Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat"

Transkript

1 Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Licenční studium GALILEO Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat Seminární práce Monika Vejpustková leden 2016

2 OBSAH Úloha 1. Porovnání dvou regresních přímek u jednoduchého lineárního regresního modelu Lineární model pro plochu Přebuz Lineární model pro plochu Studenec Porovnání regresních přímek Úloha 2. Určení stupně polynomu Určení stupně polynomu MNČ Odhad parametrů pro vybraný polynom 3. stupně metodou racionálních hodností RH 23 Úloha 3. Validizace nové metody Úloha 4. Vícerozměrný lineární regresní model

3 S 2.r (mg/kg) Semestrální práce Úloha 1. Porovnání dvou regresních přímek u jednoduchého lineárního regresního modelu Zadání: Na plochách monitoringu zdravotního stavu smrkových porostů v oblasti Krušných hor jsou od roku 1997 sledovány obsahy síry v 1. a 2. ročníku jehličí. Byly vybrány dvě plochy v západním Krušnohoří Přebuz a Studenec, na kterých byla analyzována závislost obsahu síry ve 2. ročníku jehličí na obsahu síry v 1. ročníku jehličí. Závislost byla na obou plochách popsána regresní přímkou. Porovnejte výsledné jednoduché lineární regresní modely, a to včetně testování úseku a směrnice, s vyšetřením vlivných bodů a jejich event. odstraněním, posouzením míry spolehlivosti navrženého modelu. Proveďte také test shodnosti obou přímek, test jejich paralelity a společného úseku. Data: obsah síry (mg.kg -1 ) v 1. a 2. ročníku jehličí smrku na plochách Přebuz a Studenec Přebuz Studenec Rok S 1.roč S 2.roč S 1.roč S 2.roč S 1.r (mg/kg) Přebuz Studenec Lineární (Přebuz) Lineární (Studenec) 3

4 1.1 Lineární model pro plochu Přebuz Řešení (ADSTAT) Návrh modelu: regresní přímka y=β 0 + β 1.x přičemž y S 2.roč x S 1.roč Předběžná analýza dat Proměnná Průměr Sm. odch Párový korel. koef Spočtená hlad. významnosti y E E x E E Odhad parametrů Parametr Odhad Směrodat. Test H0: b[j] = 0 vs. HA: b[j] <> 0 odchylka t-kriterium hypoteza H0 je Hlad. výz. b E E E+00 akceptována b E E E+00 zamítnuta Pro úsek regresní přímky byla akceptována H 0, je proto možné jej položit rovný 0. nule. Základní statistické charakteristiky Vícenásobný korelační koeficient, R Koeficient determinace, R 2 Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 Střední kvadratická chyba predikce, MEP Akaikeho inf. kritérium, AIC E E E E E+02 Regresní diagnostika 1. Data a) analýza klasických reziduí Graf regresního modelu Analýza klasických reziduí Graf regresního modelu ukazuje na existenci jednoho odlehlého bodu (vlevo dole) a dvou extrémů (vpravo nahoře). 4

5 Reziduální součet čtverců, RSC Průměr abs. hodnot reziduí, M Průměr rel. reziduí, Mer Odhad reziduálního rozptylu, s 2 (e) Odhad směr. odch. reziduí, s(e) Odhad šikmosti reziduí, g 1 (e) Odhad špičatosti reziduí, g 2 (e) E E E E E E E+00 Odhady šikmosti a špičatosti indikují, že rezidua nemají normální rozdělení b) analýza ostatních reziduí Odlehlé body a extrémy Jackknife rezidua 3 Predikované reziduum Diagonální prvky 15 Zobec. diagon. prvky 3, 15 Cookova vzdálenost 1, 3, 6, 15 Atkinsonova vzdálenost 1, 3, 15 Vliv na predikci 1, 3, 15 Věrohodnostní vzdálenost LD(b) i Věrohodnostní vzdálenost LD(s 2 ) i 3 Věrohodnostní vzdálenost LD(b,s 2 ) i 3 c) grafy vlivných bodů Graf predikovaných reziduí Pregibonův graf 5

6 Williamsův graf McCullohův-Meeterův graf L-R graf d) indexové grafy Andrewsův graf Graf normalizovaných reziduí 6

7 Graf prvků H-projekční matice e) rankitové grafy Rankitový graf normovaných reziduí Rankitový Andrewsův graf reziduí Rankitový graf predikovaných reziduí Rankitový graf jackknife reziduí Z výše prezentovaných diagnostických grafů vyplývá, že v datech je jeden odlehlý bod č. 3 a jeden extrém č

8 2. Metoda Testování regresního tripletu Fisher-Snedocorův test významnosti regrese, F : E+01 Tabulkový kvantil, F(1-alpha,m-1,n-m) : E+00 Závěr: Navržený model je přijat jako významný. Spočtená hladina významnosti : Scottovo kriterium multikolinearity, M Závěr: Navržený model je korektní : E-16 Cook-Weisbergův test heteroskedasticity, Sf : E+02 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : E+00 Závěr: Rezidua vykazují heteroskedasticitu. Spočtená hladina významnosti : Jarque-Berraův test normality reziduí, L(e) : E+00 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,2) : E+00 Závěr: Normalita není přijata. Spočtená hladina významnosti : Waldův test autokorelace, Wa : E-01 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : E+00 Závěr: Rezidua nejsou autokorelována. Spočtená hladina významnosti : Znamékový test, Dt : E-02 Tabulkový kvantil, N(1-alpha/2) : E+00 Závěr: Rezidua nevykazují trend. Spočtená hladina významnosti : Testy regresního tripletu ukazují, (homoskedasticita a normalita reziduí). že některé předpoklady MNČ nejsou splněny Graf autokorelace Graf heteroskedasticity 8

9 Graf autokorelace tvoří mrak bodů bez výrazné orientace, tzn. že v reziduích není autokorelace. Body v grafu heteroskedasticity tvoří klín, rozptyl reziduí není možno pokládat za konstantní. Konstrukce zpřesněného modelu V původním odhadu parametrů byla pro úsek akceptována nulová hypotéza a byl proto z výpočtu zpřesněného modelu vypuštěn. Provedením kritiky dat v rámci regresní diagnostiky byl odhalen odlehlý bod č. 3. Po jeho odstranění byl nalezen nový odhad parametru b 1 : Odhad parametrů zpřesněného modelu Parametr Odhad Směrodat. Test H0: b[j] = 0 vs. HA: b[j] <> 0 odchylka t-kriterium hypoteza H0 je Hlad. výz. b E E E+01 zamítnuta Zpřesněný model má tvar y = 1.101(0.0239) x Základní statistické charakteristiky zpřesněného modelu (pro srovnání uvedeny i hodnoty pro původní model) zpřesněný model původní model Vícenásobný korelační koeficient, R E E-01 Koeficient determinace, R E E-01 Predikovaný korelační koeficient, Rp E E-01 Střední kvadratická chyba predikce, MEP E E+04 Akaikeho inf. kritérium, AIC E E+02 Z porovnání statistických charakteristik původního a nového modelu vyplývá, že odstraněním odlehlého bodu č. 3 došlo k výraznému zpřesnění modelu zvýšil se koeficient determinace, střední kvadratická chyba predikce a Akaikeho inf. kritérium výrazně poklesly. Dle Jarque-Berraova testu normalita reziduí není přijata, také Cook-Weisbergův test stále ukazuje na heteroskedasticitu v datech. Bude proto použita metoda vážených nejmenších čtverců, která by měla heteroskedasticitu kompenzovat. Zavedením statistické váhy wi = 1/y i 2 dostáváme tento nový odhad parametru b 1 Parametr Odhad Směrodat. Test H0: b[j] = 0 vs. HA: b[j] <> 0 odchylka t-kriterium hypoteza H0 je Hlad. výz. b E E E+01 zamítnuta Opravený model má tvar y = 1.086(0.0212) x Základní statistické charakteristiky opraveného modelu (pro srovnání uvedeny i hodnoty pro zpřesněný a původní model) opravený model zpřesněný model původní model Vícenásobný korelační koeficient, R E E E-01 Koeficient determinace, R E E E-01 Predikovaný korelační koeficient, Rp E E E-01 Střední kvadratická chyba predikce, MEP E E E+04 Akaikeho inf. kritérium, AIC E E E+02 9

10 Odhady lze považovat za lepší, neboť poklesla hodnota MEP i AIC. Závěr: Prokázaný model závislosti mezi obsahem síry v 1. a 2. ročníku jehličí na ploše Přebuz má tvar y = 1.086(0.0212) x Interval spolehlivosti parametru b Lineární model pro plochu Studenec Návrh modelu: regresní přímka y=β 0 + β 1.x přičemž y S 2.roč x S 1.roč Předběžná analýza dat Proměnná Průměr Sm. odch Párový korel. koef Spočtená hlad. významnosti y E E x E E Odhad parametrů Parametr Odhad Směrodat. Test H0: b[j] = 0 vs. HA: b[j] <> 0 odchylka t-kriterium hypoteza H0 je Hlad. výz. b E E E-01 akceptována b E E E+00 zamítnuta Základní statistické charakteristiky Vícenásobný korelační koeficient, R Koeficient determinace, R 2 Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 Střední kvadratická chyba predikce, MEP Akaikeho inf. kritérium, AIC E E E E E+02 Regresní diagnostika 1. Data a) analýza klasických reziduí 10

11 Graf regresního modelu Analýza klasických reziduí Reziduální součet čtverců, RSC Průměr abs. hodnot reziduí, M Průměr rel. reziduí, Mer Odhad reziduálního rozptylu, s 2 (e) Odhad směr. odch. reziduí, s(e) odhad šikmosti reziduí, g 1 (e) Odhad špičatosti reziduí, g 2 (e) E E E E E E E+00 b) analýza ostatních reziduí Odlehlé body a extrémy číslo bodu Jackknife rezidua 11 Predikované reziduum Diagonální prvky 15 Zobec. diagon. prvky 11 Cookova vzdálenost 4, 9, 11 Atkinsonova vzdálenost 4, 11 Vliv na predikci 4, 11 Věrohodnostní vzdálenost LD(b) i Věrohodnostní vzdálenost LD(s 2 ) i Věrohodnostní vzdálenost LD(b,s 2 ) i 11

12 c) grafy vlivných bodů Graf predikovaných reziduí Pregibonův graf Williamsův graf McCullohův-Meeterův graf L-R graf 12

13 d) indexové grafy Andrewsův graf Graf normalizovaných reziduí Graf prvků H-projekční matice e) rankitové grafy Rankitový graf normovaných reziduí Rankitový Andrewsův graf reziduí 13

14 Rankitový graf predikovaných reziduí Rankitový graf jackknife reziduí Analýza reziduí i všechny diagnostické grafy jasně ukazují na odlehlý bod č Metoda Testování regresního tripletu Fisher-Snedocorův test významnosti regrese, F : E+01 Tabulkový kvantil, F(1-alpha,m-1,n-m) : E+00 Závěr: Navržený model je přijat jako významný. Spočtená hladina významnosti : Scottovo kriterium multikolinearity, M Závěr: Navržený model je korektní : E-16 Cook-Weisbergův test heteroskedasticity, Sf : E+00 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : E+00 Závěr: Rezidua vykazují homoskedasticitu. Spočtená hladina významnosti : Jarque-Berraův test normality reziduí, L(e) : E+00 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,2) : E+00 Závěr: Normalita je přijata. Spočtená hladina významnosti : Waldův test autokorelace, Wa : E-01 Tabulkový kvantil, Chi^2(1-alpha,1) : E+00 Závěr: Rezidua nejsou autokorelována. Spočtená hladina významnosti : Znamékový test, Dt : E-01 Tabulkový kvantil, N(1-alpha/2) : E+00 Závěr: Rezidua nevykazují trend. Spočtená hladina významnosti : Testy regresního tripletu prokazují splnění předpokladů MNČ. 14

15 Graf autokorelace Graf heteroskedasticity Graf autokorelace tvoří mrak bodů bez výrazné orientace, tzn. že v reziduích není autokorelace. Body v grafu heteroskedasticity netvoří klín, rozptyl reziduí je možno pokládat za konstantní. Konstrukce zpřesněného modelu V prvním odhadu parametrů byla pro úsek akceptována nulová hypotéza a byl proto z výpočtu zpřesněného modelu vypuštěn. Provedením kritiky dat v rámci regresní diagnostiky byl odhalen odlehlý bod č. 11. Po jeho odstranění byl nalezen nový odhad parametru b 1 : Odhad parametrů zpřesněného modelu Parametr Odhad Směrodat. Test H0: b[j] = 0 vs. HA: b[j] <> 0 odchylka t-kriterium hypoteza H0 je Hlad. výz. b E E E+01 zamítnuta Zpřesněný model má tvar y = 1.112(0.017) x Základní statistické charakteristiky zpřesněného modelu zpřesněný model původní model Vícenásobný korelační koeficient, R E E-01 Koeficient determinace, R E E-01 Predikovaný korelační koeficient, Rp E E-01 Střední kvadratická chyba predikce, MEP E E+04 Akaikeho inf. kritérium, AIC E E+02 Odstraněním odlehlého bodu č. 11 došlo k zpřesnění modelu zvýšil se vícenásobný korelační koeficient i koeficient determinace, naopak střední kvadratická chyba predikce a Akaikeho inf. kritérium poklesly. Závěr: Prokázaný model závislosti mezi obsahem síry v 1. a 2. ročníku jehličí na ploše Studenec má tvar y = 1.112(0.017) x Interval spolehlivosti parametru b 1 15

16 Semestrální práce 1.3 Porovnání regresních přímek a) Test homoskedasticity Při porovnání dvou skupin bodů lze testovat shodu dvou rozptylů pomocí Fisher-Snedecorova testu: Testujeme nulovou hypotézu H0: proti alternativní HA: Odhad reziduálního rozptylu pro regresní přímku zpřesněného modelu pro jednotlivé plochy: Přebuz: Studenec: F F1- (n1-1, n2-1) = F (15,15) = 2.40 Závěr: F2 < Fkrit. H0 je přijata, tj. rozptyly obou skupin jsou shodné b) Test shody regresních přímek dle Chowové Testujeme nulovou hypotézu H0: β1 = β2 proti alternativní hypotéze HA: β1 β2 Kde RSC1 je reziduální součet čtverců pro model Přebuz (zpřesněný model po odstranění odlehlého bodu č.3) RSC2 je reziduální součet čtverců pro model Studenec (zpřesněný model po odstranění odlehlého bodu č. 11) RSC je reziduální součet čtverců pro sloučený model Vzhledem k výše prokázané homoskedasticitě porovnáváme Fc s F1- (m,n-2m) F1- (m,n-2m) = F1-0.05(1,30) = 4.17 Fc < Fkrit. H0 je přijata, tj. obě regresní přímky jsou shodné Závěr: Bylo prokázáno, že obě regresní přímky jsou shodné, což znamená, že závislost obsahu síry v 2. ročníku jehličí na obsahu síry v 1. ročníku jehličí je na obou plochách shodná. 16

17 H (m) Semestrální práce Úloha 2. Určení stupně polynomu Zadání: V rámci pravidelného dendrometrického šetření byly na ploše Vojířov změřeny výčetní tloušťky a výšky všech stromů. Nalezněte vhodný polynom, který bude nejlépe popisovat závislost výšky stromu na jeho tloušťce (výšková křivka). Použijte metodu nejmenších čtverců a metodu racionálních hodností. Výsledky obou metod porovnejte. Testujte statistické významnosti nalezených parametrů, vyšetřete regresní triplet metodou regresní diagnostiky, komentujte všechny užité diagnostiky a statistiky. Data: výčetní tloušťka D (cm), výška H (m) D (cm) 6,3 6,6 6,7 6,9 7,0 7,5 8,0 8,3 8,3 9,1 9,2 9,4 9,5 10,2 10,6 11,8 12,0 12,1 H (m) 4,2 6,5 9,6 11,0 8,7 11,2 8,0 9,9 8,8 10,0 10,5 9,4 13,0 11,8 11,1 17,2 18,8 10,0 D (cm) 12,7 12,9 13,4 13,6 13,7 14,8 16,5 18,9 22,5 23,6 24,7 25,6 27,2 27,5 28,1 29,8 31,5 32,5 H (m) 19,0 13,9 15,2 14,8 15,6 19,7 20,5 22,7 30,0 27,6 30,6 30,5 27,8 32,2 29,5 32,1 30,5 32,5 D (cm) 33,9 33,9 34,5 35,1 35,5 35,5 37,8 37,9 38,3 38,5 38,5 38,5 39,0 39,9 41,0 42,1 43,4 43,4 H (m) 34,3 33,8 31,7 35,9 32,0 30,0 35,2 32,5 36,0 31,5 32,3 31,4 31,9 34,7 32,2 34,6 34,8 33,9 D (cm) 45,7 50,8 51,7 52,1 54,2 H (m) 35,1 34,7 35,4 34,2 34,8 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00,00,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 D (cm) Bodový graf vynesený z naměřených hodnot výšek a tlouštěk stromů 2.1 Určení stupně polynomu MNČ Řešení provedeno v programu QC Expert Návrh modelu Nejprve je nutné spočítat regresní statistiky pro různé stupně polynomu. Vhodné je i okulární posouzení proložení experimentálních dat zvolenou křivkou. 17

18 Regresní křivka - polynom 2.stupně Regresní křivka - polynom 3.stupně Regresní křivka - polynom 4.stupně Regresní křivka - polynom 5.stupně Statistické charakteristiky regrese pro různé stupně polynomu Stupeň polynomu Charakteristiky Vícenásobný korelační koeficient, R 0, , , ,98492 Koeficient determinace, R 2 0, , , ,97007 Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 0, , , ,92878 Střední kvadratická chyba predikce, MEP 4, , , ,96922 Akaikeho inf. kritérium, AIC 87, , , ,0079 Významnost parametrů regresní křivky Stupeň polynomu Parametr Abs. člen D D^2 D^3 D^4 D^ Významný Významný Nevýznamný Nevýznamný Významný Významný Nevýznamný Nevýznamný Významný Významný Nevýznamný Nevýznamný Významný Nevýznamný Nevýznamný Nevýznamný Nevýznamný Nevýznamný Na základě okulárního posouzení regresních křivek vychází jako nejlepší polynom 2. nebo 3. stupně, pro které jsou konfidenční pásy úzké a kopírují regresní křivku. Z tabulky statistických charakteristik regrese je patrné, že se stoupajícím stupněm polynomu rostou 18

19 hodnoty R, R 2 a Rp 2, MEP a AIC klesají. Protože však pro polynom 4. a 5. stupně vychází všechny parametry jako statisticky nevýznamné, lze za optimální prohlásit polynom 3. stupně, který má všechny parametry významné a zároveň MEP a AIC nižší než polynom 2. stupně. Vybraný model má tvar H Charakteristika proměnných Proměnná Průměr Směr.Odch. Kor.vs.Y Významnost D (cm) 25, , , D (cm)^2 849, , , D (cm)^ , , , , E-011 Odhad parametrů Proměnná Odhad Směr.odch. Závěr Pravděpodobnost Spodní mez Horní mez Abs -6,5642 1,9752 Významný 0, ,5227-2,6057 D (cm) 2,2930 0,2860 Významný 8,20210E-11 1,7198 2,8662 D (cm)^2-0,0424 0,0108 Významný 0, ,0641-0,0207 D (cm)^3 0,0003 0,0001 Významný 0, ,0347E-05 0,0005 Základní statistické charakteristiky Vícenásobný korelační koeficient, R 0, Koeficient determinace, R 2 0, Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 0, Střední kvadratická chyba predikce, MEP 4, Akaikeho inf. kritérium, AIC 84, Regresní diagnostika 1. Data a) analýza klasických reziduí Graf residua vs. predikce Graf ukazuj, že rezidua tvoří mrak bodů a není zde přítomný žádný trend. Je zde patrný jeden odlehlý bod. 19

20 Reziduální součet čtverců : 216, Průměr absolutních reziduí : 1, Reziduální směr. odchylka : 1, Reziduální rozptyl : 3, Šikmost reziduí : 0, Špičatost reziduí : 2, b) analýza ostatních reziduí Odlehlé body a extrémy Jackknife rezidua Predikované reziduum Diagonální prvky 56, 57, 58, 59 Zobec. diagon. prvky 18, 57, 58, 59 Cookova vzdálenost Atkinsonova vzdálenost 4, 18 Vliv na predikci 4 Věrohodnostní vzdálenost LD(b) i Věrohodnostní vzdálenost LD(s 2 ) i Věrohodnostní vzdálenost LD(b,s 2 ) i Analýza reziduí indikuje odlehlé body 4, 18 a extrémy 56, 57, 58, 59. c) grafy vlivných bodů Pregibonův graf Williamsův graf Grafy vlivných bodů indikují odlehlý bod 18 a extrémy 56, 57, 58, 59 d) rankitové grafy Q-Q normalizovaná rezidua Q-Q Jack-Knife rezidua Rankitové grafy indikují odlehlý bod

21 2. Metoda Testování regresního tripletu Fisher-Snedecorův test významnosti modelu Hodnota kritéria F : 529, Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 2, Pravděpodobnost : 1, E-040 Závěr : Model je významný Scottovo kritérium multikolinearity Hodnota kritéria SC : 0, Závěr : Model je nekorektní! Cook-Weisbergův test heteroskedasticity Hodnota kritéria CW : 2, Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Rezidua vykazují homoskedasticitu. Jarque-Berrův test normality Hodnota kritéria JB : 0, Kvantil Chi^2(1-alfa,2) : 5, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Rezidua mají normální rozdělení. Waldův test autokorelace Hodnota kritéria WA : 0, Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Autokorelace je nevýznamná Durbin-Watsonův test autokorelace Hodnota kritéria DW : -1 Kritické hodnoty DW 1,41 Závěr : Rezidua nejsou autokorelována Znaménkový test reziduí Hodnota kritéria Sg : 1, Kvantil N(1-alfa/2) : 1, Pravděpodobnost : 0, Závěr : V reziduích není trend. Statistické testy ukazují, že předpoklady MNČ jsou splněny. Výjimkou je Scottovo kritérium multikolinearity, vysoká hodnota multikolinearity je však pro polynomy typická. 21

22 Graf autokorelace Graf heteroskedasticity Graf autokorelace vykazuje přibližně mrak bodů bez výrazné orientace. Graf heteroskedasticity neukazuje mrak bodů ve tvaru klínu, což indikuje homoskedasticitu. Konstrukce zpřesněného modelu Na základě analýzy reziduí a diagnostických grafů byl identifikován odlehlý bod č. 18. Po jeho odstranění byly nalezeny nové odhady parametrů pro zpřesněný model. Odhad parametrů Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodob. Spodní mez Horní mez Abs -6,8387 1,848 Významný 0, ,5446-3,1328 D (cm) 2,3691 0,2686 Významný 4,7621E-012 1, ,9075 D (cm)^2-0,0456 0,0102 Významný 3,7831E-005-0,0661-0,0252 D (cm)^3 0,0003 0,0001 Významný 0,011 7,0878E-05 0,0005 Základní statistické charakteristiky zpřesněný model původní model Vícenásobný korelační koeficient, R 0, , Koeficient determinace, R 2 0, , Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 0, , Střední kvadratická chyba predikce, MEP 3, , Akaikeho inf. kritérium, AIC 75, , Všechny parametry nového modelu vychází jako významné, nový model vykazuje lepší statistické charakteristiky, všechny předpoklady MNČ jsou splněny. Závěr: Nalezený nejlepší model závislosti výšky stromu na jeho výčetní tloušťce má pro plochu Vojířov tvar y = (1.848) (0.2686).D 0,0456(0,0102).D 2 + 0,0003(0,0001).D 3 22

23 2.2 Odhad parametrů pro vybraný polynom 3. stupně metodou racionálních hodností RH Řešení provedeno v programu QC Expert Metoda RH se používá v případě, kdy model vykazuje multikolinearitu (u vícerozměrných modelů) a ne všechny parametry jsou vyhodnoceny jako významné. Podle Silenova pravidla má být každý parametr větší než trojnásobek jeho směrodatné odchylky, jinak je parametr statisticky nevýznamný utápí ve svém šumu. V metodě RH lze nastavit omezení na vlastní čísla a zpřesnit odhad parametrů. V našem případě byl MNČ za optimální vybrán polynom 3. stupně. Všechny parametry vychází jako statisticky významné (neutápí se v šumu). Identifikovaná multikolinearita je pro polynomy typická. MNČ je v tomto případě korektní metodou. Z důvodu srovnání však bude proveden odhad parametrů modelu též metodou RH. Základní statistické charakteristiky modelu a významnost parametrů pro různé hodnoty omezení na vlastní čísla P P MEP AIC R 2 Nevýz. param , , , b , , , , , , , , , Minimální MEP vychází pro P = Je možné dále interpolovat mezi hodnotami P 10-5 a 10-6, kde se pravděpodobně nachází minimum, a tak dále zpřesňovat odhad modelu. P P MEP AIC R 2 Nevýz. param. 0, , , , b 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Je možné dál pokračovat v iteračním výpočtu mezi hodnotami P 10-6 a Z předchozí tabulky je však patrné, že hodnoty MEP se mění jen velmi málo, proto je možné výpočet ukončit a konstatovat, že nejnižší hodnoty bylo dosaženo při hodnotě omezení P =

24 Parametry modelu stanovené metodou RH pro P = 0,00002 Proměnná Odhad Směr.odch. Závěr Pravděpodob. Spodní mez Horní mez Abs -6,8387 1,8484 Významný 0, ,5446-3,1328 D (cm) 2,3691 0,2686 Významný 4,762190E-012 1,8307 2,9075 D (cm)^2-0,0457 0,0102 Významný 3,783372E-005-0,0661-0,0253 D (cm)^3 0,0003 0,0001 Významný 0, ,087E-05 0,0005 Porovnání charakteristik modelů stanovených MNČ a RH MNČ RH Vícenásobný korelační koeficient, R 0, , Koeficient determinace, R 2 0, , Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 0, , Střední kvadratická chyba predikce, MEP 3, , Akaikeho inf. kritérium, AIC 75, , MNČ: y = (1.848) (0.2686).D 0,0456(0.0102).D 2 + 0,0003(0,0001).D 3 RH: y = (1.848) (0.2686).D 0,0456(0.0102).D 2 + 0,0003(0,0001).D 3 Závěr: Obě metody v tomto případě dávají stejné výsledky a identifikované nejlepší modely se neliší. 24

25 Úloha 3. Validizace nové metody Zadání: Starý typ výškoměru zn. Suunto byl nahrazen novým výškoměrem zn. Vertex. Pro validizaci metody byl změřen soubor 38 stromů oběma typy výškoměrů. Rozhodněte, zda při měření novým typem výškoměru obdržíme stejné výsledky jako při měření starším typem. Data: údaje o měřených výškách výškoměrem Suunto (x) a výškoměrem Vertex (y) Suunto (x) Vertex (y) 27,2 25,7 32,5 31,6 32,8 32,1 30,5 29,6 29,8 30,0 26,8 27,2 31,0 29,7 32,5 30,6 31,3 30,5 33,1 32,4 30,5 28,7 33,0 29,0 21,0 19,5 25,6 25,9 21,0 21,1 19,3 19,0 26,0 25,2 23,0 23,2 21,3 20,4 Suunto (x) Vertex (y) 22,5 21,8 25,0 24,3 13,5 13,9 12,4 12,8 13,7 13,4 12,5 12,5 13,7 13,1 14,5 14,0 13,3 12,7 13,3 13,3 13,8 13,1 12,8 13,2 12,5 12,6 33,3 32,7 28,8 26,9 31,5 28,9 32,3 28,3 34,3 32,5 36,3 34,0 Řešení v programu QC Expert Návrh modelu : y = β 0 + β 1 x Testujeme nulovou hypotézu H 0 : β 0 = 0 a β 1 = 1 proti alternativní hypotéze H A : β 0 0 a β 1 1. Charakteristika proměnných Proměnná Průměr Směr.Odch. Kor.vs.Y Významnost Suunto 24,1434 8, , Odhad parametrů Proměnná Odhad Směr.odch. Závěr Pravděpodobnost Spodní mez Horní mez Abs 1,0862 0,45791 Významný 0,0232 0,1575 2,0150 Suunto 0,9201 0,01801 Významný 0 0,8836 0,

26 Oba parametry úsek i směrnice vychází jako statisticky významné. Odhad úseku se však utápí v šumu: b 0 < 3.s b0 (viz Silenovo pravidlo). Graf regresní křivky Základní statistické charakteristiky Vícenásobný korelační koeficient, R 0, Koeficient determinace, R 2 0, Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 0, Střední kvadratická chyba predikce, MEP 0, Akaikeho inf. kritérium, AIC -6, Regresní diagnostika 1. Data a) analýza klasických reziduí Graf residua vs. predikce Graf ukazuje, že rezidua tvoří mrak bodů a není zde přítomný žádný trend. Mrak má tvar klínu, což indikuje heteroskedasticitu. V dolní části grafu jsou patrné dva odlehlé body. Reziduální součet čtverců : 28, Průměr absolutních reziduí : 0, Reziduální směr. odchylka : 0, Reziduální rozptyl : 0, Šikmost reziduí : 0, Špičatost reziduí : 4,

27 b) analýza ostatních reziduí Odlehlé body a extrémy Jackknife rezidua Predikované reziduum Diagonální prvky Zobec. diagon. prvky 12, 36 Cookova vzdálenost Atkinsonova vzdálenost 12, 36 Andrews-Pregibon st. 12, 36 Vliv na predikci Věrohodnostní vzdálenost LD(b) i Věrohodnostní vzdálenost LD(s 2 ) i Věrohodnostní vzdálenost LD(b,s 2 ) i Analýza reziduí indikuje odlehlé body 12 a 36. c) grafy vlivných bodů Williamsův graf Věrohodnostní vzdálenosti Grafy vlivných bodů indikují odlehlé body 12 a 36. d) rankitové grafy Q-Q normalizovaná rezidua Q-Q Jack-Knife rezidua Rankitové grafy indikují odlehlé body 12 a

28 2. Metoda Testování regresního tripletu Fisher-Snedecorův test významnosti modelu Hodnota kritéria F : 2612, Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 4, Pravděpodobnost : 3, E-035 Závěr : Model je významný Scottovo kritérium multikolinearity Hodnota kritéria SC : 0, Závěr : Model vykazuje multikolinearitu! Cook-Weisbergův test heteroskedasticity Hodnota kritéria CW : 7, Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Rezidua vykazují heteroskedasticitu! Jarque-Berrův test normality Hodnota kritéria JB : 6, Kvantil Chi^2(1-alfa,2) : 5, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Rezidua nemají normální rozdělení! Waldův test autokorelace Hodnota kritéria WA : 5, Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Autokorelace je významná Durbin-Watsonův test autokorelace Hodnota kritéria DW : -1 Kritické hodnoty DW 1,37 Závěr : Rezidua jsou pozitivně autokorelována! Znaménkový test reziduí Hodnota kritéria Sg : 2, Kvantil N(1-alfa/2) : 1, Pravděpodobnost : 0, Závěr : V reziduích je trend! Statistické testy ukazují, že není splněna většina předpokladů MNČ: homoskedasticita reziduí, normalita reziduí, autokorelace, přítomnost trendu v reziduích. 28

29 Graf autokorelace Graf heteroskedasticity V grafu autokorelace je patrný vzestupný trend v mraku bodů. Body v grafu heteroskedasticity tvoří klín typický pro nekonstantní rozptyl. Konstrukce zpřesněného modelu Na základě analýzy reziduí a diagnostických grafů byly identifikovány dva vlivné body č. 12 a 36. Po jejich odstranění byly nalezeny nové odhady parametrů pro zpřesněný model. Odhady parametrů Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděp. Spodní mez Horní mez Abs 0,7684 0,3460 Významný 0,0331 0,0653 1,4715 Suunto 0,9393 0,0138 Významný 0 0,9111 0,9674 Základní statistické charakteristiky zpřesněný model původní model Vícenásobný korelační koeficient, R 0, , Koeficient determinace, R 2 0, , Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 0, , Střední kvadratická chyba predikce, MEP 0, , Akaikeho inf. kritérium, AIC -27, , Testování regresního tripletu Fisher-Snedecorův test významnosti modelu Hodnota kritéria F : 4599, Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 4, Pravděpodobnost : 7, E-038 Závěr : Model je významný Scottovo kritérium multikolinearity Hodnota kritéria SC : 0, Závěr : Model vykazuje multikolinearitu! Cook-Weisbergův test heteroskedasticity Hodnota kritéria CW : 2, Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Rezidua vykazují homoskedasticitu. 29

30 Jarque-Berrův test normality Hodnota kritéria JB : 0, Kvantil Chi^2(1-alfa,2) : 5, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Rezidua mají normální rozdělení. Waldův test autokorelace Hodnota kritéria WA : 1, Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Autokorelace je nevýznamná Durbin-Watsonův test autokorelace Hodnota kritéria DW : -1 Kritické hodnoty DW 1,35 Závěr : Pozitivní autokorelace reziduí není prokázána. Znaménkový test reziduí Hodnota kritéria Sg : 1, Kvantil N(1-alfa/2) : 1, Pravděpodobnost : 0, Závěr : V reziduích není trend. Zpřesněný model má příznivější charakteristiky než model původní (nižší MEP a AIC, vyšší R 2 ). Testy regresního tripletu pro nový model ukazují, že předpoklady MNČ jsou splněny. Všechny parametry nového modelu vychází jako významné. Nicméně parametr b 0 má stále vysokou směrodatnou odchylku. Nalezený model lineární závislosti mezi měřeními výškoměrem Vertex a Suunto má tvar y = (0.3460) (0.0138) x Intervaly spolehlivosti parametrů b 0 b 1 Závěr: Interval spolehlivosti úseku neobsahuje nulu, což indikuje, že měření novým přístrojem Vertex vykazuje systematickou odchylku od měření starým přístrojem Suunto. Obě meze intervalu spolehlivosti pro směrnici jsou menší než 1, z čehož vyplývá, že nový výškoměr podhodnocuje. 30

31 Úloha 4. Vícerozměrný lineární regresní model Zadání: Výzkumný ústav lesního hospodářství dlouhodobě sleduje stav smrkových porostů v Krušných horách. Na základě dat z monitorační plochy Cínovec (tab. 9) vyšetřete vliv výživy, znečištění a klimatických faktorů na tloušťkový přírůst smrku. Postavte vícerozměrný lineární regresní model a vyšetřete regresní triplet, využijte regresní diagnostiku a pomocí parciálních regresních a parciálních reziduálních grafů diskutujte významnost jednotlivých parametrů v modelu. Data z monitorační plochy Cínovec. Přírůst standardizované hodnoty tloušťkového přírůstu (z časové řady odstraněn věkový trend) N (mg/100mg), P (mg/kg), Ca (mg/kg), Mg(mg/kg), K (mg/kg) - koncentrace živin v 1. ročníku jehličí smrku; S (mg/kg), F (mg/kg) - koncentraci zátěžových prvků síry a fluoru v 1. ročníku jehličí smrku; SO 2 veg. (μg/m 3 ) průměrná koncentrace SO 2 v ovzduší ve vegetační době; SO 2 zim. (μg/m 3 ) průměrná koncentrace SO 2 v ovzduší v zimním období před vegetační sezonou; Teplota ( C) - průměrná teplota vzduchu ve vegetační době; Srážky (mm) srážkový úhrn za vegetační období Přírůst y N x 1 P x 2 Ca x 3 Mg x 4 K x 5 S x 6 F x 7 SO 2 veg. x 8 SO 2 zim. x 9 Teplota x 10 Srážky x ,927 1, ,25 42,1 65,7 12,5 450, ,005 1, ,3 38,2 39,7 11,9 688, ,406 1, ,77 38,4 82,4 10, ,697 2, ,31 26,2 48,5 11,6 387, ,875 1, ,71 15,7 25,5 12,2 387, ,443 1, ,34 11,1 13,8 12,8 385, ,841 1, ,01 12,1 8,8 12,7 376, ,355 1, ,84 6,2 11,0 11,5 445, ,023 1, ,76 10,4 10,3 12,4 666, ,788 1, ,79 9,5 18,2 13,5 261, ,199 1, ,44 8,4 11,2 11,7 463, ,894 1, ,86 9,6 12,4 12,0 442, ,827 1, ,35 8,6 13,3 12,9 394, ,09 1, ,51 10,3 10,0 12, ,85 1, ,78 8,8 9,4 12,0 418, ,05 1, ,68 9,8 10,8 13,1 441, ,806 1, ,37 6,3 9,0 11,7 521, ,09 1, ,59 9,2 11,1 12,9 346, ,955 1, ,64 7,8 7,1 12,3 370, ,683 1, ,68 6,4 8,1 11,7 613,7 Řešení (QC Expert) Návrh modelu y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β 1 x 11 31

32 Předběžná analýza dat Proměnná Průměr Směr.Odch. Kor.vs.Y Významnost N 1,503 0, , , P 1345,35 311, , , Ca 3257,45 880, , , Mg 679,15 209, , , K 5790,1 1364, , , S 1339,5 235, , , F 1,949 0, , , SO2 veg. 14,755 11, , , SO2 zim. 21,315 21, , , Teplota 12,23 0, , , Srážky 464,36 116, , , Párové korelace (uvedeny pouze dvojice proměnných se statisticky významnou hodnotou korelace) Dvojice proměnných Párové korel. koef. Spočtená hladina významnosti N - S 0, , P - K 0, , P - F 0, , Mg - K 0, , SO2 veg. - SO2 zim. 0, , E-009 SO2 zim. - Teplota -0, , Teplota - Srazky -0, , Sedm dvojic proměnných je spolu významně korelováno. Nejsilnější korelace je mezi koncentracemi SO 2 v zimním a vegetačním období. Odhad parametrů modelu (MNČ) Proměnná Odhad Směr.odch. Závěr Pravděp. Spodní mez Horní mez Abs 0,6320 1,4777 Nevýznamný 0,6802-2,7757 4,0397 N 0,3161 0,2047 Nevýznamný 0,1611-0,1559 0,7881 P -0,0001 0,0002 Nevýznamný 0,5681-0,0006 0,0003 Ca 0,0002 4,026E-05 Významný 0,0019 9,050E-05 0,0003 Mg -9,542E-05 0,0003 Nevýznamný 0,7145-0,0007 0,0005 K 2,137E-05 3,671E-05 Nevýznamný 0,5765-6,329E-05 0,0001 S -0,0006 0,0002 Významný 0,0218-0,0010-0,0001 F 0,0305 0,0749 Nevýznamný 0,6947-0,1422 0,2031 SO2 veg. 0,0223 0,0112 Nevýznamný 0,0824-0,0036 0,0481 SO2 zim. -0,0175 0,0069 Významný 0,0341-0,0334-0,0017 Teplota 0,0122 0,1025 Nevýznamný 0,9082-0,2244 0,2488 Srazky -0,0002 0,0006 Nevýznamný 0,7784-0,0015 0,0011 Úsek a dalších 8 regresních parametrů vychází jako nevýznamné, jejich intervaly spolehlivosti obsahují nulu, vypočtená hodnota pravděpodobnosti je nižší než zvolená hladina významnosti 0,05. Významnými parametry jsou pouze obsah vápníku, síry a koncentrace SO 2 v zimním období. 32

33 Základní statistické charakteristiky Vícenásobný korelační koeficient, R 0, Koeficient determinace, R 2 0, Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 0, Střední kvadratická chyba predikce, MEP 0, Akaikeho inf. kritérium, AIC -75, Regresní diagnostika 1. Data a) analýza klasických reziduí Graf residua vs. predicke Graf ukazuje, že rezidua tvoří mrak bodů a není zde přítomný žádný trend. V dolní části grafu je patrný jeden odlehlý bod. Reziduální součet čtverců : 0, Průměr absolutních reziduí : 0, Reziduální směr. odchylka : 0, Reziduální rozptyl : 0, Šikmost reziduí : 0, Špičatost reziduí : 2, Hodnota šikmosti blízká nule ukazuje, že rezidua mají symetrické rozdělení. Hodnota špičatosti blízká 3 indikuje normální rozdělení. b) analýza ostatních reziduí Odlehlé body a extrémy Jackknife rezidua Predikované reziduum Diagonální prvky Zobec. diagon. prvky Cookova vzdálenost Atkinsonova vzdálenost 6, 9, 12, 14, 18 Vliv na predikci 6, 9, 18 Věrohodnostní vzdálenost LD(b) i Věrohodnostní vzdálenost LD(s 2 ) i Věrohodnostní vzdálenost LD(b,s 2 ) i 12, 18 Analýza reziduí indikuje vlivné body 6, 9, 12,

34 c) grafy vlivných bodů Williamsův graf McCullohův-Meeterův graf L-R graf Graf věrohodnostních vzdáleností Grafy vlivných bodů indikují odlehlé body 12 a 18. d) rankitové grafy Q-Q normalizovaná rezidua Q-Q Jack-Knife rezidua Rankitové grafy indikují odlehlý bod Model Parciální regresní grafy a parciální reziduální grafy 34

35 Parciální regresní graf konc. Ca v jehličí Parciální graf reziduí Ca Parciální regresní graf konc. S v jehličí Parciální graf reziduí - S Parciální regresní graf SO 2 zim Parciální graf reziduí - SO 2 zim Parciální regresní grafy i parciální reziduální grafy ukazují na lineární závislosti vybraných nezávisle proměnných. 3. Metoda Testování regresního tripletu Fisher-Snedecorův test významnosti modelu Hodnota kritéria F : 4, Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Model je významný Scottovo kritérium multikolinearity Hodnota kritéria SC : 0, Závěr : Model je korektní. 35

36 Cook-Weisbergův test heteroskedasticity Hodnota kritéria CW : 0, Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Rezidua vykazují homoskedasticitu. Jarque-Berrův test normality Hodnota kritéria JB : 0, Kvantil Chi^2(1-alfa,2) : 5, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Rezidua mají normální rozdělení. Waldův test autokorelace Hodnota kritéria WA : 0, Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Autokorelace je nevýznamná Durbin-Watsonův test autokorelace Hodnota kritéria DW : -1 Kritické hodnoty DW 0,79 Závěr : Pozitivní autokorelace reziduí není prokázána. Znaménkový test reziduí Hodnota kritéria Sg : 0, Kvantil N(1-alfa/2) : 1, Pravděpodobnost : 0, Závěr : V reziduích není trend. Testy regresního tripletu ukázaly splnění předpokladů MNČ. Konstrukce zpřesněného modelu V modelu vychází jako statisticky významné pouze tři parametry: Ca, S a SO 2 zim. Na základě analýzy reziduí a diagnostických grafů byl identifikován odlehlý bod č. 12. Po vynechání nevýznamných parametrů a po odstranění bodu 12 byly nalezeny nové odhady parametrů pro zpřesněný model. Při výpočtu se však ukázalo, že se model zcela zbortil, neboť všechny statistické charakteristiky byly rovny nule, v modelu zůstal jediný významný parametr a to koncentrace Ca v jehličí. Byl proto vyzkoušen druhý postup, který spočíval nejprve ve vynechání odlehlého bodu č.12 a ponechání všech parametrů v modelu. 36

37 Odhad parametrů zpřesněného modelu 1 (po vynechání odlehlého bodu 12) Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodob. Spodní mez Horní mez Abs -1,0086 1,0271 Nevýznamný 0,3588-3,4373 1,4201 N 0,3871 0,1295 Významný 0,0202 0,0808 0,6933 P -0,0006 0,0002 Významný 0,0134-0,0010-0,0002 Ca 0,0002 2,5831E-005 Významný 0,0004 0,0001 0,0002 Mg 0,0002 0,0002 Nevýznamný 0,3193-0,0002 0,0006 K 3,089E-05 2,312E-05 Nevýznamný 0,2233-2,377E-05 8,554E-05 S -0,0006 0,0001 Významný 0,0025-0,0008-0,0003 F 0,1948 0,0648 Významný 0,0198 0,0415 0,3481 SO2 veg. 0,0171 0,0072 Významný 0,0486 0,0001 0,0340 SO2 zim. -0,0138 0,0044 Významný 0,0166-0,0243-0,0034 Teplota 0,1201 0,0706 Nevýznamný 0,1327-0,0468 0,2871 Srazky 0,0006 0,0004 Nevýznamný 0,1718-0,0003 0,0016 V dalším kroku byly z modelu odstraněny nevýznamné parametry (abs. člen, Mg, K, Teplota a Srážky). Odhad parametrů zpřesněného modelu 2 (bez bodu 12 a nevýznamných parametrů) Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodob. Spodní mez Horní mez N 0,6132 0,1717 Významný 0,0038 0,2392 0,9872 P -9,730E-05 0,0002 Nevýznamný 0,5404-0, ,0002 Ca 0,0002 3,8246E-05 Významný 9,1996E-05 0,0001 0,0003 S -0,0005 0,0002 Významný 0,0252-0,0009-7,344E-05 F 0,0575 0,0530 Nevýznamný 0,2994-0,0580 0,1730 SO2 veg. 0,0322 0,0081 Významný 0,0019 0,0145 0,0499 SO2 zim. -0,0228 0,0046 Významný 0,0004-0,0329-0,0127 Nový model indikuje nevýznamné parametry P a F. Spočítáme proto model bez nich. Odhad parametrů zpřesněného modelu 3 (bez bodu 12 a nevýznamných parametrů) Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodob. Spodní mez Horní mez N 0,5989 0,1614 Významný 0,0023 0,2526 0,9452 Ca 0,0002 3,6723E-05 Významný 3,2059E-05 0,0001 0,0003 S -0,0005 0,0002 Významný 0,0147-0,0009-0,0001 SO2 veg. 0,0294 0,0075 Významný 0,0015 0,0134 0,0455 SO2 zim. -0,0210 0,0042 Významný 0,0002-0,0299-0,

38 Porovnání základních statistických charakteristik původního modelu a zpřesněných modelů 1 až 3 zpřesněný model 3 zpřesněný model 2 zpřesněný model 1 původní model Vícenásobný korelační koeficient, R 0, , , , Koeficient determinace, R 2 0, , , , Predikovaný korelační koeficient, Rp 2 0, , , , Střední kvadratická chyba predikce, MEP Akaikeho inf. kritérium, AIC Nevýznamné parametry 0, , , , , , , , ne ano ano ano Pro zpřesněný model 3 vychází všechny regresní parametry jako statisticky významné, oproti zpřesněnému modelu 2 došlo k poklesu MEP i AIC. Testy regresního tripletu Fisher-Snedecorův test významnosti modelu Hodnota kritéria F : 9, Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Model je významný Scottovo kritérium multikolinearity Hodnota kritéria SC : -0, Závěr : Model je korektní. Cook-Weisbergův test heteroskedasticity Hodnota kritéria CW : 1, Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Rezidua vykazují homoskedasticitu. Jarque-Berrův test normality Hodnota kritéria JB : 0, Kvantil Chi^2(1-alfa,2) : 5, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Rezidua mají normální rozdělení. Waldův test autokorelace Hodnota kritéria WA : 1, Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3, Pravděpodobnost : 0, Závěr : Autokorelace je nevýznamná 38

39 Durbin-Watsonův test autokorelace Hodnota kritéria DW : -1 Kritické hodnoty DW 0,75 Závěr : Pozitivní autokorelace reziduí není prokázána. Znaménkový test reziduí Hodnota kritéria Sg : 0, Kvantil N(1-alfa/2) : 1, Pravděpodobnost : 0, Závěr : V reziduích není trend. Pro zpřesnění model 3 zůstávají předpoklady MNČ splněny. Nalezený model lineární závislosti mezi tloušťkovým přírůstem smrku a parametry prostředí má tvar přírůst = 0,5989 (0,1614). N + 0,0002(3,6723E-05).Ca - 0,0005(0,0002).S + 0,0294(0,0075).SO 2 veg - 0,0210(0,0042). SO 2 zim Závěr: Nalezený vícerozměrný regresní model prokázal, že tloušťkový přírůst smrku na ploše Cínovec je funkcí obsahu dusíku, vápníku a síry v jehličí a dále koncentrací SO 2 v ovzduší, a to jak v zimním období, tak v průběhu vegetační sezóny. Zatímco zvýšená úroveň vápníku a dusíku v jehličí a koncentrace SO 2 ve vegetačním období přírůst stimulují, vysoké koncentrace síry v jehličí a koncentrace SO 2 v zimním období působí na přírůst negativně. Model vysvětluje 73% variability tloušťkových přírůstů. 39

Kalibrace a limity její přesnosti

Kalibrace a limity její přesnosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Licenční studium GALILEO a limity její přesnosti Seminární práce Monika Vejpustková leden 2016 OBSAH Úloha 1. Lineární kalibrace...

Více

Semestrální práce. 2. semestr

Semestrální práce. 2. semestr Licenční studium č. 89002 Semestrální práce 2. semestr Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat Příklad 1 Porovnání dvou regresních přímek u jednoduchého lineárního regresního modelu. Počet

Více

Stanovení manganu a míry přesnosti kalibrace ( Lineární kalibrace )

Stanovení manganu a míry přesnosti kalibrace ( Lineární kalibrace ) Příklad č. 1 Stanovení manganu a míry přesnosti kalibrace ( Lineární kalibrace ) Zadání : Stanovení manganu ve vodách se provádí oxidací jodistanem v kyselém prostředí až na manganistan. (1) Sestrojte

Více

Příloha č. 1 Grafy a protokoly výstupy z adstatu

Příloha č. 1 Grafy a protokoly výstupy z adstatu 1 Příklad 3. Stanovení Si metodou OES Byly porovnávány naměřené hodnoty Si na automatickém analyzátoru OES s atestovanými hodnotami. Na základě testování statistické významnosti regresních parametrů (úseku

Více

Závislost obsahu lipoproteinu v krevním séru na třech faktorech ( Lineární regresní modely )

Závislost obsahu lipoproteinu v krevním séru na třech faktorech ( Lineární regresní modely ) Úloha M608 Závislost obsahu lipoproteinu v krevním séru na třech faktorech ( Lineární regresní modely ) Zadání : Při kvantitativní analýze lidského krevního séra ovlivňují hodnotu obsahu vysokohustotního

Více

TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT. Semestrální práce UNIVERZITA PARDUBICE. Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie

TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT. Semestrální práce UNIVERZITA PARDUBICE. Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT Semestrální práce Licenční studium Galileo Interaktivní statistická analýza

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, 532 10 Pardubice 10. licenční studium chemometrie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT Semestrální práce KALIBRACE

Více

Tvorba lineárních regresních modelů

Tvorba lineárních regresních modelů Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie Statistické zpracování dat Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat Zdravotní ústav

Více

Tabulka č. 1 95%ní intervaly Úsek Směrnice model L1 L2 L1 L2 Leco1-0, , , ,15618 OES -0, , , ,21271

Tabulka č. 1 95%ní intervaly Úsek Směrnice model L1 L2 L1 L2 Leco1-0, , , ,15618 OES -0, , , ,21271 1 Příklad 1. Porovnání dvou regresních přímek Při výrobě automatových ocelí dané jakosti byla porovnávána závislost obsahu uhlíku v posledním zkušebním vzorku (odebraném z mezipánve na ZPO a analyzovaném

Více

KALIBRACE A LIMITY JEJÍ PŘESNOSTI. Semestrální práce UNIVERZITA PARDUBICE. Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie

KALIBRACE A LIMITY JEJÍ PŘESNOSTI. Semestrální práce UNIVERZITA PARDUBICE. Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie KALIBRACE A LIMITY JEJÍ PŘESNOSTI Semestrální práce Licenční studium Galileo Interaktivní statistická analýza dat Brno 2016

Více

Kalibrace a limity její přesnosti

Kalibrace a limity její přesnosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Kalibrace a limity její přesnosti Semestrální práce Licenční studium GALILEO Interaktivní statistická analýza dat Brno, 2015

Více

Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat

Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická, Katedra analytické chemie Licenční studium GALILEO Interaktivní statistická analýza dat Semestrální práce z předmětu Tvorba nelineárních regresních

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Regrese Závislostproměnných funkční y= f(x) regresní y= f(x)

Více

KALIBRACE A LIMITY JEJÍ PŘESNOSTI 2015

KALIBRACE A LIMITY JEJÍ PŘESNOSTI 2015 UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, 532 10 Pardubice 15. licenční studium INTERAKTIVNÍ STATISTICKÁ ANALÝZA DAT Semestrální práce KALIBRACE

Více

Úloha 1: Lineární kalibrace

Úloha 1: Lineární kalibrace Úloha 1: Lineární kalibrace U pacientů s podezřením na rakovinu prostaty byl metodou GC/MS měřen obsah sarkosinu v moči. Pro kvantitativní stanovení bylo nutné změřit řadu kalibračních roztoků o různé

Více

Tvorba nelineárních regresních

Tvorba nelineárních regresních Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie Statistické zpracování dat Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Zdravotní ústav

Více

Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie licenční studium Management systému jakosti Kalibrace a limity její přesnosti

Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie licenční studium Management systému jakosti Kalibrace a limity její přesnosti Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie licenční studium Management systému jakosti Kalibrace a limity její přesnosti Autor: Přednášející: Prof. RNDr. Milan Meloun, DrS 1. VÝPOČET OBSAHU

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Semestrální práce Licenční studium Galileo Předmět Nelineární regrese Jiří Danihlík Olomouc, 2016 Obsah... 1 Hledání vhodného

Více

Univerzita Pardubice

Univerzita Pardubice Univerzita Pardubice 8. licenční studium chemometrie Statistické zpracování dat při managementu jakosti Semestrální práce Lineární regrese Ing. Jan Balcárek, Ph.D. vedoucí Centrálních laboratoří Precheza

Více

Kalibrace a limity její přesnosti

Kalibrace a limity její přesnosti SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Kalibrace a limity její přesnosti 005/006 Ing. Petr Eliáš 1. LINEÁRNÍ KALIBRACE 1.1 Zadání Povrchově upravená suspenze TiO je protiproudně promývána v kaskádě Dorrových usazováků. Nejvíce

Více

Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat

Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie licenční studium Management systému jakosti Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat Autor: Přednášející: Prof. RNDr. Milan Meloun, DrS

Více

UNIVERZITA PARDUBICE

UNIVERZITA PARDUBICE UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie na téma Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Vedoucí licenčního studia Prof. RNDr.

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Semestrální práce. 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat

Semestrální práce. 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Semestrální práce 1 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Ing. Ján Lengyel, CSc. Centrální analytická laboratoř Ústav jaderného výzkumu Řež, a. s. Husinec Řež 130 250 68 Řež V Řeži, únor

Více

Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat

Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Licenční studium GALILEO Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Seminární práce Monika Vejpustková červen 2016

Více

Licenční studium Galileo: Statistické zpracování dat. Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat. Semestrální práce

Licenční studium Galileo: Statistické zpracování dat. Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat. Semestrální práce Licenční studium Galileo: Statistické zpracování dat Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat Semestrální práce Lenka Husáková Pardubice 2016 Obsah 1 Porovnání dvou regresních přímek u jednoduchého

Více

III. Semestrální práce

III. Semestrální práce Licenční studium GALILEO STATISTICKÁ ANALÝZA DAT III. Semestrální práce 2.1 TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ PŘI ANALÝZE DAT Ing. Marek Bilko listopad, 2015 OBSAH 2.1 TVORBA LINEÁRNÍCH REGRESNÍCH MODELŮ

Více

Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie

Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium statistické zpracování dat Tvorba lineárních a kalibračních modelů při analýze dat Pavel Valášek Školní rok 2001 02 OBSAH 1 POROVNÁNÍ

Více

http: //meloun.upce.cz,

http: //meloun.upce.cz, Porovnání rozlišovací schopnosti regresní analýzy spekter a spolehlivosti Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Katedra analytické chemie, Chemickotechnologická fakulta, Univerzita Pardubice, nám. s. Legií 565,

Více

Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat

Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Semestrální práce Licenční studium GALILEO Interaktivní statistická analýza

Více

Kalibrace a limity její přesnosti

Kalibrace a limity její přesnosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie Statistické zpracování dat Kalibrace a limity její přesnosti Zdravotní ústav se sídlem v Ostravě

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Kalibrace a limity její přesnosti Precheza a.s. Přerov 2005 Ing. Miroslav Štrajt 1. Zadání Úloha 1. Lineární kalibrace: u přímkové

Více

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Pythagoras Statistické zpracování experimentálních dat Semestrální práce ANOVA vypracoval: Ing. David Dušek

Více

Tvorba modelu sorpce a desorpce 85 Sr na krystalických horninách za dynamických podmínek metodou nelineární regrese

Tvorba modelu sorpce a desorpce 85 Sr na krystalických horninách za dynamických podmínek metodou nelineární regrese Tvorba modelu sorpce a desorpce 85 Sr na krystalických horninách za dynamických podmínek metodou nelineární regrese Závěrečná práce 12. licenčního studia Pythagoras Fakulta chemicko-technologická, katedra

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

ANOVA. Semestrální práce UNIVERZITA PARDUBICE. Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie

ANOVA. Semestrální práce UNIVERZITA PARDUBICE. Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie ANOVA Semestrální práce Licenční studium Galileo Interaktivní statistická analýza dat Brno 2015 Ing. Petra Hlaváčková, Ph.D.

Více

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, 532 10 Pardubice 10. licenční studium chemometrie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT Semestrální práce ANALÝZA

Více

2.2 Kalibrace a limity její p esnosti

2.2 Kalibrace a limity její p esnosti UNIVERZITA PARDUBICE Òkolní rok 000/001 Fakulta chemicko-technologická, Katedra analytické chemie LICEN NÍ STUDIUM STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT PÌI MANAGEMENTU JAKOSTI P EDM T:. Kalibrace a limity její p

Více

Semestrální práce. 2. semestr

Semestrální práce. 2. semestr Licenční studium č. 89002 Semestrální práce 2. semestr PŘEDMĚT 2.2 KALIBRACE A LIMITY JEJÍ PŘESNOSTI Příklad 1 Lineární kalibrace Příklad 2 Nelineární kalibrace Příklad 3 Rozlišení mezi lineární a nelineární

Více

UNIVERZITA PARDUBICE

UNIVERZITA PARDUBICE UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie na téma Kalibrace a limity její přesnosti Vedoucí licenčního studia Prof. RNDr. Milan Meloun,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Definice lineárního normálního regresního modelu Lineární normální regresní model Y Xβ ε Předpoklady: Matice X X n,k je matice realizací. Předpoklad: n > k, h(x) k - tj. matice

Více

Univerzita Pardubice SEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat. 2015/2016 RNDr. Mgr. Leona Svobodová, Ph.D.

Univerzita Pardubice SEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat. 2015/2016 RNDr. Mgr. Leona Svobodová, Ph.D. Univerzita Pardubice SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat 2015/2016 RNDr. Mgr. Leona Svobodová, Ph.D. Úloha Nalezení vhodného modelu pro popis reakce TaqMan real-time PCR

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie Statistické zpracování dat ANOVA Zdravotní ústav se sídlem v Ostravě Odbor hygienických laboratoří

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Management systému jakosti

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Management systému jakosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Management systému jakosti 2.1 Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat Autor práce: Přednášející:

Více

FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE. Semestrální práce z CHEMOMETRE. TOMÁŠ SYROVÝ 4.ročník

FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE. Semestrální práce z CHEMOMETRE. TOMÁŠ SYROVÝ 4.ročník FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE Semestrální práce z CHEMOMETRE TOMÁŠ SYROVÝ 4.ročník OBSAH: 1.Příklad C112 CHYBY A VARIABILITA INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ... 3 2. Příklad H207 PRŮZKUMOVÁ

Více

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie. Nám. Čs. Legií 565, Pardubice. Semestrální práce ANOVA 2015

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie. Nám. Čs. Legií 565, Pardubice. Semestrální práce ANOVA 2015 UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, 532 10 Pardubice 15. licenční studium INTERAKTIVNÍ STATISTICKÁ ANALÝZA DAT Semestrální práce ANOVA 2015

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Definice lineárního normálního regresního modelu Lineární normální regresní model Y β ε Matice n,k je matice realizací. Předpoklad: n > k, h() k - tj. matice je plné hodnosti

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Management systému jakosti

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Management systému jakosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Management systému jakosti 3.3 v analýze dat Autor práce: Přednášející: Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc Pro

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)

Více

UNIVERZITA PARDUBICE

UNIVERZITA PARDUBICE UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Vedoucí studia a odborný garant: Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Vyučující: Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Autor práce: ANDRII

Více

S E M E S T R Á L N Í

S E M E S T R Á L N Í Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie S E M E S T R Á L N Í P R Á C E Licenční studium Statistické zpracování dat při managementu jakosti Předmět ANOVA analýza rozptylu

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická, Katedra analytické chemie Licenční studium GALILEO Interaktivní statistická analýza dat Semestrální práce z předmětu Statistická analýza jednorozměrných

Více

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, 532 10 Pardubice 10. licenční studium chemometrie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT Semestrální práce STATISTICKÁ

Více

UNIVERZITA PARDUBICE

UNIVERZITA PARDUBICE UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Vedoucí studia a odborný garant: Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Vyučující: Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Autor práce: ANDRII

Více

Semestrální práce str. 1. Semestrální práce. 2.1 Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat. 2.3 Kalibrace a limity její přesnosti

Semestrální práce str. 1. Semestrální práce. 2.1 Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat. 2.3 Kalibrace a limity její přesnosti Semestrální práce str. Semestrální práce 2. Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat 2.3 Kalibrace a limity její přesnosti Ing. Ján Lengyel, CSc. Centrální analytická laboratoř Ústav jaderného

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická. Licenční studium Statistické zpracování dat

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická. Licenční studium Statistické zpracování dat Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Licenční studium Statistické zpracování dat 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat RNDr. Lada Kovaříková České technologické centrum

Více

12. licenční studium Statistické zpracování dat při managementu jakosti. Lenka Hromádková

12. licenční studium Statistické zpracování dat při managementu jakosti. Lenka Hromádková 12. licenční studium Statistické zpracování dat při managementu jakosti Lenka Hromádková Desinfekční přípravky slouží k zneškodňování mikroorganismů (MO) vyvolávající onemocnění člověka nebo zvířat Druhy

Více

Licenční studium Galileo: Statistické zpracování dat. Kalibrace a limity její přesnosti. Semestrální práce

Licenční studium Galileo: Statistické zpracování dat. Kalibrace a limity její přesnosti. Semestrální práce Licenční studium Galileo: Statistické zpracování dat Kalibrace a limity její přesnosti Semestrální práce Lenka Husáková Pardubice 2016 Obsah 1 Lineární kalibrace... 3 1.1 Zadání... 3 1.2 Data... 3 1.3

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT STATISTICKÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Seminární práce 1 Brno, 2002 Ing. Pavel

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 1 PŘÍLOHA KE KAPITOLE 11 2 Seznam příloh ke kapitole 11 Podkapitola 11.2. Přilité tyče: Graf 1 Graf 2 Graf 3 Graf 4 Graf 5 Graf 6 Graf 7 Graf 8 Graf 9 Graf 1 Graf 11 Rychlost šíření ultrazvuku vs. pořadí

Více

Aproximace křivek a vyhlazování křivek

Aproximace křivek a vyhlazování křivek Univerzita Pardubice Fakulta chemicko - technologická Katedra analytické chemie Dvouleté licenční studium: Počítačové zpracování dat při kontrole a řízení jakosti Aproximace křivek a vyhlazování křivek

Více

Plánování experimentu

Plánování experimentu Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie licenční studium Management systému jakosti Autor: Ing. Radek Růčka Přednášející: Prof. Ing. Jiří Militký, CSc. 1. LEPTÁNÍ PLAZMOU 1.1 Zadání Proces

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie ANOVA. Semestrální práce

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie ANOVA. Semestrální práce Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie ANOVA Semestrální práce Licenční studium GALILEO Interaktivní statistická analýza dat Brno, 2015 Doc. Mgr. Jan Muselík, Ph.D.

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Semestrální práce z CHEMOMETRIE I Statistické zpracování jednorozměrných dat

Semestrální práce z CHEMOMETRIE I Statistické zpracování jednorozměrných dat FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE Semestrální práce z CHEMOMETRIE I Statistické zpracování jednorozměrných dat DOMINIKA BURKOŇOVÁ 4.ročník 2000/2001 Dominika Burkoňová Příklad č.1

Více

PYTHAGORAS Statistické zpracování experimentálních dat

PYTHAGORAS Statistické zpracování experimentálních dat UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická, Katedra analytické chemie SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Květen 2008 Licenční studium PYTHAGORAS Statistické zpracování experimentálních dat Předmět 1.4 ANOVA a

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Lineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel

Lineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních

Více

UNIVERZITA PARDUBICE CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ FAKULTA KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE

UNIVERZITA PARDUBICE CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ FAKULTA KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE UNIVERZITA PARDUBICE CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ FAKULTA KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE STATISTICKÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT V OSTRAVĚ 20.3.2006 MAREK MOČKOŘ PŘÍKLAD Č.1 : ANALÝZA VELKÝCH VÝBĚRŮ Zadání: Pro kontrolu

Více

Úlohy. Kompendium 2012, Úloha B8.01a, str. 785, Model y = P1 * exp( P2/(B801x + P3)

Úlohy. Kompendium 2012, Úloha B8.01a, str. 785, Model y = P1 * exp( P2/(B801x + P3) Úlohy Kompendium 2012, Úloha B8.01a, str. 785, Model y = P1 * exp( P2/(B801x + P3) Úloha B8.01 Závislost hmotnosti očních čoček na stáří králíků Dudzinksi a Mykytowycz (1961) ukázali, že hmotnost vysušených

Více

Úloha E301 Čistota vody v řece testem BSK 5 ( Statistická analýza jednorozměrných dat )

Úloha E301 Čistota vody v řece testem BSK 5 ( Statistická analýza jednorozměrných dat ) Úloha E301 Čistota vody v řece testem BSK 5 ( Statistická analýza jednorozměrných dat ) Zadání : Čistota vody v řece byla denně sledována v průběhu 10 dní dle biologické spotřeby kyslíku BSK 5. Jsou v

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK Základy ekonometrie Odhad klasického lineárního regresního modelu II Cvičení 3 Zuzana Dlouhá Klasický lineární regresní model - zadání příkladu Soubor: CV3_PR.xls Data: y = maloobchodní obrat potřeb

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Regresní analýza. Eva Jarošová

Regresní analýza. Eva Jarošová Regresní analýza Eva Jarošová 1 Obsah 1. Regresní přímka 2. Možnosti zlepšení modelu 3. Testy v regresním modelu 4. Regresní diagnostika 5. Speciální využití Lineární model 2 1. Regresní přímka 3 nosnost

Více

Analýza rozptylu ANOVA

Analýza rozptylu ANOVA Licenční studium Galileo: Statistické zpracování dat ANOVA ANOVA B ANOVA P Analýza rozptylu ANOVA Semestrální práce Lenka Husáková Pardubice 05 Obsah Jednofaktorová ANOVA... 3. Zadání... 3. Data... 3.3

Více

Posouzení linearity kalibrační závislosti

Posouzení linearity kalibrační závislosti Posouzení linearity kalibrační závislosti Luděk Dohnal Referenční laboratoř pro klinickou biochemii,úkbld 1.LF UK a VFN, Karlovo nám. 32, 12111 Praha 2, ludek.dohnal@lf1.cuni.cz Paul Faigl FCDD, University

Více

2.1 Tvorba lineárních regresních

2.1 Tvorba lineárních regresních UNIVERZITA PARDUBICE Òkolní rok 2000/2001 Fakulta chemicko-technologická, Katedra analytické chemie LICEN NÍ STUDIUM STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT PÌI MANAGEMENTU JAKOSTI P EDM T: 2.1 Tvorba lineárních regresních

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Statistická analýza. jednorozměrných dat

Statistická analýza. jednorozměrných dat Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie icenční studium chemometrie Statistické zpracování dat Statistická analýza jednorozměrných dat Zdravotní ústav se sídlem v

Více

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie 12. licenční studium PYTHAGORAS Statistické zpracování dat 3.3 Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Semestrální

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Leptání plasmou. Ing. Pavel Bouchalík

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Leptání plasmou. Ing. Pavel Bouchalík SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Leptání plasmou Ing. Pavel Bouchalík 1. ÚVOD Tato semestrální práce obsahuje písemné vypracování řešení příkladu Leptání plasmou. Jde o praktickou zkoušku znalostí získaných při přednáškách

Více

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR KORELACE A REGRESE 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/..00/8.001)

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

SEMESTRÁ LNÍ PRÁ CE. Licenč ní studium STATISTICKÉZPRACOVÁ NÍ DAT PŘ I KONTROLE A Ř ÍZENÍ JAKOSTI. Předmě t KALIBRACE A LIMITY JEJÍ PŘ ESNOSTI

SEMESTRÁ LNÍ PRÁ CE. Licenč ní studium STATISTICKÉZPRACOVÁ NÍ DAT PŘ I KONTROLE A Ř ÍZENÍ JAKOSTI. Předmě t KALIBRACE A LIMITY JEJÍ PŘ ESNOSTI SEMESTRÁ LNÍ PRÁ CE Licenč ní studium STATISTICKÉZPRACOVÁ NÍ DAT PŘ I KONTROLE A Ř ÍZENÍ JAKOSTI Předmě t KALIBRACE A LIMITY JEJÍ PŘ ESNOSTI Ú stav experimentá lní biofarmacie, Hradec Krá lové Ing. Martina

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Menu: QCExpert Nelineární regrese Modul nelineární regrese slouží pro tvorbu a analýzu explicitních nelineárních regresních modelů v obecném tvaru

Menu: QCExpert Nelineární regrese Modul nelineární regrese slouží pro tvorbu a analýzu explicitních nelineárních regresních modelů v obecném tvaru Nelineární regrese Menu: QCExpert Nelineární regrese Modul nelineární regrese slouží pro tvorbu a analýzu explicitních nelineárních regresních modelů v obecném tvaru y = F(x,p) (1-1) kde y je nezávisle

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Podkladové údaje Korelační matice Odhad lineárního regresního modelu (LRM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie 12. licenční studium PYTHAGORAS Statistické zpracování dat Kalibrace a limity její přesnosti Semestrální práce 2009 RNDr. Markéta

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK11 Základy ekonometrie Autokorelace Cvičení 5 Zuzana Dlouhá Gauss-Markovy předpoklady Náhodná složka: Gauss-Markovy předpoklady 1. E(u) = náhodné vlivy se vzájemně vynulují. E(uu T ) = σ I n konečný

Více