3. podzimní série. ... {z }

Transkript

1 3. podzimní série Téma: Kombinatorika Datumodeslání: º ÔÖÓ Ò ¾¼¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Monča potřebuje zatelefonovat Pepovi, avšak nemá u sebe svůj telefonní seznam PraSátek. Zná však předvolbu 723 a vzpomněla si, že Pepovo číslo obsahuje právě tři po sobě jdoucí nuly, přičemž žádná jiná nula se již v čísle nevyskytuje. Spočteš, z kolika možností bude Monča hádat? ¾º ÐÓ Ó Ýµ Vejtek má dvě ponožky, žlutou a zelenou. Považuje však za společensky nepřijatelné, aby každý denmělnasoběstejněoblečenéponožky.urči,nakolikdnímutytodvěponožkyvystačí,pokud jemůžedávatnasebevrůznémpořadíčinarubynebonositjenněkteroučižádnou. º ÐÓ Ó Ýµ Olin dal Ťamovi následující posloupnost teček a čárek délky 4n.... {z } 4n Ťam okamžitě rozpoznal morseovku bez oddělovačů a jal se do ní oddělovače dopnit. Chtěl ale, abymuvznikalajenpísmenkazeslovamatematika 1.KolikazpůsobymůžeŤamprovésttoto dělení? ŠnEksechcedostatzjednohorohukrychledoprotějšího,avšakplazitsechcepouzepohranách 2 a do večera stihne urazit nejvýše vzdálenost pěti hran. Pomoz šnekovi zjistit, kolik takových cest má. Kolikjezlomků p q vzákladnímtvarutakových,že pq=2!a p q <1?3 Mějme 25 kuliček, z nichž některé jsou bílé a některé černé, rozdělených do dvou krabiček. Pravděpodobnost, že vytáhneme z obou krabiček bílou kuličku, je,54. Spočti pravděpodobnost, že vytáhneme z obou krabiček černou kuličku. Alčasidočtvercovésítě n nzapisuječíslatak,žečíslovkaždémpolíčkuodpovídápočtu obdélníkůvsíti,kteréhoobsahují.napříkladpro n=3: 1 Slovomatematikasevmorseovcezapíšejako / / / / / / / / /. 2 Otáčetseaměnitsměrchcejenvevrcholech,můžejítvíckrátpotésaméhraně. 3 Faktoriálzčísla n,zkráceně n!,ječíslo1 2 n.

2 n+2 2 Dokaž,žesoučetvšechčíselvečtvercijeroven 4. 3 Mějme všechna devíticiferná čísla taková, že každá z číslic se v jejich desítkovém zápisu vyskytuje právě jednou a nula se zde nevyskytuje. Rozhodni, zda můžeme tato čísla rozdělit na dvě skupiny tak, že součet druhých mocnin čísel v první skupině je roven součtu druhých mocnin čísel ve skupině druhé. Řešení 3. podzimní série 1. úloha Monča potřebuje zatelefonovat Pepovi, avšak nemá u sebe svůj telefonní seznam PraSátek. Zná však předvolbu 723 a vzpomněla si, že Pepovo číslo obsahuje právě tři po sobě jdoucí nuly, přičemž žádná jiná nula se již v čísle nevyskytuje. Spočteš, z kolika možností bude Monča hádat? České telefonní číslo má cifer i s předvolbou. Trojici nul můžeme mít na čtyřech pozicích (723, 723, 723 a 723 ). Na pozice hvězdiček hledáme tři čísla nabývající hodnot 1 až (= cifer). Počet možností nahrazení trojice hvězdiček je tedy variace s opakováním V(3,)= 3.Tostačívynásobitnašimičtyřmimožnostmiumístěnínulamámevýsledek: 4 3 =216. Monča bude hádat z 216 možných čísel. Obecněpro nciferzapředvolboumáme n 2možnostíumístěnítrojicenulan 3zbylých pozic(hvězdiček).výsledeklzezapsat(n 2) n úloha Vejtek má dvě ponožky, žlutou a zelenou. Považuje však za společensky nepřijatelné, aby každý denmělnasoběstejněoblečenéponožky.urči,nakolikdnímutytodvěponožkyvystačí,pokud jemůžedávatnasebevrůznémpořadíčinarubynebonositjenněkteroučižádnou. Řešení si rozdělíme do několika částí, podle počtu a způsobu použití ponožek: (a) Vejteksioblečepouzejednuponožku.Navýběrmázedvounohou,dvoubarevadvou obráceníponožky.mátedy2 3 =8možností. (b) Použijeobě,nakaždounohujednu.Nejprvezvolínakterounohudájakouponožku.To může provést dvěma způsoby. Dále pro každou ponožku vybere, zda bude převrácená, či nikoliv. Tojestdohromady2 2 2 =8způsobů. 4 Kombinačníčíslo `n k sedefinujejako n! k!(n k)! audávápočetmožností,jakznrozlišitelných předmětů vybrat k bez ohledu na pořadí výběru.

3 (c) Oblečesioběponožkynajednunohu.Zdesikroměnohy,barvyaobrácenímůžezvoliti pořadí,tj.kteráponožkabudesvrchníakteráspodní.dostávámenavíc2 4 =16možností. Sečteme-li jednotlivé možnosti a uvědomíme-li si, že Vejtek může jít i bos, dospějeme k výsledku úloha Olin dal Ťamovi následující posloupnost teček a čárek délky 4n.... {z } 4n Ťam okamžitě rozpoznal morseovku bez oddělovačů a jal se do ní oddělovače dopnit. Chtěl ale, abymuvznikalajenpísmenkazeslovamatematika 5.KolikazpůsobymůžeŤamprovésttoto dělení? Nejprvesivšimneme,žepísmenoK( )sevposloupnostinemůženikdevyskytnout, protože jsou vždy dvě tečky vedle sebe(žádná není osamocená). Zbývají nám tedy písmena M ( ),I( ),T( ),E( )aa( ).Dalšípozorováníje,žekdykolivsevzadanéposloupnosti vyskytne tečka bezprostředně za čárkou, musí být odděleny oddělovačem, neboť v žádném ze zbývajících písmen se znaky takto po sobě nevyskytují. V posloupnosti se tedy oddělovače určitě budou nacházet na těchto místech: / / /... / /. Posloupnostsenámtaktorozpadlana n+1úseků,znichžprvníaposledníjsoutvořenydvěma stejnýmiznakyaprostředních n 1jevetvaru.Protožejsoutytoúsekyodděleny oddělovači, můžeme je dále dělit samostatně, nezávisle na sobě. První a poslední úsek můžeme zřejmě rozdělit dvěma způsoby buď oddělovač mezi znaky umístíme( / ), nebo ne( ). Prostřední úseky lze rozdělit pěti způsoby: /, / /, / /, / / /, / /. Protožejeprostředníchúseků n 1,lzejedohromadyrozdělitoddělovači5 n 1 způsoby(prokaždý úsek se možnosti vynásobí). Nakonec ještě každý z okrajových úseků dokážeme rozdělit dvěma způsoby.celkovýpočetzpůsobůrozděleníposloupnostioddělovačijetedy2 5 n 1 2=4 5 n úloha ŠnEksechcedostatzjednohorohukrychledoprotějšího,avšakplazitsechcepouzepohranách 6 a do večera stihne urazit nejvýše vzdálenost pěti hran. Pomoz šnekovi zjistit, kolik takových cest má. První řešení: Umístěmekrychlidosouřadnicovéhosystémutak,žešnEkzačínávevrcholu[,,],máse dostat do vrcholu[1, 1, 1] a hrany krychle jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Pokaždé, když šnek přeleze jednu hranu, změní právě jednu souřadnici z na 1 nebo naopak. Nejkratší 5 Slovomatematikasevmorseovcezapíšejako / / / / / / / / /. 6 Otáčetseaměnitsměrchcejenvevrcholech,můžejítvíckrátpotésaméhraně.

4 cesta, kterou se dostane do protějšího vrcholu, má tedy délku 3, to když postupně změní všechny třisouřadnicezna1.počettakovýchcestje3!=6,protožezáležípouzenapořadí,vjakémto udělá. Snadno si rozmyslíš, že přeplazením libovolných čtyř hran se šnek do cíle dostat nemůže. Zbývá poslední případ, kdy přeleze pět hran. V tomto případě dvě souřadnice změní pouze jednou ajednutřikrát.tomůžeudělat3 5! 3! =6způsoby,neboťmátřimožnosti,jakvybratsouřadnici, kterouzměnítřikrát,a 5! 3! způsobů,jakuspořádat5prvků(5změnjednézesouřadnic),znichž 3jsoustejné 7 (třikrátzměnítusamou).celkemmátedyšneknavýběrz66různýchcest. Druhé řešení: Toto řešení je založeno na následující jednoduché myšlence: Víme-li, kolika způsoby se šnek přelezením n hran může dostat do každého z vrcholů, umíme u každého vrcholu jednoduše spočítat,kolikazpůsobysedonějlzedostatpřelezením n+1hran,atotak,žesečtemečíslauvšech jeho sousedů udávající, kolika způsoby se do toho kterého vrcholu dalo dostat přes n hran. Podívejme se na následující obrázek. Předpokládejme, že šnek leze z vrcholu označeného prázdným kolečkem do vrcholu označeného plným kolečkem. Na obrázku jsou u všech vrcholů vyznačeny počtyzpůsobů,jaksedonichlzedostatpřelezenímpořadějedné,dvou,tří,čtyřapětihran. Vypočítali jsme je postupně použitím výše popsané úvahy. Nyní se stačí podívat na čísla u cílovéhovrcholu.vidíme,žešnekmá6různýchcestnatřihranyvedoucíchdocíle,dalších6 využívajících pět hran a žádné jiné cesty po méně než pěti hranách neexistují. Opět jsme dospěli k celkovému počtu možností Dodatek: Předpokládejme(jako mnoho řešitelů této úlohy), že pokud se šnek dostane po třech hranách docílovéhovrcholu,cestapronějkončíaužnikamdálneleze.pakmusímeodprávěnalezeného počtu66odečístpočetcest,kterévedounatřihranydocíleapaksiještěodskočídojednohose třísousedníchvrcholůazpět.takovýchcestje6 3=18.Celkovýpočetmožností,jaksemůže šnekdostatdocíle,anižbyjímpředtímprošel,jetedypouze úloha Kolikjezlomků p q vzákladnímtvarutakových,že pq=2!a p q <1?8 Načísla paqklademezezadánítřipodmínky.zaprvémusíbýtnesoudělná,neboťzlomek p senemádátkrátit.zadruhémusíbýtsoučin p qrovenčíslu2!.třetípodmínku p < q q ponechejme zatím stranou a rozložme si 2! na prvočísla: 7 Prolepšípochopenívýrazu 5! 3! sipředstav,žezkoumášpočetmožností,jakdátzasebetři modré, jednu červenou a jednu zelenou kuličku. Kdyby měla každá kulička jinou barvu, tak je to 5!,aležemajítřistejnoubarvu,takmusímevýsledekvydělit3!. 8 Faktoriálzčísla n,zkráceně n!,ječíslo1 2 n.

5 2!= Znesoudělnosti paqplyne,žepokudnějakézprvočíseldělí p,paknemůžedělit q,atedy musídělit provnouvtémocnině,vekterédělíčíslo2!.totéžplatíinaopak.mezičitatele a jmenovatele tedy vlastně nerozdělujeme prvočísla, ale prvočísla ve svých úplných mocninách. Množinu těchto si označme M. M= {2 18,3 8,5 4,7 2,11,13,17,1}. Ukaždéhozosmiprvků Msivybíráme,zdahodámedočitatelenebodojmenovatele.Máme protocelkem2 8 =256možnostíjaksestavitzlomek,abyvyhovovalprvnímdvěmapodmínkám (pokud do jedné části zlomku zrovna nepřipadne nic, dáme tam jedničku). Teďjeještěpotřebazakomponovatdořešenípodmínku p < q.tojevšaksnadné,pokudsi uvědomíme,ževyhovuje-lizlomek a b prvnímdvěmapodmínkám,vyhovujejimizlomek b a.oněch 256 zlomků lze tedy uspořádat do dvojic navzájem vůči sobě převrácených zlomků, z nichž právě jedenbudevždyvětšínež1adruhýmenšínež1.naokrajsehodízmínit,žežádnýzlomekurčitě nebude roven jedné, jelikož čitatel a jmenovatel jsou vždy různá čísla. Hledanýpočetzlomkůjetedy256:2= úloha Mějme 25 kuliček, z nichž některé jsou bílé a některé černé, rozdělených do dvou krabiček. Pravděpodobnost, že vytáhneme z obou krabiček bílou kuličku, je,54. Spočti pravděpodobnost, že vytáhneme z obou krabiček černou kuličku. Označme c 1 > c 2 počtykuličekvevětšíamenšíkrabičce(rozumějsvětšímamenšímpočtem kuliček).zjevně c 1, c 2 >,abybylocotahat.dáleoznačme b 1, b 2 počtybílýchkuličekvevětší a menší krabičce. Pravděpodobnostvytáhnutíbílékuličkyzvětšíkrabičkyje b 1 c1,zmenšíkrabičky b 2 c2,aprotože jsou tyto pravděpodobnosti nezávislé, tak podle zadání platí cožpoúpravědává b 1 c 1 b2 c 2 =,54, 5b 1 b 2 =27c 1 c 2. Celkemjekuliček c 1 + c 2 =25azpředchozírovniceplyne5 c 1 c 2,mámetakjendvěmožnosti napočtykuličekvkrabičkách:(1): c 1 =2ac 2 =5nebo(2): c 1 =15ac 2 =1. (1) Jelikož27 b 1 b 2, b 2 c 2 a b 2 >,takjejedinoumožnostípromenšíkrabičku b 2 =3. Dopočtemzjistíme b 1 =18apravděpodobnostvytáhnutíčernýchkuličekzoboukrabičekjepak c 1 b 1 c2 b = 5 3 =,4. c 1 c (2) Protože b 1 b 2 = 27 5 c 1c 2 = = 81 a b 1, b 2 < 25, tak nutně b 1 = b 2 =. Pravděpodobnost vytáhnutí černých kuliček z obou krabiček je c 1 b 1 c2 b 2 15 = 1 =,4. c 1 c

6 V obou možných případech vyšla hledaná pravděpodobnost,4, což je odpověď na naši úlohu. 7. úloha Alčasidočtvercovésítě n nzapisuječíslatak,žečíslovkaždémpolíčkuodpovídápočtu obdélníkůvsíti,kteréhoobsahují.napříkladpro n=3: n+2 2 Dokaž,žesoučetvšechčíselvečtvercijeroven. 3 První řešení: Podívejmese,jakvtabulce n nvypadáčíslonapozici 1 [i, j],hledámetedyvšechnyobdélníky, ve kterých se tato pozice nachází. j 1 n j i 1 i j? n i Každý obdélník je jednoznačně zadán polohou svého levého horního a pravého spodního vrcholu. Pokud chceme, aby čtvereček[i, j] ležel uvnitř, máme pro výběr polohy levého horního rohucelkem i jmožností,neboťtenmusíležetněkdevhornímlevémobdélníku i j.obdobně můžemepravýspodnírohobdélníka,vekterémležíčtvereček[i, j],vybratcelkem(n i+1)(n j +1) možnostmi. Takto jsme popsali všechny obdélníky obsahující čtvereček[i, j], tudíž v něm budečíslo ij(n i+1)(n j+1). Hledáme-li součet všech čísel v tabulce n n, hledáme vlastně součet n n ij(n i+1)(n j+1)= i(n i+1) j(n j+1)= j=1 j=1 2 i(n i+1)!. Kombinačníčíslo `n k sedefinujejako n! k!(n k)! audávápočetmožností,jakznrozlišitelných předmětů vybrat k bez ohledu na pořadí výběru. 1 Pozicevlevonahořeje[1,1].

7 Nyní už stačí jen spočítat hledaný součet. Zde použijeme známé vztahy +2+ +n= n(n+1), 2 i 2 = n 2 = n(n+1)(2n+1). 6 Kdojenezná,taksesnimimůžeseznámitvnašíknihovněvpříspěvkusčitovanie(sčítánísum). Máme tedy i(n i+1)= (n+1)i i 2 =(n+1) i i 2 = = (n+1)n(n+1) n(n+1)(2n+1) = 2 6 n(n+1)(3n+3 2n 1) = = n(n+1)(n+2) = 6 6 n+2 =, 3 aprotonámcelkovýsoučetvychází `n+2 2,cožjsmechtělidokázat. 3 Druhé řešení trikové: Přeformulujeme-li zadání, hledáme vlastně počet dvojic[obdélník, políčko] takových, že obdélník obsahuje políčko. K řešení nám vystačí pouhá kombinatorická interpretace, počítejme počet těchto dvojic[obdélník, políčko]. Vezměmesidanoutabulku n napřidejmedvařádkyadvasloupce,vždyjedennazačátek ajedennakonectak,ženámvzniknetabulka(n+2) (n+2),kteráobsahujepůvodnítabulku uprostřed. Zvolme nyní tři řádky a tři sloupce, jako na obrázku. Každý takový výběr nám jednoznačně určuje dvojici[obdélník, políčko] v původním čtverci n n.prvníaposlednívybranýřádekspolečněsprvnímaposlednímsloupcemvytvoříhranice obdélníku, průnik druhého vybraného řádku a druhého vybraného sloupce označují hledané

8 políčko. Projdeme-li tedy všechny trojice řádků a sloupců, dostaneme libovolnou dvojici[obdélník,políčko].třiřádkyatřisloupcemůžemezvolitcelkem `n+2 2způsoby 3 11,cožjeisoučet vpůvodnítabulce n n. 8. úloha Mějme všechna devíticiferná čísla taková, že každá z číslic se v jejich desítkovém zápisu vyskytuje právě jednou a nula se zde nevyskytuje. Rozhodni, zda můžeme tato čísla rozdělit na dvě skupiny tak, že součet druhých mocnin čísel v první skupině je roven součtu druhých mocnin čísel ve skupině druhé. Rozdělení existuje, čísla přidělíme do skupin podle posledního trojčíslí. Symbol abc od teď budeznačittrojmístnéčíslosciframi a, b, cvtomtopořadí. Zkoušením pro trojciferná čísla s různými ciframi a, b, c bychom zjistili Toho hned využijeme v rovnosti abc 2 + bca 2 + cab 2 = acb 2 + bac 2 + cba 2, abc+bca+cab=acb+bac+cba. (k+ abc) 2 +(k+bca) 2 +(k+ cab) 2 =(k+ acb) 2 +(k+bac) 2 +(k+ cba) 2, která, jak by bylo vidno z roznásobení, platí pro libovolné celé číslo k. Každou skupinu čísel se shodným prvním šestičíslím umíme díky předchozí rovnosti rozdělit dodvouskupintak,žesebudesoučetjejichdruhýchmocninrovnat.číselješest,protožejsou zbylé tři cifry až na své pořadí jednoznačně určeny. šestičíslí abc 2 +šestičíslí bca 2 +šestičíslí cab 2 =šestičíslí acb 2 +šestičíslí bac 2 +šestičíslí cba 2. Všechna čísla jsme rozdělili, úloha je vyřešena. 11 Dvakrátvybírámetrojicez(n+2)-tic.