( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x

Transkript

1 9 Vzorce pro dvojnásobný úhel II Předpoklady: 08 Př : Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je a) ( sin cos ) sin x + cos x sin x x + x sin x b) cos x + cos x + sin x + cos x sin x a) x R sin x + cos x sin x = sin x + sin x cos x + cos x sin x cos x = sin x + cos x = sin + cos sin x x x b) cos x + cos x + Zlomek nesmíme dělit nulou výraz je příliš složitý, počkáme na stav po úpravách sin x + cos x sin x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x( + cos x) = = = cos x + cos x + cos x + cos x sin x + cos x + sin x cos x + cos x sin x cos x( + cos x) = = sin x cos x + cos x Čitatel zlomku před krácením: cos x( cos x) + cos x 0 x + k + cos x 0 cos x x + k x R + k ; + k Pedagogická poznámka: U druhého příkladu potřebuje většina studentů trochu popostrčit Př : Vyřeš rovnici sin x sin x = 0 Problém: Uvnitř každého sinu je jiné číslo použijeme vzorec pro sin x a pak dořešíme sin x sin x = 0 sin x sin x cos x = 0 sin x cos x = 0 Součinový tvar: sin x = 0 K = + k 0 k Z { } ( x) cos = 0 cos x = cos x = K = + k ; + k

2 K = k ; + k ; + k Př : Vyřeš rovnici sin x cos x = Problém: Na levé straně součin sin x a cos x, vpravo není nula nejde na součinový tvar Nápad: Vlevo je téměř celý vzorec pro sin x zkusíme vzorec zkompletovat a tak získat rovnici s jedinou goniometrickou funkcí sin x cos x = / sin x cos x = (použijeme sin x cos x = sin x ) sin x = Substituce: a = x sin a = a = + k a = + k x = a = + k x = a = + k x = + k / : x = + k / : x = + k x = + k K = + k K = + k K = + k ; + k Pedagogická poznámka: Předchozí příklad vyžaduje pomoc učitele u tabule Jde o nový přístup, proto je dobré před ním třídu synchronizovat Př : Vyřeš rovnici cos x + cos x = 0 Problém: Uvnitř každého cosinu je jiné číslo použijeme vzorec pro cos x a pak dořešíme cos x + cos x = 0 cos x sin x + cos x = 0 cos x cos x + cos x = 0 cos x + cos x = 0 Substituce: y = cos x

3 y + y = 0 b ± b ac ± ± y, = = = a + y = = y = = y = cos x = y = cos x = třetinové úhly v kladné K = { + k } k Z polorovině osy x x = + k, x = + k K = + k ; + k K = + k ; + k ; + k Př : Vyřeš rovnici sin x cos x 0 + = Problém: Uvnitř obou funkcí je jiné číslo, navíc obě čísla jsou poměrně velká (nemáme na ně vzorce) substituce Substituce: y = x sin y cos y 0 + = teď můžeme použít vzorec sin y = sin y cos y sin y cos y + cos y = 0 / : sin y cos y + cos y = 0 cos y sin y + cos y = 0 součinový tvar cos y = 0 sin y + cos y = 0 sin y = cos y / : cos y v této větvi cos y 0 y = + k sin y tg y cos y = = y = + k y = x = + k y = x = + k x = + k / : x = + k / : x = + k x = + k K k ; k = + +

4 Př : Vyřeš rovnici tg x + cotg x = cos x Problém: Různé funkce, různé výrazy uvnitř funkcí přepíšeme tg x a cotg x pomocí sin x a cos x sin x cos x + = cos x cos x sin x sin x + cos x = cos x cos xsin x = cos x (jmenovatel zlomku připomíná sin sin cos cos xsin x x = x x ) = cos x sin x cos x = cos x sin x (vzorec sin x = sin x cos x použijeme ještě jednou) = sin x Substituce: a = x sin a = a = + k a = x = + k x = + k / : x = + k 8 K = + k 8 Př 7: Vyřeš nerovnici sin x cos x > Problém: Na pravé straně není nula nemůžeme řešit jako nerovnici v součinovém tvaru Nápad: Vlevo je téměř celý vzorec pro sin x (s dvojnásobným argumentem) zkusíme vzorec zkompletovat a tak získat nerovnici s jedinou goniometrickou funkcí sin x cos x > / : sin x cos x > sin x > Substituce: a = x sin a > Základní řešení rovnice sin a = : a = + k, a = + k

5 a a - Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ;, hodnoty se opakují s periodou K = + k ; + k k Z (přepočítáme meze a periodu intervalů) a = x = + k a = x = + k x = + k / : x = + k / : x = + k x = + k K k ; k = + + k Z Př 8: Vyřeš nerovnici cos x sin x Na první pohled jasné řešení: cos x ( cos x) cos x + problém číslo na pravé straně po odmocnění nebude patřit mezi tabulkové hodnoty budeme muset používat arccos zkusíme se vrátit k původnímu zadání: cos x sin x Nápad: Levá strana tvoří vzorec cos x = cos x sin x cos x trivialitka Substituce: a = x cos a

6 Základní řešení rovnice v kladné polorovině x) cos a = : a = + k, a = + k (šestinové úhly a a - Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ;, hodnoty se opakují s periodou K = ; k Z (přepočítáme meze a periodu intervalů) a = x = + k a = x = + k x = + k / : x = + k / : x = + k x = + k K = + k ; + k k Z Př 9: Nakresli graf funkce y = sin x cos x Problém: Funkce vznikla jako součin dvou goniometrických funkcí museli bychom nakreslit oba grafy a násobit je mezi sebou Postřeh: Předpis funkce připomíná vzorec sin x = sin x cos x, funkci y = sin x bych nakreslil snadno y = sin x cos x = sin x cos x = sin x kreslíme graf funkce y = sin x Platí: y = sin ( x) = f ( x) Zvolíme x Vypočteme x y = f x = sin x Nakreslíme funkci = = Nakreslíme funkci y f ( x) sin ( x)

7 - Př 0: Petáková: strana, cvičení d), g), l) strana, cvičení d) strana, cvičení a), d) strana, cvičení a), d), g) strana, cvičení c) strana, cvičení 7 d), f), g) strana, cvičení 8 a) strana, cvičení 9 d) Shrnutí: 7