4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

Transkript

1 ..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled jsou vzorce k ničemu, protože na pravá strana vzorců je složitější než levá. Při řešení rovnic však mohou být velmi užitečné, protože převádějí součet na součin. Př. 1: Uprav na součin výrazy. a) sin + sin y b) cos5a + cosa + d) + c) sin sin ( ) + a) sin + sin y = sin cos = sin cos( ) = sin cos 5a + a 5a a 8a a b) cos5a + cosa = cos cos = cos cos = cos a cos a sin sin ( + ) = cos sin = cos sin = c) = cos cos sin sin + = = d) = sin sin = sin sin Př. : Urči definiční obor výrazu 1 cos 1+ cos goniometrických funkcí. a pak jej zjednoduš využitím vzorců pro součet Nesmíme dělit nulou 1+ cos 0 cos 1 + k 1

2 . R { + k } k Z Problém: Vzorce pro součet goniometrických funkcí můžeme použít pouze v případě, že čitatel (jmenovatel) zlomku bude obsahovat součet (rozdíl) dvou stejných goniometrických funkcí místo 1 musí zlomky obsahovat hodnoty funkce cos použijeme 1 = cos sin sin sin sin 1 cos cos 0 cos = = = 1+ cos cos 0 + cos cos cos cos cos Použijeme: = sin a = cos. sin sin sin = = = tg cos cos cos Př. : Vypočti. a) sin105 sin15 b) cos 70 cos10 sin 70 + sin10 a) sin105 sin15 Nejde o tabulkové hodnoty použijeme vzorce na součet goniometrických funkcí a budeme doufat, že vyjdou úhly, ke kterým známe hodnoty sin105 sin15 = sin cos = sin 60 cos 5 = = cos 70 cos10 b) sin 70 sin sin sin cos 70 cos10 sin 0 sin 0 = = = tg 0 = sin 70 + sin sin cos sin 0 cos 0 Př. : Vyřeš rovnici sin 5 =. Problém: Uvnitř sinů jsou různé výrazy, rozložení pomocí součtových vzorců nepomůže převedeme vše na jednu stranu a rozložíme na součin pomocí vzorců pro součet funkcí rovnice v součinovém tvaru. sin 5 = sin 5

3 5 + 5 cos + sin / : + + Substituce: = y Substituce: + = a sin a a = k y = + k a = + = k y = = + k + = k / = + k / + = + k = + k = + k / : = + k 16 K = + k ; + k k Z 16 Př. 5: Vyřeš rovnici sin 5 = +. Zkusíme převést oba členy na jednu stranu: sin 5 +. Problém: Máme pouze vzorce pro součet dvou stejných goniometrických funkcí potřebujeme, aby v rovnici byly pouze siny nebo cosiny. Nápad: Platí: sin = upravíme vnitřek cosinu tak, abychom ho mohli přepsat na sinus + = + + = + = sin ( ). sin 5 sin ( ) (použijeme vzorec sin sin y = cos sin ) ( ) cos sin = + +

4 Substituce: y = y = + k y = = + k = + k / + = + k / : = + k K k ; k = + + k Z Substituce: a = + sin a a = k a = + = k + = k / = + k / : = + k Př. 6: Vyřeš rovnici cos + cos + cos. Problém: Vzorce pro součet dvou stejných goniometrických funkcí umožňují spojit pouze dva členy (v rovnici jsou tři) potřebujeme správně vybrat, které dva spojíme. Vzorec: cos + cos y = cos cos potřebujeme, aby se člen, který vznikne z výrazu nebo, rovnal členu uvnitř nepoužitého cosinu (kvůli vytýkání v dalším kroku) spojíme členy cos a cos. cos + cos + cos ( cos + cos ) + cos (použijeme cos + cos y = cos cos ) + cos cos + cos cos cos + cos cos cos + 1 ( ) cos Substituce: y = y = + k y = = + k = + k / : = + k cos cos = třetinové úhly v záporné polorovině podle osy. 1 = + k = + k

5 K = + k ; + k ; + k k Z Pedagogická poznámka: Diskuse o tom, které dva členy vybrat do součtového vzorce, je nejzajímavější částí řešení příkladu. Je třeba, aby studenti pochopili, že volba není náhodná, naopak jde o poměrně jednoznačný důsledek dalšího potřebného kroku. Vzorce pro součet goniometrických funkcí se odvozují ze součtových vzorců, na základě následujících rovností: = +, y =. sin + sin y = + + sin + y = sin cos y + cos sin Nyní použijeme pro vnitřek prvního sinu vzorec ( ) + = sin cos + cos sin. sin y = sin cos y cos sin Nyní použijeme pro vnitřek druhého sinu vzorec ( ) = sin cos cos sin. Po sečtení získáme: sin + sin y = sin cos. Př. 7: (BONUS) Odvoď vzorec pro cos + cos y. cos + cos y = + + cos + y = cos cos y sin sin Nyní použijeme pro vnitřek prvního cosinu vzorec ( ) + = cos cos sin sin. cos y = cos cos y + sin sin Nyní použijeme pro vnitřky druhého sinu vzorec ( ) = cos cos + sin sin. Po sečtení získáme: cos + cos y = cos cos. Př. 8: Petáková: strana 7, cvičení 60 a), e) strana 5, cvičení 1 c), e) strana 5, cvičení a) Shrnutí: Vzorce pro součet goniometrických funkcí jsou výhodné tím, že převádění součet na součin. 5