Učební text k přednášce UFY102

Transkript

1 Učební text k přeášce UFY0 Lom hranoem ámavé stěny ámavá hrana ámavý úhe ϕ deviace δ úhe, o který je po výstupu z hranou vychýen světený paprsek ežící v rovině komé k ámavé hraně (v tzv. havním řezu hranou), který se áma na obou ámavých stěnách Obr. LH. Havní řez ámavého hranou. Z obrázku je zřejmé, že patí δ + ϕ () ϕ β + β () čii δ + ) ( β + ) (3) ( β Zákon omu pro první a druhé rozhraní sin nsin β (4a) sin nsin β (4b) Aby světo hranoem vůbec prošo, musí být úhe dopadu na druhé rozhraní β menší než mezní úhe β, tj. z (4b) a () pyne sin β n β > ϕ β sin( ϕ β ) < sin β a tedy. Ze (4a) potom vypyne podmínka pro úhe dopadu na rozhraní sin sin0 nsin( ϕ β kde 0 je úhe dopadu na první rozhraní, při kterém bude β β )

2 Učební text k přeášce UFY0 Z nerovnosti nsin( ϕ β ) sin( ϕ β ) sin β n vypývá omezující podmínka pro ámavý úhe ϕ β (5) a ze vztahu sin sin0 nsin( ϕ β ) dostáváme omezující podmínku pro úhe dopadu na první rozhraní arcsin( nsin( ϕ β )) (6) 0 Protože ámavý úhe hranou musí být menší než dvojnásobek mezního úhu, dopadající a prošé paprsky jsou charakterizovány násedujícími podmínkami: 0 < < > > 0 V závisosti na veikosti ámavého úhu mohou nastat čtyři případy:. ϕ β, potom ze vztahu (??) vypývá, že sin, tedy 90 a žáý paprsek hranoem neprojde.. β < ϕ < β, potom úhe ϕ - β nabývá hoot mezi 0 a β a 0 nsin( ϕ β ) <, < a tedy úhe dopadu může nabývat hoot mezi 0 a 90 a úhe mezi 90 a 0 ( 0 > 0). 3. ϕ β, potom 0 0 a všechny paprsky s úhem dopadu v intervau 0, 90 hranoem procházejí < ϕ < β, potom 0 je záporné a všechny paprsky s úhem dopadu v intervau,90 0 hranoem procházejí. Ze (4b) s užitím () a (4a) ze vyjádřit úhe arcsin( nsin β ) arcsin arcsin sin ( ϕ n sin sin cosϕ ) [ nsin( ϕ β )] arcsin[ n(sinϕ sin β cosϕ) ] a dosazením do () vyjádřit deviaci jako funkci úhu dopadu ( sinϕ sin sin ϕ ) ϕ δ + arcsin n cos (7) Závisost deviace δ na úhu dopadu pro hrano s ámavým úhem ϕ 60 a indexem omu n,5 je znázorněna na Obr. LH.

3 Učební text k přeášce UFY0 Sečteme-i (4a) a (4b) sin + sin n (sin β + sin β) upravíme + sin cos β + β β n.sin cos β a dosazením z () a () nakonec odvodíme vztah δ + ϕ β β sin cos ϕ sin cos (8) ο + 0 ϕ deviace δ (deg) δ min 30 0 min úhe dopadu (deg) Obr. LH. Závisost deviace na úhu dopadu pro hrano s ámavým úhem ϕ 60 a indexem omu n,5. inimání deviaci δ min určíme z podmínky 0 Z () v případě minimání deviace (podmínka (9)) dostáváme a diferencováním (3) a (4) dostáváme dβ dβ (9) (0) 3

4 Učební text k přeášce UFY0 ze (4a) ze (4b) dβ cos n cos n cos dβ β a odtud cos cos Z (7) a (8) pro minimání deviaci získáme podmínku cos 0 cos Umocněním a dosazením z (4) nakonec dojdeme k rovnici () () n sin β n sin β, která bude spněna pokud β β β a tedy (druhý kořen rovnice výše, β β, impikuje ϕ 0 a nemá tudíž fyzikání smys). To, že se jeá o minimum ze ukázat výpočtem druhé derivace. Jeodušeji to ze ukázat z průběhu deviace jako funkce úhu dopadu v intervau,90 0 : pro 0 90 cos 0 z (0) d pro 90 0 cos 0 z (0), čii derivace deviace pode úhu dopadu je na intervau,90 0 rostoucí funkcí a tudíž funkce δ δ( ) na tomto intervau prochází minimem. Při minimání deviaci tedy nastává symetrický chod světeného paprsku hranoem, neboť ze vztahů () a () vypývá δ min ϕ a ϕ β 4

5 Učební text k přeášce UFY0 Obr. LH3: Symetrický chod paprsků hranoem při minimání deviaci. Dosazením do (4b) potom dostáváme podmínku pro úhe dopadu při minimání deviaci min ϕ min arcsin n sin V případě minimání deviace potom z (6) vypývá známý vztah ϕ + δ min sin sin n, (3) sin β ϕ sin který je používán pro určování indexu omu ska. Změříme-i minimání deviaci δ min a ámavý úhe ϕ pomocí hranoového spektrometru, můžeme ze vztahu (3) stanovit pro danou vnovou déku index omu hranou n. ámavý úhe ϕ minimání úhe dopadu 0 minimání deviace δ min úhe dopadu při minimání deviaci min Tab. LH: inimání úhe dopadu, minimání deviace a úhe dopadu při minimání deviaci pro různé ámavé úhy. Hooty uvedené v tabuce byy vypočteny pro hrano s indexem omu n,5. Z hooty mezního úhu (β arcsin(/n) 4 49 ) vypývá omezující podmínka pro ámavý úhe ϕ < β Záporné hooty úhu dopadu znamenají, že dopadající paprsek eží vpravo od komice dopadu (úhe měříme od komice k paprsku). 5

6 Učební text k přeášce UFY0 Disperze hranou Index omu hranou je funkcí vnové déky λ (obr. LH4) n n(λ) a proto i deviace δ bude záviset na λ δ δ (λ) Úhovou disperzi definujeme vztahem D (4) dλ dλ Zatímco první faktor na pravé straně vztahu (4) zcea závisí na geometrickém uspořádání, druhý charakterizuje disperzi materiáu, z něhož je hrano vyroben. Protože úhe dopadu.530 index omu vnová déka (nm) Obr. LH4: Závisost indexu omu na vnové déce pro sko BK7 (Schott). nezávisí na vnové déce světa (předpokádáme, že na ámavou stěnu hranou dopadá koimovaný svazek a úhe dopadu je tudíž stejný pro všechny vnové déky), dostáváme diferencováním (3) a () d β dβ a z (4) dβ sin β + n d dβ cos n sin β + a odtud eiminujeme 0 6

7 Učební text k přeášce UFY0 ( β + β ) sin sinϕ cos cos (5) Obr. LH5: Rozkad světa hranoem. O ϕ f vstupní šterbina A b B výstupní štěrbina předmětová rovina koimátor kondenzor obrazová rovina Obr. LH6: Schéma hranoového spektrografu (průchod světa při minimání deviaci). Za podmínky minimání deviace bude mít vztah (5) tvar ϕ ϕ ϕ sin cos OBsin sinϕ sinϕ b (6) cos ϕ ϕ coscos coscos OB cos kde označuje příčný rozměr světeného svazku a b rozměr zákay hranou (viz obr. LH6). Dosazením do vztahu (4) potom dostáváme pro úhovou disperzi hranou vztah D b (7) dλ S užitím (7) potom můžeme vyjádřit změnu deviace Δ δ při změně vnové déky λ o Δ λ 7

8 Učební text k přeášce UFY0 b Δ δ Δ λ (8) dλ Lineární disperzi hranoového spektrometru na obr. LH6 potom můžeme vyjádřit jako b (9) λ D fd f d kde f je ohnisková vzdáenost kondenzoru. Pro b 4 cm, D dλ 4-0 nm cm 4, a f 0 cm bude.0 rad/nm a m/nm. Reciproká ineární disperze p tom bude D D 5 nm/mm, tedy na mm v obrazové rovině spektrometru pae interva vnových déek široký 5 nm. D r Pokud jde o rozišovací schopnost hranoového spektrometru, pode Rayeighova kritéria musí být (omezený příčný rozměr svazku představuje šířku "štěrbiny") úhová vzdáenost centráních ohybových maxim vnové déky λ a λ + Δ λ aespoň λ Δ δ (0) S užitím vztahu (8) dostáváme b λ Δ δ Δ λ () dλ Odtud snao získáme vztah pro rozišovací schopnost (Resoving Power) λ RP.. b Δλ d λ Pro výše uvedený příkad bude -4-3 RP.. 4 cm. 0 nm To znamená, že pro λ 500 nm jsme schopni rozišit dvě vnové déky išící se o 500 nm Δ λ 0,5 nm () 8