Vzorce pro poloviční úhel

Transkript

1 4.. Vzorce pro poloviční úhel Předpoklady: 409 Chceme získat vzorce pro poloviční úhel vyjdeme ze vzorců pro dvojnásobný úhel: sin = sin cos, cos = cos sin. Výhodnější je vzorec cos = cos sin, obsahuje obě funkce sin a cos ve druhé mocnině (tedy snadno převoditelné jednu na druhou). Změníme proměnnou: cos y = cos y sin y a pomocí substituce y = získáme poloviční hodnotu: cos = cos sin. Chceme vzorec pro sin nahradíme cos = sin : cos = sin sin cos = sin sin = cos cos sin = cos cos sin sin = = = (první vzorec pro poloviční úhel) Vada na kráse: Nezjistíme přímo hodnotu sinu, ale pouze absolutní hodnotu znaménko musíme zjistit někde jinde. Př. : Odvoď analogicky vzorec pro cos. Začneme u rovnice: cos = cos sin. Chceme vzorec pro cos nahradíme sin = cos : cos = cos cos cos = cos cos = + cos

2 + cos cos = cos cos cos + = = (opět jsme nezískali znaménko) Pedagogická poznámka: Část studentů si špatně vyloží podstatu postupu a začne vzorec pro cos odvozovat ze vzorce sin = sin cos. Př. : Odvoď vzorec pro tg. sin Stačí si uvědomit, že vždy platí tg =, pak platí i cos cos sin cos tg = = = cos + cos + cos sin tg =. cos Vzorce pro poloviční úhel: cos sin = + cos cos = cos tg = + cos Př. : Urči přesnou hodnotu sin 8. cos cos 4 sin = sin = = = = = 8 4 0;, kde platí sin 0 8 > sin =. 8 Př. 4: Urči přesnou hodnotu cos cos + cos 0 + cos = cos5 = = = = 4 5 ( 0;90 ), kde platí cos > 0 + cos5 =. Pomocí vzorců pro hodnoty polovičního úhlu můžeme zahušťovat tabulku hodnot.

3 Př. 5: Urči přesnou hodnotu cos95. Musíme zjistit, z jakého úhlu budeme počítat: 95 = 90 = cos + cos 90 + cos = cos5 = = = = 4 95 ( 80 ;70 ), kde platí cos < 0 + cos95 =. cos 90 =. Pedagogická poznámka: Největší problémy budou s pochopením, že cos 90 = cos 0 =. Objevují se zápisy jako cos 90 = +, které svědčí o nerozlišování úhlu a hodnot goniometrické funkce (poměru stran). Př. 6: Urči definiční obor a uprav výraz tg + tg. tg, musí platí + k + k, jmenovatel zlomku je vždy kladný (součet jedničky a druhé mocniny), R + k. { } k Z sin sin sin tg cos cos cos sin cos = = = = = + tg sin cos + sin cos + cos cos cos = sin cos = sin = sin Př. 7: Vyřeš rovnici sin sin = 0. Problém: Rozdílné argumenty u obou sinů. cos Pokus: Použijeme vzorec pro poloviční úhel sin = 0 žádné velké zlepšení: odmocnina v rovnici, obě goniometrické funkce bez druhých mocnin (špatně převoditelné navzájem) a hlavně v rovnici bylo sin, místo kterého jsme dosadili sin.

4 Lepší řešení: substituce neobsahují odmocniny. sin sin = 0 Substituce: y =. sin y sin y = 0 sin y sin y cos y = 0 ( y) sin y cos = 0 Součinový tvar: sin y = 0 y = + k 0 = y. Použijeme pak vzorce pro dvojnásobný úhel, které ( y) cos = 0 = cos y cos y = y = + k y = + k 6 6 Návrat k původní proměnné: y = = 0 + k y = = + k y = = + k 6 6 = 0 + k / = + k / = + k / 6 6 = 0 + k = + k 4 = + k 4 K = k ; + k 4 ; + k 4 k Z Dodatek: Vzorce pro poloviční úhel se nepoužívají k řešení rovnic a nerovnic, protože do zanáší odmocniny a nutnost umocňování (a dělání zkoušek). Místo nich se používá substituce na dvojnásobný úhel, který se odstraní vzorci pro dvojnásobný úhel. Př. 8: cos sin Urči definiční obor rovnosti = a pak dokaž její platnost: cotg tg 4 a) použitím vzorců pro poloviční úhel, b) substitucí y = a použitím vzorců pro dvojnásobný úhel. Který z obou postupů je korektnější? tg, musí platí + k + k cotg, musí platí k k 4

5 jmenovatel zlomku je nenulový cotg tg 0 cotg = tg tg ± + k + k 4 R k k Z (všechny tři skupiny zapsány pohromadě). cos cos a) = = sin = sin cos cotg tg + cos cos 4 4 cos + cos cos = sin cos / : cos + cos cos ( ) ( ) cos + cos cos = sin + cos cos ( ) ( + cos )( cos ) cos = sin cos cos = sin sin sin = sin cos b) sin = cos y sin 4 y cotg tg 4 cotg y tg y = 4 cos y = sin y cos y / : cos y cos y sin y 4 sin y cos y cos y = sin y cos y sin y sin y cos y cos y sin y = sin y cos y cos y sin y sin y cos y sin y cos y = sin y cos y Druhý postup je korektnější, nemusíme řešit problémy se znamínky a odmocninami ve vzorcích (při úpravách v bodě a) jsme je taktně zamlčeli). 5

6 Př. 9: Urči přesnou hodnotu sin. Ověř na kalkulačce, zda hodnota získaného výrazu 6 odpovídá hodnotě vypočtené kalkulačkou jako sin. 6 cos Platí: =, sin = musíme určit cos ; 0;, kde platí sin >, cos > 0 všechny získané hodnoty jsou kladné. + + cos + + cos cos = cos = = = = = cos cos sin = sin = 8 = = = = = 4 + Kalkulačka: = 0,95090, sin = 0, Pro zajímavost: = 0, pro malá čísla se hodnoty funkce y = sin blíží 6 hodnotám funkce y =. Pedagogická poznámka: Nejčastějším problémem je zadání výrazu do kalkulačky a přepínání mezi stupni a radiány. Př. 0: Petáková: strana 48, cvičení 66 a) strana 48, cvičení 69 c) strana 48, cvičení 70 a) strana 54, cvičení 0 b), e) Shrnutí: Vzorce pro poloviční úhly obsahují odmocniny a proto se substitucí vyhýbáme jejich používání při řešení rovnic. 6