Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
|
|
- Antonie Krausová
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 1 / 25
2 Prostor R n R množina reálných čísel (prvky znázorňujeme jako body na číselné ose) R n množina uspořádaných n-tic reálných čísel Prvky množin R 2 a R 3 znázorňujeme obvykle v kartézské souřadnicové soustavě. R 2 množina uspořádaných dvojic reálných čísel (prvky znázorňujeme jako body v rovině) - souřadnicové osy: x, y R 3 množina uspořádaných trojic reálných čísel (prvky znázorňujeme jako body v trojrozměrném prostoru) - souřadnicové osy: x, y, z - souřadnicové roviny: xy (z = 0), xz (y = 0), yz (x = 0) Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 2 / 25
3 Vzdálenost v R n Definice (Euklidovský metrický prostor) Necht A = (a 1, a 2 ) R 2, B = (b 1, b 2 ) R 2. Euklidovská vzdálenost bodů A, B je číslo ϱ(a, B) definované vztahem ϱ(a, B) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2. Pravidlo ϱ, které dvojici bodů přiřazuje jejich Euklidovskou vzdálenost se nazývá euklidovská metrika. Množina R 2 s euklidovskou metrikou definovanou pro každé dva body z R 2 se nazývá euklidovský metrický prostor a značí se E 2. Euklidovská vzdálenost dvou bodů je rovna délce úsečky, která tyto body spojuje: Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 3 / 25
4 Analogicky se definuje euklidovská vzdálenost v R n a vícerozměrné euklidovské prostory E n. Například euklidovská vzdálenost bodů A = (a 1, a 2, a 3 ) R 3, B = (b 1, b 2, b 3 ) R 3 je definována vztahem ϱ(a, B) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2. Příklad (Euklidovská vzdálenost bodů) Určete euklidovskou vzdálenost bodů 1 A = (2, 1), B = (3, 4) ρ(a, B) = (3 2) 2 + (4 1) 2 = = 10 2 A = (2, 1, 3), B = (0, 1, 4) ρ(a, B) = (0 2) 2 + (1 1) 2 + (4 3) 2 = = 5 Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 4 / 25
5 Věta (Vlastnosti euklidovské metriky) Pro libovolné body A, B, C E n platí: 1 ϱ(a, B) = 0 A = B (totožnost) 2 ϱ(a, B) = ϱ(b, A) (symetrie) 3 ϱ(a, B) + ϱ(b, C) ϱ(a, C) (trojúhelníková nerovnost) Vzdálenost dvou bodů se často definuje i jiným způsobem, pomocí jiné metriky než euklidovské. Přitom se zcela přirozeně požaduje, aby každá metrika, která definuje vzdálenost, měla vlastnosti uvedené v předchozí větě. Například: ϱ 1 (A, B) = a 1 b 1 + a 2 b 2, ϱ (A, B) = max{ a 1 b 1, a 2 b 2 }. Poznamenejme, že v R definují uvedené metriky ϱ, ϱ 1, ϱ stejnou vzdálenost (jsou totožné). Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 5 / 25
6 Definice (Okoĺı bodu) Necht A E n, ε > 0 je reálné číslo. ε-okoĺım O ε (A) bodu A rozumíme množinu všech bodů, které mají od daného bodu A vzdálenost menší než ε, tj. O ε (A) = {X E n : ϱ(x, A) < ε}. Ryzím (redukovaným, prstencovým) ε-okoĺım Ôε(A) bodu A rozumíme množinu Ô ε (A) = O ε (A) {A}. Nebude-li poloměr okoĺı podstatný, budeme index ε vynechávat. ε-okoĺı bodu A E 2 je množina všech bodů uvnitř kruhu se středem v bodě A a poloměrem ε ε-okoĺı bodu A E 3 je množina všech bodů uvnitř koule se středem v bodě A a poloměrem ε Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 6 / 25
7 Pokud bychom uvažovali jinou metriku než euklidovskou, potom by okoĺı mělo jiný tvar, například volbou metriky ϱ dostáváme čtvercové, resp. krychlové okoĺı. ε-okoĺı v metrikách ϱ, ϱ 1, ϱ : V dalším budeme vzdálenost chápat jako euklidovskou. Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 7 / 25
8 Význačné body a množiny bodů Necht M E n je neprázdná množina bodů. Bod A M se nazývá vnitřní bod množiny M, jestliže existuje okoĺı tohoto bodu, které celé patří do množiny M. Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá vnitřek množiny M. Bod A se nazývá hraniční bod množiny M, jestliže v každém jeho okoĺı leží alespoň jeden bod, který patří do množiny M a zároveň alespoň jeden bod, který nepatří do množiny M. Množina všech hraničních bodů množiny M se nazývá hranice množiny M. Hraniční body nemusí patřit do množiny. A je vnitřní bod B M je hraniční bod C M je hraniční bod Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 8 / 25
9 Množina M se nazývá otevřená, jestliže každý její bod je jejím vnitřním bodem. Množina M se nazývá uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body. M 1 je uzavřená M 2 je otevřená M 3 není ani uzavřená ani otevřená Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 9 / 25
10 Množina M se nazývá ohraničená (omezená), jestliže leží v okoĺı (libovolně velkém) nějakého bodu z E n. M 1 je ohraničená M 2 není ohraničená Množina M se nazývá souvislá, jestliže každé dva body z této množiny lze spojit lomenou čárou, která celá leží v M. Otevřená a souvislá množina se nazývá oblast, uzavřená a souvislá množina se nazývá uzavřená oblast. M 1 je souvislá M 2 není souvislá Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 10 / 25
11 Funkce dvou proměnných Definice (Funkce dvou proměnných) Necht M R 2 je neprázdná množina. Pravidlo f, které každému prvku (x, y) M přiřazuje právě jeden prvek z R, se nazývá funkce dvou proměnných. Píšeme f : R 2 R nebo explicitně z = f(x, y). Množina M se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f). Množina všech z R, pro něž existuje bod (x, y) M takový, že z = f(x, y), se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H(f). Proměnné x, y se nazývají nezávislé proměnné, z se nazývá závislá proměnná. Každá funkce je jednoznačně určena svým definičním oborem a funkčním předpisem (tj. předpisem, který každému bodu (x, y) z definičního oboru přiřazuje funkční hodnotu f(x, y)). Pokud není definiční obor zadaný a funkční předpis je dán vzorcem, pak definičním oborem rozumíme množinu všech (x, y) R 2, pro něž má daný vzorec smysl. Definiční obor funkce zobrazujeme jako množinu bodů v rovině xy. Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 11 / 25
12 Příklad Určete definiční obor funkce z = 4 x 2 y 2 ln(x y+2) a zakreslete v rovině xy. Řešení: Body z definičního oboru musí splňovat následující tři podmínky: 1 4 x 2 y 2 0 x 2 + y ln(x y + 2) 0 x y y x x y + 2 > 0 y < x + 2 Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 12 / 25
13 Grafické znázornění funkce dvou proměnných Definice (Graf funkce) Grafem funkce dvou proměnných z = f(x, y) rozumíme množinu všech uspořádaných trojic (x, y, f(x, y)) R 3, kde (x, y) D(f). Grafem funkce dvou proměnných je množina bodů v trojrozměrném prostoru, obvykle nějaká plocha. Pro získání představy, jaký je tvar této plochy nám pomohou řezy význačnými rovinami - souřadnicové roviny (x = 0, y = 0, z = 0) a roviny s nimi rovnoběžné, především řezy rovinami z = c, c R. Definice (Vrstevnice funkce) Vrstevnicí funkce z = f(x, y) na úrovni c rozumíme množinu všech bodů (x, y) R 2, pro které f(x, y) = c. Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 13 / 25
14 Příklad (Rovina) Určete vrstevnice funkce z = 3 2x y a nakreslete graf. Vrstevnice: 3 2x y = c, c R y = 3 2x c c = 1 : c = 0 : c = 1 : c = 2 : y = 4 2x y = 3 2x y = 2 2x y = 1 2x. Graf - určíme průsečíky se souřadnými osami: x = 0, y = 0 z = 3 x = 0, z = 0 y = 3 y = 0, z = 0 x = 3/2 Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 14 / 25
15 Příklad (Paraboloid) Určete vrstevnice funkce z = x 2 + y 2. x 2 + y 2 = c, c 0 kružnice c = 0 : (0, 0) c = 1 : x 2 + y 2 = 1 c = 4 : x 2 + y 2 = 4 c = 9 : x 2 + y 2 = 9. Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 15 / 25
16 Příklad (Kužel) Určete vrstevnice funkce z = x 2 + y 2. x2 + y 2 = c, c 0 x 2 + y 2 = c 2 kružnice c = 0 : (0, 0) c = 1 : x 2 + y 2 = 1 c = 2 : x 2 + y 2 = 4 c = 3 : x 2 + y 2 = 9. Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 16 / 25
17 Grafy některých funkcí z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 z = 1 x 2 +y 2 Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 17 / 25
18 Grafy některých funkcí z = x 3 + y 3 z = ln(x 2 + y 2 ) z = e x2 y 2 Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 18 / 25
19 Grafy některých funkcí z = xe x2 y 2 z = 4 x 2 y 2 z = 4 x 2 y 2 Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 19 / 25
20 Limita funkce dvou proměnných Definice (Limita funkce) Necht f : R 2 R je funkce definovaná v nějakém ryzím okoĺı bodu (x 0, y 0 ) R 2. Řekneme, že funkce f má v bodě (x 0, y 0 ) limitu rovnu číslu L R, jestliže ke každému ε > 0 existuje číslo δ > 0 tak, že pro všechny body (x, y) z ryzího δ-okoĺı bodu (x 0, y 0 ) platí f(x, y) L < ε. Píšeme Bod (x 0, y 0 ) se nazývá limitní bod. lim f(x, y) = L. (x,y) (x 0,y 0) Podobně jako pro funkci jedné proměnné je možné definovat i nevlastní limity a limity v nevlastních bodech. (Za nevlastní bod považujeme bod, jehož alespoň jedna souřadnice je nevlastní.) Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 20 / 25
21 Vlastnosti limit Pro limitu funkce dvou proměnných platí podobná tvrzení jako pro limitu funkce jedné proměnné. Funkce nemusí být v bodě (x 0, y 0 ) definovaná a může zde mít limitu. Funkce může mít v bodě nejvýše jednu limitu. Limita součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí je rovna součtu, rozdílu, součinu a podílu limit jednotlivých funkcí (za předpokladu, že všechny limity existují a příslušné operace jsou definovány, tj. nejedná se o neurčité výrazy.) Výpočet limity funkce dvou proměnných je mnohem obtížnějsí než u funkce jedné proměnné: U funkce jedné proměnné se k limitnímu bodu můžeme bĺıžit jen po přímce ze dvou stran, u funkce dvou proměnných se můžeme bĺıžit z nekonečně mnoha různých směrů po různých křivkách. Existují-li dvě různé cesty vedoucí k různým hodnotám limity, pak limita v daném bodě neexistuje. Neexistuje žádná analogie l Hospitalova pravidla. Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 21 / 25
22 Spojitost funkce Definice (Spojitost funkce) Řekneme, že funkce dvou proměnných f je spojitá v bodě (x 0, y 0 ), jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí lim f(x, y) = f(x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0) Řekneme, že funkce dvou proměnných f je spojitá na množině M R 2, jestliže pro každý bod (x 0, y 0 ) M platí lim f(x, y) = f(x 0, y 0 ), kde (x, y) M. (x,y) (x 0,y 0) Je-li funkce v daném bodě spojitá, musí být v tomto bodě definovaná. Body, v nichž není funkce spojitá, se nazývají body nespojitosti. Součet, rozdíl a součin funkcí spojitých v bodě (x 0, y 0 ) je funkce spojitá v bodě (x 0, y 0 ). Podíl dvou funkcí spojitých v bodě (x 0, y 0 ) je funkce spojitá v bodě (x 0, y 0 ), pokud (x 0, y 0 ) není nulovým bodem jmenovatele. Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 22 / 25
23 Vlastnosti spojitých funkcí Věta (Weierstrassova) Necht funkce dvou proměnných f je spojitá na ohraničené a uzavřené množině M R 2. Pak f nabývá na M své největší a nejmenší hodnoty. Důsledek: Funkce, která je spojitá na ohraničené a uzavřené množině, je na této množině ohraničená. Věta (Bolzanova) Necht funkce dvou proměnných f je spojitá na souvislé množině M R 2 a necht pro dva body A, B M platí f(a) f(b). Pak ke každému číslu c ležícímu mezi f(a) a f(b) existuje C M tak, že f(c) = c. Důsledek: Necht funkce dvou proměnných f je spojitá na souvislé množině M R 2 a necht pro dva body A, B M platí f(a) f(b) < 0. Pak existuje C M tak, že f(c) = 0. Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 23 / 25
24 Využití systémů počítačové algebry Využití systémů Sage, Maxima, Wolfram Alpha: Matematické výpočty online (MAW) - definiční obory: Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 24 / 25
25 Příklad Určete definiční obor, vrstevnice a nakreslete graf pro x [ 3, 3] a y [ 10, 10] funkce y = x 2 y. Řešení pomocí Wolfram Alpha ( Definiční obor: domain sqrt(x^2-y) Vrstevnice: contour plot sqrt(x^2-y) Graf (viz real part ): graph sqrt(x^2-y) for x from -3 to 3, y from -10 to 10 Simona Fišnarová (MENDELU) Euklidovský prostor. Funkce. Limita. VMAT, IMT 25 / 25
Limita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Limita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
Matematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
Aplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 8-9 Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Funkce více proměnných Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Definice Necht M R n, M. Funkcí n proměnných je zobrazení
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:
Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu
analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Přednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
Matematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
1. Definiční obor funkce dvou proměnných
Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
Matematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra
Význam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Definice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Číselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Funkce více proměnných - úvod
Funkce více proměnných - úvod Helena Říhová FBMI 14. července 2014 Helena Říhová (ČVUT) Funkce více proměnných - úvod 14. července 2014 1 / 16 Obsah 1 Úvod Grafy funkcí dvou proměnných Eukleidovská vzdálenost
Matematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n
MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik
MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,
Matematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Přednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,
http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
Maturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
Kapitola 1. Reálné funkce více reálných proměnných. 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Algebraické vlastnosti prostoru R n
Obsah 1 Reálné funkce více reálných proměnných 5 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n...................... 5 1.1.1 Algebraické vlastnosti prostoru R n.................. 5 1.1.2 Metrické vlastnosti prostoru
2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
OBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2