FORUM STATISTICUM SLOVACUM

Transkript

1 Slovenská štatistická a demogafická spoločnosť Slovak Statistical and Demogaphic Society FORUM STATISTICUM SLOVACUM ecenzovaný vedecký časopis scientific pee-eviewed jounal Ročník Volume XIV Číslo Issue 2/208

2 FORUM STATISTICUM SLOVACUM ecenzovaný vedecký časopis Slovenskej štatistickej a demogafickej spoločnosti scientific pee-eviewed jounal of Slovak Statistical and Demogaphic Society Ročník/Volume: 4 Číslo/Issue: 2/08 Výkonná ada/executive boad Pedsedníčka/Head Iveta Stankovičová Výkonný edakto/executive Redacto Tomáš Želinský Technická edaktoka/technical Redacto Janka Medová Členovia/Membes Matin Boďa Bois Bucin Viea Labudová Ivan Lichne Ľubica Sipková Redakčná ada/editoial boad Jitka Batošová Banislav Bleha Ľudmila Ivančíková Stanislav Katina Jozef Komoník Jana Kubanová Dagma Kusendová Jitka Langhamová Bohdan Linda Tomáš Löste Dagma Makechová Silvia Megyesiová Oľga Nánásiová Viliam Páleník Maek Radvanský Hana Řezanková Anna Tipáková Vladimí Úadníček Máia Vojtková Vydavateľ: Slovenská štatistická a demogafická spoločnosť, Miletičova 3, Batislava. Publishe: Slovak Statistical and Demogaphic Society, Miletičova 3, Batislava, Slovakia. Adesa edakcie/editoial office: Miletičova 3, Batislava, Slovakia. IČO/Company ID: DIČ/Tax ID: adm.ssds@ssds.sk Registáciu vykonalo Ministestvo kultúy Slovenskej epubliky. Dátum egistácie: 27. júl Evidenčné číslo: EV 3287/09. Tematická skupina: B. Peiodicita: minimálne dvakát očne. ISSN Registed by: The Ministy of Cultue of the Slovak Republic. Date of egistation: 27 July No: EV 3287/09. Topic goup: B. Peiodicity: minimum twice a yea. ISSN

3 FORUM STATISTICUM SLOVACUM Vol 4 (208) No 2 pp -8 Pokoky v modelování ekonomických dat pomocí spojitých pavděpodobnostních ozdělení Advances in Modeling Economic Data Using Continuous Pobability Distibutions Diana Bílková Vysoká škola ekonomická v Paze; Fakulta infomatiky a statistiky; nám. W. Chuchilla 938/4; Paha 3; Česká Republika Univesity of Economics, Pague; Faculty of Infomatics and Statistics; Sq. W. Chuchill 938/4; Pague 3; Czech Republic diana.bilkova@vse.cz Abstakt: Tento článek se zabývá pokočilými nástoji po modelování ekonomických dat s využitím obustních metod bodového odhadu paametů. Představeny jsou výhody využití metody L-momentů opoti běžné metodě využívající klasických centálních momentů. Článek se dále zabývá ovněž výhodami použití metody TL-momentů a metody LQ-momentů opoti použití původní metody L-momentů. TL-momenty a LQ-momenty představují altenativní obustní veze L-momentů. Vydatnost TL-statistik a LQ-statistik však často předčí vydatnost klasických L-statistik. Abstact: This pape deals with advanced tools fo modeling economic data using obust methods of point estimation of paametes. The advantages of using the L-moment method vesus the conventional method using classical cental moments ae pesented. The pape also deals with the advantages of using the TL-moment method and LQ-moment method vesus the use of the oiginal L-moment method. TL-moments and LQ-moments epesent an altenative obust vesion of L-moments. Howeve, the efficiency of TL-statistics and LQstatistics often exceeds the efficiency of standad L-statistics. Kľúčové slová: Vydatnost statistik, L-momenty pavděpodobnostních ozdělení, TL-momenty pavděpodobnostních ozdělení, LQ-momenty pavděpodobnostních ozdělení. Key wods: Efficiency of statistics, L-moments of pobability distibution, TL-moments of pobability distibution, LQ-moments of pobability distibution. Úvod Po chaakteizování pavděpodobnostního ozdělení nebo pozoovaného datového soubou se ve statistice tadičně používá momentů nebo kumulantů tohoto ozdělení. Při konstukci vhodného paametického ozdělení po jistý datový soubo je ovněž běžné využití momentové metody odhadu paametů. Momentová metoda odhadu paametů nepřináší vždy uspokojivé výsledky. Někdy je obtížné přesně stanovit, jaká infomace o tvau ozdělení je vyjádřena jeho momenty třetího a vyššího řádu. Číselné hodnoty výběových momentů, zejména, jedná-li se o malý výbě, se mohou velmi lišit od hodnot teoetických momentů pavděpodobnostního ozdělení, ze kteého náhodný výbě pochází. Odhady paametů pavděpodobnostního ozdělení pořízené momentovou metodou jsou často výazně méně přesné než odhady získané s využitím jiných

4 2 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 postupů, jako je např. metoda maximální věohodnosti, a to zejména v případě malých výběů. Altenativní přístup při konstukci vhodného paametického ozdělení po uvažovaný datový soubo spočívá ve využití tzv. pořádkových statistik. Nechť X je náhodná veličina mající ozdělení spojitého typu s distibuční funkcí F(x) a kvantilovou funkcí x(f) a nechť X, X2,, Xn je náhodný výbě ozsahu n z tohoto ozdělení. Potom X : n X 2: n... X n: n jsou pořádkové statistiky náhodného výběu ozsahu n, kteý pochází z ozdělení náhodné veličiny X. 2 L-momenty L-momenty tvoří základ obecné teoie, kteá zahnuje sumaizaci a popis teoetických pavděpodobnostních ozdělení, sumaizaci a popis získaných výběových datových souboů, odhad paametů teoetických pavděpodobnostních ozdělení a testování hypotéz o hodnotách paametů teoetických pavděpodobnostních ozdělení. Na základě lineáních kombinací pořádkových statistik, tj. L-statistik, lze odhadnout tzv. L-momenty, kteé jsou analogií konvenčních momentů. L-momenty jsou altenativním systémem popisujícím tva ozdělení pavděpodobností. Teoie L-momentů zahnuje takové zavedené postupy, jako je využití pořádkových statistik a Giniho střední difeence a vede k někteým slibným inovacím v oblasti měření šikmosti a špičatosti ozdělení a přináší elativně nové metody paametického odhadu po individuální ozdělení. L-momenty mohou být definovány po jakoukoliv náhodnou veličinu, jejíž střední hodnota existuje. Hlavní výhoda L-momentů opoti konvenčním momentům spočívá v tom, že L-momenty lze odhadnout na základě lineáních funkcí dat a jsou více odolné vůči vlivu výběové vaiability. L- momenty jsou více obustní opoti konvenčním momentům k existenci odlehlých pozoování v datech a umožňují lepší závěy získané na základě malých výběů o základním pavděpodobnostním ozdělení. L-momenty někdy přinášejí dokonce vydatnější odhady paametů paametických ozdělení než odhady pořízené metodou maximální věohodnosti, zejména v případě malých výběů. L-momenty mají učité teoetické výhody opoti konvenčním momentům spočívající ve schopnosti chaakteizovat šiší ozpětí ozdělení a při odhadování z výběu mají větší odolnost k přítomnosti odlehlých pozoování v datech. Zkušenosti ve sovnání s konvenčními momenty ovněž ukazují, že L-momenty jsou méně náchylné ke zkeslení odhadu a apoximace asymptotickým nomálním ozdělením je v konečných výběech přesnější. 2. L-momenty pavděpodobnostních ozdělení L-moment -tého řádu náhodné veličiny X je definován

5 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 3 = j ( ) E( X j: ), =, 2,... () j = 0 j Střední hodnota -té pořádkové statistiky náhodného výběu ozsahu n má tva kde n! n E( X : n) = x( F) [ F( x)] [ F( x)] d F( x). ( )! ( n )! (2) 0 Jestliže dosadíme vztah (2) do vztahu (), získáváme po úpavách ( ) = x F P [ F( x)] d F( x), =, 2,..., (3) 0 j = ( ) j j= 0 j j [ ( )] j = [ ( )] a P F x p, j F x p, + j, přičemž P [ F( x)] představuje -tý posunutý Legendeův polynom. Dosazením (2) do vztahu () získáváme ovněž j! = ( ) 0 ( )!! j= j j j 0 x( F) [ F( x)] j [ F( x)] j d F( x), =, 2,... Písmeno L v názvu L-momenty zdůazňuje, že -tý L-moment λ je funkcí střední hodnoty jisté lineání kombinace pořádkových statistik. Vlastní odhad - tého L-momentu λ založený na získaném výběu dat je potom lineání kombinací uspořádaných datových hodnot, tj. L-statistik. Pvní čtyři L-momenty pavděpodobnostního ozdělení jsou nyní definovány = E( X ) = x( F) d F( ), (6) : x 0 2 = E( X 2:2 X :2) = x( F) [2 F( x) ] d F( x), 2 (7) = E ( X 3:3 2X 2:3 + X :3) = x( F) {6[ F( x)] 6 F( x) + } d F( x), 3 (8) = E( X 4:4 3X 3:4 + 3X 2:4 X ) = x( F) {20[ F( x)] 30[ F( x)] + 2[ F( x)] } d F( x). 4 : 4 (9) 0 Pavděpodobnostní ozdělení může být specifikováno svými L-momenty dokonce i tehdy, jestliže někteé z jeho konvenčních momentů neexistují, opak ale neplatí. Lze dokázat, že pvní L-moment λ je chaakteistikou polohy daného pavděpodobnostního ozdělení, duhý L-moment λ2 je chaakteistikou vaiability náhodné veličiny X. Často je vhodné standadizovat vyšší L-momenty λ, 3, aby byly nezávislé na měných jednotkách náhodné veličiny X. Pomě L- momentů -tého řádu náhodné veličiny X je definován =, = 3, 4,... (0) 2 (4) (5)

6 4 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Možné je ovněž definovat takovou funkci L-momentů, kteá je analogií klasického vaiačního koeficientu, tj. tzv. L-vaiační koeficient 2 =. () Pomě L-momentů τ3 je chaakteistikou šikmosti a pomě L-momentů τ4 je chaakteistikou špičatosti příslušného pavděpodobnostního ozdělení. Hlavní vlastnosti pavděpodobnostního ozdělení jsou tedy velmi dobře shnuty následujícími čtyřmi chaakteistikami: L-poloha λ, L-vaiabilita λ2, L-šikmost τ3 a L-špičatost τ4. L-momenty λ a λ2, L-vaiační koeficient τ a poměy L-momentů τ3 a τ4 jsou nejužitečnější chaakteistiky po sumaizaci pavděpodobnostního ozdělení. Jejich nejdůležitějšími vlastnostmi jsou jejich existence (jestliže existuje střední hodnota ozdělení, potom existují všechny L-momenty) a jedinečnost (jestliže existuje střední hodnota ozdělení, potom L-momenty definují jediné ozdělení, tj. žádná dvě ozdělení nemají stejné L-momenty). 2.2 Výběové L-momenty L-momenty obvykle odhadujeme pomocí náhodného výběu pořízeného z neznámého ozdělení. Potože -tý L-moment λ je funkcí středních hodnot pořádkových statistik náhodného výběu ozsahu, je přiozené odhadnout jej s využitím tzv. U-statistiky, tj. odpovídající funkce výběových pořádkových statistik (půměováno přes všechny dílčí podsouboy ozsahu, kteé mohou být vytvořeny ze získaného náhodného výběu ozsahu n). Nechť x, x2,, xn je výbě a x: n x2: n... xn: n je uspořádaný výbě. Potom -tý výběový L-moment může být zapsán jako n = l... ( ) j i i2... i n j = 0 Odtud pvní čtyři výběové L-momenty mají tva n = x i i l, x j i j : n, =, 2,..., n. (2) (3) n l = 2 2 ( x 2 ) i: n x j: n i j, (4) l n l = ( 2 ), 3 3 x i: n x + (5) j: n k: n 3 x i j k n = ( 3 3 ). 4 4 x : x + i n x (6) j: n k: n l: n 4 x i j k l

7 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 5 U-statistiky jsou šioce využívány především v oblasti nepaametické statistiky. Jejich kladnými vlastnostmi jsou nestannost, asymptotická nomalita a učitá míná odolnost vzhledem k vlivu odlehlých pozoování. Při výpočtu -tého výběového L-momentu není nezbytné iteovat přes všechny dílčí podsouboy ozsahu, ale tuto statistiku lze vyjádřit přímo, jako lineání kombinaci pořádkových statistik náhodného výběu ozsahu n. Budemeli uvažovat odhad E(X:) pořízený s využitím U-statistik, může být tento odhad zapsán jako b, kde konkétně tedy obecně kde b n n j = b :, x j n n (7) j = + n = b x :, 0 j n n (8) j = n ( j ) = b x :, n n j ( n ) (9) j = 2 n ( j ) ( j 2) = b :, 2 x n n j (20) ( n ) ( n 2) j = 3 ( j ) ( j 2)... ( j ) ( n ) ( n 2)... ( n ) n = x : n n j j = + Pvní čtyři výběové L-momenty mohou být tedy zapsány jako b0, l = (22) Obecně tedy můžeme psát p, k l l. (2) = 2b 0, (23) 2 b = b 6b, (24) l b0 = 20b 30b + 2b 0. (25) b k = 0 = l, = 0,,..., n, + p bk (26), k k k + k ( ) ( + k)! = ( ) =. k k 2 (27) ( k!) ( k)! Využití výběových L-momentů je podobné, jako využití výběových konvenčních momentů. Výběové L-momenty sumaizují základní vlastnosti výběového ozdělení, kteými jsou poloha (úoveň), vaiabilita, šikmost a

8 6 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 špičatost. Výběové L-momenty takto odhadují odpovídající vlastnosti pavděpodobnostního ozdělení, ze kteého výbě pochází, a mohou být použity při odhadování paametů příslušného teoetického pavděpodobnostního ozdělení. V ámci takovýchto aplikací L-momenty často pefeujeme před konvenčními momenty, neboť jakožto lineání funkce dat, jsou výběové L- momenty méně citlivé na výběovou vaiabilitu než konvenční momenty, případně na velikost chyb v případě existence odlehlých pozoování. L-momenty poto vedou k přesnějším a obustnějším odhadům chaakteistik či paametů základního pavděpodobnostního ozdělení. Výběové L-momenty byly ve statistice použity již dříve, i když ne jako součást jednotné teoie. Pvní výběový L-moment l je výběová L-poloha (výběový půmě), duhý výběový L-moment l2 je výběová L-vaiabilita. Přiozeným odhadem poměu L-momentů (0) je výběový pomě L-momentů l t =, = 3, 4,.... (28) l 2 Odtud t3 je výběová L-šikmost a t4 je výběová L-špičatost. Výběové poměy L-momentů t3 a t4 můžeme použít jako chaakteistiky šikmosti a špičatosti výběového datového soubou. S výběovými L-momenty souvisí Giniho střední difeence, kteá má tva n G = ( xi : n x j : n), (29) 2 i j a Giniho koeficient, kteý např. v případě dvoupaametického lognomálního ozdělení závisí pouze na jediném paametu σ, ale v případě třípaametického lognomálního ozdělení závisí na hodnotách všech tří paametů. Poblematikou L-momentů se podobně zabývají (Hosking, 990), (Hosking & Wallis, 997) nebo (Kyselý & Picek, 2007). 3 TL-momenty Nyní bude představena altenativní obustní veze L-momentů, kteou nazýváme upavené L-momenty a značíme TL-momenty (timmed L- moments), u nichž jsou střední hodnoty pořádkových statistik náhodného výběu v definici L-momentů pavděpodobnostních ozdělení nahazeny středními hodnotami pořádkových statistik většího náhodného výběu, přičemž ozsah výběu oste tak, aby odpovídal celkové velikosti úpavy. TL-momenty mají jisté výhody opoti běžným L-momentům a centálním momentům. TL-moment pavděpodobnostního ozdělení může existovat, přestože odpovídající L-moment nebo centální moment tohoto pavděpodobnostního ozdělení neexistuje, jako je tomu v případě Cauchyho ozdělení. Výběové TL-momenty jsou odolnější vzhledem k odlehlým

9 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 7 pozoováním v datech. Metoda TL-momentů není učena po nahazení stávajících obustních metod, nýbž spíše jako jejich doplněk, a to zejména v situacích, kdy máme odlehlé hodnoty v datech. 3. TL-momenty pavděpodobnostních ozdělení V této altenativní obustní modifikaci L-momentů je střední hodnota E(X-j:) nahazena střední hodnotou E(X+t j: +t+t2). Tudíž po každé zvyšujeme ozsah náhodného výběu z na + t + t2 a pacujeme pouze se středními hodnotami pořádkových statistik Xt+:+t+t2, Xt+2:+t+t2,, Xt+:+t+t2 úpavou t a t2 (pořadí nejmenší a největší hodnoty z koncepčního výběu). Tuto (, 2) modifikaci nazýváme -tý upavený L-moment (TL-moment) a značíme jej t t. Tudíž TL-moment -tého řádu náhodné veličiny X je definován ( t, t 2) = ( ) j E( X + : + + 2), =, = 0 j t j t t j 2,.... Ze vztahů (30) a () je zřejmé, že TL-momenty se zjednoduší na L-momenty, jestliže t = t2 = 0. Přestože můžeme uvažovat ovněž aplikace, kdy se hodnoty úpavy neovnají, tj. t t2, zaměříme se zde pouze na symetický případ t = t2 = t, potom (30) můžeme přepsat (30) ( ) = t j ( ) E( X + t j: + 2t ), =, 2,.... (3) j = 0 j ( t) Tudíž například = E( X + t: + 2t) je střední hodnota mediánu z koncepčního náhodného výběu ozsahu + 2t. Je zde třeba ještě poznamenat, že ( t ) bude ovné nule po ozdělení, kteá jsou symetická okolo nuly. Po t = mají pvní čtyři TL-momenty tva () X = E( 3 ), (32) 2: () 2 = E( X 3:4 X 2:4), 2 (33) () 3 = E ( X 4:5 2X 3:5 + X 2:5), (34) 3 () 4 = E( X 5:6 3X 4:6 + 3X 3:6 X 2:6). (35) 4 () () () ( ) Poznamenejme, že na, 2, 3 a 4 jsou založeny míy polohy, vaiability, šikmosti a špičatosti pavděpodobnostního ozdělení analogické běžným L- momentům (6) (9). S využitím (2) můžeme opětovně vyjádřit pavou stanu výazu (3) ) j ( + 2t)! + t j t + j = ( ) x( F) [ F( x)] [ F( x)] d F( x),, 2,... 0 ( + )! ( + )! = j= j t j t j 0 (36) ( t

10 8 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Je zde třeba upozonit, že ( 0) = představuje nomální -tý L-moment, kteému nepřísluší žádná úpava. Výazy (32) (35) po pvní čtyři TL-momenty, kde t =, lze zapsat altenativním způsobem ( = 6 x( F) [ F( x)] [ F( x)] d F( ), (37) ) x 0 () = 6 x( F) [ F( x)] [ F( x)] [2 F( x) ] d F( ), (38) 2 x 0 20 () ( ) [ ( )] [ ( )] {5[ ( )] 2 3 = x F F x F x F x 5 F( x) + }d F( x), 3 (39) 0 5 () 3 ( ) [ ( )] [ ( )] {4[ ( )] 2[ ( )] 2 4 = x F F x F x F x F x + 9[ F( x)] ] d F( x). (40) 2 0 Rozdělení může být učeno svými TL-momenty, i když někteé jeho L- momenty a konvenční momenty neexistují; například ( ) (střední hodnota mediánu koncepčního náhodného výběu ozsahu tři) po Cauchyho ozdělení existuje, přestože pvní L-moment λ neexistuje. TL-šikmost 3t ( ) t a TL-špičatost ) definujeme analogicky jako L-šikmost 3 a L- ( 4 špičatost 4 ( t) ( t ) 3 3 =, (4) ( t) 2 ( t) ( t ) 4 4 =. ( t) (42) Výběové TL-momenty Nechť x, x2,, xn je výbě a x x... x je uspořádaný výbě. Výaz : n 2: n n: n n i n i Ê( X j+ : j+ l+ ) = x n i= j l j + l + je považován za nezkeslený odhad střední hodnoty (j + )-té pořádkové statistiky Xj+:j+l+ v koncepčním náhodném výběu ozsahu (j + l + ). Nyní budeme předpokládat, že v definici -tého TL-momentu (t) v (3) nahadíme výaz E(X+t j:+2t ) jeho nezkesleným odhadem Ê i : n n i n i ) = x n i= + t j t + j + 2t ( X + t j: + 2t i : n kteý získáme přiřazením j + t j a l t + j v (43). Nyní získáváme -tý výběový TL-moment, (43) (44)

11 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 9, 2..., 2,, ), ( ) ( 0 ( 2 : ) t n X Ê j l j t j t j t = = = + + (45) t.j., 2..., 2,,, 2 ) ( 0 ( : ) t n x j t i n j t i t n j l j n i n i j t = = = = (46) což je nezkeslený odhad -tého TL-momentu. t ) ( Poznamenejme, že po každé j = 0,,, jsou hodnoty xi:n v (46) vzhledem ke kombinačním číslům nenulové pouze po + t j i n t j. Jednoduchá úpava vztahu (46) poskytuje altenativní lineání fomu. 2 ) ( : 0 ) ( + = = = t n t i n i j j t x t n j t i n j t i j l (47) Například po = získáváme po pvní výběový TL-moment, : ) : ) ( ( + = = t n t i n i i t n t x w l (48) kde váhy jsou dány vztahem. 2 ) : ( + = t n t i n t i w t n i (49) Výše uvedené výsledky lze použít po odhad TL-šikmosti ) ( 3t a TL-špičatosti ) ( 4 t jednoduchými podíly, ) ) ) ( 2 ( 3 ( 3 l l t t t t = (50). ) ) ) ( 2 ( 4 ( 4 l l t t t t = (5) Můžeme vybat t = nα představující velikost úpavy od každého konce výběu, kde α je učitý podíl, kde 0 α < 0,5. Poblematikou TL-momentů se podobně zabývají například (Elami & Seheult, 2003) nebo (Shahzad & Asgha, 203). 4 LQ-momenty L-momenty, učité lineání funkce středních hodnot pořádkových statistik představil (Sillitto, 95) a komplexně evidoval (Hosking, 990). L-momenty našly šioké uplatnění v takových oblastech aplikovaného výzkumu, jako je stavebnictví, meteoologie a hydologie. Zde je pezentována třída jejich analogií označovaných LQ-momenty získaných nahazením středních hodnot funkcionály, kteé indukují ychlé (quick) odhady, jako je medián, timean

12 0 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 a Gastwith. LQ-momenty momenty existují vždy a jsou jednodušší k vyhodnocení a odhadu. Míy šikmosti a špičatosti založené na LQ-momentech mohou být použity jako vhodnější a efektivnější altenativy k tadičním beta koeficientům. V ámci LQ-momentů jsou pezentována jednoduchá explicitní schémata po jejich odhad s využitím snadno dostupných výběových kvantilů. Jednoduchost jejich analýz je demonstována z hlediska asymptotických ozdělení odhadů LQ-momentů, LQ-šikmosti a LQ-špičatosti. Diskutována je aplikace na poblematiku extémních hodnot v analýze povodňových dat v hydologii a je načtnuto několik potenciálních aplikací. Poblematikou LQmomentů se zabývají například (Mudholka & Hutson, 998). (Shabi & Jemain, 2006) aplikují LQ-momenty na lognomální ozdělení, (Shabi & Jemain, 2007) se dále zabývají statistickou analýzou extémních událostí nebo (Shabi & Jemain, 200) řeší poblematiku LQ-momentů v souvislosti s odhadováním paametů kappa ozdělení. 4. LQ-momenty pavděpodobnostních ozdělení L-moment -tého řádu náhodné veličiny X je definován vztahem (). Analogicky definujeme -tý LQ-moment ξ kde 0 α ½, 0 p ½ a = ( ) k, ( : ), =, 2,..., p X k (52) k= 0 k ) ( ) + ( 2 ) (/ 2) + ( ), : = pq p Q pq p k X X. (53) ( X k: k: X k: Z ovnic () a (52) je zřejmé, že střední hodnota E( ) na místě τp,α( ) v ovnici (52) definuje L-momenty. Další možné zevšeobecnění L-momentů zahnující nahazení střední hodnoty v ovnici () je možné jeho TL-momentem. Lineání kombinace τp,α definovaná ovnicí (53) je ychlá (quick) mía polohy výběového ozdělení pořádkové statistiky X k:. Adepty po τp,α zahnují funkcionály geneující běžné ychlé estimátoy, tj. Medián: Q X, k : 2 Timean: Q Q 2 + Q 4, X k: X k: : 4 2 X k 4 2 Gastwith: 0,3 Q + 0,4Q + 0,3Q. X k: X k: : 3 2 X k 3 Při výběu z nomálního ozdělení, estimáto LQ-momentů založený na Gastwith je nejvydatnější mezi možnostmi danými ovnicemi (54) (56). Ve většině paktických aplikací zahnujících LQ-momenty, např. klasifikace hustot a paametický odhad, se obvykle používají pouze pvní čtyři LQ-momenty náhodné veličiny X (54) (55) (56)

13 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 ( ), (57) = p, X 2 = p, ( X 2:2) p, ( X :2), (58) 2 = p, ( X 3:3) 2p, ( X 2:3) + p, ( :3), (59) 3 3 X 4 = p, ( X 4:4) 3p, ( X 3:4) + 3p, ( X 2:4) p, ( X :4). (60) 4 Je zřejmé, že míy polohy τp,α( ) existují po jakoukoliv náhodnou veličinu X. Tudíž, -tý LQ-moment {ξ: =, 2, } vždy existuje a je unikátní, jestliže distibuční funkce FX( ) je spojitá. Komě toho, vyhodnocení LQ-momentů jakéhokoliv spojitého ozdělení se zjednodušuje s využitím následujícího tvzení. Jestliže QX( ) = FX ( ) je kvantilová funkce náhodné veličiny X, potom ychlá mía polohy definovaná ovnicí (53) je ekvivalentní ovnici p, ( X k : ) = pq [ B k : ( )] + ( 2p) Q [ B k : ( 2)] + pq [ B k : ( )], (6) X X kde B ( k ) : znamená odpovídající α-tý kvantil beta ozdělené náhodné veličiny s paamety k a k +. Koeficienty šikmosti a špičatosti hály důležitou oli v klasifikaci statistických ozdělení, při konstukci vhodných modelů ozdělení a při odhadování paametů. Vzhledem k jejich užitečnosti a kvůli někteým nedostatkům těchto koeficientů, například jejich občasné neexistenci, byly definovány altenativní míy šikmosti a špičatosti. Zahnují ůzné klasické míy i elativně nové míy jako a ( ) [ F = F ( u) + F ( u) 2m ]/[ F ( u) + F ( u F )]. (62) U Míy špičatosti založené na kvantilech po symetická ozdělení zahnují [ Q(0,75 + u) + Q(0,75 u) 2Q(0,75)]/[ Q(0,75 + u) Q(0,75 u)], 0 u < 4 (63) [ Q(0,5 + u) Q(0,5 u)]/[ Q(0,75) Q(0,25)], 0 u < 2. (64) (Hosking, 990) definuje poměy τ3 a τ4 zvané L-šikmost a L-špičatost jako = a 4 =, (65) 2 2 nabízí je jako novou altenativu ke koeficientům šikmosti a špičatosti a popisuje jejich využití v klasifikaci ozdělení. (Hosking, 990) ukázal, že τ3 splňuje konvexní uspořádání a τ4 zachovává van Zwetovo symetické uspořádání. Rovněž ukázal, že po nezdegeneovaná ozdělení s konečnými půměy, platí < 3 < 2 a ( 5 3 ) / 4 4 <. Míy šikmosti a špičatosti η3 a η4 založené na poměech LQ-momentů se nazývají LQ-šikmost a LQ-špičatost a jsou definovány X

14 2 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ = a 4 =. (66) 2 Je třeba zmínit, že LQ-šikmost a LQ-špičatost jsou invaiantní z hlediska polohy a měřítka a existují po všechna ozdělení. Nicméně, analogie dalších vlastností τ3 a τ4 zmiňovaných výše zůstávají nepozkoumané po η3 a η4. Chování LQšikmosti η3 a LQ-špičatosti η4 je nyní diskutováno jejich sovnáním s jejich etablovanými potějšky. Jiná poměová mía užitečná po sovnání ozdělení s obvyklým původem a měřítkem je LQ-analogie vaiačního koeficientu kde ξ a ξ2 představují ovnice (57) a (58). 4.2 Výběové LQ-momenty =, (67) LQ-momenty lze odhadovat přímo odhadováním kvantilů pořádkových statistik v kombinaci s ovnicí (6) figuující v jejich definici. Nejjednodušší kvantilový estimáto vhodný k tomuto účelu je kvantilový estimáto založený na lineání intepolaci v obvyklých statistických softwaových balíčcích. Nicméně, můžeme použít jakýkoliv altenativní estimáto kvantilů. Nechť X:n X2:n Xn:n představuje výběové pořádkové statistiky, potom kvantilový estimáto Q(u) je dán vztahem ˆ X n n + : Q ( u) = ( ) X [ / u]: n + X [ / u] n, (68) kde ε = n / u [n / u] a n / = n +. Po náhodné výběy ozsahu n je -tý výběový LQ-moment dán vztahem ˆ = k = 0 ( ) k ˆ k p, ( X k: kde p ( ) je ychlý (quick) estimáto polohy po ozdělení pořádkové ˆ, X k: statistiky X k: v náhodném výběu ozsahu. Konkétně, pvní čtyři výběové LQ momenty z ovnice (69) jsou dány ˆ, X ), (69) = p ˆ ( ), (70) = ˆ p, ( X 2:2) ˆ p, ( : ), (7) 2 ˆ 2 X 2 = ˆ p, ( X 3:3) 2ˆ p, ( X 2:3) + ˆ p, ( : ), (72) 3 ˆ 3 X 3 = ˆ p, ( X 4:4) 3ˆ p, ( X 3:4) + 3ˆ p, ( X 2:4) ˆ p, ( : ), 4 ˆ 4 X 4 kde ychlý estimáto p ( ) polohy pořádkové statistiky X k: je dán vztahem ˆ, X k: (73)

15 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 3 p ( ) = Qˆ ( ) + ( 2 p) Qˆ ( 2) + pqˆ ( ), ˆ, X k: p X k: X k: X k: ˆ ˆ [ ( )] ( 2 ) [ ( 2)] ˆ = pq B k: + p Q B k: + pq [ B k: ( )], X kde 0 α ½, 0 p ½, B k: ( ) je α-tý kvantil náhodné veličiny s beta ozdělením s paamety k a k + a Qˆ X ( ) znamená estimáto s využitím lineání intepolace daný ovnicí (68). Výpočet výběového LQ-momentu ˆ se zjednoduší využitím kvantilu ( ), kteý snadno získáme z tabulek nebo B k: statistických pogamů. Nyní budeme pezentovat explicitní schémata po výpočet LQ-momentů, kdy po p ( ) dané ovnicí (74) jsou použity tři nejznámější ychlé estimátoy, ˆ, X k: konkétně medián (p = 0, α = ), timean (p = /4, α = /4) a Gastwith (p = 0,3, α = /3). Odhad pvních čtyř výběových LQ-momentů z ovnice (69) se zjednoduší využitím pyamidových schémat. Výběová LQ-šikmost a výběová LQ-špičatost jsou dány ˆ ˆ 3 4 ˆ a ˆ 3 = 4 =, (75) ˆ ˆ kteé lze použít k identifikaci η3 a η4 a po odhad paametů Teoie velkých výběů Výběové LQ-momenty závisejí na výběu použitého ychlého estimátou a kvantilovém estimátou použitého po odhadování. Nicméně, jejich asymptotická nomalita vyplývá z teoie velkého výběu lineáních funkcí pořádkových statistik. Za účelem vyvinout výazy po velký výbě po půmě a ozptyl výběových LQ-momentů omezíme pozonost na třídu Q kvantilových funkcí Q splňujících následující podmínky: Invezní funkce QX(u) = FX (u) je výhadně definována po 0 < u <. 2 Q( ) je dvakát difeencovatelné na intevalu (0, ) se spojitou duhou deivací Q // ( ) na intevalu (0, ). 3 Q / (u) > po 0 < u <. Nechť 0 < u < u2 < < uk < a předpokládáme, že jsou splněny podmínky () (3) uvedené výše. Potom [ Qˆ( u), Qˆ( u2),..., Qˆ( uk )] je asymptoticky nomální s vektoem středních hodnot [Q(u), Q(u2),, Q(uk)] a kovaiancemi ij X / / = Cov [ Qˆ( U i), Qˆ( U j)] = ui ( u ) Q ( ui) Q ( u j) / n, i j, ij = ji. (76) j Za účelem vytvořit asymptotické výazy po kovaiance LQ-momentů budeme nejpve deivovat Cov[ ˆ p, ( X k: ), ˆ p, ( X s l: s)], (77) což je funkce závislá na šesti specifických pecentilech u, u2,, u6 použitých při výpočtu ovnice (76), přepsaných na soubo šesti pecentilů 2 X (74)

16 4 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 B ( ), : ( ), : (/2), : (/2), : ( ), : ( k ), : Bs l s B k Bs l s B k Bs l s (78) že 0 < u < u2 < < u6 <, kde B k: ( ) znamená α-tý kvantil náhodné veličiny s beta ozdělením s paamety k a k +. Potom můžeme získat Cov[ Qˆ( U i ), Qˆ( U j)]. Kovaiance mezi odhadnutými ychlými estimátoy pořádkových statistik je Cov[ ˆ p, ( X k: ), ˆ p, ( X s l: s)] = = + p{ pcov[ Qˆ( u), Qˆ( u2)] + ( 2 p) Cov[ Qˆ( u2), Qˆ( u3)] + pcov[ Qˆ( u2), Qˆ( u5)] + pcov[ Qˆ( u), Qˆ( u6)] + ( 2 p) Cov[ Qˆ( u3), Qˆ( u6)] + pcov[ Qˆ( u5), Qˆ( u6)]} + + ( 2 p){ pcov[ Qˆ( u), Qˆ( u4)] + ( 2 p) Cov[ Qˆ( u3), Qˆ( u4)] + (79) + p Cov Qˆ( u ), Qˆ( [ 4 u5 Výběový -tý LQ-moment ˆ, =, 2,, má asymptoticky nomální ozdělení se střední hodnotou ξ a po s jsou kovaiance LQ-momentů dány ovnicí s k + l s Cov( ˆ, ˆ ) ( ) Cov[ˆ p, ( X k : ), ˆ p, ( X s l : s)], = s (80) s k = 0 l= 0 k l kde Cov[ ˆ p, ( X k: ), ˆ p, ( X s l: s)] je dáno vztahem (79) a u, u2,, u6 jsou specifikovány výše. Po = s získáváme ozptyl -tého výběového LQmomentu ˆ. Jak n, mají výběové míy LQ-šikmosti ˆ 3 a LQ-špičatosti ˆ 4 dvouozměné nomální ozdělení s vektoem středních hodnot (η3, η4) a kde )]}. 2 Va (ˆ ) = Va(ˆ )/ ˆ, (8) Cov (ˆ, ˆ ) = [ Cov(ˆ, ˆ ) ˆ Cov(ˆ ˆ ) ˆ Cov(ˆ, ˆ ) + ˆ ˆ Va(ˆ )]/ ˆ, (82) Va (ˆ ) = Va(ˆ )/ ˆ, (83) Va ( ˆ ) = Cov(ˆ, ˆ ) (84) a ozptyl a kovaiance označují pavou stanu ovnice (80). 4.4 Aplikace na nomální ozdělení Uvažujeme náhodný výbě z nomálního ozdělení a sovnáváme použití estimátoů medián, timean a Gastwith po odhad LQ-šikmosti a LQ-špičatosti. Potom estimátoy ˆ 3 a ˆ 4 dané ovnicí (75) mají společné nomální ozdělení s příslušnými vektoy středních hodnot a s kovaiančními maticemi (0; 0,6), (0; 0,8) a (0; 0,7) (85)

17 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 5, , ,549 0 =, = a =. MED TRI GAS n 0 2,070 n 0 0,38 (86) n 0 0,235 Z ovnic (86) vidíme, že ˆ 3 a ˆ 4 jsou asymptoticky nekoelované po každý z výše uvedených ychlých estimátoů. Z kovaiančních matic můžeme navíc pozoovat, že z hlediska estimátoů šikmosti a špičatosti v případě velkých výběů z téměř nomálního ozdělení pefeujeme estimáto Gastwith před mediánem a timeanem. 4.5 Aplikace na lognomální ozdělení LQ-estimátoy po třípaametické lognomální ozdělení se chovají podobně jako estimátoy L-momentů. Z ovnic (57) (59) a (66) získáváme následující výazy po LQ-momenty třípaametického lognomálního ozdělení = + exp( ) ( : ), (87) p, X = exp ( ) [ 2 ( X 2:2) p, ( :2)], (88) 2 p, X a LQ-koeficient šikmosti lze vypočítat pomocí = 3 3 p, ( X 3:3 2 ˆ ) 2 p, ( X p, 2:2 ( X ) 2:3 p, ) + LQ-estimátoy ˆ, ˆ a paametů představují řešení ovnic (57) (59) v kombinacemi s ovnicemi (87) (89) po μ, σ a θ, kde za ξ dosadíme. ˆ S využitím egesní analýzy získáváme následující apoximativní vztah, kteý můžeme použít po odhad ˆ po η3,0 a k 2,64 ( X :2 p, ) ( X :3 ). (89) ˆ = 2,684 ˆ + 0,3967 ˆ + 0,744 ˆ 0,05 ˆ. (90) Jakmile získáme hodnotu ˆ, můžeme získat ovněž odhady ovnic (88) a (87) 5 Aplikace na ekonomická data ˆ a ˆ s využitím 2ˆ 2 ˆ =, ˆ p, ( X 2:2) ˆ p, ( X :2) (9) ˆ = ˆ exp( ) p ˆ, ( : ). (92) X Aplikace na ekonomická data byla povedena na data Českého statistického úřadu a tato data představují čistý oční příjem domácnosti na hlavu (v Kč) v České epublice v letech (novější data nebyla k dispozici). Použitá data pocházejí ze statistického šetření EU-SILC (výběové šetření příjmů a životních podmínek domácností).

18 hustota pavděpodobnosti 6 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Základ modelů příjmových ozdělení představují třípaametické lognomální křivky, jejichž paamety byly paalelně odhadnuty s využitím metody LQmomentů, TL-momentů, L-momentů a metody maximální věohodnosti. Pvotní sovnání výsledků použitých metod nabízí obázek za ok 202. Z tohoto obázku je patné, že metody LQ-momentů, TL-momentů a L-momentů poskytují vzájemně podobnější výsledky vzhledem k výsledkům pořízeným s využitím metody maximální věohodnosti. 0, ,00002 Metoda maximální věohodnosti Metoda L-momentů Metoda TL-momentů Metoda LQ-momentů 0, ,0000 0, čistý oční příjem domácnosti na hlavu (v Kč) Ob. Odhadnuté hustoty pavděpodobnosti třípaametických lognomálních křivek ozdělení čistého očního příjmu na hlavu podle použitých metod v oce 202. (Zdoj: vlastní výzkum) Učité sovnání z hlediska přesnosti použitých metod bodového odhadu paametů nabízí obázek 2, kteý zobazuje vývoj výběového mediánu a teoetických mediánů třípaametických lognomálních křivek s paamety odhadnutými s využitím ůzných metod bodového odhadu paametů v období let Z tohoto obázku je patné, že vývoj teoetického mediánu třípaametických lognomálních křivek s paamety odhadnutými s využitím metody LQ-momentů v podstatě splývá s vývojem empiického mediánu. Nejvíce se od půběhu výběového mediánu opět liší výsledky získané metodou maximální věohodnosti.

19 Medián (v Kč) FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ Metoda maximální věohodnosti Metoda L-momentů Metoda TL-momentů Metoda LQ-momentů Výběový medián Ob. 2 Vývoj výběového a teoetických mediánů třípaametických lognomálních křivek s paamety odhadnutými s využitím metody LQ-momentů,TL-momentů, L-momentů a metody maximální věohodnosti v období let (Zdoj: vlastní výzkum) Tab. Součet všech absolutních odchylek pozoovaných a teoetických četností za všechny intevaly čistého očního příjmu domácnosti na hlavu v České epublice v období let (Zdoj: vlastní výzkum) Rok Metoda LQmomentů Použitá metoda bodového odhadu paametů Metoda TLmomentů Metoda L- momentů Metoda maximální věohodnosti , , , , , , , , , , ,6 38 6, , , , , , , , , , , , , , , , ,6 Přesnost použitých metod byla dále měřena s využitím součtu všech absolutních odchylek pozoovaných a teoetických četností za všechny intevaly čistého očního příjmu domácnosti na hlavu v České epublice v období let , viz tabulka. Z této tabulky je ovněž zřejmé, že nejpřesnější výsledky Rok

20 8 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 přinesla metoda LQ-momentů, dále metoda TL-momentů, metoda L-momentů a metoda maximální věohodnosti, kteá přináší nejméně přesné výsledky. Z hlediska metody maximální věohodnosti jsou hodnoty součtu všech absolutních odchylek pozoovaných a teoetických četností v tabulce výazně vyšší, než u zbývajících tří analyzovaných metod bodového odhadu paametů. 6 Závě Byla zde představena elativně nová třída momentových chaakteistik pavděpodobnostních ozdělení. Jedná se o chaakteistiky polohy, vaiability, šikmosti a špičatosti pavděpodobnostních ozdělení konstuované s využitím L- momentů, TL-momentů a LQ-momentů, kteé jsou obustním ozšířením L- momentů. Samotné L-momenty byly zavedeny jako obustní altenativa ke klasickým momentům pavděpodobnostních ozdělení. Nicméně, L-momenty a jejich odhady postádají jisté obustní vlastnosti, kteé náleží pávě TLmomentům a LQ-momentům. 7 Liteatua Elami, E. A. H., Seheult A. H. (2003). Timmed L-moments. Computational Statististics & Data Analysis, 43(3), Hosking, J. R. M. (990). L-moments: Analysis and Estimation of Distibutions Using Linea Combinations of Ode Statistics. Jounal of the Royal Statistical Society (Seies B), 52(), Hosking, J. R. M, Wallis, J. R. (997). Regional Fequency Analysis: An Appoach Based on L-Moments. Regional fequency analysis: An Appoach Based on L-moments. New Yok: Cambidge Univesity Pess, 209 p. Kyselý, J., Picek, J. (2007). Regional Gowth Cuves and Impoved Design value Estimates of Exteme Pecipitation Events in the Czech Republic. Climate eseach, 33(3), Mudholka, G. S., Hutson, A. D. (998). LQ-Moments: Analogs of L-moments. Jounal of Statistical Planning and Infeence, 7( 2), Shabi, A., Jemain, A. A. (2006). LQ-Moments: Application to the Log-Nomal Distibution. Jounal of Mathematics and Statistics, 2(3), Shabi, A., Jemain, A. A. (2007). LQ-Moments fo Statistical Analysis of Exteme Events. Jounal of Moden Applied Statistical Methods, 6(), Shabi, A., Jemain, A. A. (200). LQ-Moments: Paamete Estimation fo Kappa Distibution. Sains Malaysiana, 39(5), Shahzad, M. N., Asgha, Z. (203). Compaing TL-Moments, L-Moments and Conventional Moments of Dagum Distibution by Simulated Data. Revista Colombiana de Estadística, 36(), Sillitto, G. P. (95). Inteelations Between Cetain Linea Systematic Statistics fo Samples fom Any Continuous Population. Biometika, 38(3 4), Poděkování Článek byl zpacován za finanční subvence postředků institucionální podpoy na dlouhodobý koncepční ozvoj vědy a výzkumu číslo IP na Fakultě infomatiky a statistiky Vysoké školy ekonomické v Paze.

21 FORUM STATISTICUM SLOVACUM Vol 4 (208) No 2 pp 9-27 Důchodový věk na Slovensku a v Česku stanovený na základě elativního pospektivního věku Retiement Age in Slovakia and Czechia Based on Relative Pospective Age Concept Tomáš Fiala, Jitka Langhamová Kateda demogafie, fakulta infomatiky a statistiky, Vysoká škola ekonomická v Paze, Česká epublika Depatment of Demogaphy, Faculty of Infomatics and Statistics, Univesity of Economics, Pague, Czech Republic fiala@vse.cz, langhamj@vse.cz Abstakt: V Evopě pobíhá již několik desítek let stánutí populace. To má mimo jiné za následek podlužování půměné doby pobíání staobních důchodů, což může vést k ohožení finanční udžitelnosti důchodových systémů. V řadě zemí Evopy poto poběhly nebo pobíhají efomy penzijního systému, jejichž součástí je často zvyšování důchodového věku, někdy i nad obvyklou hanici 65 let. Objevuje se pochopitelně požadavek, aby hanice důchodového věku byla nějakým způsobem svázána s očekávanou délkou života. Jedním z možných přístupů je učení hanice důchodového věku na základě myšlenky tzv. elativního pospektivního věku, tj. na základě půměného očekávaného podílu zbývající délky života. Článek obsahuje definici a metodologii výpočtu pospektivního věku a elativního pospektivního věku a dále pak výpočty a odhady vývoje hodnot elativního pospektivního věku na Slovensku a v Česku v období Je zde ovněž návh zvyšování důchodového věku v uvedených zemích po oce 2030vycházející z uvedeného pincipu. Abstact: In many Euopean counties thee is going on population ageing and thee ae intensions to ise the etiement age. The eason fo this is the ise in life span and incease the peiod of old-age pension eceipt, which can cause financial unsustainability of pension systems. A possible adjustment of the etiement age to the level of motality can be based on the concept of so called elative pospective age: the atio of the emaining life expectancy to the total expected life span. This pape bings methodological backgound of definition of elative pospective age and computations of its value fo Slovakia and Czechia since 960 until Recommended incease of the etiement age in counties mentioned afte the yea 2030 based on this pinciple is shown. Klíčová slova: pospektivní věk, elativní pospektivní věk, důchodový věk, Slovensko, Česko Key wods: pospective age, elative pospective age, etiement age, Slovakia, Czechia Úvod Stánutí populace je velmi často diskutovaným tématem nejen v odboné, ale i laické veřejnosti. Velmi často diskutovaným fenoménem současné doby je stánutí populace. Jeho hlavními příčinami je jednak tvalé snižování úmtnosti, kteé má za následek ůst délky života a dále pak pokles plodnosti žen, jejíž úoveň je ve většině ekonomicky vyspělých zemí tak nízká, že není schopna zajistit postou epodukci obyvatelstva. V někteých zemích či egionech

22 20 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 dochází ke zvýšení stánutí obyvatelstva ovněž v důsledku emigace mladých lidí v poduktivním, esp. epodukčním věku. Stánutí populace je velmi často považováno za závažné ohožení stability sociálního státu, především co se týče systémů důchodového zabezpečení a zdavotní a sociální péče. Většina vaovných či dokonce katastofických pognóz však vychází z předpokladu neměnné hanice stáří. Tou se obvykle ozumí věk 65 let, což je hodnota ovná nebo blízká obvyklému důchodovému věku v řadě zemí Evopy i jiných ekonomicky vyspělých zemí. Již před více než 40 let poto navhl Ryde (975, st. 6) jinou definici hanice stáří. Vyslovil názo, že obvyklé měření věku jako doby uplynulé od naození je významnou a smysluplnou chaakteistikou především po mladé osoby před dosažením dospělosti. Po staší osoby se zdá být naopak důležitějším indikátoem zvyšování ekonomické závislosti a zhošování jejich zdavotního stavu a nikoli doba uplynulá od naození, ale očekávaná délka zbývajícího života. Ryde poto dopoučuje, aby byl za hanici stáří považován věk, v němž střední délka zbývajícího života nabývá učité dané hodnoty, například 0 let. S ostoucí délkou života by se tedy zvyšovala i hanice stáří. Uvedenou myšlenku stanovení věku na základě pospektivního, nikoli etospektivního pohledu, zpacovali velmi podobně v řadě článků Sandeson a Schebov. Zavedli pojem tzv. pospektivního věku definovaného jako věk, v němž střední délka zbývajícího života dosahuje stejné hodnoty jako střední délka života osoby daného věku při daném modelu úmtnosti (Sandeson and Schebov, 2007). Indikátoy stánutí populace založené na pospektivní hanici stáří pochopitelně nevykazují tak damatický náůst jako standadní indikátoy (Sandeson and Schebov, 200, 203). Hodnoty někteých těchto indikátoů po Českou epubliku uvádějí např. Klapková, Šídlo a Špocha (205). Růst délky života pochopitelně vede při neměnném důchodovém věku k náůstu půměné doby pobíání staobních důchodů. Mnoho evopských zemí poto zavádí nebo uvažuje o zvyšování důchodového věku, často nad obvyklou hanici 65 let. V někteých zemích je (nebo má v budoucnu být) úoveň důchodového věku přizpůsobena vývoji úmtnosti, přesněji řečeno náůstu střední délky života (Euopean Commission, 208, st. 26, Tab. 0). Způsobem stanovení důchodového věku v České epublice se v minulých letech zabýval duhý pacovní tým odboné komise po důchodovou efomu. ČR. Diskutoval se zde návh, aby byl důchodový věk v Česku stanoven tak, že by se půměná doba pobíání staobního důchodu pohybovala kolem 20 let. Důchodový věk by byl tedy definován nikoli na základě dosažení nějaké konstantní hanice věku definovaného obvyklým způsobem (tj. etospektivně), ale na základě konstantní hanice pospektivního věku. To by však znamenalo, že za předpokladu pokačujícího ůstu délky života by stejným způsobem ostl

23 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 2 důchodový věk a tedy také délka období ekonomické aktivity, zatímco délka období pobíání staobního důchodu by zůstávala stejná a elativně by doba pobíání důchodu (vzhledem k délce celého života) klesala. Odboná komise poto nakonec přijala dopoučení, aby byl důchodový věk učen tak, že lidé, kteří se jej dožijí, stáví v důchodu v půměu poslední čtvtinu života (Odboná komise po důchodovou efomu, 204). Příslušné výpočty by bylo nutno povádět na základě geneačních (nikoli půřezových) úmtnostních tabulek (Fiala, Langhamová, 205). Důchodový věk by tedy nebyl učován na základě výše uvedeného (absolutního) pospektivního věku, ale na základě elativního pospektivního věku, kteý je učen podílem očekávané půměné délky zbývajícího života vzhledem k očekávané půměné délce celého života. V tomto článku je přesněji definován pojem elativního pospektivního věku a popsán způsob výpočtu důchodového věku založeného na tomto pincipu. Při ostoucí délce života se zvyšuje i důchodový věk, ale takovým způsobem, že oste nejen doba ekonomické aktivity, ale i doba pobíání důchodu a pomě doby stávené v důchodu vzhledem k délce celého života zůstává stabilní. Článek dále obsahuje výpočet elativního pospektivního věku v období od oku 960 do oku 2080 po Slovensko a Česko a jeho poovnání s důchodovým věkem podle současné pávní úpavy. Budoucí hodnoty délky života vycházejí ze základní vaianty scénáře úmtnosti populační pojekce Euostatu z oku 205 (Euostat, 207b). Jako efeenční model úmtnosti byly použity úmtnostní tabulky po Slovensko z oku 206 a věk 62 let odpovídající důchodovému věku v uvedeném oce. 2 Pospektivní věk a elativní pospektivní věk Pojem pospektivního věku vychází z hypotézy, že u staších lidí žijících v ůzných obdobích nebo v ůzných zemích může být mnohem důležitější chaakteistikou očekávaná délka jejich zbývajícího života (střední délka života v jejich aktuálním věku) než jejich (obvykle užívaný) chonologický věk. Jinými slovy: není ani tak důležitá doba uplynulá od naození jako spíše (očekávaná) doba zbývající do smti. Sandeson a Schebov (2007) navhují používat pojem zbývající délka života, aby se zdůaznilo, že se nejedná o obvykle používanou střední délku života novoozence. Označme e x (t) střední délku zbývajícího života v přesném věku x v oce t. Pokud zvolíme nějakou úmtnost považovanou za standadní (a její chaakteistiky označíme hvězdičkou), potom pospektivním věkem osoby v obvyklém (etospektivním) věku x v oce t je takový věk y(x, t), v němž je střední délka zbývajícího života v oce t stejná jako střední délka života v přesném věku x při standadní úmtnosti, tj. platí

24 22 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 (t) e y(x,t) = e x () Výpočet jeho hodnoty povedeme metodou lineání intepolace y(x, t) = y 0 (x, t) + (t) e y0 (x,t) (t) e y0 (x,t) e x, (2) (t) e y0 (x,t)+ (t) kde y 0 (x, t) je (jednoznačně učené) celé číslo, po něž je e y0 (x,t) e x, ale (t) e y0 (x,t)+ < e x. (Fiala, Langhamová, 208). Pokud neuvažujeme absolutní, ale elativní délku zbývajícího života e x (t) = e (t) x (t) x + e, (3) x můžeme analogickým způsobem definovat elativní pospektivní věk y(x, t) = y 0 (x, t) + (t) e y0 (x,t) (t) e y0 (x,t) e x, (4) (t) e y0 (x,t)+ (t) kde y 0 (x, t) je celočíselná hodnota, po niž je e y0 (x,t) e x, zatímco (t) e y0 (x,t)+ < e x. 3 Dosavadní vývoj důchodového věku na Slovensku a v Česku a návh jeho stanovení na základě elativního pospektivního věku Od oku 948 byl důchodový věk mužů v Československu stanoven na 60 let a téměř po pět desetiletí nedošlo k jeho změně. Důchodový věk žen byl od oku 957 snížen ze 60 na 55 let a později difeencován podle počtu dětí od 53 let (5 a více dětí) do 57 let (bezdětné). Důchodový věk žen se 2 dětmi byl 55 let. Tyto hodnoty zůstaly zachovány na Slovensku i v Česku několik let i po ozdělení Československa. Na Slovensku byla hodnota důchodového věku po muže zachována na úovni 60 let až do oku 2003, kdy odcházeli do důchodu muži naození v oce 943. Pak však následovalo poměně ychlé zvyšování. Následující očník naození (944) měl důchodový věk o 9 měsíců vyšší, další očník (945) o dalších 9 měsíců vyšší a muži naození v oce 946 měli stanovený důchodový věk 62 let. Ten se pak

25 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ zachoval až do konce oku 206. Od oku 207 se každý ok dále zvyšuje o několik desítek dní podle ůstu délky života (Sociálna poisťovňa, 207). Důchodový věk žen na Slovensku nadále závisel na počtu dětí, po jednoduchost budeme uvažovat pouze ženy se 2 dětmi. I jejich důchodový věk zůstal do oku 2003 nezměněný (55 let). Od následujícího oku se po každý očník naození zvyšuje o 9 měsíců do doby, než dosáhne důchodového věku mužů. Důchodový věk v Česku začal ůst již od oku 996, ale mnohem pomaleji a plynule. U mužů oste po každý následující očník naození o 2 měsíce, u žen o 4 měsíce (od oku 209 se bude zvyšovat o 6 měsíců) po každý další očník naození. Zvyšování by mělo pokačovat až do oku 2030, kdy by měl důchodový věk mužů a žen s nejvýše jedním dítětem činit 65 let, důchodový věk žen s více dětmi by měl této hanice postupně dosáhnout v následujících letech (Zákon 55/995 Sb.). Po oce 2030 se navhuje další zvyšování důchodového věku nad 65 let tak, aby lidé, kteří dosáhnou důchodového věku, v něm stávili zhuba čtvtinu života. Evopská ada dopoučuje, aby byl důchodový věk svázán s vývojem úmtnosti. Jednou z možností je stanovit důchodový věk na základě elativního pospektivního věku. To by znamenalo, že by lidé stávili v důchodu zhuba stejný podíl svého života, bez ohledu na očník naození a úmtnost v zemi, kde žijí. Potože se však předpokládá stejný důchodový věk po muže i po ženy, povádějí se výpočty pospektivního věku na základě středních délek života bez ozlišení pohlaví. Je pak zřejmé, že ženy by stávily v důchodu o něco větší podíl svého života než muži. Na Slovensku byl v posledních několika letech důchodový věk mužů 62 let, tepve od oku 207 se opět zvyšuje. Jako standad po výpočet elativního pospektivního věku byl poto zvolen věk 62 let a úmtnost v oce 206 (bez ozlišení pohlaví). Relativní zbývající délka života při této úmtnosti dosahuje 23,9 %. To je však půřezová hodnota; skutečný podíl zbývající délky života osob, kteé v oce 206 dosáhly 65 let, bude vzhledem k předpokladu dalšího snižování úmtnosti o něco vyšší, pavděpodobně přesahující 25 %. Na základě tohoto zvoleného standadu byl poveden výpočet elativního pospektivního věku na Slovensku a v Česku po období K výpočtu byly použity úmtnostní tabulky Euostatu po obě země (Euostat, 207a) a úmtnostní tabulky scénáře pojekce z oku 205 v základní vaiantě (Euostat, 207b) po další oky. Relativní délka zbývajícího života v důchodovém věku závisí na úmtnosti senioů, kteá může být poměně dobře chaakteizována střední délkou života v přesném věku 65 let.

26 24 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Gaf Střední délka života v přesném věku 65 let (Zdoj dat: Euostat, vlastní zpacování) V období socialistického Československa byla střední délka života 65letých na Slovensku o něco vyšší než v Česku, ozdíl se pohyboval kolem oku. Přitom v 60., 70. i pvní polovině 80. let tyto hodnoty pakticky stagnovaly. V devadesátých letech se hodnoty délek života vyovnaly, v současné době je naopak střední délka života v Česku zhuba o ok vyšší. Scénář pojekce Euostatu předpokládá konvegenci, kolem oku 2080 by měly být délky života v obou zemích zhuba stejné. (Viz Gaf.) Hodnoty elativního pospektivního věku odpovídající půměnému podílu zbývajícího života 62letých v oce 206 na Slovensku zachycuje Gaf 2. Uvedené hodnoty udávají po každý ok věk, kdy by elativní délka zbývajícího života při úmtnosti jako v daném oce byla stejná jako elativní střední délka zbývajícího života 62letých při úmtnosti v oce 206 na Slovensku (ovná 23,9 %). Současnému důchodovému věku na Slovensku 62 let by tedy odpovídal v letech důchodový věk kolem 59 let, v Česku kolem 58 let. Půměný důchodový věku mužů a žen (57,5 oku) byl o něco nižší. Zvyšování důchodového věku tedy v obou zemích vedlo k učitému zkácení půměné elativní doby života stávené v důchodu. Došlo však ke zmenšení ozdílu mezi dobou života stávenou v důchodu muži a ženami. Po muže je v současné době důchodový věk již zhuba oven elativnímu pospektivnímu věku, zatímco dříve byl na Slovensku zhuba o ok, v Česku o téměř 2 oky vyšší. Lze tedy předpokládat, že navzdoy zvyšování důchodového věku se u mužů (zejména v Česku) o něco zvýšila půměná elativní doba pobíání důchodu, u žen naopak došlo k jejímu snížení.

27 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ Gaf 2 Důchodový věk a elativní pospektivní věk odpovídající věku 62 let a úmtnosti v oce 206 na Slovensku (Zdoj dat: Euostat, vlastní výpočet a zpacování) Jaký by měl být budoucí vývoj důchodového věku, aby půměná elativní doba pobíání důchodu zůstala zhuba na stejné úovni jako po osoby, kteé dosáhnou důchodového věku na Slovensku v oce 206? Pokud se bude úmtnost vyvíjet podle základní vaianty scénáře Euostatu, měl by v obou zemích ůst důchodového věku pokačovat, ale o něco pomaleji, než předpokládá současná legislativa. Podle poslední pávní úpavy by měl být v oce 2023 důchodový věk na Slovensku 63 let 2 měsíce, přitom elativní pospektivní věk po tento ok je jen o málo vyšší než 62 let měsíců. Při pokačujícím každoočním zvyšování o 2 měsíce by důchodový věk na Slovensku dosáhl v oce 2034 hodnoty 65 let, přitom pospektivní věk dosáhne této úovně až v oce Současné tempo zvyšování důchodového věku na Slovensku tedy bude mít zřejmě za následek míné snižování půměné elativní doby pobíání důchodu. V Česku byl vzhledem k vyšší délce života elativní pospektivní věk v oce 206 (62,89 oku) téměř o ok vyšší než na Slovensku, český důchodový věk mužů (63 let) byl jen o málo vyšší. I zde však má ůst důchodový věk ychleji než věk pospektivní. V oce 2030 by měl důchodový věk mužů (i žen s nejvýše jedním dítětem) dosáhnout 65 let zatímco elativní pospektivní věk by měl této hodnoty dosáhnout až o 6 let později. Pokud bude vývoj úmtnosti pobíhat podle uvedeného scénáře Euostatu, bude v obou zemích pokačovat ůst elativního pospektivního věku i nad hanici 65 let. V oce 2050 by jeho hodnota na Slovensku měla být na Slovensku o málo vyšší než 66 let, v Česku vyšší než 66 let 4 měsíce. Na konci období

28 26 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 pojekce, v oce 2080, bude hodnota elativního pospektivního věku v obou zemích dosahovat téměř 68 let 0 měsíců. Pokud by tedy v budoucnu neměla být elativní doba pobíání důchod vyšší než na Slovensku v oce 206, musel by se důchodový věk v obou zemích pohybovat kolem výše uvedených hodnot. K jejich dosažení by ovšem stačilo po dosažení důchodového věku 65 let zpomalit tempo jeho dalšího ůstu na polovinu: každý další ok na Slovensku, esp. po každý další očník naození v Česku by se důchodový věk zvýšil pouze o měsíc (Gaf 2). 4 Závě Koncept pospektivního věku, kdy se věk měří nikoli jako obvykle etospektivně, ale pospektivně, tj. jako očekávaná délka zbývajícího života ukazuje, že vývoj řady indikátoů stánutí není zdaleka tak kitický, jako při užití obvyklého etospektivního věku. Po stanovení důchodového věku se zdá být vhodnější užít nikoli absolutního, ale elativního pospektivního věku, kdy je sledována nikoli absolutní délka zbývajícího života, ale podíl délky zbývajícího života vzhledem k očekávané délce celého života. Důchodový věk založený na tomto konceptu by se v případě ůstu délky života zvyšoval takovým způsobem, že elativní doba stávená v důchodu vzhledem k délce celého života by zůstávala přibližně konstantní. Výpočty pospektivního věku vycházející z předpokládané úmtnosti na Slovensku v oce 206 a odpovídajícího důchodového věku 62 let v tomto oce ukazují, že zvyšování důchodového věku v půměu zhuba odpovídá ůstu délky života po oce 990. Vzhledem ke sbližování důchodového věku mužů a žen došlo u mužů i při ůstu důchodového věku ke zvýšení elativní doby pobíání důchodu, u žen naopak k jejímu snížení. Vyšší délky života žen však je záukou, že i při stejném důchodovém věku budou ženy stále pobíat důchod o něco delší dobu, než muži. Vzhledem k vyšší délce života v Česku v poovnání se Slovenskem je v současné době elativní doba pobíání důchodu u mužů v Česku i při o ok vyšším důchodovém věku zhuba stejná jako na Slovensku. Předpokládaný další ůst důchodového věku podle aktuální pávní úpavy je o něco ychlejší než ůst pospektivního věku, bude mít poto za následek míný pokles půměné elativní doby pobíání důchodu. Dalšímu poklesu by zabánilo po dosažení hanice 65 let snížení tempa ůstu důchodového věku na polovinu, tj. na měsíc po každý další ok, esp. očník namísto současných 2 měsíců. Po zachování elativní doby pobíání důchodu však bude potřebné povádět pavidelné aktualizace výpočtů na základě aktualizovaných pognóz vývoje úmtnosti.

29 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ Liteatua Euopean Commission. (208). The 208 Pension Adequacy Repot: cuent and futue income adequacy in old age in the EU. Luxemboug: Publications Office of the Euopean Union. ISBN DOI: / Euostat. (207a). Statistics Database. Database by themes. Population and social conditions. Motality. Life expectancy by age and sex (demo_mlexpec). Dostupné na: Euostat. (207b.) Statistics Database. Database by themes. Population and social conditions. Population pojections. Population pojections at national level ( ). Assumptions fo motality ates by age, sex and type of pojection (poj_5naasm) Dostupné na: Fiala, T., Langhamová, J. (205). Hanice důchodového věku zajišťující půměnou dobu pobíání důchodu čtvtiny života a modelové výpočty jeho hodnot. Fóum sociální politiky. Roč. 9, č. 5, s ISSN Fiala, T., Langhamová, J. (208). Retiement Age in Czechia and Othe Euopean Counties Based on the Concept of Relative Pospective Age. In: Intenational Days of Statistics and Economics (MSED). Paha, Dostupné na: Klapková, M., Šídlo, L., Špocha, B. (206). Koncept pospektivního věku a jeho aplikace na vybané ukazatele demogafického stánutí. Demogafie, oč. 58, st Odboná komise po důchodovou efomu. (204). Návh evizního systému nastavení hanice důchodového věku. Dostupné na: pdf Ryde, N. B. (975). Notes on Stationay Populations. Population Index, Vol. 4, No., pp Published by: Office of Population Reseach. Available at: Sandeson, W. C., Schebov, S, S. (2007). A New Pespective on Population Aging. Demogaphic Reseach, Vol. 6, pp DOI: /DemRes Sandeson, W. C., Schebov, S, S. (200). Remeasuing Aging. Science, Vol No , pp DOI: 0.26/science Sandeson, W. C., Schebov, S, S. (203). The Chaacteistics Appoach to the Measuement of Population Aging. Population and Development Review, Vol. 39, No. 4, pp DOI: 0./j x. Sociálna poisťovňa. (207). Dôchodkový vek v oku 207 a 208. Dostupné na: Zákon 55/995 Sb. O důchodovém pojištění, aktuální znění, Příloha. 6 Poděkování Příspěvek vznikl za podpoy GA ČR S Pojekce populace České epubliky podle úovně vzdělání a odinného stavu.

30 FORUM STATISTICUM SLOVACUM Vol 4 (208) No 2 pp Analýza dopadov vonkajších izík na slovenskú ekonomiku s využitím makoekonomického modelu Analysis of Extenal Risk Impacts on the Slovak Economy Using the Macoeconomic Model Tomáš Miklošovič Ekonomický ústav Slovenskej akadémie vied, Šancova 56, Batislava Institute of Economic Reseach, Slovak Academy of Science, Šancova 56, 8 05 Batislava, Slovakia tomas.miklosovic@savba.sk Abstakt: Slovenská ekonomika patí medzi malú, otvoenú, ýchlo astúcu ekonomiku, v ktoej k hlavným ťahúňom astu patí zahaničný dopyt a vývoj situácie (nielen ekonomickej) u našich obchodných patneov. Iné faktoy astu, ako sú nap. dopyt domácností alebo dopyt vlády, nedokážu pôsobiť na ast slovenskej ekonomiky dlhodobo a tak výazne ako zahaničný dopyt. Peto je nevyhnutné zmapovať potenciálne iziká a vonkajšie hozby, ktoé môžu slovenskú ekonomiku do značnej miey ovplyvniť. V tejto analýze sa budú simulovať dopady vybaných izík na slovenskú ekonomiku s využitím modelu všeobecne vypočítateľnej ovnováhy (CGE model). Analýza sa zameia pedovšetkým na iziko poklesu svetovej ceny ocele, pavdepodobný ast ceny opy vo svete, zníženie zahaničného dopytu a zvýšenie ceny základných potavín. Abstact: The Slovak economy belongs to a small, open, fast-gowing economy in which the main gowth ate belongs to the foeign demand and the not only the economic situation of ou business patnes. Othe factos of gowth, such as, households demand o govenment demand, cannot influence the gowth of the Slovak economy in the long un and as much as foeign demand. It is theefoe necessay to map the potential isks and extenal theats that can significantly affect the Slovak economy. In this analysis, the impacts of selected isks on the Slovak economy will be simulated using a computable geneal equilibium model (CGE model). The analysis will focus in paticula on the isk of the lowe wold steel pice, the ise oil pices in the wold, the eduction in foeign demand and the ise of basic food pices. Kľúčové slová: CGE model, makoekonomická simulácia, vonkajšie iziká Key wods: CGE model, macoeconomic simulation, extenal isks Úvod V dnešnej tubulentnej dobe čelíme veľkému počtu izík, ktoé nielen piamo vplývajú na našu ekonomiku. Hospodáske a spoločenské iziká, ktoé pichádzajú z vnúta kajiny, môžu byť zničujúce. Avšak vonkajšie iziká sú tie, ktoé nedokážeme takme vôbec ovplyvniť. Niektoé aktuálne vonkajšie hospodáske iziká, ktoé potenciálne ohozujú slovenskú ekonomiku, sú jasne definované (Obadi a kol., 207; Obadi, 207), iné, pevažne skyté, sa veľmi ťažko identifikujú, esp. by nemali signifikantne zasiahnuť Slovensko. V tejto štúdii sa budú analyzovať dopady vybaných izík na slovenskú ekonomiku s využitím

31 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ modelu všeobecne vypočítateľnej ovnováhy. Analýza sa zameia pedovšetkým na iziko poklesu svetovej ceny ocele, ktoý môže nastať kvôli plánovanému zvýšeniu ciel na dovoz ocele do USA až do výšky 30%. Tým pádom sa zvýši konkuencia vo zvyšku sveta a pavdepodobne píde k poklesu svetových cien ocele. S pomocou CGE modelu budú vytvoené viaceé altenatívne scenáe, ktoé budú simulovať potenciálny vývoj a dopady tohto opatenia na slovenskú ekonomiku. Ďalším veľkým izikom pe slovenskú ekonomiku je pavdepodobný ast ceny opy vo svete. Po dlhodobej stagnácii cien opy očakávajú viaceí analytici ast tejto komodity v kátkodobom, popípade v stednodobom hoizonte. Aj v tomto pípade budú vytvoené altenatívne scenáe, v ktoých píde k odlišným astom svetových cien opy. Ropa, ako jedna z hlavných vstupných komodít v hospodástve, má nezastupiteľné miesto vo výobnom pocese. Každý pohyb ceny má zásadný vplyv na jednotlivé sektoy ekonomiky, ako aj na ekonomiku ako celok. Pedposlednou analyzovanou simuláciou potenciálneho vonkajšieho izika bude zníženie zahaničného dopytu po slovenských tovaoch a službách. Slovenská ekonomika, ako veľmi malá, otvoená ekonomika, je veľmi citlivá na volatilitu expotu. Posledným vonkajším izikom, ktoým sa bude páca zaobeať, bude zvýšenie ceny základných potavín pedovšetkým kvôli naastajúcemu potekcionizmu, zvýšeniu nákladov v tomto sektoe (pedovšetkým kvôli zmene klímy) a naastajúcim potavinovým kauzám napieč celou Euópou. Aj tu vzniknú viaceé scenáe, ktoé budú simulovať zmeny svetových cien pimánych potavín v ozličných výškach. Členenie tejto štúdie je nasledovné. V pvej časti bude pedstavená metodika použitého makoekonomické modelu všeobecnej vypočítateľnej ovnováhy. V tejto časti je popísaný základný chaakte použitého modelu. V duhej časti sa nachádza analýza senzitívnosti, v ktoej bol model testovaný na zmeny svetových cien a zmien dopytov po slovenských tovaoch a službách. V pedposlednej kapitole sa nachádza nosná časť tejto páce, v ktoej sú opísané a nasimulované jednotlivé scenáe vonkajších izík pe slovenskú ekonomiku. Výsledky simulácií sú analyzované v tejto časti kapitoly. Poslednou časťou je záve, v ktoom sú zhnuté jednotlivé vonkajšie iziká a ich potenciálne dopady na slovenskú ekonomiku. 2 Metodika Vo všetkých modeloch všeobecnej vypočítateľnej ovnováhy sú vzťahy medzi jednotlivými pemennými kalibované na údajovej základni tzv. benchmakovej ovnováhy z oka, v ktoom boli dáta zozbieané. Kalibačný poces vypočíta pomeové a čiastkové paamete v závislosti od exogénne definovaných elasticít spávania sa tak, aby model epodukoval vstupné dáta. Väčšina CGE modelov je kompaatívno-statická. Peto CGE modely využívajú pedpoklad ceteis paibus

32 30 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 pi modelovaní zavádzania exogénnych šokov a náhlych zmien hospodáskych politík. Ako základ modelov všeobecnej vypočítateľnej ovnováhy je mikoekonomická teóia ovnováhy, ktoá bola pedstavená v oku 874 fancúzskym ekonómom Léonom Walasom. Jeho teóiu neskô významne ozpacovali Aow & Debeu (954), ktoí ju matematicky fomulovali a numeicky popísali. Model všeobecnej vypočítateľnej ovnováhy je numeickým výsledkom tejto teóie. Štuktúa použitého CGE modelu pochádza z páce Devis, De Melo & Robinson (982). Štuktúa pogamového kódu pochádza z modelu USDA (Robinson, Kilkenny, & Hanson, 990). Základy statickej časti modelu pochádzajú z globálneho CGE modelu (McDonald, Robinson, & Thiefelde, 2005), ktoý bol zostojený na základe dokumentácie (McDonald, 2007). Vstupnou databázou do modelu je matica spoločenského účtovníctva (SAM) za ok 203, ktoá bola vytvoená autoom. Postup tvoby matice spoločenského účtovníctva je možné nájsť v iných štúdiách (Miklošovič, 204). Model obsahuje celkovo 768 lineánych a nelineánych ovníc, postedníctvom ktoých je model schopný nájsť equilibium pe 768 endogénnych pemenných. V časti analýzy senzitívnosti bol využitý pedovšetkým statický model, pičom pi modelovaní jednotlivých scenáov v ďalšej časti bol využitý ekuzívne dynamický CGE model. Pi pedpoklade acionálneho spávania sa všetkých subjektov bola zostavená ovnováha na thu, kde sa celková ponuka na thu ovnala celkovému dopytu. Pomocou ďalších pedpokladov boli použité ovnice, ktoé modelujú ozpočtové ohaničenia domácností, aby maximalizovali svoju užitočnosť pi podmienke využitia svojho píjmu. Pedpokladá sa nulový zisk fiiem, petože pi kladnom zisku by existoval potenciál na vytvoenie novej fimy a th by nebol dokonale konkuenčný. CGE model je eálny model, peto postačuje nepoužívať eálne ohodnotenia statkov, ale iba elatívne ceny statkov. Ako numeaie bol zvolený index piemyselných cien, pičom ostatné ceny statkov sa elatívne poovnávali k tomuto zvolenému statku. Zahaničie bolo pe poteby modelovania izík ozdelené na dve časti, pičom jeden typ zahaničia pedstavovala Euópska únia a duhý typ zahaničia pestavoval zvyšok sveta. Všetky vzťahy medzi domácimi inštitúciami a zahaničím boli následne tansfomované za účelom zachovania ozdelenia zahaničia na dva typy. Medzi silné pedpoklady modelu patí neumožnenie pohybu pacovnej sily do a zo zahaničia. V ámci modelu vystupuje len jedna epezentatívna domácnosť a jeden epezentatívny podnik. Vo všetkých simuláciách sme bali ako jeden z hlavných pedpokladov voľnú ponuku páce, čo znamená, že neexistoval tlak na ast miest (mzdy zostali konštantné) a veľkosť

33 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 3 voľnej pacovnej sily bola neobmedzená. Vládny deficit bol pi všetkých simuláciách nastavený ako konštantná pemenná, čo malo za následok pedovšetkým zmeny tansfeov od domácností k vláde. 2 Pi modelovaní podukcie bol použitý pincíp vnoených funkcií za účelom lepšieho znázonenia eálneho sveta. Tento pincíp lepšie popisuje špecifické čty ekonomiky. Celková podukcia v sektoe bola ozdelená na dve časti, kde jedna časť modeluje dopyt po páci a kapitáli, zatiaľ čo duhá časť modeluje dopyt po medzispotebe. Výhoda pi použitých vnoených podukčných funkciách je v tom, že každá vnoená funkcia môže mať inú elasticitu substitúcie dopytu vo funkcii opisujúcej pidanú hodnotu (L, K) a inú pe funkciu modelujúcu dopyt po medzispotebe. Úplný popis modelu, statickej aj dynamickej vezie a postup pi zostojení matice spoločenského účtovania možno nájsť v inej štúdií (Miklošovič, 204). Sú v nej popísané aj hlavné makoekonomické ovnice a ozpočtové ohaničenia. Tab. Agegácia sektoov ekonomiky do jednotlivých zhlukov (Zdoj: Vlastné spacovanie) Poadové Označenie sektoa Názov zhluku číslo sektoa podľa NACE Rev. 2 0 Poľnohospodástvo, lesníctvo a ybolov Ťažba a dobývanie Spacovanie píodného piemyslu Výoba koksu a afinovaných opných poduktov 9 05 Spacovanie chemického, gumového a famaceutického piemyslu Výoba a spacovanie kovov Výoba stojov, motoových vozidiel a iných dopavných postiedkov Dodávka elektiny, plynu, pay a studeného vzduchu Dodávka vody, čistenie a odvod odpadových vôd, odpady a služby odstaňovania odpadov Stavebníctvo 4-43 Thové služby Nethové služby Kvôli lepšej názonosti vzťahov a popisu fungovania hospodástva bola ekonomika agegovaná z pôvodných 88 sektoov podľa klasifikácie NACE Rev. 2 na 2 sektoových zhlukov. Pi tejto agegácii bol baný na zeteľ záme tvoby simulácií pe učité špecifické sektoy (zhluky), ako aj špecifickosť ostatných častí Tento pedpoklad zjednodušuje výsledky modelu. V eálnom svete by simulovaný ast zamestnanosti bol ozdelený na ast zamestnanosti a ast miezd. 2 V pípade, že exogénna zmena tlačila na zvyšovanie deficitu, automaticky nastal pokles tansfeov od vlády k domácnostiam. Ak exogénna zmena mala znižovať vládny deficit, tieto tansfey naástli. Peto píjmy domácností neeflektujú len na zmenu zamestnanosti, ale aj na situáciu vládneho deficitu.

34 32 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 ekonomiky. Zatiedenie jednotlivých sektoov do zhlukov môžete vidieť v pedchádzajúcej tabuľke (Tab. ). Pe lepšiu názonosť veľkosti a vplyvu jednotlivých vytvoených sektoových zhlukov ekonomiky sa v nasledujúcej tabuľke (Tab. 2) nachádzajú vybané mako-ekonomické ukazovatele pe dané zhluky za ok 203, keďže dáta z tohto obdobia boli aj vstupom do modelu (SAM matica). Uvedené sú ako ukazovatele thu páce, tak aj pidanej hodnoty, HDP a zahaničného obchodu. Zhluk poľnohospodástva zamestnáva viac ako 77 tisíc pacujúcich, čo pedstavuje 3,3% celkovej zamestnanosti. Podiel pidanej hodnoty tohto zhluku na celkovej pidanej hodnote je na úovni 4,4%. Podiel impotu zhluku na celkovom impote dosahuje úoveň,6%, pičom podiel expotu na celkovom expote dosahuje úoveň,8%. Zhluk ťažba a dobývanie zamestnáva viac ako tisíc osôb a podiel pidanej hodnoty tohto zhluku na celkovej pidanej hodnote je na úovni 0,5 %. Tento zhluk je veľmi silno závislý na dovoze, keďže podiel impotu tohto zhluku na celkovom impote dosahuje hodnotu až 0,5 %. Vývoz tohto zhluku je minimálny. Spacovanie píodného piemyslu zamestnáva 5,6% všetkých pacujúcich, čo je 30 tisíc osôb. V pípade tohto zhluku je podiel pidanej hodnoty na celkovej pidanej hodnoty na úovni 3,9 %. Podiel impotu, esp. expotu na celkovom impote (expote) dosahuje úoveň,5 % (9,0 %). Tento zhluk je veľmi závislý na zahaničnom obchode. V pípade zhluku výoby koksu a afinovaných opných poduktov ide o výazne expotne oientovaný zhluk, pičom podiel expotu na celkovom expote dosahuje takme dvojnásobnú hodnotu ako podiel impotu na celkovom impote. Tento zhluk je významný sekto v ámci zahaničného obchodu, pičom je v ňom zamestnaných len viac ako 2 tisíc osôb, čo je 0, % celkovej zamestnanosti. Spacovanie chemického, gumového a famaceutického piemyslu je sektoový zhluk, v ktoom je zamestnaných 63 tisíc osôb (2,7 %) a podiel pidanej hodnoty na celkovej pidanej hodnote dosahuje úoveň 3 %. Tento zhluk dosahuje duhý najvyšší podiel impotu na celkovom impote (2,4 %) a taktiež duhý najvyšší podiel expotu na celkovom expote (9,4 %). Výoba a spacovanie kovov je zhluk menší, čo sa týka zamestnanosti (takme 30 tisíc osôb, esp.,3 % celkovej zamestnanosti) a tvoby pidanej hodnoty (podiel na celkovej úovni je,2 %), avšak silný pi zahaničnom obchode. Podiel impotu na celkovom impote dosahuje úoveň 5, % a podiel expotu na celkovom expote dosahuje úoveň 6 %.

35 Zamestnanosť (v tis. osôb) Podiel zamestnanosti na celkovej zamestnanosti (%) Podiel pidanej hodnoty na celkovej pidanej hodnote (%) Podiel pidanej hodnoty na HDP (%) Podiel impotu na celkovom impote (%) Podiel impotu na HDP (%) Podiel expotu na celkovom expote (%) Podiel expotu na HDP (%) FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ Tab. 2 Vybaté makoekonomické ukazovatele pe jednotlivé sektoové zhluky za ok 203 (Zdoj: Spacované autoom podľa ŠÚ SR, VZPS 3 ) Poľnohospodástvo 77,4 3,3 4,4 4,0,6,5,8,7 Ťažba a dobývanie,5 0,5 0,5 0,4 0,5 9,4 0,9 0,8 Spacovanie píodného piemyslu 30,7 5,6 3,9 3,6,5 0,3 9,0 8,5 Výoba koksu a afinovaných opných 2,3 0, 0,3 0,3 2,4 2,2 4,5 4,2 poduktov Spacovanie chemického, gumového a famaceutického 63,5 2,7 3,0 2,8 2,4, 9,4 8,8 piemyslu Výoba a spacovanie kovov 29,7,3,2, 5, 4,5 6,0 5,7 Výoba stojov, motoových vozidiel a iných dopavných 33,4 3,5,7 0,6 49,0 43,9 58,6 55 postiedkov Dodávka elektiny, plynu, pay a 23,5,0 3,3 3,0 0, 0, 0, 0, studeného vzduchu Dodávka vody, čistenie a odvod odpadových 27,0,2,2, 0,6 0,5 0,7 0,6 vôd Stavebníctvo 232,9 0,0 7,8 7, 0,2 0,2 0,3 0,3 Thové služby 87,6 35, 45,3 4,2 6,4 5,8 8,0 7,5 Nethové služby 600,0 25,8 7,5 5,9 0,2 0,2 0,8 0,7 Spolu 2329, , , Výoba stojov, motoových vozidiel a iných dopavných postiedkov je pe Slovensko najvýznamnejší zhluk piemyslu, ktoý zamestnáva viac ako 33 tisíc osôb, čo je 3,5 % celkovej zamestnanosti. Tento zhluk pedstavuje aj najvýznamnejšiu časť impotu (49% celkového impotu) aj expotu (55% celkového expotu). Čo sa týka ďalších dvoch zhlukov, dodávka elektiny, plynu, pay a studeného vzduchu a aj dodávky vody, čistenie a odvod odpadových vôd, 3 Výbeové zisťovanie pacovných síl

36 34 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 sú menšie ako v počte pacujúcich, tak aj v ámci zahaničného obchodu. Tieto zhluky boli agegované nie kvôli veľkosti, ale hlavne kvôli ich špecifickosti výobného pocesu. Zhluk stavebníctva pedstavuje významný sekto, čo sa týka zamestnanosti, keďže v tomto zhluku pacuje takme 233 tisíc osôb (0 % celkovej zamestnanosti). Avšak v pípade zahaničného obchodu dosahuje tento zhluk minimálne podiely impotu aj expotu na celkovom súčte impotu, esp. expotu (0,2% celkového impotu a 0,3% celkového expotu). Zhluk thových služieb je najvýznamnejšie zoskupenie sektoov, čo sa týka zamestnanosti (88 tisíc osôb, esp. 35,% celkovej zamestnanosti), aj pidanej hodnoty (podiel pidanej hodnoty na celkovej pidanej hodnoty dosahuje úoveň 45,3%). Avšak v pípade zahaničného obchodu tento zhluk nedosahuje také hodnoty, ako je veľký, čo je však pi tomto zhluku piodzené. Posledným zhlukom sú nethové služby, v ktoom pacuje 600 tisíc osôb, čo je 25,8% celkovej zamestnanosti. Podiel pidanej hodnoty na celkovej pidanej hodnote tohto zhluku dosahuje úoveň 7,5%. Podiel impotu na celkovom impote je zanedbateľný (0,2%), čo je taktiež piodzené. Podiel expotu na celkovom expote je vyšší, ale taktiež píliš malý voči veľkosti zhluku (0,8%). 3 Analýza senzitívnosti V tejto časti bola vytvoená analýza senzitívnosti hlavne za účelom oboznámenia sa so spávaním modelu pi zadaní ovnakého exogénneho šoku na jednotlivé zhluky. Postup pi keovaní výsledkov bol nasledovný. Ako pvý kok bol vytvoený základný scená, ktoý až na malé numeické nepesnosti opisuje základný údajový vstup do modelu (matica spoločenského účtovania za ok 203). Pi tomto scenái ekonomika nedosahuje žiadny ast a zamestnanosť je na ovnakej úovni ako bol eálny stav v oku 203. Následne pi analýze senzitívnosti boli vytvoené altenatívne scenáe, v ktoých nastal % ast svetových cien (náast ceny pe EÚ aj zvyšok sveta) pe jednotlivé zhluky (2 scenáov) a posledný scená, v ktoom nastal % ast svetových cien pe celú ekonomiku (náast pe všetky zhluky). Výsledky týchto scenáov v ámci analýzy senzitívnosti na vybaté makoekonomické ukazovatele môžete vidieť v tabuľkách číslo 3 a 4 a v gafoch číslo a 2.

37 HDP Zamestnanosť Expot EÚ FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ Tab. 3 Výsledky analýzy senzitívnosti a poovnanie so základným scenáom pi % aste svetových cien pe jednotlivé zhluky sektoov (v pecentách) (Zdoj: Vlastné spacovanie) Expot ZS 4 Impot EÚ Impot ZS Expot Impot Píjem domácností Píjem vlády Píjem podnikov Domáca podukcia Celkové investície Poľnohospodástvo -0,02-0,03 0,03 0,03-0,03-0,0 0,03-0,02-0,07-0,07 0,9-0,0-0,07 Ťažba a dobývanie -0,29-0,34-0,7-0,22-0,55-0,70-0,55-0,60-0,8-0,33-0,72-0,45-0,43 Spacovanie píodného 0,04 0,05 0,39 0,08-0,27-0,2 0,29-0,22-0,55 0,04 2,33 0,3-0,2 piemyslu Výoba koksu a afinovaných 0,09 0,05 0,55-0,04 0,23 0,32 0,36 0,26-0,06 0,20 0,67 0,2 0,00 opných poduktov Spacovanie chemického, gumového a famaceutického piemyslu -0,03-0,0 0,27-0,34-0,26-0,27 0,07-0,26-0,37-0,05,27 0,0-0,22 Výoba a spacovanie kovov 0,06 0,06 0,78 0,58 0,2 0,58 0,7 0,33-0,59-0,0 2,46 0,24 0,29 Výoba stojov, motoových vozidiel a iných 0,4 0,20 4,26 6,22,6 2,82 4,90 2,00-4,53-0,40 7,49,70,38 dopavných postiedkov Dodávka elektiny, plynu, pay a 0,00 0,00 0,00 0,00-0,0-0,0 0,00-0,0-0,0-0,0 0,02 0,00 0,0 studeného vzduchu Dodávka vody, čistenie a odvod odpadových vôd 0,0 0,0 0,0-0,0-0,04-0,02 0,00-0,03-0,04 0,0 0,8 0,00 0,0 Stavebníctvo 0,00 0,0 0,0 0,0 0,00 0,00 0,0 0,00-0,02 0,00 0,08 0,00 0,00 Thové služby 0,03 0,0-0,02-0,2-0,33-0,23-0,05-0,30-0,3-0,0,30-0,07 0,00 Nethové služby 0,0 0,03-0,0 0,03-0,0-0,0 0,00-0,0 0,00 0,0 0,08 0,00 0,00 Všetky sektoy 0,02-0,07 5,40 6,05 0,48 2,22 5,6,04-6,60-0,73 24,83,69 0,84 4 Zvyšok sveta

38 36 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Gaf Výsledky analýzy senzitívnosti a poovnanie so základným scenáom pi % aste svetových cien pe jednotlivé zhluky sektoov (v pecentách) (Zdoj: vlastné spacovanie) V pípade % astu svetových cien v jednotlivých zhlukov a ich vplyv na ekonomiku môžeme ozdeliť eakcie ekonomiky do toch kategóií. Pvá kategóia pedstavuje minimálne dopady na slovenskú ekonomiku. Do tejto kategóie môžeme zaadiť zhluk poľnohospodástva, dodávky elektiny, plynu, pay a studeného vzduchu, dodávky vody, čistenie a odvod odpadových vôd, stavebníctva, thových služieb a nethových služieb. Pi týchto zhlukoch je možné si všimnúť, že ich obchodná bilancia je takme vyovnaná, alebo podiel impotu a expotu voči pidanej hodnote je minimálny. Zvýšenie svetových cien pe zhluky nemá významný efekt, pokiaľ je v danom zhluku minimálny zahaničný obchod alebo je v ňom zahaničný obchod vybilancovaný. Duhú kategóiu pedstavujú zhluky, v ktoých pi zvýšení svetovej ceny o %, nastanú významné negatívne dopady na ekonomiku Slovenska. Do tejto kategóie môžeme zaadiť spacovanie chemického, gumového a famaceutického piemyslu a pedovšetkým ťažbu a dobývanie. U oboch zhlukov si môžeme všimnúť, že ich obchodná bilancia je negatívna a podiel zahaničného obchodu voči veľkosti pidanej hodnoty daného zhluku je niekoľkonásobne vyšší. Zvýšenie svetovej ceny pe tieto zhluky má teda negatívny dopad na celú ekonomiku Slovenska. V pípade ťažby a dobývania je tento efekt najvýznamnejší a zasahuje ekonomiku významnou mieou. Hoci expot v tomto zhluku naástol o viac ako

39 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ ,% (naástla aj zamestnanosť o takme 3% v tomto sektoe), expot a domáca podukcia v ostatných zhlukoch klesla. Poslednou kategóiou tvoia zhluky, pi ktoých zvýšenie svetovej ceny má pozitívne dopady na ekonomiku Slovenska. Do tejto kategóie patia: spacovanie píodného piemyslu, výoba koksu a afinovaných opných poduktov, výoba a spacovanie kovov a výoba stojov, motoových vozidiel a iných dopavných postiedkov. U väčšiny z týchto zhlukov sa dá všimnúť, že ich obchodná bilancia je pozitívna. Znamená to, že v pípade zvýšenia svetových cien poducenti získajú viac a v konečnom dôsledku z toho pofituje celá ekonomika. Najvýznamnejší ast HDP a zamestnanosti bol zaznamenaný v pípade zhluku výoba stojov, motoových vozidiel a iných dopavných postiedkov. V pípade zvýšenia všetkých svetových cien v ekonomike, dosiahol HDP Slovenska len nepatný ast, zatiaľ čo celková zamestnanosť zaznamenala nepatný pokles. Zaznamenali sme však aj významný ast píjmu podnikov, ktoé bolo tvoené nielen zvýšením domácej podukcie, ale aj zväčšeným eexpotom do zahaničia HDP Zamestnanosť Gaf 2 Výsledky analýzy senzitívnosti a poovnanie so základným scenáom pi % aste svetových cien pe jednotlivé zhluky sektoov (HDP v mil. EUR, ľavá os; počet osôb v pípade zamestnanosti, pavá os) (Zdoj: vlastné spacovanie)

40 HDP Zamestnanosť Expot EÚ Expot ZS Impot EÚ Impot ZS Expot Impot Píjem domácností Píjem vlády Píjem podnikov Domáca podukcia Celkové investície 38 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Tab. 4 Výsledky analýzy senzitívnosti a poovnanie so základným scenáom pi % aste svetových cien pe jednotlivé zhluky sektoov (v mil. EUR a počet osôb v pípade zamestnanosti) (Zdoj: vlastné spacovanie) Poľnohospodá ,0 6,7-4,2 -,4 9,7-5,6-29,7-6,3 29,6-25,0 -,4 Ťažba a dobývanie ,4-48,7-247,3-5,0-380, -398,3-80, -29,9 -,2-833, -66,2 Spacovanie píodného ,2 8,4-2, -26,3 202,6-47,4-245,3 3,6 359, 235,8-8,2 piemyslu Výoba koksu a afinovaných ,2-0,0 04,0 69,6 249,2 73,6-25,3 7,9 02,6 396,2 0,6 opných poduktov Spacovanie chemického, gumového a famaceutického piemyslu ,6-77,8-6,5-56,8 48,9-73,3-63,7-4,5 96,2 9,3-34,7 Výoba a spacovanie kovov ,0 30,5 94,4 23,3 497,5 27,7-263,7-0,6 378,4 439,0 45,4 Výoba stojov, motoových vozidiel a iných dopavných ,4 405,7 724,7 603,5 3 40, 328,2-2 05,5-36, ,8 3 72,9 25,3 postiedkov Dodávka elektiny, plynu, pay a ,8-0,3-3, -,2 -, -4,3-4,4-0,7 3,3 0,6 0,8 studeného vzduchu Dodávka vody, čistenie a odvod odpadových vôd ,0-2,4-7,2-4,7,6-2,9-7,3 0,5 28,4-5,4 0,9 Stavebníctvo ,3 2,4 -,7 0,7 8,7 -,0-7,2-0,,8 9,0 0,0 Thové služby ,8-28,0-50,6-49,4-35,8-200,0-37,6-8,8 99,8-34,5 0,0 Nethové služby 608-3,4 6,0-4,0 -, 2,6-5, -, 0,5 2,7 6,0 0, Všetky sektoy ,6 365,7 28,4 476, ,3 694, ,8-65, ,0 3 42,7 30,0 V ámci analýzy senzitívnosti boli v tejto časti vytvoené ďalšie altenatívne scenáe, pedovšetkým kvôli veifikácii spávania sa modelu nielen pi zmenách svetových cien, ale aj pi zmenách zahaničného dopytu po slovenských tovaoch a službách. Bolo vytvoených 2 scenáov, v ktoých nastalo zvýšenie expotu (svetového dopytu EÚ aj zvyšok sveta) o % v danom zhluku voči základnému scenáu. Posledný scená v ámci analýzy senzitívnosti pedstavovalo zvýšenie

41 HDP Zamestnanosť Expot EÚ Expot ZS Impot EÚ Impot ZS Expot Impot Píjem domácností Píjem vlády Píjem podnikov Domáca podukcia Celkové investície FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ zahaničného dopytu o % pe všetky zhluky záoveň. Výsledky daných scenáov môžete vidieť v tabuľkách číslo 5 a 6 a na gafoch číslo 3 a 4. Tab. 5 Výsledky analýzy senzitívnosti a poovnanie so základným scenáom pi % aste expotu pe jednotlivé zhluky sektoov (v pecentách) (Zdoj: vlastné spacovanie) Poľnohospodástvo 0,05 0,7 0,02-0,04 0,00-0,0 0,00 0,00 0,05 0,04 0,07 0,03 0,04 Ťažba a dobývanie 0,0 0,02 0,0 0,00 0,00 0,00 0,0 0,00 0,00 0,00 0,05 0,0 0,0 Spacovanie píodného 0,07 0,23 0,07-0,0-0,02-0,0 0,05-0,02 0,0 0,03 0,3 0,05 0,00 piemyslu Výoba koksu a afinovaných 0,03 0,03 0,07 0,00 0,04 0,04 0,05 0,04 0,0 0,02 0,0 0,04 0,05 opných poduktov Spacovanie chemického, gumového a 0,06 0, 0,4 0,07 0,02 0,04 0, 0,03-0,05 0,04 0,46 0,07 0,04 famaceutického piemyslu Výoba a spacovanie kovov 0,02 0,02 0,07 0,06 0,03 0,05 0,06 0,03-0,02 0,0 0,5 0,03 0,00 Výoba stojov, motoových vozidiel a iných 0,5 0,35 0,48 0,77 0,27 0,36 0,58 0,30-0,7 0,09,42 0,26-0,02 dopavných postiedkov Dodávka elektiny, plynu, pay a 0, 0,20-0,05-0,0 0,05-0,02-0,07 0,03 0,37 0,0-0,76 0,03-0,20 studeného vzduchu Dodávka vody, čistenie a odvod 0,0 0,02 0,00-0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0 0,0 0,00 0,00 0,00 odpadových vôd Stavebníctvo 0,07 0,33-0,09-0,0 0,04-0,0-0,09 0,03 0,26 0,09-0,6 0,02 0,00 Thové služby 0,55,6 0,43 0,39 0,55 0,48 0,42 0,53 0,90 0,59-0,56 0,53 0,03 Nethové služby 0,07 0,28-0,2-0,2 0,03-0,03-0,2 0,0 0,29 0,09-0,70 0,0-0,03 Všetky sektoy,04 2,57,00,00 0,93 0,88,00 0,92,33 0,99 0,33,0 0,0

42 40 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Gaf 3 Výsledky analýzy senzitívnosti a poovnanie so základným scenáom pi % aste expotu pe jednotlivé zhluky sektoov (v pecentách) (Zdoj: vlastné spacovanie) U všetkých scenáov bol zaznamenaný podľa pedpokladu ast ako v pípade hubého domáceho poduktu, tak aj v pípade zamestnanosti. Pecentuálny ast zamestnanosti bol vždy väčší ako pecentuálny ast HDP 5. V pípade výsledkov jednotlivých simulácií môžeme ozdeliť výsledky do dvoch kategóií. Pvá kategóia pedstavuje minimálnu eakciu ekonomiky na % zvýšení expotu v danom zhluku. Patia sem zhluky: ťažba a dobývanie, výoba koksu a afinovaných opných poduktov, výoba a spacovanie kovov a dodávka vody, čistenie a odvod odpadových vôd. Pi duhej kategóií bol zaznamenaný signifikantný ast slovenskej ekonomiky ako v pípade HDP, tak aj v zamestnanosti. Do tejto kategóie môžeme zahnúť zhluky: poľnohospodástvo, spacovanie píodného piemyslu, spacovanie chemického, gumového a famaceutického piemyslu, výoba stojov, motoových vozidiel a iných dopavných postiedkov, dodávka elektiny, plynu, pay a studeného vzduchu, stavebníctvo, thové služby a nethové služby. 5 Tento úkaz bol spôsobený pedovšetkým zmazením miezd, ako to bolo popísané v metodike modelu.

43 HDP Zamestnanosť Expot EÚ Expot ZS Impot EÚ Impot ZS Expot Impot Píjem domácností Píjem vlády Píjem podnikov Domáca podukcia Celkové investície FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 4 Tab. 6 Výsledky analýzy senzitívnosti a poovnanie so základným scenáom pi % aste expotu pe jednotlivé zhluky sektoov (v mil. EUR a počet ľudí v pípade zamestnanosti) (Zdoj: vlastné spacovanie) Poľnohospodástvo 37, ,6-8,3 -,4 -,2,3-2,6 2, 3,2 0, 59,5 6,9 Ťažba a dobývanie 5,6 44 6,4-0,4-0,3-0,3 6,0-0,5 -,7 0,4 8,0 2,3 0,8 Spacovanie píodného 49, ,2-2,5 -,3-2,6 3,8-3,9 4,0 3,0 47,7 00,4-0,5 piemyslu Výoba koksu a afinovaných 20, ,9 -,0 6,0 8,4 3,9 24,4 3,5 2,2 5,5 68,8 7,3 opných poduktov Spacovanie chemického, gumového a 4, ,8 4,8 0,9 7,6 78,5 8,6-2,8 3,4 7,5 30,0 5,8 famaceutického piemyslu Výoba a spacovanie kovov, ,9 3,8 2,0 0,4 44,6 22,4-9,,0 23,8 49,3-0,4 Výoba stojov, motoových vozidiel a iných, ,0 74,5 23,5 76,3 402,4 99,8-75,2 8, 27,9 488,2-3, dopavných postiedkov Dodávka elektiny, plynu, pay a 82, ,6-23,2 24,8-4,5-48,8 20,3 63,3 8,9-7,7 59,5-30,5 studeného vzduchu Dodávka vody, čistenie a odvod odpadových vôd 5, ,7 -,6-2,0-0,9-2,3-2,9 4,5 0,7 0,4 4,7 0,0 Stavebníctvo 53, ,7-23,3 8,0 -,3-65,0 6,7 5,9 8, -94,7 44,8 0,3 Thové služby 409, ,8 88,5 246,2 03,9 289,3 350, 398,8 53,3-86,5 995,6 4,8 Nethové služby 54, ,0-27,8,9-6,8-83,8 5, 27,9 7,9-08,4 8,8-4,6 Všetky sektoy 774, , 225,6 42,6 89,3 694,7 6,0 59,0 89,3 5,2 88,2,9 V pípade posledného scenáa v ámci analýzy senzitívnosti bol expot zvýšený pe všetky zhluky záoveň. Toto zvýšenie bolo vo výške % v poovnaní so základným scenáom. Výsledky indikujú, že zvýšenie expotu o % navýši HDP o,04% a celková zamestnanosť vzastie o 2,57%. Na zvýšenie expotu je teda viac citlivejšia zamestnanosť než HDP.

44 42 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Gaf 4 Výsledky analýzy senzitívnosti a poovnanie so základným scenáom pi % aste expotu pe jednotlivé zhluky sektoov (HDP v mil. EUR, ľavá os; počet osôb v pípade zamestnanosti, pavá os) (Zdoj: vlastné spacovanie) 4 Analýza vybaných izík na slovenskú ekonomiku V ámci analýzy vybaných vonkajších izík na slovenskú ekonomiku bol ako pvý kok vytvoený benchmakový scená, s ktoým boli výsledky jednotlivých simulácií poovnávané. Čistý efekt výsledku simulácie pedstavoval ozdiel hodnôt medzi simuláciou a benchmakovým scenáom. Hlavný ozdiel medzi všetkými scenámi a analýzou senzitívnosti, opísanou vyššie, spočíva pedovšetkým v tom, že v tejto časti bol využitý ekuzívne dynamický CGE model. Keďže vstup do modelu pedstavuje SAM matica za ok 203, benchmakový scená bol vytvoený na základe piemeného nominálneho astu HDP a zamestnanosti medzi okmi 203 až 207. Pe Slovensko to pedstavuje piemený očný nominálny ast HDP vo výške 2,96% a piemený ast zamestnanosti vo výške 2,28%. Benchmakový scená simuluje vývoj slovenskej ekonomiky na päť okov, pičom hnacím exogénnym elementom zmien sú zmeny v poduktivite výobných faktoov a ast miezd. Efektom astu poduktivity sú následne asty zahaničného dopytu. Po identifikácii vybaných vonkajších izík pe slovenskú ekonomiku bolo vytvoených 8 scenáov, ktoé sa snažili opisovať potenciálny vývoj vo vytypovaných sektoových zhlukoch a simulovať vývoj a potenciálne dopady na

45 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ ekonomiku po aplikácii dodatočných exogénnych šokov. Jednotlivé scenáe sa dotýkajú buď piamo vybaného zhluku, alebo všetkých zhlukov naaz. Na každý altenatívny scená bol v pvom koku aplikovaný ovnaký exogénny šok ako v benchmakovom scenái (totožná zmena v poduktivite výobných faktoov a astu miezd), čím bol nastavený ovnaký vývoj ekonomiky ako v benchmakovom scenái (piemený očný nominálny ast HDP vo výške 2,96% a piemený ast zamestnanosti vo výške 2,28%). Naviac bol v každom scenái použitý špecifický šok, ktoý jednotlivé simulácie odlišuje od seba a simuluje potenciálne vonkajšie iziká. V nasledujúcej časti si popíšeme všetkých 8 altenatívnych scenáov, ktoé sme pomocou CGE modelu simulovali. Scená oceľ 5% pedstavuje pokles svetových cien ocele o 5% počas najbližších 5 okov v poovnaní s benchmakovým scenáom. Zmena svetovej ceny nastáva len v zhluku výoba a spacovanie kovov. Scená oceľ 0% simuluje pokles svetových cien ocele o 0% počas najbližších 5 okov v poovnaní s benchmakovým scenáom. Zmena svetovej ceny nastáva len v zhluku výoba a spacovanie kovov. Scená oceľ 5% pedstavuje pokles svetových cien ocele o 5% počas najbližších 5 okov v poovnaní s benchmakovým scenáom. Zmena svetovej ceny nastáva len v zhluku výoba a spacovanie kovov. Scená opa 0% simuluje ast svetovej ceny opy o 0% počas najbližších 5 okov v poovnaní s benchmakovým scenáom. Zmena svetovej ceny nastáva len v zhluku ťažba a dobývanie 6. Scená opa 50% pedstavuje ast svetovej ceny opy o 50% počas najbližších 5 okov v poovnaní s benchmakovým scenáom. Zmena svetovej ceny nastáva len v zhluku ťažba a dobývanie. Scená dopyt simuluje zníženie expotovaného množstva tovaov o 0,5% v každom oku počas najbližších 5 okov v poovnaní s benchmakovým scenáom. Zmena v objeme expotu nastáva v každom zhluku ovnomene. Scená potaviny 5% pedstavuje ast svetových cien základných potavín o 5% počas najbližších 5 okov v poovnaní s benchmakovým scenáom. Zmena svetovej ceny nastáva len v zhluku poľnohospodástvo. Scená potaviny 20% simuluje ast svetových cien základných potavín o 20% počas najbližších 5 okov v poovnaní s benchmakovým scenáom. Zmena svetovej ceny nastáva len v zhluku poľnohospodástvo. V nasledujúcej tabuľke sú uvedené zmeny svetových cien vo vybatých zhlukoch ekonomiky a zmeny v expote (scená dopyt), ktoé boli v jednotlivých simuláciách zavedené ako exogénne šoky. Nižšie uvedené zmeny boli do simulácií aplikované v jednotlivých časových obdobiach v poovnaní s benchmakovým scenáom. 6 Impot opy a zemného plynu (v číselníku NACE REV. 2 označený ako 06) pedstavuje 85% impotovaného množstva v zhluku Ťažba a dobývanie.

46 44 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Tab. 7 Pecentuálne zmeny svetových cien a veľkosti dopytu (scená dopyt) počas jednotlivých období v poovnaní s benchmakovým scenáom (v pecentách) (Zdoj: vlastné spacovanie) Scená / časové obdobie Spolu Oceľ 5% Oceľ 0% Oceľ 5% Ropa 0% Ropa 50% Dopyt -0,5-0,5-0,5-0,5-0,5-2,5 Potaviny 5% Potaviny 20% Výsledky simulácie naznačujú, že vyššie popísané vybané iziká môžeme ozdeliť na tie, ktoé majú miene negatívne až pozitívne efekty na slovenskú ekonomiku, a tie so silnejším negatívnym dopadom. Na gafoch číslo 5 a 6 sú znázonené výsledky scenáov v poovnaní s benchmakovým scenáom v pecentách. Gaf číslo 5 opisuje pecentuálne zmeny v HDP počas jednotlivých období, zatiaľ čo na gafe číslo 6 sú znázonené pecentuálne zmeny celkovej zamestnanosti pe jednotlivé scenáe počas simulovaného obdobia. Gaf 5 Vývoj HDP v poovnaní s benchmakovým scenáom pe jednotlivé scenáe (v pecentách) (Zdoj: vlastné spacovanie)

47 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ Gaf 6 Vývoj celkovej zamestnanosti v poovnaní s benchmakovým scenáom pe jednotlivé scenáe (v pecentách) (Zdoj: vlastné spacovanie) V pípade scenáov, v ktoých sa menila svetová cena ocele o 5%, 0% a 5%, model simuluje miene negatívne až miene pozitívne vplyvy na slovenskú ekonomiku. Zníženie svetovej ceny ocele o 5% má negatívny vplyv na zhluk výoby a spacovanie kovov, keďže slovenským výobcom ocele sa znižuje pofit a klesá expot do zahaničia. Na duhej stane astie impot z tohto zhluku na slovenský th. Domáca podukcia ocele klesá a zníženie ceny tovaov nie je až také výazné, aby z toho vo väčšom meadle pofitoval zvyšok ekonomiky. Celkové dopady na ekonomiku sú miene negatívne, HDP klesol v poovnaní s benchmakovým scenáom v poslednom sledovanom období o 09 mil. EUR a celková zamestnanosť klesla v tomto období o viac ako 3,5 tisíc osôb. V pípade scenáa oceľ 0% dochádza k zaujímavému zvatu vo vývoji, keď po pvotnom mienom poklese ekonomiky sa v duhej časti sledovaného obdobia zaznamenal mieny ast. V tomto pípade je síce zhluk výoby a spacovanie kovov poznačený pádom dastickejšie, ale na duhej stane zvyšok ekonomiky začína výaznejšie pofitovať z nižších svetových cien ocele. V poslednom sledovanom období sa stata na HDP zmienila na 9 mil. EUR a celková zamestnanosť poklesla o viac ako,4 tisíc osôb v poovnaní s benchmakovým scenáom. Ak sa pozieme na scená oceľ 5%, tak je tento jav ešte výaznejší. Po pvotnom poklese v samotnom zhluku a zvyšku ekonomiky sa začína z výaznejšieho poklesu svetových cien ocele zvyšovať pofit zvyšku ekonomiky ped samotným pádom pedmetného zhluku. Podukcia v danom zhluku klesne na konci sledovaného zhluku o takme tetinu v poovnaní s benchmakovým scenáom, avšak ast zvyšku ekonomiky zapíčiní ast HDP o 205 mil. EUR a ast celkovej zamestnanosti o 5,2 tisíc osôb v poovnaní s benchmakovým scenáom.

48 46 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Výsledkom týchto toch scenáov je záve, že v pípade malého poklesu svetových cien najviac utpí daný sekto, pičom zvyšok ekonomiky má malý pofit z poklesu svetových cien. V pípade výazného poklesu svetových cien môže byť tento pokles deštukčný pe dané odvetvie, avšak zvyšok ekonomiky výazne pofituje z daného poklesu svetovej ceny. Tab. 8 Pecentuálne zmeny hubého domáceho poduktu jednotlivých scenáov počas jednotlivých období v poovnaní s benchmakovým scenáom (v pecentách) (Zdoj: vlastné spacovanie) Scená / časové obdobie Oceľ 5% 0,0% -0,% -0,% -0,% -0,% Oceľ 0% 0,0% -0,% -0,% -0,% 0,0% Oceľ 5% 0,0% -0,% -0,% 0,0% 0,2% Ropa 0% -0,3% -0,9% -,4% -,9% -2,7% Ropa 50% -0,6% -,9% -3,9% -6,3% -8,5% Dopyt -0,5% -,0% -,6% -2,% -2,6% Potaviny 5% 0,0% 0,0% 0,0% -0,% -0,% Potaviny 20% 0,0% 0,0% -0,% -0,2% -0,2% Tab. 9 Pecentuálne zmeny celkovej zamestnanosti jednotlivých scenáov počas jednotlivých období v poovnaní s benchmakovým scenáom (v pecentách) (Zdoj: vlastné spacovanie) Scená / časové obdobie Oceľ 5% 0,0% -0,% -0,% -0,% -0,% Oceľ 0% 0,0% -0,% -0,% -0,% -0,% Oceľ 5% 0,0% -0,% -0,% 0,0% 0,2% Ropa 0% -0,3% -,0% -,6% -2,3% -3,% Ropa 50% -0,7% -2,2% -4,6% -7,5% -0,4% Dopyt -,3% -2,6% -3,8% -5,% -6,3% Potaviny 5% 0,0% -0,% -0,% -0,% -0,% Potaviny 20% 0,0% -0,% -0,2% -0,3% -0,5% V scenáoch opa 0% a opa 50% boli simulované náasty svetovej ceny opy o 0%, esp. 50% v poovnaní s benchmakovým scenáom. Výsledky scenáa opa 0% indikujú, že opa je jedným z najdôležitejších vstupov do výobného pocesu slovenskej ekonomiky. Kvôli zvýšeniu svetovej ceny opy o 0% dosiahla slovenská ekonomika v poslednom sledovanom období pokles HDP o viac ako 2,3 mld. EUR a pokles celkovej zamestnanosti dosiahol takme 82 tisíc osôb. Poklesom výoby a zamestnanosti boli zasiahnuté takme všetky zhluky, pedovšetkým však výoba koksu a afinovaných opných poduktov, výoba a spacovanie kovov, stavebníctvo a thové služby. Mieny ast zaznamenalo

49 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ odvetvie ťažby a dobývania, pedovšetkým kvôli vyšším svetovým cenám v tomto zhluku. Pi scenái opa 50%, v ktoom bol simulovaný náast svetovej ceny opy o 50%, je pokles ekonomiky a zamestnanosti ešte výaznejší. HDP v poslednom sledovanom období poklesol o 7,3 mld. EUR 7 a celková zamestnanosť poklesla o takme 270 tisíc osôb (8,5%) v poovnaní s benchmakovým scenáom. Výsledkom týchto dvoch scenáov je záve, že opa je dôležitá komodita pe slovenskú ekonomiku, a každé zvýšenie svetových cien sa negatívne dotkne ako slovenskej podukcie, tak aj zamestnanosti. Tab. 0 Zmeny hubého domáceho poduktu jednotlivých scenáov počas jednotlivých období v poovnaní s benchmakovým scenáom ( v mil. EUR) (Zdoj: vlastné spacovanie) Scená / časové obdobie Oceľ 5% Oceľ 0% Oceľ 5% Ropa 0% Ropa 50% Dopyt Potaviny 5% Potaviny 20% Tab. Zmeny celkovej zamestnanosti jednotlivých scenáov počas jednotlivých období v poovnaní s benchmakovým scenáom ( v osobách) (Zdoj: vlastné spacovanie) Scená / časové obdobie Oceľ 5% Oceľ 0% Oceľ 5% Ropa 0% Ropa 50% Dopyt Potaviny 5% Potaviny 20% V pípade scenáa dopyt bol simulovaný pokles svetového dopytu (zníženie expotu) po slovenských tovaoch a službách o 0,5% očne pe všetky zhluky. Výsledkom simulácie CGE modelom je pokles HDP aj celkovej zamestnanosti v poslednom sledovanom období o 2,3 mld. EUR (2,6%) a 64 tisíc osôb (6,3%). 7 Aj v pípade tohto scenáa, v ktoom model nasimuloval najvyšší pokles HDP v poovnaní s benchmakovým scenáom, slovenská ekonomika zaznamenáva medziočný ast HDP vo výške od 0,45% až do 0,89%.Celková zamestnanosť klesla o 32 tisíc osôb.

50 Oceľ 5% Oceľ 0% Oceľ 5% Ropa 0% Ropa 50% Dopyt Potaviny 5% Potaviny 20% 48 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Pokles zamestnanosti bol najvýznamnejší v zhluku poľnohospodástva a dodávky vody, čistenia a odvod odpadových vôd. Najmenej výazný pokles zamestnanosti bol zaznamenaný v zhluku nethových služieb a výoby a spacovanie kovov. Zhluk, ktoý zaznamenal najmenší pepad domácej podukcie v poovnaní s ostatnými zhlukmi, je stavebníctvo. Napiek tomu, že pi poklese dopytu po slovenských tovaoch a službách model nasimuloval podobný pokles HDP ako v pípade scenáa opa 0%, celková zamestnanosť v tomto scenái bola nižšia o 82 tisíc osôb (3,2%). Výsledkom tohto scenáa je fakt, že slovenská ekonomika je veľmi citlivá na zmenu zahaničného dopytu, a každé zníženie expotu sa signifikantne pejaví v celkovej zamestnanosti. Tab. 2 Rozdiely vybaných indikátoov medzi jednotlivými scenámi a benchmakovým scenáom v pecentách (kumulatívne) (Zdoj: vlastné spacovanie) HDP 0% 0% 0% -7% -2% -8% 0% -% Zamestnanosť -% 0% 0% -8% -25% -9% 0% -% Expot EÚ -7% -9% -8% -4% -22% -8% 0% % Expot ZS -4% -4% -3% -4% -8% -8% 0% % Impot EÚ -% -% 0% -3% -37% -7% 0% -% Impot ZS -5% -6% -5% -5% -38% -7% 0% 0% Expot -6% -7% -7% -% -7% -8% 0% % Impot -3% -3% -2% -3% -37% -7% 0% -% Domáca podukcia -2% -2% -% -0% -24% -8% 0% 0% Celkové investície -4% -8% -% -0% -30% 0% -% -3% V posledných dvoch simuláciách bol modelovaný ast cien potavín postedníctvom astu svetových cien v zhluku poľnohospodástva o 5%, esp. o 20%. Keďže daný zhluk je malý v poovnaní so zvyškom ekonomiky a výazne nevstupuje do iných častí výobného pocesu, celkový efekt na slovenskú ekonomiku je minimálny. V poslednom sledovanom období bol zaznamenaný pokles HDP o 73 mil. EUR, esp. o 20 mil. EUR a pepad celkovej zamestnanosti o takme 4 tisíc osôb, esp. 3 tisíc osôb v poovnaní s benchmakovým scenáom. Poklesy ako HDP, tak aj zamestnanosti sú kontinuálne a nedochádza tu k podobnému efektu ako v pípade scenáov s oceľou. Najvýaznejší pokles zamestnanosti bol zaznamenaný v zhluku spacovanie píodného piemyslu, v ktoom sa nachádza aj sekto spacovania a výoby potavín. Na duhej stane, výazný ast bol zaznamenaný v zhluku poľnohospodástva. Zmenou svetových cien v zhluku poľnohospodástva bol dosiahnutí nepatný pokles výkonu

51 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ ekonomiky a zamestnanosti pedovšetkým kvôli malému významu tohto sektoa a malého pepojenia zhluku so zvyškom ekonomiky. 5 Záve Táto štúdia sa venovala analýze dopadov vonkajších izík na slovenskú ekonomiku s využitým CGE modelu. Jedným z jej hlavných pínosov je vytvoená analýza senzitívnosti, ktoá skúma dopady zmien svetovej ceny v jednotlivých zhlukoch ekonomiky, ktoé boli vytvoené zo slovenských sektoov v ámci tejto páce. Okem skúmania dopadov na ekonomiku pi zmenách cien obsahuje táto analýza senzitívnosti aj potenciálne dopady pi zvýšení zahaničného dopytu po jednotlivých tovaoch a službách. Výsledkom analýzy je fakt, že pi každom zvýšení zahaničného dopytu model indikuje vždy pozitívne, aj keď v niektoých pípadoch takme nulové, dopady na hlavné makoekonomické ukazovatele. Tento záve nie je totožný pi zvyšovaní svetových cien pe jednotlivé zhluky sektoov. Existujú sektoové zhluky, pi ktoých zvýšenie svetovej ceny má pozitívy efekt (spacovanie píodného piemyslu, výoba koksu a afinovaných opných poduktov, výoba a spacovanie kovov a výoba stojov, motoových vozidiel a iných dopavných postiedkov). Pi iných zhlukoch boli zaznamenané negatívne dopady na slovenskú ekonomiku (spacovanie chemického, gumového a famaceutického piemyslu a ťažba a dobývanie). Existujú však aj sektoové zhluky s minimálnym dopadom na slovenskú ekonomiku v pípade zvýšenia svetových cien (poľnohospodástvo, dodávka elektiny, plynu, pay a studeného vzduchu, dodávka vody, čistenie a odvod odpadových vôd, stavebníctvo, thové služby a nethové služby). V pípade zvýšenia svetových cien vo všetkých sektoových zhlukoch záoveň, dosiahol simulovaný HDP Slovenska len nepatný ast, zatiaľ čo celková zamestnanosť zaznamenala nepatný pokles. Duhá nosná časť tejto páce sa venovala simuláciám potenciálnych izík a ich dopadov na slovenskú ekonomiku s využitím CGE modelu. V ámci tejto časti boli vytvoené altenatívne scenáe, ktoé simulovali zníženie svetovej ceny ocele, zvýšenie svetovej ceny opy, zníženie zahaničného dopytu po slovenských tovaoch a službách a zvýšenie svetových cien základných potavín. Najvýaznejšie iziká pedstavuje zvýšenie svetovej ceny opy, keďže je jednou z hlavných komodít a vstupuje do výobného pocesu v ámci celej ekonomiky. Ďalším hlavným izikom je zníženie dopytu po slovenských tovaoch a službách, keďže Slovensko je malá, otvoená ekonomika. Každé zníženie zahaničného dopytu má negatívny dopad na základné makoekonomické ukazovatele. Sila dopadov závisí pedovšetkým od celkového zníženia zahaničného dopytu. Výsledky scenáov, v ktoých boli simulované zmeny svetových cien základných potavín, indikujú malé dopady na slovenskú ekonomiku. Poľnohospodástvo

52 50 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 a výoba základných potavín pedstavuje malú časť slovenskej ekonomiky, ktoá zásadne nevstupuje do výobného pocesu zvyšku ekonomiky. Poslednou simuláciou, ktoej sa venovala táto páca, je zníženie svetových cien ocele spôsobené pedovšetkým potekcionizmom USA. Výsledky indikujú, že zatiaľ čo pi malom znížení svetovej ceny utpí hlavne zhluk výoby a spacovanie kovov, pi výaznejšom znížení svetovej ceny je pínos pe zvyšok ekonomiky väčší ako adikálny útlm tomto zhluku. 6 Liteatúa Aow, K., & Debeu, G. (954). Existence of an Equilibium fo a Competitive Economy. Econometica, 22, s Devis, K., De Melo, J., & Robinson, S. (982). Geneal Equilibium Models fo Development Policy. New Yok: Cambidge Univesity Pess. McDonald, S. (2007). A static applied geneal equilibium model: Technical documentation. STAGE Vesion,. McDonald, S., Robinson, S., & Thiefelde, K. (2005). A SAM Based Global CGE Model using GTAP Data. Sheffield Economics Reseach Pape 2005:00.: The Univesity of Sheffield. Miklošovič, T. (204). CGE model a možnosti jeho aplikácie na vybané zmeny v slovenskej ekonomike. Batislava: Univezita Komenského v Batislave. Obadi, S. M. & kol. (207). Vývoj a pespektívy svetovej ekonomiky: Kehký posun z oblasti izika do astovej tajektóie. Batislava, ISBN Obadi, S. M., Kosí, I. & Koček, M. (207). The Impact of low oil pices on the tade balance of Balkan counties and thei enegy secuity. In Enegy economics lettes, vol. 4, no. 3, p Robinson, S., Kilkenny, M., & Hanson, K. (990). USDA/ERS Computable Geneal Equilibium Model of the United States. Economic Reseach Sevice, USDA, Staff Repot AGES Poďakovanie Článok bol vypacovaný za podpoy gantových agentú APVV , VEGA 2/035/7 a VEGA 2/082/7.

53 FORUM STATISTICUM SLOVACUM Vol 4 (208) No 2 pp 5-60 Zhlukovanie časových adov dlhodobých úokových mie Clusteing Time Seies of Long-tem Inteest Rates Beáta Stehlíková Fakulta matematiky, fyziky a infomatiky, Univezita Komenského, Mlynská dolina, Batislava Faculty of Mathematics, Physics and Infomatics, Comenius Univesity, Mlynská dolina, Batislava, Slovakia stehlikova@fmph.uniba.sk Abstakt: V článku sa zaobeáme zhlukovaním časových adov dlhodobých úokových mie v štátoch Euópskej únie. Aplikujeme algoitmus hieachického zhlukovania s vhodne zvolenými paametami, pomocou ktoého identifikujeme skupiny štátov s podobným vývojom úokových mie. Výsledky poovnáme so zhlukovaním využívajúcim vzdialenosti počítané z koelačnej matice. Abstact: In the pape we deal with clusteing time seies of long-tem inteest ates in the counties of the Euopean Union. We apply a hieachical clusteing algoithm with suitable chosen paametes, by which we identify goups of counties with a simila evolution of the inteest ates. We compae the esults with clusteing using distances computed fom the coelation matix. Kľúčové slová: časové ady, zhlukovanie, dlhodobé úokové miey Key wods: time seies, clusteing, long-tem inteest ates Úvod Zhlukovanie je metóda analýzy dát, ktoej cieľom je zaadiť pozoované objekty do tied tak, aby v spoločnej tiede boli objekty s podobnými vlastnosťami a aby objekty zaadené do ôznych skupín boli odlišné. Nemáme pitom infomáciu o tom, na základe čoho by tieto tiedy mali byť definované, pozi (Rai, Singh, 200). Zhlukovanie v pípade, že študovanými objektami sú časové ady, pedstavuje dôležitý špeciálny pípad. Existuje veľké množstvo štúdií s aplikáciami zhlukovania časových adov, zaobeajú sa napíklad podľa pehľadového článku (Aghabozogi, 205), ktoý uvádza aj efeencie na konkétne štúdie hľadaním typických piebehov spoteby enegie, vzťahov medzi klimatickými indexami, pípavou astonomických dáta ped hľadaním odľahlých pozoovaní, analyzovaním dát týkajúcich sa vývoja cien akcií, génovej expesie alebo zemetasení. Jednou z chaakteistík zhlukovania časových adov je veľký ozme poblému, nakoľko vektoy hodnôt, ktoé sa zhlukujú, majú ozme ovný dĺžke uvažovaných časových adov. V niektoých pípadoch môže ísť navyše o viacozmené dáta, kedy je jedným objektom niekoľko časových adov. Existujú viaceé metódy na

54 52 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 zníženie ozmeu úlohy, založené sú najmä spôsobe epezentácie časového adu. Jednotlivé metódy zhlukovania časových adov sa ďalej líšia epezentáciou časového adu, použitou mieou podobnosti, esp. vzdialenosti, metódou hľadania pototypov chaakteizujúcich jednotlivé zhluky, ako aj pincípom, na ktoom je založené zhlukovanie. V článku (Aghabozogi, 205) sa uvádzajú píklady ôznych pístupov k uvedeným otázkam, ktoé môžeme nájsť v najnovších publikáciách z tejto oblasti. Jedna z klasifikácií vychádza z toho, či sa zhlukujú celé časové ady, ich vybané časti alebo samostatné pozoovanie. Ďalšie ozdelenie vychádza zo zhlukovania, ktoé môže byť založené na tvae, čtách alebo na učitom modeli. V tomto článku sa zaobeáme zhlukovaním časových adov dlhodobých úokových mie v štátoch Euópskej únie, ktoé sú dostupné na webovej stánke Euópskej centálnej banky (s výnimkou Estónska, pe ktoé neexistuje úoková miea s požadovanými vlastnosťami). Použijeme pitom hieachické zhlukovanie implementované v knižnici dtwclust (Sada-Espinosa, 208) softvéu R a výsledky poovnáme so zhlukovaním na základe vzdialeností počítaných z koelačnej matice difeencií (Mantegna, 999), ktoé spavíme dvoma spôsobmi piamym použitím vzdialeností a konštukciou najlacnejšej kosty v gafe a následným hľadaním komunít. 2 Dlhodobé úokové miey v štátoch Euópskej únie Podľa webovej stánky Euópskej centálnej banky zveejňované dlhodobé úokové miey pedstavujú úokové miey štátnych dlhopisov s vysokou dobou splatnosti. Ak nie sú dostupné výnosy štátnych dlhopisov, použijú sa apoximatívne hodnoty odvodené z výnosov dlhopisov v súkomnom sektoe alebo iných indikátoov. Hamonizované dlhodobé úokové miey sa používajú ako jedno z konvegenčných kitéií. V našej analýze pacujeme s mesačnými časovými admi 28 štátov Euópskej únie (okem Estónska, ako už bolo uvedené v úvode) z obdobia od januáa 2006 do decemba 207, čo pedstavuje najdlhšie obdobie celých okov, pe ktoé sú dostupné údaje pe všetky štáty. Výnimkou je Gécko v júli 205, kedy bol nefunkčný finančný th, túto chýbajúcu hodnotu sme nahadili aitmetickým piemeom susedných hodnôt. Na gafe je zobazený piebeh úokových mie. Hoci na gafe nie je kvôli veľkému množstvu dát dobe ozlíšiť všetky štáty, môžeme si všimnúť väčšiu skupinu štátov s podobným piebehom v spodnej časti gafu. Môžeme peto očakávať jeden väčší zhluk, ktoý zodpovedá páve týmto štátom.

55 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ Gaf Dlhodobé úokové miey v štátoch Euópskej únie (Zdoj: vlastné spacovanie údajov Euópskej centálnej banky) 3 Použité metódy zhlukovania Na zhlukovanie časových adov sme použili funkciu tsclust z knižnice dtwclust (Sada-Espinosa, 208). Pi jej použití teba špecifikovať jej paamete, ktoé učujú, akým spôsobom sa majú dáta zhlukovať. V našom pípade môžeme postup zhnúť nasledovne: Dáta sa najskô tansfomujú pomocou Z- tansfomácie. Na meanie vzdialenosti medzi časovými admi sa použije metóda založená na kížovej koelácii navhnutá v článku (Paaizos, Gavano, 205). Pe ealizácie nomalizovaných časových adov x = (x,, x m ) a y = (y,, y m ) sa definuje (0,, 0, x x (s) = {, x 2,, x m s ), s 0, (x s,,, x m, x m, 0,, 0), s < 0, kde s je počet núl pidaných na začiatok, esp. na koniec vektoa. Po uvažovaní všetkých možných takýchto posunov časového adu x sa vypočítajú kížové koelácie CC w (x, y) pe w {,, 2m } ako CC w (x, y) = R w m (x, y), kde m k R k (x, y) = { x l+ky l, k 0, l= R k (y, x), k < 0.

56 54 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Cieľom je nájsť také w, ktoé maximalizuje kížovú koeláciu CC w. To učuje optimálny posun s = w m pi poovnávaní časových adov x, y. SBD vzdialenosť (shaped-based distance) časových adov je na základe tohto optimálneho posunu definovaná ako SBD(x, y) = max w ( CC w (x, y) R 0 (x, x) R 0 (y, y) ). Následne sa aplikuje hieachické zhlukovanie. Pe poovnanie budeme uvažovať zhlukovanie na základe koelačnej matice stacionánych časových adov. Ak vzdialenosť medzi dvoma časovými admi definujeme ako 2( 2 ), kde je koelácia medzi týmito časovými admi, tak podľa (Mantegna, 999) takto definovaná vzdialenosť spĺňa axiómy vzdialenosti. Takýto spôsobom boli analyzované výnosy akcií (Mantegna, 999), výmenné kuzy (Kesin et al., 20), zahaničný obchod (Kanta et al., 20) atď. Na základe vzdialenosti opäť spavíme hieachické zhlukovanie. Duhou metódou, pi ktoej využijeme maticu vzdialeností (poznamenajme, že tento postup sa použil aj v citovaných pácach) bude zostojenie gafu, ktoého vcholy sú uvažované štáty a medzi každými dvoma vcholmi existuje hana, ktoej váha je daná hoeuvedenou vzdialenosťou. Pe tento gaf zostojíme tzv. minimálnu kostu. Kostou gafu nazývame súvislý podgaf na všetkých vcholoch gafu neobsahujúci cyklus, minimálnou kostou je kosta, ktoá má najmenší súčet váh hán. Použijeme pitom funkciu mst z knižnice igaph (Csadi, Nepusz, 2006), ktoá používa Pimov (Pim, 957), esp. Janíkov (Janík, 930) algoitmus na hľadanie minimálnej kosty. Podobnejšie infomácie o teóii gafov, vátane kostie a algoitmy na hľadanie minimálnej kosty sa dajú nájsť napíklad v (Matoušek, Nešetřil, 202). Pe takto zostojenú kostu budeme hľadať tzv. komunity, pičom použijeme tzv. walktap community algoitmus (Pons, Latapy, 2006) implementovaný v knižnici igaph jazyka R (Csadi, Nepusz, 2006), ktoý je založený na myšlienke, že pi kátkej náhodnej pechádzke po hanách gafu by sme mali tendenciu zostávať v tej istej komunite. Náhodná pechádzka po gafe je definovaná Makovovým eťazcom, ktoého stavmi sú vcholy gafu a matica pavdepodobností pechodu P je P ij = A ij d(i),

57 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ kde A je matica s váhami gafu (t. j. pvok A ij sa ovná váhe hany spájajúcej vcholy i, j, ak takáto hana existuje, inak sa ovná nule) a d(i) = j A ij. Je známe, že pvok v i-tom iadku a j-tom stĺpci t-tej mocniny matice P vyjaduje pavdepodobnosť, že náhodnou pechádzkou dĺžky t sa dostaneme z vcholu i do vcholu j. Na základe tejto intepetácie sa vzdialenosť vcholov i, j definuje ako n ij = (P ik t P t jk ) 2, d(k) k= kde n je počet vcholov gafu a t je pevne zvolená dĺžka náhodnej pechádzky, ktoú uvažujeme (autoi odpoúčajú hodnoty medzi 3 a 8). Analogicky sa definuje vzdialenosť medzi dvoma podmnožinami vcholov C, C 2 ako n C,C 2 = (P t t C k P C2 k) 2, d(k) k= t kde P Ck = C P ik t i C a vzdialenosť vcholu i od množiny vcholov C tak, že sa vchol nahadí jednopvkovou množinou vcholov a použije sa pedchádzajúca definícia. Samotné vytváanie komunít v gafe sa začína situáciou, v ktoej každý vchol tvoí samostatnú komunitu. V každom koku sa vybeú dve komunity a zlúčia sa. Komunity, ktoé sa zlúčia, sú vybané tak, aby sa minimalizovala suma štvocov vzdialeností medzi každým vcholom a komunitou, do ktoej patí. 4 Výsledky zhlukovania pomocou knižnice dtwclust Pi použití knižnice dtwclust (Sada-Espinosa, 208) so špecifikáciou zodpovedajúcou algoitmu uvedenému v kapitole 3 sme zvolili 5 zhlukov, nakoľko pi tomto počte sú výsledné zhluky tansfomovaných dát vizuálne vyhovujúce. Gaf 2 zobazuje piebeh Z tansfomovaných dát v jednotlivých zhlukoch. V tabuľke uvádzame štáty, ktoé patia do jednotlivých zhlukov. 5 Poovnanie so zhlukovaním založenom na vzdialenosti počítanej z koelácií Kvôli splneniu pedpokladu stacionaity uvažovaných časových adov sme pacovali s difeenciami úokových mie. Na gafe 3 zobazujeme vypočítané koelácie, pičom štáty sú peuspoiadané tak, aby bolo možné pozoovať ich zhlukovanie. Z koelácií sme vypočítali vzdialenosti vzťahom z kapitoly 3 a pe lepšie poovnanie výsledkov sme pi následkom hieachickom zhlukovaní znovu zvolili 5 zhlukov. Zaadenie štátov do zhlukov, uvádzame v tabuľke 2.

58 56 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Tab. Štáty zaadené do zhlukov (Zdoj: vlastné spacovanie) Zhluk Štáty Belgicko, Česká epublika, Dánsko, Fínsko, Fancúzsko, Holandsko, Luxembusko, Maďasko, Malta, Nemecko, Poľsko, Rakúsko, Rumunsko, Slovensko, Spojené káľovstvo, Švédsko 2 Cypus 3 Ísko, Potugalsko, Slovinsko, Španielsko, Taliansko 4 Gécko 5 Bulhasko, Chovátsko, Litva, Lotyšsko Gaf 2 Tansfomované dáta zaadené do zhlukov únie (Zdoj: vlastné spacovanie) Tab. 2 Štáty zaadené do zhlukov pi využití vzdialenosti difeencií (Zdoj: vlastné spacovanie) Zhluk Štáty Česká epublika, Dánsko, Fínsko, Fancúzsko, Holandsko, Luxembusko, Malta, Nemecko, Spojené káľovstvo, Švédsko 2 Ísko, Maďasko, Poľsko, Potugalsko, Slovensko, Slovinsko, Španielsko, Taliansko 3 Litva, Lotyšsko, Rumunsko, 4 Bulhasko, Chovátsko, Gécko 5 Belgicko, Cypus

59 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ Gaf 3 Koelácie difeencií dlhodobých úokových mie (Zdoj: vlastné spacovanie) Zo vzdialeností vypočítaných z koelácií difeencií sme ďalej zostojili gaf, pe ktoý sme našli minimálnu kostu, ktoú zobazujeme na gafe 4. Použitím walktap community algoitmu sme opäť našli 5 komunít. Tieto komunity (zhluky) sú uvedené v tabuľke 3. Tab. 3 Štáty zaadené do zhlukov pi použití minimálnej kosty ( Zdoj: vlastné spacovanie) Zhluk Štáty Fínsko, Fancúzsko, Holandsko, Ísko, Luxembusko, Malta, Rakúsko, Slovensko, Španielsko 2 Dánsko, Nemecko, Spojené káľovstvo, Švédsko 3 Česká epublika, Litva, Lotyšsko, Maďasko, Poľsko, Rumunsko 4 Bulhasko, Chovátsko, Slovinsko, Taliansko 5 Belgicko, Cypus, Gécko, Potugalsko

60 58 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Gaf 4 Minimálna kosta počítaná z difeencií dlhodobých úokových mie (Zdoj: vlastné spacovanie) 6 Záve Aplikovali sme zvolenú metódu hieachického zhlukovania časových adov na údaje o dlhodobých úokových mieach v štátoch Euópskej únie a zaadili sme ich do piatich zhlukov. Štáty s výazne odlišným piebehom Cypus a Gécko sa ocitli v samostatných zhlukoch. Veľká časť štátov mala podobný piebeh úokových mie a tvoia jeden veľký zhluk. Ostatné sa ozdelili do dvoch zhlukov, ktoé sú logické aj z hľadiska ekonomického vývoja v týchto štátoch. Pvý zhluk tvoia Ísko, Potugalsko, Slovinsko, Španielsko, Taliansko. V duhom zhluku je Bulhasko, Chovátsko, Litva a Lotyšsko. Tieto výsledky môžeme poovnať so zhlukovaním na základe vzdialeností počítaných z koelačnej matice, ktoá je často používaná v liteatúe pe ôzne oblasti aplikácií. Túto vzdialenosť sme využili dvoma ôznymi spôsobmi piamo v hieachickom zhlukovaní a na konštukciu gafu a následne jeho minimálnej kosty. Pi poovnaní zaadenia štátov do zhlukov si môžeme všimnúť, že niektoé boli zaadené do spoločného zhluku pi viaceých metódach, kým iné sa spolu neocitli nikdy (čo vzhľadom na výazne ôzny piebeh úokových mie v niektoých

61 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ štátoch nie je pekvapujúce). Štáty, ktoé boli v ovnakom zhluku vo všetkých toch pípadoch, sú: dvojice: Poľsko Maďasko, Litva Lotyšsko, Bulhasko - Chovátsko, Ísko Španielsko, Taliansko Slovinsko, skupina štátov: Spojené káľovstvo, Švédsko, Dánsko, Nemecko, skupina štátov: Fínsko, Fancúzsko, Holandsko, Luxembusko, Malta, Rakúsko. Lepšie výsledky by sme mohli dostať poovnaním výsledkov viaceých zhlukovacích metód. V tom pípade zejme nie úplne všetky zaadia učitú skupinu štátov do toho istého zhluku, peto sa chceme v ďalšej našej páci zaobeať otázkou skombinovania výsledkov pi použití viaceých algoitmov, esp. viaceých možných nastavení ich paametov, či počtu zhlukov. Cieľom bude zistiť, či takéto výsledky neumožnia lepšie oddelenie zhlukov ako analýza pôvodných dát vybanou (z učitého hľadiska pefeovanou) metódou. 7 Liteatúa Aghabozogi, S., Shikhoshidi, A. S., & Wah, T. Y. (205). Time-seies clusteing A decade eview. Infomation Systems, 53, 6-38 Nepusz, G. C. A. T., & Csádi, G. (2006). The igaph softwae package fo complex netwok eseach. Complex Systems, 695(5), -9. Janík, V. (930). O jistém poblému minimálním. Páce Moavské píodovědecké společnosti, 6, Kanta, E., Devien, B., & Keskin, M. (20). Hieachical stuctue of Tukey s foeign tade. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 390(20), Keskin, M., Devien, B., & Kocakaplan, Y. (20). Topology of the coelation netwoks among majo cuencies using hieachical stuctue methods. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 390 (4), Long-tem inteest ate statistics fo EU Membe States. nteest_ates/html/index.en.html Mantegna, R. N. (999). Hieachical stuctue in financial makets. The Euopean Physical Jounal B-Condensed Matte and Complex Systems, (), Matousek, J., & Nesetil, J. (202). Kapitoly z disketni matematiky. Kaolinum, Paha. Papaizos, J., & Gavano, L. (205, May). k-shape: Efficient and accuate clusteing of time seies. In Poceedings of the 205 ACM SIGMOD Intenational Confeence on Management of Data (pp ). ACM. Pons, P., & Latapy, M. (2006). Computing communities in lage netwoks using andom walks. Jounal of Gaph Algoithms and Applications, 0(2), 9-28.

62 60 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Pim, R. C. (957). Shotest connection netwoks and some genealizations. Bell system technical jounal, 36(6), Rai, P., & Singh, S. (200). A suvey of clusteing techniques. Intenational Jounal of Compute Applications, 7(2), -5. Sada-Espinosa, A. (208). dtwclust: Time Seies Clusteing Along with Optimzations fo the Dynamic Time Waping Distance. R package vesion Poďakovanie Článok bol vypacovaný za podpoy gantu VEGA /025/6.

63 FORUM STATISTICUM SLOVACUM Vol 4 (208) No 2 pp 6-75 Paktická epezentace času po modely lidského chování A Pactical Repesentation of Time fo the Human Behaviou Modelling Tomáš Vint a, Keem Eyisoy b, Tomáš Kajník a a Atificial Intelligence Cente, Faculty of Electical Engineeing, Czech Technical Univesity in Pague, Kalovo nám. 3, Paha 2, Czech Republic b Mamaa Univesity, Faculty of Engineeing, Compute Engineeing Depatment, Göztepe Kampus, Kadıkoy ISTANBUL, TURKEY vinttom@fel.cvut.cz, keem.eyisoy@gmail.com, kajnt@fel.cvut.cz Abstakt: V tomto článku představujeme zobazení času do omezeného víceozměného vektoového postou po potřeby mobilních obotů opeujících v zalidněných oblastech. Cílem je identifikovat a efektivně epezentovat vzoy běžného lidského chování, kteé vykazují značnou peiodicitu. Základní myšlenkou je identifikovat tyto peiodicity v oboty nasbíaných datech a pomítnout čas do množiny soustředných kužnic ležících v ůzných ovinách víceozměného vektoového postou, kde každá kužnice epezentuje jinou peiodicitu. Takovéto zobazení zajišťuje, že Euklidovská vzdálenost detekovaných událostí vykazujících podobné peiodicity je poměně malá, přestože se může jednat o události časově velmi vzdálené či vzácné. Díky tomu je možné peiodické události shlukovat a nalezené shluky statisticky zkoumat. V článku představujeme dvojí využití našeho přístupu, a to detekování anomálního chování na základě stojem naučeného modelu běžného chování a předpověď počtu lidí na daném místě v budoucnosti. Expeimenty pokazují vyšší spolehlivost a kvalitu modelů naučených naší metodou ve sovnání s metodami, kteé se dnes v autonomní obotice používají. Abstact: This pape poposes a epesentation of the time domain intended fo mobile obots which opeate in human-populated envionments. The method aims to identify and efficiently epesent pattens of human habits, which ae diven by peiodic pocesses, such as the daily cycle. The coe idea is to identify peiodicities in the data obseved by the obot and to poject the time onto a seies of cicles, which epesent the identified peiodicities. This epesentation ensues that Euclidean distance of peiodically-occuing events is low even if these events ae tempoally distant. This popety allows to cluste events that occu at simila times of a day o simila days of a week etc. In the use-cases pesented, we demonstate that the method allows fo tempoally dependent anomaly detection and it can pedict the futue pesence of people acoss lage aeas. The expeiments indicate that the method detection eliability and pediction accuacy outpefoms state-of-the-at tools used in statistical analysis fo autonomous obots. Kľúčové slová: časopostoové modely, dlouhodobá autonomie, chonoobotika Keywods: spatio-tempoal models, long-tem autonomy, chonoobotics Intoduction Due to the ecent impovements in computational hadwae and apid advances in atificial intelligence and machine leaning, society expects that intelligent obots will be soon available to help people in thei daily tasks. The

64 62 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 obots ae supposed to wok in divese conditions fo long peiods and assist humans not only in the epetitive tasks but also in the tasks whee humans ae inefficient due to thei slow eactions, low dexteity, o emotional stess. Robots ae also supposed to be helpful in the tasks, whee long-tem concentation is needed o whee the low fequency of actions is in contast to the necessity of apid and pecise eaction when these events occu. Moeove, due to the massive data flow and pogess in the databases, autonomous systems ae now undestood as knowledge holdes that can help inexpeienced humans to make qualified decisions in unusual situations. Nowadays, obots can efficiently and autonomously opeate in contolled, stuctued o known envionments. Howeve, apat fom industial plants, which ae aleady designed fo obots, most envionments ae neithe accuately stuctued o exactly known. To deal with that, a significant effot in obotics was aimed at the poblem of mapping, whee a obot, supevised o opeated by a human, ceates a model of its opeational envionment using its sensos. In this way, a obot can tun an unknown envionment into a known one, which allows to deploy it in spaces, which ae not apioi known. Howeve, most of the wold is not static, and the pesence of changes causes the ceated model to become obsolete ove time. This makes the long-tem autonomous opeation of intelligent obots in changing envionments difficult. The poblem of long-tem opeation in envionments that change ove time was typically addessed in the context of obot mapping and self-localisation, see (Cadena et al., 206), (Kunze et al., 208). Some of these methods aimed at emoval of changing aspects of the envionment (Lowy, Milfod, 206), o updated the models accoding to the changes obseved (Bibe, Duckett, 2009), (Chuchill, Newman, 203). Othe teams tied to lean fom the changes obseved, and they attempted to model the pesistence (Tipaldi et al., 203), (Rosen et al., 206), peiodicity (Kajnik et al., 207) o effect (Neubet et al., 205) of the changes. The STRANDS poject (Hawes et al., 207) applied the Fequency Map Enhancement (FeMEn) method (Kajnik et al., 207) to the envionmental models that thei obot used fo localisation, planning and scheduling. This allowed the STRANDS obots to explicitly model the peiodic components of the envionmental dynamics and make long-tem pedictions about of the human behaviou in the deployment aea. Duing a fou-month deployment of the obot at a cae home, the poject demonstated that the pedictive ability of the afoementioned tempoal model esults in gadual impovement of the obot efficiency ove time. One of the main poblems encounteed in the poject was the obots inefficiency when navigating nea o aound humans (Hebesbege et al., 207). The most popula envionmental model in obotics is the occupancy gid (Elfes, 989), which is used both fo

65 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ localisation and motion planning. Thus, most spatio-tempoal models build thei spatial epesentations on the occupancy gid paadigm. In (Kucne et al., 203), the authos model the typical diection of change in evey cell based on the pevious and cuent state of the measued phenomenon in the neighbouing cells. Anothe model can be found in (Wang et al., 204), whee authos pedict the path of the measued phenomenon based on the actual situation in the gid using the input-output Makov model. The long-tem model of the changes in the occupancy gid is based on the spectal analysis of changes of occupancy in evey cell duing the long peiod (Kajnik et al., 207). The authos then extended this spatio-tempoal model to be able to pedict also the diection of the movement though the cell in the specific time (Molina et al., 208). Howeve, the occupancy gid is memoy consuming, and it esults in quantisation noise, and theefoe, methods that model the space in a continuous domain wee developed (O Callaghan, Ramos, 202). Although the continuous models ae computationally intensive to build and maintain, using specific optimisations can be used to speed up the model building, so that they could, in theoy, be applied in obotics (Ramos, Ott, 206). Fo example, the authos of (Kucne et al., 203) showed that using continuous models build by expectationmaximisation methods allows to model movement of cowds and the flow of the wind (Kucne et al., 207). They also showed that the model of the movement of people could be used to impove the efficiency and safety of navigation (Palmiei et al., 207). The STRANDS poject (Hawes et al., 207) indicated that the peiodicities of human habits (sleep, going to wok) ae dominant compaed to month-long tends, and modelling the peiodicities is beneficial fo obots. As in the case of spatial models, authos like (Chinellato et al., 207) show that using continuous models of time peiodicity esults in bette pefomance than dividing the timeline in abitay intevals, e.g. hou of a day o day of a week. Inspied by the success of peiodic models of time to epesent envionment changes and by the efficiency of continuous models, we popose a specific tansfomation of the time domain intended to epesent the long-tem dynamics of human-populated envionments. To keep the tempoal model continuous, while epesenting the peiodicities, we poject the time into a set of cicles, whee evey cicle is deived fom the peiodicity detected in the measued phenomenon. This pojection causes the time-dependent events with the same peiodicity to be pojected into the same aeas of a cicle that coesponds to the modelled peiodicity. The measued phenomenon pojected into this vecto space can be then analysed using standad statistical and machine leaning tools. This pojection eflects the concept that human behaviou in the moning of diffeent days is moe simila that in the moning

66 64 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 and aftenoon of the same day although the same day aftenoon and moning is tempoally close than monings of two diffeent days. The continuous natue of the model also eflects the fact that a given phenomenon does not change abuptly duing midnight although 23:59 and 0:0 appea to be distant. 2 Method Desciption 2. Concept In (Vint et al., 207) we poposed a concept of modelling human activities ove the time in thei natual envionment. We hypothesised that thee ae some pattens of human behaviou ove the timeline. As these pattens ae deived fom the outines and habits of humans, these pattens show peiodical and continuous natue. We also hypothesised that thee ae no o negligible tends in these pattens due to the natue of human habits. Let us conside these examples outlined in (Vint et al., 208) to explain the peiodicity and continuity of human behaviou: Gaph An example of the waped hypetime pojection. Positive detections duing thee days ae pojected onto a waped hypetime with a one day peiod. The paametes of the distibution of a andom time-dependent phenomenon that exhibits a peiodic behaviou can be easily estimated. (Souce: own elaboation) Such a peiodical behaviou is not only foced by natual physical demands like fatigue o hunge, but also by social demands like egula woking hous o the compulsoy education system. the human behaviou is vey simila duing evey moning as opposed to the diffeence in behaviou duing moning and aftenoon of one andomly chosen day, human behaviou five minutes befoe midnight and five minutes afte midnight is pobably vey simila, although we compae behaviou in two diffeent days, contay to that, human behaviou duing Sunday aftenoon is pobably diffeent fom behaviou on Monday aftenoon.

67 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ To ceate the model of the time-dependent pattens of human behaviou, we need to estimate the paametes of thei distibution. As the timeline unfolds indefinitely, it is not possible to go back and epeat the expeiment at the same time. Thus, infinite, continuous linea time is not suitable as a domain fo timedependent featue paametes estimation, especially fo shot duation and ae events. The conventional appoach to this task, known as time seies foecasting, is to divide time-dependent events into thee diffeent components - a tend, seasonal and cyclic pattens - and analyse them sepaately (Gould et al., 2008). The cyclic pattens ae geneally not pedictable changes in the time seies, seasonal pattens ae the peiodical changes, and the tend is continuous gowth o decease of measued values. To model human behaviou with the assumption of a dominant peiodical natue and no tend, but with the emphasis on the continuity, we not only find a model of pominent peiodicities but also poject the timeline into the new multidimensional vecto space as shown in the Gaph. This pojection peseves the continuity while ensuing that the time domain is constained, and theefoe it is possible to estimate distibution paametes of the time-dependent peiodical pattens. Such a peiodical behaviou is not only foced by natual physical demands like fatigue o hunge, but also by social demands like egula woking hous o the compulsoy education system. 2.2 Waped Hypetime Let us have time seies R(t i ), i = n, whee R(t i ) = fo detected and R(t i ) = 0 fo not detected occuence of the studied phenomenon in the time t i. Let the function M(t i ) be the estimation of the expected value: M(t i ) = μ = n n i= R(t i). Fist, we apply the spectal decomposition deived fom the Fequency Map Enhancement (Kajnik et al., 207) on the diffeence of this time seies and the model to find pominent peiodicities. In paticula, fo evey consideed peiod T k, k = Υ, we calculate components of the fequency spectum and select the most pominent peiodicity T τ as follows: n T τ = ag max T k n (R(t i) M(t i ))e ( j)2πt i/t k i= whee M(t i ) is the actual model of the time seies. Then, fo the chosen peiod T τ and fo each t i of the oiginal measued data we ceate 2d waped hypetime (Gaph 2) as follows: ()

68 66 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 t i (cos 2πt i T τ, sin 2πt i T τ ) (2) whee waped hypetime (cos 2πt i T τ, sin 2πt i ) foms a cicle in a 2d plane which T τ epesents the peiodicity and continuity of the occuences. The time values of occuences and non-occuences with the simila position elative to the peiodicity T τ ae pojected on the simila position on the cicle. Then, we use clusteing ove the pojected points to ceate a new model M(t i ), see Gaph 2. Gaph 2 Waped hypetime iteations: The method input ae obseved occuences of given phenomena ove time (top left). Then, a model of the data is established (top ight). Then, a dominant fequency of the model eo is found by (), the data points ae pojected into a unit cicle and thei distibution is modelled (bottom left). The model is then compaed to the oiginal data again (bottom ight) and the pocess is epeated until the model eo keeps deceasing. (Souce: own elaboation) Once knowing the new M(t i ), the pocess is epeated using () and each iteation extends the hypetime vecto space with anothe couple of dimensions. We denote these additional pojections of t i t i t i = t i, cos 2πt i T τ@+, sin 2πt i T τ@+ ), (3)

69 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ in paticula: 2 t i = ( t i, cos 2πt i T τ 2, sin 2πt i ) = (cos 2πt i, sin 2πt i, cos 2πt i T τ 2 T τ T τ T τ 2, sin 2πt i ) and t T i = τ 2 (cos 2πt i, sin 2πt i ). We call the pojection of time into the multiple cicles T τ T τ `Waped Hypetime', o `WHyTe'. 2.3 Waped Hypetime Space The pevious method only modelled a given phenomenon ove time only. Howeve, in (Kajnik et al., 208) we also hypothesised the possibility to extend taditional spatial models with the waped hypetime. We call this pojection `Waped Hypetime Space', `WHyTeS'. As befoe, let us have spatio-tempoal detections of occuences and nonoccuences (x i, t i ). Neglecting spatial components x i of vectos (x i, t i ), we can analyse peiodicities of the time seies R(t i ) = R(x i, t i ) accoding to the () and obtain peiods T τ odeed by thei influences. We choose the dominant peiod T τ and extend the space with two new dimensions. Then we poject evey measuement (x i, t i ) into the new vecto space as follows: (x i, t i ) (x i, cos 2πt i T τ, sin 2πt i T τ ), (4) Similaly to the pevious case, we pefom clusteing again ove the extended space to obtain the model and ecalculate the model eo. This allows to epeat the pocess, extending the vecto space with additional two dimensions and ceate a moe dimensional waped hypetime space. We will denote the pojection of (x i, t i ) into the waped hypetime x i, x i = x i, cos 2πt i T τ@+, sin 2πt i T τ@+ ), (5) and 0 x i = x i, x i = (x i, cos 2πt i T τ 2 x i = (x i, cos 2πt i T τ, sin 2πt i T τ, cos 2πt i T τ 2, sin 2πt i ), T τ, sin 2πt i ), etc. T τ Model Building To ceate a model, we pefom centoid-based clusteing, followed by an expectation maximisation method, which estimates a mixtue of Gaussians that epesent the fequency of a given phenomenon ove a given spatiotempoal

70 68 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 volume. Although the model is continuous, one has to discetise it to detemine the model eo move time, which is necessay to extact the dominant peiodicity equied to pefom the hypetime extension. Moeove, one of the most desied spatial models used in obotics is an occupancy gid, and theefoe, ou model should be able to pedict the occupancy of gid cells at a paticula time. Fo that, one has to detemine a basic volume element, which defines the esolution (ganulaity) of the discete model. The volume b of the basic element of the space-time has to be chosen accodingly to the puposes of the model (fo example squaed mete hou [m 2 h]). Thus, we define a histogam H with bins of volume b. Spatio-tempoal positions of bins ae defined by vectos (b k, t k ), whee k ae meaningful indices. Vectos (b k, t k ) should lie inside the aea of the bin, pefeably in the spatio-tempoal centes of bins. The values v k connected to each bin ae then calculated as a sum of values R(x i, t i ) assigned to evey (x i, t i ) that lies inside of the volume of the coesponding bin. Using the histogam H, we modelled the most likely numbe of occuence of the measued phenomenon pe chosen volume unit b as follows: Assuming that evey measue R(x i, t i ) is one o zeo, apply a clusteing method x i fo evey (x i, t i ): R(x i, t i ) =, 2 using a given clusteing method, calculate centoids c c and covaiance matices Σ c of evey cluste, and fuzzy membeship u i,c of x i to evey cluste, whee c is an index of clustes, 3 using c c and Σ c calculate membeship u k,c of b k to evey cluste, 4 calculate cluste weights α c as 5 Then the function α c = u i i,c. (6) u k k,c ρ(x 0, t 0 ) = α j u x 0 c j= estimates the numbe of occuence of the concened phenomenon in the neighbouhood with volume b aound (x 0, t 0 ). The quality of the model is based on two paametes, the numbe of clustes and the set of chosen peiodicities to ceate the hypetime. Typically, we ceate seveal models with diffeent paametes and chose the one with minimal oveall diffeences between ρ(b k, t k ) and v k. Unfotunately, we did not find any elegant heuistic to estimate these paametes. (7)

71 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ Use cases 3. Anomaly Detection This use case was motivated by the secuity scenaio of the STRANDS poject (Hawes et al., 207), whee a egulaly-patolling obot obseves the pesence of people at a given aea and epots anomalous behaviou. To do so, a obot should conside the tempoal context of a given activity o peson pesence, e.g. peson pesent duing late hous in an office is an unusual event wheeas people occuence in an office duing a day is common. The scenaio is descibed in detail in (Vint et al., 208), which aims specifically with anomaly detection in human pesence. The dataset used was gatheed at a lectue's office at the Univesity of Lincoln, whee we installed a depth camea, which was taking snapshots evey 5 seconds fo two yeas. Fo ou puposes, we selected 4 weeks of data indicating eithe ones (humans pesent) o zeos (humans absent). Fom these data, we fomed 2 taining datasets, which stated on the same day and lasted fo to 2 days. The testing dataset consists of one week of people pesence captued 8 weeks afte the stat of the taining dataset. To allow fo anomaly detection testing, we manually labelled anomalous events and atificially intoduced additional anomalies. The method was expected to detect both labelled and atificially intoduced events. To show the evolution of the quality of the pedictions, we ceated models of the human pesence based on each taining dataset. The models using waped hypetime wee established as follows. Fist, we divided the gatheed time seies into two sepaate time seies - one of them consisting of occuences (peson pesence) and the second of non-occuences (peson absent). Then we apply the waped hypetime as descibed in section 2.2, and ceate clustes ove the two modelled seies. To estimate the pobability of occuence, we poject a given time point into the hypetime and calculate its membeship in both pesence and absence sets. The pobability is then estimated by a atio of these membeships. We use these models to detect anomalous events in the 8th week. We quantify the ability to detect anomalous events by the Matthews coelation coefficient (Matthews, 975). We compae this ability of models based on waped hypetime to othe appoaches, e.g. FeMEn, the Fequency Map Enhancement method (Kajnik et al., 207) developed to model binomial time seies, and Pophet (Taylo, Letham, 208), an open souce, time seies analysis tool ceated by Facebook. We used thee compaison metics (Gaph 3): a numbe of days needed to lean the coect model, the coectness of anomaly detection and obustness to the choice of significance level (Vint et al., 208). We poved that it is possible to model pattens matching diffeent peiodicities

72 70 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 by the pojection of the timeline into the multidimensional waped hypetime. It also poved the hypothesis, that it is possible to neglect tend in time seies when modelling human behaviou. The Pophet was the only one method that estimated the tend, which led on ou dataset to a poo pediction of models tained on shote taining datasets. It needed almost six weeks of taining data to pedict anomalous events equally to the FeMEn. Gaph 3 Evolution of the Matthews coelation coefficient using significance level α = 0.. On the x-axis thee ae numbes of days used to tain model, on the y-axes ae values of Matthews coelation coefficient [ ; ]. A coefficient of value means coect labelling of outlies by the coesponding method. (Souce: (Vint et al., 208)) 3.2 Spatio-Tempoal Distibution of Pedestians In the second scenaio, we use the hypetime to model and pedict futue occuences of people acoss a coido junction. In paticula, ou model geneates a time-dependent function ove a 2d domain, epesenting people density, see Figue. In (Kajnik et al., 208) we evaluated the methods pedictive powe when modelling a tempoal evolution of a function with a 2d domain. The dataset, collected at the School of Compute Science at the Univesity of Lincoln (Molina et al., 209), consists of vectos (x, y, t), which indicate human detections (Yan et al., 207) at a T-shaped junction ove thee weeks. We divided the dataset to the taining pat, consisting of two weeks of

73 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 7 measuement and the test pat consisting of two days fom anothe week. The model was ceated accoding to the pocedue descibed in section 2.4. The model was then compaed in the powe of pediction to thee othe spatio-tempoal models (Gaph 4). These thee models ae not continuous, but they associate each cell of the spatial 2d gid with a tempoal model R k (b k, t i ) as follows: The Mean, is an aveage of the past measuements in each spatial cell, the Hist splits each day into the 24 intevals and calculates an aveage of each one-hou inteval in each cell, and FeMEn uses spectal analysis to epesent and pedict peiodicities of people pesence fequency at each cell. We tested the pediction capabilities of diffeent methods on diffeent esolutions, i.e., histogams with diffeent size of basic volume b, anging fom 5 to 20 centimetes and 5 to 0 minutes. The values of the mean squae eos that we use to compae the pediction and test dataset values diffe fo each esolution. To bette visualise eos of diffeent models on diffeent esolutions, we show the pecentual eduction of a mean squae eo (MSE) of pedictions of evey compaed method to a MSE of pediction obtained by the Mean, i.e. eduction = ( MSE method MSE Mean ) 00. (8) Figue Pedicted people occuence ove a T-shaped coido. (Souce: Although the eduction of MSE does not seem significant (Gaph 4), the visualisation of this model shows its useful popeties. It is visualised in the fom of a video that can be found online. Evey video fame, see Figue, consists of 5 minutes time fame econstuction and the whole video epesents the evolution of the density functions ove two days. We can see that the model changes ove time and espects coido boundaies. Moeove, the maxima of the pedicted distibutions ae located close to the doos. It should be noticed, that the models based on the waped hypetime space educe the eo even fo small ganulaities, although they ae memoy much less demanding compaed to discete epesentations build by the Mean, FeMEn and Hist methods.

74 72 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Gaph 4 Compaison of the pedictive powe of diffeent methods. The gaph shows the eduction of the pediction eo compaed to the Mean model, which neglects the tempoal popeties of the people pesence. The indicated values (y-axes) ae calculated using the equation (8). On the x-axis, thee ae cell sizes o basic volumes. Beside the Hist and FeMEn, models we compae two models based on the WHyTeS: HyT-KM, which used k-means fo clusteing, and HyT-EM, which used EM GMM fo clusteing. (Souce: (Kajnik et al. 208)) We poved that it is possible to extend spatial dimensions by the waped hypetime and ceate the model of fequencies of a measued phenomenon ove this pojection. While being memoy efficient, building the epesentation takes longe time compaed to the othe methods we tested. Fo example, FeMEn calculated all tempoal models fo each cell in less than a minute, but ou method builds the spatio-tempoal model in seveal minutes (CPU Intel Coe i7-5005u). 4 Conclusions In this pape, we popose a epesentation of the time domain, which allows mobile obots to epesent peiodic changes occuing in human-populated envionments. The epesentation allows to identify and epesent pattens of human habits, which ae diven by peiodic pocesses, such as the daily cycle. The coe idea is not to epesent the time as a one-dimensional timeline, but to poject it onto a seies of cicles, which epesent the peiodicities identified in

75 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ the data by means of spectal analysis. This epesentation causes the distances of peiodically-occuing events to be low even if these events ae sepaated by significant time intevals. In othe wods, the epesentation natually clustes events that occu at simila times of a day o simila days of a week etc. To evaluate the appoach, we apply it to two diffeent datasets, which epesent the pesence of people ove seveal weeks. The evaluations demonstate that the poposed epesentation allows captuing people habits, which can be used not only to pedict futue people pesence acoss coidos, but also to identify unusual occuences of pesons within a given aea. Compaison of the pefomance of the poposed methods to othe state-of-the-at methods indicates that it can pedict peoples pesence with highe accuacy, and it is moe successful in detecting anomalies. In the futue, we will extend the method, so that it will be able to geneate time-dependent pobabilistic distibutions of given envionmental phenomena. Moeove, we will evaluate the impact of the method on the efficiency of mobile obot opeation in long-tem deployments. 5 Refeences Bibe, P., & Duckett, T. (2009). Expeimental analysis of sample-based maps fo long-tem SLAM. The Intenational Jounal of Robotics Reseach, 28(), Cadena, C., Calone, L., Caillo, H., Latif, Y., Scaamuzza, D., Neia, J.,... & Leonad, J. J. (206). Past, pesent, and futue of simultaneous localization and mapping: Towad the obustpeception age. IEEE Tansactions on Robotics, 32(6), Chinellato, E., Madia, K. V., Hogg, D. C., & Cohn, A. G. (207, July). An incemental von mises mixtue famewok fo modelling human activity steaming data. In Poceedings ITISE 207. Leeds. Chuchill, W., & Newman, P. (203). Expeience-based navigation fo long-tem localisation. The Intenational Jounal of Robotics Reseach, 32(4), Elfes, A. (989). Using occupancy gids fo mobile obot peception and navigation. Compute, (6), Kunze, L., Hawes, N., Duckett, T., Hanheide, M., & Kajník, T. (208). Atificial Intelligence fo Long-Tem Robot Autonomy: A Suvey. IEEE Robotics and Automation Lettes, 3(4), Lowy, S., & Milfod, M. J. (206). Supevised and unsupevised linea leaning techniques fo visual place ecognition in changing envionments. IEEE Tansactions on Robotics, 32(3), Gould, P. G., Koehle, A. B., Od, J. K., Snyde, R. D., Hyndman, R. J., & Vahid-Aaghi, F. (2008). Foecasting time seies with multiple seasonal pattens. Euopean Jounal of Opeational Reseach, 9(),

76 74 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 Hawes, N., Bubidge, C., Jovan, F., Kunze, L., Laceda, B., Mudova, L.,... & Ambus, R. (207). The STRANDS poject: Long-tem autonomy in eveyday envionments. IEEE Robotics & Automation Magazine, 24(3), Hebesbege, D. V., Dondup, C., Gisinge, C., & Hanheide, M. (207, Mach). Pattens of use: how olde adults with pogessed dementia inteact with a obot. In Poceedings of the Companion of the 207 ACM/IEEE Intenational Confeence on Human-Robot Inteaction (pp. 3-32). ACM. Kajník, T., Fentanes, J. P., Santos, J. M., & Duckett, T. (207). Femen: Fequency map enhancement fo long-tem mobile obot autonomy in changing envionments. IEEE Tansactions on Robotics, 33(4), Kajnik, T., Vint, T., Molina, S., Fentanes, J. P., Cielniak, G., & Duckett, T. (208). Waped Hypetime Repesentations fo Long-tem Autonomy of Mobile Robots. axiv pepint axiv: Kucne, T., Saainen, J., Magnusson, M., & Lilienthal, A. J. (203, Novembe). Conditional tansition maps: Leaning motion pattens in dynamic envionments. In Intelligent Robots and Systems (IROS), 203 IEEE/RSJ Intenational Confeence on (pp ). IEEE. Kucne, T. P., Magnusson, M., Schaffenicht, E., Bennetts, V. H., & Lilienthal, A. J. (207). Enabling flow awaeness fo mobile obots in patially obsevable envionments. IEEE Robotics and Automation Lettes, 2(2), Matthews, B. W. (975). Compaison of the pedicted and obseved seconday stuctue of T4 phage lysozyme. Biochimica et Biophysica Acta (BBA)-Potein Stuctue, 405(2), Molina, S., Cielniak, G., Kajník, T., & Duckett, T. (208, July). Modelling and Pedicting Rhythmic Flow Pattens in Dynamic Envionments. In Annual Confeence Towads Autonomous Robotic Systems (pp ). Spinge, Cham. Molina, S., Cielniak, G., & Duckett, T. (209, unde Review). Go with the flow: Exploation and mapping of pedestian flow pattens fom patial obsevations. IEEE Robotics and Automation Lettes. Neubet, P., Sündehauf, N., & Potzel, P. (205). Supepixel-based appeaance change pediction fo long-tem navigation acoss seasons. Robotics and Autonomous Systems, 69, O Callaghan, S. T., & Ramos, F. T. (202). Gaussian pocess occupancy maps. The Intenational Jounal of Robotics Reseach, 3(), Palmiei, L., Kucne, T. P., Magnusson, M., Lilienthal, A. J., & Aas, K. O. (207, May). Kinodynamic motion planning on Gaussian mixtue fields. In Robotics and Automation (ICRA), 207 IEEE Intenational Confeence on (pp ). IEEE. Ramos, F., & Ott, L. (206). Hilbet maps: scalable continuous occupancy mapping with stochastic gadient descent. The Intenational Jounal of Robotics Reseach, 35(4), Rosen, D. M., Mason, J., & Leonad, J. J. (206, May). Towads lifelong featue-based mapping in semi-static envionments. In Robotics and Automation (ICRA), 206 IEEE Intenational Confeence on (pp ). IEEE.

77 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ Taylo, S. J., & Letham, B. (208). Foecasting at scale. The Ameican Statistician, 72(), Tipaldi, G. D., Meye-Delius, D., & Bugad, W. (203). Lifelong localization in changing envionments. The Intenational Jounal of Robotics Reseach, 32(4), Vint, T., Eyisoy, K., Vintová, V., & Kajník, T. (208, unde Review). Spatiotempoal models of human activity fo obotic patolling. In Intenational Wokshop on Modelling and Simulation fo Autonomous Systems. Spinge, Cham. Vint, T., Molina Mellado, S., Cielniak, G., Duckett, T., & Kajnik, T. (207). Spatiotempoal models fo motion planning in human populated envionments. epints.lincoln.ac.uk. Wang, Z., Ambus, R., Jensfelt, P., & Folkesson, J. (204). Modeling motion pattens of dynamic objectsby IOHMM. In 204 IEEE/RSJ Intenational Confeence on Intelligent Robots and Systems (IROS 204), 4-8 Sept. 204, Chicago, IL (pp ). IEEE confeence poceedings. Yan, Z., Duckett, T., & Bellotto, N. (207, Septembe). Online leaning fo human classification in 3d lida-based tacking. In Intelligent Robots and Systems (IROS), 207 IEEE/RSJ Intenational Confeence on (pp ). IEEE. 6 Acknowledgement The wok has been suppoted by the Czech Science Foundation poject Y, the Gant Agency of the CTU in Pague gant No. SGS6/235/OHK3/3T/3. We thank the School of Compute Science, Univesity of Lincoln, UK fo poviding us with the long-tem datasets. Special thanks go to D Gzegoz Cielniak.

78 FORUM STATISTICUM SLOVACUM Vol 4 (208) No 2 pp 76 Zo života SŠDS/Fom life of SSDS Infomácie z vedeckého semináa Výpočtová štatistika 208 Infomation fom the Scientific Semina Computational Statistics 208 V dňoch decemba 208 sa uskutočnil už 27. očník medzináodného vedeckého semináa Výpočtová štatistika 208. Miesto konania je už tadične Píodovedecká fakulta UK, Pezentačné centum AMOS, pavilón B, Mlynská dolina, Batislava 4. Pvý deň, štvtok , sa niesol v znamení pezentácií píspevkov účastníkov semináa. Spolu odznelo 5 píspevkov z ôznych oblastí štatistiky aj demogafie. Popoludní vystúpili pihlásení študenti v ámci Piehliadky pác mladých štatistikov a demogafov 208 a pezentovali výskedky svojej páce počas štúdií. Ob. : Odovzdávanie cetifikátov za účasť na pehliadke pác študentov (zľava): K. Kausová (SAS sponzo), L. Jančovičová (SPU Nita), L. Plichtová (FHI EU), N. Slavíková (PiF UK) a I. Stankovičová (pedsedníčka SŠDS) V piatok sme pipavili pe študentov vysokých škôl pásmo pednášok pod názvom Analytika očami pofesionálov. Účasť študentov bola bohatá (cca 00 študentov). Pišli študenti z Univezity Komenského v Batislave (FM UK, FMFI UK, PiF UK), ale aj z Ekonomickej univezity v Batislave (FHI) a SPU v Nite.

79 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ Ob. 2: Pohľad do audotóia počas pásma pednášok pe študentov Analytika očami pofesionálov. Študnetom pednášali odboníci z paxe, ktoí majú skúsenosti v oblasti analýzy údajov. Témy pednášok boli nasledovné:. Mg. Kataína Žiaková (Pofesia): Absolventi na thu páce, 2. Ing. Ján Kavec (Texima): Infomačný systém o cene páce (ISCP) a jeho podsystémy, 3. Ing. Maek Bičá (SAS) : Umelá Inteligencia v Maketingu Ako zlepšiť zákaznícku skúsenosť? Infomácie o pednášajúcich: Mg. Kataína Žiaková absolvovala Fakultu matematiky, fyziky a infomatiky Univezity Komenského v Batislave, odbo aplikovaná matematika. Po skončení štúdia pacovala na Štatistickom úade SR na sekcii všeobecnej metodiky a egistov. V súčasnosti je členom analytického oddelenia fimy Pofesia spol. s. o., ktoá pevádzkuje najväčší pacovný potál na Slovensku. Vo svojej páci sa venuje štatistickému spacovaniu údajov, analýze a intepetácii dát týkajúcich sa dopytu a ponuky na thu páce. Ing. Ján Kavec pacuje vo výskumno-štatistickej a poadensko-konzultačnej spoločnosti TREXIMA Batislava, ktoá od oku 992 vyvíja a úspešne aplikuje nové, efektívne metódy v oblasti výskumu miezd podľa konkétnych zamestnaní, zamestnanosti, pacovných a sociálnych podmienok zamestnancov v SR a jej jednotlivých egiónov. Súčasťou oiginálnych aktivít spoločnosti je tvoba a implementácia komplexných sústav povolaní a kvalifikácií, ealizácia

80 78 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 analyticko-štatistických štúdií a pognózovanie vývoja na thu páce. Do TREXIMY Batislava nastúpil po absolvovaní štúdia na Ekonomickej univezite v Batislave. Ing. Maek Bičá je Business Consultant poadenskej a softvéovej spoločnosti SAS Slovakia, s..o. od oku 203 a od začiatku sa venuje poblematike Custome Intelligence. Celý svoj pofesijný život pacuje v oblasti iadenia vzťahov so zákazníkmi, najpv ako Segment manage v Tata banke, neskô v Slovenskej spoiteľni. Maek je absolventom Ekonomickej univezity v Batislave doc. Ing. Iveta Stankovičová, PhD. pedsedníčka SŠDS

81 FORUM STATISTICUM SLOVACUM Vol 4 (208) No 2 pp 79 Zo života SŠDS/Fom life of SSDS Infomácie zo zasadnutia výbou SŠDS zo dňa Infomation fom the Meeting of the Committee of SSDS held on 6 Decembe 208 Vo štvtok 6. decemba od 6:00 sa uskutočnilo pvé zasadnutie nového výbou SŠDS zvoleného 8. júna 208 na Valnom zhomaždení SŠDS v Častej Papieničke. Pedsedníčka SŠDS, doc. Ing. Iveta Stankovičová, PhD. zhodnotila činnosť Spoločnosti za ok 208, poďakovala oganizátoom jednotlivých akcií a vyzdvihla bezpoblémovú spolupácu so Štatistickým úadom SR pi pípave slávnostnej konfeencie k 50. výočiu založenia SŠDS. Na zasadnutí výbou pebehla elatívne dlhá diskusia ohľadom neustále klesajúcej účasti študentov na Pehliadke pác mladých štatistikov a demogafov a možnostiach motivácie študentov k vyššej účasti. Od budúceho očníka peto bude študentom ponúknutá možnosť zaslať len abstakt pezentácie, bez podmienky plného článku. Ďalšou motiváciou pe študentov bude finančná motivácia (finančné ceny pe víťazov Pehliadky pác mladých štatistikov a demogafov). Pedsedníčka infomovala o hospodáení SŠDS v oku 208. Spoločnosť v oku 208 hospodáila so ziskom, celkový finančný stav Spoločnosti je výboný. Pedsedníčka ďalej infomovala o akciách plánovaných na ok 209. Dôležitým bodom pogamu zasadnutia Výbou bola aj voľba nového vedenia, pičom výbo v tajnej voľbe zvolil: za pedsedníčku SŠDS: doc. Ing. Ivetu Stankovičovú, PhD., za podpedsedu pe medzináodného vzťahy: RND. Peta Macha, za podpedsedu pe demogafiu: doc. RND. Banislava Blehu, PhD., za podpedsedu pe štátnu štatistiku: Ing. Fantiška Benadiča, za podpedsedu pe akademickú štatistiku: doc. Ing. Vladimía Úadníčka, PhD., za podpedsedníčku pe medicínsku štatistiku: doc. RND. Ivetu Waczulíkovú, PhD., za vedeckého tajomníka: doc. Mg. Ing. Matina Boďu, PhD., za hospodáku: Mg. Ivetu Synekovú. Revízna komisia si za svojho pedsedu zvolila Ing. Ivana Lichnea, PhD.

82 FORUM STATISTICUM SLOVACUM Vol 4 (208) No 2 pp Zo života SŠDS/Fom life of SSDS Za Jankom Luhom Memoy of Ján Luha (* ) V novembi 208 sme sa naposledy ozlúčili s jednou z najvýaznejších osobností Slovenskej štatistickej a demogafickej spoločnosti RND. Jankom Luhom, CSc. (* ). Janko bol jeden z tých, ktoí ped mnohými okmi oživili činnosť našej Spoločnosti a ozhodujúcou mieou pispeli k tomu, že SŠDS aj v súčasnosti aktívne pôsobí na Slovensku. V oku 990 navhol nový, dodnes používaný znak SŠDS. V okoch bol vedeckým tajomníkom SŠDS, pedtým bol 20 okov členom jej seketaiátu. Od vzniku časopisu Foum Statisticum Slovacum (v oku 2005) bol desať okov tajomníkom jeho edakčnej ady. Bol iniciátoom, oganizátoom alebo spoluoganizátoom desiatok podujatí a autoom mnohých píspevkov o históii spoločnosti a o výskumoch veejnej mienky, ktoým sa ako štatistik pofesionálne venoval. Janko bol jeden z mála skutočných piateľov, na ktoých sa dalo vždy (nezištne) spoľahnúť, ktoý vždy ochotne pomohol, bol skutočným odboníkom a takme nevyčepateľným zdojom dobej a optimistickej nálady, kdekoľvek sme mali možnosť sa spolu stetnúť. Dovoľte mi použiť, upaviť a paafázovať výok známej českej heečky Stelly Zázvokovej: Janko, pišli sme o povesť, o peniaze a možno aj o zdavie. Ale bolo to kásne a bola to veľká sanda. Ďakujem Ti za možnosť byť pi tom. Vlado Úadníček

83 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 8 Pá eminiscencií ďalších členov našej spoločnosti na Janka Luhu: Hoci má naša spoločnosť už 50 okov, absentuje nám zmapovanie nášho kompletného histoického vývoja. Chýba najmä podobnejšie peskúmanie a súhnné spacovanie jej pvých dvadsiatich okov. Stávil som istý čas v achívoch SAV, aby som sa to pokúsil zaplniť. A páve tam som si uvedomil, že jednou z mnohých vecí, za ktoé naša spoločnosť vďačí svojmu neúnavnému a pitom nenápadnému funkcionáovi Jankovi Luhovi je aj to, že od chvíle, kedy sa v oku 990 stal členom Seketaiátu SŠDS, začal postupne tiediť, sumaizovať a publikovať fakty o akciách a činnosti Spoločnosti. Jeho píspevky (spolu s Jozefom Chajdiakom) na slávnostné konfeencie k výočiam našej spoločnosti sú základom, ktoý tvoí kostu novšej históie našej spoločnosti. Jedno je isté už dnes, že i keď sa stále nemôžeme pochváliť kompletnou históiou SŠDS, významné miesto v nej má a bude mať náš kolega Janko Luha. Pete Mach Pvýkát som spoznala Janka Luhu na Ekomstate. Neviem ktoý ok to bolo, ale bolo to už dávno. Popi veľkom Jožkovi Chajdiakovi stál malý človiečik s veľkým úsmevom. A neskô som zistila, že nielen s úsmevom, ale aj s veľkým sdcom. Jankov úpimný úsmev nás vítal, keď sme sa po čase opäť stetli, ozohnal pochybnosti, keď sme iešili nejaký poblém, spevádzal nás na všetkých štatistických akciách. Vďaka nemu sme pochopili zákutia a čao kvalitatívnych dát, nastavenia a spacovania dotazníkov, vyhodnocovania a intepetácie výsledkov. Nech sme mali akýkoľvek poblém, snažil sa pomôcť. Nielen fomálne, ale tak, ako bol zvyknutý podal pomocnú uku úpimne, od sdca. Je nezabudnuteľná jeho identifikácia dotazníkových áno-nie odpovedí jó nem jó, či v počiatkoch vzniku ových schánok jeho veta, ktoú opäť pedniesol so šiokým úsmevom: Ja mám eném ve vane. Možno sme pozabudli na všetky súvislosti a spoločne stávené chvíle na štatistických a demogafických konfeenciách či podujatiach (nap. Ekomstat, Fenstat či Výpočtová štatistika). Ale hlboko v sdciach nám ostane jeho veselosť v očiach a úpimný úsmev. Alena Kaščáková Ped viac ako dvadsiatimi okmi neočakávane vstúpilo do môjho života malé bielovlasé slniečko, ktoé ma hialo až do svojho ovnako neočakávaného zapadnutia. Za ten čas sme spoločne pežívali veľa pacovných a osobných úspechov, ale aj poblémov, sklamaní a ťažkých životných situácií. Na každej štatistickej akcii vedel človeka odbone obohatiť, poadiť ako spacovať údaje, čo najviac z nich vyťažiť, ako ich využiť aj keď z nich občas vyplynuli pe našich

84 82 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 majiteľov šokujúce závey, nap. že viac ako po Dunaji by sa s nami chceli klienti plaviť loďou po Kaibiku... Na našich stetnutiach nechýbali objatia a píjemné chvíle plné dobej nálady. Boli sme si blízki pacovne aj súkomne. Časom Janka spoznala tiež moja odina. O to bolestivejší je pe nás jeho odchod bez ozlúčky. Na duhej stane ale vieme, že sa mu splnil jeho sen, ktoý od smti manželky opakoval že chce ísť za ňou. Jana Maková s odinou Pán dokto Ján Luha mi bude veľmi chýbať. Začiatkom novemba ma mimoiadne zaskočila spáva, že nás navždy opustil. V poslednom čase sme sa už síce menej vídali, no napiek tomu som sa stále tešil na ďalšie a ďalšie stetnutia, napíklad aj na blížiacom sa seminái Výpočtová štatistika. Ped niekoľkými okmi som ho spoznal páve na tejto akcii a stále si veľmi dobe pamätám naše pvé stetnutie. Náš spoločný známy ho voped infomoval, že sa zúčastním tadičného medzináodného semináu, a tak pán dokto Luha ma sdečne očakával a osobitne pivítal. Padlo mi to samozejme veľmi dobe a už počas našich pvých ozhovoov sa mi zdôveil, že podľa neho páve takí mladí súduhovia, ako ja, by mali v budúcnosti potiahnuť Výpočtovú štatistiku, časopis Foum Statisticum Slovacum či Slovenskú štatistickú a demogafickú spoločnosť. Doktoa Luhu som poznal ako milého a bezpostedného človeka, ktoý v každej situácii dokázal povedať pá povzbudivých slov a odľahčiť diskusiu vtipom či kátkou píhodou z minulosti. Síce opustil tento svet, no jeho životné dielo, nezmazateľná stopa v Slovenskej štatistickej a demogafickej spoločnosti a spoločné spomienky tu zostali s nami. Vždy naňho budem spomínať ako na píjemného a ochotného kolegu, ktoého som si veľmi vážil. Gábo Szűcs Keď som sa dozvedela tú veľmi smutnú spávu, že nás opustil Janko Luha, odmietala som tomu uveiť. Tento ok naša Univezita Konštantína Filozofa v Nite v spolupáci so Slovenskou štatistickou a demogafickou spoločnosťou a Pacoviskom Štatistického úadu Slovenskej epubliky v Nite oganizuje už 0. očník medzináodnej konfeencie Nitianske štatistické dni a Janko Luha bol ich neoddeliteľnou súčasťou. Nielen že stál pi zode tejto konfeencie, ale sa jej aj aktívne zúčastňoval - pomáhal nielen pi jej pípave ale aj piebehu konfeencie. Vždy k nám pichádzal s úsmevom a skvelou náladou svojim optimizmom dokázal nakaziť všetkých účastníkov konfeencie - v tej chvíli zmizli aj všetky poblémy a staosti s oganizáciou konfeencie. Pe každého z nás mal povzbudivé slová a nikdy neváhal, keď bolo teba pomôcť. Janko, budeš nám všetkým veľmi chýbať. Anna Tipáková

85 FORUM STATISTICUM SLOVACUM Vol 4 (208) No 2 pp Zo života SŠDS/Fom life of SSDS Za pof. RND. Beloslavom Riečanom, DSc., D. h. c. Memoy of pof. RND. Beloslav Riečan, DSc., D. h. c. (* ) V auguste 208 sme sa ozlúčili s Pof. RND. Beloslavom Riečanom, DSc., významným slovenským matematikom. Vedecky sa venoval teóii miey a integálu, teóii množín, kvantovej logike a teóii pavdepodobnosti, kde dosiahol najvýznamnejšie výsledky. Niektoé fakty z jeho života : V oku navštevoval Cvičnú školu pi Učiteľskej akadémii v Banskej Bystici, študoval na gymnáziu a na stednej chlapčenskej škole v Banskej Bystici, absolvoval štúdium na Píodovedeckej fakulte UK v Batislave. Pôsobil na Stavebnej fakulte SVŠT v Batislave ako asistent, odboný asistent a docent (958-97), ako docent na Píodovedeckej fakulte Univezity Komenského v Batislave ( ), ako docent a pofeso na Matematickofyzikálnej fakulte Univezity Komenského v Batislave ( , dekan ), na Vysokej vojenskej technickej škole v Liptovskom Mikuláši ako pofeso ( ) a na Matematickom ústave SAV v Batislave ako vedúci vedecký pacovník a iaditeľ ( ). Od oku 998 pôsobil na Fakulte píodných vied UMB v Banskej Bystici ako pofeso, od oku 200 ako vedúci Katedy matematiky. Použité zdoje:

86 84 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/208 V oku 97 bol spoluzakladateľom časopisu Matematické obzoy (výkonný edakto ), od. 995 bol vedeckým edaktoom časopisu Obzoy matematiky, fyziky a infomatiky, bol členom viaceých pofesijných spoločností a oganizácií, od. 965 bol členom a od. 996 pedsedom Jednoty matematikov a fyzikov, od. 993 bol členom a neskô pedsedom Slovenskej asociácie Rímskeho klubu a členom českej asociácie Rímskeho klubu. Pofeso Riečan bol aktívnym členom spoločenstva Evanjelickej cikvi a. v. Venoval sa aj he na ogan, bol oganistom v evanjelickom kostole v Banskej Bystici. V oku 984 viedol semináe Matematika a hudba. Spolu s Romanom Begeom editoval knihu Matematika a hudba, ktoá vyšla v oku 2002 aj v anglickom peklade. Je spoluautoom toch v zahaničí vydaných monogafií a vyše 200 časopiseckých publikácií. Bol autoom viaceých vysokoškolských učebníc a vysokoškolských skípt, stedoškolských učebníc a učebných pomôcok, populaizačných kníh a televíznych scenáov. Publikoval vedecké štúdie, odboné články, publicistické píspevky. Bol džiteľom mnohých medailí univezít, akadémií a ôznych ďalších oganizácií. Okem iných ocenení bol nositeľom Radu Ľudovíta Štúa. tiedy a Zlatej plakety SAV J. Honca za zásluhy v matematických vedách. Spomienky na veľkého matematika a človeka: Milý Belo, nedovolila by som si písať o tom, čo vedia všetci teda o tom, že si bol geniálny matematik, úžasný učiteľ, hudobník..., teda že si bol neuveiteľne všestanný. Ja by som chcela napísať o Tebe ako o učiteľovi s veľkým sdcom. Úplne pvú spomienku, kedy si neuveiteľným spôsobom vstúpil do môjho života, mám z oku 986. Nikdy na to nezabudnem. Pipavovala som na pijímacie pohovoy na doktoandské štúdium z pavdepodobnosti a matematickej štatistiky a dohodla som si u Teba konzultáciu. Medzitým som však šla na bežnú lekásku kontolu, lebo som čakala môjho syna. Kontola však nedopadla najlepšie leká oznámil, že mi neodpoúča cestovať. Tak som Ti telefonovala, že sa veľmi ospavedlňujem, ale že na konzultáciu do Batislavy nemôžem picestovať zo zdavotných dôvodov. Napiek tomu, že som nebola Tvojou doktoandkou, Ty si nezaváhal ani sekundu a veľkoyso si sa ponúkol, že keď nemôžem picestovať do Batislavy ja, tak Ty picestuješ za mnou do Nity. Úplne si ma zaskočil, takže som sa ani nezmohla na nejaké potesty. Picestoval si a bol si skvelý ako vždy, plný elánu a nadšenia a tvdil si mi, že je to úplne nomálne, že učiteľ cestuje za študentom konzultovať! Konzultácia tvala celé dopoludnie a keď som sa Ťa spýtala na to, ako Ti toto všetko môžem vynahadiť,

87 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/ tak si mi odpovedal, že nijako, Ty toto považuješ za samozejmosť a že budeš veľmi ád, keď si to zapamätám a budem sa aj ja takto spávať k svojim študentom. Vtedy som si myslela, že sa mi to iba sníva, alebo že to je iba náhoda ale keď som Ťa poznala dlhšie, pochopila som, že to vôbec nie je náhoda, ale že Ty si bol jednoducho taký a že to, čo si uobil pe mňa, si považoval vždy za samozejmé. Ty si vždy bol obetavý a skvelý človek a takým si aj zostal do konca svojho života. Vždy si sa staal o svojich študentov, pežíval si s nimi pacovné aj ich osobné poblémy a vždy si im nezištne pomáhal. Pe Teba Tvoji študenti a doktoandi zostali Tvojimi deťmi a aj vtedy, keď mnohí už pekočili päťdesiatku, stále si bol s nimi v kontakte a vždy si bol pipavený poadiť a pomôcť. Aj mne si takto veľmi pomohol. Stačilo, aby som sa Ti posťažovala, že môj školiteľ (pof. RND. Jozef Komoník, DSc.) odišiel do zahaničia na viacočný pobyt a keďže v tom čase ešte neexistoval ani intenet ani mobily, tak som s ním statila kontakt. Ty si zasa našiel iešenie. Veľmi ochotne si ma zoznámil s jedným zo svojich detí so svojim bývalým doktoandom, s pof. RND. Dvuečenskym, DSc., a spýtal si sa ho, či nechce byť mojim školiteľom. Belko, celý život Ti budem za toto vďačná, lebo som získala toho najlepšieho školiteľa na svete, a to aj peto, že pof. Dvuečenskij má všetky skvelé vlastnosti svojho školiteľa. Pepáč, že zo všetkých tých spomienok a zážitkov za tie oky, čo sme sa spolu stetávali na ôznych konfeenciách, semináoch, komisiách a pod. som uviedla iba tieto dve. Ale myslím si, že páve tieto dve spomienky úplne chaakteizujú Teba ako učiteľa s veľkým sdcom. Belko, Tvoje úpimné sdce a spôsob, akým si vplýval na svojich študentov, je tak pesvedčivý a úpimný, že každý Tvoj študent má pocit, že musí pokačovať v Tvojich myšlienkach, lebo každá iná cesta je nespávna. Som naozaj veľmi vďačná Bohu za to, že mi v mojom živote dopial stetnúť sa s takými ľuďmi ako si Ty a tvoj doktoand pof. Dvuečenskij. Česť Tvojej pamiatke. pof. RND. Anna Tipáková, CSc. Kateda matematiky Fakulta píodných vied Univezita Konštantína Filozofa v Nite

88 Konfeencie Slovenskej štatistickej a demogafickej spoločnosti Confeences of Slovak Statistical and Demogaphic Society Uskutočnené akcie v oku 208 / Pevious Events in Yea vedecká konfeencia EKOMSTAT th scientific confeence EKOMSTAT 208 Slávnostná konfeencia k 50. výočiu založenia SŠDS Valné zhomaždenie členov SŠDS Voľby výbou SŠDS Ceemonial confeence of the SSDS Geneal Assembly of SSDS Election of Committee of SSDS Pohľady na ekonomiku Slovenska 208 Views on the Slovak Economy 208 Vedecká konfeencia FERNSTAT 208 Scientific confeence FERNSTAT medzináodný seminá Výpočtová štatistika th intenational semina Computational Statistics Pehliadka pác mladých štatistikov a demogafov 208 Review of Papes of Young Statisticians and Demogaphes Analytika očami pofesionálov 208 Analytics fom the Eye View of Pofessionals jún 208 / 3-7 June 208 Tenčianske Teplice, Slovensko/ Slovakia 8. jún 208 / 8 June 208 Častá Papienička, Slovensko / Slovakia 9. jún 208 / 9 June 208 Častá Papienička, Slovensko / Slovakia 20. jún 208 / 20 June 208 Častá Papienička, Slovensko / Slovakia decembe 208 / 6 7 Decembe 208 Batislava, Slovensko / Slovakia Pipavované akcie v oku 209 / Upcoming Events in Yea decembe 208 / 6 Decembe 208 Batislava, Slovensko / Slovakia 7. decembe 208 / 7 Decembe 208 Batislava, Slovensko / Slovakia Nitianske štatistické dni 209 Statistical Days in Nita 209 Pohľady na ekonomiku Slovenska 209 Views on the Slovak Economy vedecká konfeencia EKOMSTAT th scientific confeence EKOMSTAT slovenská demogafická konfeencia 7th Slovak Demogaphic Confeence 28. medzináodný seminá Výpočtová štatistika 28th intenational semina Computational Statistics Pehliadka pác mladých štatistikov a demogafov Review of Papes of Young Statisticians and Demogaphes Analytika očami pofesionálov 209 Analytics fom the Eyeview of Pofessionals apíl 209 / 4 5 Apil 209 Nita, Slovensko / Slovakia 25. apíl 209 / 25 Apil 209 Batislava, Slovensko / Slovakia jún 209 / 2 6 June 209 Tenčianske Teplice, Slovensko/ Slovakia jún 209 / 3 5 June 209 Tnava, Slovensko / Slovakia decembe 209 / 5 6 Decembe 209 Batislava, Slovensko / Slovakia 5. decembe 209 / 5 Decembe 209 Batislava, Slovensko / Slovakia 6. decembe 209 / 6 Decembe 209 Batislava, Slovensko / Slovakia

89 SAS Business Analytics Softwae Data Management Analytics Repoting Business and Industy Solutions Môžu sa vaše štatistické odhady zlepšiť o 96%, ak využijete kvalitný analytický nástoj? Áno, môžu. SAS vám dáva The Powe to Know. SAS Business Analytics pomáha oganizáciám zo všetkých odvetví objavovať inovatívne spôsoby ako zvyšovať ziskovosť, znižovať iziká, pedikovať tendy, meniť dáta na infomácie a získavať tým skutočnú konkuenčnú výhodu.

90 FORUM STATISTICUM SLOVACUM Vol 4 (208) No 2 Obsah / Table of Contents Vedecké články/oiginal contibutions Pokoky v modelování ekonomických dat pomocí spojitých pavděpodobnostních ozdělení Advances in Modeling Economic Data Using Continuous Pobability Distibutions Diana Bílková... Důchodový věk na Slovensku a v Česku stanovený na základě elativního pospektivního věku Retiement Age in Slovakia and Czechia Based on Relative Pospective Age Concept Tomáš Fiala, Jitka Langhamová... 9 Analýza dopadov vonkajších izík na slovenskú ekonomiku s využitím makoekonomického modelu Analysis of Extenal Risk Impacts on the Slovak Economy Using the Macoeconomic Model Tomáš Miklošovič Zhlukovanie časových adov dlhodobých úokových mie Clusteing Time Seies of Long-tem Inteest Rates Beáta Stehlíková... 5 Paktická epezentace času po modely lidského chování A Pactical Repesentation of Time fo the Human Behaviou Modelling Tomáš Vint, Keem Eyisoy, Tomáš Kajník... 6 Zo života SŠDS/Fom Life of SSDS Infomácie z vedeckého semináa Výpočtová štatistika 208 Infomation fom the Scientific Semina Computational Statistics Infomácie zo zasadnutia výbou SŠDS zo dňa Infomation fom the Meeting of the Commitee of SSDS held on 6 Decembe Za Jankom Luhom (* ) / Memoy of Ján Luha Vladimí Úadníček Za Belom Riečanom (* ) / Memoy of Belo Riečan Anna Tipáková Pice/Cena: 25 Yea Subsciption/Ročné pedplatné: 50 Published in/dátum vydania: Decembe 208