkovou potenciální energii MKP modelu [ ] ε T σ dω u T X dω u T pdγ Ω e Ω e Γ e,σ e e e [ ] ε T E ε dω u T X dω u T p dγ Ω e Ω e Γ e,σ { [ ] } δ T B T E BdΩ δ δ T N T X dω δ T N T p dγ Ω e Ω e Γ e,σ e { } δ T K e δ δ T F ekv.,obj. e δ T F ekv.,povrch e (d) Nový člen interpretujte jako ekvivalentní uzlovou sílu. 8. Uveďte definiční vztah(z čeho na co operuje) matice tvarových funkcí N(,, z).(nápověda: Analogick platí, žematicetuhostielementuk e jedefinovánavztahem U δ T K e δ) bod 9.Uveďtedefiničnívztah(zčehonacooperuje) δ εoperátor(operátorzuzlovýchposuvůnadeformace)b(,, z). (Nápověda:Analogickplatí,žematicetuhostielementuK e jedefinovánavztahem U δ T K e δ) bod 0. Uveďte definiční vztah(z čeho na co operuje) matice tuhosti elementu K.(Nápověda: Analogick je matice tvarovýchfunkcíndefinovánavztahem u(,, z)n(,, z) δ). Na příkladu jednorozměrného(tčového elementu) vsvětlete pojem matice tvarových funkcí N(,, z)..vjmenujteobecnévlastnostimaticetuhostielementuk e.alespoňjednuznichdokažte! bod

6 . Popište proces vhlazení napjatosti prostřednictvím interpolace v uzlech.. Vsvětlete na příkladu D tčového elementu pojem ekvivalentní uzlová síla.(nápověda: popište čemu je ekvivalentní a v jakém smslu.). Vsvětlete pojem invariantnosti konečného elementu. Jak se invariantnost zajišťuje?(invariantní polnom, invariantní zobrazení prototpu např. isoparametrického elementu).. Vsvětlete pojem isotropie konečného elementu.(návod: Navrhněte a popište testování isotropie rotací elementu v předdefinovaném poli posuvů). 7. Vsvětlete pojem numerické integrace.(návod: Vužijte příklad Newton Cotesovské integrace funkce dané nad intervalem a; b hodnotamivbodech a, ba(a+b)/.ukažte,žeodvozenéschémaodpovídásimpsonověpravidlu.) 8. Doplňte do tabulk měrné vnitřní síl(ohbové, membránové a posouvající) definované pro desk a skořepin. Označtesmbolem +,resp.,zdasevnitřnísílauplatní,resp.neuplatníukirchhoffovskýchčimindlinovských desek a skořepin. Uveďte jednotk. Vnitřní síla Smbol desk skořepin jednotk Kirchhoff Mindlin Kirchhoff Mindlin Měrnýohbovýmoment M N M M N N N T z T z 9. Doplňte do tabulk vnitřní síl(ohbové, osové, torzní a posouvající) definované pro nosníkové(beam) element atčové(link)element.označtesmbolem +,resp.,zdasevnitřnísílauplatní,resp.neuplatníubernouliovských či Mindlinovských nosníkových(beam) elementů. Uveďte jednotk.(osa je podélnou osou nosníku.) Vnitřní síla Smbol nosníkové element tče jednotk Bernouli/Kirchhoff Mindlin Ohbovýmoment M Nm M z M N T T z 0. Naznačte odvození(vektoru uzlových posuvů, vektoru uzlových sil a matice tuhosti) skořepinového elementu tpu Flat propojením deskového a rovinného čtřúhelníkového elementu. Co se rozumí pojmem šestý stupeň volnosti?

7 . Zapište vztah pro deformační energii desk, znáte li vektor zobecněné napjatosti vektor zobecněné deformace ε a matici zobecněných materiálových konstant σ[m, M, M ] T, [ ] T w, w, w E D µd 0 µd D µ D bod. Naznačte zobecněné posuv a síl v uzlech elementu Tčového(D) Nosníkového(D) Nosníkového(D) z z bod. Navrhněte vazbové rovnice pro propojení částí modelu nosníku h

8 . Je dána tabulka souřadnic uzlů uzel 7 8 [mm] [mm] tabulka elementů(incidence uzlů) lok.uzel element ( uzlovýrovinný) ( uzlovýrovinný) ( uzlovýrovinný) 7 8 a tabulka incidence globálních stupňů volnosti uzel 7 8 u [mm] 7 9 u [mm] 8 0 rovinné MKP sítě. (a) Načrtněte uvedenou síť v globálním souřadném sstému(o), očíslujte v ní uzl a element! (b) Naznačterozmístěníprvkůmaticetuhostielementuč.(K )vglobálnímaticituhostik bod Výsledek:

9 . Je dána tabulka souřadnic uzel 7 8 [mm] [mm] tabulka elementů lok.uzel element ( uzlovýrovinný) 8 ( uzlovýrovinný) 8 ( uzlovýrovinný) 8 ( uzlovýrovinný) 8 ( uzlovýrovinný) 8 ( uzlovýrovinný) 7 8 a tabulka incidence globálních stupňů volnosti uzel 7 8 u [mm] 7 9 u [mm] 8 0 rovinné MKP sítě. (a) Načrtněte uvedenou síť v globálním souřadném sstému(o), očíslujte v ní uzl a element! (b) Naznačterozmístěníprvkůmaticetuhostielementuč.(K )vglobálnímaticituhostik bod Výsledek:

10 . Je dána tabulka souřadnic uzel [mm] [mm] tabulka elementů lok.uzel element ( uzlovýrovinný) ( uzlovýrovinný) ( uzlovýrovinný) ( uzlovýrovinný) a tabulka incidence globálních stupňů volnosti uzel u [mm] 7 9 u [mm] 8 0 rovinné MKP sítě. (a) Načrtněte uvedenou síť v globálním souřadném sstému(o), očíslujte v ní uzl a element! (b) Naznačterozmístěníprvkůmaticetuhostielementuč.(K )vglobálnímaticituhostik bod Výsledek: